patana - oocities · web viewต วอย างท 11 จงแสดงว าจ ด a(-4,3) ,...

หน้าที่ 1

จุดประสงค์เรขาคณิตวเิคราะห์เบ้ืองต้นและภาคตัดกรวย

1. หาระยะระหวา่งจุดสองจุด จุดกึ่งกลางระยะหา่งระหวา่งเสน้ตรงกับจุดได้

2. หาความชนัของเสน้ตรง สมการเสน้ตรง เสน้ขนาน เสน้ตัง้ฉากและนำาไปใชไ้ด้

3. เขยีนความสมัพนัธท์ี่มกีราฟเป็นภาคตัดกรวย เมื่อกำาหนดสว่นต่างๆของภาคตัดกรวยให้

และเขยีนกราฟของความสมัพนัธน์ัน้ได้4. นำาความรูเ้กี่ยวกับการเล่ือนแกนทางขนานไปใชใ้นการเขยีน

กราฟได้5. นำาความรูเ้ร ื่องเรขาคณิตวเิคราะหไ์ปใชใ้นการแก้ปัญหาได้


เรขาคณิตวเิคราะห์เบื้องต้น

1. ระยะห่างระหวา่งจุดสองจุด ถ้า P1(x1,y1) และ P2(x2,y2) เป็นจุดใดๆ บนระนาบการหาระยะระหวา่ง P1 และ P2 จะแยกออกเป็น 3 กรณีตาม

ลักษณะของจุด P1 และ P2 ดังน้ีกรณีท่ี 1 เมื่อ P P1 2 ขนานกับแกน X ( y1= y2)

Y P1(x1,y1) P2(x2,y2)

A(x1,0) 0 B(x2,0) X

จากรูป P P1 2 = AB ดังนัน้ P P1 2 = | x1- x2| = | x2- x1|

กรณีท่ี 2 เมื่อ P P1 2 ขนานกับแกน Y ( x1= x2)

Y A (0,y1) P1(x1,y1)

0 X B (0,y2) P1(x1,y1)

จากรูป P P1 2 = AB ดังนัน้ P P1 2 = | y1- y2| = | y2- y1|


กรณีท่ี 3 เมื่อ P P1 2 ไมข่นานกับแกน X และไมข่นานกับแกน Y

Y P2(x2,y2) จากรูป สามเหล่ียม P1P2R เป็นสามเหล่ียมมุมฉาก

จากทฤษฎีพธิากอรสั จะได้ P1(x1,y1) R(x2,y1) (P1P2)2 = (P1R)2 + (P2R)2

= | x1- x2| 2+ | y1- y2| 2

O X ดังนัน้ P P x x y y1 2 1 2

21 2

2 ( ) ( )

ทฤษฎีบทท่ี 1 ถ้า P1(x1,y1) และ P2(x2,y2) เป็นจุดสองจุดใดๆ บนระนาบแล้ว

P P x x y y1 2 1 22

1 22 ( ) ( )

ตัวอยา่งท่ี 1 จงหาระยะระหวา่งจุด P1(1,7) และ P2(-5,2)วธิทีำา P P1 2

2 21 5 7 2 [ ( )] ( )

= 61

7.8102หมายเหต ุ 61 เป็นคำาตอบที่ถกูต้อง แต่ 7.8102 เป็นค่าโดย

ประมาณ

ตัวอยา่งท่ี 2 จงหาพกิัดของจุด P บนแกน X ซึ่งอยูห่า่งจุด M (1,-2) และ N(3,5) เป็นระยะทางเท่ากัน

วธิทีำา ใหจุ้ด P บนแกน X มพีกิัด (x,0) จาก PM PN

( ) [ ( )]x 1 0 22 2 = ( ) ( )x 3 0 52 2

x x2 2 1 4 = x x2 6 9 25


(ยกกำาลังสองทัง้สองขา้ง) จะได้ 4x = 29 x = 29

4

ดังนัน้ จุด P คือ ( 294

, 0)

เน้ือพเิศษเพิม่เติม

การหาพื้นท่ีสามเหลี่ยมและรูปหลายเหลี่ยม

ถ้า A(x1,y1) ,B(x2,y2) , C(x3,y3) เป็นจุดยอดของสามเหล่ียม และจะได้พื้นที่ สามเหล่ียม

