patrones y Álgebra · paso 1: anota los datos en la tabla y determina el patrón que relaciones...
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Patrones y Álgebra
¿QUÉ APRENDEREMOS ESTA UNIDAD? • OA 11: Resolver ecuaciones de primer grado con una
incógnita, utilizando estrategias como:
- Usando una balanza.
- Usar la descomposición y la correspondencia 1 a 1
entre los términos en cada lado de la ecuación.
- Y aplicando procedimientos formales de resolución.
- Representando estos números en la recta numérica.
• OA 10: Representar generalizaciones entre números
naturales , usando expresiones con letras y
ecuaciones.
Indicadores de logro
• Determinan soluciones de
ecuaciones que involucran
sumas, agregando objetos para
equilibrar la balanza.
• Expresan números en una forma
que involucre adiciones o
sustracciones con números y con
incógnitas.
• Resuelven ecuaciones,
descomponiendo de acuerdo a
una forma dada y haciendo
correspondencia 1 a 1.
• Aplican procedimientos
formales, como sumar o restar
números a ambos lados de una
ecuación, para resolver
ecuaciones.
Indicadores de logro
• Aplican procedimientos
formales, como sumar o
restar números a ambos
lados de una ecuación,
para resolver
ecuaciones.
• Usan letras para
generalizar la
propiedad conmutativa
de la adición y la
multiplicación.
• Describen la relación
ente los valores de una
tabla, usando una
expresión en que
intervienen letras.
• Representan la regla de
un patrón, usando una
expresión en que
intervienen letras.
Clase 1 Establecer relaciones entre las
cantidades dadas en una tabla de
valores.
Semana 05 de octubre
Recordemos
Patrón o regla de formación Secuencia numérica
53.000 - 53.800 - 54.600 - 55.400 - 56.200
32.000 - 30.500 - 29.900 - 27.500 – 26.000
Sumar 800 al númeor anterior.
Restar 1.500 al número anterior.
Patrones
Un patrón es una sucesión de signos (orales, gestuales,
gráficos, geométricos, numéricos, etc.) que se construye
siguiendo una regla o algoritmo.
13 10 7 4 1
-3 -3 -3 -3
a) 4, 9, 14, 19, …, P
b) 10, 30, 50, 70, …, Q
c) 111, 222, 333, 444, …, R
d) 100, 96, 92, 88, ..., S
e) 700, 650, 600, 550, ..., T
En cada una de las siguientes secuencias identifica el patrón
Patrones en tablas Página 92
Texto estudiante.
Primera ronda de saltos
Participantes
Cantidad de
saltos 4 4 + 2 = 6
Ejemplo: Una máquina demora 10 s en limpiar los primeros 8m de una pista de atletismo, 19 s en
16 m y 28 s en 24 m. Si esta tendencia se mantiene ¿cuanto demorará limpiar 64, de la
pista?
Paso 1: Anota los datos en la tabla y determina el patrón que relaciones los metros con la distancia.
Paso 2: Calcula el tiempo pedido y escribe la respuesta.
¿Cómo lo hago?
Un patrón es sumar
9 o, simbólicamente
+9.
Observa los siguientes patrones y completa las tablas de valores.
Posición Cantidad
1 1
2 3
3
4
5
6
Posición Cantidad
1 3
2 5
3
4
5
6
Posición Cantidad
1 6
2 11
3
4
5
6
Actividad Página 94
Texto estudiante.
Identifica un patrón en las siguientes secuencias y luego realiza las actividades.
Actividad a. Dibuja la figura que continúa en cada secuencia.
b. ¿Cuál es el patrón de formación que utilizaste en
cada caso?
c. Construye una tabla para cada secuencia que
relacione la posición y la cantidad.
d. ¿Cuántos elementos se necesitan para formar la
figura 7 en cada secuencia?
e. Explica tú procedimiento.
Página 94
Texto estudiante.
Semana 05 de octubre Clase 2
Calcular términos en tablas.
Observa el siguiente patrón y completa el valor desconocido.
