pasm

5/23/2018 PASM

1/108

ANALISI DINAMICA CON IL MEF

Principali tipi di analisi analisi modale

analisi della risposta armonica analisi di transitorio dinamico

5/23/2018 PASM

2/108

i

j

k

xy

{ }v&&

Accelerazione

{ } { } sieTe

est LLPUL ++=

{ } { }

{ } { } { }[ ] [ ]{ }

{ } [ ] [ ] { }

=

===

=

V

eTTe

V

eTT

e

V

Ti

T

i

UdVNNU

dVUNNUdVvvL

dVvvdL

&&

&&&&

&&

Contributo inerzia

Contributo smorzamento

yv&&

xv&&

ESTENSIONE SISTEMA RISOLVENTE IN CAMPO DINAMICO/1

5/23/2018 PASM

3/108

i

j

k

xy

{ }vc &

Smorzamento

{ } { } sieTe

est LLPUL ++=

{ } { }

{ } { } { }[ ] [ ]{ }

{ } [ ] [ ] { }

=

===

=

V

eTTe

V

eTT

e

V

Ts

T

s

UdVNNU

dVUNNUdVvvL

dVvcvdL

&

&&

&

Contributo inerzia

Contributo smorzamento

yvc &

xvc&


5/23/2018 PASM

4/108


{ } { } [ ] [ ] { } [ ] [ ] { }

{ } [ ] [ ] [ ] { }e

V

TTe

e

V

Te

V

TeTe

UdVBDBU

UdVNNUdVNcNPU

=

=

&&&

[ ] [ ]dVNcN

V

T

[ ] [ ]dVNNV

T

eeeeeee PUKUCUM =++ &&&

[ ] [ ] [ ]{ } { }FUKUCUM =++ &&&

5/23/2018 PASM

5/108

Equazione di equilibrio dinamico

[ ] [ ] [ ]{ } ( ){ }tFUKUCUM =++ &&&

Velocit nodali

Spostamenti nodali

Matrice di rigidezza

Forze esterne

Accelerazioni nodali

Matrice di smorzamento

Matrice di massa


5/23/2018 PASM

6/108

FORMULAZIONE DELLA MATRICE DI MASSA/1

Matrice di massa consistent: [ ] [ ] [ ]= dVNNM Te

[ ] [ ]

=

=

=

dVNdVNNdVNN

dVNdVNNdVNN

dVNNdVNdVNN

dVNNdVNdVNN

dVNNdVNNdVN

dVNNdVNNdVN

dVNNN

NNN

N

N

N

N

NN

dVNN T

2

1515131511

2

1515131511

1513

2

131311

1513

2

131311

15111311

2

11

15111311

2

11

151311

151311

15

15

13

13

11

11

000

000

000

000

000

000

000

000

00

0

0

00

Elementotriangolarepiano

simmetrica

sostanzialmente piena

5/23/2018 PASM

7/108


Matrice di massa lumped: la massa viene concentrata nei nodi in qualche modofisicamente accettabile (di solito ovvio per gli elementi con nodi nei vertici, menoovvio per quelli con nodi intermedi), in modo che risulti:

la struttura della matrice dimassa diagonale

m/3

m/3

m/3

= dVMj

j

m/4

m/4

m/4

m/4

[ ]

=

X

X

X

X

X

X

M

00000

00000

00000

00000

00000

00000

5/23/2018 PASM

8/108


La formulazione consistente produce errori minori in valore assoluto Le matrici consistente e lumped tendono a produrre rispettivamenteuna sovrastima ed una sottostima delle pulsazioni proprie La struttura diagonale pu risultare molto vantaggiosa in alcune soluzioniiterative (es. analisi di transitorio) in quanto non richiede inversione

-20

-15

-10

-5

0

5

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Modo proprio

Errorepercentu

ale

Consistent

Lumped

Trave appoggiata, 10 elementi

5/23/2018 PASM

9/108

OSCILLAZIONE LIBERA SISTEMA 1 G.D.L. NON SMORZATO

Sistema ad 1 g.d.l.

x

m

k

0=+ kxxm &&

( )tAtx sin)( =

( )

( )tAtx

tAtx

sin)(

cos)(

2=

=

&&

&

( )

m

kA

mkA

tkAtAm

n==

=

=+

0

0

0)sin()sin(

2

2

5/23/2018 PASM

10/108

OSCILLAZIONE LIBERA SISTEMA 1 G.D.L. NON SMORZATO

Sistema ad 1 g.d.l.

x

m

k

2

2

2

1

2

1

xkE

xmE

p

c

=

= & ( )( )tAtx

tAtx

sin)(

cos)(

=

=&

( ))(sin)(cos2

1 2222 tktmA +=

m

k

kmE

n==

==

2cost

( ) ( ) =+= 22 )sin(2

1)cos(

2

1tAktAm

=+=+= 222

1

2

1xkxmEEE pc &

=+= )(sin21

)(cos2

1 22222tAktAm

5/23/2018 PASM

11/108

OSCILLAZIONE LIBERA SISTEMA 1 G.D.L. SMORZATO

Sistema ad 1 g.d.l.

x

m

c k

0=++ kxxcxm &&&

tataeAeAtx 21 21)( +=

02 =++m

ka

m

ca

kmccmk

mc cr 2042

2

====

coniugatecomplesseaa

cc cr

21

,

0>

0 0.5 10

10

x t( )

t

5/23/2018 PASM

12/108

OSCILLAZIONE LIBERA SISTEMA 1 G.D.L. SMORZATO

Sistema ad 1 g.d.l.

x

m

c k

( )21

)sin()cos()(

=

+=

=

ns

ss

t

cr

tBtAetx

c

c

n

coniugatecomplesseaa

cc cr

21,

0

5/23/2018 PASM

13/108

ANALISI MODALE/2

Analizza le oscillazioni libere della struttura, in assenza dei carichi esterni

[ ] [ ] [ ]{ } ( ){ }tFUKUCUM =++ &&&

Effetto dello smorzamento solitamente molto piccolo

[ ] [ ]{ } 0=+ UKUM &&

x

m

c k

ns

nsn

hasiPer

mk

==

==

995.0%)10(1.0

1 2

Si propone di determinare le pulsazioni proprie di una struttura e le relativeforme modali.

