ŠPECIÁLNA TEÓRIA RELATIVITYObsah 1 ÚVOD ................................................................................................................ 6
2.1 AS A POHYB .......................................................................................... 6
2.2 SYNCHRONIZÁCIA HODÍN .................................................................. 8
2.3 ZÁKON ZOTRVANOSTI ...................................................................... 9
2.4 POHYBOVÝ ZÁKON ............................................................................. 10
3 POSTULÁTY ŠPECIÁLNEJ TEÓRIE RELATIVITY .................................. 14
3.1 INERCIÁLNE SÚSTAVY V ELEKTRODYNAMIKE ........................ 14
3.2 POKUSY NÁJS PRIVILEGOVANÚ VZANÚ SÚSTAVU ............ 15
3.3 ZÁKLADNÉ PRINCÍPY ŠPECIÁLNEJ TEÓRIE RELATIVITY ......... 21
4 KINEMATIKA ŠPECIÁLNEJ TEÓRIE RELATIVITY ................................ 23
4.1 ŠPECIÁLNA LOTENTZOVA TRANSFORMÁCIA ............................. 23
4.2 HRANINÉ PRÍPADY LORENTZOVEJ TRANSFORMÁCIE ........... 25
4.3 LORENTZOVA TRANSFORMÁCIA V UBOVONOM SMERE .... 26
4.4 DÔSLEDKY LORENTZOVEJ TRANSFORMÁCIE............................. 28
4.5 TRANSFORMÁCIA ZLOIEK RÝCHLOSTI ...................................... 31
4.6 TRANSFORMÁCIA ZLOIEK ZRÝCHLENIA ................................... 34
4.7 DOPPLEROV EFEKT ............................................................................. 36
5.1 RELATÍVNOS SÚASNOSTI ............................................................. 40
5.2 DILATÁCIA ASU ................................................................................ 42
5.3 KONTRAKCIA DOK ......................................................................... 45
5.4 LORENTZOVA TRANSFORMÁCIA .................................................... 48
6.2 VÝZNAM UHLA α ................................................................................. 53
6.3 LORENTZOVA TRANSFORMÁCIA .................................................... 54
6.4 RELATÍVNOS SÚASNOSTI ............................................................. 55
6.5 DILATÁCIA ASU ................................................................................ 56
6.6 KONTRAKCIA DOK ......................................................................... 57
7.1 k-FAKTOR A DOPPLEROV EFEKT ..................................................... 59
7.2 RELATÍVNOS SÚASNOSTI ............................................................. 63
7.4 DILATÁCIA ASU ................................................................................ 66
7.5 KONTRAKCIA DOK ......................................................................... 67
8.2 ASOPRIESTOROVÝ INTERVAL A KAUZALITA ........................... 72
8.3 4-VEKTOR RÝCHLOSTI (4-RÝCHLOS) ........................................... 74
8.4 4-VEKTOR ZRÝCHLENIA (4-ZRÝCHLENIE) .................................... 75
9 DODATKY ..................................................................................................... 78
PREDSLOV
fyzikálne teórie, ktoré vznikli v dvadsiatom storoí. Spoiatku priahovala na seba
pozornos hlavne svojimi filozofickými dôsledkami, týkajúcimi sa vlastností priestoru
a asu a tie novým pohadom na kozmológiu. Dnes, napriek tomu, e predstavuje
základnú fyzikálnu teóriu priestoru a asu, má aj praktické aplikácie. Za všetky staí
spomenú GPS (Global Position System), ktorý by bez pouitia teórie relativity nemohol
fungova s takou presnosou urenia polohy, akú bene dosahuje.
Je len prirodzené, e teória relativity je súasou kadého fyzikálneho vzdelávania,
z toho nevynímajúc prípravu uiteov fyziky. Predkladaný text predstavuje prvú as
pripravovaného textu teórie relativity pre študentov uitestva fyziky na Trnavskej
univerzite. Zaha úvod do problematiky kinematiky špeciálnej teórie relativity,
neobsahuje diskusiu známych paradoxov teórie relativity, ktoré sme z technických
dôvodov presunuli do druhej pripravovanej asti.
Príprava uiteov má svoje špecifiká. Študent uitestva, na rozdiel od študenta
odboru, nemusí zvládnu úplné detaily riešenia nároných problémov. Musí ma však
jasno v základných princípoch, vidie fyzikálnu podstatu skrývajúcu sa za nimi a vedie
jednoducho vysvetli ich dôsledky. Mal by by schopný vysvetli jednoduchou
argumentáciou aj diskusnému partnerovi, ktorý má len laické poznatky z fyziky,
základné javy, s ktorými sa v teórii relativity stretáme. Ve prvotnou úlohou uitea je
robi dobrého sprievodcu iakovi na ceste od nevedomosti k poznatkom.
Nie vdy musí by štandardne zauívaný postup úvodnej výuby základov teórie
relativity rovnako vhodný pre kadého študenta. Z toho dôvodu okrem štandardného
prístupu ku kinematike špeciálnej teórie relativity, ako ho mono nájs v bene
pouívaných uebniciach na univerzitách po celom svete, sú do textu zaradené aj tri
struné kapitoly, v ktorých je podávaná relativistická kinematika elementárnym
spôsobom. Konkrétne ide o prístupy pomocou:
1. Einsteinových myšlienkových experimentov,
Všetky tieto tri prístupy umoujú výklad základov relativistickej kinematiky a jej
najdôleitejších efektov na úrovni gymnaziálnych znalostí z matematiky a fyziky. Kee
vyuívajú nenároný matematický aparát zvláš výrazne v nich vyniká fyzikálna
podstata problémov.
Rád by som na tomto mieste poakoval doc. RNDr. Márii Rakovskej, CSc. a doc.
RNDr. Miroslave Ovoldovej, CSc. za starostlivé preítanie rukopisu, ich komentáre
a návrhy na zlepšenie.
Uvedomujem si, e iaden text nemôe by dokonalý, a preto sa dá vdy
vylepšova. Budem vaný za akékovek návrhy na vylepšenie, upozornenia na chyby
a nedostatky.
6 | S t r a n a
1 ÚVOD
skúsenosou z mechaniky pohybov s relatívne malými rýchlosami. Ucelenú teóriu
mechanických dejov podávala Newtonova mechanika sformulovaná ešte v sedemnástom
storoí. Paralelne, od druhej polovice devätnásteho storoia, silne ovplyvovala
myslenie fyzikov alšia vynikajúca teória – Maxwellova elektrodynamika. Avšak u
koncom devätnásteho storoia sa ukázalo, e dôsledky oboch teórií súvisiace s opisom
pohybu, vlastnosami priestoru a asu, navzájom celkom neladia. Zatia o Newtonova
mechanika ponechávala úplnú demokraciu medzi inerciálnymi vzanými sústavami,
zdalo sa, e Maxwellova elektrodynamika takúto vlastnos nemá. Vyriešenie problémov
s tým súvisiacich poskytla Einsteinova teória relativity, za ktorej zrod je všeobecne
pokladaný rok 1905. Táto teória zaviedla rovnakú demokraciu medzi inerciálnymi
sústavami aj v elektrodynamike a súasne korigovala Newtonovu mechaniku tak, aby
bola pouitená aj pri rýchlostiach blízkych rýchlosti svetla vo vákuu. Pôvodná
Newtonovu mechanika pri tak vekých rýchlostiach sa dostáva do sporu s experimentom
a je len priblíením relativistickej teórie pre malé rýchlosti v porovnaní s rýchlosou
svetla.
FYZIKE
V tejto kapitole si strune pripomenieme niektoré základné zákony klasickej
nerelativistickej mechaniky sformulované v druhej polovici 17. storoia I. Newtonom.
Pouitie týchto základných zákonov - princípov - umouje úspešne opísa pohyb
telesa, vysvetli príiny zmeny pohybového stavu a na základe znalosti stavu telesa
v nejakom asovom okamihu predpoveda jeho stav v nasledujúcich okamihoch.
2.1 AS A POHYB
Zamyslime sa nad tým, o to vlastne as je, ako tento pojem asi vznikol a o
odráa. as, ako fyzikálna a súasne filozofická kategória, nie je vôbec jednoduchou
kategóriou. Trochu si ozrejmime fyzikálny pohad na u. V pozadí pojmu as leí
zrejme pojem zmeny. Ak sa ni nemení, všetko je „statické“, nemá zmysel o ase
hovori. Na druhej strane sotva by sme mohli hovori o ase v zmysle takých predstáv,
aké o om vo fyzike máme, ak by pri zmenách nenastávalo pravidelné opakovanie sa
nejakého predchádzajúceho stavu, javu, a pod. Sotva by sme mohli „ubehnutému asu“
priradi nejakú reprodukovatenú mieru, ak by nenastávalo opakovanie. Nebolo by
etalónu, realizácie jednotky asomiery, s ktorým by sa „ubehnutý as“ medzi dvoma
udalosami dal porovnáva. Ak však dochádza k pravidelnému opakovaniu nejakej
postupnosti stavov, potom mono asti postupnosti medzi dvoma rovnakými stavmi
priradi mieru, ktorú mono stotoni s jednotkou asového intervalu.
Pojem asu sa teda vytvára prostredníctvom nejakého periodického deja, ktorého
perióda môe slúi za jednotku asového intervalu. Zariadenie, ktoré realizuje
periodický dej nazývame hodinami. Je prirodzene myslitené, e koko hodín by sme
skonštruovali, toko „asov“ môeme dosta. V skutonosti to však tak nie je. Je
pozoruhodné, e všetky hodiny, nech realizujú periodický dej akejkovek povahy (i u
kyvadlové hodiny zaloené na mechanickom pohybe v gravitanom poli, i elektrický
S t r a n a | 7
oscilátor pracujúci na základe zákonov z inej oblasti fyzikálnych javov, atómové hodiny,
etc.), „vytvárajú“ tú istú asomieru. Ich periódy sú stále, pomer týchto periód sa nemení.
