peluang 4-peluang suatu kejadian
DESCRIPTION
Peluang Suatu KejadianPengantar Teori Peluang STISTRANSCRIPT
Pertemuan 4
PELUANG SUATU KEJADIAN
PELUANG SUATU KEJADIAN
Peluang suatu kejadian A adalah jumlah bobot semua titik sampel yang termasuk A. Jadi:0 ≤ P(A) ≤ 1P(Ø) = 0P(S) = 1
Contoh :Sebuah mata uang dilantunkan dua kali. Berapa peluangnya bahwa paling sedikit muncul muka sekali?
PELUANG SUATU KEJADIAN
Teorema :
Bila suatu percobaan menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama, dan bila tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A, maka peluang kejadian A adalah:
P(A) = n/N
Contoh :
Sekantung permen berisi 6 rasa jeruk, 4 rasa kopi dan 3 rasa coklat. Bila seseorang mengambil satu permen secara acak, carilah peluangnya mendapatkan :
a. Satu rasa jeruk
b. Satu rasa kopi atau coklat
ATURAN PENJUMLAHAN
Teorema :
Bila A dan B dua kejadian sembarang, maka:
P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)
SA B
ABAB’ A’B
ATURAN PENJUMLAHAN
Akibat 1: Bila A dan B kejadian yang terpisah, maka P(AB) = P(A) + P(B)
Akibat 2: Bila A₁,A₂,A₃, …,An saling terpisah maka
P(A₁A₂….An) = P(A₁) + P(A₂) +…+P(An)
Akibat 3: Bila A₁, A₂, ….,An merupakan suatu sekatan ruang sampel S, makaP(A₁A₂…An) = P(A₁) + P(A₂)+ … +P(An)
= P(S) = 1
ATURAN PENJUMLAHAN
Teorema :
Untuk tiga kejadian A, B dan C
P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC)
- P(BC) + P(ABC)
Teorema :
Bila A dan A’ kejadian yang komplementer, maka
P(A) + P (A’) = 1
PELUANG BERSYARAT
Misalnya 2 kejadian / event A dan B, dapat didefinisikan bahwa Conditional Probability / peluang bersyarat dari kejadian A given bahwa kejadian B telah muncul, dinotasikan P(A|B), didefinisikan oleh:
dan tidak didefinisikan jika P(B) = 0.
,0)()(
)()|(
BPjika
BP
BAPBAP
PELUANG BERSYARAT
Tujuan penting dari modeling probability adalah untuk menentukan bagaimana kejadian A akan muncul dalam suatu eksperimen.
Besarnya peluang A dipengaruhi oleh kemunculan atau ketidakmunculan kejadian lain (B). Selanjutnya P(A/B) disebut ”Conditional Probability of A given B”.
PELUANG BERSYARAT
Formula yang dapat diturunkan:
Jika P(A) dan P(B) adalah tidak nol.
Formula ini menghubungkan P(A|B) dengan P(B|A) untuk peluang tidak bersyarat P(A) dan P(B).
)()|()()|()( APABPBPBAPBAP
PELUANG BERSYARAT
Definisi tsb. dapat digunakan untuk pendekatan frekuensi peluang.
Misalnya sebuah bilangan besar N, dan kemunculan kejadian acak untuk event A dan B, maka P[A|B] merupakan proporsi munculnya B sehingga A juga muncul:
Catatan:
NB adalah muncunya event B dalam N random eksperimen dan NAB adalah event AB
B
AB
N
NBAP )|(
PELUANG BERSYARAT
P(AB) = NAB /N, dan P(B) = NB /N; sehingga:
Contoh:
Sebuah eksperimen melempar 2 buah koin.