5/23/2018 PASM

14/108

ANALISI MODALE/3

[ ]{ } [ ]{ } 0=+ UKUM &&Calcolo delle pulsazioni proprie

{ } { } ( )tU = sin

{ } { } ( ){ } { } ( )tU

tU

=

=

sin

cos

2&&

&

[ ]{ } ( ) [ ]{ } ( ) 0sinsin2 =+ tKtM

5/23/2018 PASM

15/108

ANALISI MODALE/4

Calcolo delle pulsazioni proprie

[ ]{ } ( ) [ ]{ } ( ) 0sinsin2

=+ tKtM

[ ] [ ]( ){ } 02 = MK

Sistema lineare omogeneo nelle incognite { }

[ ] [ ]( ) { }

=

=

soluzioni

soluzione

MK 0

010

det 2

5/23/2018 PASM

16/108

ANALISI MODALE/5

[ ] [ ]( ){ } 02 = MK

[ ] [ ]( ) 0det 2 = MK

( ) ( ) ( ) 0... 21

22

2

12

1

2 =+++++

nn

nnnaaaa

Radici

ni ......321

{ } { } { } { } { }ni ......321 Forme modali

5/23/2018 PASM

17/108

ANALISI MODALE/6

[ ] [ ]( ){ } 02 = MK i

n-1 equazioni indipendentin incognite

1 soluzioni

{ }

=

in

i

i

i

2

1

Le componenti della forma modale sono note ameno di una costante

Rappresentano solo la forma della deformata,non i valori effettivi degli spostamenti

Normalizzazioni tipiche

{ }[ ]{ }

=

=

1

1max

i

T

i

ij

M

5/23/2018 PASM

18/108

ANALISI MODALE/7

Struttura reale(continuo)

Modello ad EF(discretizzato)

pulsazioni proprie n gradi di libert

n pulsazioni proprie

Relazione ?

5/23/2018 PASM

19/108

ANALISI MODALE/8

Tipico andamento spaziale delle Forme modali

1 modo2 modo5 modo9 modo

1 solo elemento: rappresentazione pocoaccurata del campo di velocit ed

accelerazione


5/23/2018 PASM

20/108

ANALISI MODALE/9


-1.00E+00

0.00E+00

1.00E+00

2.00E+00

3.00E+00

4.00E+00

5.00E+00

6.00E+00

7.00E+00

8.00E+00

9.00E+00

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Modo proprio

Errorepercen

tuale

Modi calcolati in modoaccurato n g.d.l./2

5/23/2018 PASM

21/108

SIMMETRIA STRUTTURALE/1

Se si usano considerazioni di simmetria per ridurre le dimensioni di un modello,si

otterranno solo i modi propri le cui forme modali rispettano la stessa simmetria.

5/23/2018 PASM

22/108


Se si utilizza lassialsimmetria, si ottengono solo i modi con forma

assialsimmetrica

5m

=0.5 m

s=0.01 m

1 modo proprioDeformata assiale

f = 260 Hz

Modello conelementi piani

assialsimmetrici

5/23/2018 PASM

23/108


Se si utilizza lassialsimmetria, si ottengono solo i modi con forma

assialsimmetrica

5m

=0.5 m

s=0.01 m

1 modo proprioDeformata flessionale

f = 20 Hz

Modello conelementi trave

5/23/2018 PASM

24/108

UNIT DI MISURA/1

preferibile usare il sistema m.k.s

m

k

=

ms

mkg

m

N

=2

kgsskgms

mkg 11122 ==

m

k=

mms

mkg

mm

N

=2

kg

3

22 10

110001

sskgmms

mkg==

5/23/2018 PASM

25/108

ANALISI RIDOTTA/1

Nellanalisi ridotta, lo stato di spostamento, velocit ed accelerazione dellastruttura viene espresso in termini di un sottoinsieme dei nodi (Nodi Master).Gli spostamenti dei nodi rimanenti (Nodi Slave) sono quindi calcolati a partireda quelli dei nodi Master.Lanalisi ridotta pu essere applicata anche in capo statico, per ridurre lonerecomputazionale dellanalisi.

{ } { }

{ }

=S

M

U

UU { }

{ }{ }

=S

M

F

FF

[ ]{ } { }FUK =

g.d.l. Master

g.d.l. Slave

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

{ }{ }

=

S

M

S

M

SSSM

MSMM

F

F

U

U

KK

KK

5/23/2018 PASM

26/108

ANALISI RIDOTTA/2

[ ]{ } [ ]{ } { }[ ]{ } [ ]{ } { }

=+=+

SSSSMSM

MSMSMMM

FUKUK

FUKUK

{ } [ ] { } [ ]{ }( )MSMSSSS UKFKU = 1

[ ]{ } [ ][ ] { } [ ]{ }( ) { }MMSMSSSMSMMM FUKFKKUK =+ 1

[ ] [ ][ ] [ ]{ } { } [ ][ ] { }SSSMSMMSMSSMSMM FKKFUKKKK 11 =

{ } FUK M = { } [ ] { }FKUM 1

=

5/23/2018 PASM

27/108

[ ] [ ]

[ ] [ ]

{ }{ }

[ ] [ ]

[ ] [ ]

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

{ }{ }

=

+

+

+

S

M

S

M

SSSM

MSMM

S

M

SSSM

MSMM

S

M

SSSM

MSMM

F

F

U

U

KK

KK

U

U

CC

CC

U

U

MM

MM

&

&

&&

&&

La riduzione delle matrici di massa e smorzamento ai soli g.d.l. Masternon pu essere fatta in modo esatto, come per la matrice di rigidezza.Si usa pertanto una formula di riduzione semplificata ed approssimata

proposta da Guyan (Guyan reduction)

ANALISI RIDOTTA/3

Introducendo la suddivisione tra Master e Slave nellequazione diequilibrio dinamico si ottiene:

5/23/2018 PASM

28/108

{ } { } { } FUKUCUM MMM =++ &&&

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ][ ] [ ][ ] [ ]SMSSSSSSMS

SMSSMSSMSSMSMM

KKMKK

KKMMKKMM

11

11

+

+=

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ][ ] [ ][ ] [ ]SMSSSSSSMS

SMSSMSSMSSMSMM

KKCKK

KKCCKKCC

11

11

+

+=

Si ottiene in tal modo:

ANALISI RIDOTTA/4

5/23/2018 PASM

29/108

ANALISI RIDOTTA/5

Criteri di selezione dei g.d.l. Master (MDOF):

i MDOF devono essere in numero almeno doppio dei modi da estrarre

scegliere i MDOF nelle direzioni in cui si vuole analizzare le vibrazionidella struttura

scegliere i MDOF in punti della struttura caratterizzati da bassa rigidezzae/o elevata massa

scelta automatica: si basa sul rapporto:ii

iii

m

kQ =

Verifica qualit analisi: la massa ridotta deve differire da quella totale per non pi del 10-15% studio di convergenza al variare del numero di MDOF

5/23/2018 PASM

30/108

ANALISI RIDOTTA/6

Principali algoritmi di estrazione di autovalori ed autovettori (ANSYS) :

Richiede mesh finiBassaElevataElevataElevatoBassoPowerDynamics

Bassa

Bassa

Media

RAM

Bassa

Elevata

Bassa

Harddisk

Usa MDOFElevataMedio-piccoloTuttiReduced(Householder)

Elementi nondistorti

MediaElevatoBassoSubspaceiteration

Shell o shell+solid.Elementi distorti

ElevataElevatoElevatoBlockLanczos

NoteVelocitN g.d.l.modello

N modiAlgoritmo

5/23/2018 PASM

31/108

Potenziali applicazioni dellanalisi ridotta:

riduzione degli oneri computazionali dellanalisi

riduzione del numero di g.d.l. attivi nellanalisi modale, rispetto a quella

statica, pur utilizzando un unico modello

in modelli semplici, separazione delleffetto dei diversi g.d.l. nodali (es. inuna trave si possono analizzare separatamente i modi flessionali,estensionali, etc.)

ANALISI RIDOTTA/7

5/23/2018 PASM

32/108

COMANDI ANSYS/1ANALISI NON RIDOTTA

/SOLUANTYPE, MODAL Definisce il tipo di analisi richiesta

MODOPT, Method, NMODE, FREQB, FREQE, ,Nrmkey

- LANB Block-Lanczos (Default)- SUBSP Subspace- ..

N modi da estrarre(per SUBSP, al massimo n g.d.l./2)

Frequenza iniziale e

finale per la ricerca deimodi

OFF: forme modalinormalizzate su [M]

ON: forme modalinormalizzate al valore 1

Per Power Dynamics:MODOPT,SUBSPEQSLV,PCG

5/23/2018 PASM

33/108

COMANDI ANSYS/2ANALISI RIDOTTA

LUMPM, OPZ Attiva la matrice di massa Lumped

OFF: matrice consistent (default)

ON: matrice lumped (deafult per Power Dynamics)

/POST1SET,LIST Gli n modi richiesti compaiono come n substep del

Load step 1

SET,1,n Carica il modo n

PLDISP, PRDISP Rappresentano la deformata

5/23/2018 PASM

34/108


/SOLUANTYPE, MODAL Definisce il tipo di analisi richiesta

MODOPT, REDUC, NMODE, FREQB, FREQE, ,Nrmkey

M, Node, Lab1,

Nodo in cui mettere il MDOF

g.d.l. da usare come MDOF:-UX, UY, UZ

-ROTX, ROTY, ROTZ-ALL

SOLVE

5/23/2018 PASM

35/108


FINISH Esce dalla soluzione/SOLU Rientra nella soluzione per il passo di espansioneEXPASS,ON Attiva il passo di espansione

MXPAND, NMODE, FREQB, FREQE, Elcalc, SIGNIF

N di modi da estrarre(al massimo, tutti quelli indicati in MODOPT)

SOLVE

Frequenza iniziale e

finale per la ricerca deimodi

OFF: non calcola i risultati completi per gli elementi (default)ON: calcola i risultati completi per gli elementi

5/23/2018 PASM

36/108

OSCILLAZIONE FORZATA SISTEMA 1 G.D.L.

Sistema ad 1 g.d.l.

F(t)=F0cos(t)x

m

c k

( )tFkxxcxm =++ cos0&&&

( ) ( ) ++= tAetXtx stn sincos)(

21 == nsnm

k

22

2

2

0

21

1

+

=

nn

K

FX

=

2

2

1

arctan

n

n

( ) transttpertXtx > cos)(

5/23/2018 PASM

37/108

=2

2

1arctan

n

n

0 5 10 15 20 25 300

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0.01

0.05

0.1

Pulsazione forzante [1/s]

Angolodifase[]

Sistema ad 1 gdl

22

2

2

0

21

1

+

=

nn

K

FX

0 5 10 15 20 25 300

0.05

0.1

0.01

0.05

0.1

Pulsazione forzante [1/s]

Ampiezzaoscillazione[m]

Sistema ad 1 gdl

OSCILLAZIONE FORZATA SISTEMA 1 G.D.L.

5/23/2018 PASM

38/108

ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA

SCOPO: Valutare la risposta del sistema in presenza di una forzanteesterna di tipo sinusoidale ed ampiezza costante nel tempo.

F0(t)=A0 cos(t)

Su di una struttura, la forzante in generale costituita da una o pi forzeesterne, aventi tutte la stessa pulsazione, ma ampiezza e fase distinte.

F1(t)=A1 cos(t+)

5/23/2018 PASM

39/108

0 5 10 15 20 25 30

20

10

10

20

Forsa[N]

Forza applicata

0 5 10 15 20 25 30

0.04

0.02

0.02

0.04

0.06

Tempo [s]

Sposta

mento[m]

Oscillazione di un sistema con partenza

a riposo a t=0

Se si applica la forzante a partire dallistante t=0, con la struttura inizialmente

a riposo, la risposta mostra un transitorio iniziale, che si esaurisce dopo uncerto tempo, dopodich la struttura oscilla con ampiezza costante.

