peiramatikŁc mŁjodoi kai metrhtik€ teqnolog—a di‹lexh v · 1 analogik‹ kai yhfiak‹...

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

Πειραματικές Μέθοδοι και Μετρητική Τεχνολογία

Διάλεξη V

Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας∗

2 Δεκεμβρίου 2019

1 Αναλογικά και ψηφιακά σήματα

Σήμα καλείται οποιαδήποτε φυσική ποσότητα που μεταβάλλεται με οποιαδή-

ποτε ανεξάρτητη μεταβλητή.

Ηλεκτρικό σήμα ονομάζουμε ένα μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό μέγεθος

που εξελίσσεται στο χρόνο.

Αναλογικό σήμα ονομάζουμε ένα σήμα το οποίο μεταβάλλεται συνεχώς

στο χρόνο.

Διακριτό σήμα ονομάζουμε ένα σημα που έχει διακρτιές τιμές σε συνεχή

χρόνο.

Ψηφιακό σήμα ονομάζουμε ένα σήμα το οποίο παρέχει διακριτή πληρο-

φορία πλάτους και χρόνου.

Τα όργανα μετρήσεων και τα αποτελέσματα μετρήσεων μπορούν να έχουν

είτε αναλογική ή ψηφιακή μορφή. Παλαιότερα, η πλειοψηφία των συστημάτων

ήταν αναλογικά και η επεξεργασία τους γινόταν από κατάλληλα ηλεκτρονικά

κυκλώματα. Σήμερα είναι συνηθισμένη η μετατροπή του σήματος σε ψηφιακό.

΄Ενα αναλογικό σήμα μπορεί να μετατραπεί σε ψηφιακό μέσω ενός μετα-

τροπέα αναλογικου σε ψηφιακό. Επίσης ένα ψηφιακό μπορεί να μετατραπεί σε

∗email:[email protected], website: http://jomaaita.wordpress.com

1

Πειραματικές Μέθοδοι και Μετρητική Τεχνολογία Διάλεξη V

αναλογικό μέσω ενός μετατροπέα ψηφιακού σε αναλογικό.

Στατικά ονομάζουμε τα σήματα των οποίων τα μεγέθη δεν μεταβάλλονται

στο χρόνο. Δυναμικά είναι τα σήματα τα οποία μεταβάλλονται με το χρόνο.

Νομοτελειακά σήματα ονομάζουμε τα σήματα που περιγράφονται από

μαθηματικές συναρτήσεις και τα οποία μπορούμε να προσδιορίσουμε τη μορφή

τους στο χρόνο. Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζονται μη νομοτελειακά

σήματα.

Περιοδικό ονομάζεται ένα σήμα το οποίο μεταβάλλεται περιοδικά στο

χρόνο. Η περίοδος (T ) ενός σήματος μετριέται σε δευτερόλεπτα και αποτελεί

κύριο χαρακτηριστικό των αναλογικών σημάτων στην επεξεργασία σήματος. Η

περίοδος μετριέται σε Hz και συνδέεται με την συχνότητα μέσω της σχέσης:

f =1

T. (1)

Η κυκλική συχνότητα (ω) μετριέται σε rad/s και δίνεται από την σχέση:

ω = 2πf = 2π1

T. (2)

1.1 Χαρακτηριστικά σημάτων

Χαρακτηριστικά ενός σήματος είναι:

• Η περίοδος.

• Η συχνότητα.

• Το πλάτος του σήματος.

• Η μέση τιμή του σήματος. Δίνεται για συνεχές σύστημα από την σχέση

y =1

T

∫ T

0

y(t)dt, (3)

και για διακριτό από τη σχέση

y =1

N

N∑i=1

yi. (4)

2


Η μέση τιμή ενός σήματος ονομάζεται και τάση μετατόπισης ενός σή-

ματος. ΄Οσο πιο ψηλά είναι η τάση μετατόπισης ενός σήματος τόσο δυ-

σκολότερη είναι η μέτρηση των άλλων χαρακτηριστικών του.

