paweł urbańskiurbanski/olsztyn2.pdfolsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 inaczej √ podstawy rachunku...

O " swiatopogladzie wariacyjnym"Paweł Urbań[email protected] .p l

Katedra Metod Matematycznych Fizyki

Uniwersytet Warszawski

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 1/26

Inaczej√

Podstawy rachunku wariacyjnegodlamatematyków.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26

Inaczej√


√

Podstawy zasad wariacyjnychdla fizyków.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26

Inaczej√


√

Podstawy zasad wariacyjnychdla fizyków.√

O pochodzeniu zasad wariacyjnychdladarwinistów.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26

Nazwiska√

Włodzimierz M. Tulczyjew

(Camerino, Neapol),√

Franco Cardin (Padwa),√

Paweł Urbanski (Warszawa).

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 3/26

Podstawowa praca

Włodzimierz M. TULCZYJEW

"The Origin of Variational Principles"Banach Center Publications 59, "Classical andQuantum Integrability", Warszawa 2003

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 4/26

Cel wykładu

Dyskusja z pewnymi utartymi wyobrazeniamizwiazanymi z rachunkiem wariacyjnym.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 5/26

Historia

Galileusz: znalezc taka krzywa łaczaca punktyA i B,by czas staczania sie po niej masy punktowej, podwpływem siły ciezkosci, był najkrótszy.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 6/26

Historia


Galilei, Galileo (1564-1642) "Discorsi edimostrazioni matematiche : intorno a due nuovescienze attenenti alla mecanica & i movimenti locali"In Leida : Appresso gli Elsevirii, 1638.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 6/26

Historia


Galilei, Galileo (1564-1642) "Discorsi edimostrazioni matematiche : intorno a due nuovescienze attenenti alla mecanica & i movimenti locali"In Leida : Appresso gli Elsevirii, 1638.

Brachistochrona odbrachos- krótki i chronos-czas

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 6/26

Historia

Zagadnienie sprowadza sie do znalezienia minimumfunkcjonału

∫ b

a

√

1 + (y′(x))2

2gy(x)dx

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 7/26

Historia

Zagadnienie sprowadza sie do znalezienia minimumfunkcjonału

∫ b

a

√

1 + (y′(x))2

2gy(x)dx

Rozwiazanie (Jakub Bernoulli, Leibniz, Newton):szukana krzywa (brachistochrona) jest fragmentemcykloidy.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 7/26

Stad dla matematyka

Rachunek wariacyjny -

dział matematyki,poswieconyznajdowaniu ekstremówfunkcjonałów.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 8/26

ale dla fizyka

Zasada wariacyjna -opisujepołozenie równowagi układu.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 9/26

ale dla fizyka

Zasada wariacyjna -opisujepołozenie równowagi układu.

Wspólnym zródłem dla zasad wariacyjnych

fizyki jest znana ze statyki

zasada pracy wirtualnej.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 9/26

Dlaczego statyka?

Statyka (w ogólnosci - mechanika)jest tym miejscem, gdzie kształtujasie podstawowe intuicje fizyczne i ich

artykulacja matematyczna,

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 10/26

Dlaczego statyka?

Statyka (w ogólnosci - mechanika)jest tym miejscem, gdzie kształtujasie podstawowe intuicje fizyczne i ich

artykulacja matematyczna,

a potem rozumujemy

przez analogie .

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 10/26

Zasada prac wirtualnych

Konfiguracjaq0 jest punktemrównowagi, jezeli kazda próbawyprowadzenia z niej jestkosztowna- przynajmniej na poczatku

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 11/26



Ukryte załozenia:

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 11/26



Ukryte załozenia:√

mozemy oddziaływac na układ

zmieniajac jego konfiguracje,

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 11/26



Ukryte załozenia:√

mozemy oddziaływac na układ

zmieniajac jego konfiguracje,√

umiemy liczyc koszt (n.p. włozona

prace) tego oddziaływania. Olsztyn, 17.02.2005 – p. 11/26

Składniki matematyczne√

- przestrzen konfiguracji -rozmaitoscrózniczkowaQ,

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 12/26



√

procesy wirtualne - łuki z koncami wQ -zorientowane 1-wymiarowe podrozmaitosci zbrzegiem,

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 12/26



√


√

rodzina dopuszczalnych procesówC.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 12/26