Posición Cantidad
1 1
2 3
3 5
4 7
5 9
20 x
Y en esta, ¿Se aplicará la misma estrategia?
Posición Cantidad
1 1
2 3
3 6
4 10
5 15
10 x
En algunas tablas de valores se pueden establecer relaciones o reglas entre los números que se componen. Esta regla se puede escribir en lenguaje
matemático, lo que permitirá encontrar cualquier término de la secuencia.
Ejemplo: Escribe en lenguaje matemático una regla para encontrar cualquier término de
la secuencia 3,7,11,15…
Paso 1: Organiza los datos en una tabla y determina un patrón de formación.
Paso 2: Escribe una regla en lenguaje matemático que relacione la posición de cada término con su valor. Nombra por la letra n la posición del término.
Posición (n) 1 2 3 4
Valor del término 3 7 11 15
Relación 3 = 3 + 0
= 3 + 4 ∙ 0
7 = 3 + 4
= 3 + 4 ∙ 1
11 = 3 + 4 + 4
= 3 + 4 ∙ 2
15 = 3 + 4 + 4 + 4
= 3 + 4 ∙ 3
Posición del término (n) 1 2 3 4
Valor del término 3 7 11 15
Una regla posible
expresada en lenguaje
matemático es 3 + 4 ∙ (n -1)
n 𝑛 ∙ (𝑛 + 1)
2=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
100
Completa la tabla
Recuerda que n, corresponde a la
posición.
Determina los valores desconocidos
Regla para los valores de salida: 3 ∙ n - 2
n 1 2 3 4 5 6
Salida
Regla para los valores de salida: 2 ∙ n - 1
n 1 80 100 150 200
Salida 901
Regla para los valores de salida: n ∙ n - 1
n 1 2 5 6 7 10
Salida
Regla para los valores de salida: n ∙ n +1
n 1 2 3 20
Salida 101 901
Posición 1 2 3 4 5 … 𝑛
Patrón
Estrategia
1 vez
2 veces 3 veces
4 veces 5 veces … n veces
1 ∙ 2 2 ∙ 2 3 ∙ 2 4 ∙ 2 5 ∙ 2 𝑛 ∙ 2
Total de
cuadrados 2 4 6 8 10
… 2∙ 𝑛
Debes recordar que para crear reglas escritas en lenguaje matemático se deben relacionar la posición con los números de la tabla de valores. De esta manera podrás
saber cualquier valor de la tabla. Entonces, ¿Cuál es el valor de la posición 100?
Observa la siguiente tabla y descubre los números que relacionan la entrada y salida
Descubre la relación entre los números de entrada y salida y anota la estrategia.
Entrada (n) 1 2 3 4 9 10 20 30 50 100 Escribe la regla
Salida 3 6 9 12
Entrada (n) 1 2 3 4 9 10 11 12 30 Escribe la regla
Salida 4 7 10 13 16
Clase 3 Describir la relación entre los valores de una tabla
(conmutatividad de adición y multiplicación,
descomposiciones en sumas y productos), usando una
expresión algebraicas.
Semana 12 de octubre
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Lenguaje algebraico
Para representar información escrita en
lenguaje natural con lenguaje algebraico
puedes relacionar palabras de un uso
común con operaciones matemáticas.
Ejemplo:
• “más” y “aumentado” se relaciona con
adición (+).
• “diferencia” y “disminuyendo” se
asocian con la sustracción (-).
¿Cómo lo hago? Ejemplo: Representa con lenguaje algebraico cada enunciado.
• La mitad de un número más once.
• La diferencia entre el triple de un número y nueve equivale a tres.
Paso 1: Representa el número desconocido con una letra, en este caso con una 𝑥.
Paso 2: Escribe con lenguaje algebraico las partes de cada enunciado. • La mitad de un número más once.
Página 105
Texto estudiante.
𝑥
2 +11
• La diferencia entre el triple de un número y nueve equivale a tres.
