pdv: [explicación] matemáticas n°3 (2012)

SOLUCIONARIO1ª JORNADA EVALUACIÓN GENERAL

MATEMÁTICA

1. La alternativa correcta es A

-12 - (-1)2 - (-1)3 - 14

= -1 - 1 - -1 - 1 = -2

2. La alternativa correcta es C

3 -1

- 3 =3

3 - 1 + 3 =

36

-1 18 - 1 17 = =

3 3 3

3. La alternativa correcta es D

# dulces de leche =369

= 4

# dulces de chocolate =549

= 6


i)10100

· A = 40 A = 400

ii) B -10100

B = 450

0,9 B = 450 B = 500

5. La alternativa correcta es B

-11 - -3 (4 - 7)=-11 + 3 (4 - 7)=-11 + 3 · (-3)=-11 + -9 = -20

Curso: Matemática

2


61 1

:2 3

= 1 12

: q

13 1 3 : =

2 3 2132

· q =1 3

·3 2

q =113


I) Vera es el más lento del grupo, verdadero, recorre 12 km en 120 minutos.II) Bustos recorre el doble de kilómetros que Aliste. Falsa, ambos recorren 12km.III) Bretti tarda el triple del tiempo que demoró Aliste en recorrer los 12km. Verdadero,

Bretti tarda 90 minutos y Aliste tarda 30 minutos.


Área rectángulo = x · y = Constante, entonces x e y son inversamente proporcionales su gráfico es una hipérbola descrita en c.

fig. 1

0 tiempo (min)

Distancia(km) Aliste

30 60 12090

Bustos Bretti Vera12

3

9. La alternativa correcta es E

M = actividad comercial inicial

En el primer decenio, aumenta un 20% anualmente; entonces M10

201+

100

En el segundo decenio; disminuye un 20% anualmente, entonces M10 10

20 -201+ · 1

100 100

Así: M10 10

2 21 1

10 10

M10

41

100

= M(0,96)10 es la actividad comercial al final del

vigésimo año.

10.La alternativa correcta es A

M2 y n son variables inmensamente proporcionales, entonces

M2 · n = constante

22 · 16 = 4 · 4 = 16

42 · n = 16

16 n = 16 n = 1 n = 1

11.La alternativa correcta es E

a, b > 1 y a - b = 0 a = b

A) a2 + b2 = 2aba2 + a2 = 2a · a

2a2 = 2a2 , Verdadera

B)aa

= aa-a = aº = 1 (a > 1), Verdadera

C)a - a a - a

=a a

= 0, Verdadera

D) a - a = a - a = 0, Verdadera

E)a a 1 1

= = =a + a 2a 2 a + 1

depende de a, (como a > 1) Falsa.

4


Divisores 12 = {1,2,3,4,6,12} son 6 y su suma es 28

13.La alternativa correcta es D

r + 3 = 10 r = 7r2 - 62 = (r + 6) (r - 6) = (7 + 6) · (7 - 6) = 13 = 2r - 1 = 2 · 7 - 1


P = 3a - 15b /· -3-3p = -9a + 45b

15.La alternativa correcta es C

El área achurada en términos de a es: 2a2 + 2a2 = 4a2 = 4a · a (como b = 2a)

= 4 · a ·b2

= 2ab

16.La alternativa correcta es B

p q =

22

p pp + q - q - q q 2 p4 = = - qp 2p + q + q2 2

=

112 -

2 4

=1 1

- = 04 4

A B

CD

a

b

fig. 2

2a

a

a

5


Sea x : nº mayor

i) 2x-3y=6x

ii) =3y

De (ii) x = 3 y en (i) 2x - x = 6X = 6

x

= 32


2(p-s) 2(p-4)

2(p-3)

a · aa

= a2(p-5)+2(p-4)-2(p-3)

= a2p-10+2p-8-2p+6 = a2p-12


P - q < 0, P < q con p y q naturales

I)p p - q p q p p p

> = - = - 1 > - 1q q q q q q q

Verdadero

II)p + q p

<q q

p q p p + = + 1 <

q q q qFalso

III) Si p = 1 y q = 4. Entonces1 1

<1 + 2 4

Falso


m-1 - m-2 =2

1 1 -

m m

=2

m - 1m

6


Dado que p entero positivo, entonces 2p-2 es par y 2p-1 es impar

(-1)2p - 2 - (-1)2p - 1

= 1 - -1 = 2


b entero negativo

I) 1 -b2 > 1 - b3 Falso Si b = -1. Entonces 1 -(-1)2 > 1 - (-1)3

1 - 1 > 1 - -10 > 2 ( )

II)1 1

<b - 1 1 - b

· Verdadera b - 1 es negativo y 1 - b es positivo.