• Η ενεργός τιμή ενός περιοδικού σήματος. Δίνεται από τη σχέση

yrms =

√1

T

∫ T

0

y2(t)dt. (5)

Για ένα διακριτό σήμα η ενεργός διατομή δίνεται από την σχέση

y2rms =1

N

N∑i=1

y2i . (6)

• Η φάση ενός σήματος δηλαδή ο χρόνος εμφάνισης του σήματος.

1.2 Ηλεκτρικός Παλμός

Παλμοσειρά ονομάζουμε μια περιοδική κυματομορφή από διαδοχικούς παλ-

μούς με σταθερό πλάος και διάρκεια. Κάθε παλμός φέρει θετικό και αρνητικό

μέτωπο.

Κύκλο λειτουργίας ενός παλμού ονομάζουμε τον λόγο του χρόνου που

ο παλμός βρίσκεται στην κατάσταση 1 ως προς το χρόνο της περιόδου T , δηλαδήthT.

Χρόνος ανόδου ονομάζεται ο χρόνος που απαιτείται ώστε ο παλμός να

μεταβεί από το 10% στο 90% του πλάτους του.

Χρόνος καθυστέρησης ονομάζεται ο χρόνος που απαιτείται ώστε ο

παλμός να αποκτήσει το 10% του συνολικού του πλάτους.

Χρόνος πτώσης ονομάζεται ο χρόνος που απαιτείται ώστε ο παλμός να

μεταβεί από το 90% στο 10% του πλάτους του.

Διάρκεια του παλμού ονομάζεται ο χρόνος που κατά τον οποίο ο παλμός

έχει μεγαλύτερο πλάτος από το 50% του ολικού.

Πλάτος υπέρβασης ορίζεται το ποσοστιαίο πλάτος της υπερύψωσης του

παλμού κατά την άνοδο του. Αντίστοιχα πλάτος βύθισης ονομάζουμε το

ποσοστιαίο πλάτος της βύθισης του παλμού κατά την πτώση του.

3


Πτώση πλάτους παλμού ονομάζεται η ελάττωση του πλάτους του παλμού

λόγω φορτίου.

Διακύμανση ονομάζουμε η από κορυφή σε κορυφη τάση πλάτους της

ταλάντωσης κατά την εμφάνιση του φαινομένου υπέρβασης.

Χρόνος αστάθειας ονομάζεται η μεταβολή του χρόνου της περιόδου

μεταξύ δύο διαδοχικών επαναλήψεων της.

2 Δυαδικοί αριθμοί

Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία: το 0 και το 1.Τα ψηφία

ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του

2.

Κάθε δυαδικό ψηφίο που περιλαμβάνει ένας δυαδικός αριθμός το ονομάζουμε

bit.

Οι Δυαδικοί αριθμοί είναι

Δεκαδικός Δυαδικός

0 0

1 1

2 10

3 11

4 100

5 101

6 110

7 111

8 1000

9 1001

2.1 Μετατροπή από δεκαδικό σε δυαδικό

Για τη μετατροπή ενός αριθμού από το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης στο δυα-

δικό εφαρμόζουμε τον παρακάτω αλγόριθμο:

• Πραγματοποιούμε διαίρεση του αρχικού αριθμού με το 2.

4


• Σημειώνουμε το υπόλοιπο και διαιρούμε το πηλίκο πάλι με το 2.

• Επαναλαμβάνουμε το βήμα (β) για όσο το πηλίκο είναι μεγαλύτερο του 0.

• Ο δυαδικός αριθμός που αναζητείται αποτελείται από τα υπόλοιπα τωνδιαιρέσεων ξεκινώντας από το τελευταίο και καταλήγοντας στο πρώτο.

Παράδειγμα: Να γράψουμε τον αριθμό 29 σε δυαδική μορφή.

Τιμή/2 Ακέραιο μέρος Υπόλοιπο

29/2=14+1/2 14 1

14/2=7+0/2 7 0

7/2=3+1/2 3 1

3/2=1+1/2 1 1

1/2=0+1/2 0 1

Ο δυαδικός αριθμός βρίσκεται διαβάζοντας τα υπόλοιπα ανάποδα από τα

κάτω προς τα πάνω στον παραπάνω πίνακα. ΄Αρα ο αριθμός 29 σε δυαδική

μορφή είναι 11101.