TransitorioAnalisi risposta armonica

F(t)=F0 cos(t)



5/23/2018 PASM

40/108


Ipotesi: comportamento lineare della struttura ([M], [C] e [K] costanti)

0 2 4 6 8 10 12

10

10

tempo (s)

Forza(kN)

0 2 4 6 8 10 12

10

10

x1

x2x3

tempo (s)

Spostamento(mm

)

x1

x3

x2

I vari g.d.l. della struttura vibrano con una legge del moto avente: andamento nel tempo di tipo sinusoidale pulsazione uguale a quella della forzante ampiezza e fase variabili da punto a punto


5/23/2018 PASM

41/108

{ } ( ){ } titii eifeeftF +== )sin()cos()( maxmax

[ ] [ ] [ ]{ } { })(tFUKUCUM =++ &&&


{ }

( )

( )

( )

+

+

+

=

jj tf

tf

tf

tF

cos

cos

cos

)(

max

2max2

1max1

=

tii

j

tii

tii

eef

eef

eef

j

max

max2

max1

2

1

tii eef = max


5/23/2018 PASM

42/108

{ }

tii

eeftF

=

max)(

tiieeuitU = max)(&

tii eeutU = max2)(&&

{ } ( ){ } titii

eiueeutU

+== )sin()cos()( maxmax

[ ] [ ] [ ]{ } { })(tFUKUCUM =++ &&&


[ ] } [ ] } [ ] } } tiitiitiitii eefeeuKeeuCieeuM =++ maxmaxmaxmax2

[ ] [ ] [ ] ii efeuCiMK maxmax2 =+

5/23/2018 PASM

43/108

[ ] [ ] [ ] ii efeuCiMK maxmax2 =+

[ ] iic efeuK maxmax =

{ } [ ] { } ici efKeu max1

max

=

ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MD

Principali tecniche di soluzione: Metodo diretto Metodo di sovrapposizione modale

Soluzione: metodo diretto (MD)

ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA MSM

5/23/2018 PASM

44/108

{ } { } ( )= =MPn

j

jj tYtU1

)(

{ } { } ( )=

=MPn

j

jj tYtU1

)( &&

{ } { } ( )=

=MPn

j

jj tYtU1

)( &&&&

ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM

Soluzione: metodo di sovrapposizione modale (MSM)

Propriet modi propri { }j i modi propri sono ortogonali rispetto alle

matrici [M] e [K]

{ }[ ]{ }

=

=

kjse

kjseM j

T

k

0

0

i modi propri costituiscono una base divettori linearmente indipendenti


5/23/2018 PASM

45/108

{ } { } ( )=

=1

)(j

jj tYtU{ } { } ( )

=

=1

)(j

jj tYtU &&{ } { } ( )

=

=1

)(j

jj tYtU &&&&

[ ] { } [ ] { } [ ] { } { })(tFYKYCYMj

jj

j

jj

j

jj =++ &&&

{ } [ ] { } [ ] { } [ ] { } { } { })(tFYKYCYM Tkj

jj

j

jj

j

jj

T

k =

++ &&&


[ ] [ ] [ ]{ } { })(tFUKUCUM =++ &&&


5/23/2018 PASM

46/108

{ } [ ] { } [ ] { } [ ] { } { } { })(tFYKYCYM Tkj

jj

j

jj

j

jj

T

k =

++ &&&


{ }[ ]{ } = = kjse

kjseM jTk

00 { }[ ]{ }

==kjsekjseK j

Tk

00

{ }[ ]{ } { }[ ] { } { }[ ]{ } { } { })(tFYKYCYM TkkkT

k

j

jj

T

kkk

T

k =++ &&&


5/23/2018 PASM

47/108


Ipotesi aggiuntiva: smorzamento proporzionale (di Rayleigh) o costante

{ }[ ]{ }

=

=

kjse

kjseC j

T

k0

0

[ ] [ ] [ ] [ ]IKMC ++=

{ }[ ]{ } { }[ ]{ } { }[ ]{ } { } { })(tFYKYCYM TkkkT

kkk

T

kkk

T

k =++ &&&

{ }[ ]{ } { }[ ] { } { }[ ]{ } { } { })(tFYKYCYM T

kkk

T

kj

jj

T

kkk

T

k =++ &&&

La matrice di smorzamento deve avereanchessa una forma che garantisca lanormalit rispetto ad essa delle formemodali.Non sono ammessi, ad esempio,

smorzatori localizzati.


5/23/2018 PASM

48/108

{ }[ ]{ } 1= kT

k M

{ }[ ]{ } { }[ ]{ } { }[ ]{ } { } { })(tFYKYCYM TkkkTkkkTkkkTk =++ &&&


Normalizzazione

{ }[ ]{ } kkkT

k YYM &&&& =

[ ] [ ]{ } 02

= kk MK

{ } [ ] [ ]( ){ } 02 = kkT

k MK

{ }[ ]{ } { }[ ]{ } 02 = kT

kkk

T

k MK

{ }[ ]{ } kkkkTk YYK 2=

{ }[ ]{ } { } { })(2 tFYYCY TkkkkkT

kk =++ &&&


5/23/2018 PASM

49/108

{ }[ ]{ } { } [ ] [ ] [ ]( ){ } =++= kT

kk

T

k IKMC

{ }[ ]{ } { } { })(2 tFYYCY TkkkkkTkk =++ &&&


{ }[ ]{ } { }[ ]{ } { }[ ]{ } ( )kkkT

kk

T

kk

T

k IKM 12 ++=++=

Sistema 1 gdl:

( )tmFxxxx

mkx

mcx nn =++=++ cos2 02 &&&&&&

{ }[ ]{ } kkk

T

k

C 2= ( )

k

k

kkk

1++=

( )tFkxxcxm =++ cos0&&&

{ } { })(2 2 tFYYY Tkkkkkkk =++ &&&


5/23/2018 PASM

50/108

{ } { } kT

kkkkkkk ftFYYY ==++ )(2 2

&&&

ti

kc

tii

kk efeeff k == max,

ti

kck

ti

kck

ti

kck

eYYeYiY

eYY

==

=

2&&

&

kckckkk fYi =+ 222


tikctikcktikckktikc efeYeYieY =++ 22 2

( ) +=

kkk

kckc

i

fY

222


5/23/2018 PASM

51/108

( )

