Glava I11

RAVNOMERNA c-KONVEKSNOST OIUICZEVIH-PROSTORX

1. Definicija Orliczevih prostora

Funkciju M nazivamo Orliczevom ako su ispunjeni ovi uslovi: (i) M je definisana i nenegativna na [O,cn[, &i) M(O)=O i M(t) > 0 za t,O, (a postoji pozitivan broj p takav da je (1) funkcija P(t):=M(tlip) konveksna.

Neka je (S,V) prostor sa pozitivnom merom Y . Orliczev prostor L~ = L N ( V ) = $ ( s , y ) Eine merljive funkcije x : S + C sa osobinom

(2) Ss M(~X(S)~/~)V@S) < co za neko f > 0. Kvazinorma se uvodi jednakogdu

UXI\=IIXII, = inf{g zo: SS~(~x(s)~/y)v(ds) I 1 , X G L ~ .

Iz jednakosti ~lxllg = Il \xlPllp i Einjenice da je I1 .lip norma [49] sle- di da je ind(LM) 2 min(1 ,p).

Ako u (2) umesto "neko" napigemo "svako", dobidemo definiciju prostora % =XM(v). Poznato je [493 da j e .. ..

(3 ) $s~~(s)l~lxll)~(d~ = 1 ako x D XM, x f 0.

Da bi LM i - E M bili jednaki, dovoljno je da M zadovoljava uslov h2: sup {M(E~)/M(~) : t >o) < CO.

Odgovaraju6u klasu oznaEavamo sa (+). Poznato je da M b(A2) ako i samo ako postoji q E ]O,m[ takvo da je

(4 ~@t) s rq~(t), rxl, t ~ o . Klasu funkcija koje zadovoljavaju uslove (1) i (4) oznaEavamo

sa x(p, q) . Funkci ja M(t) = tP 'pripada klasi 8(p, p ) a odgovaraju6i Orliczev prostor jednak je L~ (ukljuEujubi i jednakost kvazinormi).

U vezi sa nekim geometrijskim svojstvima prostora L pojavljuje M

se funkcija FM koja se definige jednakostima BM(Q= 0 i 2 (5) FM(E)=E inf{v2~(t)/~(vt): l_<vsl/c, t>0], OcEB1.

OEigledno je FM(3 = 1 a da bi bilo FM(€) ) 0 za E70, neophodno je i dovol jno da 'M E (A2) . Lako se dokazuje da je

FM(Q = cr ako je M(t) = tq, r = max(2,q).

2. Procena modula c-konveksnosti

Uslovi pod kojima je prostor LM ravnomerno konveksan priliEno su kom~likovani. Da bi, na primer, L,,(O,w) bio ravnomerno konvek-

san, neophodno je i dovoljno da Me(%) i da je M ravnomerno kon- veksna [47: teorema 3) .( Ravnomerna konveksnostje pojaEanje konvek- snosti i oznaEava postojanje funkcije \Q : ]0,1[ +]0,1[ takve da je M((t+bt)/2)/(1-Y@)) I (M(t)+ ~@t))/2 za sve bclO,l[ i t70.) Za raz- liku od toga, ravnomerna c-konveksnost sledi ve6 iz uslova A2.

Teorema 1. Ako Orliczeva funkcija M zadovoljava uslov A2, onda je prostor $ ravnomerno c-konveksan. Vaii nejednakost

(1) ; rKFM(e), O S E 4 1 ,

gde je K pozitivna konstanta koja ne zavisi od E . Ovu teoremu valja uporediti sa rezultatom S.L.Trojanskog i R.

P. ale jeva[63: teorema 11 : Teorema (MTl. Neka su M i MW(t) : = sup { tu -M($ : 1120) Orliczeve

funkcije koje zadovoljavaju uslov A2. Tada postoji Orliczeva funk- cija N koja je ekvivalentna sa M i takva da je

b:(~,;€) 2KFM(t), OSESl.

Napominjemo da su funkcije M i N ekvivalentne ako postoje pozi- tivni brojevi c,d takvi da je

dM(ct) 2 N(t) z ~(t/c)/d za svako t > 0. Prelaskom na ekvivalentnu funkciju nejednakost (1) ne moie pre-

trpeti bitne promene. U stvari, moie se oslabiti samo konstanta K. 2 S druge strane, prostor L je ravnomerno konveksan, a LN(O,l), gde

2 je N(t) = max(t , 3t-2), nije ni strogo konveksan[l05] iako je funk- cija N ekvivalentna sa kvadratnom.

Teorema '1 sledi neposrednd iz sledebeg, negto jaEeg rezultata. Teorema 2. Neka ~€Lh(p,q), O<pslSq em, x, y 6 I@) i

2n 0 # J:= (lo !?+ eit311p dt/2f)l/~.

Tada je

(2) J - 11x11 2 K FM(lly~l/J) J,

gde je K pozitivna konstanta koja zavisi samo od p i q.