2.2 Μετατροπή από δυαδικό σε δεκαδικό

Για να βρούμε τον δεκαδικό αριθμό ενός πολλαπλασιάζουμε το δυαδικό ψηφίο

με την αντίστοιχη δύναμη(θέση ψηφίου) του 2 και τα προσθέτουμε.

Παράδειγμα: Να βρούμε τον δεκαδικό αριθμό του 11101.

1 · 20 + 0 · 21 + 1 · 22 + 1 · 23 + 1 · 24 = 1 + 0 + 4 + 8 + 16 = 29

΄Αρα ο δυαδικός αριθμός 11101 είναι ο 29.

2.3 Μετρατοπή κλασμάτων από δεκαδικό σε δυαδι-

κό

Για τη μετατροπή ενός κλασματικού αριθμού από το δεκαδικό σύστημα αρίθ-

μησης στο δυαδικό εφαρμόζουμε διαφορετικούς αλγορίθμους ξεχωριστά για το

ακέραιο και ξεχωριστά για το κλασματικό μέρος.

5


Για το ακέραιο μέρος ενός κλασματικού αριθμού ακολουθείται η ίδια διαδι-

κασία που εφαρμόστηκε προηγουμένως.

Για το κλασματικό μέρος εφαρμόζουμε τον παρακάτω αλγόριθμο:

• Πραγματοποιούμε πολλαπλασιασμό του κλασματικού μέρους με το 2.

• Αν το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι μεγαλύτερο του 1 τότε τοbit του αριθμού θα είναι 1 ενώ αν είναι μικρότερο του 1 τότε θα είναι 0.

• Πραγματοποιούμε πολλαπλασιασμό μόνο του κλασματικού μέρους τουπροηγούμενου αποτελέσματος με το 2.

• Αν το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι μεγαλύτερο του 1 τότε τοbit του αριθμού θα είναι 1 ενώ αν είναι μικρότερο του 1 τότε θα είναι 0.

• Συνεχίζουμε πολλαπλασιάζοντας μέχρι να βρούμε κλασματικό μέρος 0 ήμέχρι να επιτύχουμε την επιθυμητή ακρίβεια.

Παράδειγμα: Να βρούμε τον δυαδικό αριθμό του 29.45.

Το ακέραιο μέρος το έχουμε ήδη υπολογίσει στο προηγούμενο παράδειγμα

και βρίκαμε ότι ισούται με 11101.

Για το δεκαδικό μέρος ακολουθούμε τα βήματα του παραπάνω αλγόριθμου

(θεωρούμε ότι μπορούμε να αποθηκεύσουμε 8 bits):

Πολλαπλασιασμός επί 2 Αποτέλεσμα Δυαδικός

2 · 0.45 0.9 < 1 0

2 · 0.9 1.8 > 1 1

2 · 0.8 1.6 > 1 1

2 · 0.6 1.2 > 1 1

2 · 0.2 0.4 < 0 0

2 · 0.4 0.8 < 0 0

2 · 0.8 1.6 > 1 1

2 · 0.6 1.2 > 1 1

και έτσι ο αριθμός είναι 0.45 = 01110011 = 0.44921875. Προφανώς, όσα

περισσότερα ψηφία πάρουμε τόσο καλύτερα θα προσεγγίζουμε τον επιθυμητό

αριθμό.

6


2.4 Πρόσθεση δυαδικών αριθμών

Αρχικά ισχύουν τα ακόλουθα:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 (carry1)

1 + 1 + 1 = 1 (carry1).

Αν θέλουμε να προσθέσουμε δύο αριθμούς, για παράδειγμα 121+107 έχου-

με:

(121) 01111001

(107) 01101011 +

−−−−−−−−

(228) 11100100

΄Οπου η πρόσθεση αρχίζει όπως και στο δεκαδικό από τα δεξιά.

2.5 Αφαίρεση δυαδικών αριθμών

Αρχικά ισχύουν τα ακόλουθα:

0 − 0 = 0

1 − 0 = 1

1 − 1 = 0

0 − 1 = 1 (borrow1)

7


Αν θέλουμε να αφαιρέσουμε δύο αριθμούς, για παράδειγμα 121−107 έχουμε:

(121) 01111001

(107) 01101011 −

−−−−−−−−

(014) 00001110

΄Οπου η αφαίρεση αρχίζει όπως και στο δεκαδικό από τα δεξιά.

