parte cuatro

NORMAL SUPERIOR MARIA AUXILIADORA MATEMATICAS ONCE GRADO DOCENTE: MARLENY ALVAREZ DIAZ **** SEGUNDO TRIMESTRE 2.015

RUTA DE APRENDIZAJE MATEMATICAS

SEGUNDO TRIMESTRE 11B Y 11C ABRIL 27 AL DE AGOSTO DOCENTE : MARLENY ALVAREZ DIAZ

Cules procesos y conceptos de la matemtica escolar debo consolidar para fortalecer el

desarrollo del pensamiento matemtico en mi formacin acadmica?

CRITERIOS DE EVALUACION:

Adquisicin puntual de la temtica en material impreso y trabajo responsable del mismo en clase. Manejo de la carpeta de matemticas de forma completa y ordenada (organizada) . Puntualidad y Responsabilidad en el cumplimiento de sus compromisos acadmicos: actividades para la casa, talleres, consultas,

etc. Participacin e inters durante el momento pedaggico en actividades individuales o en equipo Preparacin responsable de quices, evaluaciones escritas . Preparacin responsables de la trimestral evaluacin peridica : ( valor: 25% ) Presentacin de acciones de seguimiento que le permitan superar sus dificultades.

FIRMA DEL ACUDIENTE

PENSAMI

ENTO

ESTANDAR

BASICO DE

COMPETENCIA

ESTANDARDES DE

CONTENIDOS INDICADORES DE DESEMPEO

DESEMPEO

ACTITUDINAL

NU

MER

ICO

Utilizo argumentos de la teora de nmeros para justificar relaciones que involucran nmeros naturales. Establezco relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de nmeros reales para decidir sobre su uso en una situacin dada

INECUACIONES

FUNCIONES Y GRAFICAS

SUCESIONES Y

PROGRESIONES

LIMITES Y

CONTINUIDAD

DERIVACION

1. Resuelve inecuaciones lineales, cuadrticas,

racionales y de valor absoluto.

2.Identifica los conceptos de relacin y funcin.

Identifica diversas grficas de funciones y

determina su dominio y su rango. Resuelve

situaciones problemicas que requieren el uso de

funciones.

3. Deduce e interpreta las frmulas relacionadas con

las progresiones aritmticas, geomtricas,

sucesiones y series y resuelve tipos de problemas

relacionados con ellas.

4. Comprende las caractersticas y las propiedades

de los lmites.

5. Calcula la derivada de una funcin e interpreta las

diferentes reglas de derivacin.

Demuestra gran inters y entusiasmo frente a su proceso de aprendizaje. Se esmera por mejorar y alcanzar las metas de propuestas mostrando una actitud positiva y receptiva en todo momento. Acepta y valora las sugerencias que se le brindan para mejorar y fortalecer su proceso formativo. Acta responsablemente para alcanzar las metas propuestas.

ALE

ATO

RIO

Resuelvo y planteo problemas usan- do conceptos bsicos de conteo y probabilidad

Probabilidad: Generalidades

Tcnicas de conteo

1. Aplica conceptos bsicos de probabilidad en la resolucin de problemas. 2. Determina el nmero de elementos de un espacio muestral aplicando diferentes tcnicas de conteo.


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4. FUNCIONES

Una funcin es una relacin establecida entre dos variables que asocia a cada valor de la primera variable

(variable independiente x), un nico valor de la segunda variable (variable dependiente y).

Esta relacin se representa mediante = ().

Para que una relacin sea una funcin debe cumplir las siguientes condiciones:

1. Cada elemento del conjunto A debe estar relacionado con un elemento del conjunto B.

2. Un elemento de A no puede relacionarse con dos o ms elementos diferentes de B.

4.1 CONCEPTO DE FUNCIN. DOMINIO, RECORRIDO Y GRFICA :

Las funciones se pueden determinar de varias formas: numricamente: por medio de una tabla algebraicamente: por medio de una formula grficamente: por medio de una grfica.