Radi dokaza bi6e nam potrebno nekoliko lema.

2r Lema 1. Neka je 0 <p ~ 1 , x, y 5 C i O#w = (IO 1x+e~~~l~dt/21T)~/~.

2 2 Tada je 1x1 k (1-ply1 /4w )w.

Dokaz. lo \y l 1x1 . Primenom Parsevalove formule na funkciju 2 2 t (1+ yeit/x)~/? dobi jam0 w r 1x1 (1+ p lyl /yx12)'/~. Kako je 1 S

UP, to je w r lxl(l+ PIYI~/~IXI~), tj. w 2 1xl+~l~l~/4lxl r I~I+PLYI~/~W (jer je 1x1 s w).

2 2' I V I c l ~ r t . Tmsmo. ? r e m a n r p t h ~ d n o m . w > lvl + ~ l x l /4lvL Zat0 je

2 2 2 w-\XI z lyl-lxl+plxl /4lyl 2 p(\yl-lxl+lXl /41~1) = ~(21~1-hrl) /41y 1 1 PIYI/~ 2

2 PI91 /4w. !m - - - - - - - Lema 2. Neka su p,x,y,w kao u lemi 1. Ako je funkcija M(t - l/~)

konveksna, onda je 2 2 M(4 -MOxl) 2 P 191 M(w)/4w2.

2 2 Dokaz. Neka je v= 1-p(yl /4w . Xako je OsvSl, to je M&t)S vPM(t) za svako tzO. S obzirom na to i lemu 1 imamo

2 2 2 ~ 0 x 0 4 vPn(4 5 (1-P IYI /4w NO. EI

Lema 3. Neka je M Orliczeva funkcija. Tada je (sa prethodnim oznakama)

Dokaz. Nejednakost je trivijalna ako je lyl/d s w , jer je tada

M - 0 Neka je lyl/d > w. Stavimo v= lyl/wd, t = w. Tada je l v l d i, po definiciji funkcije FM,

2 2 ~ ~ 1 1 1 L a. v MM/MW = I~I~M(~)/w~MLYv~).

Lena 4. Reka je O c p ~ l ~ q < a , , r=max(2,q), ~6E(~,q) i 2 OLE,8 < 1. Tada je (3 M(Bt)2eqM(t), (a BM(0€)s8 PM(€) i 65)

I.. ._ FM(ee) L erpM(&)*

Dokaz. Pqva nejednakost sledi iz (1.4). Da bismo dokazali druge dve, koristimo se jednako86u PM(8&) = min(b,c), gde je

b=~~inf{v~M(e;t)/M(vt): lsvsl/~, t,03, 2 2 c = E inf {v2~@)/~(vt): 1 +v SI/B , t > 01.

2 2 OEigledno j e c = E PM(€r) i zato je FM(Be) s E FM(0); time je dokaza-

na nejednakost (2). Iz (i) dobijamo dve nejednakosti: b 2 eqpM(~) i 2 2 FM(9)l 8'. Kako je t 2 FM(&), to je c = E FN(B) 1 pM(t)er i, dakle,

min(b,c) 2 9'FM(t). IXI

Lema 5. Reka su p, M, x, y, J kao u teoremi 2 i 2A

u(s) = (so \ x(s)+eity@) .)IP dt/2~)'/~. Tada je J iz \\w\\ . Dokaz. ~ e k a Je EiO = M(tlip). Kako je ll.llN norma i llullP = \\wpflN,

imamo 2n it p IIWIIPS SO \llx+e 91 \lN dt/2X = J ~ . .

Dokaz teoreme 2. Dokaza6emo nejednakost

(3 ) Ilwll-IIxU r K FM(\\yll/ll~ 11) Ilwll, pri Eemu je w@) kao u lemi 5. Tada 6e biti J - X W - x 2

K PM(ll~ll/llwll) llwll 2 KFM(\1AVJ) J, pri Eemu smo se koristili kvazi-

konveksnoZdu funkcije FM (lema 4(li)) i lemom5;-DaItle,-neJednakost (2) sledi iz (3).

Da bismo dokazali (3), moiemo uzeti da je ]lw11= 1. Tada je, na osnovu lema 2 i 3,

-1 2 M(w6)) -M(lx(s)l) z 4 P FM(&(M$(s)I/d)-Mbr(s)))

za sve s 6 S, d e 1 O,l]. Ako stavimo d =\~y11/2~'~ i integralimo po s, dobibemo , uz korigbenje ne jednakosti ~(2l'~t) Z 2 MO i jednakosti

S obzirom da je x w = 1 iz (1.3) i leme 4(i) dobijamo nejedna-

11x1~ + Ss M(eQ)DVlls), 5to sa prethodnim rezultatom daje

-1 2 ~(~-IIXII) r 1-11x14 2 4 P P~(Z-~/PIIYIO 2 KF~OYIO,

gde je K = ~ ~ 2 - ~ / ~ / 4 . Ma kraju je korigdena lema 4(3. Yeorema je dokazana.