22

2

2

2

22

21

2

+

=

=+

=

k

k

k

k

kc

kkk

kckc

f

i

fY


{ } { } { } tin

k

kck

n

k

ti

kck eYeYtUMPMP

==

==

11

)(

0 500 1000 1500 2000 25000

5

10

15

EXTERNAL FORCE FREQUENCY [Hz]

AMPLIT

UDE[mm]

RISPOSTA ARMONICA

2 3 4 5

|Y1c

|

|Y2c

||U|

ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - APPLICAZIONI

5/23/2018 PASM

52/108

0 5 10 15 20 25 30

30

20

10

10

20

30

tempo (s)

Forza(kN)

T T


Forzanti: le forzanti esterne agenti sulla struttura hanno generalmente unandamento nel tempo di tipo periodico, ma non armonico.

Per determinare il loro effetto sulla struttura quindi necessario: scomporre la forzante in una somma di funzioni armoniche (serie di Fourier) ottenere la risposta complessiva tramite la sovrapposizione degli effetti


5/23/2018 PASM

53/108

0 5 10 15 20 25 30

30

20

10

10

20

30

tempo (s)

Forza(kN)

T T

( )

=

++=

=

1

00

0

cos)(

2

h

hh thAAtF

T

( )

=++

Fn

h

hh thAA1

00 cos

ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA APPLICAZIONI


5/23/2018 PASM

54/108

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ordine armonica

Ampiezza[kN]

Andamento tipico delle ampiezze delle diverse armoniche eccitatrici con ilrelativo ordine h

Oss: al di sopra di un certo numero dordine lampiezzaAh divieneusualmente trascurabile.

nF

= 8 Armoniche non

considerate

ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA APPLICAZIONI


5/23/2018 PASM

55/108

0 5 10 15 20 25 30

30

20

10

10

20

30

tempo (s)

Forza(kN)

nB 1=

S S OS O C C O

Possibile verifica della corretta scelta di nF: confronto tra F(t) e

( )=

++=Fn

h

hh thAAtF

1

00 cos)('

nF = 1


5/23/2018 PASM

56/108

0 5 10 15 20 25 30

30

20

10

10

20

30

tempo (s)

Forza(kN)

nB 2=


( )=

++=Fn

h

hh thAAtF

1

00 cos)('

nF = 2


5/23/2018 PASM

57/108

0 5 10 15 20 25 30

30

20

10

10

20

30

tempo (s)

Forza(kN)

nB 3=


( )=

++=Fn

h

hh thAAtF

1

00 cos)('

nF = 3


5/23/2018 PASM

58/108

0 5 10 15 20 25 30

30

20

10

10

20

30

tempo (s)

Forza(kN)

nB 4=


( )=

++=Fn

h

hh thAAtF

1

00 cos)('

nF = 4


5/23/2018 PASM

59/108

0 5 10 15 20 25 30

30

20

10

10

20

30

tempo (s)

Forza(kN)

nB 5=


( )=

++=Fn

h

hh thAAtF

1

00 cos)('

nF = 5


5/23/2018 PASM

60/108

0 5 10 15 20 25 30

30

20

10

10

20

30

tempo (s)

Forza(kN)

nB 7=


( )=

++=Fn

h

hh thAAtF

1

00 cos)('

nF = 8

ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA - MSM - APPLICAZIONI

5/23/2018 PASM

61/108

{ } { } ( )=

=MPn

j

jj tYtU1

)( { } ( ) MPMn

j

jj nntYM

5/23/2018 PASM

62/108

{ } { } ( )=

=MPn

j

jj tYtU1

)( { } ( ) MPMn

j

jj nntYM

5/23/2018 PASM

63/108

{ } { } ( )=

=MPn

j

jj tYtU1

)( { } ( ) MPMn

j

jj nntYM

5/23/2018 PASM

64/108

{ } { } ( )=

=MPn

j

jj tYtU1

)( { } ( ) MPMn

j

jj nntYM

5/23/2018 PASM

65/108

{ } { } ( )=

=MPn

j

jj tYtU1

)( { } ( ) MPMn

j

jj nntYM

5/23/2018 PASM

66/108

0 500 1000 1500 2000 25000

2

4

6

8

10

12


AMPLITUDE[mm]

nM= 2

Banda passante

Condizioni da soddisfare: la massima armonica contenuta nella forzante deve risultare compresa nellabanda passante del modello

0Fn


5/23/2018 PASM

67/108

0 500 1000 1500 2000 25000

2

4

6

8

10

12


AMPLITUDE[mm

]nM= 5

Banda passante

Condizioni da soddisfare: la massima armonica contenuta nella forzante deve risultare compresa nellabanda passante del modello

0Fn

0> Fn nM


5/23/2018 PASM

68/108

Condizioni da soddisfare: il numero di modi considerati deve essere sufficiente per la convergenza

0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

10

12

180

200

250

Numero di modi propri considerati

Ampiezz

avibrazione[mm]

0 500 1000 1500 2000 25000

2

4

6

8

10

12


AM

PLITUDE[mm]

nM= 5

I modi propri di alta frequenza mantengono un contributoanche alle basse frequenze


5/23/2018 PASM

69/108


0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

10

12

180

200

250


Ampiezz

avibrazione[mm]

0 500 1000 1500 2000 25000

2

4

6

8

10

12


AM

PLITUDE[mm]

nM= 5

8


5/23/2018 PASM

70/108


0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

10

12

180

200

250


Ampiezzavibrazione[mm]

0 500 1000 1500 2000 25000

2

4

6

8

10

12


AM

PLITUDE[mm]

nM= 5

2


5/23/2018 PASM

71/108


0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

10

12

180

200

250


Ampiezzavibrazione[mm]