= |( x1y2+ x2y3+ x3y1) – (y1x2+ y2x3+ y3x1)|

หรอื เพื่อความง่ายต่อความเขา้ใจ อาจเขยีนได้ดังนี้

x1 y1 พื้นที่สามเหล่ียม = x2 y2

x3 y3 +x1 y1 + +

( เรยีงจุด (x1,y1) ,(x2,y2) , (x3,y3) ต้องทวนเขม็นาฬิกา)

ตัวอยา่งท่ี 3 จงหาพื้นที่สามเหล่ียม ซึ่งมจุีดยอดมุม (-2,-8) , (5,-1) และ (6,-4)

วธิทีำา 5 -1


พ.ท. = -2 -8 6 -4 5 -1

= | (-40+8-6) – (2-48-20) | = 14 ตารางหน่วย

แบบฝึกทักษะท่ี 1

1. กำาหนด A(0,-3) ,B(5,-3) , C(5,1) , D(1,-2) จงหา AB , BC , CD , AD ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………….……………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………2.. จงหาพกิัดของจุด P บนแกน Y ซึ่งอยูห่า่งจากจุด A(6,4) และ B(-3,5) เป็นระยะทางเท่ากัน

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….


…………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………… 3. จงหาพกิัดของจุด P บนแกน X ซึ่งอยูห่า่งจากจุด M(-1,-4) และ

N(5,4) เป็นระยะทางเท่ากัน…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………4. จงหาค่า K ซึ่งทำาใหจุ้ด A(K,2) หา่งจาจุด B(1.5) เป็นระยะทาง 5

หน่วย…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


……………….……………………………………………………………………………………………………

5. จงหาพื้นที่สามเหล่ียม ABC ซึ่งมจุีด A (-2,8) ,B(-6,1) และ C(0,4)

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………2. จุดกึ่งกลางระหวา่งจุดสองจุด

ทฤษฎีบทท่ี 2 ถ้า P( x ,y ) เป็นจุดกึ่งกลางระหวา่งจุด P1(x1-

,y1) และ P2(x2,y2) แล้ว

x x x

1 2

2 , y y y

1 2

2

ตัวอยา่งท่ี 4 จงหาจุดกึ่งกลางของ AB เมื่อกำาหนด A(-3,6) และ B(7,-4)วธิทีำา ให้จุดกึ่งกลางของ A(-3,6) และ B(7,-4) คือ ( , )x y

ดังนัน้ x

3 72

2 , y

6 4

21( )

ดังนัน้จุดกึ่งกลางคือ (2,1)


ตัวอยา่งท่ี 5 ถ้า P(7,4) เป็นจุดกึ่งกลางของสว่นของเสน้ตรงที่เชื่อมระหวา่งจุด A(6,8) และจุด B จงหา พกิัด ของจุด B วธิทีำา ใหพ้กิัดของจุด B คือ (x,y)

เน่ืองจาก P(7,4) เป็นจุดกึ่งกลางของ A(6,8) และ B(x,y)

จะได้ 7 = 62 x และ 4 =

82 y

(7x2) - 6 = x (4x2) - 8 = y 8 = x 0 = y

ดังนัน้ จุด B คือ (8,0)

เน้ือหาพเิศษเพิม่เติม

การหาจุดแบง่บนสว่นของเสน้ตรง

กำาหนดให ้ จุด P1(x1,y1) และ P2(x2,y2) เป็นจุด 2 จุด และ P(x,y) เป็นจุดบนสว่นของ เสน้ตรง P1P2 โดยท่ี |P1P| : |PP2| = m : n จะได้วา่

x = , y =

ตัวอยา่งที่ 6 กำาหนดจุด A(18,-7) และ B(-2,3) และ P(x,y) เป็นจุดแบง่เสน้ตรง AB ออกเป็นอัตราสว่น

3 : 2 จงหาจุด P(x,y)วธิทีำา ให ้ (x1,y1) = (18,-7)


(x2,y2) = (-2,3) m : n = 3 : 2

x = = = 6y = = = -1

ดังนัน้ จุดแบง่คือ (6,-1)

