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Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinariasMetodos de Taylor
Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
Parte 8. Ecuaciones diferenciales ordinarias
Gustavo Montero
Escuela Tecnica Superior de Ingenieros IndustrialesUniversidad de Las Palmas de Gran Canaria
Curso 2004-2005
Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinariasMetodos de Taylor
Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
1 Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinarias
2 Metodos de Taylor
3 Metodos de Runge-Kutta
4 Metodos de prediccion-correccion
5 Metodos adaptativos de paso variable
6 El problema de contorno
7 Resumen
Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinariasMetodos de Taylor
Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
El problema del valor inicial
1 Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinarias
2 Metodos de Taylor
3 Metodos de Runge-Kutta
4 Metodos de prediccion-correccion
5 Metodos adaptativos de paso variable
6 El problema de contorno
7 Resumen
Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinariasMetodos de Taylor
Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
El problema del valor inicial
El problema del valor inicial
Planteamiento del problemaSea la ecuacion diferencial
y′ = f (x, y), x ∈ [x0, x0 + a]
con la condicion inicial y(x0) = η.Supondremos que se cumple la condicion de existencia y unicidad de la solucion:
f es continua en [x0, x0 + a]× R
Condicion de Lipschitz en y
f (x, y)− f (x, y∗) ≤ L
y − y∗ ∀x ∈ [x0, x0 + a] , ∀y, y∗ ∈ R, con L ≥ 0
Los metodos mas utilizados son los de discretizacion, en los que se obtiene el valor de la solucion en unos puntosdeterminados, generalmente equidistantes,
xi = x0 + i h, con h =a
n, i = 0, 1, . . . , n
Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinariasMetodos de Taylor
Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
El problema del valor inicial
El problema del valor inicial
Planteamiento del problemaSea la ecuacion diferencial
y′ = f (x, y), x ∈ [x0, x0 + a]
con la condicion inicial y(x0) = η.Supondremos que se cumple la condicion de existencia y unicidad de la solucion:
f es continua en [x0, x0 + a]× R
Condicion de Lipschitz en y
f (x, y)− f (x, y∗) ≤ L
y − y∗ ∀x ∈ [x0, x0 + a] , ∀y, y∗ ∈ R, con L ≥ 0
Los metodos mas utilizados son los de discretizacion, en los que se obtiene el valor de la solucion en unos puntosdeterminados, generalmente equidistantes,
xi = x0 + i h, con h =a
n, i = 0, 1, . . . , n
Clasificacion de los metodosSi yi+k se obtiene en funcion de las k soluciones anteriores (yi , . . . , yi+k−1), el metodo se denomina de k pasos.Dentro de los metodos de 1 paso,
Si yi+1 = Ωi (yi ), i = 0, 1, . . . , n − 1, el metodo es explıcito
Si Ωi (yi+1, yi ) = 0, hay que resolver una ecuacion para cada i = 0, 1, . . . , n − 1 (metodo implıcito)
Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinariasMetodos de Taylor
Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
Metodo de EulerMetodo de Taylor de orden n
1 Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinarias
2 Metodos de Taylor
3 Metodos de Runge-Kutta
4 Metodos de prediccion-correccion
5 Metodos adaptativos de paso variable
6 El problema de contorno
7 Resumen
Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinariasMetodos de Taylor
Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
Metodo de EulerMetodo de Taylor de orden n
Metodo de Euler
AlgoritmoUtilizando el desarrollo de Taylor hasta la primera derivada se obtiene,
yi+1 = yi + h y′(xi ), i = 0, 1, . . . , n − 1
y0 = η
sustituyendo la derivada segun la ecuacion diferencial,
yi+1 = yi + h f (xi , yi ), i = 0, 1, . . . , n − 1
y0 = η
Error local de orden O(h2) y global de O(h).
Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinariasMetodos de Taylor
Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
Metodo de EulerMetodo de Taylor de orden n
Metodo de Euler
Conceptos preliminares
Si g es una funcion continua en el intervalo cerrado y acotado [x0, x0 + a], dado δ > 0 cualquiera, seconoce como modulo de continuidad de la funcion g para δ a la cantidad,
ω(δ, g) = maxg(x)− g(x∗)
, x, x∗ ∈ [x0, x0 + a] ,x − x∗
≤ δ
Para toda funcion g continua en [x0, x0 + a] se verifica,
limδ→0
ω(δ, g) = 0
Si una sucesion an de numeros reales no negativos verifica ∀n ≥ 0, an+1 ≤ (1 + A)an + B, conA ≥ 0, B ≥ 0 constantes independientes de n, se tiene
Si A > 0 ⇒ an ≤ a0en A +en A − 1
AB, ∀n ≥ 0
Si A = 0 ⇒ an ≤ a0 + n B, ∀n ≥ 0
Se define error de truncatura o de discretizacion acumulado del metodo a la diferencia entre la solucionexacta y la aproximada
ei = y(xi )− yi
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Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
Metodo de EulerMetodo de Taylor de orden n
Metodo de Euler
Estudio del errorSi f es continua en [x0, x0 + a]× R y verifica la condicion de Lipschitz, el error de discretizacion ei del metodo deEuler es tal que
si L > 0 |ei | ≤eL i h − 1
Lω(h, y′) i = 0, 1, . . . , n
si L = 0 |ei | ≤ i h ω(h, y′) i = 0, 1, . . . , n
La demostracion se basa en los lemas anteriores.
Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinariasMetodos de Taylor
Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
Metodo de EulerMetodo de Taylor de orden n
Metodo de Euler
Estudio del errorSi f es continua en [x0, x0 + a]× R y verifica la condicion de Lipschitz, el error de discretizacion ei del metodo deEuler es tal que
si L > 0 |ei | ≤eL i h − 1
Lω(h, y′) i = 0, 1, . . . , n
si L = 0 |ei | ≤ i h ω(h, y′) i = 0, 1, . . . , n
La demostracion se basa en los lemas anteriores.
