pauta evaluación 1 (sin puntaje)(1)
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UNIVERSIDAD DE CONCEPCINFACULTAD DE CIENCIAS FSICAS Y MATEMTICASDEPARTAMENTO DE MATEMTICA
GAJ/AAV/HPV/CMN/FOC/VGG
PAUTA EVALUACIN No1527147
Problema 1:Pruebe que lm
x0+x sin
(pix
)= 0.
Solucin.Sabemos que
sin : R [1, 1] 7 sin()
Luego,1 sin
(pi
x
) 1
Comox > 0 para x R+, tenemos
x 1 x sin
(pi
x
) x 1.
Aplicando lmites, se tiene
lmx0+
x 1 = 0
lmx0+
x 1 = 0
Por lo tanto, por el teorema del sandwich, se concluye que
lmx0+
x sin
(pi
x
)= 0.
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Problema 2:Considere la funcin
f(x) =
x3
1 + x2 , x < 0
x , 0 x 11
x 1 , x > 1.
1. Estudie la continuidad de f en R.2. Analice la existencia de asntotas verticales, horizontales y oblicuas.3. Estudie la derivada en el punto x0 = 0.Solucin.
1. f es continua en cada punto x < 0, 0 < x < 1 y x > 1 pues es uncouciente de dos funciones continuas.Queda por analizar los puntos x = 0 y x = 1.Para x = 0, notemos que
lmx0
f(x) = lmx0
x3
1 + x2 = 0
lmx0+
f(x) = lmx0+
x = 0.
Como los lmites laterales existen y son iguales, se concluye que
lmx0 f(x) = 0 = f(0).
As, f es continua en x = 0.
Para x = 1,
lmx1
f(x) = lmx1
x = 1
lmx1+
f(x) = lmx1+
1x 1 = +. ()
Luego, f no es continua en x = 1.
Por lo tanto, f es continua en todo R excepto en 1.
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2. Por (), la recta x = 1 es una asntota vertical de f cuando x 1+.Para las asntotas horizontales,
lmx+ f(x) = lmx+
1x 1 = 0,
lmx f(x) = lmx
x3
1 + x2 1x31x3
= lmx
11x3 +
1x
=
Luego la recta y = 0 es una asntota horizontal de f cuando x +.
Slo falta analizar la existencia de asntota oblicua cuando x ,
lmx
f(x)x
= lmx
x3
x+ x3 1x31x3
= lmx
11x2 + 1
= 1
luego,
lmx [f(x) 1 x] = lmx
[x3
1 + x2 1 x]
= lmx
[ x1 + x2
]= 0.
Por lo tanto, la recta y = x es una asntota oblicua para f cuandox .
3. Debemos estudiar el siguiente lmite:
lmx0
f(x) f(0)x 0 = lmx0
f(x)x
.
Considerando los lmites laterales se tiene
lmx0
f(x)x
= lmx0
x3
1+x2
x= lm
x0x2
1 + x2 = 0
lmx0
f(x)x
= lmx0
x
x= 1
Aunque los lmites laterales existen, stos son distintos, por lo tantolmx0
f(x) f(0)x 0 no existe, en otras palabras, f no es derivable en x0 = 0.
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Problema 3:Determine la ecuacin a la recta tangente a la curva
y3 xy2 6xy2 6 cos(xy) = 2,
en el punto de abscisa 0.
Solucin.x = 0 = y3 6 = 2 = y = 2.Derivando implcitamente la ecuacin se tiene:
3y2 dydx y2 2xy dy
dx+ 6
[y + xdy
dx
]sin(xy) = 0
de modo que para x = 0 e y = 2,
dy
dx= 13 .
Luego, la ecuacin de la recta tangente es y = 13x+ 2.
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Problema 4:Usando las reglas de derivacin calcule la derivada dy
dxde las funciones dadas
por
1. y = x 1x2 + 1 + arc cos
(x 1x2 + 1
)+ arcsin
(x 1x2 + 1
),
2. tan(y) = x, sabiendo que y ]pi2 ,
pi
2
[.
Solucin.
1.dy
dx= ddx
[x 1x2 + 1 + arc cos
(x 1x2 + 1
)+ arcsin
(x 1x2 + 1
)]
= ddx
[x 1x2 + 1
]+ ddx
[arc cos
(x 1x2 + 1
)]+ ddx
[arcsin
(x 1x2 + 1
)]
= ddx
[x 1x2 + 1
] 1
1(x1x2+1
)2 ddx[x 1x2 + 1
]+ 1
1(x1x2+1
)2 ddx[x 1x2 + 1
]
= ddx
[x 1x2 + 1
]
=ddx
[x 1] (x2 + 1) (x 1) ddx
[x2 + 1](x2 + 1)2
= (x2 + 1) (x 1) (2x)
(x2 + 1)2
= x2 + 1 2x2 + 2x
(x2 + 1)2
= x2 + 2x+ 1
(x2 + 1)2
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2. Derivando implicitamente la ecuacin, con respecto a x, se tiene
sec2(y) dydx
= 1dy
dx= 1sec2(y)
dy
dx= 1tan2(y) + 1
dy
dx= 1x2 + 1