PAWE ZIMNY

TECHNOLOGIE INFORMATYCZNE W ELEKTROTECHNICE

WYKADY DLA SPECJALNOCI ZAMAWIANEJ

ELEKTRODYNAMIKA TECHNICZNA

WYDAWNICTWO POLITECHNIKI GDASKIEJ

Materiay zostay przygotowane w zwizku z realizacj projektupt. Zamawianie ksztacenia na kierunkach

technicznych, matematycznych i przyrodniczych - pilotawspfinansowanego ze rodkw Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego nr umowy: 46/DSW/4.1.2/2008zadanie 018240 w okresie od 21.08.2008-15.03.2012

PAWE ZIMNY

TECHNOLOGIE INFORMATYCZNE W ELEKTROTECHNICE

WYKADY DLA SPECJALNOCI ZAMAWIANEJ

ELEKTRODYNAMIKA TECHNICZNA

Studia pierwszego stopnia

GDASK 2012

PRZEWODNICZCY KOMITETU REDAKCYJNEGO WYDAWNICTWA POLITECHNIKI GDASKIEJ Romuald Szymkiewicz

RECENZENT Kazimierz Jakubiuk

PROJEKT OKADKI Katarzyna Olszonowicz

Wydano za zgod Rektora Politechniki Gdaskiej

Copyright by Wydawnictwo Politechniki Gdaskiej Gdask 2012

Publikacja dostpna tylko w wersji elektronicznej

Utwr nie moe by powielany i rozpowszechniany, w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposb, bez pisemnej zgody wydawcy

ISBN 9788373483030

WYDAWNICTWO POLITECHNIKI GDASKIEJ

Wydanie I. Ark. wyd. 10,6, ark. druku 11,0, 984/660

Rozdzia 1 8

SPIS TRECI

1. WSTP ................................................................................................................................... 5 2. POJCIA PODSTAWOWE: JEDNOSTKI, ADUNEK, ZASADA ZACHOWANIA

ADUNKU ............................................................................................................................ 6 2.1. Jednostki ......................................................................................................................... 6 2.2. adunek elektryczny ....................................................................................................... 8 2.3. Zasada zachowania adunku elektrycznego .................................................................... 10

3. PRAWO COULOMBA, POLE ELEKTRYCZNE ................................................................ 15 3.1. Prawo Coulomba ............................................................................................................ 15 3.2. Pole elektryczne .............................................................................................................. 16 3.3. Prawo Gaussa .................................................................................................................. 20

4. POLE CENTRALNE, PRACA W POLU ELEKTRYCZNYM, POTENCJA .................... 26 4.1. Pole elektrostatyczne jako pole centralne ....................................................................... 26 4.2. Potencja elektryczny ...................................................................................................... 28

5. PRZEWODNIKI I IZOLATORY. POLE ELEKTROSTATYCZNE PRZEWODNIKW. POJEMNO ........................................................................................................................ 39 5.1. Pole elektrostatyczne przewodnikw .............................................................................. 39 5.2. Warunki brzegowe na granicy przewodnik izolator .................................................... 42 5.3. Pojemno. Przykady oblicze pola elektrycznego przewodnikw ............................... 44

6. POLE ELEKTRYCZNE W DIELEKTRYKACH ................................................................. 55 6.1. Polaryzacja dielektrykw ................................................................................................ 55 6.2. Przykady oblicze pola elektrostatycznego w dielektrykach ......................................... 64

7. ENERGIA I SIY W POLU ELEKTROSTATYCZNYM .................................................... 69

8. POLE PRZEPYWOWE. REZYSTANCJA. MOC W POLU PRZEPYWOWYM ........... 74 8.1. Pole przepywowe ........................................................................................................... 74 8.2. Rezystancja ..................................................................................................................... 76 8.3. Moc w polu przepywowym ........................................................................................... 80

9. STACJONARNE POLE MAGNETYCZNE ......................................................................... 83 9.1. Sia dziaajca na adunek w polu elektromagnetycznym ............................................... 83 9.2. Prawo Amprea ............................................................................................................. 87 9.3. Przykady oblicze pola magnetycznego ........................................................................ 88 9.4. Rwnania Maxwella dla magnetostatyki ........................................................................ 97 9.5. Wzr Biota-Savarta i przykady jego zastosowa .......................................................... 99 9.6. Strumie magnetyczny. Indukcyjno wzajemna i wasna ............................................. 106 9.7. Siy elektrodynamiczne ................................................................................................... 109

10. POLE MAGNETYCZNE W ORODKACH MATERIALNYCH ....................................... 114 10.1. Orodki nieferromagnetyczne ....................................................................................... 114 10.2. Materiay ferromagnetyczne .......................................................................................... 118 10.3. Obwody magnetyczne ................................................................................................... 126 10.4. Przykady oblicze obwodw magnetycznych .............................................................. 131

6

11. POLE ELEKTROMAGNETYCZNE .................................................................................... 145 11.1 Prawo Faradaya .............................................................................................................. 145 11.2. Rwnania Maxwella dla pola elektromagnetycznego ................................................... 152 11.3 Rwnania Maxwella dla pola elektromagnetycznego w materii .................................... 154 11.4. Pole elektromagnetyczne sinusoidalnie zmienne .......................................................... 157 11.5. Pole elektromagnetyczne quasi-stacjonarne w przewodniku ........................................ 159

12. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE .................................................................................... 169

Rozdzia 1

WSTP

Od ponad wieku korzystamy z dobrodziejstw, jakie niesie opanowanie energii elektrycz-nej. Z energi elektryczn jest zwizane pole elektromagnetyczne. Poznanie wasnoci tego pola, umiejtno oblicze coraz bardziej zoonych urzdze elektrycznych, powstanie teorii obwodowych, wszystko to zoyo si na rozwj elektrotechniki. Pole elektromagnetyczne, wyraone rwnaniami Maxwella, obejmuje szerokie widmo czstotliwoci od zerowej odpo-wiadajcej prdowi staemu a do czstotliwoci rzdu 1022 Hz odpowiadajcej promienio-waniu . Tak szerokie widmo pokrywa czstotliwoci przemysowe, stosowane w telekomu-nikacji, wiato widzialne, promieniowanie rentgenowskie i wreszcie promieniowanie . W zakresie kadej z tych czstotliwoci buduje si urzdzenia wykorzystujce pole elektro-magnetyczne. Zadaniem inyniera jest umiejtno projektowania i eksploatacji takich urz-dze. Bez elementarnej znajomoci zasad fizyki pola elektromagnetycznego jest bardzo trudno wnie postp, eksploatowa czy konstruowa nowe urzdzenia wykorzystujce pole elek-tromagnetyczne. Obecne trendy rozwojowe w kierunku miniaturyzacji wielu urzdze wy-magaj bardzo dobrej znajomoci fizyki, a od konstruktora urzdze elektrycznych szczeglnie dobrej znajomoci fizyki pola elektromagnetycznego. Czsto wykorzystuje si sprzenie po-la elektromagnetycznego z innymi polami fizycznymi, szczeglnie jest to powszechne w urzdzeniach z zakresu szybko rozwijajcej si nanotechnologii i tutaj rwnie zjawiska fizyczne s opisywane rwnaniami Maxwella. Na podstawie bada eksperymentalnych i ob-serwacji kosmologicznych wykazano, e rwnania te opisuj zjawiska fizyczne od skali wymiarw jdra atomowego do wymiarw galaktycznych. Literatura dotyczca pola elektromagnetycznego jest bardzo obszerna, co oczywicie powoduje trudnoci z wyborem. Dobrym wstpem do poznania pola elektromagnetycznego jest zapoznanie si z podrcznikami fizyki dotyczcymi pola elektromagnetycznego. W pierwszym czytaniu lepiej wybiera podrczniki napisane z zastosowaniem midzynaro-dowego ukadu jednostek. Bardzo dobrym podrcznikiem, wznowionym w ostatnich latach, jest Feynmana wykady z fizyki, autorzy: Feynman R. P., Leighton R. B., Sands M., ktre-go tom II dotyczy pola elektromagnetycznego. Podrczniki napisane specjalnie dla inynie-rw, gdzie wykad z pola elektromagnetycznego czsto nazywa si wykadem z elektrodyna-miki bd elektrodynamiki technicznej, odpowiednie dla wstpnego kursu to: Elektryczno i magnetyzm w technice profesora H. Rawy, Elektrotechnika teoretyczna, tom II, Pole elektromagnetyczne profesora M. Krakowskiego. Bardziej zaawansowane podrczniki, ra-czej trudne w pierwszym czytaniu, to: Sikora R. Teoria pola elektromagnetycznego, Zahn M. Pole elektromagnetyczne, Griffiths D. J Podstawy elektrodynamiki. Trzeba rwnie zwrci uwag, e teoria pola elektromagnetycznego wymaga znajo-moci aparatu matematycznego dotyczcego: algebry i analizy wektorowej, obliczania ca-ek po krzywej, powierzchniowych i objtociowych, elementw geometrii rniczkowej. Wskazanym jest przypomnienie odpowiednich wiadomoci z kursu matematyki.

Na zakoczenie krtkiego wstpu dzikuj Panu Profesorowi Kazimierzowi Jakubiu-kowi, ktry podj si niewdzicznego trudu recenzji skryptu. Bardzo dzikuj za yczliwe wskazanie usterek, co pozwolio znacznie poprawi jako skryptu.

Rozdzia 2

POJCIA PODSTAWOWE: JEDNOSTKI, ADUNEK, ZASADA ZACHOWANIA ADUNKU

2.1. Jednostki

Przed przystpieniem do zasadniczej tematyki naszego wykadu przyjmiemy umow, e bdziemy stosowali midzynarodowy ukad jednostek SI (Systme International), ktre-go wielkoci podstawowe podano w tab. 2.1.

Tabela 2.1

Wielko Nazwa Oznaczenie

dugo metr m

masa kilogram kg

czas sekunda s

natenie prdu elektrycznego amper A

temperatura kelwin K

wiato rda wiata kandela cd

W elektrodynamice bdziemy praktycznie stosowali cztery pierwsze jednostki pod-stawowe i std czsto spotykamy si z okreleniem ukad jednostek MKSA. Znajomo jednostek odgrywa bardzo wan rol w pracy inyniera, co wynika z pod-stawowego prawa stwierdzajcego, e wszystkie prawa fizyczne zapisane w postaci formu matematycznych musz mie tak posta, aby wystpowaa zgodno jednostek po obu stronach rwnania. Jako przykad rozpatrzmy zagadnienie wyznaczania okresu drga wahada matema-tycznego. Na niewakiej nici o dugoci L [m] wisi masa o wielkoci M [kg] i przeprowa-dzamy eksperyment w polu o przypieszeniu grawitacyjnym g [ms2]. Naszym celem jest okrelenie, jak zaley okres drga wahada T [s] od tych wielkoci, ktre decyduj o ruchu wahada. Sprbujemy zapisa zwizek midzy okresem wahada a przewidywanymi wiel-kociami fizycznymi L, M, g, ktre decyduj o tym okresie w postaci zalenoci:

gLaMT = (2.1)

gdzie a jest bezwymiarow sta podlegajc okreleniu na drodze eksperymentalnej; , , to bezwymiarowe wykadniki potgowe, ktre naley dobra tak, aby rwnanie (2.1) miao identyczne jednostki po obu stronach rwnania. Do rwnania (2.1) w miejsce wielkoci T, L, M, g podstawiamy jednostki podstawowego ukadu jednostek, a wic mamy rwnanie:

7

2

2

][s][m][kg][s

s

m][m][kg][s

+=

=

.

Zgodnie z podanym powyej prawem, e rwnanie (2.1) musi by jednorodne ze wzgldu na jednostki podstawowe, moemy zapisa ukad rwna dla wyznaczenia liczb , , :

= 0 + = 0 2 = 1.

Po rozwizaniu powyszego ukadu rwna znajdujemy: = 0, = 1/2, = 1/2 i otrzymu-jemy wzr wyraajcy okres wahada matematycznego:

g

LaT = .

Warto zwrci uwag na fakt, e na podstawie analizy wymiarowej wyeliminowalimy za-leno okresu wahada matematycznego od jego masy i wystarczy przeprowadzi prosty eksperyment fizyczny, aby wyznaczy bezwymiarowy wspczynnik a. Mona stwierdzi, e na bazie analizy wymiarowej uzyskalimy bardzo cenn wskazwk na podstawie, kt-rej moemy zaprojektowa eksperyment pozwalajcy okreli okres wahada matematycz-nego. Czsto jednostki podstawowe s zbyt wielkie lub zbyt mae dla okrelenia danej wiel-koci fizycznej i wtedy stosujemy odpowiednie przedrostki oznaczajce, e jednostka danej wielkoci fizycznej zostaa pomnoona przez 10p, gdzie wykadnik p okrela nazwa przed-rostka (tab. 2.2).