Estudio de la convergencia
Un metodo se dice que es convergente si se verifica,
limh→0
max
i=0,1,...,n|yi − y(xi )|
= 0
El metodo de Euler tal y como se ha definido en convergente
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Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
Metodo de EulerMetodo de Taylor de orden n
Metodo de Taylor de orden k
Expresion general del metodo de TaylorSea y la solucion de la ecuacion diferencial y′(x) = f (x, y(x)), derivando sucesivamente respecto a x ,
y′ =dy
dx= f = f (0)
y′′ =dy′
dx= fx + fy y′ = fx + fy f = f (1)
y′′′ =dy′′
dx= f (1)
x + f (1)y y′ = f (1)
x + f (1)y f = f (2)
.
.
.
.
.
.
yk =dy (k−1)
dx= f (k−2)
x + f (k−2)y y′ = f (k−2)
x + f (k−2)y f = f (k−1)
Sustituyendo estas expresiones en la formula de Taylor, resulta
yi+1 = yi + hf (0)(xi , yi ) +h2
2!f (1)(xi , yi ) + · · · +
hk
k!f (k−1)(xi , yi ), i = 0, 1, . . . , n − 1
y0 = η
Cumple la condicion de Lipschitz con M =Pk−1
j=0
Mjhj0
(j + 1)!. Error local de orden O(hk+1) y global de O(hk ).
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Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
Metodo de EulerMetodo de Taylor de orden n
Metodo de Taylor de orden k
Metodo de Taylor de orden 2El metodo de Euler coincide con el caso particular mas sencillo del metodo de Taylor (hasta la derivada primera).Si se desarrolla hasta el termino de la segunda derivada, resulta el metodo de Taylor de segundo orden
yi+1 = yi + hf (0)(xi , yi ) +h2
2!f (1)(xi , yi ), i = 0, 1, . . . , n − 1
y0 = η
Error local de orden O(h3) y global de O(h2).
Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinariasMetodos de Taylor
Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
Formulacion general de los metodos de Runge-KuttaMetodos de Runge-Kutta de orden 2Metodo de Runge-Kutta de orden 4
1 Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinarias
2 Metodos de Taylor
3 Metodos de Runge-Kutta
4 Metodos de prediccion-correccion
5 Metodos adaptativos de paso variable
6 El problema de contorno
7 Resumen
Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinariasMetodos de Taylor
Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
Formulacion general de los metodos de Runge-KuttaMetodos de Runge-Kutta de orden 2Metodo de Runge-Kutta de orden 4
Formulacion general de los metodos de Runge-Kutta
Formulas generalesLa formulacion de los metodos de Runge-Kutta para k evaluaciones es,
yi+1 = yi + h Φ(xi , yi , h), i = 0, 1, . . . , n − 1siendo
Φ(x, y, h) =kX
j=1
cj Kj
K1 = f (x, y)
Kj = f (x + h aj , y + h
j−1Xl=1
bjlKl , j = 2, 3, . . . , k
con cj , aj y bjl elegidos adecuadamente. El metodo es consistente, es decir Φ(x, y, 0) = f (x, y), si
Kj = f (x, y),kX
j=1
cj = 1
Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinariasMetodos de Taylor
Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
Formulacion general de los metodos de Runge-KuttaMetodos de Runge-Kutta de orden 2Metodo de Runge-Kutta de orden 4
Formulacion general de los metodos de Runge-Kutta
Formulas generalesLa formulacion de los metodos de Runge-Kutta para k evaluaciones es,
yi+1 = yi + h Φ(xi , yi , h), i = 0, 1, . . . , n − 1siendo
Φ(x, y, h) =kX
j=1
cj Kj
K1 = f (x, y)
Kj = f (x + h aj , y + h
j−1Xl=1
bjlKl , j = 2, 3, . . . , k
con cj , aj y bjl elegidos adecuadamente. El metodo es consistente, es decir Φ(x, y, 0) = f (x, y), si
Kj = f (x, y),kX
j=1
cj = 1
Casos particularesSe estudian en general los metodos que surgen de considerar 1, 2 y 4 evaluaciones
Si k = 1 obtenemos el metodo de Euler.
Si k = 2 podemos obtener varios metodos: metodo de Euler Mejorado, de Euler Modificado y de Heun.
Si k = 4 obtenemos el metodo de Runge-Kutta de cuarto orden.
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Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
Formulacion general de los metodos de Runge-KuttaMetodos de Runge-Kutta de orden 2Metodo de Runge-Kutta de orden 4
Metodos de Runge-Kutta de orden 2Metodo de Euler Mejorado del Punto Medio
yi+1 = yi + hf
xi +
h
2, yi +
h
2f (xi , yi )
, i = 0, 1, . . . , n − 1
y0 = η
Error local de orden O(h3) y global de O(h2).
Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinariasMetodos de Taylor
Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
Formulacion general de los metodos de Runge-KuttaMetodos de Runge-Kutta de orden 2Metodo de Runge-Kutta de orden 4
Metodos de Runge-Kutta de orden 2Metodo de Euler Mejorado del Punto Medio
yi+1 = yi + hf
xi +
h
2, yi +
h
2f (xi , yi )
, i = 0, 1, . . . , n − 1
y0 = η
Error local de orden O(h3) y global de O(h2).
Metodo de Euler Modificado
yi+1 = yi +h
2[f (xi , yi ) + f (xi , yi + hf (xi , yi ))] , i = 0, 1, . . . , n − 1
y0 = η
Error local de orden O(h3) y global de O(h2).
Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinariasMetodos de Taylor
Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
Formulacion general de los metodos de Runge-KuttaMetodos de Runge-Kutta de orden 2Metodo de Runge-Kutta de orden 4
Metodos de Runge-Kutta de orden 2Metodo de Euler Mejorado del Punto Medio
yi+1 = yi + hf
xi +
h
2, yi +
h
2f (xi , yi )
, i = 0, 1, . . . , n − 1
y0 = η
Error local de orden O(h3) y global de O(h2).
Metodo de Euler Modificado
yi+1 = yi +h
2[f (xi , yi ) + f (xi , yi + hf (xi , yi ))] , i = 0, 1, . . . , n − 1
y0 = η
Error local de orden O(h3) y global de O(h2).
Metodo de Heun
yi+1 = yi +h
4
f (xi , yi ) + 3f
xi +
2
3h, yi +
2
3hf (xi , yi )
, i = 0, 1, . . . , n − 1
y0 = η
Error local de orden O(h3) y global de O(h2).
Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinariasMetodos de Taylor
Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
Formulacion general de los metodos de Runge-KuttaMetodos de Runge-Kutta de orden 2Metodo de Runge-Kutta de orden 4
Metodo de Runge-Kutta de orden 4
Algoritmo de Runge-Kutta de cuarto onden
yi+1 = yi +h
6(K1 + 2K2 + 2K3 + K4) , i = 0, 1, . . . , n − 1
K1 = f (xi , yi )
K2 = f (xi +h
2, yi +
h
2K1)
K3 = f (xi +h
2, yi +
h
2K2)
K4 = f (xi +h
2, yi +
h
2K3)
y0 = η
Cumple la condicion de Lipschitz con M = L +L2
2h0. Error local de orden O(h5) y global de O(h4).
Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinariasMetodos de Taylor
Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
GeneralidadesMetodos explıcitos de Adams-BashforthMetodos implıcitos de Adams-MoultonMetodos de Milne y SimpsonMetodo Predictor-Corrector
1 Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinarias
2 Metodos de Taylor
3 Metodos de Runge-Kutta
4 Metodos de prediccion-correccion
5 Metodos adaptativos de paso variable
6 El problema de contorno
7 Resumen
Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinariasMetodos de Taylor
Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
GeneralidadesMetodos explıcitos de Adams-BashforthMetodos implıcitos de Adams-MoultonMetodos de Milne y SimpsonMetodo Predictor-Corrector
Generalidades
Metodos multipasoLos metodos de Taylor y de Runge-Kutta, son metodos de un paso, es decir, se basan unicamente en lo que ocurreen el paso anterior.Si incluimos algunas de las aproximaciones previas podemos construir mejores metodos de aproximacion. Losmetodos basados en esta idea se denominan metodos multipaso.Para construir un metodo multipaso, integramos la solucion del problema de valor inicial en [xi , xi+1],
yi+1 = yi +
Z xi+1
xi
f (x, y(x)) dx ≈ yi +
Z xi+1
xi
P(x) dx
siendo P(x) el polinomio interpolador de f (x, y(x)) determinado por los puntos (x0, f (x0, y0)), (x1, f (x1, y1)),. . ., (xi , f (xi , yi ))
Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinariasMetodos de Taylor
Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
GeneralidadesMetodos explıcitos de Adams-BashforthMetodos implıcitos de Adams-MoultonMetodos de Milne y SimpsonMetodo Predictor-Corrector
Generalidades
Metodos multipasoLos metodos de Taylor y de Runge-Kutta, son metodos de un paso, es decir, se basan unicamente en lo que ocurreen el paso anterior.Si incluimos algunas de las aproximaciones previas podemos construir mejores metodos de aproximacion. Losmetodos basados en esta idea se denominan metodos multipaso.Para construir un metodo multipaso, integramos la solucion del problema de valor inicial en [xi , xi+1],
yi+1 = yi +
Z xi+1
xi
f (x, y(x)) dx ≈ yi +
Z xi+1
xi
P(x) dx
siendo P(x) el polinomio interpolador de f (x, y(x)) determinado por los puntos (x0, f (x0, y0)), (x1, f (x1, y1)),. . ., (xi , f (xi , yi ))
Metodos explıcitos e implıcitosExisten dos tipos de metodos multipaso,
Metodos explıcitos: el calculo de yi+1 no supone la evaluacion de f (xi+1, yi+1).
Metodos implıcitos: el calculo de yi+1 sı supone la evaluacion de f (xi+1, yi+1).
Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinariasMetodos de Taylor
Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
GeneralidadesMetodos explıcitos de Adams-BashforthMetodos implıcitos de Adams-MoultonMetodos de Milne y SimpsonMetodo Predictor-Corrector
Metodos explıcitos de Adams-Bashforth
Metodo de Adams-Bashforth de 2 pasos
yi+1 = yi +h
2
3f (xi , yi )− f (xi−1, yi−1)
, i = 1, 2, . . . , n − 1
y0 = η0, y1 = η1
Error local de orden O(h3).
Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinariasMetodos de Taylor
Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
GeneralidadesMetodos explıcitos de Adams-BashforthMetodos implıcitos de Adams-MoultonMetodos de Milne y SimpsonMetodo Predictor-Corrector
Metodos explıcitos de Adams-Bashforth
Metodo de Adams-Bashforth de 2 pasos
yi+1 = yi +h
2
3f (xi , yi )− f (xi−1, yi−1)
, i = 1, 2, . . . , n − 1
y0 = η0, y1 = η1
Error local de orden O(h3).
Metodo de Adams-Bashforth de 3 pasos
yi+1 = yi +h
12
23f (xi , yi )− 16f (xi−1, yi−1) + 5f (xi−2, yi−2)
, i = 2, 3, . . . , n − 1
y0 = η0, y1 = η1, y2 = η2
Error local de orden O(h4).
Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinariasMetodos de Taylor
Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
GeneralidadesMetodos explıcitos de Adams-BashforthMetodos implıcitos de Adams-MoultonMetodos de Milne y SimpsonMetodo Predictor-Corrector
Metodos explıcitos de Adams-Bashforth
Metodo de Adams-Bashforth de 4 pasos
yi+1 = yi +h
24
55f (xi , yi )− 59f (xi−1, yi−1) + 37f (xi−2, yi−2)
− 9f (xi−3, yi−3)
, i = 1, 2, . . . , n − 1
y0 = η0, y1 = η1, y2 = η2, y3 = η3
Error local de orden O(h5).
Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinariasMetodos de Taylor
Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
GeneralidadesMetodos explıcitos de Adams-BashforthMetodos implıcitos de Adams-MoultonMetodos de Milne y SimpsonMetodo Predictor-Corrector
Metodos explıcitos de Adams-Bashforth
Metodo de Adams-Bashforth de 4 pasos
yi+1 = yi +h
24
55f (xi , yi )− 59f (xi−1, yi−1) + 37f (xi−2, yi−2)
− 9f (xi−3, yi−3)
, i = 1, 2, . . . , n − 1
y0 = η0, y1 = η1, y2 = η2, y3 = η3
Error local de orden O(h5).
Metodo de Adams-Bashforth de 5 pasos
yi+1 = yi +h
720
1901f (xi , yi )− 2774f (xi−1, yi−1) + 2616f (xi−2, yi−2)
− 1274f (xi−3, yi−3) + 251f (xi−4, yi−4)
, i = 1, 2, . . . , n − 1
y0 = η0, y1 = η1, y2 = η2, y3 = η3, y4 = η4
Error local de orden O(h6).
Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinariasMetodos de Taylor
Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
GeneralidadesMetodos explıcitos de Adams-BashforthMetodos implıcitos de Adams-MoultonMetodos de Milne y SimpsonMetodo Predictor-Corrector
Metodos implıcitos de Adams-Moulton
Metodos de Adams-Moulton de 2 pasos
yi+1 = yi +h
12
5f (xi+1, yi+1) + 8f (xi , yi )− f (xi−1, yi−1)
, i = 1, 2, . . . , n − 1
y0 = η0, y1 = η1
Error local de orden O(h4).
Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinariasMetodos de Taylor
Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
GeneralidadesMetodos explıcitos de Adams-BashforthMetodos implıcitos de Adams-MoultonMetodos de Milne y SimpsonMetodo Predictor-Corrector
Metodos implıcitos de Adams-Moulton
Metodos de Adams-Moulton de 2 pasos
yi+1 = yi +h
12
5f (xi+1, yi+1) + 8f (xi , yi )− f (xi−1, yi−1)
, i = 1, 2, . . . , n − 1
y0 = η0, y1 = η1
Error local de orden O(h4).
Metodos de Adams-Moulton de 3 pasos
yi+1 = yi +h
24
9f (xi+1, yi+1) + 19f (xi , yi )− 5f (xi−1, yi−1) + f (xi−2, yi−2)
, i = 1, 2, . . . , n − 1
y0 = η0, y1 = η1, y2 = η2
Error local de orden O(h5).
Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinariasMetodos de Taylor
Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
GeneralidadesMetodos explıcitos de Adams-BashforthMetodos implıcitos de Adams-MoultonMetodos de Milne y SimpsonMetodo Predictor-Corrector
Metodos implıcitos de Adams-Moulton
Metodos de Adams-Moulton de 2 pasos
yi+1 = yi +h
12
5f (xi+1, yi+1) + 8f (xi , yi )− f (xi−1, yi−1)
, i = 1, 2, . . . , n − 1
y0 = η0, y1 = η1
Error local de orden O(h4).
Metodos de Adams-Moulton de 3 pasos
yi+1 = yi +h
24
9f (xi+1, yi+1) + 19f (xi , yi )− 5f (xi−1, yi−1) + f (xi−2, yi−2)
, i = 1, 2, . . . , n − 1
y0 = η0, y1 = η1, y2 = η2
Error local de orden O(h5).
Metodos de Adams-Moulton de 4 pasos
yi+1 = yi +h
720
251f (xi+1, yi+1) + 646f (xi , yi )− 246f (xi−1, yi−1)
+ 106f (xi−2, yi−2)− 19f (xi−3, yi−3)
, i = 1, 2, . . . , n − 1
y0 = η0, y1 = η1 y2 = η2 y3 = η3
Error local de orden O(h6).
Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinariasMetodos de Taylor
Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
GeneralidadesMetodos explıcitos de Adams-BashforthMetodos implıcitos de Adams-MoultonMetodos de Milne y SimpsonMetodo Predictor-Corrector
Metodos de Milne y Simpson
Metodo de MilneConsiste en una tecnica explıcita obtenida integrando sobre [xi−3, xi+1] el polinomio interpolador de diferenciasregresivas de Newton.
yi+1 = yi−3 +4h
3
2f (xi , yi )− f (xi−1, yi−1) + 2f (xi−2, yi−2)
, i = 1, 2, . . . , n − 1
y0 = η0, y1 = η1, y2 = η2, y3 = η3
Error local de orden O(h5).
Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinariasMetodos de Taylor
Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
GeneralidadesMetodos explıcitos de Adams-BashforthMetodos implıcitos de Adams-MoultonMetodos de Milne y SimpsonMetodo Predictor-Corrector
Metodos de Milne y Simpson
Metodo de MilneConsiste en una tecnica explıcita obtenida integrando sobre [xi−3, xi+1] el polinomio interpolador de diferenciasregresivas de Newton.
yi+1 = yi−3 +4h
3
2f (xi , yi )− f (xi−1, yi−1) + 2f (xi−2, yi−2)
, i = 1, 2, . . . , n − 1
y0 = η0, y1 = η1, y2 = η2, y3 = η3
Error local de orden O(h5).