Tento fakt mono interpretova tak, e za pojmom asu takto vytvoreným je nieo reálne
objektívne, nezávislé od toho, prostredníctvom akého fyzikálneho deja je realizované
jeho meranie. Ak chceme teda opisova priebeh nejakého fyzikálneho procesu v ase,
potrebujeme ma k dispozícii akýkovek periodický dej (hodiny) s ktorým priebeh
procesu porovnávame.
Poda základných predstáv pod mechanickým pohybom telesa rozumieme zmenu
jeho polohy v ase. Hovoríme, e teleso sa pohybuje, ak jeho poloha je v rôznych
asových okamihoch rôzna. Pretoe poloha sa vdy vzahuje na urité konkrétne
vzané teleso a s ním spojenú vzanú sústavu, je pojem pohybu relatívnym pojmom,
vzahujúcim sa na túto konkrétnu sústavu. Ke chceme opísa pohyb telesa v danej
vzanej sústave, musíme nájs závislos hodnôt jeho súradníc od asu. Na to, aby sme
vedeli pri súasnej polohe predpoveda polohu telesa v okamihu trošiku neskoršom,
potrebujeme pozna rýchlos tohto telesa.
tB
tA
Rýchlos telesa pri jeho prechode z bodu A do bodu B je definovaná podielom
dráhy AB, ktorú teleso medzi bodmi A,B prešlo a asového intervalu ( tB – tA ), za ktorý
ju prešlo

.
Zmeranie dráhy medzi bodmi A, B mono realizova pomocou ideálnej tuhej tye
slúiacej za pravítko. Tu sa nestretávame so iadnym principiálnym problémom. Na
rozdiel od toho, zmeranie asového intervalu medzi odchodom z bodu A a príchodom do
bodu B, t. j. vekosti ( tB – tA ), u takou jednoduchou úlohou nie je. Ak toti asový
okamih tA, ke sa teleso nachádzalo v bode A, je odítaný na hodinách v bode
A a asový okamih tB príchodu telesa do bodu B je odítaný na hodinách v bode B, tak
rozdiel tB – tA bude dobou pohybu telesa z bodu A do bodu B len v tom prípade, ke obe
hodiny idú rovnako, ke sú synchronizované. Ak teda chceme opísa pohyb telesa,
potrebujeme na to referennú sústavu, v kadom bode ktorej sú hodiny všetky navzájom
synchronizované.
2.2 SYNCHRONIZÁCIA HODÍN
Teraz zostáva otázkou ako mono vo vzanej sústave zabezpei synchronizáciu
všetkých hodín. Iná povedané, ako definova pojem súasnosti dvoch udalostí, ktoré
nenastali na tom istom mieste. V predrelativistickej mechanike so synchronizáciou
nevzniká principiálny problém. Nerelativistická mechanika toti v princípe pripúša
nekonene veké rýchlosti, resp. presnejšie, vekos rýchlosti telesa v inerciálnej sústave
nie je niím obmedzená. Nech sa teleso pohybuje akokovek rýchlo, pôsobením sily sa
dá vdy urýchli ešte na väšiu rýchlos. Signál šíriaci sa nekonene vekou rýchlosou
môe slúi na synchronizáciu hodín. Ak si vezmeme hodiny napr. v zaiatku vzanej
sústavy a v okamihu, ke ukazujú nulu vyšleme od nich signál nekonene vekou
rýchlosou, môeme nastavi nulový okamih na ktorýchkovek hodinách súasne
s nulovým okamihom na hodinách v zaiatku. Navyše, ak budeme takýto signál vysiela
v sekundových intervaloch, môeme nastavi rovnaký chod hodín na ubovonom
mieste, ba dokonca aj hodín, ktoré sa voi danej sústave pohybujú.
Poznámka:
Experimentálna fyzika nenarába s presnými íslami, kadé meranie je zaaené
nejakou chybou. Ak v danej fyzikálnej úlohe vezmeme vzdialenos dvoch
najvzdialenejších miest, ktoré v úlohe uvaujeme a poadovaná presnos
synchronizácie hodín (napr. presnos s akou sme schopní v súasnosti mera as) je
t, potom na synchronizáciu postauje signál rýchlosti
. t
c


Z predchádzajúceho si u vieme vysvetli, preo bolo moné v predrelativistickej
fyzike absolutizova pojem asu. Všade, v kadom mieste v danej sústave, dokonca aj
v sústave voi nej sa pohybujúcej, mono principiálne zabezpei rovnaký chod hodín,
rovnako plynúci as t = t, nezávisle od akéhokovek predmetu i udalosti. Vidíme, e
v nerelativistickej mechanike, ktorá v sebe zaha principiálnu monos pohybu telesa
voi inému telesu nekonenou rýchlosou, nevznikajú iadne principiálne akosti so
synchronizáciou hodín, a teda aj s opisom pohybu. as v nerelativistickej fyzike plynie
tak, ako sme na to z beného ivota zvyknutí.
Záverom si ešte predstavme situáciu, e vekos rýchlosti signálu pomocou
ktorého by sme synchronizovali hodiny je principiálne zhora ohraniená nejakou
hodnotou. V takom prípade sme odkázaní na synchronizáciu pomocou signálu konenej
rýchlosti, povedzme c. Ak by signál vyslaný z miesta A v asovom okamihu tA dorazil
do miesta B po ubehnutí dráhy Δ, potom v mieste B zosynchronizované hodiny pri
príchode signálu musia by nastavené na hodnotu tB = tA + Δ/c. Teda ak by sme poznali
rýchlos c daného signálu, mohli by sme zosynchronizova hodiny aj pomocou signálu
konenej rýchlosti. Takýmto signálom by mohol by napr. svetelný signál. Na to, aby
sme zmerali rýchlos svetla c, však potrebujeme zmera dráhu, ktorú prebehne medzi
nejakou dvojicou bodov a asový interval od vyslania svetla z jedného bodu po jeho
prijatie v druhom bode. Znova sme sa takto vrátili k primárnemu problému – potrebe
ma v oboch bodoch zosynchronizované hodiny. Na prvý pohad sa zdá, e problém
môeme obís tak, e do druhého bodu umiestnime zrkadlo od ktorého sa svetlo odrazí
S t r a n a | 9
a vráti naspä. Takto môeme asový interval 2Δt zmera na jedných hodinách.
Rýchlos svetla by potom mala by
tt c
2
2 .
Aj táto úvaha má svoje úskalie. Automaticky v nej predpokladáme, e svetlo sa šíri
rovnakou rýchlosou smerom k zrkadlu ako aj naspä. Overi tento predpoklad mono
len experimentom, zmeraním rýchlosti nezávisle v jednom smere a v smere druhom.
Aby sme to mohli urobi potrebujeme ma zosynchronizované hodiny v dvoch rôznych
miestach. Znova sme sa dostali do kruhu. Na to, aby sme mohli zosynchronizova dvoje
hodiny potrebujeme ma dvoje hodiny u predtým zosynchronizované. Východiskom je
prirodzený a plauzibilný predpoklad, e prázdny priestor je izotropný, vo všetkých
smeroch má rovnaké vlastnosti. V prázdnom priestore niet fyzikálneho dôvodu preo by
mal ma niektorý smer iné vlastnosti ako druhý. V tomto prípade môeme predpoklada,
e rýchlos svetla (šíri sa aj v prázdnom priestore) je rovnaká jedným smerom aj
opaným. Ak chceme by korektnejší, treba doda, e predpokladáme aj homogénnos
prázdneho priestoru, pretoe iná by sme museli uvaova monos meniacej sa
rýchlosti od miesta k miestu. Toto je spôsob, akým sa v relativistickej fyzike
zabezpeuje synchronizácia hodín vzanej sústavy.
Príklad 1
Pokusy prevádzame v laboratóriu, ktorého rozmery sú a = 10 m, b = 5 m. Akú
najmenšiu rýchlos musí ma signál pomocou ktorého synchronizujeme hodiny, bez
toho, e by sme poznali jeho presnú rýchlos, ak pre meranie asu postauje presnos t
= 10 -9
Riešenie:
Najviac vzdialené hodiny v laboratóriu môu by tie, ktoré by sa nachádzali
v rohoch miestnosti spojených jej uhlopriekou. Ich vzdialenos je daná dkou
uhloprieky 22 ba . Toto je teda najväšia vzdialenos, s ktorou sa v danej
experimentálnej úlohe môeme stretnú. Rýchlos signálu potrebného na synchronizáciu
s predpísanou presnosou musí by najmenej
9 22
Poznámka:
Z tohto príkladu vidíme, e i pri meraniach vnútri relatívne malého laboratória,
ak poadovaná presnos asových meraní je v oblasti nanosekúnd, by sme na
synchronizáciu hodín potrebovali signál s väšou rýchlosou ne je rýchlos svetla vo
vákuu.
Najastejšie pouívanou formuláciou zákona zotrvanosti, s ktorou sme sa mohli
v starších uebniciach stretnú, je nasledujúca formulácia:
Teleso, na ktoré nepôsobia vonkajšie sily, zotrváva v pokoji alebo rovnomernom
priamoiarom pohybe dovtedy, kým ho vonkajšie sily neprinútia tento stav zmeni.