การหาจุดตัดของเสน้มธัยฐาน

ถ้า A(x1,y1) ,B(x2,y2) , C(x3,y3) เป็นจุดยอดมุมของสามเหล่ียม ABC ม ี P(x,y) เป็นจุดตัดของ เสน้มธัยฐาน แล้ว

x = , y = ดังนัน้ (x,y) = ( , )


1. จงหาจุดกึ่งกลาง AB เมื่อกำาหนด A(-2,-4) และ B(6,-6) …………….…………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


……………….…………………………………………………………………………………………………… ……………….…………………………………………………………………………………………………… 2. ถ้า P(-3,-4) เป็นจุดกึ่งกลางของสว่นของเสน้ตรงที่เชื่อมระหวา่งจุด

A(-6,2) และจุด B จงหา พกิัดของจุด B ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………… ……………….…………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………… ……………….…………………………………………………………………………………………………… 3. กำาหนดจุด A(-9,-16) และ B(5,10) เป็นจุดปลายของเสน้ผ่าน

ศูนยก์ลางของวงกลม จงหาจุดศูนยก์ลางและ ความยาวรศัมขีองวงกลม …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


……………….…………………………………………………………………………………………………… ……………….…………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………

4. จงหาพกิัดของจุด P (x,y) บน AB ที่ทำาให ้ APPB

13 โดยที่ A(-2,5)

และ B(10,13)……………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………….…………………………………………………………………………………………………… ……………….…………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………


……………….…………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………….……………………………………………………………………………………………………

3. ความชนัของเสน้ตรง

บทนิยาม ให ้ L เป็นเสน้ตรงที่ผ่านจุด P1(x1,y1) และ P2(x2,y2) โดยที่ x1 x2 , m เป็นความชนั ของ เสน้ตรง L ก็ต่อเมื่อ m = y yx x

1 2

1 2

ตัวอยา่งท่ี 7 จงหาความชนัของเสน้ตรงที่ผ่านจุด (1,3) และ (4,2) ให ้ (x1,y1) = (1,3) และ (x2,y2) = (4,2)

ความชนั y yx x

1 2

1 2

= 3 2

1 4

= 13

(1,3) หรอื ความชนั y yx x

2 1

2 1

= 2 3

4 1

= 13

(4,2)

0

ตัวอยา่งท่ี 8 จงหาความชนัของเสน้ตรงที่ผ่านจุด (2,3) และ (6,3)วธิทีำา


ความชนั = 3 32 8

= 0 (2,3) (6,3)

0

บนัทึก …………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………


…………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………


1. จงหาความชนัของเสน้ตรงที่ผ่านจุด (0,0) และ (3,7)…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………2. จงหาความชนัของเสน้ตรงที่ผ่านจุด (5,1) และ (9,5)…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………


3. จงหาค่า x ที่ทำาใหเ้สน้ตรงที่ผ่านจุด (5,2) และ (x,6) มคีวามชนัเท่ากับ 4

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………4. จงหาค่า y ที่ทำาใหเ้สน้ตรงที่ผ่านจุด (4,y) และ (-3,1) มคีวามชนัเท่ากับ 1

2…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


……………….…………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

5. จงหาค่า a ที่ทำาให ้ A(4,0) ,B(-4,6) และ C(a,-3) อยูบ่นเสน้ตรงเดียวกัน

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………….…………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………


……………….…………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………… 4. เสน้ขนาน

ทฤษฎีบท เสน้ตรงสองเสน้ที่ไมข่นานกับแกน Y จะขนานกันก็ต่อเมื่อ ความชนัของเสน้ตรงทัง้สองเท่ากัน

ตัวอยา่งท่ี 9 จงแสดงวา่เสน้ตรงที่ผ่านจุด A(4,5) และ B(1,2) ขนานกับเสน้ตรงที่ผ่านจุด C(2,8) และ (-2,4)วธิทีำา ความชนัของเสน้ตรง AB = 5 2