Metodos de SimpsonConsiste en una tecnica implıcita obtenida integrando sobre [xi−1, xi+1] mediante el metodo de Simpson.
yi+1 = yi−1 +h
3
f (xi+1, yi+1) + 4f (xi , yi ) + f (xi−1, yi−1)
, i = 1, 2, . . . , n − 1
y0 = η0, y1 = η1
Error local de orden O(h5).
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Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
GeneralidadesMetodos explıcitos de Adams-BashforthMetodos implıcitos de Adams-MoultonMetodos de Milne y SimpsonMetodo Predictor-Corrector
Metodo Predictor-Corrector
Metodos de Adams-Bashforth-MoultonConsiste en utilizar un metodo explıcito de Adams-Bashforth para predecir la aproximacion de yi+1 y un metodoimplıcito de Adams-Moulton para corregir dicha aproximacion.Por ejemplo para obtener un metodo Predictor-Corrector de Adams-Bashforth-Moulton de cuarto orden, debemoselegir el Adams-Bashforth de cuatro pasos como predictor y el de Adams-Moulton de tres pasos como corrector.Para obtener los cuatro primeros valores de partida es necesario, ademas, utilizar inicialmente un metodo de unpaso de cuarto orden (por ejemplo el de Runge-Kutta de cuarto orden).
y(0)i+1 = yi +
h
24
55f (xi , yi )− 59f (xi−1, yi−1) + 37f (xi−2, yi−2)− 9f (xi−3, yi−3)
y
(1)i+1 = yi +
h
24
h9f (xi+1, y
(0)i+1) + 19f (xi , yi )− 5f (xi−1, yi−1) + f (xi−2, yi−2)
i
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Resumen
GeneralidadesMetodos explıcitos de Adams-BashforthMetodos implıcitos de Adams-MoultonMetodos de Milne y SimpsonMetodo Predictor-Corrector
Metodo Predictor-Corrector
Metodos de Adams-Bashforth-MoultonConsiste en utilizar un metodo explıcito de Adams-Bashforth para predecir la aproximacion de yi+1 y un metodoimplıcito de Adams-Moulton para corregir dicha aproximacion.Por ejemplo para obtener un metodo Predictor-Corrector de Adams-Bashforth-Moulton de cuarto orden, debemoselegir el Adams-Bashforth de cuatro pasos como predictor y el de Adams-Moulton de tres pasos como corrector.Para obtener los cuatro primeros valores de partida es necesario, ademas, utilizar inicialmente un metodo de unpaso de cuarto orden (por ejemplo el de Runge-Kutta de cuarto orden).
y(0)i+1 = yi +
h
24
55f (xi , yi )− 59f (xi−1, yi−1) + 37f (xi−2, yi−2)− 9f (xi−3, yi−3)
y
(1)i+1 = yi +
h
24
h9f (xi+1, y
(0)i+1) + 19f (xi , yi )− 5f (xi−1, yi−1) + f (xi−2, yi−2)
i
Metodo de Milne-SimpsonConsiste en utilizar el metodo explıcito de Milne para predecir la aproximacion de yi+1 y el metodo implıcito deSimpson para corregir dicha aproximacion. De igual forma que los metodos anteriores se necesita un metodo de unpaso para obtener las aproximaciones iniciales.
y(0)i+1 = yi−3 +
4h
3
2f (xi , yi )− f (xi−1, yi−1) + 2f (xi−2, yi−2)
y
(1)i+1 = yi−1 +
h
3
hf (xi+1, y
(0)i+1) + 4f (xi , yi ) + f (xi−1, yi−1)
i
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Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
IntroduccionMetodo de Runge-Kutta-FehlbergMetodo Predictor-Corrector de Adams con paso variable
1 Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinarias
2 Metodos de Taylor
3 Metodos de Runge-Kutta
4 Metodos de prediccion-correccion
5 Metodos adaptativos de paso variable
6 El problema de contorno
7 Resumen
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Metodos de Runge-KuttaMetodos de prediccion-correccion
Metodos adaptativos de paso variableEl problema de contorno
Resumen
IntroduccionMetodo de Runge-Kutta-FehlbergMetodo Predictor-Corrector de Adams con paso variable
Introduccion
DefinicionUn metodo adaptativo es aquel que adapta el numero y posicion de los nodos que utilizan en la aproximacion paramantener el error local dentro de unos lımites definidos a priori.
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Resumen
IntroduccionMetodo de Runge-Kutta-FehlbergMetodo Predictor-Corrector de Adams con paso variable
Introduccion
DefinicionUn metodo adaptativo es aquel que adapta el numero y posicion de los nodos que utilizan en la aproximacion paramantener el error local dentro de unos lımites definidos a priori.
