Teori Peluang

Sub-pokok Bahasan:

Kaidah Pencacahan (Counting Rule)

MATERI MATEMATIKA SMA KELAS XI MIA

SAPTANA SURAHMATPenyusun : 1

Target Kompetensi

Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuanfaktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasar-kan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, tekno-logi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kema-nusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkaitpenyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkanpengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifiksesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkanmasalah.

Kompetensi Inti Pengetahuan (KI-3) :*) Dikutif dari Lampiran Peraturan Mentri Nomor 58 Tahun 2014 tentang Kurikulum 2013 SMA.

Target Kompetensi

Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret danranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yangdipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secaraefektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metodasesuai kaidah keilmuan.

Kompetensi Inti Keterampilan (KI-4) :*) Dikutif dari Lampiran Peraturan Mentri Nomor 58 Tahun 2014 tentang Kurikulum 2013 SMA.

Target Kompetensi

3.13 Mendeskripsikan dan menerapkan berbagai aturan pencacah-an melalui beberapa contoh nyata serta menyajikan alur peru-musan aturan pencacahan (perkalian, permutasi dan kombi-nasi) melalui diagram atau cara lainnya.

3.14 Menerapkan berbagai konsep dan prinsip permutasi dan kom-binasi dalam pemecahan masalah nyata.

3.15 Mendeskripsikan konsep ruang sampel dan menentukan pelu-ang suatu kejadian dalam suatu percobaan.

3.16 Mendeskripsikan dan menerapkan aturan/ rumus peluang da-lam memprediksi terjadinya suatu kejadian dunia nyata sertamenjelaskan alasan-alasannya.

3.17 Mendeskripsikan konsep peluang dan harapan suatu kejadiandan menggunakannya dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar Pengetahuan :*) Dikutif dari Lampiran Peraturan Mentri Nomor 58 Tahun 2014 tentang Kurikulum 2013 SMA.

Target Kompetensi

4.10 Memilih dan menggunakan aturan pencacahan yang sesuaidalam pemecahan masalah nyata serta memberikan alasanya.

4.11 Mengidentifikasi masalah nyata dan menerapkan aturan per-kalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalahtersebut.

4.12 Mengidentifikasi, menyajikan model matematika dan menentu-tukan peluangdan harapan suatu kejadian dari masalah kontek-tual.

Kompetensi Dasar Keterampilan :*) Dikutif dari Lampiran Peraturan Mentri Nomor 58 Tahun 2014 tentang Kurikulum 2013 SMA.

Indikator

a. Menyusun aturan perkalian, permutasi dan kombinasi.b. Menggunakan aturan perkalian, permutasi dan kombi-

nasi.c. Menentukan koefisien suku banyak menggunakan ru-

mus binomial.

Indikator Pencapaian Kompetensi :Karakter peserta didik yang diharap-kan terbentuk : Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras, Pantang

menyerah, Disiplin, Demokratis.

Tujuan Pembelajaran

Tujuan Pembelajaran :

1) Dapat menyusun aturan perkalian, permutasi dan kombi-nasi secara induktif.

2) Dapat menyelesaikan masalah-masalah yang berhubung-an dengan kejadian dengan menggunakan aturan perka-lian, permutasi dan kombinasi.

3) Dapat menentukan koefisien suatu suku banyak secaratepat dengan menggunakan rumus binomial.

Karakter peserta didik yang diharap-kan terbentuk : Rasa ingin tahu, Mandiri, Kreatif, Kerja keras, Pantang

menyerah, Disiplin, Demokratis.

Peta Konsep

Aturan Perkalian Permutasi Kombinasi

Peluang Komplemen

Teori Peluang

P(A B) =P(A) x P(B)

P(A B) =P(A) x P(B|A)

P(A B) =P(A) + P(B)

P(A B) =P(A) + P(B) P(A B)

Berhubungan dengan Terdiri atas

Terdiri atas

Terdiri atas

Menggunakan

Peluang

Pencacahan

Kejadian Sederhana

Kejadian Majemuk

Perkalian Peluang

Peluang Gabungan

Saling Bebas

Saling Bergantung

Saling Lepas

Tidak Saling Lepas

Jenisnya Jenisnya

Rumus Rumus Rumus Rumus

Kegiatan pembelajaran 1

Kaidah pencacahan (counting rule) adalah aturan-aturan yang digunakan dalam menghitung banyaknya suatu kejadian muncul.