4 1

= 1 ความชนัของเสน้ตรง CD = 8 4

2 2

= 1 นัน่คือ เสน้ตรง AB ขนานกับเสน้ตรง CD

ตัวอยา่งท่ี 10 ถ้าเสน้ตรงที่ผ่านจุด (k,7) และ (-3,-2) ขนานกับเสน้ตรงที่ผ่านจุด (3,2) และ (1,-4) จงหาค่า kวธิทำา จะได้ ความชนั 7 2

3

( )( )k = 2 4

3 1 ( )


9x2 = 6(k+3) 18 = 6k+18 18 18

6 = k

0 = k ดังนัน้ k = 0

บนัทึก

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………


……………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

โทษสมบติั 10

1. จำาสตูรไมไ่ด้ 2. ใชส้ตูรไมเ่ป็น 3. ไมเ่น้นวธิี4. มแีต่หลอก

2. ชอบลอกคียส์ง่ 6. ปลงวา่ฉันโง่ 7. โมเมคำาตอบ8. ไมช่อบอัตนัย

9. ครูไมแ่ตกฉาน10 คิดอ่านไมเ่ป็น


1. จงแสดงวา่เสน้ตรงที่ผ่านจุด (-2,-4) และ (3,3) ขนานกับเสน้ตรง ซึ่งผ่านจุด (1,-2) และ (6,5)

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


…………….…………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………

2. จงหาค่า k ที่ทำาใหเ้สน้ตรง ที่ผ่านจุด A(-3,-1) และ B(2,3) ขนานกับเสน้ตรงที่ผ่านจุด C(-4,-5) และ

D(k,3)……………….…………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………….…………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………3. จงหาจุด A ซึ่งอยูบ่นแกน X ที่ทำาใหเ้สน้ตรงที่ผ่านจุด A และ

B(1,2) ขนานกับเสน้ตรงที่ผ่านจุด C(-1,3) และ D(2,-5)……………………………………………………………………………………………………………………


……………….…………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………… 4. จงหาค่า k ที่ทำาใหจุ้ด (k,6) , (-1,4) และ (-4,2) อยูบ่นเสน้ตรง

เดียวกัน…………………………………………………………………………………………………………………… …………….…………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. เสน้ตั้งฉาก ทฤษฎีบท เสน้ตรงสองเสน้ที่ไมข่นานกับกับแกน Y จะตัง้ฉากกันก็ต่อเมื่อผลคณูของความชนัของเสน้ตรง


ทัง้สองเท่ากับ -1

ตัวอยา่งท่ี 11 จงแสดงวา่จุด A(-4,3) , B(-1,2) และ C(2,11) เป็นจุดยอดของรูปสามเหล่ียมมุมฉากวธิทีำา ความชนัของด้าน AB เท่ากับ

3 24 1

= 13

ความชนัของด้าน AC เท่ากับ 3 114 2

= 4

3

ความชนัของด้าน BC เท่ากับ 2 11

1 2

= 3จะเหน็วา่ผลคณูของความชนัของด้าน AB และ ด้าน BC เท่ากับ -1นัน่คือ ด้าน AB ตัง้ฉากกับด้าน BCดังนัน้ จุดทัง้สามเป็นจุดยอดของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก


1. เสน้ตรง L มคีวามชนัเท่ากับ 34 เสน้ตรงซึ่งตัง้ฉากกับเสน้ตรง L จะมี

ความชนัเท่าไร…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………2. จงหาความชนัของเสน้ตรงที่ตัง้ฉากกับเสน้ตรงที่ผ่านจุด A(3,4) และ B(-3,-5)……………………………………………………………………………………………………………………


……………….…………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………3. เสน้ตรงซึ่งผ่านจุด (4,3) และ (-3,-5) ตัง้ฉากกับเสน้ตรงซึ่งผ่าน

จุด (-2,-3) และ (-8,2) หรอืไม่ …………………………………………………………………………………………………………………… …………….…………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………….…………………………………………………………………………………………………… 4. ถ้าเสน้ตรงซึ่งผ่านจุด A(8,y) และ B(5,-4) ตัง้ฉากกับเสน้ตรงที่

ผ่านจุด C(4,3) และ D(1,-2) จงหาค่า y


…………………………………………………………………………………………………………………… …………….…………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………….…………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………6. ความสมัพนัธซ์ึง่กราฟเป็นเสน้ตรง พจิารณาความสมัพนัธท์ี่มกีราฟเป็นเสน้ตรงดังนี้