√


√

rodzina dopuszczalnych procesówC.√

koszt procesówW : C → R√

Zakładamy: addytywnosc procesów, kosztów, itp

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 12/26

Kryteria równowagi

Na kazdym łuku wychodzacym zq0 funkcja kosztu(pracy) jest niemalejaca wq0.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 13/26

Kryteria równowagi


Pierwsza nieznikajaca pochodna funkcji kosztów jestdodatnia

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 13/26

Kryteria równowagi


Pierwsza nieznikajaca pochodna funkcji kosztów jestdodatnia

Kryterium rzeduk - badamy pochodne do rzeduk.Standardowok = 1.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 13/26

Najprostszy przypadek

funkcja kosztu jest zadana przezdodatnio jednorodnafunkcje na wektorach stycznych doQ:

ϑ :

�

Q → R, ϑ(av) = aϑ(v), dlaa > 0.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 14/26



ϑ :

�

Q → R, ϑ(av) = aϑ(v), dlaa > 0.

Koszt procesu

W (c) =

∫

c

ϑ.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 14/26



ϑ :

�

Q → R, ϑ(av) = aϑ(v), dlaa > 0.

Koszt procesu

W (c) =

∫

c

ϑ.

Kryterium równowagi w punkcieq0:

ϑ(v) > 0 dlav zaczepionych wq0, v ∈

�

q0Q.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 14/26

Przykłady

Układpotencjalny, opisany potencjałem

U : Q → R, ϑ = dU, ϑ(v) = 〈dU, v〉 = v(U)

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 15/26

Przykłady


U : Q → R, ϑ = dU, ϑ(v) = 〈dU, v〉 = v(U)

na przykład sprezynkaU(q) = k2‖q − q0‖

2.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 15/26

Przykłady


U : Q → R, ϑ = dU, ϑ(v) = 〈dU, v〉 = v(U)

na przykład sprezynkaU(q) = k2‖q − q0‖

2.

Niepotencjalnyukład z tarciem

ϑ(v) = %‖v‖.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 15/26

Podsumowanie pierwsze

Opis wariacyjny jest opisem układu z punktuwidzenia jego oddziaływania z innymi układami:

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 16/26



Dwa sprzezone układy(Q, ϑ1) i (Q, ϑ2) o tym samymQ opisywane sa sumaϑ1 + ϑ2

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 16/26




w szczególnosci jeden z układów, np(Q, ϑ2) mozebyc potencjalny.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 16/26





Układ potencjalny reprezentujesiłe - matematyczniekowektor, zaczepiony w jakims punkcie:f = −dqU .

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 16/26





Układ potencjalny reprezentujesiłe - matematyczniekowektor, zaczepiony w jakims punkcie:f = −dqU .

q0 jest punktem równowagi układu, jezeli w tympunkcie jest w równowadze z siła zero.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 16/26

Transformacja Legendre’a

Opis dualny: lista sił, z którymi układ jest wrównowadze

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 17/26



Zbiór S nazywany jst zbioremkonstytutywnymukładu.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 17/26




Matematycznie - transformacja Legendre’a analizywypukłej.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 17/26




Matematycznie - transformacja Legendre’a analizywypukłej.

Kryterium równowagi: dwa układy sa w równowadzew q0, jezeli istnieja siłyf1 ∈ S1, f2 ∈ S2, zaczepionew q0 i bilansujace sie:f1 + f2 = 0.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 17/26

Przykłady

Układ potencjalnyϑ = dU

S = {(q, f) : f = kg(q − q0)}.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 18/26

Przykłady

Układ potencjalnyϑ = dU

S = {(q, f) : f = kg(q − q0)}.

Układ z tarciemϑ(v) = %‖v‖,

S = {(q, f) : ‖f‖ 6 %}.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 18/26

Wiezy

Ograniczenia na procesy (przesniecia wirtualne), naogół w wersji infinitezymalnej

C1 ⊂

�

Q.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 19/26

Wiezy


C1 ⊂

�

Q.

Wynikaja z tego ograniczenia na konfiguracje

C0 = τQ(C1) ⊂ Q.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 19/26

Wiezy


C1 ⊂

�

Q.


C0 = τQ(C1) ⊂ Q.

C1 =

�

C0, to wiezyholonomiczne.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 19/26

Wiezy


C1 ⊂

�

Q.


C0 = τQ(C1) ⊂ Q.

C1 =

�

C0, to wiezyholonomiczne.