3 ∙ 𝑥 − 9 = 3
Escriba en lenguaje algebraico cada una de las siguientes expresiones
• Tres veces x = • 6 menos t =
• P sumado con 4 = • m dividido en 2 =
• q menos 2 = • 9 menos h =
• El cociente entre 6 y a = • La suma de 8 y z =
• El producto entre 5 e y = • Cinco veces g menos 6 =
Página 106
Texto
estudiante. Une cada enunciado escrito en lenguaje
natural con su representación en lenguaje algebraico
El producto entre la mitad de un número y
veinticinco.
El cociente entre el doble de un numero y trece
es igual a dos.
El cuádruple de un número disminuido en treinta
equivale al mismo número más quince.
El triple de la suma entre un número y el doble de
él.
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Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica esta formada
por letras , números y operaciones y las
puedes utilizar para generalizar
relaciones ente números.
a b
1 6
2 12
3 18
4 24
6 ∙ 1 = 6
6 ∙ 2 = 12
6 ∙ 3 = 18
6 ∙ 4 = 24
AL multiplicar 6 por cada valor a se
obtiene el valor de b, por lo que una
expresión es 6 ∙ 𝑎 = 𝑏.
Aprendo • Propiedad conmutativa de la adición: el orden de los
sumados no altera la suma Ejemplo: 756 + 11 = 11 + 756.
• Propiedad conmutativa de la multiplicación: el orden de
los factores no altera el producto. Ejemplo: 18 ∙ 9 = 9 ∙ 18.
Una expresión numérica esta formada solo por números y
operaciones naturales.
Clasifica cada expresión como algebraica (A) o numérica (N)
𝑡 ∙ 11 =
7 + 2 ∙ 𝑥 =
x ∙ 2 =
46 ∙ 18 =
956 ∙ 𝑠 =
100 ∙ 53 =
3 ∙ 𝑚 =
37 ∙ 7 + 8 =
Representa con una expresión algerbraica lo pedido
El triple de un número:
El antecesor de un número n:
El sucesor de un número n:
Una secuencia de números pares:
Una secuencia de números impares:
Dos veces k más un tercio:
8 veces menos 9:
7 más la mitad de q:
Los dos tercios de la suma de cinco y m:
Cinco menos el cociente entre w y 7:
Clase 4 Valorizar
expreciones algebraicas
Semana 12 de octubre
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Valorización de expresiones algebraicas Para valorizar una expresión algebraica reemplazas las letras por
valores numéricos. Luego, si corresponde, realizas las operaciones.
Ejemplo: Calcula el valor numérico de la expresión 6a - 7b + 8c si a= 4, b= 3y c=8.
Paso 1: Remplaza las letras por su valor numérico y realiza las operaciones.
6a - 7b + 8c
6 ∙ 4 – 7 ∙ 3 + 8 ∙ 8 = 24 − 21 + 64 = 3 + 64 = 67. Paso 2: Escribes el resultado, en este caso el valor numérico de la expresión es 67.
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones. Considera m= 5, n =4 y p=8.
Página 54 Cuadernillo de
ejercicios.
Completa la tabla. Para ello, valoriza cada expresión.
𝑥 𝑥 + 8 (𝑥 + 3) ∙ 3 5 ∙ 𝑥 2𝑥 + 2 ∙ 2 4 ∙ 𝑥 − 5 ∙ 7 14 ∙ 𝑥 − 23
9
15
33
51
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Calcula el perímetro de cada triángulo y el área de cada rectángulo. Si a= 11, b= 15, p=9 y q = 16.
Encuentra el valor numérico de cada expresión algebraica. a = 2, b = 8, c = 1.
3𝑎𝑏 − 𝑏 + 2𝑎𝑏 + 3𝑏 5𝑎 − 3𝑏 + 𝑐 + (4b − 5a − c)
5𝑎 + 2𝑏𝑐 − 3𝑎 2𝑎 + 2𝑏
Luciana quiere cercar con alambre un
terreno. Para ello ha representado con un
dibujo la superficie que necesita cercar. Si
c = 3 y d = 6, para poner 4 corridas de
alambre, como mínimo ¿cuánto alambre
tendrá que comprar?