Tabela 2.2

Przedrostek Skrt Liczba przez ktr mnoymy jednostk Przykad uycia

atto a 1018 as attosekunda

femto f 1015 fs femtosekunda

piko p 1012 ps pikosekunda

nano n 109 ns nanosekunda

mikro 106 s mikrosekunda

mili m 103 ms milisekunda

kilo k 103 kHz kilohertz

mega M 106 MHz megahertz

giga G 109 GHz gigahertz

tera T 1012 THz terahertz

peta P 1015 PHz petahertz

exa E 1018 EHz exahertz

8

2.2. adunek elektryczny

W przyrodzie obserwujemy wystpowanie wielkoci zwanych adunkami elektrycz-nymi. Charakterystyczn cech adunkw jest wystpowanie dwch rodzajw adunkw elektrycznych. Jeden rodzaj okrelamy jako adunki dodatnie, a drugi jako ujemne. Fakt, e adunki posiadaj rne znaki stwierdzamy na drodze eksperymentalnej, mierzc siy wy-stpujce midzy adunkami. Stwierdzono, e adunki tego samego znaku si odpychaj a adunki znakw przeciwnych si przycigaj. Bardzo czsto wprowadzamy pojcie tzw. adunku prbnego, ktry definiujemy jako bardzo may adunek dodatni i mierzc si dzia-ajc na ten adunek, okrelamy wielko adunku badanego. Oczywicie okrelenie bar-dzo may nie jest precyzyjne i dlatego w dalszych rozwaaniach bdziemy starali si uwol-ni od precyzowania tego pojcia. Powstaje jednak pytanie, jaki moe by najmniejszy adunek? Odpowiadajc na to pytanie, mona stwierdzi, e kady adunek ma struktur ziarnist, w ktrej podstawowym ziarenkiem jest adunek pojedynczego elektronu, nie-podzielny i wynoszcy okoo 1,60221019 C 0,16 aC. Przyjmuje si, e jest to adunek ujemny. Jednostka adunku jest nazywana kulombem i jest zwizana z jednostkami pod-stawowymi zalenoci: 1 C = 1 As (2.2)

Identyczny adunek dodatni posiada proton i mona powiedzie, e cay adunek ma-kroskopowy stanowi mieszanin olbrzymiej liczby tych elementarnych adunkw. W na-szych rozwaaniach bdziemy zajmowali si efektami wywoanymi przez adunki zoone z wielkiej liczby adunkw elementarnych i dlatego bdziemy traktowa adunek znajduj-cy si w pewnym obszarze przestrzeni V (rys. 2.1) jako wielko fizycznie cig, co ozna-cza, e w rozwaanym obszarze V znajduje si tak dua liczba adunkw, e dokonujc pomiarw, nie obserwujemy wspomnianej wyej ziarnistoci adunku. Wprowadzimy pojcie adunku punktowego, ktry najczciej bdziemy oznaczali li-ter Q. Pojcie adunku punktowego jest wygodne w obliczeniach w sytuacjach, kiedy nie jestemy zainteresowani wielkociami fizycznymi w obszarze, gdzie znajduje si adunek czy wykonujemy pomiary w odlegociach na tyle duych w stosunku do obszaru zajmo-wanego przez adunek, e moemy praktycznie nie bra pod uwag jego rozkadu prze-strzennego. W sytuacji, kiedy rozkad przestrzenny adunku odgrywa istotn rol, wprowa-dzamy pojcie objtociowej gstoci adunku , ktr definiujemy:

=

V

QV 0lim (2.3)

gdzie Q to adunek zawarty w obszarze V (rys. 2.1). Przyjmujemy, e obszar V jest na tyle duy, e wystpujcy w nim adunek Q nie wykazuje ziarnistoci czyli jest opisy-wany funkcj cig. Wymiarem adunku objtociowego zgodnie ze wzorem (2.3) jest [Cm3]. adunek objtociowy moe by zaleny od pooenia w przestrzeni jak rwnie od czasu. Generalnie, dla opisania adunku przestrzennego naley przyj odpowiedni ukad wsprzdnych przestrzennych, np. ukad wsprzdnych prostoktnych x, y, z, w ktrym rozkad gstoci objtociowej opisuje funkcja (x, y, z, t). Jeeli gsto adunku jest nieza-lena od czasu, to bdziemy mwili o statycznym rozkadzie adunku i opisywali funkcj (x, y, z).

9

Rys. 2.1. Obszar o objtoci V zawierajcy adunek Q

Jeeli znany jest rozkad adunku objtociowego (x, y, z, t), to adunek Q(t) zawarty w obszarze V obliczamy z zalenoci:

( )=V

dVtzyxtQ ,,,)( . (2.4)

Przykad 2.1

Wewntrz kuli o promieniu R znajduje si adunek objtociowy okrelony zaleno-ci: (r, t) = msin(t)[1 (r/R)2], gdzie m to amplituda adunku objtociowego, r jest odlegoci od rodka kuli, = 2f to pulsacja gstoci adunku, a f to czstotliwo. Dla obliczenia adunku kuli korzystamy z zalenoci (2.4):

=

RV

m dVR

rttQ

2

1)sin()(

gdzie VR jest objtoci kuli. Ze wzgldu na ksztat obszaru w postaci kuli przyjmujemy ukad wsprzdnych sferycznych , , (rys.2.2) i wyczajc przed znak caki skadniki niezalene od zmiennych cakowania mamy:

=

2

0 0 0

22

sin1)sin()(R

m drddrR

rttQ

gdzie czynnik r2sin jest jakobianem wynikajcym z przyjcia ukadu wsprzdnych sfe-rycznych.

Rys. 2.2. Ukad wsprzdnych sferycznych r, ,

10

Dziki przyjciu ukadu wsprzdnych sferycznych mamy do obliczenia trzy niezalene caki i po wykonaniu cakowania i podstawieniu granic mamy:

)sin(4,0)( tQtQ m =

gdzie Qm = 4/3(R3m). Warto zwrci uwag na fakt, e adunek Qm reprezentuje maksy-malny adunek zawarty w kuli o promieniu R naadowanej rwnomiernie adunkiem o g-stoci m. Ze wzgldu na nierwnomierny rozkad maksymalny adunek znajdujcy si w kuli jest 2.5 razy mniejszy jak to pokazuje wspczynnik 0,4 we wzorze okrelajcym cakowity adunek kuli.

2.3. Zasada zachowania adunku elektrycznego

Istotn wasnoci adunku elektrycznego jest fakt, e w przyrodzie wystpuje idealna rwnowaga adunkw elektrycznych dodatnich i ujemnych. Innymi sowy, jeeli wytwo-rzymy adunek ujemny, to jednoczenie powstanie dokadnie taka sama ilo adunku do-datniego. Wyrazem tej wasnoci przyrody jest zasada zachowania adunku, ktr mona wyrazi nastpujco:

Cakowity adunek elektryczny ukadu odosobnionego, tzn. algebraiczna suma dodatnich i ujemnych adunkw wystpujcych w dowolnej chwili, nie moe ulec zmianie.

Przez ukad odosobniony rozumiemy ukad, ktrego granic nie przenika materia w adnej postaci. Oznaczajc objto ukadu odosobnionego przez V(t), a jego adunek przez Q(t), moemy zasad zachowania adunku zapisa w postaci:

.0d

)(d =t

tQ (2.5)

Rys. 2.3. Obszar odosobniony V(t)

lub biorc pod uwag (2.4) mamy:

( )( )=

tV

Vtzyxtt

tQd,,,

d

d

d

)(d .

W przypadku oglnym, kiedy objto V(t) zmienia si z czasem, nie mona zmieni kolejnoci cakowania i rniczkowania, co oznacza, e nie moemy przej z rniczko-waniem pod znak caki, nie biorc pod uwag zmiennoci w czasie granic jej obszaru V(t).

11

W celu obliczenia pochodnej w tym przypadku skorzystamy z definicji pochodnej, przyj-mujc, e obszar cakowania w chwili t wynosi V, a w chwili t + t wynosi V + V (rys.2.3):

( ) ( )

+

=

+

VVVt

VtzyxVttzyxtt

Qd,,,d,,,

1lim

d

d0

.

Zapisujc pierwsz z caek w powyszej zalenoci w postaci sumy dwch caek, mamy:

( ) ( ) ( )+

+++=+VVVV

VttzyxVttzyxVttzyx d,,,d,,,d,,,

i zbierajc razem caki po obszarze V(t), mamy:

( ) ( )[ ] ( )

+

+

=

VV

tVttzyx

tVtzyxttzyx

tt

Qd,,,

1d,,,,,,

1lim

d

d0

(2.6)

Pierwsza caka jest cak obliczan po ustalonym w chwili t obszarze V(t) i moemy przej do granicy wzgldem t, otrzymujc:

( ) ( )[ ]

( ) ( )

( )( )

=

=

+=

=

+

tV

Vt

Vt

Vt

tzyx

Vt

tzyxttzyx

Vtzyxttzyxt

d,,,

d,,,,,,

lim

d,,,,,,1

lim

0

0

Element objtoci dV w drugiej z caek we wzorze (2.6) moemy zapisa w postaci dV = dl dS, ale biorc pod uwag, e dl = vnt dla maych czasw t mamy:

( ) ( )

( )( )

=

=

+

=

+

tS

n

S

nt

Vt

Svtzyx

Stvttzyxt

Vttzyxt

d,,,

d,,,1

limd,,,1

lim00

Zbierajc razem wyniki przeprowadzonych oblicze, mamy zasad zachowania adunku w postaci zalenoci:

0ddd

d =+=

SV

SVtt

Qnv , (2.7)

gdzie skadow normaln prdkoci v zapisano w postaci iloczynu skalarnego wektora normalnej n i prdkoci v, a mianowicie vn = v n. Zapisana w postaci cakowej (2.7) zasada zachowania adunku jest zwizan z cako-waniem po caym obszarze V(t), ktry moe by nieskoczony, co powoduje najczciej

12

powane kopoty obliczeniowe. Bardziej odpowiedni postaci jest podanie zasady zacho-wania w postaci rwnania rniczkowego, jak mwimy w postaci lokalnej. Dla dokonania tego przejcia, korzystajc z twierdzenia Gaussa, zapiszemy drug z caek w rwnaniu (2.7) w postaci:

( ) =VS

VS ddivd vnv

gdzie ( ) ( ) ( ) ( )z

v

y

v

x

v zyx

+

+

=

vdiv jest operacj dywergencji na polu wektorowym v

w ukadzie wsprzdnych prostoktnych. W literaturze bardzo czsto wprowadza si tzw. symbol nabla , ktry w ukadzie wsprzdnych prostoktnych mona zapisa symbolicznie:

zyx zyx

++

= eee (2.8)

gdzie wektory ex, ey, ez s wektorami jednostkowymi ukadu wsprzdnych prostoktnych dla osi x, y, z odpowiednio. Wektory jednostkowe ukadu osi wsprzdnych nazywa si czsto wersorami odpowiednich osi wsprzdnych. Korzystajc z operatora nabla, operacj dywergencji mona symbolicznie zapisa w postaci: ( ).)( vv =div Przeksztacajc na mocy twierdzenia Gaussa cak objtociow na cak powierzch-niow, zapisujemy rwnanie (2.7) w postaci:

( ) 0d =

+

V

Vt

v

Powysza zaleno jest speniona dla dowolnego obszaru V, a wic warunkiem, e bdzie speniona jest zerowanie si wyraenia wystpujcego w nawiasie prostoktnym pod cak, skd wynika zasada zachowania adunku w postaci rwnania rniczkowego:

( ) 0=+

vt

(2.9)

Lub, jak czsto mwimy, w postaci lokalnej. Interpretacja fizyczna rwnania (2.9) wynika z zapisu (2.7). Jeeli wyobrazimy sobie obszar V jako prostopadocian o wymiarach V = xyz, to stwierdzamy, e zmiany gstoci adunku w tym obszarze wywouj prze-pyw strumienia adunku vn przez ciany tego prostopadocianu. Jeeli 0> t , to stru-mie adunku musi by skierowany do wntrza prostopadocianu, czyli vn < 0, gdzie n to wektor normalnej zewntrznej dla prostopadocianu V. Tak wic wzrost adunku wewntrz obszaru jest wytwarzany na skutek istnienia rde zewntrznych, a nie na skutek jego ge-neracji wewntrz obszaru. Zapis prawa zachowania adunku w postaci (2.9) ma jeszcze jedn drobn niedogod-no, a mianowicie w rwnaniu wystpuje wektor prdkoci v, mona powiedzie opisuj-cy mechaniczne wasnoci chmury adunku o gstoci . Jest to zadowalajce ujcie przy opisie dynamiki gazw, ale niezbyt wygodne przy opisie transportu adunkw w cieczach i ciaach staych, a nawet w gazach, jeeli opisujemy gaz jako orodek cigy. Celowym jest

13

odseparowanie si od mechaniki i dlatego wprowadza si pojcie strumienia adunkw, ktry nazywamy wektorem gstoci prdu i definiuje go zaleno:

j = v (2.10)

Jeeli wystpuje K-typw adunkw o gstociach k, ktre poruszaj si z prdkociami vk (k = 1, 2, ..., K), to:

=

=

=Kk

kk

1kvj (2.11)

gdzie suma jest sum wektorow. Jest oczywistym, e rwnie gsto w rwnaniu (2.9) jest w tym przypadku obliczana z zalenoci .