0 500 1000 1500 2000 25000

2

4

6

8

10

12


AM

PLITUDE[mm]

nM= 5

25

0>> Fn nM 05.1 > Fn nM

ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA MSM + MD - APPLICAZIONI

5/23/2018 PASM

72/108

Ulteriore requisito per MD e per MSM: il modello FEM deve essere costruito in maniera da rappresentare in

maniera sufficientemente accurata tutti i modi che danno un contributosignificativo alla risposta del sistema (tutti gli nM modi propri nel caso del

MSM)

ANALISI DELLA RISPOSTA ARMONICA SMORZAMENTO

5/23/2018 PASM

73/108

-damping (ALPHAD)

-damping (BETAD)-damping dip. materiale (MP,DAMP)

Constant damping ratio (DMPRAT) (Anal. arm. e anal. trans. con MSM)Constant damping ratio dip materiale (MP,DMPR) (Anal. armonica nonridotta )Modal damping ratio (MDAMP)

Element damping (applicabile con metodi particolari)

( )k

m

k

m

k

kk

kk

k

k

+++++=++= 1

COMANDI ANSYS/1ANALISI ARMONICA METODO DIRETTO COMPLETO

5/23/2018 PASM

74/108

/SOLUANTYPE, HARMIC Definisce il tipo di analisi richiesta

HROPT, FULL, .. Sceglie il tipo di analisi diretto completo

HARFRQ, FREQB, FREQE

Frequenza iniziale e finale per lanalisi

NSUBST, NSBSTP

N di step in cui suddividere lintervallo di frequenze da analizzare


5/23/2018 PASM

75/108

HROUT, Reimky, Clust, Mcont

- ON Stampa i risultati come parti reale ed immaginaria- OFF Stampa i risultati come ampiezza e fase

-OFF Step di frequenza equispaziati-ON Step di frequenza addensati attorno ai modi propri

-OFF Non stampa il contributo dei diversi modi

-ON Stampa il contributo dei diversi modiF, NODE, Lab, VALUE, VALUE2, NEND, NINC

Parti reale ed immaginaria della forza

SOLVEFINISH


5/23/2018 PASM

76/108

/POST26

NSOLESOL Definizione grandezze da estrarre dal databaseRFORCE

etc.

PRCPLX, KEYPRVAR

0 Stampa i risultati nella forma parte reale + parte immaginaria1 Stampa i risultati nella forma ampiezza + fase

PLCPLX, KEYPLVAR

0 Ampiezza1 Fase2 Parte reale3 Parte immaginaria

COMANDI ANSYS/4ANALISI ARMONICA METODO DIRETTO RIDOTTO

5/23/2018 PASM

77/108

/SOLUANTYPE, HARMIC Definisce il tipo di analisi richiesta

HROPT, REDUC, .. Sceglie il tipo di analisi diretto ridotto

HARFRQ, FREQB, FREQENSUBST, NSBSTPHROUT, Reimky, Clust, McontF, NODE, Lab, VALUE, VALUE2, NEND, NINCSOLVEFINISH

COMANDI ANSYS/5ANALISI ARMONICA METODO DIRETTO RIDOTTO

5/23/2018 PASM

78/108

/SOLUEXPASS, ON Passo di espansione

NUMEXP, NUM, BEGRNG, ENDRNG,

Numero di soluzioni da espandere (se ALL espande tutti gli step disponibili)

Range di frequenza sul quale effettuare lespansione delle soluzioni

EXPSOL, LSTEP, SBSTEP, TIMFRQ, Elcalc

SOLVEFINISH

COMANDI ANSYS/6ANALISI ARMONICA METODO SOVRAPPOSIZIONE MODALE

5/23/2018 PASM

79/108

/SOLUANTYPE, MODAL Analisi modale preliminareMODOPT, Method, NMODE, FREQB, FREQE, ,Nrmkey----------SOLVE

FINISH

/SOLU Analisi armonica con MSM

HROPT, MSUP, MAXMODE, MINMODE

N dordine finale (default e max.: NMODE) ed iniziale (default: 1) dei modi daimpiegare

HROUT, Reimky, Clust, McontF, NODE, Lab, VALUE, VALUE2, NEND, NINC

SOLVEFINISH

COMANDI ANSYS/7ANALISI ARMONICA METODO SOVRAPPOSIZIONE MODALE RIDOTTO

5/23/2018 PASM

80/108

/SOLUANTYPE, MODAL Analisi modale preliminare ridottaMODOPT, REDUC, NMODE, FREQB, FREQE, ,Nrmkey----------SOLVE

FINISH

/SOLU Analisi armonica con MSMHROPT, MSUP, MAXMODE, MINMODEHROUT, Reimky, Clust, McontF, NODE, Lab, VALUE, VALUE2, NEND, NINCSOLVEFINISH

/SOLU Passo di espansioneEXPASS, ONNUMEXP, NUM, BEGRNG, ENDRNGSOLVEFINISH

ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO

SCOPO: Valutare la risposta del sistema in presenza di forze o sollecitazioni

5/23/2018 PASM

81/108

esterne, generalmente di tipo non periodico, applicate abbastanzarapidamente da rendere non trascurabili gli effetti delle forze di inerzia.


Pu essere impiegato anche per valutare la risposta del sistema a forze o

5/23/2018 PASM

82/108

p g p psollecitazioni esterne di tipo periodico, in presenza di effetti non lineari.