Primenom lema 2 i 5 moie se dokazati da je prostor %(Y) stro- go c-konveksan nezavisno od svojstava funkcije M pa, dakle, i kad M ne zadovoljava kslov A2. S druge strane, ako M &(A2), onda se na standardan naEin p9: str. 92; 57: str. 138-1393 moie dokazati da EM(O,m) sidrii izomorfnu kopiju prostora 6 . Iz toga sledi da u prostoru %(O,oo) postoje bezuslovno konvergentni redovi sa proiz- voljno sporo opadajudir Elanovima i, prema teoremi 1.5, on nije izomorfan nijednom ravnomerno c-konveksnom prostorn.

3. Prostori sa megovitim normama

Neka su (S,y) i (Q,t) prostori sa pozitivnim 6-konaEnim merama i M,Q - Orliczeve funkcije koje zadovoljavaju uslov d2. Prostor LM 9 = % Q (Vx ' t ) Eine merljive funkcije f: S X R + C koje imaju

9

slededa svojstva: (2 Za svako w a Q funkcija fur@) := f (S ,@, s IS, pripada prostoru

$(Y) (n) Funkcija xQ:= I\f,,,l\ M, ~ € 5 2 , pripada prostoru L@ (z). U sluEaju kad su M i4 konveksne funkcije pr0stor.L uveo je, M ,Q

na ne3to drukEiji naEin, A. C. Zaanen [log: str. 4731. Slededa pro- pozicija pokazuje da je LM + linearan prostor. (Linearnost nije ukl juEena u def iniciju prostora. )

Prop0zici;ja 1. Ako f, g a LM .Q , onda f+g 6 LMSg.

Dokaz . Kako je Uf,+g,llM K ( llfw\b + ll&lIM), dovol jno je dokazati

da je funkcija z(ur) := Ilfur+a merljiva, Sto-se-svodf na dokaz mer-

ljivosti skupa Rd=(weR: z(w)zd) , 0( > 0. Iz definicije norme u $

i uslova h;! sledi da je %={wGR: G(w,d) > 11, gde je G(W,&) = SS M(I~(S ,*+ gb ,ur)i/d) ~(ds).

Ovde je podintegralna funkcija merljiva na SXR , jer su takve i funkcije f, g. To znaEi da je funkcija w n G(w,&) merl jiva na Q , iz Eega i sledi merljivost skupaRd. 5

Ako f e$ i x(@= I\%, wcSL , onda 6emo pisati 3

Uf Il = llf U N ,) = Ilxll* . Lako se dokazuje da je ovom jednakoH6u definisana kvazinorma upro- atom $ (uz uobiEajenu identifikaciju funkcija koje se razlikuju

9

same na skupu mere nula). Posebno, ako je M@)=tP, #@)stq, Ocp,qcrn,

onda je L = L~~~ i BfUM,d M,(P

= ( sp,,, 11; 2eu3 ll/q = : nf u ~ 9 9 '

Neka geometri jska svo jstva prostora LP1 q, posebno ravnomernu konveksnost, prouEavali su E. ~ . ~ c ~ h a n e [90]i A. Benedeck i R.Pan- zone [4]. Oni su dakazali da je LPvq ravnomerno konveksan ako je

l<p,q<rn. Iz rezultata koji se dokazuju u ovoj taEki sledi da je L~~~ ravnomerno c-konveksan ako je Ocp, q cco.

Da bismo ocenili modul b,($ ; ) uvodimo funkci ju F na sle- ,Q M ,Q de6i naEin: FM,) (2) = 0, .

F ) = i f F~(V)()/V: s , t70), OCjSl.

Teorema 3. Neka su M i + Orliczeve funkcije klase (A2). Tada

je prostor $ ravnomerno c-konveksani vaii nejednakost ,IP (1) S,(L~,+ i E ) L KFM,q(~), 0 st ~ 1 ,

gde je K pozitivna konstanta koja zavisi samo od M i 4 . Dokaz. Izaberimo p i q tako da je O<p slsq e r n i M,QE~(~,~).

Aeka je 0 <L ~ 1 , f, ge%,* , 11g11= & i A 1 za sve ACT. Tada je llJlla S1 , gde je

2r J(@~ =(2~)-~5~ Rf,,,+ JtgUlli dt , U T E 52 .

Neka je x(w)= Ilf,,,llM, y(@= llg,,,lk. Prema teoremi 2, imamo

J(d - ~(4.2 KF~(Y(~.')/J(w)) JQ, ~ € 9 .