Control del error mediante el tamano del pasoSupongamos que aplicamos dos metodos de ordenes n y n + 1 para resolver el problema de valor inicial,
yi+1 = yi + hΦ(xi , yi , h) con un error local |y(xi )− yi | < Khn
eyi+1 = eyi + heΦ(xi ,eyi , h) con un error local |y(xi )− eyi | < eKhn+1
Entonces si ei representa el error local de un metodo, se tiene ei+1 = (eyi+1 − yi+1) + eei+1
Como ei+1 es de orden O(hn+1) y eei+1 es de orden O(hn+2), es evidente que |eyi+1 − yi+1| = Mhn+1,
de donde M =|eyi+1 − yi+1|
hn+1
Si ahora usamos un tamano de paso qh se debe satisfacer |y(xi + qh)− yi+1| < M(qh)n =qn|eyi+1 − yi+1|
h< ε
Luego
q <
"εh
|eyi+1 − yi+1|
#1/n
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Resumen
IntroduccionMetodo de Runge-Kutta-FehlbergMetodo Predictor-Corrector de Adams con paso variable
Metodo de Runge-Kutta-Fehlberg
Algoritmo de Runge-Kutta-FehlbergUtiliza un metodo de Runge-Kutta de onden 5,
eyi+1 = yi +16
135K1 +
6656
12825K3 +
28561
56430K4 +
9
50K5 +
2
55K6
para estimar, utilizando la cota anterior, el error local de un metodo de Runge-Kutta de orden 4,
yi+1 = yi +25
216K1 +
1408
2565K3 +
2197
4104K4 −
1
5K5
siendo
K1 = hf (xi , yi ), K2 = hf
xi +
h
4, yi +
1
4K1
,
K3 = hf
xi +
3h
8, yi +
3
32K1 +
9
32K2
,
K4 = hf
xi +
12h
13, yi +
1932
2197K1 +
7200
2197K2 +
7296
2197K3
,
K5 = hf
xi + h, yi +
439
216K1 − 8K2 +
3680
513K3 +
845
4104K4
,
K6 = hf
xi +
h
2, yi −
8
27K1 + 2K2 +
3544
2565K3 +
1859
4104K4 −
11
40K5
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Resumen
IntroduccionMetodo de Runge-Kutta-FehlbergMetodo Predictor-Corrector de Adams con paso variable
Metodo de Runge-Kutta-Fehlberg
Tamano de pasoEl tamano de paso teorico tiende a ser muy conservador. El mas utilizado es
q =
"εh
2|eyi+1 − yi+1|
#1/4
Si q < 1, se rechaza la eleccion inicial para el paso i-esimo y se repiten los calculos usando qh.
Si q ≥ 1, se acepta el valor calculado en el paso i-esimo con pas h y se cambia el tamano de paso a qhpara el paso (i + 1)-esimo.
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Metodo Predictor-Corrector de Adams con paso variable
AlgoritmoConsiste en utilizar el metodo explıcito de Adams-Bahforth de Cuatro Pasos como predictor y el implıcito deAdams-Moulton de Tres Pasos como corrector
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IntroduccionMetodo de Runge-Kutta-FehlbergMetodo Predictor-Corrector de Adams con paso variable
Metodo Predictor-Corrector de Adams con paso variable
AlgoritmoConsiste en utilizar el metodo explıcito de Adams-Bahforth de Cuatro Pasos como predictor y el implıcito deAdams-Moulton de Tres Pasos como corrector
Control del error mediante el tamano de pasoEl resultado teorico resulta
q <
24 270
19
εh
|yi+1 − y(0)i+1|
351/4
,
aunque en la practica se suele utilizar un valor mas conservador debidos a las aproximaciones realizadas en elproceso de obtencion de la cota de q,
q = 1.5
24 εh
|yi+1 − y(0)i+1|
351/4
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Resumen
GeneralidadesMetodo de diferencias finitas
1 Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinarias
2 Metodos de Taylor
3 Metodos de Runge-Kutta
4 Metodos de prediccion-correccion
5 Metodos adaptativos de paso variable
6 El problema de contorno
7 Resumen
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GeneralidadesMetodo de diferencias finitas
Generalidades
Planteamiento del problemaConsideremos el siguiente problema lineal,
y′′(x) = p(x) y′(x) + q(x) y(x) + r(x) x ∈ [a, b]
con las condiciones de contorno y(a) = α, y(b) = β (condiciones tipo Dirichlet)o bien y(a) = α, y′(b) = β (condiciones tipo mixtas)
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GeneralidadesMetodo de diferencias finitas
Generalidades
Planteamiento del problemaConsideremos el siguiente problema lineal,
y′′(x) = p(x) y′(x) + q(x) y(x) + r(x) x ∈ [a, b]
con las condiciones de contorno y(a) = α, y(b) = β (condiciones tipo Dirichlet)o bien y(a) = α, y′(b) = β (condiciones tipo mixtas)
Resolucion por diferencias finitas
Se trata de sustituir y′′, y′ por valores aproximados utilizando los esquemas estudiados para derivacion numerica,conduciendo finalmente a un sistema de ecuaciones donde las incognitas son los valores de y en los puntos delintervalo [a, b] donde se ha planteado los esquemas de derivacion.
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GeneralidadesMetodo de diferencias finitas
Generalidades
Planteamiento del problemaConsideremos el siguiente problema lineal,
y′′(x) = p(x) y′(x) + q(x) y(x) + r(x) x ∈ [a, b]
con las condiciones de contorno y(a) = α, y(b) = β (condiciones tipo Dirichlet)o bien y(a) = α, y′(b) = β (condiciones tipo mixtas)
Resolucion por diferencias finitas
Se trata de sustituir y′′, y′ por valores aproximados utilizando los esquemas estudiados para derivacion numerica,conduciendo finalmente a un sistema de ecuaciones donde las incognitas son los valores de y en los puntos delintervalo [a, b] donde se ha planteado los esquemas de derivacion.
Existencia y unicidad de solucionSupongamos que en el problema de contorno anterior con condiciones Dirichlet se verifica,
p(x) y′(x) + q(x) y(x) + r(x), p(x) y q(x) son continuas en R.
p(x) esta acotada.
q(x) es positiva ∀x ∈ [a, b].
entonces la solucion existe y es unica.
