pdf w5 matematika keuangan

MATEMATIKA KEUANGANKONSEP & APLIKASI TIME VALUE OF MONEY

Week 5

Prepared by Rofi & Anna | www.slideshare.net/natriumz | [email protected]

BUNGA DAN PERHITUNGANNYA

Bunga (interest) � Biaya atas penggunaan dana

Principal� Sejumlah uang yang dipinjam atau diinvestasikan

Interest rate� Laju akumulasi bunga, biasanya dinyatakan dalam prosentase

terhadap principal per periode waktu

SIMPLE INTEREST

I = P i n

www.slideshare.net/natriumz

I = Jumlah bunga (simple interest)

P = Principal

i = interest rate per period

n = jumlah periode waktu pinjaman

2

SIMPLE INTEREST

Pak Ahmad menyimpan dana sebesar Rp. 1 Milyar dalam bentuk deposito di Bank ABC

yang dengan suku bunga 12% per tahun. Jika bunga dihitung dengan sistim simple

interest berapa besarnya bunga yang akan diterima oleh Pak Ahmad setiap bulannya?interest berapa besarnya bunga yang akan diterima oleh Pak Ahmad setiap bulannya?

I = Pin

= 1.000.000.000 (0,01) (1)

= Rp. 10.000.000,-

www.slideshare.net/natriumz3

SINGLE-PAYMENT COMPUTATIONS

COMPOUND INTEREST

S = Bunga majemuk (compound amount)

P = Principal

I = Interest

S = P + I


COMPOUND INTEREST

Ali membeli sebuah motor baru seharga Rp. 10.000.000,- dengan sistem kredit selama 2

tahun. Jika agen penjual motor tersebut mengenakan sistem simple interest dengan

tingkat suku bunga 10% per tahun, berapakah total pinjaman berikut bunganya yangtingkat suku bunga 10% per tahun, berapakah total pinjaman berikut bunganya yang

harus dibayar Ali pada akhir tahun ke 2?

S = P + I = P + Pin

= 10.000.000 + 10.000.000(0.1)(2)

= Rp. 12.000.000,-

Berapa besarnya angsuran yang harus Ali bayarkan tiap bulannya?


s = 12.000.000/24

= Rp. 500.000,-

5

SIMPLE INTEREST VS COMPOUND INTEREST


ANNUAL COMPOUND INTEREST


SINGLE-PAYMENT COMPUTATION

FUTURE VALUE

Berapakah nilai dari sejumlah uang pada suatu hari di masa mendatang? Berapakah nilai dari sejumlah uang pada suatu hari di masa mendatang?

Nilai uang setelah satu periode :

S = P + iP

= P(1+i)

Nilai uang setelah dua periode :

S = P(1+i) + i[P(1+i)]


S = P(1+i) + i[P(1+i)]

= P(1+i)(1+i)

= P(1+i)2

8

FUTURE VALUE

Nilai uang setelah tiga periode :

S = P(1+i)2 + i[P(1+i)2]S = P(1+i) + i[P(1+i) ]

= P(1+i)2(1+i)

= P(1+i)3

Dari penjabaran di atas dapat ditarik kesimpulan umum bahwa nilai P setelah n periode

dengan tingkat bunga per periode sebesar i akan menjadi :

ni)+PV(1=FV


ni)+PV(1=FV

FUTURE VALUE

Budi menyimpan $1000 dalam bentuk tabungan dengan tingkat bunga 8% per tahun

majemuk per tahun. Jika Budi tidak pernah menarik uangnya sama sekali selama 10 tahun

berapakah jumlah tabungan Budi pada saat tersebut?berapakah jumlah tabungan Budi pada saat tersebut?

Jawab :

FV = PV(1+i)n

= 1000(1+0.08)10

= 2.158,92


Jadi nilai uang Budi sepuluh tahun mendatang adalah $2.158,92.

10

FUTURE VALUE

Sebuah perusahaan melakukan investasi jangka panjang sebesar $250.000. Tingkat bunga

yang diperoleh adalah 12% per tahun majemuk setiap seperempat tahun. Jika seluruh

bunga yang diperoleh diinvestasikan kembali dengan tingkat bunga yang sama,bunga yang diperoleh diinvestasikan kembali dengan tingkat bunga yang sama,

berapakah nilai investasi tersebut setelah 8 tahun?

Jawab :

FV = PV(1+i)n

= 250000(1+0.03)32

= 643.770


= 643.770

Jadi nilai investasi perusahaan tersebut setelah delapan tahun adalah $643.770.

11

PRESENT VALUE

Seseorang menerima hadiah sebesar $200.000. Ia ingin menginvestasikan sebagian dari

hadiah tersebut untuk keperluan hari esok. Jika ia ingin nilai investasinya sebesar

$300.000 pada 15 tahun mendatang dengan tingkat bunga 12% per tahun majemuk tiap$300.000 pada 15 tahun mendatang dengan tingkat bunga 12% per tahun majemuk tiap

setengah tahun berapakah uang yang harus diinvestasikan sekarang? Berapakah nilai

bunga yang diperolehnya selama 15 tahun tersebut?