Non linearit di contatto

F(t)=F0 cos(t)

Materiale elastico non lineare


5/23/2018 PASM

83/108

Principali tecniche di soluzione: Metodo di sovrapposizione modale (MSM)

Ipotesi: Struttura in campo lineare, con matrici [M], [C] e [K] costanti Matrice di smorzamento proporzionale o costante

Metodi di integrazione diretta (MID) Ipotesi:

Struttura oprante anche in campo non lineare Matrici [M], [C] e [K] anche non costanti Matrice di smorzamento qualsiasi


5/23/2018 PASM

84/108

{ } { } ( )=

=MPn

j

jj tYtU1

)(

{ } { } ( )tftFYYY kTkkkkkkk ==++ )(2 2 &&&

Soluzione della equazione relativa ad ogni modo con metodi passo-passo(Es. Runge-Kutta)

Soluzione: metodo di sovrapposizione modale (MSM)

ANALISI DI TRANSITORIO DINAMICO - MID

Metodi di integrazione diretta (MID): nesuna ipotesi preliminare sulla

5/23/2018 PASM

85/108

Lintervallo temporale in cui si vuole studiare il comportamento delsistema viene suddiviso in intervalli (passi) temporali successivi.

linearit del problema, n sulle matrici [M], [C] e[K]

{U(t)}

t

Noto lo stato del sistema(spostamenti, velocit, accelerazioni)al tempo tn-1 si calcola il nuovo statoal tempo tn (step-by-stepintegration).

tn-1

{U}n-1

tn

tn

{U}n

tn+1

tn+1

{U}n+1


Metodi di integrazione diretta (MID): nesuna ipotesi preliminare sulla

5/23/2018 PASM

86/108

Tra i metodi di integrazione diretta, rientrano due tipi principali dialgoritmi:

Algoritmi di tipo implicito: la soluzione al passo temporale n+1 ottenuta

tramite la conoscenza della soluzione al passo n e delle condizioni imposteal passo n+1 (Es.: metodo di Newmark)

Algoritmi di tipo esplicito: la soluzione al passo temporale n+1 ottenuta

tramite la conoscenza della soluzione e delle condizioni imposte al passo n(Es.: metodo delle differenze centrali)

linearit del problema, n sulle matrici [M], [C] e[K]

Metodo delle dif ferenze centrali (Esplicito)


5/23/2018 PASM

87/108

[ ] [ ] [ ]{ } ( ){ }nnnn tFUKUCUM =++ &&&Eq. di eq. dinamico al tempo tn (nota)

Si assume:

{ } { } { } { } { }

+

+

t

UU

t

UU

U nnnn 11

2

1&

{ }{ } { } { } { }

t

t

UU

t

UU

U

nnnn

+ 11

&&

{ } { } { }( )121 + + nn tt UUU &&&

{ } { }t

UUnn

+

2

11

{ }t

UUU nn

tt

+

&&&& 1

{ } { } { }2

11 2

t

UUUnnn

+ +


{ } { } { }


{ } { }

5/23/2018 PASM

88/108

[ ] [ ] [ ]{ } ( ){ }nnnn tFUKUCUM =++ &&&

{ } { } { } { }2

11 2

t

UUUU nnn

+

+&&

[ ]{ } { } { } [ ]{ } { } [ ]{ } ( ){ }nnnnnnn tFUKtUUC

tUUUM =++ +

++2

2 11211

Sostituendo:

{ }( ){ } [ ]{ }( ) [ ]{ } [ ] [ ] { }

[ ] [ ]2

22 1

2

1 tCM

UtCMUMUKtFt

Unnnn

n +

+

=

+

{ } { } { }t

UUU nn

+2

11&



5/23/2018 PASM

89/108

{ }( ){ } [ ]{ }( ) [ ]{ } [ ] [ ] { }

[ ] [ ] 2

22 1

2

1 tCM

Ut

CMUMUKtFt

Unnnn

n +

+

=

+

Se si fa in modo che [M] e [C] siano diagonali il calcolo immediato.

Stabilit:max

2

tMassima pulsazione propria del modello EF

Possibili stime t:( )( )

( )

2

1

1

211

+

ELt

Lalgoritmo risulta condizionatamente stabile, vale a dire che la stabilitdipende dal passo temporale prescelto.

Metodo di Newmark (Implicito)


5/23/2018 PASM

90/108

[ ] [ ] [ ]{ } ( ){ }1111 ++++ =++ nnnn tFUKUCUM &&&Eq. di eq. dinamico al tempo tn+1 (non nota)

Si assume: ( )( ) { }1,01 11 ++ ++ tUUUU nnnn &&&&&&

0 1

nU&&

1+nU&&

1/2

{ } { }( )2

1 nn UU &&&& ++



5/23/2018 PASM

91/108

Si assume:

{ } { } { } { } { }

+

++ ++2

1,0

2

1 211 tUUtUUU nnnnn

&&&&&

0 1/2

nU&&

1+nU&&

1/4

{ } { }( )2

1 nn UU &&&& ++



5/23/2018 PASM

92/108

[ ] [ ] [ ]{ } ( ){ }1111 ++++ =++ nnnn tFUKUCUM &&&

Eq. di eq. dinamico al tempo tn+1 (non nota)

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }

{ } { } ( ){ } { }( ){ } { } { } { } { }

+

++++

=++

++

++

++++

2

11

11

1111

2

11

tUUtUUU

tUUUU

tFUKUCUM

nnnnn

nnnn

nnnn

&&&&&

&&&&&&

&&&

Risolvendo per

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }{ } { } ( ){ } { }( )

{ } { } { } { } { }

=

++

=++

++

++

++++

nnnn

n

nnnn

nnnn

Ut

U

t

UUU

tUUUU

tFUKUCUM

&&&

&&

&&&&&&

&&&

12

1

1

2

11

11

1111



5/23/2018 PASM

93/108

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }

{ } { } { } { } { }

{ } { } { } { } { }

=

+

+

=++

++

++

++++

nnnn

n

nnnnn

nnnn

Ut

U

t

UUU

t

UUtUUU

tFUKUCUM

&&&

&&

&&&&

&&&

12

12

11

2

11

11

1111

[ ]{ } { } { } { }

[ ] { } { } { } { }

[ ]{ } ( ){ }11

1

2

1

211

12

1

++

+

+

=+

+

+

+

+

+

nn

nnnn

nnnn

tFUK

tUUt

UUC

Ut

U

t

UUM

&&&

&&&



[ ] [ ]

5/23/2018 PASM

94/108

{ } [ ] [ ]

[ ] ( ){ }

[ ] { } { } { }

[ ] { } { } { }

+

+

+

+

+++

+=

+

+ ++

nnn

nnn

nn

Ut

UUt

C

UUtUtM

tFKt

C

t

MU

&&&

&&&

22

1

12

1112

121

{ } FUK n 1=+

Risoluzione:

{ } [ ] [ ]FKUn

1

1

+ =

Oss.: se [M], [C] e [K] sono costanti,

la matrice anchessa costante

e pu essere costruita ed invertita

una sola volta.