Συμπλήρωμα ενός δυαδικού αριθμού ως προς ένα αποτελεί ο

αριθμός ο οποίος προκύπτει αν αντιστρέψουμε κάθε bit του αρχικού αριθμού.Για

παράδειγμα το συμπλήρωμα ως προς ένα του αριθμού 10011001 είναι ο αριθμός

01100110.

Το συμπλήρωμα ως προς δύο ενός αριθμού αποτελεί ο αριθμός ο

οποίος προκύπτει αν στο συμπλήρωμα ως προς ένα του αριθμού αυτού προσθέ-

σουμε το ένα.

Για παράδειγμα το συμπλήρωμα ως προς δύο του αριθμού 10011001 είναι ο

αριθμός 01100111. Προκύπτει ως εξής: Αρχικός αριθμός: 10011001. Συμπλή-

ρωμα ως προς ένα: 01100110+1. Συμπλήρωμα ως προς δύο: 01100111

Η αφαίρεση δύο αριθμών στο δυαδικό σύστημα γίνεται κάνοντας πρόσθεση

του αφαιρετέου με το συμπλήρωμα ως προς δύο του αφαιρέτη.

Αν υπάρξει υπερχείλιση τότε απορρίπτουμε την υπερχείλιση, το αποτέλεσμα

της πράξης είναι θετικό και βρίσκεται σε κανονική μορφή.

Αν δεν υπάρξει υπερχείλιση τότε το αποτέλεσμα της πράξης είναι αρνητικό

και βρίσκεται σε μορφή συμπληρώματος ως προς δύο.

παράδειγμα:Υπολογίστε το 12-7 και το 7-12.

Η δυαδικοί αριθμοί του 12 είναι 1100 και του 7 είναι 0111. Το συμπλήρωμα

8


ως προς δύο του 7 είναι 1001 ενώ του 12 είναι 0100. Για το 12-7 έχουμε

(12) 1100

(7) 0111 −

−−−−−−−−−−−

(12) 1100

(comp7) 1001 +

−−−−−−−−−−−

(5) 11011 (7)

όπως βλέπουμε υπάρχει υπερχείλιση άρα το αποτέλεσμα είναι θετικός αριθμός.

Για το 7-12 έχουμε

(7) 0111

(12) 1100 −

−−−−−−−−−−−

(7) 0111

(comp12) 0100 +

−−−−−−−−−−−

(−5) 1011, (8)

όπως βλέπουμε δεν υπάρχει υπερχείλιση άρα το αποτέλεσμα είναι αρνητικός

αριθμός.

3 Μετασχηματισμός Fourier

Με την ανάλυση Fourier αναλύουμε ένα σήμα σε άθροισμα άπειρων περιοδικών

ημιτονοειδών και συνημιτονοειδών συναρτήσεων και δημιουργούμε το φάσμα

του αρχικού σήματος στο πεδίο συχνοτήτων.

΄Ενα αναλογικό περιοδικό σήμα περιγράφεται με τις σειρές Fourier με βάση

9


τις σχέσεις:

x(t) = A0 +∞∑n=1

An(cosnωt+Bn sinnωt), (9)

όπου:

A0 =1

T

∫ T2

−T2

x(t)dt,

An =2

T

∫ T2

−T2

x(t) cosnωdt,

Bn =2

T

∫ T2

−T2

x(t) sinnωdt.

Η αρχική συχνότητα ή η θεμελιώδης συχνότητα γίνεται για την

τιμή n = 1. Κάθε συχνότητα που προκύπτει από τον μετασχηματισμό Fourier

ονομάζεται αρμονική συχνότητα. Οι συντελεστές An, Bn αποτελούν τα

πλάτη των συναρτήσεων στο πεδίο των συχνοτήτων.

Μπορούμε να απλοποιήσουμε την σειρά Fourier με τη βοήθεια του τύπου

του Euler

f(t) =∞∑

n=−∞

Cne2πjntT , (10)

όπου

Cn =1

T

∫ T

0

f(t)e−2πjntT .

