金子真

機構学Part 5：瞬間中心

等価ベルトモデル

3

42

2

1

422

31

sin)sin(

)sin(

sin

ααα

αα

α

BDTT

POFT

POFT

DPO

BPO

io

oo

ii

o

i

+=∴

=

=

+=

=

瞬間中心とは？

y

xo

節b

（節a）

瞬間中心

（節a）

瞬間中心とは？

y

xo

節b

瞬間中心

a

（節a）θa

静止座標系と動座標系

AbB

：静止座標系 o-xy：動座標系 A-XY

θ ：静止座標系（節a）と動座標系（節b）の軸が成す角度

y

xo

A

節b

θ θb

bA β

//x

X

YB

B

b

( )ai

aa

AA

ae

iaiyx

θ

θθ

=

+=+=

sincosa

( )a=a

ABB iYX bab +=+=( ) ( )

θ

θββθθ

i

iiiiA

eebebebe b

Bb

=

=== +

( )βiA beb === BBb ,

複素数による記述

a

（節a）θ a

xo

A

y 節b

θ θ b

β //x

X

Y

B

AbB

：静止座標系 o-xy：動座標系 A-XY

θ ：静止座標系（節a）と動座標系（節b）の軸が成す角度

bAB

Pbpb +=Papa += ( )θi

P eAa =

( )θiP eBb =

( )( ) θiθei

iee

Piθ

iθiθP

apAp

AAp

apa

+=+=

++=

+=

θ

θPibpb +=

0

瞬間中心

瞬間中心：ある瞬間に2つの節の間の相対速度が0となる点

PP ba ,BA,

：静止座標系

：動座標系

θ ：静止座標系（節a）と動座標系（節b）の軸が成す角度

節b

P

A

BbP

aP

A

B

xo

y

節a

p

瞬間中心

θPibpb +=

θ Piapa +=

0=p

・・・①

・・・②

点Ｐが節bの瞬間中心のとき

θPibb =θ Piaa =

瞬間中心：ある瞬間に2つの節の間の相対速度が0となる点

PP ba ,BA,

：静止座標系

：動座標系

θ ：静止座標系（節a）と動座標系（節b）の軸が成す角度

節b

P

A

BbP

aP

A

B

xo

y

節a

p

( )θ paa −= i

θθ

aaaap i

i+=−=

①より

瞬間中心

・・・①

・・・②θPibb =θ Piaa =

瞬間中心：ある瞬間に2つの節の間の相対速度が0となる点

PP ba ,BA,

：静止座標系

：動座標系

θ ：静止座標系（節a）と動座標系（節b）の軸が成す角度

節b

P

A

BbP

aP

A

B

xo

y

節a

p

( )θ pbb −= i

θθ

bbbbp ii

+=−=

②より

・・・①

・・・②θPibb =θ Piaa =

pbpa

ba

ba

−−

==P

P

ababbap

−−

=

①÷②より

瞬間中心

PP ba ,BA,

：静止座標系

：動座標系

θ ：静止座標系（節a）と動座標系（節b）の軸が成す角度

節b

P

A

BbP

aP

A

B

xo

y

節a

瞬間中心：ある瞬間に2つの節の間の相対速度が0となる点

p

vR

（１）円柱と静止節（水平面）の間の瞬間中心はどこか．（２）円柱の中心の速度が v のとき，円柱上での最大

速度はいくらか．またその点はどこか．

例題

vR

（１）円柱と静止節（水平面）の間の瞬間中心はどこか．（２）円柱の中心の速度が v のとき，円柱上での最大

速度はいくらか．またその点はどこか．

例題

R

R

B

o

例題（１）解答

y

x

X

Y

A

静止座標系： o-xy動座標系： A-XY

R

R

例題（１）解答

静止座標系： o-xy動座標系： A-XY

A

B

o

y

x

θ (θ<0)

例題（１）解答

iRR +−= θaiRA =B

( ) ( )θθθ cos1sin +++−=+=

iRRAbab

：動座標系

：静止座標系

( )θθ

θθ

θ

θ

cossinsincos

iRRiiR

iReei

iAA

+−=+=

=

= Bb ：静止座標系

y

A

B

o x

a

bABA

θ (θ<0)

例題（１）解答

iRR +−= θa( ) ( )θθθ cos1sin +++−= iRRb

θ R−=a( ) ( )

( ) θθθθ

θθθθθ

sincos1sincos

iRRiRR

−+−=

−++−=b

y

A

B

o x

a

bABA

θ (θ<0)

y

A

B

o x

a

bABA

θ (θ<0)

例題（１）解答

：瞬間中心

θR−=

円柱と水平面の接点 ( )0,θR−

θaap i+=

：瞬間中心

θR−=θbbp i+=

θ R−=a( ) θθθθ sincos1 iRR −+−=b

iRR +−= θa( ) ( )θθθ cos1sin +++−= iRRb

例題（１）[別解]

θ R−=a( ) θθθθ sincos1 iRR −+−=b

ababbap

−−

= ：瞬間中心

iRR +−= θa( ) ( )θθθ cos1sin +++−= iRRb

( )θθθθ sincos2 iR +=− abba( )θθθ sincos iR +−=− ab

y

A

B

o x

a

bABA

θ (θ<0)

y

A

B

o x

a

bABA

θ (θ<0)

例題（１）[別解]

：瞬間中心

( )( )

θθθθθθθθ

RiRiR

−=+−+

=sincossincos2

ababbap

−−

=

円柱と水平面の接点 ( )0,θR−

vR

（１）円柱と静止節（水平面）の間の瞬間中心はどこか．（２）円柱の中心の速度が v のとき，円柱上での最大

速度はいくらか．またその点はどこか．

例題

v

2v

R

R

T

P

（２）最大速度：2v （点Ｔ）

例題（２）解答

A

下図の棒の瞬間中心はどこか．

演習問題

θ

B

O x

y

L