pd handout
DESCRIPTION
kalkulus teknik sipilTRANSCRIPT
Persamaan Diferensial BiasaKalkulus 2 TI, Matematika 2 TS
Livia Owen, Farah Kristiani
Universitas Katolik Parahyangan
April 27, 2015
Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TS April 27, 2015 1 / 22
Definisi persamaan diferensialPersamaan yang meliputi turunan fungsi satu atau lebih variabel terikatterhadap satu atau lebih variabel bebas.
Solusi persamaan diferensialKebenaran suatu solusi PD dapat diperiksa dengan cara mensubstitusikanfungsi solusi tersebut dan turunannya ke PD.
Solusi umum : Solusi yang masih mengandung konstanta esensial,biasa dimisalkan CContoh : dy
dt − 3y = 1 mempunyai solusi umum y = −13 + Ce3t
Solusi khusus : Solusi tidak mengandung konstanta esensial karenaadanya syarat awal atau syarat batasContoh : dy
dt − 3y = 1, y(0) = 1 mempunyai solusi khususy = −1
3 + 43e
3t
Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TS April 27, 2015 2 / 22
Klasifikasi
Pers.Dif.Biasa (PDB) : Jika turunan fungsi hanya bergantung darisatu variabel bebas.
Pers.Dif.Parsial (PDP) : Jika turunan fungsi bergantung lebih darisatu variabel bebas.
Orde : pangkat tertinggi dari turunan dalam pers diferensial.Bentuk umum PDB orde n untuk y fungsi dari t :
F (t, y , y ′, y”, . . . , y (n)) = 0 (1)
Linear : Jika variabel terikat dan turunannya berpangkat satu dengankoefisien konstanta atau koefisien yang bergantung pada variabelbebasnya. Jika tidak, PD dikatakan Non Linear.Bentuk umum PDB linear orde n untuk y fungsi dari t adalahpersamaan (1) dengan F fungsi linear atau
an(t)y (n)+an−1(t)y (n−1)+. . .+a2(t)y”+a1(t)y ′+a0(t)y = g(t) (2)
Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TS April 27, 2015 3 / 22
Klasifikasi
Homogen : Jika pada ruas persamaan kiri PD tersebut hanyamengandung variabel terikat dan turunannya beserta koefisiennya,sedangkan ruas kanan yang tersisa hanya nol. Jika pada ruas kananterdapat variabel bebas / konstanta maka PD tsb Non Homogen.
Masalah Nilai Awal : Masalah yang melibatkan waktu dandipresentasikan pada PDB bersama-sama dengan nilai awalnya.Contoh : dy
dt = y , y(0) = 10 artinya nilai awal saat t = 0 adalahy = 10
Masalah Nilai Batas : Masalah yang melibatkan daerah (untukdimensi 2) atau interval (untuk dimensi 1) dan dipresentasikan padaPDB bersama-sama dengan syarat-syarat batasnya.