Beberapa kaidah yang digunakan dalam pencacahan adalah :1. Filling slot (Aturan Pengisian Tempat)2. Permutasi3. Kombinasi

Berapa banyak ?Nomor kendaraan dengan format H AAAA HH dapat dibuat.

Kaidah pencacahan

1

Filling Slot(Aturan Pengisian Tempat)

n1

n2

n3

nk

dst.

n1 x n2 x n3 x ... x nkcara

Kaidah pencacahan

Problem :n1

n2

n3

nk

dst.

n1 x n2 x n3 x ... x nkcara

Seorang anak memiki tiga buah bola pingpong denganwarna berbeda, kuning, biru dan hijau. Di depan diatersedia tiga buah gelas kaca. Kalau si anak bermaksudmengisi setiap gelas dengan sebuah bola pingpong, adaberapa susunan berbeda yang akan dapat dilihat oleh sianak tersebut ?

Kaidah pencacahan

Rekontruksi : 1

Kaidah pencacahan

Rekontruksi : 2

Kaidah pencacahan

Rekontruksi : 3

Kaidah pencacahan

Rekontruksi : 4

Kaidah pencacahan

Rekontruksi : 5

Kaidah pencacahan

Rekontruksi : 6

Kaidah pencacahan

Rekontruksi : 7

? ? ?

6susunan berbeda

Kaidah pencacahan

Diagram Rekontruksi

Kaidah pencacahan

n1

n2

n3

nk

dst.

n1 x n2 x n3 x ... x nkcara

Secara umum, fakta di atas disusun secara teoritik dalam bentukaturan pengisian tempat (filling slot) atau aturan perkaliansebagai berikut :

Jika suatu proses terdiri atas k tahap, tahap pertama dapatdilakukan dalam n1 cara, dengan masing-masing cara ini tahapkedua dapat dilakukan dalam n2 cara, dengan masing-masingcara ini tahap ketiga dapat dilakukan dalam n3 cara, danseterusnya sampai tahap ke-k yang masing-masing cara padatahap terakhir ini dapat dilakukan dalam nk cara, maka prosesitu secara keseluruhan dapat dilakukan dalam :

(n1 n2 n3 nk) cara.

Bila saya mempunyai 5 buah sweater dan 3 buah celana,

berapa cara saya dapat menggunakan sweater dan

celana tersebut ??

Contoh 1 :

Kaidah pencacahan (Filling Slot)

Banyaknya cara menggunakan sweater dan celana adalah :

5 x 3 = 15

Menentukan banyak pasangan berbeda dengan

menggunakan

diagram

Peny

eles

aian

:

Sweater

Celana

5

3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Kaidah pencacahan (Filling Slot)

Banyaknya cara menggunakan sweater dan celana adalah :

5 x 3 = 15

Menentukan banyak pasangan berbeda dengan

menggunakan

diagram

Peny

eles

aian

:

Sweater

Celana

5

3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Kaidah pencacahan (Filling Slot)

S1 S2 S3 S4 S5

C1

C2

C3

(C1S1) (C1S2) (C1S3) (C1S4) (C1S5)

(C2S1) (C2S2) (C2S3) (C2S4) (C2S5)

(C3S1) (C3S2) (C3S3) (C3S4) (C3S5)

5 cara

3 ca

ra

Menentukan banyak pasangan berbeda

dengan menggunakan

TabelSweater

Celana

5

3 Banyaknya cara menggunakan sweater dan celana adalah : 5 x 3 = 15

Kaidah pencacahan (Filling Slot)

Kegiatan pembelajaran 1

Suatu panitia lomba marathon bermaksud menyusun nomor untuk digunakan oleh seluruh peserta. Nomor peserta tersebut dirancang terdiri dari tiga digit yang setiap digitnya dapat diisi dengan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Tentukan banyaknya nomor peserta yang dapat dibuat jika angka yang digunakan dalam nomor peserta tersebut:a. Boleh berulang.b. Tidak boleh berulang.