(Tokom dokaza K oznaEava pozitivnu konstantu koja zavisi samo od p, q i nije ista u svim pojavljivanjima.) Odavde dolazimo do nejed- ne l rns t i

2 KFM,9(4)(Pb(w)/d) -$CI(w))),- -. -

gde je d = 2-I/p llyl\j. (Pogledati dokaze lema 2 i 3.) Integraledi ovu nejednakost i rasuduju6i kao pri dokazivanju teoreme 2, dobija-

Ovim je dokazana nejednakost (1). Prostor $ je ravnomerno c-kon- ,q veksan jer je FMa6(€) 7 0 pri OcE<l.IBI . -

Posledica 1. Neka je O<p,q<a, . Tada je \(L~,~;E) Z K er, gde je r=max(2,p,q).

4. Kotip Orliczevih prostora

Neka je F nenegativna funkcija na intervalu [0, b [ , b >O. Kaie se da je kvazinormirani prostor X kotipa F ako postoje c e j0,b[ i K <a, takvi da iz uslova

sledi ,, ,

Ovde Yk oznaEava k-tu Rademacherovu funkci ju: 'Pk(t)= sign sin@%t). Navedena definicija kotipa uzeta je iz 1203. Neke informacije o kotipu normiranih Orliczevih prostora moguBe

je dobiti primenom teoreme (MT) (taE. 2) i slededeg rezultata T. Pigiela i G. Pisiera 1201.

Teorema (FPl. Normiran prostor X je kotipa Y(x;.).

Kako su izomorfni prostori istog kotipa, teoreme (MT) i (FP) daju slededu informaciju: Ako funkcije M i M' zadovoljavaju uslov A2, onda je normirani prostor LM kotipa FM. Ovo se ne moie pri-

2 meniti, na primer, na prostor L', koji je kotipa E . Teorema 4. Ako je M bilo kakva Orliczeva funkcija, onda je pro-

stor LM kotipa PM.

Primetino da je zakl juEak trivijalan ako M (%), jer je u tom sluEaju F#(E) = 0 za al0,1[.

Kako je F;(E)Z eq ako ME^(^,^), 2s;q cw, iz teoreme 4 dobi- jamo slededi rezultat, koJi su u sluEaju p= 1 dokazali Z. G.Gor- gadze i V. I. Tarieladze [28].

Posledica 2. Neka M ea(p,q), Ocps2sq<w. Tada je prostor $ kotipa cq.

Teorema 4 se moie izvesti iz teoreme 3. Upotrebidemo, mebutim,

jedan sliEan, ali opstiji postupak, koji se moie primeniti i na neke druge klase prostora. -

Propozicija 2. leka je X kvazinormiran; indX7O. Pretpostavimo da kvazikonveksna funkcija 9: [0,1]+ [0,a [ zadovoljava uslov

2B (1) *,yeX, \\x+eitr\\dt 5 2 x j llx\l+P(jiy\~ 51.

Tada je X kotipa F. Teorema 2 pokazuje da se u sluEaju Orliczevih prostora mofe uze-

ti F = KFM. Prema tome, teorema4 je posledica teoreme 2 i.propo- zicije 2.

Dokaz propozicije. OznaEimo sa LX skup svih funkcija f: [O,~-?X za koje je skup (f (t): te [0,1]) konaEan. Jednakosbu

X X definisana je kvazinorma u L . Lako je videti da je ind(L )=ind(X>

Dokaza6emo da pod uslovom (1) vaii nejednakost

(2) $(L';E) 2 F(E/2), OSEL1.

Pretpostavimo da je to uEinjeno i dokaiimo da je X kotipa F. Neka

gde je c ;21-2/p(2~-1), p = ind(X) = ind(~'). Tada funkci je akxk P

=:fk pripadaju prostoru LX i za svaki izbor eke{l, -13 vaii

jednakost 1 I \ = = 50 1IJz-l \@) xkIIdt'

S obzirom na to i nejednakost (7 ispunjeni su uslovi propozicije 1.7 (sa LX, fk i F(v2)). Zbog toga je

Dokafimo sada nejednakost (2). Neka je 0 <&cl, f, g €L', \lg/l= E i \If+hg(\ S1 za svako AED. Tada je

gde je 2t

Y R ) = ~ o l l f ( t ) + B ' u ~ ( t ) l ~ d ~ / 2 ~ , tE[0,1].