Takáto formulácia má však prinajmenšom jednu slabinu. Hovorí sa v nej o pokoji
resp. pohybe rovnomernom priamoiarom. o je to pokoj z hadiska mechaniky? Teleso
10 | S t r a n a
je v pokoji vtedy, ke v ase nemení svoju polohu. Z asti 1.1 vieme, e o polohe má
zmysel hovori len v súvislosti s nejakou referennou súradnicovou sústavou. Podobne
pohyb znamená z hadiska mechaniky zmenu polohy v ase. Ak sa v príslušnej
formulácii nespomenie iadna súradnicová sústava, tak túto formuláciu mono
interpretova len tak, e platí v kadej súradnicovej sústave. Zo skúsenosti však vieme,
e je to nezmysel. Napr. pri prudkom zabrzdení auta nezostaneme vzhadom na auto v
pokoji, ale nás hodí na volant, hoci nemôeme nájs iadnu vonkajšiu príinu (pôsobiacu
silu) tohto javu, iadne teleso, ktoré by nás k volantu pritiahlo. Teda zákon zotrvanosti
neplatí v kadej súradnicovej sústave. Z toho dôvodu by bolo lepšie formulova zákon
zotrvanosti ako existenné tvrdenie:
Existuje taká súradnicová sústava, v ktorej, ke na teleso nepôsobí vonkajšia
sila, teleso zotrváva v pokoji alebo rovnomernom priamoiarom pohybe.
Takéto tvrdenie u má zmysel a o jeho pravdivosti môe rozhodnú experiment.
Kadá súradnicová sústava, v ktorej platí zákon zotrvanosti sa nazýva inerciálna
vzaná sústava.
alším problémom vystupujúcim v súvislosti s princípom zotrvanosti je problém,
ako zisti, i na teleso pôsobí vonkajšia sila. Klasická nerelativistická mechanika
povauje silu za bezprostrednú príinu zmeny pohybového stavu telesa. Teda to, i na
teleso pôsobí nejaká sila máme monos zisti len zo zmeny rýchlosti telesa. Týmto sa
však logický kruh uzatvára a princíp zotrvanosti sa stáva ni nehovoriacou tautológiou.
Aby sme sa z tohto kruhu dostali, musíme ma k dispozícii nejakú vlastnos síl,
pomocou ktorej by sme vedeli zisti ich pôsobenie na teleso bez toho, aby sme zisovali
zmenu pohybového stavu telesa. Ako takáto vlastnos nám slúi predstava o tzv.
pravých silách, ktoré majú svoj pôvod vo vzájomnom pôsobení telies a so zväšovaním
vzájomnej vzdialenosti telies ich vekos klesá. Preto za teleso, na ktoré nepôsobia
vonkajšie (pravé) sily môeme povaova ubovoné teleso vemi vzdialené (v limite
nekonene vzdialené) od všetkých ostatných telies.
Prirodzene, e fyzika sa nemôe uspokoji len s tvrdením o existencii nejakej
inerciálnej vzanej sústavy. Z toho dôvodu k existennému tvrdeniu treba prida
konštruktívny dodatok, ako (aspo pribline) takúto vzanú sústavu fyzikálne
realizova. Experimenty ukazujú, e vemi dobrou realizáciou inerciálnej sústavy je
sústava, so zaiatkom v Slnku a tromi osami nasmerovanými k trom hviezdam tzv.
stáliciam. Lepšou realizáciou inerciálnej sústavy je sústava, ktorej osi sú nehybné voi
kvazarom. (V niektorých úvahách mono dokonca aj sústavu pevne spojenú so Zemou v
hrubom priblíení povaova za inerciálnu).
2.4 POHYBOVÝ ZÁKON
Druhý Newtonov zákon dynamiky, tzv. zákon sily alebo pohybový zákon, hovorí
o tom, o sa deje s telesom (hmotným bodom) v inerciálnej sústave v prípade, e na
pôsobí nejaká sila. Pohybový zákon konkrétne tvrdí, e ak na teleso pôsobí v inerciálnej
sústave pravá sila F, potom spôsobuje zmenu jeho pohybového stavu, priom táto
zmena za jednotku asu je úmerná pôsobiacej sile. Pohybový stav hmotného bodu je
charakterizovaný jeho hybnosou p = m u, kde m je tzv. zotrvaná hmotnos hmotného
bodu a u je jeho okamitá rýchlos. Pri vhodnej vobe sústavy jednotiek fyzikálnych
veliín (napr. SI) dostaneme rovnos:
F p
V prípade, e hmotnos telesa sa nemení, môeme písa aj
F u
t m
teda teleso sa bude pohybova so zrýchlením
td
du a
priamoúmerným pôsobiacej sile. Ak na teleso nepôsobí sila (F = 0), potom sa teleso
pohybuje s nulovým zrýchlením, resp. konštantným vektorom rýchlosti u. To je
konzistentné so zákonom zotrvanosti, pretoe konštantný vektor rýchlosti znamená, e
teleso sa pohybuje pohybom rovnomerným priamoiarym, v prípade u = 0 je teleso
v pokoji.
2.5 GALILEIHO PRINCÍP RELATIVITY
V predchádzajúcom sme si pripomenuli, o je inerciálna vzaná sústava. Priestor
opisovaný súradnicami polohy v takejto sústave sa stotouje v predrelativistickej fyzike
s tzv. Newtonovým absolútnym priestorom, ktorý je svojou povahou bez vzahu
k akémukovek vonkajšiemu predmetu, stále rovnaký a nepohyblivý. V takomto
priestore potom poda Newtona plynie absolútny as, znova existujúci a plynúci
rovnomerne a nezávisle od akéhokovek vonkajšieho predmetu.
Prirodzenou je otázka, i inerciálna sústava, ktorú oznaíme S, je jedinou, alebo
existuje viac takýchto sústav. Uvaujme zatia hypoteticky, e existuje aj iná inerciálna
sústava, ktorú oznaíme S. V takejto sústave musí plati zákon zotrvanosti rovnako,
ako aj v S. Teda teleso, na ktoré nepôsobia pravé sily, musí v nej zotrváva v pokoji
alebo rovnomernom priamoiarom pohybe. Fakt, e teleso je v sústave S v pokoji alebo
pohybe rovnomernom priamoiarom, môeme matematicky vyjadri vzahom a = 0.
Preto ak obe sústavy sú inerciálne, musí plati:
00 aa . (2)
Nie je akým ukáza, e ak si vyjadríme polohu telesa v sústave S pomocou
iarkovaných súradníc (x, y, z), tak predchádzajúca poiadavka nám dá, e (x, y, z),
musia by lineárnymi funkciami neiarkovaných súradníc (x, y, z) a asu t. Pre
jednoduchos uvaujme také dve sústavy S a S, ktoré sa navzájom pohybujú
konštantnou rýchlosou v pozd spolonej osi x ≡ x a ostatné zodpovedajúce si osi sú
rovnobené, rovnako orientované. Nulový okamih asu zvolíme v oboch sústavách (t =
t = 0 s) v momente, ke obe sústavy splývajú. V takomto prípade vzah medzi
súradnicami telesa v S a v S bude daný transformanými vzahmi (obr. 2.2)
vtxx , yy , zz ,
(sústava S sa voi S pohybuje v kladnom smere osi x rýchlosou v).
12 | S t r a n a
Obr. 2.2 K špeciálnej Galileiho transformácii
y
S
y
A
S
vt
x
Evidentne takáto sústava S, ak v nej plynie as rovnako, t = t, je tie inerciálnou
sústavou. Mono sa o tom presvedi jednoducho:
xx a t
2
2
2
2
2
2
2
2
d
d
d
d
d
d
d
d ,
a podobne pre zvyšné dve súradnice. Teda vzah (2) je splnený.
Z predchádzajúceho vidíme, e ak existuje jedna inerciálna sústava, potom ich
existuje nekonene vea:
Kadá vzaná sústava, ktorá sa pohybuje voi nejakej inerciálnej sústave
rovnomerným priamoiarym pohybom, t. j. s konštantným vektorom rýchlosti v, je
tie inerciálnou.
Vzah medzi dvoma inerciálnymi sústavami, v našom špeciálnom prípade, je daný
transformáciou
Táto transformácia sa nazýva špeciálnou Galileiho transformáciou. Všeobecnú
Galileiho transformáciu dostaneme v prípade ubovoného smeru rýchlosti v
a ubovonej orientácie osí sústavy S, voi osiam sústavy S. Vo vektorovom tvare, ak
v ase t = t = 0 s zaiatky oboch sústav splývali, ju môeme zapísa v tvare
tvrr , tt . (4)
Newtonov zákon sily (1), ak poznáme zákony pravých síl, predstavuje aj
pohybovú rovnicu. Táto rovnica opisuje dynamiku hmotného bodu, vývin jeho
pohybového stavu v ase. Nerelativistická mechanika predpokladá, e zotrvaná
hmotnos nezávisí od pohybového stavu, špeciálne nezávisí od rýchlosti pohybujúceho
sa telesa. Preto môeme písa m = m. Podobne pre vzájomné silové pôsobenie (pravé
sily) platí, e FF , ako sa môeme napr. v prípade Newtonovho zákona všeobecnej
gravitácie presvedi, ak v om aplikujeme Galileiho transformáciu (3). Preto pohybová
rovnica v sústave S, bude ma rovnaký tvar ako mala v S:
Fa m .