Contoh : d2ydx2
= y , y(0) = 1, y(l) = 0 artinya syarat batas saat x = 0adalah y = 1 dan saat x = l adalah y = 0
Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TS April 27, 2015 4 / 22
Persamaan Diferensial Biasa Orde 1
dy
dx= f (x)
dy = f (x)dx∫dy =
∫f (x) dx
Solusi umum : y = F (x) + C
Solusi khusus : substitusi y(x0) = y0 dan carilah nilai C
Carilah solusi umum dan khusus dari PDB berikut1
dydx = 2x dengan y(−1) = 2
2dydx = x ln x dengan y(1) = 0
3 f ”(x) = 2 dengan f (0) = 3 dan f ′(0) = 44 y ′ = x sin(x2) dengan y(0) = 35 y ′ = ex
√ex + 3 dengan y(0) = 1
6 f ”(x) = x + 1x3
dengan f (2) = 1 dan f ′(2) = 07 f ”(x) = sin 3x dengan f (π) = −2 dan f ′(π) = −3
Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TS April 27, 2015 5 / 22
Metode pemisahan variabel
dy
dx= f (x) g(y)
dy
g(y)= f (x)dx∫
dy
g(y)=
∫f (x) dx
belum tentu → ln |g(y)| = F (x) + C
Carilah solusi umum dan khusus (jika ada nilai awal) dari PDB orde 11
dydx = −6xy di titik (0,7)
2dydx = x+3x2
y2 bila y = 6 saat x = 0
3dydx = 2y + 3
4dydx = ay + b
5 (x ln x) y ′ = y6
dydt = y − y2
7dydt = 1+y2
tLivia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TS April 27, 2015 6 / 22
Soal Terapan Metode pemisahan variabel
1 Diketahui laju pertumbuhan suatu bakteri berbanding lurus denganjumlah bakteri pada saat itu. Bakteri A akan meningkat jumlahnyamenjadi 2 kali semula dalam 3,5 detik. Bakteri B akan meningkatjumlahnya menjadi 3 kali semula dalam 2,75 detik. Jika mula-mulajumlah bakteri A (misalkan A0) = 48 kali jumlah bakteri B(misalkan B0) , pada detik keberapa jumlah bakteri A sama denganjumlah bakteri B? Petunjuk : ln 2 ≈ 0, 7 ln 3 ≈ 1, 1
2 Jika glukosa diinfuskan ke dalam aliran darah seorang pasien denganlaju 3 gram/menit, maka badan pasien akan mengubah danmemindahkan glukosa tersebut dari darahnya dengan laju 0, 02 kalijumlah glukosanya pada setiap saat. Jika Q (t) menyatakan jumlahglukosa dalam darah pada saat t dan Q (0) = 120 gram, tentukan :
1 PD untuk laju perubahan jumlah glukosa dalam darah pada setiap t.2 Solusinya!3 Apa yang terjadi pada Q dalam jangka panjang!
Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TS April 27, 2015 7 / 22
Soal Terapan Metode pemisahan variabel
3 Di suatu kamar hotel ditemukan mayat di dalam kamar yang bersuhutetap 70◦F . Pada jam 12 siang suhu mayat adalah 80◦F dan 1 jamkemudian suhunya 75◦F (suhu orang sehat 98, 6◦F ), dengan asumsipendinginan suhu mayat mengikuti hukum pendinginan Newton.Polisi pergi berkonsulatsi ke Prof. Calculus untuk menanyakan jamterjadinya penbunuhan. Bantulah Prof. Calculus untuk menentukanjam terjadinya pembunuhan tersebut! Petunjuk :
1 Hukum pendinginan Newton : laju perubahan suhu benda berbandinglurus dengan selisih antar suhu benda dan suhu medium
2 ln 2, 86 = 1, 05 dan ln 0, 5 = −0, 7
Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TS April 27, 2015 8 / 22
Faktor Integrasi
dy
dt+ a · y = g(t)
eatdy
dt+ eata · y = eatg(t)
IngatDt [u.v ] = u.v ′ + u′.v
Dt
[eat y(t)
]= eatg(t)
eaty(t) =
∫eatg(t) dt + C
y(t) = e−at∫ t
t0
easg(s) ds + Ce−at
Pengali eat disebut faktor integrasi
µ(t) = e∫a dt
Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TS April 27, 2015 9 / 22
Faktor Integrasi
dy
dt+ p(t) · y = g(t)
Faktor integrasi : µ(t) = e∫p(t) dt
µ(t)dy
dt+ µ(t)p(t) · y = µ(t)g(t)
Dt [µ(t) y(t)] = µ(t)g(t)
µ(t)y(t) =
∫µ(t)g(t) dt + C
y(t) =1
µ(t)
[∫ t
t0
µ(s)g(s) ds + C
]
Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TSApril 27, 2015 10 / 22
Latihan Faktor Integrasi
dy
dt+ p(t) · y = g(t)
Faktor integrasi : µ(t) = e∫p(t) dt
y(t) =1
µ(t)
[∫ t
t0
µ(s)g(s) ds + C
]1 x3 dydx + x2y = 2x3 + 1
2 dydx − y = 2e−
x3 , y(0) = 0
3 (x2 + 1)dydx + 3xy = 6x
4 dydx + 2
x y = sin 3xx2
5 y ′ = 2y + cos x
6 x dy + (3− x) y dx = 0
7 x3y ′ +(2− 3x2
)y = 0
8 y ′ = 2x + 3y , y (0) = 2
Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TSApril 27, 2015 11 / 22
Soal Terapan Faktor Integrasi
Sebuah tangki mula-mula berisi 120 galon air asin, larutan tsbmengandung 75 pon garam laut. Air garam yang berisi 1,2 pon garam pergalon memasuki tangki pada laju 2 galon per menit dan air asin keluartangki dengan laju yang sama. Jika campuran tsb dipertahankan seragamdengan cara tetap mengaduknya, tentukan banyaknya garam dalam tangkisetelah 1 jam.
