LOGIKAArum Handini Primandari

LOGIKA MATEMATIKA

KALIMAT TERBUKA DAN TERTUTUP

Kalimat terbuka adalah kalimat yang tidak mengandung nilai kebenaran

Contoh: Apakah kamu tahu pencipta lagu PPAP?

Semoga ujian kalkulusnya berjalan lancar.

Kalimat tertutup adalah kalimat yang mengandung nilai kebenaran, yaitu bisa bernilai besar atau salah tetapi tidak bisa kedua-duanya. Kalimat tertutup disebut pernyataan / statement.

PERNYATAAN

Pernyataan tunggal adalah pernyataan yang tidak memuat pernyataan lain sebagai bagiannya.

Pernyataan majemuk adalah gabungan dua pernyataan tunggal atau lebih yang menjadi sebuah kalimat baru.

Contoh:

Pernyataan tunggal• Kelas Kalkulus B dimulai pukul 07:00.

• Semua mahasiswa statistika 2016 memiliki akun sosial media.

Pernyataan Majemuk• Jika suatu bilangan habis dibagi dua, maka bilangan itu genap.

• Suatu segitiga dikatakan sama sisi jika dan hanya jika ketiga sudutnya sama

OPERASI LOGIKA

No Nama Operasi Perangkai Simbol

1. Negasi (Ingkaran) Tidaklah benar ~

2. Konjungsi dan

3. Disjungsi atau

4. Implikasi Jika ...., maka .....

5. Biimplikasi ..... Jika dan hanya jika ....

NEGASI

Negasi dari suatu pernyataan yang bernilai benar adalah salah dan negasi dari suatu pernyataan yang bernilai salah adalah benar.

Contoh :

p : Suicide squad menjadi salah satu film box office di tahun ini.

~ p : Suicide squad bukan menjadi salah satu film box office di tahun ini.

p ~p

B S

S B

Adalah suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai “dan”.

Kata lain untuk menyatakan konjugsi: tetapi, walaupun, meskipun.

p q

B B B

B S S

S B S

S S S

OPERASI KONJUNGSI

Adalah suatu pernyataan yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai “atau”.

Terdapat 2 macam disjungsi:

a) Disjungsi inklusif

Sebuah disjungsi inklusif bernilai benar jika paling sedikit salah satukomponennya bernilai benar

b) Disjungsi eksklusif

Bernilai benar jika paling sedikit komponennya bernilai benar tetapi tidakkedua-duanya.

OPERASI DISJUNGSI

p q

B B B

B S B

S B B

S S S

p q

B B S

B S B

S B B

S S S

Tabel Kebenaran disjungsi Inklusif Tabel Kebenaran disjungsi Eksklusif

p q

Adalah suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai perangkai “jika .... maka ...”

p q

B B B

B S S

S B B

S S B

OPERASI IMPLIKASI

Adalah suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai “ ... jika dan hanya jika ... “

p q

B B B

B S S

S B S

S S B

OPERASI BIIMPLIKASI

BENTUK – BENTUK PERNYATAAN

Kontradiksi adalah suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh subtitusi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.

Tautologi adalah sebuah pernyatan majemuk yang benar dalam segala hal, tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.

Kontingensi adalah sebuah pernyataan majemuk yang bukan suatu tautologi maupun kontradiksi.

CONTOH :

p q ~p ~p∧ q q⟹ p (~𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑞 ⟹ 𝑝)

B B S S B B

B S S S B B

S B B B S B

S S B S B B

Selidikilah apakah pernyataan berikut merupakan kontrasiksi, tautologi, atau kontingensi:

p q q p

1. p q p

2. p q q r r p

3. p q p q

Selidikilah apakah pernyataan berikut merupakan kontrasiksi, tautologi, atau kontingensi:

LATIHAN 1

Implikasi logis adalah suatu bentuk pernyataan implikasi yang merupakan tautologi

Ekuivalen logis adalah dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama

IMPLIKASI LOGIS DAN EKUIVALEN LOGIS

CONTOH IMPLIKASI LOGIS:

Tautologi

Oleh karena nilai kebenaran 𝑝 ⟺ 𝑞 sama dengan nilaikebenaran (𝑝 ⟹ 𝑞) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑝), maka kedua pernyataantersebut ekuivalen logis:

𝑝 ⟺ 𝑞 ≡ (𝑝 ⟹ 𝑞) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑝)

KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI

Dari sebuah implikasi 𝑝 ⟹ 𝑞, dapat disusun:

1. Konvers : 𝑞 ⟹ 𝑝

2. Invers : ~𝑝 ⟹ ~𝑞

3. Kontraposisi : ~𝑞 ⟹ ~𝑝

Catatan:

𝐾𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠 ≡ 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠

𝐼𝑚𝑝𝑙𝑖𝑘𝑎𝑠𝑖 ≡ 𝐾𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑝𝑜𝑠𝑖𝑠𝑖

SKEMA

𝑝 ⟹ 𝑞 𝑞 ⟹ 𝑝

~𝑝 ⟹ ~𝑞 ~𝑞 ⟹ ~𝑝

Konvers

Konvers

Invers InversKontraposisi

CONTOH :

Carilah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan :

“Jika Ozan Aktif organisasi maka dia berprestasi”

Konvers: Jika Ozan berprestasi maka dia aktif organisasi.

Invers: Jika Ozan tidak aktif organisasi maka dia tidak berprestasi.

Kontraposisi: Jika Ozan tidak berprestasi maka dia tidak aktif organisasi.

PENGERTIAN KUANTOR

Kuantor adalah kata yang apabila dibubuhkan pada kalimat terbuka akanmengubah kalimat tersebut menjadi kalimat tertutup

Terdapat 2 jenis kuantor: Kuantor Universal, dengan notasi: ∀ Kuantor Khusus/ Eksistensial, dengan notasi: ∃

Contoh: kalimat terbuka: 𝑥2 − 5 > 8

∀𝑥, 𝑥2 − 5 > 8 → 𝑆

∃𝑥, 𝑥2 − 5 > 8 → 𝐵

PERNYATAAN BERKUANTOR

Contoh :

1. Semua mahasiswi UII berjilbab

2. Semua mahasiswa UII memproduksi data

3. Ada mahasiswa yang terlambat kelas Kalkulus B

4. Tidak ada manusia sekarang yang umurnya mencapai 200th

Untuk membenarkan notasi pada pernyataan berkuantor maka harus dibuat fungsi proporsinya terlebih dahulu, misalnya untuk pernyataan “semua manusia fana” maka kita buat fungsi proposisi untuk manusia M(x) dan fana F(x), sehingga notasi dari semua manusia fana adalah ∀𝑥,𝑀 𝑥 → 𝐹(𝑥)

NEGASI PERNYATAAN BERKUANTOR

Negasi dari pernyataan berkuantor yaitu:

Negasi dari ∀𝑥 𝑝 𝑥 adalah ~ ∀𝑥 𝑝 𝑥 ≡ ∃𝑥 ~𝑝(𝑥)

Negasi dari ∃𝑥 𝑝(𝑥) adalah ~ ∃𝑥 𝑝 𝑥 ≡ ∀𝑥 ~𝑝(𝑥)

Contoh:

“semua mahasiswa statistika 2016 mengambil 21 sks di semester pertama”

Negasi pernyataan: “ada mahasiswa statistika 2016 yang tidak mengambil 21 sks di semester pertama”

LATIHAN 2

1. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan: “Di era Big Data, jika orang memiliki gadget atau terhubung dengan sensor, maka dia berpotensimenghasilkan data”

2. Tentukan negasi dari pernyataan berikut: “Ketika terjadi erupsi Gunung Merapi, semua warga di persekitaran Gunung Merapi dalam radius 15 km mengenakanmasker dan mengungsi ke zona aman bencana”

3. Tentukan negasi dari: “Jika Faiz tidak memiliki kuota atau sibuk kuliah, maka diatidak meng-update status Facebook-nya”

PENARIKAN KESIMPULAN

Aturan dalam penarikan kesimpulan:

1. Modus Ponens

2. Modus Tollens

3. Modus Silogisme

BUKTI KEABSAHAN ARGUMEN

Membuktikan keabsahan argumen dapat melalui: Tabel kebenaran

Jika pernyataan merupakan tautologi, maka pernyataan tersebut sah.

Aturan penyimpulan Menggunakan hukum ponens, tollens, atau silogisme.

LATIHAN 3

(1) k l m n

(2) m n o p

(3) o p q r

l k r q

(1)p q

(2) q

p

2. Dengan aturan penyimpulan:

Buktikan keabsahan berikut:

1. Dengan menggunakan tabel kebenaran:

1. ~ ~

2.

3. ~

4. p ~

~ ~

p q r

r p p q

p

r

r p

3. Dengan aturan penyimpulan:

BEBERAPA EKUIVALENSI YANG PENTING

1. Hukum Komutatif

2. Hukum asosiatif

p q q p

p q q p

p q r q p r

p q r q p r

3. Hukum Distribusi

4. Hukum De Morgan

5. Implikasi

p q r p q p r

p q r p q p r

p q p q

p q p q

p q p q