Newtonova pohybová rovnica teda pri aplikácii Galileiho transformácie nemení
svoj tvar, hovoríme, e jej tvar je voi Galileiho transformácii invariantný. To, e
pohybová rovnica má rovnaký tvar vo všetkých inerciálnych sústavách znamená, e
v nich všetky mechanické deje prebiehajú rovnako. Napr. v rovnomerne a priamoiaro
sa pohybujúcom vlaku bude pustené teleso pada voným pádom, zvisle smerom
k podlahe, a s rovnakým zrýchlením ako na stanici. Fyzikálne kyvadlo bude ma
rovnakú periódu na peróne ako v pohybujúcom sa vlaku, ap. Ak by sme sa nachádzali vo
vagóne, ktorý sa pohybuje rovnomerne priamoiaro, a bol by bez okien, pomocou
mechanických pokusov konaných vnútri vagóna by sme nijako nemohli zisti, i sa
vagón pohybuje, alebo je v pokoji. Zisti, i sa vagón pohybuje by sme mohli len tak, e
by sme sa cez nejakú dierku pozreli von a zaregistrovali pohyb vagóna voi okoliu. (V
predchádzajúcom sme predpokladali, e sústava pevne spojená so stanicou je inerciálna.)
Teda z hadiska newtonovskej mechaniky všetky inerciálne sústavy sú
navzájom rovnocenné, ekvivalentné a iadnym mechanickým pokusom vnútri
sústavy nemono zisti pohyb jednej vzhadom na inú inerciálnu sústavu.
Predchádzajúce tvrdenie je známe ako Galileiho princíp relativity. Ekvivalentné
vyjadrenie tohto zákona v nerelativistickej fyzike je, e tvar zákonov mechaniky je
invariantný voi Galileiho transformácii.
2. Ako mono vo fyzike mera as?
3. V princípe akú monos poskytuje nerelativistická fyzika na synchronizáciu
hodín?
4. Definujte inerciálnu vzanú sústavu!
5. o sú pravé sily a akú úlohu hrajú v newtonovskej dynamike?
6. Definujte veliinu charakterizujúcu pohybový stav hmotného bodu!
7. o sa deje s telesom v inerciálnej sústave ak na nepôsobí pravá sila?
14 | S t r a n a
3 POSTULÁTY ŠPECIÁLNEJ TEÓRIE RELATIVITY
V druhej polovici 19. storoia bola rozpracovaná teória elektromagnetických
javov. Z Maxwellových rovníc, ktoré opisujú elektromagnetické javy, môeme
odvodi vlnovú rovnicu. Existencia elektromagnetického vlnenia bola aj experimentálne
dokázaná a zistilo sa, e svetlo je tie uritou asou frekvenného spektra
elektromagnetických vn. V súvislosti s princípmi klasickej mechaniky sa po
rozpracovaní elektromagnetickej teórie vynorila otázka, i vo formulácii (Galileiho)
princípu relativity nemono postúpi alej za rámec mechaniky. Teda vystúpila otázka,
i inerciálne sústavy sú ekvivalentné len z hadiska mechaniky, alebo aj z hadiska
zákonov iných oblastí fyziky, z hadiska elektrodynamiky (zúene optiky). Inými
slovami sformulovaný problém: i elektromagnetické javy nevydeujú zo všetkých
inerciálnych sústav nejakú privilegovanú inerciálnu sústavu, resp. i zákony
elektrodynamiky nenarúšajú fyzikálnu rovnocennos všetkých inerciálnych sústav.
3.1 INERCIÁLNE SÚSTAVY V ELEKTRODYNAMIKE
Pozrime sa na vtedajšiu situáciu, t.j. situáciu na konci 19. storoia, oami fyzika,
ktorý je vychovaný v mechanistickom duchu. Vlnenie známe z mechaniky je vdy
vlnením nejakého prostredia (tekutiny, i tuhej látky). Je preto celkom prirodzené, e aj
pri elektromagnetickom vlnení sa natisla podobná predstava. Takáto predstava pre
svetlo vznikla dokonca ešte pred poznaním jeho elektromagnetickej povahy. Poda
Huygensa je svetlo vlnením hypotetickej substancie (prostredia), ktorá preniká všetky
telesá a ktorá bola nazvaná svetelným éterom. Ak by tento svetelný éter nebol
ovplyvovaný telesami v om sa nachádzajúcimi, tak vzaná sústava pevne s ním
spojená by bola ványm kandidátom na privilegovanú vzanú sústavu. Vzhadom na
u by sa dal elektromagnetickými (alebo zúene optickými) pokusmi urova absolútny
pohyb. Bola by fyzikálnou realizáciou newtonovského absolútneho priestoru. Takéto
úvahy boli ešte aktuálnejšie po zistení, e Maxwellove rovnice nie sú kovariantné pri
Galileiho transformácii. Po aplikácii Galileiho transformácie na Maxwellove rovnice
dostaneme rovnice, v ktorých vystupujú leny explicitne závisiace od rýchlosti v
pohybu novej sústavy voi pôvodnej. Znamenalo by to, e v sústave pohybujúcej sa
rýchlosou v voi éteru u elektromagnetické javy nebudú opísané Maxwellovými
rovnicami v tom tvare ako ich poznáme, ale rovnicami, závisiacimi od v. Tento fakt sa
prirodzeným spôsobom prejaví aj v experimentálnych dôsledkoch teórie. Na ich základe
by bolo moné zisti rýchlos v, a teda aj pohyb voi éteru. Po zistení, e Maxwellove
rovnice nie sú kovariantné voi Galileiho transformácii, našiel Lorentz transformáciu,
ktorá zachováva tvar Maxwellových rovníc. Nazýva sa Lorentzovou transformáciou. Vo
fyzike takým spôsobom vznikla paradoxná situácia. Boli známe dve oblasti fyzikálnych
javov - mechanika a elektromagnetizmus - s ucelenými teóriami, ktorých
experimentálne dôsledky vemi dobre súhlasili so skúsenosou. Obe tieto teórie boli
zaloené na uritej koncepcii priestorového a asového opisu fyzikálnych veliín.
Mechanika bola zaloená na Newtonových pohybových zákonoch, ktorých tvar je
invariantný voi Galileiho transformácii, naproti tomu elektromagnetická teória je
zaloená na Maxwellových rovniciach, ktorých tvar voi Galileiho transformácii
invariantný nie je. Vyzerá to tak, akoby priestor a as pri elektromagnetických javoch
mali iné vlastnosti ne priestor a as pri javoch mechanických. Ako riešenia tejto
rozpornej situácie sa ponúkajú nasledujúce alternatívy:
S t r a n a | 15
1. Fyzikálna ekvivalentnos všetkých inerciálnych vzaných sústav nie je
všeobecnou vlastnosou, ale je vlastnosou platnou len pre mechanické deje.
Z toho prirodzene plynie, e tvar Maxwellových rovníc nebude invariantný voi
Galileiho transformácii. Z hadiska elektromagnetických procesov by teda mala
existova nejaká privilegovaná inerciálna vzaná sústava, ktorú by sa malo da
experimentálne elektromagnetickými pokusmi identifikova. Touto alternatívou by
sa zachovali obe teórie - aj newtonovská mechanika, aj maxwellovská
elektrodynamika v pôvodnom tvare, len by sa blišie špecifikovali oblasti
pouitenosti oboch teórií. Newtonove rovnice by platili vo všetkých inerciálnych
sústavách, Maxwellove rovnice len v jednej, privilegovanej.
2. Fyzikálna ekvivalentnos všetkých inerciálnych sústav je všeobecnou
vlastnosou platnou tak pre mechanické, ako aj elektromagnetické procesy a javy.
V tomto prípade sú však dve monosti:
a) Bu Newtonove rovnice sú správne v kadej inerciálnej vzanej sústave a
transformáciou medzi dvoma inerciálnymi sústavami je Galileiho transformácia a
Maxwellove rovnice, na rozdiel od toho, sú len akýmsi priblíením správnych
(galileovsky kovariantných) rovníc, ktoré treba nájs.
b) Alebo naopak, Maxwellove rovnice sú správne a platné v kadej inerciálnej vzanej
sústave a transformácia medzi dvoma inerciálnymi sústavami je Lorentzova
transformácia. Newtonove rovnice sú potom len akýmsi priblíením správnych
(lorentzovsky kovariantných) rovníc.
Vzhadom na to, e obe teórie, tak Newtonova mechanika, ako aj Maxwellova
elektrodynamika, sa v praxi vynikajúco osvedili, bolo prirodzené, e spoiatku sa
povaovala za správnu prvá alternatíva, poda ktorej nie všetky inerciálne vzané
sústavy sú z hadiska elektrodynamiky rovnocenné, a teda pomocou
elektromagnetických pokusov mono nájs privilegovanú vzanú sústavu. V alšej
asti sa teda budeme venova pokusom nájs takúto privilegovanú vzanú sústavu.
3.2 POKUSY NÁJS PRIVILEGOVANÚ VZANÚ SÚSTAVU
Prvými pokusmi nájs privilegovanú vzanú sústavu boli optické pokusy. Ako u
bolo spomenuté, poda Huygensa je svetlo vlnením hypotetickej substancie, ktorá
preniká všetky telesá a ktorá bola nazvaná svetelným éterom. O vlastnostiach
svetelného éteru boli vyslovené tri hypotézy:
1. Stokesova - Hertzova hypotéza
Telesom pohybujúcim sa v éteri je éter úplne strhávaný, t.j. relatívna rýchlos
telesa vzhadom na éter tesne pri povrchu telesa sa rovná nule.
2. Fresnelova - Fizeauova hypotéza
Éter je pohybujúcim sa telesom strhávaný len iastone, t.j. relatívna rýchlos
telesa vzhadom na éter tesne pri jeho povrchu je nenulová, avšak menšia ne voi
éteru aleko od telesa.
3. Lorentzova hypotéza
Éter je absolútne pokojný, vypa celý priestor a prestupuje cez všetky telesá
bez toho, e by bol ich pohybom nejako ovplyvovaný. S týmto éterom mono
prirodzene spoji privilegovanú vzanú sústavu (Newtonova inerciálna vzaná
sústava v absolútnom pokoji), take pohyb vzhadom na takýto éter by bol
absolútnym pohybom.
