parcijalne diferencijalne jednaČine (dunp.matematika)

1
DR ˇ ZAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU departman za matematiˇ cke nauke studijski program: matematika ˇ cetvrta godina OAS PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNA ˇ CINE ( pismeni deo ispita, april 2015) 1. (a) Na´ ci jednaˇ cinu povrˇ si ˇ cija proizvoljna tangentna ravan seˇ ce x-osu u taˇ cki ˇ cija je apscisa tri puta ve´ ca od apscise dodirne taˇ cke. 10 (b) Na´ ci ono reˇ senje z (x, y) jednaˇ cine ∂z ∂y = x 2 +2y koje zadovoljava uslov z (x, x 2 )=1 15 2. Odrediti tip parcijalne diferencijalne jednaˇ cine drugog reda (y + 1) 3 2 z ∂x 2 +2x(y + 1) 2 2 z ∂x∂y +2x 2 (y + 1) 2 z ∂y 2 - 2x 2 ∂z ∂y =0 i svesti je na kanonski oblik za x(y + 1) 6=0 5+15=20 3. (a) Na´ ci singularno reˇ senje jednaˇ cine 2x 4 yp + pq =8x 3 y 2 z - 4x 3 y 2 q (p = ∂z ∂x ,q = ∂z ∂y ) ili utvrditi da ono ne postoji 15 (b) Odrediti kompletno(potpuno) reˇ senje parcijalne diferencijalne jednaˇ cine 2pq = z 6 xy (p = ∂z ∂x ,q = ∂z ∂y ) i proveriti dobijeni rezultatat. 5+10=15 4. Reˇ siti Koˇ sijev zadatak za jednaˇ cinu provo denja toplote : 2 ∂u ∂t (x, y, t)=Δu(x, y, t) u(x, y, 0) = cos xy 25

Upload: dzenis-pucic

Post on 13-Dec-2015

90 views

Category:

Documents


12 download

TRANSCRIPT

Page 1: PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE (DUNP.MATEMATIKA)

DRZAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARUdepartman za matematicke naukestudijski program:matematikacetvrta godina OAS

PARCIJALNE DIFERENCIJALNEJEDNACINE

( pismeni deo ispita, april 2015)

1. (a) Naci jednacinu povrsi cija proizvoljna tangentna ravan sece x-osu u tacki cija jeapscisa tri puta veca od apscise dodirne tacke. 10

(b) Naci ono resenje z(x, y) jednacine

∂z

∂y= x2 + 2y

koje zadovoljava uslov z(x, x2) = 1 15

2. Odrediti tip parcijalne diferencijalne jednacine drugog reda

(y + 1)3∂2z

∂x2+ 2x(y + 1)2

∂2z

∂x∂y+ 2x2(y + 1)

∂2z

∂y2− 2x2∂z

∂y= 0

i svesti je na kanonski oblik za x(y + 1) 6= 0

5+15=20

3. (a) Naci singularno resenje jednacine

2x4yp + pq = 8x3y2z − 4x3y2q (p =∂z

∂x, q =

∂z

∂y)

ili utvrditi da ono ne postoji 15

(b) Odrediti kompletno(potpuno) resenje parcijalne diferencijalne jednacine

2pq = z6xy (p =∂z

∂x, q =

∂z

∂y)

i proveriti dobijeni rezultatat. 5+10=15

4. Resiti Kosijev zadatak za jednacinu provodenja toplote :

2∂u

∂t(x, y, t) = ∆u(x, y, t)

u(x, y, 0) = cos xy

25