Jawab :

ni)+(1

FV=PV 30

.06)+(1

300000=


= 52.233

Jadi untuk memperoleh nilai investasi yang diinginkan pada limabelas tahun mendatang

harus diinvestasikan dana sebesar $52.233.

12

CONTOH LAIN

Berapa tahun yang dibutuhkan agar sejumlah uang yang diinvestasikan dengan tingkatbunga 10% per tahun majemuk setiap seperempat tahun menjadi (a) dua kali lipat, (b) tiga kali lipat, (c) turun 50% dari tiga kali lipat pada point (b), (d) naik 50% dari jumlahsemula?semula?

Jawab :

a) 2 � (1+i)n = 2

(1+0.025)n = 2

n ln 1.025 = ln 2

n = 28,07 ≈ 29 periode � 7 ¼ tahun.

b) (1+0.025)n = 3

=PV

FV


b) (1+0.025) = 3

n = 44,49 ≈ 45 � 11 ¼ tahun

c) (1+0.025)n = 1,5

n = 16.42 ≈ 17 � 4 ¼ tahun

d) (1+0.025)n = 1,5

n = 16.42 ≈ 17 � 4 ¼ tahun

CONTOH LAIN

Berdasarkan data dari departemen pendidikan diketahui bahwa jumlah pendaftar

program pasca sarjana meningkat sebesar 7% setiap tahunnya. Jika tahun ini jumlahprogram pasca sarjana meningkat sebesar 7% setiap tahunnya. Jika tahun ini jumlah

pendaftar adalah 80.000 orang, berapa tahun lagi jumlah pendaftar akan menjadi 200.000

orang?

Jawab :

= 2,580000

200000=

PV

FV


(1+0.07)n = 2,5

n = 13,54 ≈ 14 tahun

14

CONTOH LAIN

Seseorang menginvestasikan dana sebesar $10000. Apabila dalam 10 tahun ia

menginginkan dananya menjadi $20000 berapakah tingkat bunga majemuk tahunan yang

dapat memenuhi keinginan tersebut?dapat memenuhi keinginan tersebut?

Jawab :

20000 = 10000(1+i)10

(1+i)10 = 2

(1+i) = 1.072

i = 7,2%


i = 7,2%

15

BUNGA EFEKTIF

Tingkat bunga majemuk tahunan sering disebut dengan tingkat bunga nominal. Apabila

bunga dimajemukkan dalam waktu kurang dari setahun maka dapat dihitung tingkat

bunga efektifnya (r).

FV = FV

nm)

m

i+PV(1=

nr)+PV(1

nm)

m

i+(1=

nr)+(1

m)

i+(1=r)+(1


m)

m

i+(1=r)+(1

1m

)m

i+(1=r

BUNGA EFEKTIF

Bank ABC menawarkan tabungan dengan tingkat bunga 10% per tahun dan dibayarkan

langsung ke rekening tabungan setiap sebulan sekali. Berapa sebenarnya tingkat bunga

efektif yang ditawarkan oleh Bank ABC?efektif yang ditawarkan oleh Bank ABC?

Jadi bunga efektif per tahun yang ditawarkan oleh Bank ABC adalah 10,47 % per tahun

1m

)m

i+(1=r

0,1047=112

)12

0,1+(1=r


Jadi bunga efektif per tahun yang ditawarkan oleh Bank ABC adalah 10,47 % per tahun

17

ANNUITAS DAN FUTURE VALUE-NYA

Annuitas adalah rangkaian pembayaran periodik. Misal tabungan berjangka, cicilan

kredit, pembayaran premi asuransi dan pembayaran pensiun.

NILAI DARI SUATU ANNUITAS DI MASA DEPAN

Seseorang mengikuti program tabungan berjangka dengan menabung sebesar $1000 di

setiap akhir tahun. Jika tingkat bunga yang berlaku adalah 6% majemuk tahunan

berapakah jumlah uang yang terkumpul pada saat menabung untuk yang keempat

kalinya?


kalinya?

18


Perhitungan jumlah dari suatu anuitas dapat disederhanakan menjadi :

Sn = R + R(1+i) + R(1+i)2 + ….. + R(1+i)n-1

= R[1 + (1+i) + (1+i)2 + ….. + (1+i)n-1]= R[1 + (1+i) + (1+i)2 + ….. + (1+i)n-1]

Jika kedua sisi dikalikan (1+i)

(1+i)Sn = (1+i)R[1 + (1+i) + (1+i)2 + ….. + (1+i)n-1]

Sn + iSn = R[(1+i) + (1+i)2 + (1+i)3 + ….. + (1+i)n]

iSn = R(1+i)n – R

iSn = R[(1+i)n – 1]

Let :

R = Amount of an annuity

i = interest rate per period

n = number of annuity payments (also

number of compounding periods)

Sn = sum (future value) of the annuity

after n periods (payment)


disingkat Sn = R

disebut sebagai series compound amount factor.