V súvislosti s predchádzajúcimi hypotézami bolo uskutonených mnostvo
pokusov. Spomenieme len niektoré. Ako prvý z nich opíšeme Hoekov experiment.
1. Hoekov pokus Experimentálna zostava jedného z variantov tohto experimentu je schematicky
naznaená na obr. 3.1:
Obr. 3.1 Hoekova aparatúra
Z2
Z1
2
T
Monochromatický lú svetla od zdroja S je rozdelený polopriepustnou doštikou P na
dva navzájom kolmé lúe. Jeden, oznaíme ho 1, prejde cez doštiku a bude pokraova
smerom k zrkadlu Z1, od ktorého sa odrazí smerom k zrkadlu Z2, od Z2 k Z3 a dopadne
znova na doštiku P, cez ktorú as prejde do objektívu teleskopu T. Druhý lú,
oznaíme ho 2, sa od polopriepustnej doštiky P odrazí smerom k zrkadlu Z3, od Z3 k
Z2, od Z2 k Z1, od Z1 k P a nakoniec as sa odrazí od P do objektívu teleskopu T. Medzi
zrkadlami Z2 a Z3 je umiestnená kyveta dky L naplnená priezranou kvapalinou o
indexe lomu n. Oba lúe spajú podmienky koherencie, a preto môe dôjs k
interferencii. Z toho dôvodu by sme mali v teleskope pozorova interferenný obrazec.
V skutonosti sa aj pozoruje, tmavé prúky sa striedajú so svetlými (obr. 3.2).
Ak by sa zariadenie pohybovalo voi éteru rýchlosou v, tak by sme pozorovali
dodatoný fázový posun medzi lúmi 1 a 2, a teda aj posun interferenných
Obr. 3.2 Interferenné prúky
S t r a n a | 17
prúkov v teleskope oproti prípadu, e by sa prístroj voi éteru nepohyboval. Pre
jednoduchos predpokladajme, e aparatúra sa pohybuje voi éteru rýchlosou v v
smere lúa od zdroja S k polopriepustnej doštike P. Dodatoný fázový posun pri
pohybe aparatúry voi éteru je spôsobený neekvivalentnosou úsekov AB a DC, pretoe
úsek DC je vyplnený kvapalinou a úsek AB nie. Zvyšné úseky dráh sú pre oba lúe
rovnocenné. Dodatoný fázový posun bude teda spôsobený rozdielnymi dobami t 1 a t
2
potrebnými na prelet svetla lúov 1 a 2 týmito dvoma úsekmi. Pre rýchlos
v dostatone malú oproti c dostaneme pre fázový posun pribliný vzah (pozri
Dodatok A)
L2 . (1)
Ak uvaujeme, e v je rýchlos Zeme voi éteru, tak vypoítaný fázový posun
máme u hne na zaiatku merania. Poas celého merania sa nemení, pretoe Zem sa
pohybuje poas merania stále tou istou rýchlosou v. Take z tohto interferenného
obrazca nevieme rozhodnú i sa Zem voi éteru pohybuje a i nie. Ak však aparatúru
poas merania otoíme o uhol rad, tak lúe 1 a 2 si vymenia úlohy. Dodatoný fázový
rozdiel sa bude v tomto druhom prípade rovna (- ) a interferenné prúky by sa mali
posunú. Take po otoení aparatúry o rad u by sme mali pozorova posunutie
interferenných prúkov, zodpovedajúce fázovému rozdielu
c
v
c
Výsledok experimentu bol negatívny. iadne posunutie prúkov nebolo
pozorované. Dôvodom toho môe by, e Zem sa voi éteru poas merania nepohybuje
alebo Stokesova - Hertzova hypotéza úplne strhávaného éteru je chybná. Vieme, e Zem v
priebehu roka mení svoju obenú rýchlos. Ak je meranie dostatone presné a poas
rôznych roných období nenameriame posun interferenného obrazca, poukazuje to na
fakt, e Stokesova - Hertzova hypotéza je nesprávna.
Vyjdime teraz z predpokladu, e svetelný éter je iastone strhávaný prostredím.
Koeficient strhávania nech je k. Ak sa teleso pohybuje voi éteru aleko od neho
rýchlosou v, tak éter v oblasti telesa, a tesne pri jeho povrchu, sa bude voi éteru aleko
od telesa pohybova rýchlosou (k v). Relatívna rýchlos aparatúry voi strhávanému éteru
v kvapaline v kyvete je teda (1 – k) v. Ke vypoítame rozdiel asov pre oba lúe za
predpokladu strhávania éteru kvapalinou v kyvete, jeho vynásobením uhlovou
frekvenciou dostaneme fázový rozdiel týchto lúov.
Dodatoný fázový rozdiel týchto lúov spôsobený pohybom aparatúry voi éteru za
predpokladu, e éter je strhávaný s koeficientom strhávania k, bude (s presnosou do 1.
mocniny podielu v/c) (Pozri Dodatok B)
kn c
221
(2)
Negatívny výsledok experimentu môeme teda vysvetli tak, e éter je iastone
strhávaný, priom koeficient strhávania (tzv. Fresnelov koeficient strhávania)
2
18 | S t r a n a
V tom prípade sa bude toti rovna nule (s presnosou do 1. rádu, t.j. prvej mocniny
v/c). Vyzerá to teda, akoby negatívny výsledok Hoekovho experimentu do istej miery
podporil Fresnelovu - Fizeaovu hypotézu. Vieme však, e index lomu n závisí od
frekvencie prechádzajúceho svetla. Pre kadú frekvenciu by sme potom dostali iný
koeficient strhávania. Je evidentné, e na to, aby sme vysvetlili negatívny výsledok
experimentu, nevystaili by sme s jednoduchým éterom, ale potrebovali by sme éter,
ktorý má pre kadú frekvenciu iný koeficient strhávania. Tento fakt vnáša alšie
poiadavky na vlastnosti éteru, o robí Fresnelovu - Fizeaovu hypotézu nepríalivou
a alšie presnejšie experimenty ju vylúili.
Prejdime teraz k tretej hypotéze. Lorentz ukázal, e pomocou experimentov,
ktorých presnos dovouje preveri len fázové rozdiely úmerné prvej mocnine v/c,
nemono absolútny pohyb uri. iastone to naznaujú predchádzajúce úvahy. Fázový
rozdiel (2) sa pre
1 1
n k
rovná nule, ak zanedbáme vo výraze pre leny vyššieho ne prvého rádu podielu v/c.
Presnos pokusov, ktoré boli stavané na priblíení pouitom v (2) nedovouje
experimentálne odhali tú as fázového posuvu, ktorá závisí od
2
c
v
a vyšších mocnín. Pokusy, ktorých presnos je na úrovni zistenia fázových rozdielov
závisiacich od prvej mocniny v/c nazývame pokusmi prvého rádu. Kee pokusy prvého
rádu dávali negatívny výsledok, bolo treba prejs k citlivejším pokusom, k tzv. pokusom
druhého rádu. Potrebné bolo skonštruova citlivejšiu aparatúru, interferometer, ktorý by
dovooval detegova fázový rozdiel úmerný malikej hodnote (v/c) 2 . Prvým takým
pokusom bol Michelsonov pokus uskutonený v roku 1881, neskôr zopakovaný
Michelsonom a Morleym a mnohými alšími, za pomoci tzv. Michelsonovho
inteferometra.
obrázku 3.3:
Táto aparatúra predstavuje dvojramenný interferometer. Zo zdroja svetla S
postupuje svetlo na polopriepustnú doštiku P, na ktorej sa rozdelí na dva lúe. Jeden,
ktorý prejde doštikou, postupuje k zrkadlu Z1. Na om sa odrazí a postupuje naspä na
doštiku P, kde sa as odrazí a prichádza do teleskopu T. Druhý, ktorý sa na doštike
odrazí kolmo na pôvodný smer a postupuje k zrkadlu Z2. Od neho sa odrazí a vracia sa
opaným smerom, kde as prejde cez doštiku P do objektívu teleskopu. Lúe
prichádzajúce do teleskopu pochádzajú z toho istého zdroja a môu interferova.
Nastavením zrkadiel mono dosiahnu vznik interferenných prúkov. Ich poloha závisí
od fázového rozdielu oboch lúov.
S t r a n a | 19
Obr. 3.3 Michelsonov interferometer
Z2
Z1
2
Ak sa interferometer pohybuje voi éteru v rovnobenom smere s jedným jeho
ramenom (interferometer orientujeme tak, aby jedno rameno bolo rovnobené so
smerom okamitej obenej rýchlosti Zeme okolo Slnka), potom týmto pohybom vzniká
dodatoný posun interferenných prúkov na jednu stranu. Prirodzene, e tento posun je
prítomný u na zaiatku merania, take ho nemôeme identifikova. Avšak, ak
interferometer otoíme o /2 rad, obe ramená si navzájom vymenia smer. Potom toto
dodatoné posunutie prúkov bude na druhú stranu. Ak posunutie prúkov
interferometra v dôsledku jeho pohybu voi éteru bolo pred otoením aparatúry o n
prúkov doava, po otoení interferometra bude o n prúkov doprava oproti polohe pri
nulovej rýchlosti. Take po otoení interferometra by sme mali zaregistrova celkové
posunutie o 2n prúkov doprava. Fázový rozdiel zodpovedajúci tomuto posunutiu sa
v priblíení do druhej mocniny podielu v/c rovná (Pozri Dodatok C):
2
22
c
v
c
2
22
, (5)
kde je vlnová dka pouitého svetla. Pri prvých meraniach bola dka ramien
L 10 m. Dosiahne sa to niekokonásobným odrazom na zrkadlách umiestnených veda
zrkadiel Z1, Z2 a doštiky. Ak uváime, e pre obenú rýchlos Zeme okolo Slnka
( v/c ) 2 10
-8 , pri vlnovej dke 500 nm mono oakáva posun o 2n 0,4 prúku.
iaden posun nebol nameraný ani v neskorších citlivejších meraniach pri
niekokonásobnom predení ramien L.