Dada una funcin = ()

Se llama dominio de f al conjunto de valores que toma la variable independiente, . Se indica como . El dominio est formado, por tanto, por los valores de para los que existe la funcin, es decir, para los que hay un ().

El recorrido es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, , esto es el conjunto de las imgenes. Se representa como .


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EJERCICIO 1 :

1. A partir de los siguientes enunciados determina las variables dependientes e independientes y la funcin que establece dicha dependencia:

El coste de consumo de electricidad que se factura con la siguiente regla: un coste fijo de 11,78 por la potencia contratada y 0,092834 por kWh.

El importe a pagar en una gasolinera en la que cada litro de gasolina se cobra a 1,14 . La hipotenusa de un tringulo rectngulo cuyos catetos miden 3 cm y cm respectivamente.

2. Calcula el dominio de las siguientes funciones:

3. Las siguientes curvas son las grficas de varias funciones. Determina para cada una de ellas su dominio y

recorrido:


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4. Responda :

a. Un recipiente vaco comienza a llenarse con agua a ritmo constante. Al cabo de un minuto la altura del nivel

del agua es de 3 cm. A los dos minutos, de 6 cm, y as, sucesivamente. Escriba una funcin que represente la

altura del nivel del agua, considerando el tiempo transcurrido.

b. Un recipiente que contiene 100 mm de agua (1 cm de altura), comienza a llenarse a un ritmo constante de 3

cm por minuto. Cul es la funcin que representa el nivel del agua en cada instante? A los 6 minutos desde que el recipiente comienza a llenarse, cul es la altura del nivel del agua?

c. Un taxista cobra un costo fijo por subir al taxi ms $ 550 por kilmetro recorrido. Un pasajero que recorre 4

kilmetros en el taxi cancel $ 2.440. Cul es la funcin que representa el valor que debe cancelar un pasajero

que recorre kilmetros?

4.2 TIPOS DE FUNCIONES

FUNCION CUBICA

FUNCION POLINOMICA

FUNCION RACIONAL

FUNCION IRRACIONAL

FUNCION VALOR ABSOLUTO

FUNCION PARTE ENTERA


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4.2.1 FUNCION CONSTANTE:

Su expresin analtica es = ,

donde es un nmero real.

Su grfica es una lnea recta paralela al eje de las .

4. 2. 2 FUNCION LINEAL :

Su expresin analtica es = .

Su grfica es una lnea recta que pasa por el origen

de las coordenadas y por el punto ( 1 , ) ,

donde es la pendiente de la recta y expresa su inclinacin.

4. 2. 3 FUNCION AFIN : Su expresin analtica es = + . Su dominio es . Su grfica es una lnea recta que pasa por el punto ( 0 , b ) y por el punto ( 1 , m+b ) ACTIVIDAD N 1 : OBSERVE Y RESPONDA : Coloca cada expresin algebraica en la correspondiente celda. Fjate : cuanto mayor es la pendiente, ms inclinada est la recta.


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4. 2. 4 FUNCION LINEAL A TROZOS :

Son funciones cuya grfica est formada por trozos de recta.

La expresin analtica de una funcin definida a trozos viene

dada por las expresiones de cada recta y el intervalo en que se

encuentra el trozo.

4. 2. 5 FUNCIONES LINEALES A TROZOS DISCONTINUAS

A veces, los trozos de rectas que forman una funcin lineal a

trozos no estn unidos, entonces, se dice que son funciones

lineales a trozos discontinuas.