Contoh 2 :

Kaidah pencacahanPe

nyel

esai

an :

? ? ?a. Boleh ada angka yang berulang

Dapat diisi oleh10

angka berbeda (10 cara)

Dapat diisi oleh10

angka berbeda (10 cara)

Dapat diisi oleh10

angka berbeda (10 cara)

Nomor peserta marathon yang dapat dibuat adalah:10 x 10 x 10 = 1000 buah

Digit pertama

Digit kedua

Digit ketiga

Kaidah pencacahanPe

nyel

esai

an :

? ? ?b. Tidak boleh ada angka yang berulang

Dapat diisi oleh10

(semua angka boleh diguna-

kan)

Dapat diisi oleh9

( Satu angka sudah

digunakan )

Dapat diisi oleh8

( Dua angka sudah

digunakan )

Nomor peserta marathon yang dapat dibuat adalah :10 x 9 x 8 = 720 buah

Kaidah pencacahan

Dis

kusi

kan

!

Misalkan terdapat tiga juta orang penduduk kota Bandung yang memiliki kendaraan bermotor.Apakah semua kendaraan yang dimiliki warga Bandung tersebut dapat diberi nomor kendaraan yang berbeda

Format nomor kenda-raan bermotor yang lazim digunakan :

H AAAA HH

(H : huruf, A : Angka)

Soal Latihan

1. Dari kota A ke kota B dapat ditempuh melalui 5 jalan. Dari kota B ke kota C dapatditempuh melalui 4 jalan. Dalam berapa carakah kita bisa melakukan perjalananpulang pergi dari kota A ke kota C melalui kota B ?

2. Diberikan angka-angka 1, 2, 3, 4. 5, 6 dan 7. Tentukan banyak cara menyusunbilangan ratusan jika :a. Bilangan tidak boleh memuat angka yang sama.b. Bilangan tidak boleh memuat tiga angka yang sama.c. Bilangan tidak boleh memuat angka puluhan dan satuan samad. Bilangan merupakan bilangan ganjil yang lebih dari 200.

3. Suatu keluarga terdiri atas Ayah, Ibu, 2 anak laki-laki dan 3 anak perempuan.Tentukan banyak cara mereka duduk dalam satu baris dimana ayah dan ibu selaluberdampingan dan anak-anak yang berjenis kelamin yang sama harus berdekatan.

4. Panitia jalan santai bermaksud merancang nomor bagi peserta yangmengikuti kegiatan tersebut. Nomor peserta yang dimaksud harus terdiri darisebuah huruf dan tiga angka yang tidak boleh sama. Berdasarkan banyaknomor peserta yang dapat dibuat oleh Panitia, hitunglah banyak pesertamaksimum yang dapat mengikuti kegiatan tersebut!

5. Dalam suatu undian untuk pelaksanaan lomba cerdas cermat Matematikaterdapat empat hari dari tanggal 2 sampai dengan tanggal 5. Setiap haridilaksanakan 8 perlombaan. Dalam berapa cara seorang peserta lombaberkemungkinan untuk tampil berdasarkan hari dan giliran tampil ?

6. Dalam suatu tes terdapat 10 soal pilihan ganda dengan 5 pilihan jawaban danhanya satu jawaban yang benar.

a. Berapa banyak kemungkinan susunan jawaban tes itu, bila untuk setiapsoal hanya boleh dipilih satu jawaban ?

b. Diantara kemungkinan jawaban di atas, berapa banyak yang salahmenjawab semua pertanyaan ?

Soal Latihan

Penutup

Anda sudah mempelajari teori tentang kaidah-kaidah pencacahan. Agar pemahaman anda semakin baik,

berlatihlah menyelesaikan beragam soal.

Bila sudah siap, anda bisa melanjutkan pembelajaran ke bagian-2 yang membahas tentang teori peluang.

Jauh lebih terhormat anda melakukan banyak kesalahan setelah mencoba, daripada yakin bisa dan benar tanpa melakukan apapun.

Teori PeluangTarget KompetensiTarget KompetensiTarget KompetensiTarget KompetensiIndikatorTujuan PembelajaranPeta KonsepKegiatan pembelajaran 1Kaidah pencacahanKaidah pencacahanKaidah pencacahanKaidah pencacahanKaidah pencacahanKaidah pencacahanKaidah pencacahanKaidah pencacahanKaidah pencacahanKaidah pencacahanKaidah pencacahanKaidah pencacahan (Filling Slot)Kaidah pencacahan (Filling Slot)Kaidah pencacahan (Filling Slot)Kaidah pencacahan (Filling Slot)Kegiatan pembelajaran 1Kaidah pencacahanKaidah pencacahanKaidah pencacahanSoal LatihanSoal LatihanPenutup