Negatívny výsledok Michelsonovho experimentu sa pokúsil vysvetli Lorentz
(a nezávisle FitzGerald) ad hoc hypotézou, tzv. kontraknou, o tom, e rameno
pohybujúce sa v éteri rýchlosou v pozd svojej dky je v dôsledku „tlaku“ éteru
skracované -krát oproti ramenu, ktoré je voi éteru v pokoji alebo sa pohybuje kolmo
na svoju dku. Pritom poda Lorentza sa rovná:
20 | S t r a n a
2
2
1
1
c
v
. (6)
Neskôr bolo navrhnutých viacero experimentov (Kennedy – Thorndike, Trouton –
Noble, Trouton – Rankin, ...) u ktorých si vysvetlenie ich výsledkov vyadovalo alšie
ad hoc hypotézy o dilatácii asového intervalu pri pohybe hodín, špecifickej zmene
silového zákona pri pohybe, závislosti elektrického odporu pri pohybe vodia, a pod.
Prirodzene, e potreba zavedenia alších ad hoc hypotéz do teórie túto teóriu
diskvalifikuje spomedzi serióznych teórií. Seriózna fyzikálna teória má by zaloená na
malom pote a priori jasných, všeobecných a experimentálne zdôvodnených
predpokladoch – postulátoch – navzájom konzistentných, bez nesystémového dodávania
hypotéz slúiacich len na vysvetlenie toho, ktorého jednotlivého experimentu. Všetky
spomenuté experimenty teda vytvárajú naliehavú potrebu sformulovania novej, vnútorne
konzistentnej fyzikálnej teórie, ktorá ich prirodzeným spôsobom vysvetlí.
Príklad 2
Uvaujme v súlade s Lorentzovou kontraknou hypotézou, e rameno
interferometra rovnobené so smerom rýchlosti v sa v dôsledku tlaku svetelného éteru
skráti γ-krát. Druhé, na rýchlos kolmé, rameno zostane nezmenené. Ukáte, e
v takomto prípade nevzniká iaden dodatoný fázový posun súvisiaci s pohybom
interferometra.
Riešenie:
V hypertextovom odkaze „fázový rozdiel“ pri Michelsonovom pokuse nájdeme
pre asový rozdiel Δt v prípade, e rameno je rovnobené so smerom rýchlosti v výraz:
2
2
121
2 LL
c ttt .
Ak uvaujeme, e rameno rovnobené so smerom rýchlosti sa γ-krát skrátilo,
musíme v predchádzajúcom výraze nahradi dku L1 skrátenou dkou ramena:
1
1
212121
22 LL
c LL
c ttt .
Ak ramená interferometra sú rovnako dlhé L1 = L2 , potom príslušný asový
rozdiel medzi lúmi oboch ramien Δt = 0. Úplne rovnako môeme postupova po
otoení interferometra o π/2 rad. V tom prípade treba nahradi dku ramena L2
skrátenou dkou:
L L
a pre asový rozdiel znova dostaneme Δt´ = 0. iaden fázový posun, a teda ani
dodatoné posunutie interferenných prúkov nemôeme pozorova ak je splnená
kontrakná hypotéza.
Pri nerovnakej dke ramien interferometra sa ani za splnenia Lorentzovej
kontraknej hypotézy nebude fázový rozdiel rovna nule. Prúky by sa teda mali aj
v takomto prípade posunú. Experiment s interferometrom o nerovnakej dke ramien
S t r a n a | 21
uskutonili Kennedy a Thorndike, avšak ako sme u spomenuli s negatívnym
výsledkom.
Negatívne výsledky hadania svetelného éteru vysvetlil elegantným spôsobom A.
Einstein v roku 1905. Jeho vysvetlenie spoívalo jednoducho v tvrdení, e svetelný éter
neexistuje. alšiu skutonos, e rýchlos svetla bola nameraná vdy v kadej vzanej
sústave rovnako veká, berie ako experimentálny fakt, ktorý treba poja do teórie. Na
základe týchto poznatkov Einstein sformuloval dva základné postuláty, pomocou
ktorých vybudoval konzistentnú teóriu elektromagnetických a mechanických javov.
Prvým postulátom je rozšírenie Galileiho princípu relativity. Kee ani pomocou
elektrodynamických pokusov sa nenašla vzaná sústava, ktorá by bola zákonmi
elektrodynamiky nejako privilegovaná, je prirodzené rozšíri platnos princípu relativity
aj na elektrodynamiku.
Einsteinov princíp relativity
rovnako, resp. všetky inerciálne sústavy z hadiska všetkých fyzikálnych zákonov sú
ekvivalentné.
Odtiato plynie, e všetky rovnice, ktoré správne opisujú fyzikálne procesy, musia
ma invariantný tvar voi transformácii, spájajúcej dve inerciálne sústavy. ahko sa
však mono presvedi, e Maxwellove rovnice nie sú galileovsky invariantné.
Teda sú dve monosti:
1. Správne sú Newtonove rovnice s Galileiho transformáciou prechodu jednej
inerciálnej sústavy k druhej a Maxwellove rovnice sú len priblíením nejakých
presnejších, galileovsky invariantných, rovníc,
alebo:
2. Maxwellove rovnice sú presné, potom Newtonove rovnice sú len priblíením
nejakých presnejších rovníc. Podobne aj Galileiho transformácia bude potom len
priblíením nejakej presnejšej transformácie medzi inerciálnymi sústavami, voi ktorej
budú Maxwellove rovnice invariantné (Takouto transformáciou je Lorentzova
transformácia).
Einstein sa priklonil k druhej alternatíve. Z tejto alternatívy ako dôsledok plynie,
e rýchlos svetla vo vákuu je rovnaká vo všetkých inerciálnych sústavách nezávisle od
rýchlosti zdroja svetla. Tvrdenie je evidentné zo známeho Maxwellovho vzorca pre
rýchlos elektromagnetického vlnenia vo vákuu, ktorý vyplýva priamo z Maxwellových
rovníc vo vákuu:
00
1
c ,
kde 0, resp. 0 je elektrická, resp. magnetická konštanta. Z Einsteinovho princípu
relativity toti plynie, e obe tieto konštanty musia by vo všetkých inerciálnych
sústavách rovnaké. Ak navyše predpokladáme, e aj Maxwellove rovnice majú vo
všetkých inerciálnych sústavách rovnaký tvar, potom aj Maxwellov vzorec pre rýchlos
svetla vo vákuu je pre všetky inerciálne sústavy rovnaký. Ak však a priori
22 | S t r a n a
nepredpokladáme platnos Maxwellových rovníc vo všetkých inerciálnych sústavách,
potom tvrdenie o nezávislosti rýchlosti svetla vo vákuu nie je dôsledkom princípu
relativity, ale je nezávislým tvrdením. Tvrdenie o stálosti rýchlosti svetla, nezávisle od
rýchlosti zdroja, si vybral Einstein za druhý postulát svojej špeciálnej teórie relativity.
O tom, e jeho výber bol správny, svedia priame merania rýchlosti svetla od zdrojov
pohybujúcich sa rôznymi rýchlosami voi Zemi, ako i fakt, e experimentálne
predpovede vyplývajúce z Maxwellových rovníc sú v súlade s reálnymi výsledkami
experimentov v ubovonej inerciálnej sústave.
Princíp stálosti rýchlosti svetla
Svetlo sa vo vákuu šíri vo všetkých inerciálnych sústavách konštantnou
rýchlosou c, ktorá nezávisí od pohybového stavu zdroja svetla.
Poznámka:
relativity. Prirodzene, e tieto dva postuláty nepostaujú na vybudovanie celej teórie.
Pristupujú k nim princíp zotrvanosti definujúci inerciálne sústavy, princíp
superpozície, pohybový zákon, etc. Názov postuláty špeciálnej teórie relativity sa však
v historickom kontexte zauíval pre spomenuté dva princípy.
Kontrolné otázky
9. Aké hypotézy boli vyslovené o vlastnostiach svetelného éteru?
10. Strune vysvetlite podstatu konštruktívnej interferencie svetla.
11. Opíšte fyzikálnu podstatu Hoekovho experimentu a vysvetlite fyzikálne
dôsledky jeho negatívneho výsledku.
13. Aké zmeny oproti Newtonovej mechanike prináša Einsteinova špeciálna
teória relativity?
4 KINEMATIKA ŠPECIÁLNEJ TEÓRIE RELATIVITY
V tejto podkapitole sa budeme zaobera kinematikou špeciálnej teórie relativity.
Oboznámime sa s postupom, pri ktorom najprv odvodíme Lorentzovu transformáciu a
relatívnos súasnosti s dilatáciou asu a kontrakciou dok sa diskutujú ako jej
dôsledky. Takýto postup je štandardným postupom väšiny uebníc špeciálnej teórie
relativity.
4.1 ŠPECIÁLNA LOTENTZOVA TRANSFORMÁCIA
V nasledujúcom uvidíme, e oba princípy - špeciálny princíp relativity a princíp
konštantnej rýchlosti svetla - vedú k základným zmenám v predstavách o priestore a
ase.