( )i

1n

i+1R=Sn

-

sn i

sn i

20


Jika contoh persoalan sebelumnya dikerjakan ulang dengan persamaan yang baru

diperoleh maka akan diperoleh hasil berikut :

S4 = 1000

= (1000)(4,37462)

= $4.374,62

( )0,06

14

0,06+1


MENENTUKAN BESARNYA ANUITAS

Dengan membalik persamaan jumlah dari anuitas dapat diperoleh formula untukmenghitung besarnya anuitas.

sn i

1

atau R = Sn

Angka di dalam kurung biasa disebut dengan sinking fund factor.

( )i

1n

i+1

1Sn=R

-



Suatu perusahaan ingin mengembangkan sinking fund mulai akhir tahun ini. Jika bunga

yang berlaku sebesar 8% majemuk tahunan berapa setoran tahunan yang harus dibayar

agar pada setoran yang ke sepuluh diperoleh uang sejumlah $12 juta?agar pada setoran yang ke sepuluh diperoleh uang sejumlah $12 juta?

Jawab :

R = 12.000.000

= 12.000.000(0,06903)

( )[ ]110

0,08+1

0,08

-


= 12.000.000(0,06903)

= $ 828.360

23

PRESENT VALUE DARI SUATU ANUITAS

Misalkan seseorang mendapatkan hadiah sebesar $20000 setiap akhir tahun selama empatkali. Jika dia dapat menginvestasikan sejumlah uang dengan tingkat bunga 8% per tahunmajemuk tahunan berapakah nilai sekarang dari hadiah tersebut?majemuk tahunan berapakah nilai sekarang dari hadiah tersebut?


PRESENT VALUE DARI SUATU ANUITAS

Jika Sn merupakan future value dari suatu anuitas maka present value dari suatu anuitas

(A) dapat dihitung dengan mencari nilai present value dari Sn.

A = Sn(1+i)-nA = Sn(1+i)-n

(1+i)-n

disingkat A = R

( )i

1i+1R=

n-

( )( )i+1i

1- i+1R= n

n

an i

a


disebut dengan series present worth factor.

Jika contoh sebelumnya dikerjakan kembali dengan formula yang baru saja didapat maka

diperoleh :

A = 20000(3,31213) = $ 66.242,60

an i

25


Besarnya anuitas dari sejumlah uang sekarang yang dibayarkan secara bertahap adalah

sebagai berikut :

an i

1

sebagai berikut :

atau R = A( )

( )

+

−+=

n

n

ii

i

AR

1

11

1


Nilai di dalam kurung dinamakan sebagai capital-recovery factor.

26


Seseorang mendapatkan dana pensiun sebesar $250.000 pada saat ia pensiun. Dana

tersebut diinvestasikan dan dibayarkan secara bertahap selama 30 tahun. Jika tingkat

bunga yang diberikan adalah 12% majemuk tiap setengah tahun.

Berapakah pembayaran per setengah tahun yang diterima pensiunan tersebut?a. Berapakah pembayaran per setengah tahun yang diterima pensiunan tersebut?

b. Berapa jumlah bunga yang terjadi selama 30 tahun?

Jawab :

A = $250.000; i = 0.06; n = 60

a) R = 250000(0.06188)

= $ 15.470


= $ 15.470

b) Bunga = (15.470)(60) - 250.000

= $ 678.200

27

KREDIT PROPERTI

Seseorang hendak membeli rumah seharga $100.000. Jika ia membayar uang mukasebesar $30.000 dan sisanya sebesar $70.000 hendak diangsur per bulan melalui kreditbank dengan tingkat bunga 10.5% majemuk bulanan. Tentukanlah besarnya cicilanbulanan untuk jangka waktu 20 tahun, 30 tahun serta selidikilah perbedaan bunganya.bulanan untuk jangka waktu 20 tahun, 30 tahun serta selidikilah perbedaan bunganya.

Jawab :

a) R = 70000(0,0099838)

= $ 698.87

Total bunga = (698.87)(240) – 70000 = $ 97.728,8


b) R = 70000(0,00914739)

= $ 640,32

Total bunga = (640,32)(360) – 70000 = $ 160.515,2

28

BATAS KREDIT MAKSIMUM

Seseorang mampu membayar cicilan kredit sebesar $ 750 per bulan. Jika ia hendak

mengambil kredit selama 30 tahun sementara tingkat bunga yang ditawarkan adalah

10.25% per tahun, berapakah kredit terbesar yang dapat ia terima?10.25% per tahun, berapakah kredit terbesar yang dapat ia terima?

Jawab :

A = R

= (750)*(111.59)

= $ 83.693

( )

( )

+

−+n

n

ii

i

1

11


= $ 83.693

29


Download : www.slideshare.net/natriumz

30

pdf w5 matematika keuangan

Business