K

11 2

+

Condizioni di stabilit:


1

5/23/2018 PASM

95/108

2

1

21

41

+

Allinterno del campo di stabilitlalgoritmo risultaincondizionatamente stabile,vale a dire stabile

indipendentemente dal passotemporale prescelto.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Condizionatamente stabile

Stabile

Instabile

Instabile

Esiste anche una regione in cuilalgoritmo risulta

condizionatamente stabile, conpasso limite:

4

2

1

2

2

+

t

Al variare di e si ottengono altri

algoritmi classici di soluzione:


1

5/23/2018 PASM

96/108

algoritmi classici di soluzione:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Stabile

Instabile

Instabile

2

1

0

=

=

Metodo delle differenzecentrali

21

4

1

=

=

Metodo dellaccelerazionemedia

2

16

1

=

=

Metodo dellaccelerazionelineare

In ANSYS i due parametri e sono

generalmente espressi in funzione dit t (TINTP)


1

5/23/2018 PASM

97/108

( )

+=

+=

2

1

14

1 2

generalmente espressi in funzione diun terzo parametro (TINTP):

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9


Stabile

Instabile

Instabile

=

==

2

14

1

0

=

==

505.0

2525.0005.0

Per default


Allinterno del campo di stabilit (incondizionata o condizionata), la soluzionetende a quella esatta, al tendere a zero di t.

5/23/2018 PASM

98/108

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Stabile

Instabile

Instabile

U

t

sln. esatta

stabile

t0



5/23/2018 PASM

99/108

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Stabile

Instabile

Instabile

U

t

sln. esatta

stabile

t1< t0



5/23/2018 PASM

100/108

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Stabile

Instabile

Instabile

U

t

sln. esatta

stabile

t2< t1

L = 10 m

x

y L = 10 mL = 10 m

x

y


Effetto del passo di integrazione incondizioni di stabilit incondizionata

5/23/2018 PASM

101/108

-2.00E-03

-1.50E-03

-1.00E-03

-5.00E-04

0.00E+00

5.00E-04

1.00E-03

1.50E-03

2.00E-03

0.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00 2.50E+00

Tempo [s]

Spostamentomezzer

ia[m]

0.213

2.66E-02

4.25E-03

t [s]

5050.02525.0

==

xx

100 N, 4.07466 Hz (risonanza), onda triangolare

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Stabile

Instabile

Instabile

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Stabile

Instabile

Instabile


Al di fuori del campo di stabilit, la soluzione mostra una rapida divergenza (ingenere con forti oscillazioni) da quella esatta, senza convergere suquestultima al tendere a zero di t.

5/23/2018 PASM

102/108

q

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Stabile

Instabile

Instabile

U

t

sln. esatta

stabileinstabile

L = 10 m

x

y L = 10 mL = 10 m

x

y


Effetto del passo di integrazione incondizioni di stabilit condizionata

5/23/2018 PASM

103/108

-5.00E-03

-4.00E-03

-3.00E-03

-2.00E-03

-1.00E-03

0.00E+00

1.00E-03

2.00E-03

3.00E-03

4.00E-03

5.00E-03

0 5 10 15 20 25

Tempo [s]

Spostamentomezzeria[m]

8.00E-02

4.00E-02

2.00E-02

1.33E-02

t [s]

51.0

25.0

==

100 N, 0.25 Hz, onda triangolare

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Condizionatamente stabi le

Stabile

Instabile

Instabile

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Condizionatamente stabi le

Stabile

Instabile

Instabile


Scelta del passo di integrazione temporale.

Procedura per valori indicativi frequenze in gioco

5/23/2018 PASM

104/108

F(t)

t

T

( )

=

++=

=

1

00

0

cos)(

2

h

hh thAAtF

T

Periodicizzazione della storia di carico

10


Andamento tipico delle ampiezze

5/23/2018 PASM

105/108

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ordine armonica

Ampiezza[kN]

nF = 7

Armoniche non

considerate


{ } { } ( )MPn

Metodo di sovrapposizione modale:

5/23/2018 PASM

106/108

{ } { } ( )=

=j

jj tYtU1

)( 0>> Fn nM

Tutti i metodi di soluzione:

30202

0

>

PFP

nnn

t

In ogni caso, a partire da questa prima stima, generalmente necessario unostudio di convergenza su nP e t.Situazioni che possono richiedere valori particolarmente ridotti di t:

fenomeni di contatto propagazione di onde elastiche (dimensioni elementi < 1/20 lungh. donda) non linearit geometriche, stress stiffening

INTEGRAZIONE RISPETTO AL TEMPO/2

Tipo diproblema Algoritmi implicitiAlgoritmi espliciti

5/23/2018 PASM

107/108

Campo nonlineare

Campo lineare

Generale

Necessari piccoli passitemporali per la

convergenza

Necessari passi temporalimolto piccoli per la stabilit

Convergenza non sempreassicurata per forti non

linearit

Verifiche di convergenzanon richieste

Soluzione tramite tecniche

iterative

Soluzione diretta ad ogni

passo

Possibile stabilitincondizionata; grandi passi

temporali

Stabilit condizionata;necessari passi temporali

molto piccoli

Inversione di matrici ad ognistep; elevato tempo di

calcolo per step

Nessuna inversione dimatrici; basso tempo di

calcolo per step

INTEGRAZIONE RISPETTO AL TEMPO/3

Statico Quasi statico Dinamico

Campo applicativo

5/23/2018 PASM

108/108

Strain rate [s-1

]

10110-2 104

Urti autovettureStampaggio

Urto proiettiliEsplosioni

Problemi standard

Comportamento statico materiale Effetti strain rate sul materiale

Metodi Impliciti

Metodi Espliciti

Possibili anche approcci misti Impliciti+Espliciti

pasm

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