Uvaujme dve inerciálne sústavy S a S'. Nech sú ich zodpovedajúce osi
rovnobené. alej nech v ase t = t' = 0 s zaiatky oboch sústav splývajú a sústava S'
nech sa pohybuje voi sústave S pozd spolonej osi xx v kladnom smere
konštantnou rýchlosou v.
z z
O O’
V okamiku, ke obe sústavy splývajú, nech je zo spoloného zaiatku 00
vyslaný svetelný signál. Mnoina bodov do ktorých svetelný signál súasne dorazí v
sústave S bude guová plocha s polomerom ct opísaná rovnicou:
(1)
Poda špeciálneho princípu relativity musí by aj v inerciálnej sústave S' táto
mnoina guovou plochou. Poda druhého postulátu - konštantnej rýchlosti svetla - bude
ma táto v S' polomer ct', kde t' je as meraný v sústave S' od okamihu vyslania
svetelného signálu. Rovnica tejto guovej plochy v inerciálnej súradnicovej sústave S' je
022222 tczyx (2)
24 | S t r a n a
Z postulátov špeciálnej teórie relativity vyplýva, e plynutie asu t' v sústave S' sa
líši od plynutia asu t v sústave S. ahko sa o tom mono presvedi jednoduchým
myšlienkovým experimentom (pozri paragraf 5.1).
Z rovnosti (1) na základe princípov relativity vyplýva rovnos (2). To môe by
splnené, len ke pre ubovonú štvoricu (x,y,z,t) súradníc a asového okamihu nejakej
bodovej udalosti v S a príslušnú štvoricu tej istej udalosti opísanej v S´ platí:
2222222222 tczyxqtczyx
kde q je reálne íslo. Kee obe sústavy sú ekvivalentné, musí plati aj opaná
implikácia: Z (2) vyplýva (1). Teda aj
2222222222 tczyxqtczyx ,
.12 q
ahko sa mono presvedi, e v našom prípade musí by .1q Môeme preto
napísa vzah medzi opisom polohy a asového okamihu jednej a tej istej bodovej
udalosti v oboch inerciálnych vzaných sústavách
,2222222222 tczyxtczyx (3)
2 + z
2 – c
2 t 2 ≠ 0.
Pokúsme sa nájs transformané vzahy medzi S a S' tak, aby rovnos (3) bola
splnená. Pretoe, ako sme u videli, transformova sa musí aj as, budeme hada
transformáciu
.,,,,,, zyxtzyxt
zayaxatat 03020100
zayaxatax 13121110
zayaxatay 23222120
,33323130 zayaxataz


kde
2
2
Lorentzova transformácia teda predstavuje transformané rovnice prechodu od
inerciálnej súradnicovej sústavy S k inerciálnej súradnicovej sústave S'. Spätný prechod
od iarkovanej sústavy k neiarkovanej dostaneme vemi ahko, ke si uvedomíme, e
neiarkovaná sústava sa pohybuje voi iarkovanej v smere osi x', ale v opanej
orientácii, t.j. rýchlosou (- v). Preto inverznú transformáciu dostaneme z (4) - (7)
zámenou v →(-v) a vzájomnou zámenou iarkovaných súradníc a asu s
neiarkovanými:
V tejto asti si všimnime dva hraniné prípady špeciálnej Lorentzovej
transformácie.
Pomalá Lorentzova transformácia
Ako prvý prípad uvaujme prípad, ke sústava S´ sa voi S pohybuje vemi
malou rýchlosou v porovnaní s rýchlosou svetla.
1 2
.1
1
1
2
2
yy
zz
Je prirodzené, e v transformanom vzahu pre as musíme ponecha len vx/c 2 .
Dôvodom je, e napriek tomu, e v/c 2 je malé, pre veké x môe by súin vx/c
2
porovnatený s t, resp. pri procesoch prebiehajúcich v ase sa asto zaujímame o asový
interval Δt, v ktorom tieto procesy pozorujeme a vx/c 2 môe by porovnatené s
asovým intervalom Δt, najmä ak je tento krátky. Znamená to, e v danom prípade len
vx/c 2 nie je zanedbatený voi t. Transformaný vzah urený rovnicami (8) sa nazýva
pomalou Lorentzovou transformáciou.
Galileiho transformácia
Ako druhý limitný prípad uvaujme prípad, ke c → ∞. Po prevedení tejto limity
v Lorentzovej transformácii (4) – (7) dostávame pre všetky konené t a x:
tt ´
vtxx
yy
zz ,
Poznámka.:
Teraz ahko nahliadneme, preo sa v nerelativistickej mechanike dospelo k
výsledku, e dve inerciálne sústavy sú navzájom viazané Galileiho transformáciou.
Bolo to z toho dôvodu, e naša experimentálna skúsenos, na základe ktorej bola
nerelativistická mechanika budovaná, postihovala len pohyby s malými rýchlosami
v 2 /c
2 bolo zanedbatené voi bene
meraným asom, resp. asovým intervalom. V takom prípade pomalá Lorentzova
transformácia prejde na Galileiho.
SMERE
V tejto asti zovšeobecníme špeciálnu Lorentzovu transformáciu na prípad
pohybu sústavy S′ vo všeobecnom smere voi sústave S.
Prepíšme špeciálnu Lorentzovu transformáciu (4) - (7) do vektorového tvaru.
Pretoe v danom špeciálnom prípade mal vektor rýchlosti súradnicovej sústavy S' voi S
smer kladnej polosi x, môeme písa
iv v ,
kde i je jednotkový vektor v smere osi x. Ak oznaíme ako r polohový vektor bodu so
súradnicami (x,y,z), tak môeme písa
v.ri.rr.i vvvx .
Potom
v.r .
Pre zloky v smere spolonej osi x ≡ x´ polohového vektora v oboch sústavách
dostaneme
Podobne dostaneme pre zloky v rovinách (y,z) resp. (y´,z´)
kjkj zyzy
Rozloíme polohový vektor r a jeho vyjadrenie r´ v súradnicovej sústave S' do smeru
rovnobeného s v a kolmého na, t.j.
rr r || , rr r || .
ir x|| , ir x|| , kjr zy , kjr zy



Tento tvar transformácie u explicitne nevyjadruje špecifikum, e rýchlos v mala smer
osi x. Mono ho teda povaova za zovšeobecnenie Lorentzovej transformácie pre
ubovoný smer rýchlosti v súradnicovej sústavy S' voi S.
Nakoniec mono uvies aj iné vyjadrenie, v ktorom nebudú vystupova zloky
rozkladu polohových vektorov, ale priamo polohové vektory. Staí si pritom len
uvedomi, e r|| je priemet vektora r do smeru rýchlosti v vynásobený jednotkovým
vektorom v smere v:
Take pre
rrrrr |||| (10)


r.v vrr (11)
Lorentzovu transformáciu v prípade pohybu súradnicovej sústavy S' voi S v
ubovonom smere rýchlosou v, za predpokladu rovnobenosti zodpovedajúcich osí
oboch sústav, mono teda písa v tvare



4.4 DÔSLEDKY LORENTZOVEJ TRANSFORMÁCIE
V tejto asti si ukáeme, e špeciálna teória relativity prináša nové chápanie
súasnosti dvoch udalostí, plynutia asu, ako aj vzdialenosti dvoch bodov v priestore.
Všetky tieto pojmy sa stávajú relatívnymi a závisia od vzanej sústavy, v ktorej ich
opisujeme. Hovoríme o relatívnosti súasnosti, dilatácii asu a kontrakcii dok.
Ukáeme, ako tieto javy vyplývajú z Lorentzovej transformácie.
Relatívnos súasnosti
Predstavme si situáciu, ke pozorovate v súradnicovej sústave S' pozoroval, e v
mieste x'A nastala v ase t'A nejaká udalos. V tom istom ase t'B = t'A nastala nejaká
udalos v mieste x'B. Pozorovate, ktorý je pevne spojený so sústavou S, t.j. v sústave S
sa nepohybuje, nameria v súlade s rovnicou (4a) medzi týmito dvoma udalosami
asový interval:
22
Ak aj prebehli obe udalosti v sústave S' súasne (t.j. t'B = t'A), ale v miestach s rôznou
súradnicou x (x'B ≠ x'A), pozorovate v sústave S ich nepozoruje súasne. Medzi oboma
udalosami nameria asový interval
S t r a n a | 29
Tento dôsledok potvrdzuje fakt, e súasnos je pojem relatívny. Pretoe poda
špeciálneho princípu relativity sú obe inerciálne sústavy ekvivalentné, tvrdenia o
asovej následnosti udalostí A a B oboch pozorovateov, i pozorovatea v sústave S,
alebo pozorovatea pevne spojeného so sústavou S', je rovnako oprávnené. Rovnako
oprávnené je tvrdenie pozorovatea P', e udalosti A, B nastali súasne, ako tvrdenie
pozorovatea P, e udalosti A, B nenastali súasne. Teda súasnos ako absolútny pojem
stráca v špeciálnej teórii relativity zmysel, ako sme u nakoniec v odvolávke na
myšlienkový experiment v paragrafe 5.1 videli. Výnimkou je len prípad, ke obe
udalosti nastali v tom istom bode (resp. v bodoch s tou istou súradnicou x'B = x'A ). Len
pre takéto udalosti má pojem súasnosti absolútny zmysel. Len pre ne platí, e ak nastali
súasne v jednej inerciálnej sústave, tak nastali súasne vo všetkých inerciálnych
sústavách. Relatívnos súasnosti je v rozpore s náhadom nerelativistickej fyziky na
as a nám nezostáva ni iné, len si na tento fakt zvyknú a zi sa s ním.