C1 Ã

�

C0, to wiezynieholomiczne.Olsztyn, 17.02.2005 – p. 19/26

Mozliwe dalsze dyskusje√

Rozpatrywac układy, dla których koszt procesuzalezy (infinitezymalnie) nie tylko od jegokierunku, ale od jego kształtu, np. od krzywizny.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 20/26



√

Stosowac kryteria równowagi wyzszych rzedów.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 20/26



√


Prowadzi to do innych reprezentacji sił i do siłwyzszego rzedu.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 20/26



√


Prowadzi to do innych reprezentacji sił i do siłwyzszego rzedu.

Stad raczejprace, a nie siłe nalezy przyjac jakopojecie pierwotne.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 20/26

Podsumowanie drugie

Opiswariacyjnyjest opisem oddziaływania z układemi układów miedzy soba.

.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 21/26

Podsumowanie drugie


Jest to przeciwienstwo opisuobserwacyjnego.

.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 21/26

Podsumowanie drugie


Jest to przeciwienstwo opisuobserwacyjnego.

Inaczej mówiac, jest to opisfunkcjonalny, w opozycjido opisumorfologicznego.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 21/26

Dynamika

czyli statyka w czasoprzestrzeni (konfiguracje sajednowymiarowymi obiektami w (czaso) przestrzeniM ,

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 22/26

Dynamika

czyli statyka w czasoprzestrzeni (konfiguracje sajednowymiarowymi obiektami w (czaso) przestrzeniM , sparametryzowanymi (na przykład czasem)).

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 22/26

Dynamika


Skonczony odcinek parametrów - przestrzenkonfiguracji wymiary nieskonczonego.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 22/26

Dynamika



Infinitezymalny odcinek parametrów - przestrzenkonfiguracji jest

�

M (połozenia i predkosci).

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 22/26

Dynamika



Infinitezymalny odcinek parametrów - przestrzenkonfiguracji jest

�

M (połozenia i predkosci).

Układypotencjalne, tzn opisywane funkcja nakonfiguracjach.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 22/26

Działanie i siły

Potencjał = działanie,

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 23/26

Działanie i siły

Potencjał = działanie, działanie na konfiguracjachinfinitezymalnych - Lagranzjan

L :

�

M → R.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 23/26

Działanie i siły


L :

�

M → R.

Siła = rózniczka potencjału (działania)

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 23/26

Działanie i siły


L :

�

M → R.

Siła = rózniczka potencjału (działania)w punkcieγ : [a, b] → M jest trójka

(pa, f, pb),

gdziepa ∈

�

γ(a)M, pb ∈�

γ(b)M, to pedy -poczatkowy i koncowy, af jest polem kowektorówwzdłuzγ,

f = E(γ) − operator Eulera-Lagrange’a.Olsztyn, 17.02.2005 – p. 23/26

Działanie i siły cd

Składowaf reprezentuje siły pochodzace od układów"zewnetrznych",a pedy sa naprezeniami miedzy przeszłoscia,przyszłoscia, a terazniejszoscia.

Ped to jest to z przeszłosci ruchu, cojest istotne dla jego przyszłosci

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 24/26

Co sie zazwyczaj robi?

Zapomina sie o brzegu, czyli o pedach i pozostajetylko operator E-L.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 25/26


Zapomina sie o brzegu, czyli o pedach i pozostajetylko operator E-L. W dodatku kładzie sief = 0,czyli traktuje sie układ jak izolowany!!

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 25/26


Zapomina sie o brzegu, czyli o pedach i pozostajetylko operator E-L. W dodatku kładzie sief = 0,czyli traktuje sie układ jak izolowany!!

Zapomina sie o wnetrzu odcinka[a, b] (znowu układizolowany!), a pozostawia tylko pedy.

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 25/26

Uwagi koncowe

Opis wariacyjnyniepasuje do układów izolowanych,

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 26/26

Uwagi koncowe


jest opisem przez oddziaływanie (mechanikakwantowa!!),

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 26/26

Uwagi koncowe


jest opisem przez oddziaływanie (mechanikakwantowa!!), nie ma w nim miejsca naobserwable,

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 26/26

Uwagi koncowe


jest opisem przez oddziaływanie (mechanikakwantowa!!), nie ma w nim miejsca naobserwable,

jest w opozycji do opisuewolucyjnego, np.

hamiltonowskiego!

Olsztyn, 17.02.2005 – p. 26/26

paweł urbańskiurbanski/olsztyn2.pdfolsztyn, 17.02.2005 – p. 2/26 inaczej √ podstawy rachunku...

Documents