OznaEirno sa G najve6u konveksnu minorantu funkcije F. Tada iz definicije funkcije Y i uslova (1) dobijamo nejednakost

l lf (t>l\ + Y (tl GQlg(t)t)ll/Y(t) ) 5 Y (t) S~UPU {t : Y(t) #0) = : 52 . N p t n 3 0 uf(J+) = (Vft)rIk/h. T-rla i~ u(Q) =I DR i ~ . D T ~ R dens~nolroi ne-

jednakost i , G(llg(tWYYt))p(dt) 2 G(& g(t)llr(dt)/~(t)) = ~(e /b ) . 12 5, toga i ne jednakosti (3 dobi jamo \El\+ G(E) L if llt.bG(t/b) 5 -b s 1. Do-

vol jno j e joS dokazat i da j e G(€) 2 F(C/2). Medutim, kako j e P(E)L E

f 0 F(t) d t / t =:Fl(E) a funkc i ja B1 konveksna, imamo G(t) 2 F1(€) 2

~ $ 2 F(t) d t / t 2 (E/2)F(&/2)(4/2) = F(€/2). 69 Da bismo fo rmul i s a l i neke posledice teoreme 4, potrebne su nam

ove oznake: P: (0) = Fi(0) = 0 ,

P:(O = P inf { v2n(t)/n(vt) : 1 a v s ~ / E , t a 1) , 2 P ~ ( L ) = L id { ~ g t ) / v ~ ~ ( t ) : s v s l , 0 < t ~ 1 3 , O < E 81.

Posledica 3. Ako j e mera 11 konazna, onda j e LM(V) ko t ipa P;.

Dokaz. Izaberimo p e l 0 , U tako da j e funkc i j a t H M ( t l / ~ ) kon-

veksna i stavimo N(t) = Ma) tp za t e [0,1] i N(t) = ~ ( t ) za t Z 1. Tada

j e El Orliczeva funkc i j a a p r o s t o r i LM i LN medusobno su izomorfni j e r j e mera V konaEna[49]. Dakle, dovoljno j e dokazat i da j e LN

kot ipa P; a t o s l e d i is nejednakosti FB2P;. Da bismo dokazal i '

t u jednakost, pretpostavimo da j e OcEs1, 1 r v s 1/E, t >O. Ako

j e 0 < t L1 , onda .je.. Ngt) tPn(,) i, prema tome, (~,)~N(t)/N(vt) 2

(E$~M(u/M($ r P;(E) ;. ako j e t > l , onda j e ( t$2~(~ /~ (v t )=(r$2~( t> /~ ( t .>

>P;(E). a- Posledica 4. Ako j e i n f {Y(E) : E merl j i v , V(E) > 0 3 > 0, t ada

j e LM(V) ko t ipa I?;.

Dokaz. O ovom sluEaju L j e izomorfan pros toru LN, gde j e N(t)= M M(t), 0 S t 5 1 ; N(t) = M;(U (tP-l)/p + Ma, t 21. Da bismo dokazal i ne-

jednakost P ~ Z F ~ , pisemo PN. u sledeeem obliku:

F ~ ( E ) = c2 i n f { I ~ ( v ~ ) / N ( ~ ) v ~ : ~ v s l , t 7 03. Neka j e O € E S l , C s v s l , t 21. Tada j e N @ t ) Z tPn(f) = tPn@).

Kako j e i M;(l) 2 pMa, t o j e

e2~(vt)/v21?(t) 2 b2~($ /v2M~ 2 F;(E). '

Ako j e 0 4 t 41, tada j e

~ ~ ~ ( v t ) / v ~ ~ ( t ) = E ~ M ( v ~ ) / v ~ M ( ~ ) 2 B ~ ( E ) . a

5. 0 teoremama 1 i 4 u sluEaju kad j e funkc i j a

M konveksna

Ako mera V zadovoljava neke dodatne uslove, onda s e navedeni

rezultati ne mogu dalje poboljBavati. Razmotribemo detaljno meru Y sa sledeeim svojstvom: - . - - - - -

(++) Postoji niz medusobno disjunktnih merljivih skupova (En: nrl)

takav da je V ) = a, i Y(E,) 1 0 (naco).

Ovaj uslov zadovoljava, na primer, svaka beskonaEna neatomiEna mera.

Propozici,ja 3. Pretpostavimo da mera Vima svojstvo (++). Ako je prostor LM(!J) kotipa F: 0 , 1 , onda postoji realan broj K

takav da je F(e)sKPM(&), OSt41. (M je konveksna.1

Centralno mesto u dokazu ima slede6i rezultat T. Figiela 120: te- orema 1.83.

Teorema Figiela. Neka je normirani prostor X kotipa 3. Ako je F(E) > 0 za E. € [0,1[, onda postoji Orliczeva funkcija G takva da su ispunjeni ovi uslovi: (i) G(t) 2. F(9, Ost el; (ii) ~€E(2,q) za neko q<m; @ii) X je kotipa G.

Dokaz propozicije. Pretpostavimo da je F Orliczeva funkcija klase E(2,q), Sto je mogu6e na osnovu teoreme Figiela. Neka je O4E 41, lsvsl/E, t.0. Na6i 6emo konstante Kcw i celO,l] ko- je ne zavise od E,, v, t tako da je

(7 K ~(t/c)/~(vt) 2 F( I/$. Birajubi v,& tako da je l/v= & =c/2, zakljuEujemo da M€(b2 ) . -

2 2 Zato je KIE v M(t)/~(tv) 2 (~v)~F(l/v) = (E$2~(~/Ed) s. F(c); poslednja nejednakost sledi iz pretpostavke da je funkcija F ( F ) konveksna. Iz dobijene procene i jednakosti (1.5) dolazimo do tvrbenja. Pre- ostaje dokaz relacije (').