1. ความสมัพนัธซ์ึง่มกีราฟเป็นเสน้ตรงท่ีขนานกับแกน Y กำาหนดให ้ L เป็นเสน้ตรงที่ขนานกับแกน Y และตัดแกน X ที่

จุด (a,0) ดังรูป Y L Y L Y

O (a,0) X O X (a,0) O X L

(ก) a > 0 (ข) a = 0 (ค) a < 0 ดังนัน้ ความสมัพนัธค์ือ r = { (x,y)RxR | x = a }


2. ความสมัพนัธซ์ึง่มกีราฟเป็นเสน้ตรงท่ีขนานกับแกน X กำาหนดให ้ L เป็นเสน้ตรงที่ขนานกับแกน X และตัดแกน Y ที่จุด (0,b) ดังรูป

Y Y Y

L (0,b)

O X L O X O X

L (0,b)

(ก) b > 0 (ข) b = 0 (ค) b < 0 ดังนัน้ ความสมัพนัธค์ือ r = { (x,y)RxR | y = b }

3. ความสมัพนัธซ์ึง่มกีราฟเป็นเสน้ตรงท่ีไมข่นานกับแกน X และไมข่นานกับแกน Y

ให ้ L เป็นเสน้ตรงที่ไมข่นานกับแกน X และไมข่นานกับแกน Y มคีวามชนัเท่ากับ m

และผ่านจุด ( x1,y1) ดังรูป Y

(x1,y1) (x,y) O X

ถ้า (x,y) เป็นจุดอ่ืนๆ บนเสน้ตรง L จะได้ m = y y

x x

1

1


ดังนัน้ความสมัพนัธซ์ึ่งมกีราฟเป็นเสน้ตรงที่มคีวามชนั m และผ่านจุด (x1,y1) คือ

{(x,y)RxR| y - y1= m(x-x1)}

ตัวอยา่ง 12 จงหาความสมัพนัธซ์ึ่งมกีราฟเป็นเสน้ตรง ตัดแกน X ที่จุด (-1,0) และตัดแกน Y ที่จุด (0,8)วธิทีำา ความชนัของเสน้ตรงนี้เท่ากับ = 8

ดังนัน้ ความสมัพนัธท์ี่ต้องการคือ {(x,y) R R | y –0 = 8(x+1)}

หรอื {(x,y) R R | y = 8x+8 }

ตัวอยา่ง 13 จากความสมัพนัธซ์ึ่งมกีราฟเป็นเสน้ตรง {(x,y) R R | y = 2x+6 } จงหาความชนัของเสน้ตรงน้ีวธิทีำา จดัสมการใหอ้ยูใ่นรูป y – y1 = m(x – x1) , m คือความชนัของเสน้ตรง

จะได้ y = 2(x+3)จะได้ m = 2

ดังนัน้เสน้ตรงน้ีมคีวามชนั เท่ากับ 2

ขอ้สงัเกต ถ้าสมการเสน้ตรงอยูใ่นรูป Ax + By + C = 0 จะได้ความชนัของเสน้ตรงเท่ากับ -

ตัวอยา่ง 14 ความชนัของเสน้ตรงที่มสีมการ 2x – 3y = 7

จดัสมการใหมจ่ะได้ 2x – 3y – 7 = 0 จะได้ A = 2 , B = -3

ดังนัน้ ความชนัเท่ากับ = =



1. จงหาความสมัพนัธซ์ึ่งมกีราฟเป็นเสน้ตรง ที่ขนานกับ แกน X และอยู่เหนือแกน X เป็นระยะ 2 หน่วย

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………2. จงหาความสมัพนัธซ์ึ่งมกีราฟเป็นเสน้ตรงที่ขนานกับแกน Y และอยู่ทางซา้ยแกน Y เป็นระยะ 3 หน่วย

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………


3. จงแสดงวา่เสน้ตรง y = 3x + 2 ขนานกับเสน้ตรง 3x - y - 4 = 0

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………4. จงแสดงวา่เสน้ตรง y + 5x + 8 = 0 ตัง้ฉากกับเสน้ตรง 5y = x + 3

