paulius drungilas - vilniaus universitetasdrungilas/destymas/algirgeom/skaidres/pradzia.pdf ·...
TRANSCRIPT
Geometrija: pradžia
Paulius Drungilas
Vilniaus universitetasMatematikos ir informatikos fakultetas
Paulius Drungilas Geometrija: pradžia
Dekarto koordinačių sistema tiesėje
Koordinačių sistema tiesėje:
Atkarpos AB ilgis:|AB| = |y − x |.
Paulius Drungilas Geometrija: pradžia
Dekarto koordinačių sistema plokštumoje
Atkarpos AB ilgis:
|AB| =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
Paulius Drungilas Geometrija: pradžia
Dekarto koordinačių sistema erdvėje
Atkarpos AB ilgis:
|AB| =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2.
Paulius Drungilas Geometrija: pradžia
Vektoriai
Vektorius – atkarpa, turinti kryp-tį. Žymėsime ~AB arba ~a. At-karpos AB ilgis vadinamas vekto-riaus ~AB ilgiu ir žymimas | ~AB|.
Vienakrypčiai vektoriai yra ly-giagrečiose tiesėse ir vienodųkrypčių.
Paulius Drungilas Geometrija: pradžia
Vektoriai
Priešingos krypties vektoriai yralygiagrečiose tiesėse ir priešingųkrypčių.
Lygūs vektoriai yra vienodo ilgioir vienakrypčiai.
Nulinis vektorius: pradžios taškas sutampa su pabaigos tašku.Žymimas O arba ~0. Kryptis neapibrėžta.
Paulius Drungilas Geometrija: pradžia
Vektorių suma
Tarkime, kad vektoriaus ~a pabaiga sutampa su vektoriaus ~bpradžia.
Vektorių ~a ir ~b suma, žymima ~a +~b,vadinamas vektorius, jungiantis pir-mojo pradžią su antrojo galu.
Paulius Drungilas Geometrija: pradžia
Vektorių sumos savybės
Vektorių sudėtis – komutatyvi(lygiagretainio taisyklė):
~a + ~b = ~b +~a.
Vektorių sudėtis – asociatyvi:
(~a + ~b) + ~c = ~a + (~b + ~c).
Paulius Drungilas Geometrija: pradžia
Vektorių sumos savybės
Nulinis vektorius O tenkina lygybę
~a +O = ~a.
Kiekvienam vektoriui ~a egzistuoja vienintelis vektorius ~b,tenkinantis sąlygą:
~a + ~b = O.
Vektorius ~b vadinamas priešingu vektoriui ~a ir žymimas −~a.(Vektorius ~AB yra priešingas vektoriui ~BA.)
Paulius Drungilas Geometrija: pradžia
Vektoriaus daugyba iš skaičiaus
Skaičiaus α ir vektoriaus ~a sandauga vadiname vektorių, žymimąα ·~a, kurio:1) ilgis lygus skaičiaus α modulio ir vektoriaus ~a ilgio sandaugai|α| · |~a|;
2) kryptis sutampa su vektoriaus ~a kryptimi, kai α > 0; priešingavektoriaus ~a krypčiai, kai α < 0.
Paulius Drungilas Geometrija: pradžia
Vektoriaus daugybos iš skaičiaus savybės
Tegul α, β ∈ R.
Asociatyvumas: (α · β) ·~a = α(β~a)
Distributyvumas: (α+ β) ·~a = α~a + β~a
Distributyvumas: α · (~a + ~b) = α~a + α~b
Teiginys 1 (Vektorių kolinearumo kriterijus)
Du vektoriai ~a ir ~b yra kolinearūs tada ir tik tada, kai vieną jųgalima tiesiškai išreikšti kitu, t. y. kai egzistuoja toks skaičiusα ∈ R, kad ~a = α~b arba ~b = α~a.
Paulius Drungilas Geometrija: pradžia
Vektoriaus koordinatės
~a(x0, y0, z0) – vektorius, kurio pradžia yra koordinačių pradžiostaškas O, o pabaiga – taškas (x0, y0, z0).
~a(x0, y0, z0) = ~b(x1, y1, z1) ⇐⇒ x0 = x1, y0 = y1 ir z0 = z1.
Paulius Drungilas Geometrija: pradžia
Vektorių suma ir daugyba iš skaičiaus
Tegul ~a(x0, y0), ~b(x1, y1) – bet kokie vektoriai, α ∈ R. Tada
~a + ~b = (x0 + x1, y0 + y1),α ·~a = (αx0, αy0).
Kolinearumas:
~a(x0, y0) ||~b(x1, y1) ⇐⇒ x0x1
= y0y1⇐⇒ x0y1 − x1y0 = 0.
Paulius Drungilas Geometrija: pradžia
Vektorių suma ir daugyba iš skaičiaus
Tegul ~a(x0, y0, z0), ~b(x1, y1, z1) – bet kokie vektoriai, α ∈ R. Tada
~a + ~b = (x0 + x1, y0 + y1, z0 + z1),α ·~a = (αx0, αy0, αz0).
Kolinearumas:
~a(x0, y0, z0) ||~b(x1, y1, z1) ⇐⇒ x0x1
= y0y1
= z0z1.
Paulius Drungilas Geometrija: pradžia
Atkarpos dalinimas duotu santykiu
Teiginys 2Tegul A(x1, y1, z1) ir B(x2, y2, z2) – atkarpos galai, taškasC(x3, y3, z3) priklauso šiai atkarpai ir dalija ją santykiu λ : 1(λ > 0), t. y. AC
CB = λ. Tada
x3 = x1 + λx21 + λ
, y3 = y1 + λy21 + λ
, z3 = z1 + λz21 + λ
.
Įrodymas~AC(x3 − x1, y3 − y1, z3 − z1) || ~CB(x2 − x3, y2 − y3, z2 − z3)
Be to, šie vektoriai yra vienakrypčiai, nes taškas C priklausoatkarpai AB. Todėl
Paulius Drungilas Geometrija: pradžia
~AC = t · ~CB, t > 0.
Tada| ~AC | = |t · ~CB| = t| ~CB|.
Vadinasi, t = | ~AC || ~CB|
= λ. Taigi
~AC = λ · ~CB.
Šioje vektorių lygybėje sulyginę atitinkamas koordinates, gaunamex3, y3 ir z3 išraiškas:
x3 − x1 = λ(x2 − x3) ⇒ x3 = x1 + λx21 + λ
.
Panašiai gauname y3 ir z3 išraiškas.
Paulius Drungilas Geometrija: pradžia
Atkarpos vidurio taško koordinatės
Išvada 3Atkarpos AB, A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), vidurio taško Ckoordinatės yra
C(x1 + x2
2 ,y1 + y2
2 ,z1 + z2
2
).
Paulius Drungilas Geometrija: pradžia