Kontrakcia dok
Priamou metódou môeme mera dku tak, e meradlo (pravítko) prikladáme k
meranému predmetu a priamo odítame hodnoty pri znakách na pravítku kryjúcich sa
so zaiatkom a koncom predmetu. Takto zvykne mera dku pozorovate, voi
ktorému je meraný predmet v pokoji. V zásade však môe dku meraného predmetu
zmera priamo aj pozorovate z inej inerciálnej sústavy, voi ktorej sa predmet
pohybuje nejakou rýchlosou rôznou od nuly. Ako postupuje pozorovate v takomto
prípade? V takej situácii pozorovate môe zmera dku pohybujúceho sa predmetu
tak, e si v svojej súradnicovej sústave poznaí (trebárs za pomoci asistentov, ktorí majú
zosynchronizované hodinky), povedzme na pevnej tyi, súasne polohu zaiatku aj
konca meranej dky a potom ich vzdialenos zmeria u štandardným postupom
prikladania dkového meradla. Z hadiska Newtonovej mechaniky výsledok oboch
meraní, i pozorovateom voi ktorému je meraný predmet v pokoji, alebo
pozorovateom, voi ktorému sa meraný predmet pohybuje, musí by ten istý. Ke však
prijmeme za správne princípy špeciálnej teórie relativity, vidíme, e vzniknú urité
akosti. akosti vzniknú v súvislosti s tým, e pojem súasnosti stratil v teórii
relativity absolútny zmysel. Skutone, uvaujme teleso pohybujúce sa v súradnicovej
sústave S v smere osi x konštantnou rýchlosou v. S týmto telesom môeme pevne
spoji súradnicovú sústavu S'. Nech zaiatok A a koniec B telesa majú v súradnicovej
sústave S' v uritom asovom okamihu súradnice x'A, x'B. Potom ich rozdiel sa bude
rovna dke telesa L', ako ju nameria pozorovate pevne spojený so sústavou S'. Dka
meraná v sústave, v ktorej je predmet v pokoji sa nazýva pokojovou.
AB xxL
Poloha zaiatku a konca telesa v súradnicovej sústave S, t.j. ich súradnice xA, xB v
asoch tA, tB súvisia so súradnicami x'A, x'B prostredníctvom Lorentzovej transformácie
(5):
ABABAB ttvxxxx
Rozdiel súradníc xB - xA v tom istom asovom okamiku tB = tA je dkou L telesa, ako ju
zmeria pozorovate v súradnicovej sústave S. Vidíme, e pre tB = tA dostaneme
30 | S t r a n a
)( ABAB xxxx ,
a teda
v LL (15)
Dostali sme známy vzorec pre kontrakciu dok, poda ktorého dka L predmetu
pohybujúceho sa voi pozorovateovi je vdy kratšia ne jeho pokojová dka L'.
Dilatácia asu
U vieme, e pojem súasnosti v jednej inerciálnej sústave sa nekryje s pojmom
súasnosti v inej inerciálnej sústave. Teda as v rôznych inerciálnych sústavách vo
všeobecnosti plynie rôzne. Pokúsme sa teda porovna plynutie asu v dvoch
inerciálnych vzaných sústavách vychádzajúc z Lorentzovej transformácie.
Predstavme si situáciu, ke v sústave S' v mieste x'A nastala nejaká udalos A v ase t'A.
alej nech v tom istom mieste, ale v neskoršom ase t'B nastala udalos B. To, e
udalos B nastala v tom istom mieste ako udalos A o. i. znamená, e x'A = x'B. Ako
bude pozorova tieto dve udalosti pozorovate zo sústavy S? Vieme, e súradnice a as
merané v iarkovanej súradnicovej sústavy sú viazané so súradnicami a asom
neiarkovanej súradnicovej sústavy prostredníctvom Lorentzovej transformácie (4a) -
(7a)
2
Potom pre asový interval t medzi udalosami A a B, pozorovaný
pozorovateom zo sústavy S dostaneme
tttttt ABAB ,
kee x'A = x'B (udalosti A, B boli v sústave S' súmiestne). Pretoe pre rýchlos v ≠ 0
(teda máme γ > 1), bude
ttt .
Vidíme, e v neiarkovanej sústave bude ma pozorovate na svojich hodinách väší
asový údaj ne pozorovate pevne spojený s pohybujúcimi sa hodinami.
S t r a n a | 31
as meraný v súradnicovej sústave, v ktorej je teleso v pokoji sa nazýva vlastným
asom tohto telesa a obyajne sa znaí symbolom τ. Z predchádzajúceho vyjadrenia
vidíme, e
, (16)
asový interval medzi dvoma udalosami ktoré nastali na tom istom mieste v S' je
v tejto sústave najkratší (menovate zlomku je menší ne 1). Vo všetkých ostatných
sústavách je dlhší. Teda v S akoby plynul as pomalšie, z oho pramení aj názov tohto
javu dilatácia asu.
V predchádzajúcich astiach sme sa zaoberali transformáciou súradníc
udávajúcich polohu a as bodovej udalosti pri prechode z jednej inerciálnej
súradnicovej sústavy do druhej. V tejto asti si ukáeme ako sa budú transformova
zloky rýchlosti pri takomto prechode. Ak budeme pozna rýchlos nejakej astice v
jednej inerciálnej súradnicovej sústave, tak pomocou príslušných transformaných
vzahov budeme vedie uri jej rýchlos aj v iných inerciálnych súradnicových
sústavách. Pretoe rýchlos je urená limitou podielu dráhy a doby, za ktorú dráhu
astica preletí, a vzhadom na to, e v kadej inerciálnej súradnicovej sústave plynie as
inakšie, neprekvapí nás, e príslušné transformané vzahy sa budú líši od
nerelativistických.
Vychádza budeme z Lorentzovej transformácie a definície rýchlosti. Uvaujme
dve inerciálne súradnicové sústavy, ktoré oznaíme S a S'. Nech súradnicové osi y, z
oboch sústav sú rovnobené a nech S' sa voi S pohybuje konštantnou rýchlosou v v
smere spolonej osi x'≡x. alej nech v okamiku, ke v oboch sústavách zaneme
mera as (nastavíme na hodinách nulu), zaiatky súradnicových osí splývajú. Potom
obe súradnicové sústavy sú navzájom viazané špeciálnou Lorentzovou transformáciou
(4) - (7). Ozname zloky rýchlosti pohybujúcej sa astice tak, ako ich nameria
pozorovate v súradnicovej sústave S postupne ux, uy, uz. Poda definície okamitej
rýchlosti platí
Analogicky sú definované zloky rýchlosti v inerciálnej vzanej sústave S'.
Vyjadrime prvú zloku rýchlosti u'x, ako ju nameria pozorovate v sústave S'
t
32 | S t r a n a
x
Tieto vzahy sa zvyknú nazýva Einsteinove vzorce pre skladanie rýchlosti.
Podobne ako v prípade Lorentzovej transformácie môeme inverznú
transformáciu pre vyjadrenie rýchlosti astice v S za pomoci jej zloiek v S dosta z
predchádzajúcej vzájomnou zámenou iarkovaných a neiarkovaných zloiek a súasne
zámenou rýchlosti v za (-v).
x
(19a)
Všimnime si teraz limitný prípad c → ∞. V danom prípade γ = 1 a vux/c 2 = 0.
Teda v tomto limitnom prípade sa transformácia redukuje na prípad
vuu yy
yy uu
zz uu ,
vuu
S t r a n a | 33
Vidíme e v teórii relativity neplatí newtonovský zákon skladania rýchlostí, poda
ktorého ak sa teleso S' pohybuje voi telesu S rýchlosou v a teleso T sa pohybuje voi
telesu S' rýchlosou u‘, tak sa teleso R pohybuje voi S rýchlosou u = u + v. Tento
zákon platí len v limite c → ∞.
Aké sú teda špecifické rty relativistického skladanie rýchlostí? Ukáeme si ich na
niekokých príkladoch:
Príklad 3
Uvaujme najprv, e teleso sa voi súradnicovej sústave S' pohybuje rýchlosou
u'x = (2/3)c v smere osi x'. Súradnicová sústava S' nech sa voi S pohybuje rýchlosou v
= (2/3)c v smere osi x. Akou rýchlosou ux sa pohybuje teleso voi sústave S?
Riešenie:
Poda nerelativistickej mechaniky by sa malo teleso voi súradnicovej sústave S
pohybova rýchlosou ux = (2/3)c + (2/3)c = (4/3)c > c. Relativistický vzorec (17a) však
dáva rýchlos
Príklad 4
Uvaujme, e nejaký objekt sa pohybuje voi súradnicovej sústave S' rýchlosou
svetla c (napr. kvantum elektromagnetického poa = fotón). Akou rýchlosou ux sa
pohybuje objekt voi sústave S?
Riešenie:
Poda nerelativistickej mechaniky by malo by ux = c + v. Relativistický vzorec
však dáva
.
Teda ak sa nejaký objekt pohybuje voi inerciálnej súradnicovej sústave S'
rýchlosou svetla c, tak sa takou istou rýchlosou pohybuje aj voi inerciálnej sústave S.
Príklad 5
V tomto príklade uvaujme, e sa objekt pohybuje voi inerciálnej súradnicovej
sústave S' rýchlosou u'x = 2c. Súradnicová sústava S' nech sa pohybuje voi S v smere
osi x rýchlosou 0,5c.
Riešenie:
Relativistický vzorec pre rýchlos tohto objektu v súradnicovej sústave S nám dá
34 | S t r a n a
c
c
cc



Teda dostávame rýchlos ux, i ke menšiu ne nerelativistická hodnota 2,5c, ale
stále väšiu ne rýchlos svetla c.
Predchádzajúce príklady dokumentujú všeobecnú rtu relativistickej
transform&