1. Demostrar que una viga de sección rectangular b*h, peralte efectivo d, sometida a la acción de una fuerza cortante Vu, la separación S de los estribos viene dada por la formula.

s=∅ Av F y dVu−∅ Vc

( senα+cosα ) Siendo el ángulo α el ángulo de inclinación de los estribos.

Teniendo en cuenta que Vu≤ϕVn tenemos:

Vu=ϕVc+ϕVs

Además, del grafico anterior obtenemos:

x=m+n

Dónde:

m= dtan α ; n= d

tanθ

Remplazamos m y n en x.

x= dtanα

+ dtanθ

Sacamos factor común d

x=d ( 1tanα

+ 1tanθ )

Remplazamos tan= sencos

x=d ( cosαsenα+ cosθsenθ )

Efectuamos el paréntesis

x=d ( cosα senθ+senα cosθsenα senθ )

Luego, conociendo que n= xs ; Donde n=¿deestribos

Remplazamos la ecuación de x

n=d( cosα senθ+senα cosθ

senα senθ )s

n=d( senθ+cosθ

senθ )s

⇒ ϕVs=Vu−ϕVc

ϕAvFySenθ n=Vu−ϕVc

ϕAvFySenθ [ d( senθ+cosθsenθ )s ]=Vu−ϕVc

ϕAvFy [d (senθ+cosθ )s ]=Vu−ϕVc

s= ϕAvFyd(senθ+cosθ)Vu−ϕVc

s= ϕAvFyd(senθ+cosθ)ϕVs

2. La viga mostrada en la figura corresponde al modelo usado para el análisis del comportamiento de una viga sometida a una carga de falla P.

La sección transversal es de 10× 10 cm (d=h-2) y ha sido reforzado a flexión simple con 2 varillas de 1} over {4¿ A-280 Mpa colocadas en toda la longitud más ganchos extremos a 90° de 7cm. Como refuerzo transversal tiene 5 estribos verticales de doble rama de 3 } over {16¿ A-280 Mpa colocados cada 2,5 cm en cada extremo. El primer estribo va a 2,5cm del eje del apoyo. El modelo fue sometido a una carga y fallo para P= 16 Kn. Haga un esquema o plano de la viga con el refuerzo suministrado, indicando la sección transversal.

Averigüe que tipo de comportamiento se quería comprobar con ese modelo.

¿Qué tipo de fisura y su localización podía esperarse? Los apoyos de la viga en ambos extremos son de 10× 10cm, L=45 cm entre ejes de apoyo, la longitud total de la probeta es de 50 cm y la resistencia del concreto es de 14 Mpa.

REVISION DEL DISEÑO A FLEXION

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-10-8-6-4-202468

10

8

-8

Diagrama de Cortante

Distancia (m)

Cort

ante

(Kn)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

20

40

60

80

100

120

140

Diagrama de Momento

Distancia (m)

Mom

ento

(Kn*

cm)

Sección Transversal

Del diagrama del momento se obtiene el momento último Mu=120 Kn∗cm=1,2 Kn∗m

Para comprobar el diseño a flexión se hace necesario calcular el momento resistente del

elemento Mr=∅ As fy (d−a2 ) y se verifica si Mr≥Mu, lo cual nos indica que se realizó

un buen diseño de lo contrario la viga no es capaz de resistir los esfuerzos a flexión.

Calculo del Momento Resistente

Verificamos el tipo de falla

Refuerzo longitudinal: 2Varillas¿2, para la que se tiene un diámetro de 0,63 cm y un área de

0,32 cm2.

Entonces:

As=N ° barras∗Area

As=2∗0,32 cm2

As=0,64 cm2=6,4×10−5 m2

ρ= Asbd

→ ρ= 6,4×10−5m2

0,1m∗(0,08m)=8×10−3

ρmin≥ {0.25√ f ' cFy

=0.25√14280

=3,3407×10−3

1.4Fy

= 1.4280

=5×10−3

Se escoge el mayo por tanto ρmin=5×10−3

ρb=0.85 β1 f

' cFy ( 600

600+Fy ) ρb=0.85 (0.85)(14)

280 ( 600600+280 )

ρb=0.0246

ρmax=0.75( ρb) ρmax=0.75(0.0246)

ρmax=0.01845

Bajo las anteriores condiciones se espera una falla dúctil debido a que la cuantía de diseño es mayor que la cuantía mínima y menor que la balanceada.

