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Funcoes periodicas, pares e ımpares Graficos de funcoes trigonometricas Exercıcios
MA093 – Matematica basica 2Funcoes trigonometricas e seus graficos - Parte 1
Francisco A. M. Gomes
UNICAMP - IMECC
Setembro de 2018
Funcoes periodicas, pares e ımpares Graficos de funcoes trigonometricas Exercıcios
Topicos importantes
O objetivo dessa aula e investigar
1 Funcao periodica. Funcao par e ımpar.
2 Graficos do seno e do cosseno.
3 Transformacoes de graficos de funcoes trigonometricas.
Funcoes periodicas, pares e ımpares Graficos de funcoes trigonometricas Exercıcios
Funcao periodica
Definicao
Uma funcao e periodica se existe um valor p tal que, para todo xpertencente ao domınio de f ,
f (x + p) = f (x).
O menor valor de p tal que f (x + p) = f (x) e chamado perıodo.
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Funcao par
Definicao
Uma funcao e par se e somente se, para todo x pertencente aodomınio de f ,
f (−x) = f (x).
Outras funcoes pares: f (x) = |x | e g(x) = x2
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Funcao ımpar
Definicao
Uma funcao e ımpar se e somente se, para todo x pertencente aodomınio de f ,
f (−x) = −f (x).
Outras funcoes ımpares: f (x) = 5x e g(x) = x3
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Grafico do seno
A tabela abaixo fornece sen(x) para alguns valores conhecidos de x(aqui, usamos exclusivamente radianos).
x 0 π6
π4
π3
π2
2π3
3π4
5π6 π 3π
2 2π
sen(x) 0 12
√2
2
√3
2 1√
32
√2
212 0 −1 0
Grafico de sen(x)para x ∈ [0, 2π].
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Funcao seno
A funcao seno
tem como domınio todo o conjunto de reais (R);
tem como imagem o intervalo [−1, 1];
e contınua;
e periodica, com perıodo 2π;
e ımpar, ou seja, sen(−θ) = −sen(θ).
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Grafico do cosseno
A tabela abaixo fornece cos(x) para alguns valores conhecidos de x(mais uma vez, usamos exclusivamente radianos).
x 0 π6
π4
π3
π2
2π3
3π4
5π6 π 3π
2 2π
cos(x) 1√
32
√2
212 0 − 1
2 −√
22 −
√3
2 −1 0 1
Grafico de cos(x)para x ∈ [0, 2π].
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Funcao cosseno
A funcao cosseno
tem como domınio todo o conjunto de reais (R);
tem como imagem o intervalo [−1, 1];
e contınua;
e periodica, com perıodo 2π;
e par, ou seja, cos(−θ) = cos(θ).
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Trocando o sinal
Invertendo o seno
y = −sen(x)
Curva azul: y = sen(x);
Curva vermelha: y = −sen(x);
A troca de sinal provoca uma reflexao em torno do eixo-x.
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Esticando e comprimindo na vertical
Esticando o seno
y = a · sen(x)
Curva azul: y = sen(x);
Curva vermelha: y = 2sen(x);
Curva verde: y = 12sen(x).
O fator |a| e chamado amplitude do grafico.
Esticamento: |a| > 1. Encolhimento: |a| < 1.
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Esticando e comprimindo na horizontal
Esticando o seno
y = sen(c · x)
Curva azul: y = sen(x);
Curva vermelha: y = sen(2x);
Curva verde: y = sen( x2 ).
O perıodo e dividido pelo fator c > 0.
Esticamento: 0 < c < 1. Encolhimento: c > 1.
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Transladando na vertical
Movendo o seno
y = k + sen(x)
Curva azul: y = sen(x);
Curva vermelha: y = sen(x) + 1;
Curva verde: y = sen(x)− 1.
A curva e deslocada verticalmente pelo valor k .
Para cima: k > 0. Para baixo: k < 0.
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Transladando na horizontal
Movendo o seno
y = sen(x − b)
Curva azul: y = sen(x);
Curva vermelha: y = sen(x + π/4);
Curva verde: y = sen(x − π/4).
Curva preta: y = cos(x).
A curva e deslocada horizontalmente pelo valor |b|.Para a direita: b > 0. Para a esquerda: b < 0.
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Exemplo
Problema
Tracar o grafico de f (x) = 1 + 2sen(3x)
Transformando o seno
y = k + a · sen(c · (x − b))
Perıodo: 2π/c = 2π/3 (≈ 2, 1)
Amplitude: |a| = 2
Deslocamento vertical: k = 1
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Exercıcio 1
Problema
A figura abaixo mostra o grafico de uma funcao periodica.Determine o perıodo e a amplitude da funcao.
perıodo: 4,8 Amplitude: 1,6
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Exercıcio 2
Problema
Qual das figuras abaixo mostra o grafico de uma funcao ımpar?
(A)
(B)
(C)
(D)
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Exercıcio 3
Problema
Qual das figuras abaixo mostra o grafico de uma funcao par?
(A)
(B)
(C)
(D)
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Exercıcio 4
Problema
Suponha que f seja uma funcao ımpar e periodica, com perıodo10. O grafico da funcao no intervalo [0, 5] e apresentado abaixo.
Complete o grafico de f no intervalo [−10, 10].
Calcule o valor de f (99).
f (99) = −2
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Exercıcio 5
Problema
1 Trace o grafico de cos(x) para x ∈ [−2π, 2π]
2 Trace o grafico de 32cos( x2 ) para x ∈ [−2π, 2π]
Dica: escolha valores de x no intervalo fornecido, monte umatabela com pares ordenados (x , y), passe os pontos para o planoCartesiano e aproxime-os por meio de uma curva suave.