III) -(-b) = b es negativo y - b es el opuesto de b (positivo) verdadero.


-12

332

z z 7 16 · 1,7 = · 1 = z

9 9z z

=

121 4

·z 3



x entero tal que x2 ≤ 4 x = {2,1,0,-1,-2}

I) Falso, puede tomar {0,-1,-2}II) VerdaderoIII) Falso es -2

7


T(u) = 1 - 2u - u2

T(2) = 1 - 2 · 2 - 22 = 1 - 4 - 4 = -7T(-2) = 1 - 2 · (-2) - (-2)2 = 1 + 4 - 4 = 1T(2) + T(-2) = -7 + 1 = -6


(1,5) pertenece a la recta y = 7x - n entonces 5 = 7 · 1 - nn = 2


i) x - y = 90ii) x : y = 7 : 2

De (ii) x = 7k, y = 2k en (i)5k = 90K = 18

mayor es x = 7k = 7·18 = 126


1x -

2= -1 No tiene solución en los reales, dados que

x ≥ 0 para todo x es real


Los tramos de cobro

T1 : [6:00 - 10:00] $ 20 el minutoT2 : ]10:00 - 18:00] $ 30 el minutoT3 : ]18:00 - 05:59] $ 10 el minuto

5 minutos en t1 5 · 20 = $ 10010 minutos en t2 [17:50 - 18:00] 10 · 30 = $ 300

12 minutos a contar de los 17:502 minutos en t3 ] 18:00 - 18:02] 2 · 10 = $ 20

8


-32x + py =

2qx - y = 4

Para que3

, - 14

sea solución entonces

i) 2 ·3 -3

- p = p = 34 2

ii)34

· q + 1 = 4 q = 4


Como f(x) es simétrica a g(x) con respecto al eje yEntonces f(x) = - g(x)

ax2 + bx + c = - (px2 + qx + r)Ax2 + bx + c = - px2 - qx - r

Donde a = -p, b = -q, c = -r

I) c = r Verdadera

II) a + p = 0 VerdaderaIII) f(0) = g(0) Falso f(0) = c, g(0) = r y c ≠ r

x

f(x) = ax2 + bx + c

g(x) = px2 + qx + r

y

fig. 3

9


F(x) = 1 - x + 2

= - x + 2 + 1 es una fracción raíz cuyo vértice está en (-2,1)


f(x) = x2 - 2xf(a + b) = (a + 2)2 - 2 (a + b) = a2 + 2ab + b2 - 2a - 2bf(a - b) = (a - b) = a2 - 2ab + b2 - 2a + 2b f(a+b) - f(a-b) = a2 + 2ab + b2 - 2a - 2b - a2 + 2ab - b2 + 2a - 2b

= 4ab - 4b= 4b (a - 1)


-23

5

Log 32 1 5 5 7 - Log = - 1 = + 1 =

Log 25 3 2 2 2


F(x) = (1 - x)2, g(x) = (1 - x)3, h (x) = (1 - x)4

Si 0 < x < 1 entonces 1 - x es menor que 1 y positivo

(1 - x)4 < (1 - x)3 < (1 - x)2


Capital inicial: PPeriodo: 5 años

Bajo Interés Compuesto P 3p (triplique su capital)

Entonces: p5

i1 +

100

= 3p

5i

1 +100

= 3

1 + 5i = 3

100

i = 3 3 - 1 100%

10


Parte con Po y crece 3% anualmente (crecimiento exponencial) durante 10 años, luegopermanece constante


C (3,4)

I) Falso, el simétrico de C (3,4) con respecto al eje y es (-3,4)II) VerdaderoIII) Verdadero


A la figura se le aplica una rotación en 180º con centro en el origen, con lo cual quedaríarepresentada en A), pero luego una simetría con respecto al origen, por lo quenuevamente vuelve a su posición original.