ACTIVIDAD N 2:

1. Seala la grfica de la funcin : = () . Justifica su eleccin.

4.2.1.3 FUNCIONES LINEALES A TROZOS

x + 2 si x < -2


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2. Pedro ha realizado un viaje de 500 km., con su familia y ha llevado un control minucioso de la cantidad de gasolina que haba en el depsito

reflejndolo en la grfica que traz. Ha llenado el tanque de la gasolina

dos veces. Responda:

a. Cuntos litros de gasolina tena en el depsito al salir?

b. Cuntos litros de gasolina tena en el depsito al llegar?

c. Cuntos litros de gasolina tanque por primera vez?

d. En qu kilmetro del recorrido tanque por segunda vez?

e. Cuntos litros de gasolina consumi en el viaje?

4. 2. 5 FUNCIONES RACIONALES O DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

Son funciones cuya expresin analtica es de la forma =

donde pertenece a los nmeros reales.

ALGUNAS CARACTERISTICAS DE LAS FUNCIONES RACIONALES:


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ACTIVIDAD 3 :

1. Cul funcin de las tres indicadas se ha representado en el

grfico?

Justifique:

2. El tiempo que tarda en llenarse un estanque de agua de 2000

litros de capacidad es una funcin del caudal que le llega por su

canal de entrada. Una funcin de proporcionalidad inversa.

Responda:

a. Cunto tiempo tarda en llenarse el estanque si el caudal de

entrada es de 100 litros por minuto?

b. Y si el caudal de entrada es de 200 litros por minuto?

c. Cuntos litros tiene que entrar por minuto para que se llene

en 40 minutos?

d. Y para que se llene en 50 minutos?

3. Seala la funcin de la grfica :

Justifica su eleccin :


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4.2.6 FUNCION CUADRATICA

Son funciones cuya expresin analtica es de la forma

= + + , siendo 0. Su grfica es una curva llamada parbola.

CARACTERISTICAS DE LAS FUNCIONES CUADRATICAS:

Vrtice:

Eje de simetra: Recta que pasa por el vrtice, su

ecuacin es

Ordenada al origen: es el valor que toma la funcin

cuando x vale cero.


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EJERCICIO N 2 : 1. En una prueba de saltos de trampoln un saltador se impulsa verticalmente hacia arriba.

Desde la punta del trampoln situada a 4 metros de la lmina del agua de la piscina, la altura del

saltador viene dada en cada instante por la funcin:

f(t) = 1

2 2 2 + 4

Complete : a. La altura mxima del saltador es

b. El tiempo en alcanzar dicha altura es

c. El instante que impacta con el agua es

2. Segn una estadstica, el brote de rubeola en el ao 2005 en el colegio de primaria Los

lamos fue muy intenso. El nmero de nios afectados cada da viene dado por la funcin

f(x) = 2 + 20 , siendo x el nmero de das transcurridos desde que se descubri el

brote. Observa la grfica y luego contesta las preguntas:

a. Cuntos nios fueron contagiados por el virus de rubeola en 5 das?

b. A partir de cual da deja de extenderse el virus?

c. A los cuntos das desaparece por completo el brote del virus?

3. Un jugador golpea una pelota de bisbol a una altura de 6 ft sobre el nivel del suelo, a una velocidad de 100 ft/s. La

trayectoria de la pelota est definida por la funcin cuadrtica: f(x) = 0.0064 2 + 2 + 6 en donde () es la

altura que alcanza la pelota y X la distancia desde home, Cul es la altura mxima alcanzada por la pelota?

4. Un fabricante de accesorios para bicicletas tiene costos diarios de produccin por: C(x) = 700 4x + 0.5 2

en donde C(x) es el costo total en pesos y el nmero de unidades producidas. Cuntas unidades debe producir

diariamente para obtener un costo mnimo?

5. El arco de un puente que cruza un ro, se adapta a la funcin cuadrtica h(x) = 1

20 ( 20) , donde "h" es la

altura del arco y "x" es el ancho del ro, ambos en metros. a) Cul es la altura mxima a que se elevar el arco? b) A qu distancia del margen del ro alcanzar el puente la altura mxima? c) Qu altura tendr el arco a 5 m de la orilla?