Izaberimo prirodan broj m tako da je PQ/(m+O 6 POlv) s FCO/m.

Neka je (k . j2l) strogo rastubi niz prirodnih brojeva koji zadovo- 3. 1 java uslov l/~(vt) 5 2 ncB, V@,) 5 2/M(vt), gde je (En) niz iz us-

'I lova (++) i B~=[~EN: k ~ n < k ~ + ~

j ). Tada su skupovi S :=% (nsBj)

j medusobno disjunktni i vaii nejednakost

l/M(vt) 5 yGj) I 2/~(vt), j 21.

Definigimo funkcije x EL ( V ) , j 21, na sledebi na6in: j a

xJ(s) =

J. Tada je &~(x~(s)r)Y(ds) = Mbt)V@j) 2 1 i, prema tome, l l x j \ l ~ l / v . Zato je

mtl I j=l F(Uxjll) z (m+l)F(l/v) ZNQ. Kako F E (A2), posto ji konstanta c E 30,13 , k 0 X samo od P,

takva da je \>m+l 0 x (1 2 c za neki izbor 0 . ~{i, -1). Iz toga j=1 j 3 J

sledi

Odavde dobi jamo (m+l)M(t/d/~(vt) 2 1/2, tj . M&/c)/M@t) 2 l/4m 2

P(l./d)/4B(l). Time je nejednakost (7 dokazana. Na osnovu propozicije 3 moiemo dokazati da je teorema 1 u nekim

sluEajevima najbolja mogu6a. Propozicija 4. Neka je Banachov prostor X izomorfan prostoru

LM(O,a), pri Eemu je M konveksna Orliczeva funkcija koja zadovolja- va uslov 4. Tada postoji realan broj K takav da je

~,(X;~)SKF~(&), Oseal.

Dokaz. Dovoljno je dokazati da je LM(O,a) kotipa b,(x;&) i pri- meniti propoziciju 3. Neka je Z skup svih nizova (xk:kkl) sako- naEnim brojem Elanova razliEitih od nule; xkeLM(O,a,). Jednako-

e6u : l ) : = ( l x k 2 ) 1 2 ~ ~ M definisana je norma u Z.

Imitiraju6i prvi deo dokaza propozicije 2.d.l[58], zakljuEujemo da je 2 izomorfan potprostoru prostora $0, gde je ti Lebesgueova mera na skupu [~,l]x[~,a[. S druge strane, kako su beskonaEne mere Lebesguea medusobno izomorfne [35: str . 1711, $(r) je izomorf an $(O,a). Dakle, postoji potprostor Y prostora X i izomorfizam U: Y na 2. .

Pretpostavimo sada da je c>O, xl, . . . ,x e LN(O,a) i n

% II~=~ ~ ~ ( ~ ) ~ ~ l \ ~ ~ ~ 5 c'

Tada je (videti b8: teorema l.d.61) 2 1/2 t,"=l~xk~ ) 11, 5 cn

Iz toga sledi da je

llZi,l hkzkIl s cLrZ za sve hk€ 2,

gde je zk= (Sjkxj: j21)EZ. Neka je zk=Uyk, yk€Y. Tada je

Odavde pomoEu leme 1.2 dobijamo

Biraju6i c tako da je cl=l!U\l, dobijamo nejednakost ~~=,bc(~;lxkll) Il. Time ;ie dokaz zavrgen.%

. 0 drugim klasama prostora

Metod dokazivanja teoreme 2 moie se primeniti na modularne pro-

store t(M ). Dosta informacija o tim prostorima moie se nadi u 157: n

str. 1661 i 1108]. Neka je (M,: nll) niz konveksnih Orliczevih funkcija. Kompleks-

sni niz x = (5,: n2l) pripada prostoru t(M ) ako je n

ObiEno se pretpostavlja da funkcije Mn zadovoljavaju uslov

(1) Mn(9 '1. pn Ako je M n O = t , lapncm, onda je prostor t(Mn) jednak prostoru

tbd, koji je v o H. Aakano. Bavnomernu konveksnost tog prostora prouEavao je K. Sundaresan [99].

