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BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
Estatística para Cursos de Engenharia e Estatística para Cursos de Engenharia e InformáticaInformática
Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia
São Paulo: Atlas, 2004
Cap. 6 Cap. 6 –– Variáveis aleatórias Variáveis aleatórias contínuascontínuas
APOIO:Fundação de Apoio à Pesquisa Científica e Tecnológica do Estado de Santa Catarina (FAPESC)Departamento de Informática e Estatística – UFSC (INE/CTC/UFSC)
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
Variável aleatóriaVariável aleatória
os possíveis resultados estão contidos em um conjunto
finito ou enumerável
os possíveis resultados abrangem todo um intervalo
de números reais
variável aleatória
discreta contínua
0 1 2 3 4 ...
número de defeitos em ...
Ex.
0
Ex.
tempo de resposta de ...
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Variáveis aleatórias contínuasVariáveis aleatórias contínuas
– tempo de resposta de um sistema computacional;
– rendimento de um processo químico;
– tempo de vida de um componente eletrônico;
– resistência de um material; etc.
• Variáveis aleatórias discretas com grande número de possíveis resultados (podem ser aproximadas para contínuas):– número de transações por segundo de uma CPU;
– número de defeitos numa amostra de 5.000 itens; etc.
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Variável aleatória: discreta x contínuaVariável aleatória: discreta x contínuaDiscretaDiscreta
1
2x
p(x)
1 2
½
x
f(x)
1 2
½área total = 1
81
x
f(x)
1 2 3 4 5 6 7 8
1
23
4
5
6 7
8
8 setores
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00
00
2700
1800
900
IIIIII
II Ix
3601
x3600
f(x)área total = 1
Variável aleatória: discreta x contínuaVariável aleatória: discreta x contínuaContínuaContínua
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Variável aleatória contínuaVariável aleatória contínua
evento {0 ≤ X < 90}
x360900
f(x)
3601
00
00
2700
1800
900
IIIIII
II Ix
x3600
f(x)área total = 1
3601
área = P( 0 ≤ X < 90)
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Variável aleatória contínuaVariável aleatória contínua• As probabilidades de eventos associados a uma variável aleatória
contínua X podem ser calculadas através de uma função densidade de probabilidade f, que deve satisfazer:
exxf ℜ∈∀≥ ,0)(
x
f(x)
a b
1)()( =∫+∞
∞−xdxf
Se A = [a, b], então
∫=b
axdxfAP )()()(
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Variável aleatória contínuaVariável aleatória contínua
• Exemplo 6.3
⎩⎨⎧
<≥
=−
0 para,00 para,2)(
2
ttetf
t
t
f(t)2
3
6)3(2
3
2
3
2
30
2122)()3( −−
+∞−∞+ −∞+
=+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−===> ∫∫ eeedtedttfTP tt
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Variável aleatória contínuaVariável aleatória contínua
• Função de distribuição acumulada
ℜ∈∀=≤= ∫ ∞−xdssfxXPxF
x,)()()(
⎩⎨⎧
<≥−
=−
0 para,00 para,1)(
2
ttetF
t F(t)1
t
• Exemplo 6.3
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Variável aleatória contínuaVariável aleatória contínua
• Valor esperado e variância
∫+∞
∞−== dxxxfXE )()(µ
∫+∞
∞−−== dxxfxXV )()()( 22 µσ 22 )()( µ−= XEXV
∫+∞
∞−= dxxfxXE )()( 22onde:
ou
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Principais Modelos ContínuosPrincipais Modelos ContínuosDistribuição uniformeDistribuição uniforme
⎪⎩
⎪⎨⎧
∉
∈−=
],[ para ,0
],[ para,1)(
βα
βααβ
x
xxf
00
00
2700
1800
900
IIIIII
II Ix
3601
x3600
f(x)área total = 1
• Exemplo:
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Principais Modelos ContínuosPrincipais Modelos ContínuosDistribuição uniformeDistribuição uniforme
⎪⎩
⎪⎨⎧
∉
∈−=
],[ para ,0
],[ para,1)(
βα
βααβ
x
xxf
ββα
α
αβα
≥<≤
<
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−
=x
xx
xxF para
para para
,1
,
,0
)(
xα0
f(x)
β
αβ −1
xα0
F(x)
β
2)(
βα +=XE ( )
12)(
2αβ −=XV
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Principais Modelos ContínuosPrincipais Modelos ContínuosDistribuição exponencialDistribuição exponencial
• Exemplos:– tempo (em minutos) até a próxima consulta a uma base de dados;
– tempo (em segundos) entre pedidos a um servidor;
– distância (em m) entre defeitos de uma fita.
0 tx x x
Número X de ocorrências do evento em [0, t)
Poisson
Tempo T até a ocorrência do evento
Exponencial
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Principais Modelos ContínuosPrincipais Modelos ContínuosDistribuição exponencialDistribuição exponencial
0,)( >= − tetf tλλ
tetTPtF λ−−=≤= 1)()(
t
λ tetf λλ −=)(
0)( 0tetTP λ−=>
t0
λ1)( =TE
21)(λ
=TV
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Principais Modelos ContínuosPrincipais Modelos ContínuosDistribuição exponencialDistribuição exponencial
Resp.
