Pauta Tercera Prueba de Ctedra5 de Diciembre de 2007

1. Sea W la regin contenida en la esfera de ecuacin x2 + y2 + z2 = 9,acotada superiormente por el plano z = 2, y acotada inferiomente por elplano z = 1.

i) [8 puntos] Exprese el volumen del slidoW mediante integracin doble,usando coordenadas rectangulares (no evale la integral).

Solucin:

Sea V1 el volumen de la regin acotada superiormente por la esfera e

inferiormente por el plano z = 1, V2 el volumen de la regin acotada

superiormente por la esfera e inferiormente por el plano z = 2. Entonces

vol (Q) = V1 V2

=

Z ZR1

(p9 x2 y2 1)dA

Z ZR2

(p9 x2 y2 2)dA

donde

R1 :8 x2 y

8 x2

8 x

8

R2 :5 x2 y

5 x2

5 x

5

1

Entonces

vol(Q) = 4Z 80

Z 8x20

(p9 x2 y2 1)dydx

4Z 50

Z 5x20

(p9 x2 y2 2)dydx

ii) [8 puntos] Exprese el volumen del slidoW mediante integracin triple,usando coordenadas rectangulares (no evale la integral).

Solucin:

vol(Q) = 4Z 80

Z 8x20

Z 9x2y21

dzdydx

4Z 50

Z 5x20

Z 9x2y22

dzdydx

iii) [8 puntos] Mediante un cambio de coordenadas apropiado, evale slolas integrales obtenidas en (i) o slo las obtenidas en (ii).

Solucin:

Evaluamos la integral doble usando coordenadas polares x = r cos , y =rsen :

vol(Q) = 4Z /20

Z 80

(p9 r2 1)rdrd 4

Z /20

Z 50

(p9 r2 2)rdrd

= 213(9 r2)3/2 r

2

2

80

213(9 r2)3/2 r2

50

= 213 4 + 9

2

83 5 + 9

=

203

2. [18 puntos] Sea Q la regin que est acotada superiormente por la superfi-cie de ecuacin x2+y2+z2 = 4, inferiormente por la superficie de ecuacinx2+y2+z2 = 1, y lateralmente por la superficie de ecuacin x2+y2 = z2.Considere la siguiente integralZ Z Z

Q

1

x2 + y2 + z2dV.

i) Establezca los lmites de integracin en coordenadas rectangulares

Solucin:

2

Sea f(x, y, z) = 1x2+y2+z2 . Tenemos queZ Z ZQ

f(x, y, z)dV =Z Z Z

f(x, y, z)

Q1

dV Z Z Z

f(x, y, z)

Q2

dV

donde Q1 es la regin acotada superiormente por la esfera de radio 2

y lateralmente por el cono, Q2 es la regin acotada superiormente por la

esfera de radio 1 y lateralmente por el cono. Entonces Q1 determina

el disco x2 + y2 2 en el plano:

Q1 :

px2 + y2 z

p4 x2 y2

2 x2 y

2 x2

2 x

2.

Analogamente, la regin Q2 determina el disco x2 + y2 12 en el plano:

Q2 :

px2 + y2 z

p1 x2 y2

q

12 x2 y

q12 x2

22 x

22 .

Por lo tanto:Z Z Zf(x, y, z)

Q

dV =Z Z Z

f(x, y, z)

Q1

dV Z Z Z

f(x, y, z)

Q2

dV

=

Z 22

Z 2x22x2

Z 4x2y2x2+y2

f(x, y, z)dzdydx

Z 2/22/2

Z 12x2

12x2

Z 1x2y2x2+y2

f(x, y, z)dzdydx

3

ii) Usando coordenadas esfricas, evale la integral.

Solucin:

Tenemos que x = sen cos , y = sensen, z = cos.

Entoncesx2 + y2 + z2 = 1z2 = x2 + y2

z =

2

2

En coordenadas esfricas tenemos que

x2 + y2 + z2 = 1x2 + y2 + z2 = 4

= 1

= 2

El ngulo de inclinacin que corresponden a la inter-

seccin del cono con la esfera = 1 est determi-

nado por la relacionz = cos.

Es decir, 2

2= 1 cos.

Por lo tanto =

4.

El ngulo que determina la esfera = 2 y el cono es tambien 4Por lo tantoZ Z Z

Q

1

x2 + y2 + z2dV =

Z 20

Z /40

Z 21

1

22senddd

=

Z 20

Z /40

Z 21

senddd

= (22).

3. Sea = , la curva orientada en sentido antihorario que une lospuntos (0, 1) y (0,1), donde es el arco de la curva x2 + y2 = 1, queune el punto (0, 1) con el punto (1, 0) , y es el segmento de recta queune el punto (1, 0) con el punto (0,1) .

i) [5 puntos] Dadas las funciones f (x, y) = xy, g (x, y) = x2 + 2, calculela siguiente integral de lnea:Z

(f (x, y) g (x, y)) ds

Solucin:

4

Tenemos

f (x, y) = (y, x)g (x, y) = (2x, 0)

(t) = (cos t, sent) , t h2, i.

EntoncesZf (x, y) g (x, y) ds =

Z2xyds

= 2

Z /2

cos tsentq(sent)2 + (cos t)2dt

= sen2t/2

= 1

ii) [5 puntos] Evale la integral Zxydx+ dy

Solucin:

Zxydx+ dy =

Z /2

(cos tsent (sent) + cos t) dt

=

Z /2

cos tsen2t+ cos t

dt

=

sen

3t3

+ sent

/2

=1

3 1 = 2

3.

iii) [8 puntos] Evale la integralZxydx+ dy

Solucin:

Tenemos que(t) = (t 1,t) , t [0, 1]

5

Entonces Zxydx+ dy =

Zxydx+ dy +

Zxydx+ dy

= 23+

Z 10

((t 1) (t) (1) + (1))dt

= 23+ (

t2

2 t

3

3 t)

10

= 32.

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