Misal Q(t) menyatakan jumlah garam saat t.
dQ
dt= rate in - rate out
dQ
dt= 1, 2pon/galon× 2galon/menit− Q
120pon/galon× 2galon/menit
dQ
dt= 2, 4− 1
60Q
dengan nilai awal Q(0) = 75.
Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TSApril 27, 2015 12 / 22
2.3 Pemodelan dengan PD orde 1
Solusi PD Q = 144− 69e−t/60
Untuk jangka waktu yang lama, apakah konsentrat air di dalam tangki tsbkonstan? Berapa banyaknya garam?jaw : y(t →∞) = 144 dan konsentrat 1,2
Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TSApril 27, 2015 13 / 22
PD Eksak
(hanya untuk T.Sipil, TI tidak termasuk bahan)
M(x , y) dx + N(x , y) dy = 0
∂M
∂y=
∂N
∂x
Solusi : Akan dicari F (x , y) = C yang memenuhi
∂F
∂x= M dan
∂F
∂y= N
Buktikan PD berikut eksak dan cari solusinya
1 2xydx +(x2 + y2
)dy = 0
2 eydx + (xey + 2y) dy = 0
3 (2xy − 3) dx +(x2 − 4y
)dy = 0, y (1) = 2
Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TSApril 27, 2015 14 / 22
Persamaan Diferensial Orde 2 Homogen
ad2y
dt2+ b
dy
dt+ cy = 0
ay” + by ′ + cy = 0
y = eλt adalah solusi PDB tersebut sehingga (aλ2 + bλ+ c)eλt = 0.Karena eλx 6= 0 maka persamaan karakteristik
(aλ2 + bλ+ c) = 0
λ1 dan λ2 adalah akar-akar karakteristik.