1=

==

Kk

k k Jak wynika z definicji (2.10),

(2.11) gsto prdu jest wektorem i ma wymiar Am2. Po wprowadzeniu wektora gstoci prdu zasada zachowania adunku (2.9) przyjmuje posta:

0=+

jt

(2.12)

Zasada zachowania adunku (2.12) jest jednym z fundamentalnych rwna pola elektroma-gnetycznego i czsto bdziemy si do niej odwoywa. W praktyce czsto mamy do czynienia z obiektami, w ktrych dominujcymi s dwa wymiary, jak w przypadku cienkich pyt bd powok, dla ktrych ich grubo jest prak-tycznie do pominicia. Jeeli obliczamy efekty wywoane obecnoci adunku na pycie, to mona praktycznie zaniedba rozkad adunku wzdu gruboci pyty bd powoki. Po-dobna sytuacja wystpuje w przypadku obiektw wykonanych z materiaw przewodz-cych, gdzie adunek gromadzi si w warstwie powierzchniowej o gruboci kilku warstw atomowych. W takiej sytuacji obliczenia z uwzgldnieniem objtociowego rozkadu a-dunku byyby bardzo trudne, a czsto wrcz niemoliwe, gdy nie potrafimy tego rozkadu objtociowego obliczy. Dla uniknicia tych trudnoci wprowadzamy pojcie powierzch-niowej gstoci adunku (x, y, z, t), ktr definiujemy:

( ) ( )S

tzyxQtzyx

S =

,,,lim,,,

0 (2.13)

gdzie S jest elementarn powierzchni, a Q(x, y, z, t) to adunek znajdujcy si na po-wierzchni S w chwili t (rys. 2.4). Jednostk adunku powierzchniowego jest Cm2. Cako-wity adunek znajdujcy si na powierzchni S obliczamy z zalenoci:

( ) ( ) .d,,,=S

StzyxtQ (2.13)

Podobna sytuacja wystpuje dla obiektw, ktrych jeden wymiar jest znacznie wik-szy od dwch pozostaych. Jako dobry przykad mog tutaj suy przewody napowietrznej linii energetycznej.

14

Rys. 2.4. adunek powierzchniowy (x, y, z, t) i liniowy (x, y, z, t)

Dla przyrzdu pomiarowego znajdujcego si na powierzchni ziemi pod lini, czyli kilka, a czsto kilkanacie metrw od osi przewodw tworzcych lini ich rednica jest praktycznie bez znaczenia. W takiej sytuacji wygodnym modelem matematycznym jest przyjcie rozkadu adunku w postaci tzw. adunku liniowego (x, y, z, t), ktry definiujemy:

( ) ( )L

tzyxQtzyx

L =

,,,lim,,,

0 (2.15)

gdzie Q(x, y, z, t) adunek znajdujcy si na elemencie liniowym o dugoci L w chwili t. Czsto mwic o adunku liniowym, bdziemy brali pod uwag tylko o obiektu (rys. 2.4) i bdziemy mwili, e adunek znajduje si na krzywej (nici), ktrej pooenie w przestrzeni opisuj rwnania opisujce o naszego obiektu. Dla obliczenia cakowitego a-dunku zwizanego z obiektem o dugoci L naley obliczy cak krzywoliniow:

( )=L

LtzyxtQ d,,,)( . (2.16)

Rozdzia 3

PRAWO COULOMBA, POLE ELEKTRYCZNE

3.1. Prawo Coulomba

Umieszczajc dwa punktowe adunki elektryczne Q1, Q2 odpowiednio w punktach P1(x1,

y1, z1), P2(x2,

y2, z2) stwierdzimy, e na kady z adunkw dziaa sia. Kierunek tej siy

wyznacza prosta przechodzca przez punkty P1 i P2, a jej zwrot zaley od znakw obu a-dunkw. Jeeli adunki s tego samego znaku, jak mwimy jednoimienne, to wystpi odpy-chanie si adunkw (rys. 3.1a), a jeeli bd miay rne znaki (rnoimienne), to wystpi przyciganie midzy adunkami (rys. 3.1b).

a) b)

Rys. 3.1. Siy dziaajce midzy dwoma jednoimiennymi (a) i rnoimiennymi adunkami (b)

Warto siy dziaajcej na adunki zostaa wyznaczona eksperymentalnie przez Coulomba i w systemie jednostek SI okrela j zaleno:

2

120

2121 4 r

QQFF

== (3.1)

gdzie: Q1, Q2 wartoci bezwzgldne adunkw, r12 odlego midzy punktami P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) i w ukadzie wsprzdnych

prostoktnych (x, y, z) odlego obliczamy z zalenoci:

2

122

122

1212 )()()( zzyyxxr ++= , 0 przenikalno elektryczna prni jest zdefiniowane jako: 0 = 107 4c2 F/m gdzie

c prdko wiata, ktr praktycznie mona przyj c = 3108 m/s. Podstawiajc prdko wiata, otrzymujemy dla przenikalnoci elektrycznej prni warto 0 = 109 36 F/m.

Przenikalno elektryczna prni jest wielkoci mianowan, a jej jednostk jest farad/metr. W systemie SI na mocy zalenoci (3.1) mamy:

[ ]3

42

2

2

2

2

0mkg

sA

mN

C

metrniuton

kulomb

=

=

= .

16

Wzr (3.1) wyznacza tylko warto siy dziaajcej na adunki. Chcc zapisa t si w postaci wektorowej wprowadzamy do rwnania (3.1) dodatkowo bezwymiarowy wektor jednostkowy e12 lecy na prostej czcej adunki o zwrocie od adunku Q2 do Q1 i wzr (3.1) wyznaczajcy wektor siy ma posta:

2122120

211 4

FeF ==r

QQ

(3.2)

Naley pamita, e do zalenoci (3.2) podstawiamy wzgldne wartoci adunkw, tzn. a-dunki wraz ze znakami. Spotkamy si rwnie w literaturze z zapisem, w ktrym zamiast wektora jednostkowego e12 wprowadza si wektor r12. Wektor r12 jest wektorem lecym na prostej czcej adunki o zwrocie od adunku Q2 do Q1 i wartoci rwnej odlegoci r12 midzy adunkami, a wic wielkoci mianowan o wymiarze odlegoci. Przy takim zapi-sie wzr (3.2) przyjmuje posta:

2123120

211 4

FrF ==r

QQ

. (3.3)

3.2. Pole elektryczne

Warto zauway, e sia oddziaywania midzy adunkami elektrycznymi nie jest wy-woana faktem bezporedniego dotykania si adunkw, ale powstaje, mimo e midzy adunkami wystpuje pewna odlego r12. Uwaamy, e wok kadego adunku, w prze-strzeni go otaczajcej, istnieje pole elektryczne E, ktre przenosi informacj o adunku do kadego punktu w przestrzeni otaczajcej adunek rdowy. Pole elektryczne jest najcz-ciej niewyczuwalne przez nasze zmysy i dopiero umieszczajc inny adunek, tzw. adunek prbny i mierzc si na niego dziaajc moemy wykry obecno pola elektrycznego w punkcie, gdzie znajduje si adunek prbny. Oczywicie takie adunki prbne mog si znajdowa rwnie na naszym ciele i wtedy wyczuwamy obecno pola elektrycznego, do-znajc niekiedy bolesnego poraenia zwizanego z przepywem adunkw elektrycznych. Dla ilociowego okrelenia pola elektrycznego wywoanego w punkcie P1 obecnoci adunku Q2 w punkcie P2 podzielimy obie strony wzoru (3.2) przez adunek Q1 i definiuje-my wynik dzielenia siy F1 przez adunek Q1 jako natenie pola elektrycznego E(x1,

y1, z1) = E(1) zalenoci:

122120

2

1

1

4)1( e

FE

r

Q

Q == .

Jednostk natenia pola elektrycznego jest V/m. Generalnie pomijajc indeks przy adun-ku rdowym, a wic kadc Q2 = Q, pole elektryczne w punkcie P1(x1, y1, z1), wywoane obecnoci adunku Q w punkcie P2(x2, y2, z2),wyraa si zalenoci:

1221204

)1( eEr

Q

= (3.4)

Jak powiedziano powyej obecno pola elektrycznego w punkcie P1 moemy stwier-dzi, umieszczajc w tym punkcie adunek i mierzc dziaajc na niego si. Ten tzw. a-dunek prbny powinien by may w stosunku do adunku rdowego, aby nie zakca je-go pola i przyjmujemy umow, e jest to adunek dodatni. Przyjcie adunku dodatniego

17

jest wygodne, gdy pozwala nam bezporednio z pomiaru siy dziaajcej na adunek prb-ny wyznaczy natenie pola elektrycznego w punkcie, gdzie znajduje si adunek. Warto zwrci uwag na fakt, e wzr (3.4) jest zapisem wektorowym, a wic, obli-czajc natenie pola elektrycznego w ukadzie wsprzdnych prostoktnych, musimy wy-znaczy generalnie trzy skadowe tego pola Ex(1), Ey(1) i Ez(1), ktre opisuj zalenoci:

[ ]

( )[ ]( )

[ ]23221221221021

111

2

32

212

212

210

21111

2

32

212

212

210

21111

)()()(4),,(

)()(4

)(),,(

)()()(4

)(),,(

zzyyxx

zzQzyxE

zzyyxx

yyQzyxE

zzyyxx

xxQzyxE

z

y

x

++

=

++

=

++

=

(3.5)

Fakt, e wok adunku punktowego Q istnieje pole elektryczne moemy przedstawi obrazowo za pomoc strzaek, ktrych kierunek pokrywa si z kierunkiem pola w punkcie, gdzie znajduje si rodek strzaki (punkt obserwacji). Dugo strzaki jest proporcjonalna do wartoci pola elektrycznego w punkcie obserwacji, a jej zwrot pokazuje zwrot wektora pola elektrycznego w tym punkcie. Jest to obecnie czsto stosowany sposb przy prowa-dzeniu oblicze rozkadu pola elektrycznego za pomoc maszyn cyfrowych i jego wizual-nej prezentacji. Rysunki 3.2 i 3.3 przedstawiaj symbolicznie obraz rozkadu pola wok adunku punktowego dodatniego i ujemnego odpowiednio w paszczynie z = 0. Rysunki tego typu su jako pomocnicze narzdzie dla atwiejszego wyobraenia sobie rozkadu pola elek-trycznego. Na podstawie wielkoci i zagszczenia strzaek mona okreli miejsca, gdzie natenie pola elektrycznego osiga najwiksze wartoci. Nie s one w adnym przypadku materiaem, na podstawie ktrego, mierzc dugo strzaek, odczytujemy wartoci pola. Na takie pytania odpowiada program obliczeniowy, podajc wyniki w postaci liczbowej.

Rys. 3.2. Obraz pola elektrycznego wok dodatniego adunku punktowego

18

Rys. 3.3. Obraz pola elektrycznego wok ujemnego adunku punktowego

Z definicji natenia pola elektrycznego adunku punktowego (3.4) wynika, e pole jest liniow funkcj adunku, a wic w jego obliczeniach dla zbioru K adunkw punkto-wych Qk (k = 1, 2, ..., K) mona zastosowa zasad superpozycji, obliczajc natenie pola Ek od poszczeglnych adunkw, a nastpnie sumujc pola poszczeglnych skadowych, obliczamy pole wypadkowe E(P0) w punkcie P0(x,

y, z):

( ) =

=

=Kk

kk

k

k

r

Qzyx

102

004,, eE

(3.6)

gdzie 2220 )()()( kkkk zzyyxxr ++= to odlego midzy punktem obserwacji P0 a punktem Pk(xk,

yk, zk), w ktrym znajduje si adunek Qk, natomiast e0k jest wektorem jed-

nostkowym skierowanym od punktu Pk do punktu P0 (rys. 3.4).

Rys. 3.4. Zasada superpozycji dla wektora natenia pola elektrycznego K adunkw punktowych

Korzystajc z zasady superpozycji, moemy obliczy rozkad natenia pola elek-trycznego wywoany dowolnym znanym rozkadem gstoci objtociowej adunku bd gstoci powierzchniowej bd liniowej . Rozpatrzmy objto V wypenion znanym adunkiem o gstoci objtociowej (x, y, z) (rys. 3.5).

19

Rys. 3.5. adunek objtociowy (x, y, z) w objtoci V

Tworzc prostopadocian o elementarnej objtoci dV, zgodnie z definicj adunku objtociowego zawarty w niej adunek jest dQ = dV. Jeeli jest to adunek punktowy, wektor natenia pola elektrycznego dE w punkcie P1 wynosi: dE(1) = [(dV2)(40r212)]e12. Sumujc wszystkie adunki elementarne dQ w objtoci V, natenie pola elektrycznego w punkcie P1(x1, y1, z1) moemy zapisa w postaci caki obj-tociowej:

=V

Vr

zyxzyx 22

12

222

0111 d

),,(

41

),,( 12e

E

(3.7)

gdzie 2122

122

1212 )()()( zzyyxxr ++= odlego midzy punktem P2(x2, y2,

z2) we-

wntrz obszaru V, w ktrym obliczamy gsto (x2, y2, z2) a punktem obserwacji P1(x1,

y1, z1), wektor jednostkowy e12 w ukadzie wsprzdnych prostoktnych ma skado-

we:

12

21

12

21

12

21 ,,r

zz

r

yy

r

xx .