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Resumen
GeneralidadesMetodo de diferencias finitas
Metodo de diferencias finitas
Problema generalConsideremos el problema general,
A(x) y′′(x) + B(x) y′(x) + C(x) y(x) = D(x) x ∈ [a, b]
con condiciones de contorno de expresadas de forma general,
a1 y(a) + a2 y′(a) = r
b1 y(b) + b2 y′(b) = s
siendo A(x), B(x), C(x) y D(x), funciones continuas en [a, b], A(x) 6= 0 en [a, b] y a1, a2, b1, b2 ∈ R, donde a1y b1 no se anulan simultaneamente.
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GeneralidadesMetodo de diferencias finitas
Metodo de diferencias finitas
Problema generalConsideremos el problema general,
A(x) y′′(x) + B(x) y′(x) + C(x) y(x) = D(x) x ∈ [a, b]
con condiciones de contorno de expresadas de forma general,
a1 y(a) + a2 y′(a) = r
b1 y(b) + b2 y′(b) = s
siendo A(x), B(x), C(x) y D(x), funciones continuas en [a, b], A(x) 6= 0 en [a, b] y a1, a2, b1, b2 ∈ R, donde a1y b1 no se anulan simultaneamente.
Discretizacion de la ecuacion de segundo ordenUtilizaremos esquemas de orden 2 para aproximar la primera y segunda derivada en puntos xi del interior de [a, b],
y′(xi ) =yi+1 − yi−1
2h+ O(h2)
y′′(xi ) =yi+1 − 2yi + yi−1
h2+ O(h2)
Luego, denotando Ai = A(xi ), Bi = B(xi ), Ci = C(xi ) y Di = D(xi ), la ecuacion diferencial en xi resulta,
Aiyi+1 − 2yi + yi−1
h2+ Bi
yi+1 − yi−1
2h+ Ci yi = Di i = 1, 2, . . . , n − 1
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GeneralidadesMetodo de diferencias finitas
Metodo de diferencias finitas
Discretizacion de las condiciones de contornoLos esquemas de orden 2 para la derivada primera en los extremos son,
y′(a) =−y(a + 2h) + 4y(a + h)− 3y(a)
2h+ O(h2)
y′(b) =y(b − 2h)− 4y(b − h) + 3y(b)
2h+ O(h2)
Luego las condiciones de contorno resultan,
a1 y0 + a2−y2 + 4y1 − 3y0
2h= r
b1 yn + b2yn−2 − 4yn−1 + 3yn
2h= s
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GeneralidadesMetodo de diferencias finitas
Metodo de diferencias finitas
Construccion del sistema de ecuacionesLos esquemas anteriores aplicados a todos los puntos del soporte producen un sistema de n + 1 ecuaciones linealescon matriz de la forma,
0BBBBBBBBBBBBBBB@
a1 −3a2
2h
4a2
2h−
a2
2h0 · · · 0
A1
h2−
B1
2h−
2A1
h2+ C1
A1
h2+
B1
2h0 · · · 0
0A2
h2−
B2
2h−
2A2
h2+ C2
A2
h2+
B2
2h· · · 0
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
0 · · · 0An−1
h2−
Bn−1
2h−
2An−1
h2+ Cn−1
An−1
h2+
Bn−1
2h
0 · · · 0b2
2h−
4b2
2hb1 +
3b2
2h
1CCCCCCCCCCCCCCCA
y vector segundo miembror, D1, . . . , Dn−1, s
, para obtener las incognitas
y0, y1, . . . , yn−1, yn
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1 Introduccion a las ecuaciones diferenciales ordinarias
2 Metodos de Taylor
3 Metodos de Runge-Kutta
4 Metodos de prediccion-correccion
5 Metodos adaptativos de paso variable
6 El problema de contorno
7 Resumen
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Resumen
Resumen
Entre los metodos de un paso para la resolucion de ecuaciones diferenciales ordinarias, los de Taylor y losde Runge-Kutta son los mas utilizados. El metodo mas sencillo es el de Euler, aunque tambien es quemayores errores produce. En cambio, el metodo de Runge-Kutta de cuarto orden proporciona solucionescon una precision mas aceptable y ha sido y es ampliamente utilizado en diferentes campos cientıficos.
Los metodos multipasos implıcitos tienen en general mayor precision que los explıcitos, aunque suaplicacion tiene mayor complicacion ya que en cada paso se tiene que resolver una ecuacion generalmenteno lineal. Mas eficiente es utilizar un metodo implıcito para corregir la solucion obtenida previamente poruno explıcito (metodo predictor-corrector). Los mas utilizados son los metodos deAdams-Bashforth-Moulton y el de Milne-Simpson
Si se utiliza un tamano de paso variable, se puede mejorar la eficiencia de los metodos. En este sentido, losmetodos adaptativos de paso variable ajustan el tamano de paso para que el error cometido se mantengasiempre por debajo de una cierta tolerancia fijada a priori. Los mas populares son el deRunge-Kutta-Fehlberg y el Predictor-Corrector de Adams con paso variable.
Uno de los metodos mas utilizados para resolver problemas de contorno es el de diferencias finitas. Dichadiscretizacion conduce a un sistema de ecuaciones lineales, que, una vez resuelto, nos proporciona de formadiscreta la funcion que es la solucion del problema de contorno de segundo orden.
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Resumen
Resumen
Entre los metodos de un paso para la resolucion de ecuaciones diferenciales ordinarias, los de Taylor y losde Runge-Kutta son los mas utilizados. El metodo mas sencillo es el de Euler, aunque tambien es quemayores errores produce. En cambio, el metodo de Runge-Kutta de cuarto orden proporciona solucionescon una precision mas aceptable y ha sido y es ampliamente utilizado en diferentes campos cientıficos.