Clase 5 Expresar números en una forma que involucre adiciones o
sustracciones con números y con incógnitas; además,
representar y resolver ecuaciones a través de la metáfora de
la balanza equilibrada y correspondencia de 1 en 1.
Semana 19 de octubre
¿Qué es una ecuación?
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas en la que hay uno o varios valores desconocidos o incógnitas a los que,
por lo general, se les asigna una letra para representarlos.
Ejemplo: Si el doble de la edad de Andrea se e suman 6 años resulta 28.
Esto es: 2𝑥 + 6 = 28 2𝑥 = 28 − 6
𝑥 = 22 ∶ 2 𝑥 = 11
¿Qué es una ecuación?
Encierra aquellas expresiones que representan una ecuación
𝑥 − 2 = 8
Página 123
Texto del
estudiante.
𝑎: 6 = 54
15 + 3 = 18
𝑏 + 𝑏 + 5 𝑥 + 25 = 25
5𝑦 12𝑧 = 36
¿Cómo resolver una ecuación? Estrategia 1
Ejemplo: Resuelve la ecuación 15 = x + 7.
• Ubica en una balanza 15 cubos en el lado izquierdo y
7 cubos en el lado derecho.
Para construir tu balanza mira el siguiente link, https://www.youtube.com/watch?v=-JwnUxJKShI
¿Cómo utilizar una balanza?
Estrategia 1: Dibújala si lo
necesitas.
http://www.hoodamath.com/mobile/games/algebra-balance-equations/game.html
• Agrega algunos cubos al lado derecho de la balanza hasta
equilibrarla.
• Cuenta los cubos que agregaste al lado derecho de la balanza
para equilibrarla y luego asigna este valor a la incógnita de la
ecuación.
• Al agregar 8 cubos al lado derecho de la balanza esta se
equilibró, por lo tanto el valor de x es 8.
Practica: Completa las siguientes balanzas dibujando lo que falte, de
modo que queden equilibradas. Guíate por el ejemplo:
Resuelve Levantando tu
mano para responder
Representa la igualdad
Encuentra el valor de x en
cada caso.
¿Cómo resolver una ecuación? Estrategia 2: Correspondencia 1 a 1
Ejemplo: Representa el número 11 como : 3 por un número
natural menos 4”
• Determina el valor mediante la correspondencia 1 a 1 entre los
términos en cada lado de la ecuación. Luego el valor de x es
5.
Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando la Estrategia 2:
Correspondencia 1 a 1 4 ∙ 𝑥 + 1 = 21 4 ∙ 𝑥 + 1 = 4 ∙ 5 + 1 𝑥 = 5
6 ∙ 𝑥 + 2 = 20
11 ∙ 𝑥 + 3 = 25
7 ∙ 𝑥 = 28
9 ∙ 𝑥 + 5 = 59
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¿Cómo resolver una ecuación? Estrategia 3: Operación inversa.
Ejemplo: x + 160 = 1.000
• Despeja la x, el número que esta sumando
pasará al otro lado restando y viceversa. Si el
número esta multiplicando pasara al otro
lado de la ecuación dividiendo, es decir, se
utiliza la operación inversa.
𝑥 + 160 = 1.000
𝑥 = 1.000 − 160
𝑥 = 840.
Resulve en tu cuaderno
1. Escribe la ecuación representada en cada balanza. Considera que x
es la cantidad de cubos que contiene.
2. Resuelve las siguientes ecuaciones. Puedes utilizar la
estrategia que más te acomode.
Ecuación Procedimiento Incógnita
2 − 𝑏 = 42 𝒃 =
8 + 𝑑 = 23 𝒅 =
𝑔 − 16 = 12 𝒈 =
𝑥 − 12 = 21 𝒙 =
4𝑑 = 48 𝒅 =
Ecuación Procedimiento Incógnita
𝑡
5= 15
𝒕 =
𝑔
3= 9 𝒈 =
3𝑥 + 7 = 28 𝒙 =
𝑐
6− 12 = 10 𝒄 =
12 + 𝑥
2= 13 𝒙 =
5s − 2 = 33 𝒔 =
Clase 6 Encontrar incógnitas utilizando diferentes
estrategias.