W wyraeniu podcakowym we wzorze (3.7) wystpuj funkcje wektorowe e12 i mimo eleganckiego krtkiego zapisu niestety, obliczajc t cak, musimy obliczy generalnie trzy caki dla skadowych wektora jednostkowego. Przyczyna tego postpowania jest ba-nalna i wynika z konstrukcji matematycznej caki jako sumy wielkoci skalarnych. Chcc obliczy tak symboliczn cak jak (3.7), musimy wybra ukad wsprzdnych, najwy-godniej ukad wsprzdnych prostoktnych, i rozpisa trzy skadowe wektora jednostko-wego e12(e12x,

e12y, e12z). Tym trzem skadowym wektora jednostkowego odpowiadaj trzy

skadowe natenia pola elektrycznego E(Ex, Ey, Ez) w punkcie obserwacji. Stosujc podobne rozumowanie, jak powyej, moemy wyznaczy rozkad pola elek-trycznego wywoanego przez adunek powierzchniowy umieszczony na powierzchni S:

=S

Sr

zyxzyx 22

12

222

0111 d

),,(

41

),,( 12e

E

bd adunek liniowy umieszczony na krzywej L:

=L

lr

zyxzyx 22

12

222

0111 d

),,(

41

),,( 12e

E

.

20

Podobnie, jak w przypadku adunku objtociowego, obliczenie rozkadu natenia pola elektrycznego za pomoc powyszych caek generalnie wymaga obliczenia trzech niezale-nych caek dla poszczeglnych skadowych wektora natenia pola elektrycznego. Wydaje si, e majc moliwo obliczenia pola elektrycznego za pomoc powy-szych wzorw cakowych, zakoczylimy problem elektrostatyki przynajmniej dla prni. Nawet najbardziej zoone caki potrafimy obliczy numerycznie. Nic wic nie stoi na przeszkodzie, aby napisa program obliczania caek wielowymiarowych, korzystajc ze znanych metod numerycznych i liczy rozkad pola elektrycznego. Niestety, jak to si cz-sto mwi, nasz problem jest ukryty w szczegach. Tym szczegem jest fakt, e praktycz-nie, oprcz kilku mao istotnych przypadkw, nie znamy rozkadu adunku czy to objto-ciowego, czy powierzchniowego, czy liniowego. Jeeli mamy w przestrzeni pewien roz-kad przestrzenny adunku elektrycznego, to pole elektryczne wywoane przez adunki two-rzce ten rozkad wystpuje rwnie w obszarze, gdzie znajduj si adunki. Wiemy z defi-nicji pola, e jeeli adunek Q znajdzie si w polu elektrycznym E, to dziaa na niego sia QE, ktra powoduje, e adunki si przemieszczaj. Nie potrafimy bez wykonania oblicze uwzgldniajcych wizy naoone na rozkad adunku przewidzie jego rozkadu. Wyko-rzystamy zaleno (3.7) dla uzyskania rezultatw, ktre pozwol nam lepiej zrozumie na-tur pola elektrostatycznego i uatwi nam obliczenia jego rozkadu mimo nieznajomoci rozkadu adunkw, ktre to pole generuj.

3.3. Prawo Gaussa

Na pocztek wykorzystamy konsekwencje faktu, e w prawie Coulomba sia midzy adunkami jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odlegoci midzy nimi. Z tego i z zasady superpozycji wynika, e pole elektryczne, wywoane przez objtociowy rozkad adunku w objtoci V, jest opisane wzorem (3.7). Rozwamy zamknit powierzchni S znajdujc si wewntrz obszaru V (rys. 3.6).

Rys. 3.6. Wyprowadzenie prawa Gaussa

Obszar znajdujcy si wewntrz powierzchni S oznaczymy przez Vwew, a obszar Vzew = V Vwew. Na podstawie wzoru (3.7) obliczymy pole elektryczne E1 w punkcie P(1) znajdujcym si na powierzchni S i obliczymy strumie pola przez powierzchni S i mamy:

=S VS

SVr

S 1220

1 dd)2(

41

d)1(12

1211

enEn

21

gdzie n1 jest wektorem normalnej zewntrznej do powierzchni S w punkcie P1 (rys. 3.6). Przystpimy do obliczenia caki znajdujcej si po prawej stronie powyszej rwnoci. Zmieniajc kolejno cakowania i biorc pod uwag, e V = V1 + V2 mamy:

( ) ( ) ( )

+

=

zewwew V SV SS V

VSr

VSr

SVr

2120

2120

1220

dd4

2dd

42

dd2

41

121212

121121121 enenen

Biorc pod uwag, e punkt P(1) ley w obszarze Vwew do caki powierzchniowej w drugim skadniku, moemy zastosowa znane z matematyki twierdzenie Gaussa:

=

zewVS

Vr

Sr

12112ddivd

1212

12121 een

gdzie oznaczenie div1 oznacza, e obliczamy dywergencj wzgldem wsprzdnych punk-tu P(1). Znak minus w rwnoci wynika z faktu, e n1 jest normaln wewntrzn dla obsza-ru Vzew. Zapisujc w ukadzie wsprzdnych prostoktnych wektor e12r122, mamy:

3

12

213

12

213

12

212

12r

zz

r

yy

r

xx

r

+

+

= zyx

12 eeee

gdzie 2122

122

1212 )()()( zzyyxxr ++= , a ex, ey, ez wektory jednostkowe ukadu

wsprzdnych prostoktnych odpowiednio osi x, y i z. Obliczajc dywergencj wektora e12r12 wzgldem zmiennych x1, y1, z1, otrzymujemy div1(e12r122), a wic obliczana caka jest rwna zeru i pozostaje do obliczenia caka ( )

wewV S

VSr

2120

dd4

2

12

121 en

. Niestety z obli-

czeniem tej caki mamy drobny kopot zwizany z faktem, e punkt P1 ley wewntrz ob-szaru Vwew, co powoduje, e funkcja podcakowa posiada w tym punkcie osobliwo zwi-zan z zerowaniem si odlegoci r12. Dla uniknicia tej trudnoci w matematyce stosuje si zabieg polegajcy na otoczeniu punktu P1 kul o maym, a w granicy zmierzajcym do ze-ra, promieniem r (rys. 3.6). Po wprowadzeniu tej maej kuli o powierzchni Sr zapiszemy cak powierzchniow w postaci:

+

=

rr SSSS

Sr

Sr

Sr

Sr

12121212dddd

12121212

121121121121 enenenen

Suma dwch pierwszych caek po lewej stronie powyszej rwnoci ogranicza objto ograniczon powierzchniami S i Sr i rwn V0 = Vwew Vr. Wewntrz tej objtoci funkcja podcakowa nie jest osobliwa, a wic moemy zastosowa twierdzenie Gaussa, przekszta-cajc cak powierzchniow na cak po objtoci:

=

=

+

+ 0 12121212121121212

ddivdddVSSSS

Vr

Sr

Sr

Sr

rr

12121121121 eenenen .

22

Dywergencj wektora e12r12 obliczylimy dla Vzew i moemy skorzysta z tego wyniku, czyli div1(e12r122), a tym samym mamy:

=

rSS

Sr

Sr

1212dd

1212

121121 enen . Obliczenie ostatnie

caki po powierzchni maej kuli o promieniu r zmierzajcym do zera jest nietrudne. Wektor jed-nostkowy e12 jest skierowany zgodnie z umow na zewntrz kuli i pokrywa si z kierunkiem jej promienia. Jednostkowy wektor normalnej n1 jest skierowany do wntrza kuli i pokrywa si z kierunkiem promienia, a wic iloczyn skalarny n1e12 = 1, gdy kt midzy obu wektorami wynosi 180. Odlego r12 midzy powierzchni kuli a jej rodkiem wynosi r i jest staa. Obli-

czajc cak powierzchniow, mamy: 44dd2

2

12121212

==

=

rr

Sr

Sr

rSS

121121 enen . Reasumujc

przeprowadzone obliczenia, otrzymujemy prawo Gaussa dla pola elektrycznego w prni:

=VS

Vzyx

dS d),,(

0

En (3.8)

Otrzymany przez nas wynik stwierdza, e strumie wektora natenia pola elektrycznego przez powierzchni zamknit S jest rwny cakowitemu adunkowi zawartemu w objtoci V ograniczonej przez powierzchni S podzielonemu przez 0, a wic jeszcze raz mamy po-twierdzenie, e pole elektryczne jest polem rdowym. rdem strumienia pola elek-trycznego przez powierzchni ograniczajc pewien obszar przestrzeni jest adunek istnie-jcy w tym obszarze. Jeeli adunek zawarty w obszarze ograniczonym powierzchni S b-dzie rwny zeru, to strumie przepywajcy przez t powierzchni musi by rwny zeru. Nie oznacza to, e pole elektryczne na powierzchni S jest rwne zeru, a jedynie stwierdza, e rozkad pola w przestrzeni musi by w tym wypadku taki, aby caka ze skadowej nor-malnej pola elektrycznego po powierzchni S bya rwna zeru. Naley pamita, e prawo Gaussa odnosi si tylko do strumienia pola elektrycznego przez powierzchni zamknit. Podobnie jak przeksztacilimy zasad zachowania adunku z postaci cakowej na lo-kaln posta rniczkow rwnie moemy przeksztaci prawo Gaussa (3.8), korzystajc z twierdzenia Gaussa: =

SV

SV dddiv AnA susznego dla dowolnego cigego pola wek-

torowego A. Korzystajc z tego twierdzenia moemy rwnanie (3.8) zapisa w postaci:

0d),,(

div0

=

V

Vzyx

E

i stosujc klasyczne postpowanie, e warunkiem spenienia powyszej rwnoci dla do-wolnej objtoci V jest zerowanie si funkcji podcakowej otrzymujemy jedno z czterech rwna Maxwella:

0

div=E (3.9)

Otrzymane rwnanie jest suszne zarwno dla pola statycznego, jak rwnie dla pola elek-trycznego i adunku bdcych funkcj czasu, czyli dla pl dynamicznych lub, jak mwimy, dla pola elektromagnetycznego. Wykorzystanie prawa Gaussa w postaci (3.8) do wyznaczenia rozkadu pola elek-trycznego praktycznie jest moliwe tylko w kilku przypadkach. Gwna przyczyna jest

23

zwizana z nasz bardzo ograniczon umiejtnoci rozwizywania rwna cakowych, a rwnanie (3.8) przy zadanym rozkadzie gstoci objtociowej stanowi rwnanie cako-we, z ktrego naleaoby wyznaczy wektor natenia pola elektrycznego E. Mamy jednak takie przypadki, gdzie na drodze rozwaa fizycznych wynikajcych z symetrii obiektu, po-trafimy przewidzie rozkad pola elektrycznego w przestrzeni i pozostaje nam tylko obli-czy jego warto liczbow. Wyznaczymy rozkad pola elektrycznego wywoanego przez adunek objtociowy (r) znajdujcy si wewntrz kuli o promieniu R. Rozkad adunku objtociowego w kuli jest zaleny tylko od odlegoci r od rodka kuli. Rozwaymy dwa przypadki, a mianowi-cie: 1) rozkad rwnomierny (r) = 0, 2) rozkad opisany zalenoci (r) = 0(rR)2.

Na podstawie symetrii sferycznej obiektu (kula) wybieramy ukad wsprzdnych sferycz-nych r, , (rys. 3.7). Gsto objtociowa jest wielkoci niezalen od wsprzdnych ktowych i , a wic nie ma adnej przyczyny, aby pole elektryczne zaleao od tych wsprzdnych, czyli moemy przyj, e pole zaley tylko od odlegoci od rodka kuli r. Ze wzgldu na symetri sferyczn rozkadu i jego niezaleno od zmiennych , nate-nie pola elektrycznego powinno mie tylko skadow promieniow, ktr oznaczymy jak E(r) (rys. 3.7). Przyjmujemy powierzchni sferyczn o promieniu r i rodku w pocztku ukadu wsprzdnych i na mocy prawa Gaussa mamy:

=rr VS

Vzyx

S d),,(

d0

En .

Rys. 3.7. Ukad wsprzdnych sferycznych r, , ; er, e, e wektory jednostkowe osi r, , odpowiednio. Pole elektryczne w punkcie P wywoane obecnoci adunku punktowego

w pocztku ukadu wsprzdnych

Caka powierzchniowa jest atwa do obliczenia, gdy ze wzgldu na fakt, e natenie pola elektrycznego E ma tylko skadow promieniow E(r), a kierunek normalnej pokrywa si z kierunkiem wektora jednostkowego er, moemy zapisa =

rr SS

SrES d)(dEn . Warto

skadowej E(r) jest wielkoci sta na powierzchni kuli o promieniu r, std mamy )(4d)(d)(d 2 rErSrESrES

rrr SSS

=== En , gdy caka powierzchniowa po powierzchni

kuli jest rwna jej powierzchni.