Neka niz (t,: n ~ 1 ) iz intervala P,lJ zadovoljava uslov

Definigimo funkcije Nn na slede6i naEin: Fin&) = ~,(t) ako je tnf t S

I; Nn@ ;. ~A(l)(t-1) +1 ako je t 21; H,&) = Mn(t$t/tn ako je t,>O .I ._ i OctCt,. (Ovde Mi oznaEava desni izvod.) Ako postoji q <a,

takvo da je-

(2) t~;(t)/~,(t) s q za sve n21, tc[tn,l],

onda ~,€z(l,~) za svako . n. Imitiranjem hokaza teoreme 2 moie se ustanoviti da prostor e

(Nn) zadovoljava uslov (5.1) sa

P(&) = inf KF (E), OsEsl. n Nn

S druge strane, lako je dokazati-da je

n S obzirom na to i Einjenicu da su prostori izomorf - ni, imamo sledeCe tvrbenje:

Ako niz (a) ispunjava uslove (1) i (2), onda je prostor CNn) netrivi jalnog kotipa F(e) = inf G,(E) i izomorf an je ravnomerno c- -konveksnom prostoru n

(NnY Primena na modularni prostor tPn) dovodi do zaklj&ka da je on

kotipa er ako je 1>2 a skup in: pnzr.) konaEan. Na primer, pro- stor e (*+lh) je kotipa $ za svako r>2.

0 jednoj klasi Banachovih regetki. Neka j e X komvleksna Banac-

hova regetka. KazaEemo da je X q-B-rezetka (q-Besselian lattice (201 ) ako je lsq c rm i postoji pozitivan broj K takav da je -

(3) \l>%l~xk~l\ 2 (>XI \ I ~ ~ u ~ ) ~ ' ~ za ,svaki konaEan niz (xk: lskrn) z X.

Teorema ~aure~a[64]. Ako je X q-B-regetka i q72, onda je X

kotipa €9. Ova teorema se moie dokazati pomo6u propozicije 2 i argumenata

koji su, u vezi sa ravnomernom konveksnoZ.6~ q-B-regetke, dati u

[58:str.89]. Polazi se od toga da je q-B-regetka izometrigna K6t- heovom funkcionalnom prostoru nad verovatnosnim prostorom (9,~). Zatim se pokazuje da se teorema svodi na sluEaj kad je K = l U ne- jednakosti (3). Na ovom se mestu koristi nejednakost

umesto leme l.f.2 u [58]. Dalje se rasuduje na sliEan naEin kao u [58] i dolazi se do zakljuEka da vaii implikacija (5.1) sa F(E) =

K ~ E ~ . Nejednakost (4) se lako izvodi pomo6u leme 11.2.

7. Primedbe i primeri

Prosstor-LM, kao posebna vrsta modularnih prostora [73, 751, de- finiHe se i uz slabije pretpostavke od onih u taEki 1. Neki od ta- ko uopHtenih prostora izomorfni su prethodno razmatranima, ali ima- ju praktiEnih prednoshi.'

Pretpostavimo da neprekidna funkcija Q: [0,co[ 4 [0,rm[ nije identiEki nula i da zadovoljava uslov

(1) Qbt) S K ~(t) rP, 0 t20, gde su K i p pozitivne konstante koje ne zavise od r i t. Ako se LQ i II .11 definigu kao u taEki 1, onda je (L 11.11 ) kvazinormiran Q Q' Q prostor i moie se postaviti pitanje kakvog je kotipa. Odgovor je sliEan teoremi 4:

Ako Q 4 (A2), tj. Q(2t) 5 KQ(t) za t>O, onda je L netrivijal- nog kotipa F

Q Q'

Ovo tvrdenje se moie izvesti iz teoreme 4. Naime, neka je N(t)=

sup{~(tu)/uP: 0<us1), t20. Tada ~(t)/t~ raste (t>O.) i zato je t

funkeija ti+ ~(tl(p) :. So~(ul/~) du/u, t rO, konveksna. Pored toga,

vaZi ne jednakost Q(t/2) 5 ~(t) S K ~(t) , trO, iz koje sledi da su L Q i izomorfni i, dakle, istog su kotipa. Medutim, ako Q€(b2),on-

da ~~h(p,q) za neko q<w, pa traieno tvrdenje sledi iz teoreme 4.

Neka je Ocpsq c co. Pisademo Q €A(p,q) 1651 ako postoji pozi- tivan bro j K takav da su ispunjeni uslovi (1-Li- -

(2) Q(rt) grq~(t), rzl, t ~ 0 . (Q je neprekidna, nenegativna i nije identizki nula.)

Primer 1. Neka je Q(t) = min(tP, tq) , p cq. Lako je dokazati da Q€A(p,q) i da ne postoji pl>O takvo da ~~'ll(p~,q). Zato se teo- rema 4 ne moie direktno primeniti. Ipak, prema prethodnim razmatra- njima, L je kotipa F(E) = E ~ , gde Je m = max(2,q). Prostor L je u Q Q

P 9 vezi sa prostorom X = L +L , koji se prirodno pojavljuje u teoriji interpplacije linearnih operatora[501. Prostor X saEinjavaJu mer- ljive funkcije x koje se mogu predstaviti u obliku x = xl+ x2,

rl E L', x2 6 L ~ . Kvazinorma se def inige jednakogdu -

nxa, = inf { I I X ~ I I ~ + ux2\lq : x x = , x, G 9 , x2 e LI ) . Ako x16~', x2 Q L ~ , onda je \Ixlllp 2 UxllIg i llx21Iq 2 \ \ X ~ \ \ ~ i,

dakle, Ilxl\lp+llx211q 2 KllxllQ (x - xl+x2). Zato je ItxllX 2 K bllQ. S

druge strane, ako r elQ9 s t v i o = : 1 x 1 2 1 , s2={s: \x@)l< 1).