Αρτια ονομάζεται μια συνάρτιση όταν ισχύει:

f(−x) = f(x). (11)

Το cos(x) είναι άρτια συνάρτηση.

Περιττή ονομάζεται μια συνάρτιση όταν ισχύει:

f(−x) = −f(x). (12)

Το sin(x) είναι άρτια συνάρτηση.

Ο διαχωρισμός σε άρτια και περιττή συνάρτηση μας επιτρέπει να αναπτύξου-

10


με μια σειρά Fourier μόνο με ημιτονοειδείς ή μόνο με συνημιτονοειδής όρους.

Με βάση τα παραπάνω μπορούμε να γράψουμε τις σειρές με τη βοήθεια των

σχέσεων

y(t) =∞∑n=1

Bn sin2πnt

T=∞∑n=1

Bn sinnωt,

y(t) =∞∑n=1

An cos2πnt

T=∞∑n=1

An cosnωt.

3.1 Fast Fourier Transform

Ο Ταχύς Μετασχηματισμός Fourier (Fast Fourier Transform) χρησιμοποιείται

για την παραγωγή φάσματος συχνοτήτων ενός διακριτού συστήματος.

Βασικές παράμετροι που καθορίζουν το εύρος του φάσματος είναι

• Η συχνότητα δειγματοληψίας fs,

• Το σύνολο των αποκτημένων δειγμάτων N .

Το χρονικό διάστημα σε δευτερόλεπτα μεταξύ των δειγμάτων ενός σήματος

που υφίσταται δειγματοληψία δίνεται από τη σχέση:

DT =1

fs,

με συνέπεια το συνολικό χρονικό διάστημα του αποκτημένου διακριτού σήματος

να δίνεται από τη σχέση

T = N ·DT.

Η συχνότητα της πρώτης αρμονικής του σήματος που απεικονίζεται στο

φασματικό διάγραμμα δίνεται από τη σχέση

f1 =1

T

11


4 Ασκήσεις

1. Να υπολογιστεί η μέση τιμή της συνάρτησης

y(t) = 10 cos(4πt),

για την χρονική περίοδο (0 − 1sec).

2. Να υπολογιστεί η μέση και η ενεργός τιμή για την κυματομορφή του

σχήματος (1).

Σχήμα 1:


σχήματος (2) αν η απόσταση μεταξύ κορυφής και κορυφής είναι 10v.


σχήματος (3) αν η απόσταση μεταξύ πρώτης και τρίτης κορυφής είναι

10v.

5. Είναι άρτια ή περιττή η συνάρτηση

f(t) =

{−5, 0 < t < 4

5, 4 < t < 0,

6. Να ανακατασκευάσετε έναν τετραγωνικό παλμό ώς άθροισμα τριών αρ-

μονικών συχνοτήτων της σειράς Fourier με πλάτος 10V και συχνότητα

12


Σχήμα 2:

Σχήμα 3:

ω = 2π.

7. Αναπτύξτε την f(x) = sin(x), 0 < x < π σε μιά σειρά συνημιτόνων.

8. Αναπτύξτε την f(x) = x, 0 < x < π σε μιά σειρά συνημιτόνων και μια

σειρά ημιτόνων.

9. Παραστήστε γραφικά και αναπτύξτε την σειρά Fourier τις παρακάτω συ-

ναρτήσεις:

•

f(t) =

{8, 0 < t < 2

−80, 2 < t < 4,

13


με περίοδο 4.

•

f(t) =

{−t, −4 ≤ t ≤ 0

t, −0 ≤ t ≤ 4,

με περίοδο 8.

• f(t) = 4t, 0 < t < 10, με περίοδο 10.

10. Για ένα σύνολο 1000 δειγμάτων με συχνότητα δειγματοληψίας 8KHz

να υπολογιστεί το συνολικό χρονικό διάστημα απόκτηση του διακριτού

σήματος και η πρώτη αρμονική συχνότητα.

14

peiramatikŁc mŁjodoi kai metrhtik€ teqnolog—a di‹lexh v · 1 analogik‹ kai yhfiak‹...

Documents