24

W przypadku caki objtociowej z gstoci adunku elektrycznego musimy nie tylko rozway, e mamy dwa rne rozkady, ale rwnie uwzgldni, czy promie r po-wierzchni obliczeniowej jest mniejszy, czy wikszy od promienia R kuli, we wntrzu ktrej znajduje si adunek. Jak wspomniano przy opisie prawa Gaussa, jedynie adunek wewntrz powierzchni Sr wytwarza pole na tej powierzchni. W przypadku r R caka objtociowa w przypadku 1 przyjmuje posta:

1. 0

03

0

2

0

0

0

2

00

3

4ddsindd

),,(

rrrV

zyxr

Vr

== , a w przypadku 2 gstoci bdcej kwadratow funkcj promienia mamy:

2. 0

052

0

22

0

0

0

2

00

5

4ddsindd

),,(

r

Rrr

R

rV

zyxr

Vr

=

= .

Dla r R w przypadku 1 bdzie:

1. 0

03

0

2

0

0

0

2

00

3

4ddsindd

),,(

RrrV

zyxR

Vr

== , a w drugim:

2. 0

03

0

22

0

0

0

2

00

5

4ddsindd

),,(

Rrr

R

rV

zyxR

Vr

=

= .

Na mocy prawa Gaussa otrzymujemy dla staej gstoci:

1.

=

. dla 3

dla 3

)(

20

030

0

Rrr

R

R rr

rE

Warto zauway, e pole wewntrz kuli zawierajcej rwnomiernie rozoony adunek przestrzenny zmienia si liniowo w funkcji odlegoci od rodka kuli. Natomiast dla r R, czyli na zewntrz kuli, mamy E(r) = Q40r2, a wic pole ma rozkad identyczny z rozka-dem adunku punktowego Q = (4R30)3, ktry znajduje si w rodku kuli. Rwnie wa-nym wynikiem jest cigo pola dla r = R. Czy obliczamy pole elektryczne ze strony r < R, czy ze strony r > R, to dla r = R wynik jest identyczny. Jest to wana cecha cigoci ska-dowej normalnej wektora natenia pola elektrycznego. Dla gstoci objtociowej zalenej od kwadratu odlegoci r mamy:

2.

=. dla

5

dla 5

)(

20

30

32

0

0

Rrr

R

RrrR

rE

Natenie pola elektrycznego wewntrz kuli zmienia si z trzeci potg promienia dla rozkadu gstoci adunku objtociowego bdcego kwadratow funkcj promienia. Na-tomiast na zewntrz moemy napisa E(r R) = 0,6Q40r2, a wic jeeli adunek obli-

25

czymy tak jak przy rozkadzie rwnomiernym z zalenoci Q = (4R30)3, to pole na ze-wntrz jest mniejsze i jego maksymalna warto osigana na powierzchni kuli wynosi tylko 0,6 wartoci pola dla rwnomiernego rozkadu adunku. Z naszych oblicze wynika wniosek, e obliczajc pole elektryczne wywoane przez adunek objtociowy musimy zna jego rozkad w przestrzeni, gdy sposb rozmieszcze-nia adunku wpywa istotnie na warto pola. Powstaje pytanie, czy mierzc rozkad pola na zewntrz obszaru zajtego przez adunek objtociowy, jestemy w stanie odtworzy roz-kad przestrzenny tego adunku? Postawione pytanie naley do bardzo trudnych proble-mw, gdy jak wida z porwnania rozkadu pola elektrycznego dla r R, w obu przypad-kach charakter zmiennoci pola jest identyczny, czyli pole maleje z kwadratem odlegoci. Analizujc przebieg zmian pola w funkcji odlegoci, nie uzyskamy adnych uytecznych informacji na podstawie znajomoci charakteru jego zmiennoci na zewntrz obszaru, gdzie znajduje si adunek. Oczywicie moemy stwierdzi, e maksymalna warto natenia pola elektrycznego jest mniejsza, ale aby to oceni musimy zna natenie pola przy roz-kadzie rwnomiernym i mc rozsdnie przyj 0 w obu przypadkach. Dla prostej geome-trii sferycznej ju wida trudnoci, jakie mamy z identyfikacj rozkadu adunku, a dodat-kowe komplikacje bd zwizane z ksztatem obszaru, w ktrym jest rozoony adunek. Przedstawiony problem naley do grupy tzw. problemw odwrotnych i jest jednym z naj-trudniejszych zada, jakie czsto inynier musi rozwiza.

Rozdzia 4

POLE CENTRALNE, POTENCJA, PRACA W POLU ELEKTRYCZNYM

4.1. Pole elektrostatyczne jako pole centralne

Obecnie zbadamy wnioski wynikajce z faktu, e pole elektryczne generowane przez wiele rde spenia zasad superpozycji. Na podstawie tej wasnoci pola elektrycznego wyznaczamy pole elektryczne dla poszczeglnych rde, a nastpnie wyznaczamy wypad-kowe pole, sumujc pola skadowe. Oznacza to, e jeeli udowodnimy pewn ogln wa-sno pola elektrycznego dla pojedynczego adunku elektrycznego, to za pomoc zasady superpozycji bdziemy mogli przenie t wasno na ukad adunkw (3.6) bd cigy rozkad adunku (3.7). Pole elektryczne w punkcie P1 wywoane przez adunek punktowy Q znajdujcy si w punkcie P2 okrela zaleno (3.4). Pole okrelone tak zalenoci nazywamy polem centralnym. Mwimy, e statyczne pole elektryczne, podobnie jak pole grawitacyjne, jest polem centralnym. Pole centralne ma fundamentaln wasno, a mianowicie, praca wyko-nana w takim polu midzy dwoma punktami A i B jest niezalena od drogi, po jakiej przej-dziemy z punktu A do B. W celu wykazania, e praca WAB midzy punktami A, B jest nie-zalena od sposobu przejcia z punktu A do punktu B w polu elektrostatycznym rozpocz-niemy od analizy sytuacji dla adunku punktowego, a nastpnie, korzystajc z zasady su-perpozycji, uoglnimy nasz wynik na dowolny rozkad adunkw.

Rys. 4.1. Interpolacja krzywej cakowania we wzorze (4.1)

W polu elektrycznym wytworzonym przez adunek punktowy Q rozpatrzymy prac wykonan przy przemieszczaniu adunku prbnego q po krzywej zamknitej L (rys. 4.1). Praca W wykonana przez si F po krzywej L jest dana zalenoci:

=L

W dlF

27

gdzie wektor dl pokrywa si z kierunkiem stycznej do krzywej L, jego zwrot jest wybrany w ten sposb, e obchodzimy krzyw tak, aby jej wntrze mie po lewej stronie, a jego warto jest rwna elementarnej dugoci uku dl. Obliczamy prac wykonan przy prze-mieszczaniu adunku prbnego q. Zgodnie z definicj natenia pola elektrycznego E, wy-woanego przez adunek Q, na adunek prbny q dziaa sia F = qE. Podstawiajc do po-wyszej caki i wyczajc przed znak caki stay adunek prbny q, mamy:

=L

qW dlE (4.1)

Dla obliczenia caki (4.1) aproksymujemy krzyw L ukami okrgw o rodku w punkcie, gdzie znajduje si adunek Q i koce ukw poczymy odcinkami, ktre pokrywaj si z promieniem uku (rys. 4.1). Jeeli bdziemy stosowali coraz krtsze uki, to jest oczywi-ste, e w granicy otrzymamy warto caki (4.1). Taka aproksymacja cakowania ma t za-let, e pole elektryczne na ukach jest prostopade do stycznej do tego uku, co wynika z konstrukcji uku. Przemieszczajc adunek prbny po uku, nie wykonujemy adnej pra-cy, gdy iloczyn skalarny Edl jest rwny zeru, poniewa na uku oba wektory s wzajem-nie prostopade. Wynika to z faktu, e pole elektryczne E jest polem centralnym, a rodek uku znajduje si w centrum pola. Pozostaje nam do policzenia caka po odcinkach cz-cych kolejne uki i pokrywajcych si z promieniem wodzcym uku. Na tych odcinkach kierunek pola elektrycznego pokrywa si z kierunkiem odcinka stanowicego drog cako-wania wic Edl = Edr, gdzie E jest wartoci pola na odcinku, a dr elementem dugoci. Biorc pod uwag definicj pola elektrycznego dla adunku punktowego (3.4) dla k-tego

odcinka o kocach w punktach k, k + 1 mamy

=

++

102

0

11

44

1

kk

r

rrr

Qdr

r

Qk

k

.

Sumujc udziay wszystkich odcinkw od pierwszego do ostatniego, mamy:

++++++

+

KKkkkkLrrrrrrrrrr

Q 1111111111

4 11132210KK

dlE

Sumujc wszystkie skadniki, otrzymujemy:

KLrr

QdlE

11

4 10, ale r1 = rK (rys.4.1), co

oznacza 0L

dlE . Ostatecznie po przejciu do granicy otrzymujemy bardzo istotny wynik:

0=L

dlE (4.2)

Wynik powyszy otrzymalimy, co prawda, dla pola elektrostatycznego adunku punkto-wego, ale zasada superpozycji, ktr pole elektryczne spenia, pozwala nam uoglni ten wynik dla dowolnego rozkadu adunkw. Warto osignity przez nas wynik podsumowa w postaci stwierdzenia:

Przemieszczajc adunek w polu elektrostatycznym po drodze zamknitej, nie wykonujemy adnej pracy.

Dowd, e praca przy przemieszczaniu adunku z punktu A do punktu B nie zaley od dro-gi po jakiej przejdziemy z punktu A do B jest prost konsekwencj powyszego stwierdze-

28

nia. Wemy dowoln krzyw zamknit L przechodzc przez punkty A i B (rys. 4.1) i roz-my j na dwie krzywe LAB i LBA. Zachodzi oczywisty zwizek wynikajcy z wasnoci caki krzywoliniowej, a mianowicie: 0

BAAB

=+= LLL

dlEdlEdlE . Biorc pod uwag, e

zmiana kierunku cakowania na uku LBA zmienia znak caki mamy: =0ABBA LL

dlEdlE ,

gdzie dla podkrelenia, e uk LAB0 jest rny od uku LAB wprowadzono wskanik 0 (rys. 4.1). Ostatecznie otrzymujemy =

0ABAB LL

dlEdlE . Otrzymany wynik potwierdza, e nieza-

lenie od drogi, jak dojdziemy z punktu A do B, warto caki bdzie tylko funkcj poo-enia punktw kocowych drogi. Moemy wic zapisa cak jako rnic jej wartoci w punktach kocowych A i B:

( ) ( )AB =B

A

dlE (4.3)

4.2. Potencja elektryczny

Funkcj skalarn (A), (B) nazywamy potencjaem elektrycznym w punkcie odpowied-nio A, B i mwimy o polu skalarnym potencjau elektrycznego (x, y, z). Jednostk potencjau elektrycznego jest volt [V]. Potencja elektryczny zdefiniowany wzorem (4.3) nie jest okrelony jednoznacznie, gdy warto caki zawsze zaley od rnicy potencjau w punktach kocowych krzywej cakowania. Jeeli dodamy do wartoci potencjau (x, y, z) dowoln sta C i utworzy-my nowy potencja (x, y, z) = (x, y, z) + C, to warto caki (4.3) nie ulegnie zmianie, gdy

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )BACBCABAB

A

=++== dlE . Dla jednoznacznego okrelenia po-tencjau elektrycznego trzeba wprowadzi dodatkowy warunek, przyjmujc tak zwany po-tencja odniesienia. Sposb przyjcia potencjau odniesienia nie jest spraw bardzo istotn gdy naszym zasadniczym celem jest obliczenie rozkadu pola elektrycznego, a to jest zaw-sze funkcj rnicy potencjaw. Wykaemy obecnie, e jeeli znamy rozkad potencjau elektrycznego w pewnym ob-szarze przestrzeni V, czyli znamy wynik cakowania wektora natenia pola elektryczne-

go B

A

dlE dla dwch dowolnych punktw bdcych kocami dowolnej drogi midzy tymi

punktami, to potrafimy wyznaczy pole elektryczne E w obszarze V. Innymi sowy, roz-wiemy rwnanie cakowe (4.3) przy danej wartoci prawej strony. Rozpatrzmy dwa punkty A(l) i B(l + dl) (rys. 4.2) znajdujce si w niewielkiej odle-

goci dl od siebie. Obliczajc cak B

A

dlE po linii prostej czcej oba punkty i korzystajc

z twierdzenia o wartoci redniej w rachunku cakowym, moemy napisa:

( ) ( ) ( )dllldlEst += B

A

dlE ,

29

gdzie punkt ley na odcinku midzy punktami A, B. Dzielc przez dl i przechodzc do granicy, otrzymujemy:

( )dl

dEst

=A ,

gdzie ddl oznacza pochodn kierunkow wzdu prostej l przechodzcej przez punkt A. Znak minus w powyszym rwnaniu wynika z przyjtej umowy, e adunkiem prbnym jest adunek dodatni.