I) VerdaderoII) Falso, desde cada vértice se puede trazar un eje de simetríaIII) Verdadera


ABE equilátero y ABCD cuadrado ∡ABE = 60º y ∡EBC = 30º pero AB = BC =EB

BCE es isósceles con ∡s (30º - 75º - 75º) es isósceles acutángulo.

x

y

fig. 4

fig. 5

A

D

E

C

B

11



Criterio LAL


Como ∡CAB es inscrito y subtiende BC , entonces ∡CAB = En ABC: + x + 100 = 180º

x = 80 -


ABC es equilátero de lado 8, como AD = DC = AE = 4cm luego D y E son puntos

medios. Entonces CE es altura y CE = 4 3 cm CEF es rectángulo en E con

CE = 4 3 cm y EF = 4cm + 8cm = 12cm

2 2 2 2 2CF = CE + EF CF = (4 3) 12 192 8 3 cm

O

A B

C

x

fig. 6

C

D

fig. 7

EA FB

12


∡ es semi-inscrito y ∡STR es inscrito, ambos subtienden SR entonces ∡SRT = .

RST es isósceles de base RT , entonces ∡RTS =

∡RTE = 180 - 2, y RE = ET (tangente desde un punto exterior)

En ∡RET (isósceles de base RT)

∡RET + 2(180 -2) = 180º

∡RET = 4 - 180º


Como PQ : PR = PR : RQ entonces9 + x 9

=9 x

x (9+x) = 81x2 + 9x - 81 = 0


DG DH = HG // FE

GE HF

fig. 8

R

E

T

S

D

H

K

F

J

I

fig. 10

G E

13


BCF rectángulo en C con BC = 3CM y CF = 4cm. Entonces, BF = 5cm

EC BF Euclides 32 = BE · 5 9

BE =5

AD AC Euclides ( 2 55 = AB · 3 AB =

3

9 5 2

BE - AB = - =5 3 12


PRQ rectángulo en R con RS = 2cm (altura)

Luego, 22 = PS · 1

4 = PS PQ = MN = 4 + 1 = 5

Sí QN=1Perímetro rectángulo PMNQ = 5 + 5 + 1 + 1 = 12cm

D

E

F

fig. 11

A BC

QP

R

fig. 12

N

S

M

14


Datos ∡STR ≅∡SQP, RS≅SU , SU // RP

Como SU // RP entonces ∡RPQ ≅ SUQ y ∡QRP ≅ ∡QSU

I) RST ≅ SUQ. Verdadero, por criterio A.L.AII) QRT QSV. Verdadero, por criterio A-A

II) URS es isósceles, Verdadero, RS SU


Cos =15 15

ABcosAB


Como los lados del PQR son 5cm, 12cm y 13 cm52 + 122 = 132 (Pitágoras)

Luego 5 y 12 son catetos y 13 hipotenusa

Entonces secante puede ser135

ó1312

hipotenusasecante =

cateto adyacente

Falsa es secante =512

R

S

T

PU

Q

fig. 13

A

B

fig. 14

M15

15


Como es un cubo de aristas 3, F tiene x = 3, y = -3, z = 0


El sólido es un cubo de aristas 2cm, AC = EC = AE = 2 2 dado que son diagonales de

las caras AHE ≅CHE


Volumen resultante = Volumen cubo arista 9 - 4 · Volumen cubitos arista 3= (93 - 6 · 33) cm3

= (729 - 162) cm3

= 567 cm3

y

x

z

AB

CD

F G

fig. 15

D

H

fig. 16

E

A B

G C

fig. 17

16


Al hacer rotar entorno al eje, la parte superior (el triángulo genera un cono, y la parteinferior (el cuadrado) genera un cilindro).


I) Falso P(elegir C) =390

=130

II) Verdadero36

· 10090

= 40 %

III) Verdadero P (C ó E) =3 6 9 1

+ = =90 90 90 10

P(No (C ó E) = 1 -110

= 0,9


Haciendo una tabla con los datos

P(mujer no usa lentes) =12

25+301255

HOMBRES MUJERESUsanlentes

13 18

No usanlentes

25 30

HOMBRES MUJERESUsanlentes

13 18

No usanlentes

12 12

25 30

fig. 18

A

B

Menú TotalA 20B 36C 3D 25E 6

17


Observando

2 formas 3 formas 4 formas

Pero

3 formas

Se pueden ordenar en dicha dispersión de 2! · 3! · 4! · 3! maneras.