Tada je x = xl + x pri Eemu je xk (k= 1, 2) proizvod funkcije x 2.' .

i karakteristizne funkcije skupa Sk. Time je dokazana inkluzija L CX. Iz nje i nejednakosti \\~\\~LKllx\l zbog kompletnosti X i L

Q Q' Q'

sledi da su X i L izomorfni. Prema tome, prostor L ~ + L ~ (p dq) ko- Q tipa je P(E)= E max(2,q). a

Razmotrimo sluEaj konaEne mere. Pisademo Q € hm(p, q) , 0 cp g q <a, ako postoje pozitivni brojevi K i 5 , Q(to)70, takvi da su ispu- njeni uslovi (1) i

(3) ~(rt) (~r~~ct), rll, tT%.

Pretpostavimo da Q, N & A (p,q) i da je mera Y konaEna. Na co standardan naEinl491 se dokazuje da su L (v) i LN(y) izomorfni (i Q skupovno jednaki) ako je, za neke c, b >O,

c-l~(t) sQ(t) 5 cN(t), tzb, Sto 6emo zapisivati kao

Q(t)z!. ~(t), t-+a,. Lema 6. Neka Qc;Aco(p,q). Tada postoji 0rliczeva.funkcija

~eh(p,q) takva da je ~(t)=M(t), t +a,.

Dokaz. Neka su'ispunjeni uslovi (1) i (3). Definigimo funkciju

Q1 na slede6i nac'in: Ql(t) t)= tP~(to)/gp, Olstig; Ql(t) = Q(t), tato.

'I'ada funkcija Q, (t) = inf 10, (tu)/uq: Odu ~ 1 1 , tkO, ima slede6a svo j-

s tva : Q2 eA(p ,q) ; ~ ~ ( t ) / t ~ ( t 7 0 ) opada; Q2(t) -Q(t), t -w . I s t e

osobine ima i funkc i ja ~ ( t ) = sup { Q ~ ( ~ u ) / u ~ F 0- ISIT, i i z t o ,

N(t)/tP r a s t e . l r a i e n e uslove zadovol java funkci j a 1 MO = lo N(ul/~t) du/u, t 2 0 . H

I z posledice 3 i leme 6 s l e d i da j e p ros tor L (y) (ako j e mera Y

konaEna) ko t ipa 4

2 F(E) = D i n i {v2~(t)/g@t) : v 1 , t r 5 1 ( ~ ( 9 > o ) . Primer 2. Ako j e mera v konaEna i Q IS Am(p,2), onda j e LM(v) ko-

2 t i p a E . To s e moie p r imeni t i na p ros to r L = L p ( l o g + ~ P ( , p <2 , o(z0, Q gde j e Q(t);. t ~ ( l o ~ + t ) ~ , log+t=max( log t ' , 0). Ako j e p22 , onda j e

I I ~ ( ~ O ~ + L ) ~ ( ko t ipa E P / J ~ O ~ ~ ~ 5 t o se moie zak l JuE i t i i pomoku teo- rema (MT) i (FP). B

Primer 3. Neka su X i Y kornpleksni Banachovi p r o s t o r i i p a l . Kaie s e da j e l i nea ran operator U : X + Y p-apsolutno z b i r l j i v also j e

za svako n i svaki n i z (xk) i z X. P r i tome j e K poz i t ivna konstan- t a koja z a v i s i sa&o bd U. Ako j e Y Banachova rege tka , onda su s l e -

2 de6a tv rden ja ekvivalentna [58: teorema 1.f .16] : (3 Y j e ko t ipa E . (n) Svaki 6perator U : S-Y z b i r l j i v j e 2-apsolutno (ako j e l i nea ran i neprekidan). Pretpostavimo da j e M konveksna Orliczeva funkci-

2 j a . 1 ~ propoz ic i j e 3 s l e d i da j e LM(O,w) ko t ipa f ako i samo ako MeA(1,2). Na s l iEan naEin s e dokazuje da j e CM kot ipa t2 ako i sa- mo ako j e , za neko K > 0, (3 M 6 t ) Z K V ~ M ( ~ ) , O c v , t - = l . Ekviva- l e n c i j u (n) (3@) , Y = b, dokazao j e d i rek tno I. A. KomarEev 11161.