6. Determina en cada grfica los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los mximos y los mnimos:


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4.2.7 FUNCION EXPONENCIAL

Son funciones cuya expresin analtica es de la forma = , siendo a un nmero real positivo distinto de 1.

ALGUNAS CARACTERISTICAS DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES:

En los mismos ejes cartesianos se han representado las funciones exponenciales:

ACTIVIDAD 4 : a. 1. Qu funcin se ha representado en cada una de las grficas?

Justfique.

b.


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2. El crecimiento de un pas viene dado por la frmula:

Un pas tiene una poblacin de 10 millones de habitantes y se espera que se duplique en 20 aos. Responda de acuerdo a la grfica: Cuntos habitantes tendr el pas dentro de : a. 40 aos? b. 60 aos? c. 100 aos?

4.2.8 FUNCIONES PERIODICAS:

Una funcin es peridica cuando su valor se repite cada vez que la variable independiente recorre un cierto intervalo. El valor de este intervalo se llama periodo. ( + ) = ()

Una cisterna se llena y vaca automticamente

expulsando 6 litros de agua cada 5 minutos, siguiendo

el ritmo de la grfica. Cuando el depsito est vaco

comienza el llenado, que cuesta 1 minuto, permanece

lleno 3,5 minutos y se vaca en 0,5 minutos.

Este proceso se repite peridicamente. Para conocer el volumen de agua en el depsito en cada instante es necesario conocer lo que ocurre en estos primeros 5 minutos. As a los 14 minutos, la cantidad de agua es:

(14) = ( 4 + 2 5 ) = (4) = 6 Al dividir 14:5 , cociente = 2 resto = 5 En general, si el periodo es 5: ( + ) = ()


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4.3 SIMETRIAS :

La grfica de algunas funciones puede presentar algn

Tipo de simetra que si se estudia previamente, facilita su

dibujo.

Una funcin es simtrica respecto al eje OY, Si () = (). En este caso la funcin se dice PAR.

Una funcin es simtrica respecto al origen de

coordenadas cuando () = (). En este caso la funcin se dice IMPAR.

EJERCICIO N 3 :

1.

2.

3.


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4. En cada caso la grfica representa un tramo o periodo de una funcin peridica, representa otros tramos,

indica el periodo y calcula la imagen del punto de abscisa que se indica :

5. El grfico muestra cmo vara la gasolina que hay en mi coche durante un viaje de 520 km por una autova.

a) Cunta gasolina haba al cabo de 240 km?. En el depsito caben 40

litros, cundo estaba lleno ms de medio depsito?.

b) En cuntas gasolineras par?, en qu gasolinera ech ms gasolina?.

Si no hubiera parado, dnde me habra quedado sin gasolina?

c) Cunta gasolina us en los primeros 200 km?. Cunta en todo el

viaje?. Cunta gasolina gasta el coche cada 100 km en esta autova?.

6. El grfico da el espacio recorrido por dos coches que realizan un mismo trayecto.

a) Cul es la distancia recorrida?. Si el primer coche sali a las

10:00, a qu hora sali el 2?. Cunto le cost a cada uno hacer el

recorrido?

b) Cunto tiempo y dnde estuvo parado cada coche?. En qu km

adelant el 2 al 1?,y el 1 al 2?.

c) Qu velocidad media llevaron en el trayecto total?, en qu

tramo la velocidad de cada coche fue mayor?.

7. Mara y Jorge son dos personas ms o menos tpicas. En la grfica puedes comparar como ha crecido su peso

en sus primeros 20 aos .

a) Cunto pesaba Jorge a los 8 aos?, y Mara a los 12?. Cundo

super Jorge los 45 kg?.

b) A qu edad pesaban los dos igual?. Cundo pesaba Jorge ms

que Mara?, y Mara ms que Jorge?

c) Cul fue el promedio en kg/ao de aumento de peso de ambos

entre los 11 y los 15 aos?. En qu periodo creci cada uno ms

rpidamente?


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