De acuerdo al problema, las rojas son = {4,6,8,9,10}Azules = {2,3,5,7}

P (roja mayor que 8) =29

(las bolitas 9 y 10)


Sintetizando por medio de Pascal: 1H3 3H2M 3HM2 1M3

I) P (a lo más una mujer) =4 1

=8 2

, p(exactamente un hombre) =38

Verdadero

II) P (exactamente dos hombres) =38

, p(exactamente un hombre) =38

Falso

III) P (a lo más una mujer) =48

, p(exactamente dos hombres) =38

Verdadero


P(dos) = 3x y P(uno) = P(tres) = p(cuatro) = p(cinco) = p(seis) = x

En dos lanzamientos P(no salgan dos) =5 5 25

· =8 8 64

p (salga al menos un dos) = 1 -25 39

=64 64

A1 A2 C1 C2 C3 P1 P2 P3 P4

A C P

18


I) P(no obtener una moneda de $100) = 40% + 20% = 60% FalsoII) Como se realizan 1000 extracciones.

Teóricamente se deberían extraer; 40% de 1000 = 400 (en monedas de $100)40% de 1000 = 400 (en monedas de $50)20% de 1000 = 200 (en monedas de $500)Verdadera.

III) Teóricamente, cada 100 monedas de $100 extraídas, hay 100 monedas de $ 50 y 50 monedasde $500. Falso


Integrante EdadAbuelo 73Papá 40Mamá MHijo 1 12Hijo 2 8

73 + 40 + M + 12 + 85

= 35

133 + M = 175 M = 42


I) Verdadero (la moda es el dato con mayor frecuencia, en este caso matemática con1000).II y III) Falsas (Los datos son cualitativos, por tanto no se puede asociar mediana nimedia aritmética).

Tipo de moneda ExtraccionesMonedas de $ 100 40%Monedas de $ 50 40%Monedas de $ 500 20%

19


I) Verdadero, la moda es 4 televisores con 7 familias.II) Falso, 7 familias tienen más de 5 televisores.III) Verdadera, 1 + 4 + 6 + 7 = 18 familias = 60% de 30 familias tienen menos de 5televisores.


(1) Insuficiented1 = 3kd2 = 4k

A rombo = 1 2d · d 3k · 4k =

2 2= 6k2 (depende de k)

(2) InsuficienteA rombo = lado · altura = L · 24 (depende de L)

(1) y (2) Suficiente, de (1) L =52

(K) de (2) A rombo =52

k · h = 6k2 (h dato)


A3B2 C = A4 B5

C =4 5

3 2

A BA B

= A · B3

(1) Insuficiente, c = AB3 = AB · B2 = 6B2 (depende de B)(2) Insuficiente, c = A·23 = 8ª (depende de A)(1) y (2) Suficiente, c = AB3 = A·B·B2 = 6 · 2 = 24

Curso N° deAlumnos

Lenguaje 800

Matemática 1.000

Ciencias 600

Ciencias Sociales 400

20


2,3,7 a,12

(1) Suficiente2+3+7+a+12

5= 64

24 + a = 32a = 8

(2) Suficiente, Me = datos central = 77 = a - 1 a = 8

Cada una por sí sola


5x - 2y = 3000 ¿2x?

(1) Suficiente,x+y=10005x-2y=3000

El sistema tiene solución única

(2) Insuficiente,5x-2y=300010x-6000=4y

El sistema tiene infinitas soluciones


(1) Si CDA FEG CA = K · FGm2

= k · 4 (depende de K)

(2) Suficiente, si se conoce m se conocen AC, AD usando teoremas de Euclides se

conocen DC, DB y BC

Si se conoce EG y m se conoce EF ( rectángulo) Se puede determinar el perímetro del polígono AEFGBC

C

F

fig. 20

A D E G B

21


(1) Suficiente, ABCD es paralelogramoÁrea paralelogramo = base por altura

= 6cm x 6cm= 36 cm2

(2) Insuficiente, AD = 6 2

Pero DB : (altura) no se puede determinar, pues ABDE podría ser rectángulo cuyadiagonal es 6 2 .


Sean P, A y J las edades de Pedro, Ana y Juana respectivamente P < A < J.

(1) Insuficiente, P < A < 15(2) Insuficiente, 10 < A < P(1) y (2) Insuficientes 10 < A < 15 y A es mediana pero A podría tener cualquier valorentre 10 y 15.Se requiere información adicional.

E

BA

fig. 21

D C

pdv: [explicación] matemáticas n°3 (2012)

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