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………


5. จงหาสมการเสน้ตรงที่ผ่านจุด (7,5) และขนานกับเสน้ตรง x + 2y + 12 = 0

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………6. จงหาสมการเสน้ตรงที่ผ่านจุด (3,2) และตัง้ฉากกับเสน้ตรง 3x – 2y + 12 = 0

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………


…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………7. จงหาความสมัพนัธซ์ึ่งมกีราฟเป็นเสน้ตรงที่ผ่านจุด (-1,0) และขนานกับเสน้ตรงซึ่งผ่านจุด (1,2) และ (-3,4)

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

8. จงหาความสมัพนัธซ์ึ่งมกีราฟเป็นเสน้ตรงและจุดทกุจุดบนเสน้ตรงอยู่หา่งจากจุด (6,0) และ (2,0) เป็น ระยะเท่ากัน

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


9. สมการเสน้ตรงที่ตัง้ฉากกับเสน้ตรง x – 7y – 11 = 0 และผ่านจุดที่เสน้ตรง x – 7y – 11 = 0 ตัดกับ เสน้ตรง 3x + 5y – 7 = 0

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………


…………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7. ระยะห่างระหวา่งเสน้ตรงกับจุด

ทฤษฎีบทท่ี 5 ระยะหา่งระหวา่งเสน้ตรง Ax + By + C = 0 กับ จุด (x1,y1) คือ

d =

ตัวอยา่ง 15 จงหาระยะทางระหวา่งเสน้ตรง 3x + 4y = 10 กับจุด (-2,-1)วธทีำา จาก d =

ในที่นี้ A = 3 , B = 4 , C = - 10 , x1 = -2 , y1 = -1

แทนค่าจะได้ d = = 4 ดังนัน้ ระยะหา่งระหวา่งเสน้ตรง 3x + 4y = 10 กับจุด (-2,-

1) เท่ากับ 4 หน่วย

ทฤษฎีบทท่ี 6 ระยะหา่งระหวา่งเสน้ตรง Ax + By + C1 = 0 กับ เสน้ตรง Ax + By + C2 = 0

เท่ากับ


ตัวอยา่ง 16 จงหาระยะหา่งระหวา่งเสน้คู่ขนาน x – 2y + 5 = 0 กับ x – 2y – 5 = 0วธิทีำา จากระยะหา่งเท่ากับ

ในที่นี้ C1 = 5 , C2= - 5 , A = 1 , B = -2 แทนค่า จะได้ = = 2 ดังนัน้ระหา่งระหวา่งเสน้คู่ขนานนี้ คือ 2 หน่วย


1. จงหาระยะหา่งระหวา่งเสน้ตรง 6x – 8y + 4 = 0 กับจุด (2,-3)…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


2. จงหาระยะหา่งระหวา่งเสน้ตรง 4x + 3y – 8 = 0 กับจุด (0,6)

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………3. จงหาระยะหา่งระหวา่งเสน้คู่ขนาน 3x + 4y –7 = 0 กับ 3x + 4y + 3 = 0

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………4. จงหาระยะหา่งระหวา่งเสน้คู่ขนาน 5x + 12y – 15 = 0 กับ 10x +24y + 9 = 0

……………………………………………………………………………


……………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

5. จงหาสมการเสน้ตรงที่ขนานกับเสน้ตรง 3x – 4y – 5 = 0 และอยู่หา่งจากเสน้ตรงนี้ 1 หน่วย …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


6. จงหาสมการเสน้ตรงที่ตัง้ฉากกับเสน้ตรง 12y = 5x – 7 และอยูห่า่งจากจุด (-1,2) เป็นระยะ 3 หน่วย

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..7. ถ้าเสน้ตรง 12x – 5y – 10 = 0 เป็นเสน้ตรงที่อยูก่ึ่งกลางระหวา่งเสน้ขนานคู่หนึ่ง ซึ่งอยูห่า่งกัน 8 หน่วย จงหาสมการของเสน้ขนานคู่น้ี

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

patana - oocities · web viewต วอย างท 11 จงแสดงว าจ ด a(-4,3) ,...

Documents