Review SMA
λ1,2 =−b ±
√b2 − 4ac
2a
Diskriminan D = b2 − 4ac1 D > 0→ 2 akar riil beda2 D = 0→ 2 akar riil sama3 D < 0→ 2 akar kompleks
Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TSApril 27, 2015 15 / 22
PDB Orde 2 Homogen1 2 akar riil beda λ1 6= λ2
yh = C1eλ1t + C2e
λ2t
Contoh : y” + 5y ′ + 6y = 0 dengan y(0) = 2, y ′(0) = 3
2 2 akar riil sama λ1 = λ2
yh = (C1t + C2)eλ1t
Contoh : y” + 4y ′ + 4y = 0 dengan y(0) = 2, y ′(0) = 3
3 akar kompleks λ1 = m + ni dan λ2 = m − ni
yh = C em±int
sifat bil.komplek : e it = cos t + i sin t
yh = C1emt cos(nt) + C2e
mt sin(nt)
Contoh : y”− 4y ′ + 13y = 0 dengan y(0) = 2, y ′(0) = 3
Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TSApril 27, 2015 16 / 22
Latihan PDB Orde 2 Homogen
1 y ′′ + y ′ − 12y = 0
2 y ′′ − 2y ′ − 3y = 0
3 y ′′ + 6y ′ + 9y = 0
4 y ′′ − 4y ′ + 4y = 0
5 y ′′ + 2y ′ + 5y = 0
6 y ′′ + 4y ′ + 13y = 0
Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TSApril 27, 2015 17 / 22
PDB Orde 2 Non Homogen : Metode Koefisien Tak Tentu
ad2y
dt2+ b
dy
dt+ cy = g(t)
ay” + by ′ + cy = g(t)
Solusi : y(t) = yh + ypartikular
Bentuk g(t) Pilihan ypktn ant
n + an−1tn−1 + . . .+ a1t + a0
k cosωt atau k sinωt C1 cosωt + C2 sinωtkeαt Ceαt
keαt cosωt atau keαt sinωt C1eαt cosωt + C2e
αt sinωt
Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TSApril 27, 2015 18 / 22
PDB Orde 2 Non Homogen : Metode Koefisien Tak TentuCarilah solusi umum dari PDB non homogen orde 2
1 y”− 3y ′ − 4y = 3e2t (Hint : yk = Ke2t)2 y”− 3y ′ − 4y = 3e4t (Hint : yk = Kte4t karena e4t sama dengan
solusi homogennya)3 y”− 3y ′ − 4y = 2 sin t (Hint : yk = A cos t + B sin t)4 y”− 2y ′ − 3y = −8et cos 2t
(Hint : yk = Aet cos 2t + Bet sin 2t)5 y”− y ′ − 2y = 5e5t + 2 sin 3t − 18et cos 4t6 y ′′ − 3y ′ − 4y = 67 y ′′ − 2y ′ − 3y = x3 + x8 y ′′ − 2y ′ − 3y = e3x + 69 y ′′ − 3y ′ + 2y = 2x + e3x
10 y ′′ − y ′ + 2y = sin 3x11 y ′′ − 3y ′ − 4y = 6e−x
12 y ′′ + 9y = cos 3x + e2x
13 y ′′ + 4y = 4 sin 2x + e2x
Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TSApril 27, 2015 19 / 22
PDB Orde 2 Non Homogen : Variasi Parameter
yh = C1u1 (x) + C2u2 (x)
solusi homogen dari PD y ′′ + ay ′ + by = g (x);a, b konstanta dan fungsi g kontinu pada daerah definisinya.Jika Wronskian
W (x) =
∣∣∣∣ u1 (x) u2 (x)u′1 (x) u′2 (x)
∣∣∣∣ = u1 u′2 − u2u
′1 6= 0
Maka solusi PD nya adalah
yk = v1 (x) u1 (x) + v2 (x) u2 (x)
dimana
v1 (x) = −∫
u2 (x) g (x)
W (x)dx
v2 (x) =
∫u1 (x) g (x)
W (x)dx
Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TSApril 27, 2015 20 / 22
PDB Orde 2 Non Homogen : Variasi Parameter
yk = v1 (x) u1 (x) + v2 (x) u2 (x)
dimana
W (x) = u1 u′2 − u2u
′1 6= 0
v1 (x) = −∫
u2 (x) g (x)
W (x)dx
v2 (x) =
∫u1 (x) g (x)
W (x)dx
Latihan1 y ′′ + 4y = 3 csc t
y = 3 sin t + 32 ln ‖ csc t − cot t‖ sin 2t + c1 cos 2t + c2 sin 2t
2 y ′′ + y ′ = csc x3 y ′′ + 2y ′ + 2y = e−x sec3 x4 y ′′ + 9y = 9 sec2 3x5 y ′′ + 4y ′ + 4y = e−2x
x2+1
Livia Owen, Farah Kristiani (Universitas Katolik Parahyangan)Persamaan Diferensial Biasa Kalkulus 2 TI, Matematika 2 TSApril 27, 2015 21 / 22