Rys. 4.2. Obliczenie natenia pola elektrycznego

Przyjmujc ukad wsprzdnych prostoktnych x, y, z i kierujc prost l wzdu od-powiednich osi mamy:

zE

yE

xE

z

y

x

=

=

=

(4.4)

czyli znajc rozkad potencjau elektrycznego (x, y, z) w objtoci V, moemy wyznaczy skadowe wektora natenia pola elektrycznego Ex, Ey, Ez w tym obszarze, obliczajc od-powiednie pochodne potencjau (4.4). Ze wzgldu na fakt, e pole elektryczne jest wekto-rem, moemy wnioskowa, e rwnie trzy pochodne czstkowe potencjau tworz wektor. Wektor ten nazywamy gradientem i ukad rwna (4.4) zapisujemy krtko:

grad=E (4.5)

lub, korzystajc z operatora nabla, mamy:

=E .

Otrzymany przez nas wynik jest bardzo wany, gdy pozwala on w istotny sposb zmniejszy wysiek zwizany z obliczaniem pola elektrycznego. Jeeli bdziemy potrafili wyznaczy skalarne pole potencjau elektrycznego dla danego rozkadu adunku, co ozna-cza konieczno wyznaczenia tylko jednej funkcji skalarnej, to obliczenie pola jest ju bar-dzo proste. Na podstawie zalenoci (4.4) musimy tylko generalnie obliczy trzy pochodne czstkowe odpowiednio w kierunku osi x, y i z, co jest znacznie prostsze nieli obliczanie trzech caek. Pozostaje nam tylko zbudowanie odpowiednich wzorw i rozpoczniemy, jak

30

zwykle, od adunku punktowego, a nastpnie, korzystajc z zasady superpozycji, uoglni-my dla dowolnego rozkadu.

Rys. 4.3. Potencja adunku punktowego

Dla adunku punktowego Q (rys. 4.3) jego pole elektryczne E ma w ukadzie wsp-rzdnych sferycznych r, , tylko skadow promieniow E(r) = Q(40r2), gdzie r od-lego od punktu, w ktrym znajduje si adunek. Wybieramy drog cakowania pokrywa-jc si z promieniem r i cakujc od punktu A(r1) do punktu B(r2), otrzymujemy:

( )

( )( )

2010

r

r

rB

rA r4

Q

r4

QdrrE

2

1

2

1

== dlE ,

gdzie potencja w punkcie A jest (A) = Q(40r1), a w punkcie B (B) = Q(40r2). Dla usunicia niejednoznacznoci w okreleniu potencjau wystarczy naoy logiczny fi-zycznie warunek, e potencja w nieskoczonej odlegoci od adunku rdowego jest rwny zeru. Oznacza to, e umieszczajc punkt B w nieskoczonoci, co jak wida z zale-noci (B) = Q(40r2) prowadzi do zerowania si potencjau, nie mona do potencjau w punkcie A i B dopisa dowolnej staej. Tak wic, przyjmujc umow o zerowaniu si po-tencjau w nieskoczonej odlegoci od rda dla adunku punktowego, mamy jedno-znacznie okrelony potencja, ktry w odlegoci r od adunku wyznaczony wzorem:

r

Qr

04)(

= (4.6)

Powierzchni, na ktrej warto potencjau jest staa, nazywamy powierzchni ekwi-potencjaln. Wyznaczamy te powierzchnie, rozwizujc rwnanie:

(x, y, z) = 0, (4.7)

gdzie 0 jest potencjaem danej powierzchni ekwipotencjalnej. Przyjmujc rne wartoci 0, otrzymujemy rodzin powierzchni ekwipotencjalnych dla pola skalarnego potencjau elektrycznego (x, y, z). W przypadku adunku punktowego powierzchnie ekwipotencjalne s wsprodkowymi powokami kulistymi o promieniu Ri = Q(40i), i = 1, 2, ..., I. Rozkad powierzchni ekwipotencjalnych dla dodatniego adunku punktowego o wartoci Q = 1n C przedstawiono na rys. 4.4, a dla adunku ujemnego Q = 1n C na rys. 4.5. Jedno-czenie na rysunkach narysowano wektor pola elektrycznego E, ktry jest styczny do linii wychodzcych z punktu, gdzie znajduje si adunek i prostopady do powierzchni ekwipo-tencjalnej. Czsto przedstawia si pole elektryczne, rysujc powierzchnie ekwipotencjalne i linie si, do ktrych jest styczny wektor natenia pola elektrycznego. Linie si rysujemy zawsze prostopadle do powierzchni ekwipotencjalnych. Wynika to z faktu, e wektor pola elek-

31

trycznego jest gradientem potencjau (4.5), a wic jego skadowe s obliczane jako pochod-ne potencjau. Poniewa powierzchnia ekwipotencjalna charakteryzuje si staym potencja-em, wic pochodne potencjau w kierunku stycznych do powierzchni s rwne zeru ze wzgldu wanie na stao potencjau. Jedyn rn od zera pochodn potencjau jest po-chodna normalna do powierzchni, co oznacza, e pole elektryczne jest prostopade do po-wierzchni ekwipotencjalnej.

Rys. 4.4. Powierzchnie ekwipotencjalne adunku punktowego Q = 1nC

Rys. 4.5. Powierzchnie ekwipotencjalne adunku punktowego Q = 1nC

Matematycznie moemy potwierdzi nasze rozumowanie, obliczajc normaln do po-wierzchni (4.7). Skadowe normalnej n(nx,

ny, nz) do powierzchni ekwipotencjalnej w uka-

dzie wsprzdnych prostoktnych wyraaj si wzorami:

222

222

222

),(),(),(

,

),(),(),(

,

),(),(),(

,

zyx

zz

zyx

yy

zyx

xx

n

n

n

++=

++=

++=

gdzie dla skrcenia zapisu pochodne czstkowe oznaczono x = ,x; y = ,y; z = ,z Ale zgodnie z (4.5) mamy: Ex = ,x; Ey = ,y; Ez = ,z;

32

i 222 ),(),(),( zyxE ++= jest moduem natenia pola elektrycznego, a wic kierunek

wektora normalnej do powierzchni ekwipotencjalnej pokrywa si z kierunkiem natenia pola elektrycznego na tej powierzchni poniewa skadowe obu wektorw s jednakowe co do wartoci bezwzgldnej. Powrmy do naszego problemu pocztkowego, a mianowicie stwierdzilimy, e jee-li wyznaczymy pole adunku punktowego, to korzystajc z zasady superpozycji, ktr rw-nie spenia potencja elektryczny, wyznaczymy rozkad potencjau elektrycznego dla do-wolnego rozkadu adunku o gstoci objtociowej (x, y, z). Postpowanie nasze niczym nie rni si od postpowania przy obliczaniu pola elektrycznego dla znanego rozkadu a-dunku objtociowego w obszarze V z tym, e teraz mamy pole skalarne, a wic oblicze-nia s znacznie prostsze (rys. 4.6).

Rys. 4.6. adunek objtociowy (x, y, z) w obszarze V

Podobnie jak przy obliczaniu pola elektrycznego, wycinamy w obszarze V niewielk kostk o objtoci dV2 i traktujc adunek dQ = (x, y, z)dV2 jako adunek punktowy, znaj-dujemy potencja d(x1, y1, z1) w punkcie P1. Zgodnie z rwnaniem (4.6) mamy:

( ) ( )120

2222111 4

,,,,

r

dVzyxzyxd

=

i sumujc zgodnie z zasad superpozycji udziay wszystkich adunkw znajdujcych si w objtoci V, otrzymujemy potencja elektryczny:

( ) ( )=V

r

dVzyxzyx

120

2222111 4

,,,,

(4.8)

gdzie jak zwykle ( ) ( ) ( )22122122112 zzyyxxr ++= odlego midzy punktami P1 i P2. Stosujc analogiczne postpowanie dla adunku powierzchniowego znajdujcego si na powierzchni S, mamy potencja elektryczny:

( ) ( )=S

r

dSzyxzyx

120

2222111 4

,,,,

(4.9)

i dla adunku liniowego rozoonego na krzywej L:

33

( ) ( )=L

r

dlzyxzyx

120

2222111 4

,,,,

. (4.10)

W przypadku adunku liniowego warto osobno rozpatrzy przypadek adunku umiesz-czonego na dugiej prostoliniowej nici. W ten sposb najczciej modelujemy przewody energetycznej linii napowietrznej. Okrelenie, e linia jest duga oznacza pominicie wpy-wu kocw linii na rozkad pola elektrycznego. Pomijajc te, jak mwimy, efekty kraco-we zakadamy, e linia jest nieskoczenie duga. Taki model daje zadowalajce wyniki, je-eli nie odsuwamy si na od linii na odlego nie wiksz ni 12 dugoci linii, co w praktyce czsto jest spenione. W przypadku linii napowietrznej jako dugo linii przyjmu-jemy odstp midzy dwoma kolejnymi supami podporowymi linii. Rozpatrujemy nieskoczenie dug ni naadowan staym adunkiem liniowym . Przyjmujemy ukad wsprzdnych cylindrycznych r, , z (rys. 4.7), ktrego o z pokrywa si z nici. Rozkad adunku liniowego jest niezaleny od kta ze wzgldu na symetri cylindryczn nici oraz wsprzdnej z ze wzgldu na nieskoczon dugo nici. Pole elek-tryczne wywoane przez ten adunek nie zaley ani od , ani od z. Pole elektryczne jest je-dynie funkcj wsprzdnej r bdcej odlegoci od nici.

Rys. 4.7. adunek liniowy rozoony wzdu prostej

Ze wzgldu na nieskoczon dugo nici naadowanej staym adunkiem i jej syme-tri cylindryczn pole elektryczne wok nici jest skierowane wzdu promienia r (rys. 4.7), co oznacza, e w ukadzie wsprzdnych cylindrycznych, w ktrym dowolny wektor A ma trzy skadowe Ar, A i Az, pole elektryczne ma tylko skadow promieniow Er oznaczan dalej jako E. Jeeli wiemy, e pole elektryczne nici ma tylko skadow promieniow i jest ona zalena tylko od r, to do obliczenia pola elektrycznego najwygodniej zastosowa prawo Gaussa. Budujemy walec o osi pokrywajcej si z nici i dugoci tworzcej L, promieniu r. Stosujc prawo Gaussa, mamy:

00 0

2

00

E(r)2E(r)

L

dzLrrddzdSLL

S

==== nE

i obliczajc E(r):

r02

E(r)= (4.11)

34

Obliczajc cak (4.3), w ktrej drog cakowania przyjmujemy w postaci linii pokrywajcy si z promieniem r, mamy:

( ) ( ) ( )BArr

drBA

r

r

B

A

B

A

=

==

1ln

21

ln2

rE00

dlE .

Niestety nie mamy tak prostej sytuacji jak w przypadku adunku punktowego. Teraz skad-nik ln(lrB) dy do + lub w zalenoci czy rB zmierza do zera czy do nieskoczono-ci. To, e potencja jest nieograniczony w nieskoczonoci jest zwizane z modelem nie-skoczenie dugiej nici. Jednak caka, ktra zaley od stosunku odlegoci ln(rBrA) ma okrelon warto i nie sprawia kopotw z wymiarami (nie obliczamy ln z metrw), gdy zawsze wystpuje stosunek odlegoci. Wiemy z poprzednich rozwaa, e potencja moemy okreli z dokadnoci do sta-ej, ktr eliminujemy, przyjmujc potencja odniesienia. Dla zachowania wzoru (4.3) przyjmiemy, e potencja nieskoczenie dugiej nici naadowanej adunkiem liniowym w punkcie odlegym o r od nici okrela zaleno:

( )

=

rr

1ln

2 0 (4.12)

Dla uniknicia kopotw wymiarowych moemy przyjmowa, e w liczniku wyraenia pod logarytmem mamy 1 metr. Zaleno (4.12) okrelajc potencja elektryczny naadowanej linii wykorzystujemy, rozwizujc tzw. zadania dwuwymiarowe. Zadanie dwuwymiarowe, to takie, gdzie potencja jest funkcj dwch zmiennych. Rozpatrzymy przykad demonstru-jcy zastosowanie potencjau opisanego wzorem (4.12). Dana jest cienka, nieskoczenie duga tama o szerokoci 2a naadowana adunkiem powierzchniowym (x) = 0, gdzie x jest wsprzdn liczon od rodka tamy (rys. 4.8). Postawione przez nas zadanie jest technicznie wane, gdy opisuje rozkad pola elektrycz-nego wok dugiego pasa transmisyjnego. Przyjmijmy ukad wsprzdnych prostoktnych x, y, z jak na rys. 4.8. Poniewa tama jest nieskoczenie duga potencja elektryczny wok niej nie bdzie zalea od zmiennej z, co oznacza, e jest tylko funkcj zmiennych x i y, czyli nasze zadanie jest zadaniem dwuwymiarowym.

Rys. 4.8. Duga tama naadowana adunkiem powierzchniowym

adunek liniowy = dx0 znajdujcy si na nieskoczenie dugiej nici generuje w punkcie P(x, y) potencja d okrelany zalenoci:

35

( )

+=

2200

00 1ln2

)(),(

yxx

dxxyxd

.