ρmin<ρdis< ρb

Equilibrio de fuerzas Horizontales para el cálculo de a

C=T

0,85 f 'cab=Asfy

a= As fy0,85 f ' cb

a= 0,64 cm2 (280 Mpa)0,85 (14 Mpa) (10cm )

a=1,5cm

→Mr=∅ As fy(d−a2 )

→Mr=(0,9 ) (6,4 ×10−5m2 ) (280 Mpa )(0,08m−0,015m2 )

→Mr=1,17×10−3Mn∗m=1,17 Kn∗m

Como Mr=1,17 Kn∗m<Mu=1,2Kn∗m la viga falla por flexión

REVISION DEL DISEÑO A CORTANTE Calculo de ∅Vc

∅Vc=∅ (√ f ' c ℷ6

+17 ρ VudMu )bd

Vu y Mu Se calculan en los diagramas de cortante y momento respectivamente mostrados anteriormente a una distancia d del poyo.

d=bc2

+h−2

d=0,05m2

+ (0,1m−0,02m )=0,105

Como se observa en el diagrama de cortante para d=0,10m, Vu=8 Kn y Y Mu=Vu∗d Mu=8 Kn∗0,105m=0,84 Kn∗m

Para aplicar la fórmula de Vc, chequeamos que VudMu

≤1

(8 Kn)(0,08m)0,84 Kn∗m

≤1

0,76<1

∅Vc=(0,75)( √14 Mpa (1 )6

+17 (8×10−3 ) (8 Kn ) (0,08m)0,84 Kn∗m )(0,08)(0,1)

Vc=4,36×10−3 MN=4,36 KN

∅Vc=4,36 KN

Vc No debe excederse de 0,29ℷ√ f ' c bd

0.29ℷ√ f ' c bd=0,29(1)√14 Mpa (0,1m)(0.08m)=8,68×10−3 Mn=8,68 Kn

8,68 Kn<9,12Kn ; V c Cumple con la condición.

Calculo de ∅Vs

Vu=∅ Vs+∅Vc

→∅Vs=Vu−∅Vc

→∅Vs=8kN−4,36 Kn

∅Vs=3,64 Kn

V s No debe considerarse mayor que ∅ 0,66√ f ' c bd

∅ 0,66√ f 'c bd=(0,75)0,66 √14 Mpa (0,1m ) (0.08m)=0,0148 Mn=14,82 Kn

3,64 Kn<14,82Kn ; ∅V s Cumple con la condición.

Se rectifica separación

Se calcula el área trasversal Av con el cual fue diseñada la viga, esta se encuentra reforzada con estribos de dos ramas de 3} over {16¿ es decir 4,7625×10−3 m de diámetro.

→Av=2( π (d2)4 )

→Av=2 (π (4,7625×10−3)2¿¿¿4 )=3,56×10−5m2

S=∅ A v f y d

ФV s

S=(0,75)(3,56×10−5 m2)(280 Mpa)(0.08m)0.00364 MN

S=0.16m=16cm

Según el aparte C.11.4.5.1 y C.11.4.5.2 de la NSR-10 si Vs no excede

0.33√ f ´ cbd la separación máxima entre estribos debe ser d2 de lo contrario

esta se reducirá a la mitad.

0.33√ f ´ cbd=0.33√14 Mpa (0,1m ) (0,08m )=9,87×10−3Mn=9,88 Kn

V s=3,64 Kn<0.33√ f ´ cbd=9,88 Kn, por lo tanto S≤ d2=8 cm

2=4 cm

Con lo anterior se observa que la separación más restrictiva es S≤4cm y cómo la viga se diseñó con estribos separados 2,5 cm , podemos decir que se hizo un buen diseño a cortante.

Calculo de Av mínimo

Avmin=S∅Vs∅ fy d

Avmin=(0,025m)(0,00364 Mn)0,75(280 Mpa)(0,08m)

Avmin=5,42×10−6 m2

De acuerdo, a las revisiones realizadas para el comportamiento de la viga a flexión y a cortante se puede afirmar que el elemento no es capaz de resistir los esfuerzos a flexión, pero si resiste perfectamente los esfuerzos cortantes basándonos en las siguientes condiciones:

PARA CORTANTE

En primera instancia como Vu>ϕVc, lo que equivale a 8 Kn>4,36 Kn, decimos que el concreto como tal no es capaz de resistir los esfuerzos a cortante, por lo tanto, se necesitó refuerzo transversal. Donde, el Av con el cual se diseñó la viga, supera el Av mínimo, por lo cual resiste la parte de esfuerzos que no resiste el concreto satisfactoriamente.

La separación es adecuada puesto que la máxima está dada por s≤ d2 , lo que

equivale a s<4cm y como la viga fue diseñada con 5 estribos separados a 2,5 cm se afirma que esta adecuadamente reforzada al cortante.

No es necesario cambiar dimensiones puesto que ϕVs< 23ϕ √f ' cbw d es decir,

3,64 kn<14,97 kn

PARA FLEXIÓN

El momento último es mayor que el momento resistente, es decir, 1,2 Kn.m>1,17KN .m por lo tanto a una carga de 16 Kn la viga fallara por flexión de manera dúctil sin producir un colapso inmediato.

Analizando la cuantía, se tendrá una falla dúctil, por lo tanto a medida que la carga incremente gradualmente y se acerque 16 Kn se presentaran fisuras verticales en el tercio medio de la viga extendiéndose desde el extremo inferior hasta su parte media por el desplazamiento del eje neutro.

Teniendo en cuenta los resultados anteriores es posible afirmar que el modelo ensayado fue construido para estudiar el comportamiento de falla dúctil a flexión en una viga, por lo tanto se reforzó adecuadamente a cortante de tal forma que primero se obtuviera la falla por flexión, en este caso bajo una carga de 16 Kn, a la cual el cortante es resistido perfectamente.