Prof.: Rafael Dias Ribeiro

Autora:Prof. Dra. Denise Candal

EQUIVALÊNCIA LÓGICA

AULA 1

Equivalência Lógica

� Uma proposição P(p,q,r,....) é logicamente equivalente ou simplesmente equivalente a uma proposição Q(p,q,r,.....) se as tabelas-verdade de ambas as proposições são rigorosamente iguais. Utilizaremos para indicar tal fato a notação P(p,q,r,....) ⇔ Q(p,q,r,.....) .

AULA 1

Observação

� Se as duas proposições forem ambas tautológicas ou ambas contradições , então são equivalentes.

AULA 1

Equivalências Lógicas

ComutativaComutativaAssociativaAssociativaIdempotenteIdempotenteAbsorçãoAbsorção

pqqp ∧⇔∧pqqp ∨⇔∨

)()( rqprqp ∧∧⇔∧∧

ppp ⇔∧ppp ⇔∨

)()( rqprqp ∨∨⇔∨∨

pqpp ⇔∨∧ )(pqpp ⇔∧∨ )(

AULA 1

Equivalências Lógicas

AbsorçãoAbsorçãoLei de MorganLei de MorganDef ImplicaçãoDef ImplicaçãoDef BicondicionalDef Bicondicional

pqpp ⇔∨∧ )(pqpp ⇔∧∨ )(

qpqp ~~)(~ ∧⇔∨qpqp ~~)(~ ∨⇔∧

qpqp ∨⇔→ ~

)()( pqqpqp →∧→⇔↔)(~)(~ pqqpqp ∨∧∨⇔↔

)~(~ qpqp ∧⇔→

AULA 1

Leis de Morgan

p q p∨q

~(p∨q)

~p ~q ~p∧~q

V VV FF VF F

qpqp ~~)(~ ∧⇔∨

AULA 1

Leis de Morgan

p q p∨q

~(p∨q)

~p ~q ~p∧~q

V V V F F F FV F V F F V FF V V F V F FF F F V V V V

qpqp ~~)(~ ∧⇔∨

AULA 1

Leis de Morgan

p q p∧q ~(p∧q) ~p ~q ~p∨~qV VV FF VF F

qpqp ~~)(~ ∨⇔∧

AULA 1

Leis de Morgan

p q p∧q ~(p∧q) ~p ~q ~p∨~qV V V F F F FV F F V F V VF V F V V F VF F F V V V V

qpqp ~~)(~ ∨⇔∧

AULA 1

Definição de Implicação

p q p→q ~p ~p∨ qV VV FF VF F

qpqp ∨⇔→ ~

AULA 1

Definição de Implicação

p q p→q ~p ~p∨ qV V V F VV F F F FF V V V VF F V V V

qpqp ∨⇔→ ~

AULA 1

Definição de Implicação

p q p→q ~q p∧~q ~(p∧~q)V VV FF VF F

)~(~ qpqp ∧⇔→

AULA 1

Definição de Implicação

p q p→q ~q p∧~q ~(p∧~q)V V V F F VV F F V V FF V V F F VF F V V F V

)~(~ qpqp ∧⇔→

AULA 1

Definição de Bicondicional

p q p→q q→p (p→q)∧(q→p) p↔qV VV FF VF F

)()( pqqpqp →∧→⇔↔

AULA 1

Definição de Bicondicional

p q p→q q→p (p→q)∧(q→p) p↔qV V V V V VV F F V F FF V V F F FF F V V V V

)()( pqqpqp →∧→⇔↔

AULA 1

Definição de Bicondicional

p q ~p ~q ~p∨q ~q∨p (~p∨q)∧(~q∨p)

p↔q

V VV FF VF F

)(~)(~ pqqpqp ∨∧∨⇔↔

AULA 1

Definição de Bicondicional

p q ~p ~q ~p∨q ~q∨p (~p∨q)∧(~q∨p)

p↔q

V V F F V V V VV F F V F V F FF V V F V F F FF F V V V V V V

)(~)(~ pqqpqp ∨∧∨⇔↔

AULA 1

Equivalentes?

“Se está quente e úmido não choverá”.“Se chover, então o céu não está quente ou não está

úmido”.

AULA 1

Equivalentes?

“Se está quente e úmido não choverá”.“Se chover, então o céu não está quente ou não está

úmido”.

Quente: p Úmido: q Chove(rá): rp∧q→~rr→~p∨~q

AULA 1

Inferência

"Se os alunos se empenham, então haverá uma grande festa", podemos inferir como conclusão:

a) Os alunos se empenham e não haverá uma grande festa.

b) Os alunos não se empenham e haverá uma grande festa

c) Os alunos não se empenham e não haverá uma grande festa.

d) Os alunos não se empenham ou não haverá uma grande festa.

e) Os alunos não se empenham ou haverá uma grande festa.

AULA 1

Inferência

"Se os alunos se empenham, então haverá uma grande festa", podemos inferir como conclusão:

p: alunos se empenham q: haverá uma grande festa

p→q

AULA 1

Inferência

p: alunos se empenham q: haverá uma grande festa p→q

Os alunos se empenham e não haverá uma grande festa.p ^ ~q

Os alunos não se empenham e haverá uma grande festa~p ^ q

Os alunos não se empenham e não haverá uma grande festa.~p ^ ~q

AULA 1

Inferência

p: alunos se empenham q: haverá uma grande festa p→q

Os alunos não se empenham ou não haverá uma grande festa.~p v ~q

Os alunos não se empenham ou haverá uma grande festa.