Sumujc potencja od wszystkich nici, otrzymujemy:

( )

+=

a

a yxx

dxyx

2200

00 1ln2

),(

,

a po wykonaniu cakowania mamy potencja wok tamy:

( ) ( ) ( )

+

+

+

+++

++=

y

ax

y

ax

a

y

a

yax

a

ax

a

yax

a

axayx

tgarctgarc

lnln22

,2

22

2

22

0

0

gdzie dla uzyskania bezwymiarowych wyrae pod znakiem logarytmu do potencjau do-dano sta C = (0a)(20) [(x a)a] ln(1a) [(x + a)a] ln(1a). Znajc rozkad potencja-u wok tamy, wyznaczymy pole elektryczne, co jest zasadniczym celem naszych obli-cze. Poniewa potencja zaley tylko od dwch zmiennych x, y w ukadzie wsprzdnych prostoktnych, wic pole elektryczne ma tylko dwie skadowe Ex i Ey. Skadowa natenia pola elektrycznego na o x jest:

( )( )

+++==

22

22

0

0 ln2

,yax

yaxE xx

a skadow na o y okrela wyraenie:

+==y

ax

y

axE yy tgarctgarc2

,0

0

Obliczmy natenie pola elektrycznego na linii y = 0. Podstawiajc do powyszych wzorw dla skadowej na o x: Ex = (0)(20) ln|(x + a)(x a)|, a skadowa na o y: Ey = 0 dla x [a, a]. Jeeli bdziemy zbliali si do kracw tamy x = a, to pole elektryczne b-dzie osigao bardzo due wartoci. Oczywicie, jeeli musimy policzy pole dokadnie na brzegu tamy x = a, to obliczajc skadow Ex, znajdujemy warto dla dowolnego sta-ego adunku powierzchniowego na tamie. W rzeczywistoci sytuacja nie wyglda tak tra-gicznie, poniewa przy zblianiu si do brzegw tamy istotn rol zaczyna odgrywa gru-bo tamy i krzywizna jej brzegu na kocu. Dla zobrazowania na rys. 4.9 narysowano rozkad linii ekwipotencjalnych. Dla nary-sowania tego rozkad przeksztacono wzr opisujcy potencja do postaci bezwymiarowej, wprowadzajc wsprzdne bezwymiarowe x = a i y = a oraz wprowadzajc bezwymia-rowy potencja zalenoci = (20)(0a). Zalet wykonania rysunku w zmiennych bezwymiarowych jest to, e rysunek jest prawdziwy dla dowolnej gstoci powierzchnio-wej i dowolnej szerokoci tamy.

36

Rys. 4.9. Rozkad linii ekwipotencjalnych bezwymiarowego potencjau . Lini pogrubion oznaczono pooenie tamy

Jeeli chcemy mie rysunek dla konkretnych danych wystarczy odpowiednie przeskalowa-nie bezwymiarowego potencjau i wsprzdnych , . Z wykazanego powyej prawa, e caka z wektora natenia pola elektrycznego w elektrostatyce jest niezalena od drogi (4.2), wynika drugie z podstawowych rwna r-niczkowych Maxwella w elektrostatyce. Dla wyprowadzenia tego rwnania rozpatrzmy krzyw zamknit L i na tej krzywej rozpinamy powierzchni S (rys. 4.10).

Rys. 4.10. Powierzchnia w twierdzeniu Stokesa

W analizie wektorowej mamy twierdzenie Stokesa, ktre stwierdza, e dla pola wekto-rowego A posiadajcego cige pochodne zachodzi:

=SL

dSAndlA rot (4.13)

gdzie n wektor normalnej jednostkowej do powierzchni S. Zwrot wektora normalnej n jest zgodny z ruchem postpowym ruby prawoskrtnej obracanej zgodnie z obiegiem krzywej L. Obieg krzywej L przyjmujemy w ten sposb, e obchodzc krzyw L obszar S mamy po lewej stronie. W wyniku operacji rotacji otrzymujemy wektor, ktry w ukadzie wsprzdnych prostoktnych wyraa si zalenoci:

+

+

=y

A

x

A

x

A

y

A

z

A

y

A xyzxyzzyx eeeArot (4.14)

37

gdzie Ax, Ay, Az skadowe wektora A odpowiednio na osie x, y, z o wektorach jednostko-wych ex, ey, ez odpowiednio. W symbolicznym zapisie za pomoc operatora nabla zapisu-jemy rotacj w postaci symbolicznego iloczynu wektorowego: AA =rot . (4.15)

Zastosujemy twierdzenie Stokesa do caki liniowej ze skadowej stycznej wektora na-tenia pola elektrycznego: =

SL

dSEndlE rot (4.16)

Jak to zostao wykazane praca pola elektrostatycznego wykonana przy przemieszczaniu a-dunku po drodze zamknitej jest rwna zeru (4.2). Uwzgldniajc (4.2), mamy:

0rot =S

dSEn

a poniewa powierzchnia S bya wybrana dowolnie, to powysza rwno bdzie speniona, jeeli wyraenie podcakowe bdzie rwne zeru. Jednostkowy wektor normalnej do po-wierzchni nie jest rwny zeru, a wic przyjmujemy, e:

0E =rot (4.17)

lub symbolicznie: E = 0. Otrzymane drugie z rwna Maxwella dla elektrostatyki jest rwnaniem wektorowym i ge-neralnie s to trzy rwnania wynikajce z przyrwnania do zera odpowiednich skadowych rotacji. Podsumowujc, moemy poda dwa rwnania rniczkowe dla wektora natenia po-la elektrostatycznego w prni: 0E =rot

i 0

div=E .

Mamy cztery rwnania rniczkowe dla okrelenia trzech nieznanych skadowych pola elektrycznego, gdy gsto objtociow bdc rdem pola traktujemy jako wielko znan. Mona powiedzie, e mamy nadmiar rwna rniczkowych, gdy dla okrelenia trzech niewiadomych skadowych natenia pola elektrycznego mamy cztery rwnania rniczkowe, a wic o jedno za duo. W rozwizaniu tej trudnoci jest nam pomocna to-samo dotyczca gradientu dowolnego pola skalarnego. Tosamo ta stwierdza, e rota-cja gradientu dowolnego pola skalarnego jest zawsze rwna zeru, czyli:

rot(grad ) 0 (4.18)

a wic kada ze skadowych jest rwna zeru. Wykazalimy, e pole elektrostatyczne jest polem potencjalnym (4.5). Z tosamoci (4.18) wynika, e rwnanie (4.17) dla natenie pola elektrostatycznego, jako pola poten-cjalnego, jest spenione, gdy 0E = )grad(rotrot

38

czyli przyjmujc natenie pola elektrostatycznego jako E = grad speniamy pierwsze trzy rwnania dotyczce rotacji. Pozostaje do spenienia ostatnie rwnanie, ktre po pod-stawieniu gradientu potencjau przyjmuje posta:

0

)grad(div = . (4.19)

W ukadzie wsprzdnych prostoktnych x, y, z rwnanie (4.19) przyjmuje posta:

0

2

2

2

2

2

2

=

+

+

zyx (4.20)

Jest to rwnanie rniczkowe czstkowe w matematyce nazywane rwnaniem eliptycznym, natomiast w fizyce najczciej jest nazywane rwnaniem Laplacea, jeeli = 0. Jeeli 0, to rwnanie nazywamy rwnaniem Poissona. Metody rozwizania tych czstkowych rwna rniczkowych s dobrze opanowane, obecnie s to gwnie metody numeryczne z wykorzystaniem maszyn cyfrowych. Na rynku jest oferowanych wiele programw komercyjnych, ktrych uproszczone wersje mona zna-le bezpatnie w Internecie.

Rozdzia 5

PRZEWODNIKI I IZOLATORY. POLE ELEKTROSTATYCZNE PRZEWODNIKW.

POJEMNO

5.1. Pole elektrostatyczne przewodnikw

W poprzednich rozdziaach opisywalimy pole elektryczne w prni, a obecnie zba-damy wpyw orodka materialnego na pole elektryczne. Z punktu widzenia pola elektrosta-tycznego, orodki materialne dzieli si na dwa zasadnicze rodzaje. Pierwszy rodzaj nazy-wamy przewodnikami a drugi izolatorami bd dielektrykami. Zasadnicza rnica midzy obu rodzajami materiaw polega na zdolnoci przewodzenia prdu elektrycznego. Gene-ralnie przewodnikiem nazywamy orodek, w ktrym istniej adunki mogce si swobodnie przemieszcza. Najbardziej znanym przykadem przewodnikw s metale, w ktrych elek-trony maj znaczn swobod w przemieszczaniu si. Jednak klasa materiaw przewodz-cych jest znacznie szersza, gdy nale do niej np. elektrolity oraz zjonizowane gazy. W ta-kich materiaach jak elektrolity czy zjonizowane gazy w ruchu adunkw uczestnicz nie tylko elektrony ale rwnie jony zarwno dodatnie, jak i i ujemne. Z punktu widzenia elek-trostatyki, do przewodnikw zaliczamy rwnie materiay pprzewodnikowe. Zdolno do przepywu strumienia adunkw w orodku materialnym jest charaktery-zowana wielkoci zwan przewodnoci elektryczn oznaczan w elektrotechnice najcz-ciej liter . Jednostk przewodnoci elektrycznej jest simens/metr [S/m] = [A/(Vm)]. W tabeli 5.1 podano warto przewodnoci elektrycznej dla kilku wybranych przewodnikw.

Tabela 5.1

Materia [S/m] T [s]

aluminium 34,5106 2,561019

mied 58,8106 1,501019

elazo 10,4106 8,501019

srebro 62,5106 1,411019

platyna 9,1106 9,721019

rt 1106 88,41019

roztwr kwasu siarkowego 5% 20 4,421012

roztwr kwasu siarkowego 30% 73,9 1,201012

roztwr NaCl 5% 6,7 1,321011

roztwr NaCl 20% 19,6 4,511012

woda morska 0,14 (8,840,22)1010

grunt 0,110 (8,840,09)1010

Porwnujc wartoci przewodnoci rnych materiaw podanych w tablicy 5.1, wi-da w jak szerokich granicach zmienia si przewodno elektryczna. Nie mona rwnie

40

powiedzie, e izolatory to materiay o zerowej przewodnoci elektrycznej, gdy byoby to nieprawdziwe stwierdzenie. Najczciej do izolatorw zaliczamy materiay, ktrych prze-wodno elektryczna jest mniejsza od okoo 1S/m = 106S/m. Jeeli orodek materialny posiada rn od zera przewodno elektryczn, to w polu elektrycznym na swobodne adunki q w nim si znajdujce dziaa sia F = qE. Jako, e a-dunki s swobodne, to pod wpywem tej siy zaczn si one porusza i bdzie to z pewno-ci ruch uporzdkowany, ktry moemy opisa za pomoc wektora gstoci prdu j. Jak wynika z tego prostego opisu midzy polem elektrycznym a gstoci prdu bdzie istnia zwizek i przy praktycznie stosowanych polach spodziewamy si, e bdzie to zwizek li-niowy. Badania przepywu prdu byy przeprowadzone przez Ohma i zwizek midzy g-stoci prdu a nateniem pola elektrycznego nosi nazw prawa Ohma:

j = E (5.1)

Niekiedy jest te stosowana nazwa rniczkowe prawo Ohma. Oczywicie, dla cisoci powinnimy poda precyzyjnie warunki, w ktrych powysze prawo jest prawdziwe. Jed-nak w dalszym wykadzie bdziemy si czsto odwoywa do prawa Ohma i bdziemy omawia rne czynniki mogce by rdem uporzdkowanego ruchu adunkw. Z tych rozwaa wyrobimy sobie pogld pod koniec naszego wykadu, jakie warunki powinny by spenione dla zapisania prawa Ohma w postaci (5.1). W celu zbadania zachowania si fluktuacji w rozkadzie adunkw wewntrz orodka materialnego rozwamy nastpujcy problem: W chwili t = 0 wewntrz jednorodnego izotropowego orodka materialnego wystpuje pewien objtociowy rozkad adunku 0(V), gdzie V objto rozwaanego orodka. Chcemy zbada sytuacj, co dzieje si z tym rozkadem gstoci objtociowej dla nastp-nych chwil czasowych. Znalezienie odpowiedzi na to pytanie jest bardzo istotne. Ta odpo-wied pozwala nam oceni, czy powstae zaburzenie w rozkadzie adunku wewntrz orodka materialnego utrzyma si, a wic, czy bdziemy musieli wyznacza pole elektrycz-ne wywoane przez ten rozkad adunku. Dla znalezienia odpowiedzi na nasze pytanie skorzystamy z rwnania Maxwella:

0

div=E

oraz zasady zachowania adunku w postaci rwnania:

t

= jdiv

i prawa Ohma w postaci (5.1). Podstawiajc z prawa Ohma zamiast gstoci prdu pole elektryczne do rwnania opisujcego cigo adunku, mamy: div (E) = t. Biorc pod uwag, e orodek jest jednorodny, co oznacza, e jego przewodno elektryczna jest wielkoci niezalen od zmiennych przestrzennych oraz ze wzgldu na orodek izotropo-wy jest niezalena od sposobu wyboru kierunkw osi ukadu wsprzdnych, moemy wy-czy spod operatora dywergencji, otrzymujc: div E = t. Podstawiajc za dywe-rgencj pola elektrycznego adunek objtociowy z rwnania Maxwella, otrzymujemy rw-nanie rniczkowe pierwszego rzdu dla objtociowej gstoci adunku w postaci:

00

=+

t (5.2)

41

Rozwizaniem rwnania rniczkowego (5.2) speniajcym warunek pocztkowy (t = 0, V) = 0(V) jest:

( ) ( )

=

T

tVVt exp, 0 (5.3)

gdzie staa czasowa T = 0. Z otrzymanego rozwizania (5.3) wynika, e kada fluktuacja w rozkadzie adunku objtociowego w orodku materialnym bdzie zanikaa wedug krzywej wykadniczej. Ocen czasu zanikania podaje nam staa czasowa T. W praktyce moemy przyj, e po 35 staych czasowych zaburzenie zanika. Z podanych w tabeli 5.1 wartoci staej czasowej T wynika, e dla metali bd ich stopw bdcych dobrymi przewodnikami jest ona rzdu 1018 s, a dla sabych przewodnikw jak roztwory elektrolitw czy grunt staa czasowa jest rzdu 1010 s. Model, w ktrym stosujemy obliczenia oparte na zoeniach elektrostatyki, a wic adunki s nieruchome i pole niezmienne w czasie, mona praktycznie stosowa dla czasw po ustabilizowaniu si rozkadu adunku przestrzennego. Jak wynika z przytoczo-nych liczb, nawet w przypadku najgorszych przewodnikw o przewodnoci elektrycznej rzdu 0,1 S s to czasy rzdu uamkw nanosekund. Reasumujc powysze obliczenia, moemy stwierdzi, e nawet w najgorszych prze-wodnikach nie bdzie rozkadu adunku objtociowego, jeeli tylko nie bd nas intereso-way stany pola elektromagnetycznego w czasach krtszych nieli uamki nanosekund. W praktyce stosujemy opis elektrostatyczny pola elektromagnetycznego dla sytuacji ustabi-lizowanych, a wic po zakoczeniu procesw przejciowych zwizanych z istnieniem obj-tociowego rozkadu adunku, czyli dla czasw wikszych od uamkw nanosekund. W dalszym cigu bdziemy przyjmowali, e wewntrz orodka przewodzcego nie wyst-puje adunek objtociowy. Odmienna jest sytuacja przy powierzchni przewodnika, gdy tutaj adunki mog zo-sta zwizane przez pole elektryczne. Dla zbadania tej sytuacji rozwamy zachowanie pola elektrycznego w obecnoci przewodnika. Stawiamy tez, e:

Pole elektrostatyczne wewntrz przewodnika jest rwne zeru.

Nasz tez moemy krtko argumentowa przez rozumowanie zwane w matematyce do-wodem przez sprowadzenie do sprzecznoci. Przed przystpieniem do dowodu jeszcze raz przypomnijmy zaoenie elektrostatyki, ktre sformuowalimy, a mianowicie model pola elektrostatycznego opisuje sytuacj nieruchomych adunkw. Zamy, e postawiona powyej teza jest nieprawdziwa i pole elektrostatyczne E wnika do przewodnika. Zgodnie z prawem Ohma (5.1) wewntrz przewodnika pynie prd elektryczny o gstoci j, co oznacza, jak wiemy, e wystpuje ruch adunkw. Mymy zao-yli, e model elektrostatyczny opisuje adunki nieruchome, a wic mamy sprzeczno z zoeniem i udowodnilimy tym samym prawdziwo naszej tezy: Pole elektrostatyczne wewntrz przewodnikw jest rwne zeru. Twierdzenie o braku pola wewntrz przewodnikw w przypadku elektrostatyki jest o tyle istotne, e warto rwnie przeledzi argumenty termodynamiczne. Jeeli pole elek-trostatyczne wytwarzane przez nieruchome ukady adunkw wnikaoby do wntrza prze-wodnika, to zgodnie z prawem Ohma (5.1) w przewodniku popynie prd elektryczny o g-stoci j. Wiemy na podstawie bada eksperymentalnych, e skoczona warto przewodno-ci elektrycznej wynika ze zderze adunkw tworzcych prd elektryczny z innymi czst-kami orodka przewodzcego. Skutek tych zderze obserwujemy w postaci wzrostu tempe-ratury przewodnika. Przeprowadmy nastpujcy eksperyment mylowy. Do pola elektro-

42

statycznego wprowadzamy przewodnik, co wymaga wykonania pewnej pracy zgodnie z (4.1). Po wykonaniu tej pracy pozostawiamy przewodnik nieruchomy i odczekujemy do-statecznie dugi czas, aby wszystkie procesy przejciowe zwizane z wprowadzeniem prze-wodnika w pole elektrostatyczne zostay zakoczone, a wzrost temperatury zwizany z tym wprowadzeniem w pole skompensowany dostatecznie dugim czasem dla wyrwnania temperatury z otoczenie. Jak wynika z opisu naszego eksperymentu po wprowadzeniu przewodnika w pole elektrostatyczne nie dostarczamy do ukadu przewodnik pole elek-trostatyczne adnej energii mechanicznej. Jednak jeeli dopucimy, e pole elektrostatycz-ne wchodzi do wntrza przewodnika, to adunki, zgodnie z prawem Ohma, poruszaj si, a w zwizku z tym ronie temperatura przewodnika zwizana z wydzielajcym si w prze-wodniku ciepem Joulea. Moemy to ciepo wykorzysta, przetwarzajc je na energi me-chaniczn, co oznacza, e moemy zbudowa perpetuum mobile. Zasady termodynamiki stwierdzaj, e budowa takiego urzdzenia jest niemoliwa. Tak wic, aby elektrostatyka nie obalaa podstawowych zasad fizyki, naley przyj, e pole elektrostatyczne wewntrz przewodnika jest rwne zeru. Warto zauway, e poniewa pole elektryczne wewntrz przewodnika jest rwne zeru, a wic potencja elektryczny tego pola E = grad musi by stay, czyli wewntrz przewodnika = const.

5.2. Warunki brzegowe na granicy przewodnik izolator

Powstaje bardzo interesujce pytanie, co powoduje, e pole elektrostatyczne wewntrz przewodnika nie wystpuje? Dla znalezienia odpowiedzi na to bardzo wane pytanie roz-wamy sytuacj wystpujc na granicy midzy orodkiem przewodzcym a izolatorem (rys. 5.1).

Rys. 5.1. Droga cakowania dla okrelenia skadowej stycznej wektora natenia pola elektrycznego midzy izolatorem a przewodnikiem

Zastosujemy rwnanie Maxwella (4.2), wybierajc drog cakowania L jako brzeg prosto-kta lecego w paszczynie prostopadej do granicy midzy izolatorem a przewodnikiem (rys. 5.1). Zakadajc, e l >> h jest mae, moemy zastosowa twierdzenie o wartoci redniej i otrzymujemy: 0

0== hst

L

lEdlE

Jako wniosek z prawa Maxwella wynika, e na granicy midzy przewodnikiem a izolato-rem skadowa styczna natenia pola elektrycznego jest rwna zeru, czyli pole elektryczne musi by prostopade do powierzchni przewodnika. Jeeli skadowa styczna natenia pola elektrycznego na powierzchni przewodnika jest rwna zeru, to 0 = Est = tE = tgrad = t = 0, gdzie t jest wektorem jednostkowym dowolnej stycznej do powierzchni prze-wodnika, a ddt jest pochodn kierunkow potencjau elektrycznego izolatora w kierunku

43

stycznej t. Poniewa kierunek stycznej jest wybrany dowolnie, wic potencja jego po-wierzchni musi by stay i rwny potencjaowi wewntrz przewodnika. Moemy to sformu-owa w postaci twierdzenia:

Kada powierzchnia przewodzca w elektrostatyce jest powierzchni ekwipotencjaln.

Z naszych rozwaa wynika, e pole elektryczne na powierzchni przewodnika ma tyl-ko skadow normaln do tej powierzchni i powstaje pytanie, co ekranuje wntrze prze-wodnika, uniemoliwiajc polu wnikanie do niego? Jedynym rdem tego przeciw-pola wytwarzanego przez przewodnik moe by adunek wewntrz przewodnika. Wiemy jed-nak, e adunek objtociowy wewntrz przewodnika jest w idealnej rwnowadze i nie mo-e wywoa adnego pola elektrycznego. Jedynie w cienkiej warstwie przypowierzchnio-wej o gruboci kilku warstw atomowych moe nastpi zakcenie w rozkadzie adunku. Zakcenie to musi zanika bardzo szybko przy oddalaniu si od powierzchni w gb prze-wodnika. Dokadne obliczenie gruboci tej warstwy z makrokopowego punku widzenia jest nieistotne, gdy grubo ta nie wpywa w znaczcy sposb na rozkad pola elektrycznego na powierzchni przewodnika. W tej sytuacji wygodnym rozwizaniem jest wprowadzenie adunku powierzchniowego S, ktry znajduje si na powierzchni przewodnika i jego roz-kad jest taki, e ekranuje wntrze przewodnika przed polem zewntrznym, wytwarzajc takie pole, e wypadkowe pole elektryczne wewntrz przewodnika jest rwne zeru. Korzystajc z prawa Gaussa wyznaczymy rozkad adunku na powierzchni przewod-nika (rys. 5.2).

Rys. 5.2. Cylinder na granicy midzy izolatorem a przewodnikiem

W celu zastosowania prawa Gaussa budujemy powierzchni walcow. Przyjmujemy walec o osi prostopadej do powierzchni przewodnika. Zakadajc, e tworzca tak otrzymanego walca h jest maa, moemy na podstawie prawa Gaussa zapisa:

0

Sn

S

n

S

SSEdSEdS == nE

i po podzieleniu przez S otrzymujemy warunek dla skadowej normalnej pola elektrycznego na powierzchni przewodnika graniczcego z izolatorem o przenikalnoci 0:

S

SnE

0

= (5.4)

Biorc pod uwag, e En = n, gdzie n okrela kierunek normalnej zewntrznej do po-wierzchni przewodnika, zapisujemy warunek (5.4) w postaci:

44

S

S

n 0 =

(5.5)

W praktyce najczciej rozkad adunku powierzchniowego nie jest znany i warunki (5.4) bd (5.5) wykorzystujemy dla obliczenia rozkadu adunku powierzchniowego S. Tylko w wyjtkowych przypadkach potrafimy przewidzie rozkad adunku powierzchnio-wego. S to takie przypadki jak nieskoczona pyta, kula czy nieskoczenie dugi walec metalowy.

5.3. Pojemno. Przykady oblicze pola elektrycznego przewodnikw

Rozpatrzmy proste przykady, w ktrych wykorzystamy zdobyte wiadomoci. Jako pierwszy rozpatrzmy samotn elektrod metalow w ksztacie kuli o promieniu R, do ktrej przyoono potencja U. Okrelenie elektroda samotna oznacza, e nie istniej w pobliu inne przewodniki wpywajce na rozkad pola elektrycznego kuli. Zakadamy, e kula znaj-duje si w powietrzu, dla ktrego dopuszczalne natenie pola elektrycznego wynosi Edop = 30 kV/cm, chcemy okreli maksymalne napicie, jakie mona przyoy do elek-trody, aby nie nastpio wyadowanie. Za dopuszczalne uwaa si takie natenie pola elek-trycznego, po przekroczeniu ktrego nastpuje wyadowanie elektryczne. Z oblicze pola dla adunku punktowego Q wiemy, e pole elektryczne ma tylko ska-dow promieniow w ukadzie wsprzdnych sferycznych o rodku pokrywajcym si z pooeniem adunku, a powierzchnie ekwipotencjalne s kulami wsprodkowymi z po-cztkiem ukadu wsprzdnych. Jak stwierdzilimy powyej, powierzchnia metalowa jest zawsze powierzchni ekwipotencjaln, a wic nasza elektroda kulista bdzie powierzchni ekwipotencjaln o potencjale wynoszcym U i bdzie si pokrywaa z powierzchni ekwi-potencjaln adunku punktowego Q(40R) =U, czyli adunek Q potrzebny do powstania potencjau U wynosi: Q = 40RU. Na podstawie przeprowadzonych powyej rozwaa wiemy, e adunek w metalowej kuli, niezalenie, czy bdzie to pena kula czy cienka po-woka sferyczna, nie moe znale si wewntrz metalu, a musi rozoy si na powierzch-ni w postaci adunku powierzchniowego. Poniewa zaoylimy elektrod samotn, nie ma przyczyn, ktre powodowayby nierwnomierny rozkad adunku na powierzchni kuli. Mo-emy w takim bd razie przyj, e rozkad adunku powierzchniowego na kuli jest rw-nomierny i rwny K. Cakowity adunek zgromadzony na kuli jest rwny 4R2k i jest rwny adunkowi Q, jaki umiecilimy wewntrz kuli dla uzyskania potencjau U na po-wierzchni kuli. Podstawiajc adunek Q, znajdujemy adunek powierzchniowy na kuli K = 0UR. Potencja elektryczny w obszarze wewntrz i na zewntrz kuli okrela wzr:

>

= Rr dla Rr dla

)(r

RU

Ur

Warto zauway, e potencja elektryczny jest funkcj cig, a jeg