Semana 19 de octubre
Recordemos que:
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas en las
que aparecen valores conocidos y una incógnita y que están
relacionados mediante operaciones aritméticas. La incógnita
representada generalmente por letras, es el valor que tenemos que
determinar. Ejemplo:
• 2p = 46
• 4m – 5 = 35 Resolver una ecuación es encontrar el valor de la incógnita que, al ser
sustituido en la ecuación y al realizar las operaciones indicadas, se llegue
a que la igualdad es cierta.
¿Cómo verificamos si nuestra respuesta es correcta?
Para verificar, solo debes remplazar la incógnita en
la operación y verificar si la igualdad es cierta.
Ejemplo:
2p = 46
p = 46:2
p = 23
Sustitución
2 ∙ 23 = 46
46 = 46
Por lo tanto, se cumple la igualdad ¡Muy bien!
Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones.
Ecuación Procedimiento Incógnita
2𝑥 + 17 = 5𝑥 + 8 𝒙 =
7𝑥 + 3 = 2𝑥 + 8 𝒙 =
3x + 12 = x + 46 𝒙 =
4(2𝑥 + 2) = 48 𝒙 =
9𝑥 + 3 = 5𝑥 + 3 𝒙 =
Elaborar una ecuación de primer grado para resolver problemas
1. Marcela colecciona estampillas. Patricia, su mejor amiga, le regala 10 estampillas de
Francia, quedando, finalmente con 19 estampillas ¿cuántas estampillas tenía originalmente Marcela? Expresa la ecuación y responde
Datos Operación (ecuación) Respuesta completa
Paso 1: marca lo esencial para resolver el problema.
Paso 2: Encuentra la ecuación y resuélvela.
X + 10 = 19 X = 19 -10
X = 9
Paso 3: Responde la pregunta utilizando los
datos esenciales. Marcela originalmente
tenía 9 estampillas.
Datos Operación
(ecuación)
Respuesta
completa
2. Durante le recreo de un colegio se ha organizado un campeonato de fútbol.
El equipo de 6° básico, comenzó el campeonato con cierta cantidad de punto,
los cuales dobló, pero por dejar sucio el patio fueron castigados con 2 puntos en
contra, quedando finalmente con 30 puntos, ¿con cuántos puntos partió el
campeonato el equipo de 6° básico?
3. Roberto es fanático de póker. Durante un juego tenía acumulado 158 puntos,
de los cuales pierde cierta cantidad como castigo, porque fue descubierto
realizando una trampa, quedando finalmente, con 48 puntos ¿Cuántos puntos
de castigo le descontaron a Roberto?
Datos Operación
(ecuación)
Respuesta
completa
Recuerdo la
incógnita
siempre
debe ser
positiva.
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4. En un concierto, hay el triple de hombres que de mujeres, si el total hay 24.896.
¿Cuántos hombres hay?
Datos Operación (ecuación) Respuesta completa
5.¿Qué edad tiene Felipe si sabemos que dentro de 5 años tendrá el doble de la
edad actual?
Datos Operación
(ecuación)
Respuesta
completa
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6. Beatriz gasta la cuarta parte del dinero que tenía en la
compra de un vestido. Si al salir de la tienda tiene $25.500
¿cuánto dinero tenía antes de comprarse el vestido?
Datos Operación
(ecuación)
Respuesta
completa
Hi
!
7. Camila compra un helado, papas fritas y una
bebida. Por las tres cosas paga $3.500. Sabiendo
que el helado cuesta el doble que la bebida y las
papas fritas la mitad que la bebida ¿cuánto pagó
por el helado, las papas y la bebida?
Datos Operación
(ecuación)
Respuesta
completa
8. Francisca tiene cierta cantidad de dinero, su mamá le
regala el doble de lo que tenía, quedando ahora con
$99.000 ¿cuánto dinero tenía originalmente?
Datos Operación
(ecuación)
Respuesta
completa
Hemos finalizado esta
unidad ¡Buena suerte!