˜p v q (Por Def. de Implicação)

p→q ó ˜p v q

AULA 1

Inferência

"Se os alunos se empenham, então haverá uma grande festa", podemos inferir como conclusão:

a) Os alunos se empenham e não haverá uma grande festa.

b) Os alunos não se empenham e haverá uma grande festa

c) Os alunos não se empenham e não haverá uma grande festa.

d) Os alunos não se empenham ou não haverá uma grande festa.

e) Os alunos não se empenham ou haverá uma grande festa.

AULA 1

p∧q→~r ⇔ r→~p∨~q ?p q r p∧q ~r p∧q→~r ~p ~q ~p∨~q r→~p∨ ~rV V V V F F F F F FV V F V V V F F F VV F V F F V F V V VF V V F F V V F V VV V F V V V F F F VF V V F F V V F V VV F V F F V F V V VF F F F V V V V V V

AULA 1

Problema 1

A loja de Abul foi roubada, mas as jóias foram recuperadas. Havia três suspeitos: seus nomes eram Abdul, Ibn e Hassib. No julgamento, os acusados deram os seguintes depoimentos:

Abdul: Não fui eu que cometi o roubo. Ibn; Não foi Hassib quem roubou a loja.Hassib: Sim, o ladrão fui eu! -Mais tarde, dois deles confessaram ter mentido. Quem era

o ladrão ?

AULA 1

Abdul cometeu o crime: pIbn cometeu o crime: qHassib cometeu o crime: rAbdul: Não fui eu que cometi o roubo. ~pIbn: Não foi Hassib quem roubou a loja. ~rHassib: Sim, o ladrão fui eu! rDois deles confessaram ter mentido.

~p~rr

AULA 1

Abdul cometeu o crime: pIbn cometeu o crime: qHassib cometeu o crime: rAbdul: Não fui eu que cometi o roubo. ~pIbn: Não foi Hassib quem roubou a loja. ~rHassib: Sim, o ladrão fui eu! rDois deles confessaram ter mentido.

~p F V F~r F F Vr V F F

AULA 1

Abdul cometeu o crime: pIbn cometeu o crime: qHassib cometeu o crime: rAbdul: Não fui eu que cometi o roubo. ~pIbn: Não foi Hassib quem roubou a loja. ~rHassib: Sim, o ladrão fui eu! rDois deles confessaram ter mentido.

~p F F~r F Vr V F

AULA 1

Abdul cometeu o crime: pIbn cometeu o crime: qHassib cometeu o crime: rAbdul: Não fui eu que cometi o roubo. ~pIbn: Não foi Hassib quem roubou a loja. ~rHassib: Sim, o ladrão fui eu! rDois deles confessaram ter mentido.

~p F F~r F Vr V F

p V

AULA 1

Abdul cometeu o crime: pIbn cometeu o crime: qHassib cometeu o crime: rAbdul: Não fui eu que cometi o roubo. ~pIbn: Não foi Hassib quem roubou a loja. ~rHassib: Sim, o ladrão fui eu! rDois deles confessaram ter mentido.

~p F F~r F Vr V F

p V

Mentira!!!

AULA 1

Abdul cometeu o crime: pIbn cometeu o crime: qHassib cometeu o crime: rAbdul: Não fui eu que cometi o roubo. ~pIbn: Não foi Hassib quem roubou a loja. ~rHassib: Sim, o ladrão fui eu! rDois deles confessaram ter mentido.

~p F F~r F Vr V F

p V

Mentira!!! Verdade!!!

AULA 1

Abdul cometeu o crime: pIbn cometeu o crime: qHassib cometeu o crime: rAbdul: Não fui eu que cometi o roubo. ~pIbn: Não foi Hassib quem roubou a loja. ~rHassib: Sim, o ladrão fui eu! rDois deles confessaram ter mentido.

~p F F~r F Vr V F

p V

Mentira!!! Verdade!!!

Mentira!!!

AULA 1

Três pessoas prestam depoimento e o que dizem está registrado a seguir:Bernardo: “João é culpado e Saul é inocente”.João: ”Se Bernardo é culpado, Saul também é culpado”.Saul: Eu sou inocente, mas, pelo menos, um dos outros é culpado.

A partir desses depoimentos identifique os inocentes e os culpados, supondo todos os depoimentos verdadeiros.

AULA 1

João é culpado: pSaul é culpado: qBernardo é culpado: r

Bernardo: “João é culpado e Saul é inocente”. p ∧ ~qJoão: ”Se Bernardo é culpado, Saul também é

culpado”. r → qSaul: Eu sou inocente, mas, pelo menos, um dos outros

é culpado. ~q ∧ p ou ~q∧r ou ~q ∧(p∧r)

Todos os depoimentos verdadeiros.

AULA 1

João é culpado: pSaul é culpado: qBernardo é culpado: r

Bernardo: “João é culpado e Saul é inocente”. p ∧ ~qJoão: ”Se Bernardo é culpado, Saul também é

culpado”. r → qSaul: Eu sou inocente, mas, pelo menos, um dos outros

é culpado. ~q ∧ p ou ~q∧r ou ~q ∧(p∧r)

Todos os depoimentos verdadeiros.

V V

AULA 1

João é culpado: pSaul é culpado: qBernardo é culpado: r

Bernardo: “João é culpado e Saul é inocente”. p ∧ ~qJoão: ”Se Bernardo é culpado, Saul também é

culpado”. r → q Saul: Eu sou inocente, mas, pelo menos, um dos outros

é culpado. ~q ∧ p ou ~q∧r ou ~q ∧(p∧r)

Todos os depoimentos verdadeiros.

?→F V

V

VF

V

F→F V

F