Los metodos multipasos implıcitos tienen en general mayor precision que los explıcitos, aunque suaplicacion tiene mayor complicacion ya que en cada paso se tiene que resolver una ecuacion generalmenteno lineal. Mas eficiente es utilizar un metodo implıcito para corregir la solucion obtenida previamente poruno explıcito (metodo predictor-corrector). Los mas utilizados son los metodos deAdams-Bashforth-Moulton y el de Milne-Simpson
Si se utiliza un tamano de paso variable, se puede mejorar la eficiencia de los metodos. En este sentido, losmetodos adaptativos de paso variable ajustan el tamano de paso para que el error cometido se mantengasiempre por debajo de una cierta tolerancia fijada a priori. Los mas populares son el deRunge-Kutta-Fehlberg y el Predictor-Corrector de Adams con paso variable.
Uno de los metodos mas utilizados para resolver problemas de contorno es el de diferencias finitas. Dichadiscretizacion conduce a un sistema de ecuaciones lineales, que, una vez resuelto, nos proporciona de formadiscreta la funcion que es la solucion del problema de contorno de segundo orden.
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Resumen
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Entre los metodos de un paso para la resolucion de ecuaciones diferenciales ordinarias, los de Taylor y losde Runge-Kutta son los mas utilizados. El metodo mas sencillo es el de Euler, aunque tambien es quemayores errores produce. En cambio, el metodo de Runge-Kutta de cuarto orden proporciona solucionescon una precision mas aceptable y ha sido y es ampliamente utilizado en diferentes campos cientıficos.
Los metodos multipasos implıcitos tienen en general mayor precision que los explıcitos, aunque suaplicacion tiene mayor complicacion ya que en cada paso se tiene que resolver una ecuacion generalmenteno lineal. Mas eficiente es utilizar un metodo implıcito para corregir la solucion obtenida previamente poruno explıcito (metodo predictor-corrector). Los mas utilizados son los metodos deAdams-Bashforth-Moulton y el de Milne-Simpson
Si se utiliza un tamano de paso variable, se puede mejorar la eficiencia de los metodos. En este sentido, losmetodos adaptativos de paso variable ajustan el tamano de paso para que el error cometido se mantengasiempre por debajo de una cierta tolerancia fijada a priori. Los mas populares son el deRunge-Kutta-Fehlberg y el Predictor-Corrector de Adams con paso variable.
Uno de los metodos mas utilizados para resolver problemas de contorno es el de diferencias finitas. Dichadiscretizacion conduce a un sistema de ecuaciones lineales, que, una vez resuelto, nos proporciona de formadiscreta la funcion que es la solucion del problema de contorno de segundo orden.
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Entre los metodos de un paso para la resolucion de ecuaciones diferenciales ordinarias, los de Taylor y losde Runge-Kutta son los mas utilizados. El metodo mas sencillo es el de Euler, aunque tambien es quemayores errores produce. En cambio, el metodo de Runge-Kutta de cuarto orden proporciona solucionescon una precision mas aceptable y ha sido y es ampliamente utilizado en diferentes campos cientıficos.
Los metodos multipasos implıcitos tienen en general mayor precision que los explıcitos, aunque suaplicacion tiene mayor complicacion ya que en cada paso se tiene que resolver una ecuacion generalmenteno lineal. Mas eficiente es utilizar un metodo implıcito para corregir la solucion obtenida previamente poruno explıcito (metodo predictor-corrector). Los mas utilizados son los metodos deAdams-Bashforth-Moulton y el de Milne-Simpson
Si se utiliza un tamano de paso variable, se puede mejorar la eficiencia de los metodos. En este sentido, losmetodos adaptativos de paso variable ajustan el tamano de paso para que el error cometido se mantengasiempre por debajo de una cierta tolerancia fijada a priori. Los mas populares son el deRunge-Kutta-Fehlberg y el Predictor-Corrector de Adams con paso variable.
Uno de los metodos mas utilizados para resolver problemas de contorno es el de diferencias finitas. Dichadiscretizacion conduce a un sistema de ecuaciones lineales, que, una vez resuelto, nos proporciona de formadiscreta la funcion que es la solucion del problema de contorno de segundo orden.
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Entre los metodos de un paso para la resolucion de ecuaciones diferenciales ordinarias, los de Taylor y losde Runge-Kutta son los mas utilizados. El metodo mas sencillo es el de Euler, aunque tambien es quemayores errores produce. En cambio, el metodo de Runge-Kutta de cuarto orden proporciona solucionescon una precision mas aceptable y ha sido y es ampliamente utilizado en diferentes campos cientıficos.
Los metodos multipasos implıcitos tienen en general mayor precision que los explıcitos, aunque suaplicacion tiene mayor complicacion ya que en cada paso se tiene que resolver una ecuacion generalmenteno lineal. Mas eficiente es utilizar un metodo implıcito para corregir la solucion obtenida previamente poruno explıcito (metodo predictor-corrector). Los mas utilizados son los metodos deAdams-Bashforth-Moulton y el de Milne-Simpson
Si se utiliza un tamano de paso variable, se puede mejorar la eficiencia de los metodos. En este sentido, losmetodos adaptativos de paso variable ajustan el tamano de paso para que el error cometido se mantengasiempre por debajo de una cierta tolerancia fijada a priori. Los mas populares son el deRunge-Kutta-Fehlberg y el Predictor-Corrector de Adams con paso variable.
Uno de los metodos mas utilizados para resolver problemas de contorno es el de diferencias finitas. Dichadiscretizacion conduce a un sistema de ecuaciones lineales, que, una vez resuelto, nos proporciona de formadiscreta la funcion que es la solucion del problema de contorno de segundo orden.