S = {(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)}, dan diasumsikan bahwa tiap titik sama. Tentukan:
(i) Peluang 2 H given sebuah H muncul pada koin pertama
(ii) Peluang 2 H given paling sedikit satu H
)|(/
/
)(
)(BAP
N
N
NN
NN
BP
BAP
B
AB
B
AB
PELUANG BERSYARAT
Contoh:Sebuah box berisi 100 microchips yang diproduksi oleh pabrik 1 dan sisanya oleh pabrik 2. Beberapa rusak dan beberapa baik. Sebuah eksperimen memilih sebuah microchips dari box dan menguji apakah rusak atau baik. Misal A adalah tersedianya microchips yang rusak, maka A’ adalah tersedianya microchips yang baik. Misal B adalah kejadian ”microchips diproduksi oleh pabrik 1” dan B’ adalah microchips diproduksi oleh pabrik 2”.
PELUANG BERSYARAT
Tabel: Banyak Microchip yang rusak dan baik dari 2 pabrik
Peluang tersedianya microchip yang rusak:
20,0100
20
)(
)()(
Sn
AnAP
B B’ Total
A 15 5 20
A’ 45 35 80
Total 60 40 100
PELUANG BERSYARAT
Jika tiap pabrik telah diberi tanda, pada saat memilih kita langsung mengetahui bahwa produk tersebut berasal dari salah satu pabrik. Jika kejadian B telah muncul maka banyaknya adalah n(B) = 60 dan peluang microchip yang rusak berasal dari pabrik 1:
25,060
15
)(
)()/(
BP
BAPBAP
PELUANG BERSYARAT
Contoh 2:
2 buah kartu diambil tanpa pengembalian dari setumpuk kartu. A1 adalah kejadian memperoleh As pada pengambilan 1 dan A2 kejadian memperoleh As pada pengambilan ke 2.
Banyak cara pengambilan seluruh kartu adalah:
52 . 51 = 2652
PELUANG BERSYARAT
Partisi banyak cara pengambilan kartu
a. Peluang mendapat As pada pengambilan pertama dan kedua:
A1 A1’ Total
A2 4.3 48.4 51.4
A2’ 4.48 48.47 51.48
Total 4.51 48.51 52.51
51.52
3.4)( 21 AAP
PELUANG BERSYARAT
b. Misal seseorang menginginkan P(A₁) tanpa peduli pengambilan kedua
c. Peluang bersyarat bahwa sebuah As akan terpilih pada pengambilan kedua, dengan syarat pengambilan pertama yang muncul adalah As:
Sehingga:
52
4
51.52
51.4)( 1 AP
51
3
)51.52/()51.4(
)51.52/()3.4(
)(
)()/(
1
2112
AP
AAPAAP
51
3.
52
4)/()()( 12121 AAPAPAAP
PELUANG BERSYARAT
Prosedur ini dapat dilanjutkan untuk pengambilan 3 kartu atau lebih (tanpa pengembalian)
)/()/()()( 213121321 AAAPAAPAPAAAP
TOTAL PROBABILITY
Jika B₁, B₂, …, Bk adalah mutually exclusive dan exhaustive (B₁B₂…Bk = S)maka )(...)()( 21 kBABABAA
A
B1 B2
B3
INDEPENDENT EVENT
Kejadian A muncul tidak akan mempengaruhi peluang bahwa kejadian B akan muncul, sehingga P(B/A) = P(B)
Definisi:
2 kejadian A dan B independen jika
Perbedaan dengan mutually Exclusive:
)().()( BPAPBAP
0)/( ABP
0)( ABP
ATURAN BAYES
Teorema :
Misalkan kejadian B₁, B₂, …, Bk merupakan suatu sekatan (partisi) dari ruang sampel S dengan P(Bi) ≠ 0 untuk i=1,2, …,k, maka untuk setiap kejadian A anggota S
k
i
k
i
BiAPBiPABiPAP11
)|()()()(
ATURAN BAYES
Teorema : (Aturan Bayes)
Misalkan kejadian B₁, B₂, …, Bk merupakan suatu sekatan ruang sampel S dengan P(Bi)≠0 untuk i=1,2,…,k. Misalkan A suatu kejadian sembarang dalam S dengan P(A) ≠0
Maka
Untuk r = 1,2,...,k
k
i
k
i
BiAPBiP
BrAPBrP
ABiP
ABrPABrP
11
)|()(
)|()(
)(
)()|(