⎩⎨⎧
<≥
=−
0 para,00 para,2)(
2
ttetf
t
?)32( =≤≤ TP
t
f(t)
32
∫ −=≤≤3
2
22)32( dteTP t ou
0158,0)3()2()32( 64)3(2)2(2 =−=−=>−≥=≤≤ −−−− eeeeTPTPTP
• Exemplo 6.3
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Principais Modelos ContínuosPrincipais Modelos ContínuosDistribuição normalDistribuição normal
µ + σµµ -σ x
σσ
f(x)
área total = 1
+∞<<∞−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−xexf
x
,2
1)(
2
21
σµ
πσ
µ=)(XE
2)( σ=XV
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Principais Modelos ContínuosPrincipais Modelos ContínuosDistribuição normalDistribuição normal
e21 µµ ≠ 21 σσ =e43 µµ = 43 σσ <
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Principais Modelos ContínuosPrincipais Modelos ContínuosDistribuição normal padrãoDistribuição normal padrão
P(X > 180) = P(Z > 1)
110
170180=
−=
−=
σµxz
Distribuição de Z:normal padrão
Distribuição de X:normal com µ = 170 e σ = 10
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Principais Modelos ContínuosPrincipais Modelos ContínuosTabela da distribuição normal padrãoTabela da distribuição normal padrão
(pela tabela)
0,00,10,2...
0,09...0,020,010,00z
segunda decimal de z
(área na cauda superior )0,4168
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Principais Modelos ContínuosPrincipais Modelos ContínuosTabela da distribuição normal padrãoTabela da distribuição normal padrão
P(-0,42 < Z < 0,42) = ?
Então, P(-0,42 < Z < 0,42) = 1 – 2 (0,3372) = 0,3256
= -
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A normal como limite de outras distribuiçõesA normal como limite de outras distribuiçõesAproximação normal à binomialAproximação normal à binomial
• Condição:– n grande e
– p não muito próximo de 0 (zero) ou de 1 (um).
• Parâmetros:
np= µ
)1( pnp = −σ
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Aproximação normal à binomialAproximação normal à binomial
x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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Aproximação normal à binomialAproximação normal à binomial
0,001 0,01
0,246
0,01 0,001
0,117
0,0440,044
0,205
0,117
0,205
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P(X > 6) = p(7) + p(8) + p(9) + p(10) = 0,172
Ex. Qual é a probabilidade de mais de 6 caras em10 lançamentos de uma moeda “honesta”?
Pela binomial:
( ) ( ) xx ..x
xp −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= 105,05,0
10)(
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Aproximação normal à binomialAproximação normal à binomial
Ex. Qual é a probabilidade de mais de 6 caras em10 lançamentos de uma moeda “honesta”?
Pela normal:
x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P(X > 6,5)
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Aproximação normal à binomialAproximação normal à binomialEx. Qual é a probabilidade de mais de 6 caras em10 lançamentos de uma moeda “honesta”?
Pela normal:
z0 0,95
0,1711
x5 6,5
P(X > 6,5)
95,05,255,6=
−=
−=
σµxz
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A normal como limite de outras distribuiçõesA normal como limite de outras distribuiçõesAproximação normal à PoissonAproximação normal à Poisson
• Aproximação válida quando λ for grande
0 1 2 3 4 50,0
0,1
0,2
0,3
0,4 p(x)
x0 2 4 6 8 10 12
0,00
0,05
0,10
0,15p(x)
x 10 20 300,00
0,04
0,08 p(x)
x
λ =20λ =5λ =1
Parâmetros da normal: λµ =
λσ =
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Gráfico de probabilidade normalGráfico de probabilidade normal• Ex. Dados:74,0; 74,4; 74,7; 74,8; 75,9
valor observado
valo
r esp
erad
opel
a no
rmal
-1,4
-1,0
-0,6
-0,2
0,2
0,6
1,0
1,4
73,6 74,0 74,4 74,8 75,2 75,6 76,0
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Gráfico de probabilidade normalGráfico de probabilidade normal
• Dados com distribuição normal
valores observados
valo
res
espe
rado
s pe
la n
orm
al
-2,5
-1,5
-0,5
0,5
1,5
2,5
72,5 73,5 74,5 75,5 76,5 77,5 78,5
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Gráfico de probabilidade normalGráfico de probabilidade normal
• Dados com distribuição normal, mas com um ponto discrepante
valores observados
valo
res
espe
rado
s pe
la n
orm
al
-2,5
-1,5
-0,5
0,5
1,5
2,5
72 74 76 78 80 82 84
valor discrepante
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Gráfico de probabilidade normalGráfico de probabilidade normal• Dados com distribuição assimétrica
valores observados
valo
res
espe
rado
s pe
la n
orm
al
x
f(x)