pembuktian matematika - · pdf filecontoh 3 ada pasien yang ... 12 dan p 22: p 12: ......
TRANSCRIPT
![Page 1: PEMBUKTIAN MATEMATIKA - · PDF fileContoh 3 Ada pasien yang ... 12 dan P 22: P 12: ... Buktikan, jika m adalah bilangan bulat genap dan n bilangan bulat ganjil maka m + n adalah bilangan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020108/5a916b8b7f8b9a8b5d8ba65c/html5/thumbnails/1.jpg)
PEMBUKTIAN
MATEMATIKA
Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom
• PEMBUKTIAN LOGIKA PREDIKAT
• PEMBUKTIAN LANGSUNG
• PEMBUKTIAN TAK LANGSUNG
![Page 2: PEMBUKTIAN MATEMATIKA - · PDF fileContoh 3 Ada pasien yang ... 12 dan P 22: P 12: ... Buktikan, jika m adalah bilangan bulat genap dan n bilangan bulat ganjil maka m + n adalah bilangan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020108/5a916b8b7f8b9a8b5d8ba65c/html5/thumbnails/2.jpg)
Pembuktian Logika Predikat
Metode pembuktian pada dasarnya sama dengan
pada logika proporsional
Menggunakan dalil kesetaraan dan aturan
inferensia
Ditambah aturan-aturan dalam logika predikat
![Page 3: PEMBUKTIAN MATEMATIKA - · PDF fileContoh 3 Ada pasien yang ... 12 dan P 22: P 12: ... Buktikan, jika m adalah bilangan bulat genap dan n bilangan bulat ganjil maka m + n adalah bilangan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020108/5a916b8b7f8b9a8b5d8ba65c/html5/thumbnails/3.jpg)
Pembuktian Logika Predikat ….
Contoh 1
Misalkan ada rangkaian proposisi :
Setiap manusia pasti mati. Furlan adalah manusia.
Oleh karena itu Furlan pasti mati.
Buktikan bahwa kesimpulan ini adalah benar.
![Page 4: PEMBUKTIAN MATEMATIKA - · PDF fileContoh 3 Ada pasien yang ... 12 dan P 22: P 12: ... Buktikan, jika m adalah bilangan bulat genap dan n bilangan bulat ganjil maka m + n adalah bilangan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020108/5a916b8b7f8b9a8b5d8ba65c/html5/thumbnails/4.jpg)
Pembuktian Logika Predikat ….
Jawab
Buat predikatnya, misal :
P(x) : x adalah manusia
Q(x) : x pasti mati
Argumen soal diatas menjadi :
P1 : x [P(x) Q(x)]
P2 : P(Furlan)
K : Q(Furlan)
![Page 5: PEMBUKTIAN MATEMATIKA - · PDF fileContoh 3 Ada pasien yang ... 12 dan P 22: P 12: ... Buktikan, jika m adalah bilangan bulat genap dan n bilangan bulat ganjil maka m + n adalah bilangan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020108/5a916b8b7f8b9a8b5d8ba65c/html5/thumbnails/5.jpg)
Pembuktian Logika Predikat ….
Untuk x = Furlan, menjadi :
P1 : P(Furlan) Q(Furlan)
P2 : P(Furlan)
Q(Furlan) (modus ponens)
Karena kesimpulan Q(Furlan), terbukti benar.
![Page 6: PEMBUKTIAN MATEMATIKA - · PDF fileContoh 3 Ada pasien yang ... 12 dan P 22: P 12: ... Buktikan, jika m adalah bilangan bulat genap dan n bilangan bulat ganjil maka m + n adalah bilangan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020108/5a916b8b7f8b9a8b5d8ba65c/html5/thumbnails/6.jpg)
Pembuktian Logika Predikat ….
Contoh 2
Tunjukkan bahwa pernyataan :
x [P(x) -Q(x)]
adalah kesimpulan dari premis-premis :
x [-[-Q(x) -R(x)]]
x [R(x) P(x)]
![Page 7: PEMBUKTIAN MATEMATIKA - · PDF fileContoh 3 Ada pasien yang ... 12 dan P 22: P 12: ... Buktikan, jika m adalah bilangan bulat genap dan n bilangan bulat ganjil maka m + n adalah bilangan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020108/5a916b8b7f8b9a8b5d8ba65c/html5/thumbnails/7.jpg)
Pembuktian Logika Predikat ….
Jawab
Argumen soal dapat ditulis :
P1 : x [-[-Q(x) -R(x)]]
P2 : x [R(x) P(x)]
K : x [P(x) -Q(x)]
Untuk suatu nilai x = e, pada P1 berlaku :
-[-Q(e) -R(e)] = -[Q(e) -R(e)] (tambahan)
= -Q(e) R(e) (deMorgan)
![Page 8: PEMBUKTIAN MATEMATIKA - · PDF fileContoh 3 Ada pasien yang ... 12 dan P 22: P 12: ... Buktikan, jika m adalah bilangan bulat genap dan n bilangan bulat ganjil maka m + n adalah bilangan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020108/5a916b8b7f8b9a8b5d8ba65c/html5/thumbnails/8.jpg)
Pembuktian Logika Predikat ….
Pada P2 berlaku :
R(e) P(e)
Dapat ditulis kembali :
P11 : -Q(e)
P12 : R(e)
P21 : R(e)
P12 : P(e)
![Page 9: PEMBUKTIAN MATEMATIKA - · PDF fileContoh 3 Ada pasien yang ... 12 dan P 22: P 12: ... Buktikan, jika m adalah bilangan bulat genap dan n bilangan bulat ganjil maka m + n adalah bilangan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020108/5a916b8b7f8b9a8b5d8ba65c/html5/thumbnails/9.jpg)
Pembuktian Logika Predikat ….
Perhatikan P11dan P22 , berlaku :
-Q(e) P(e) = P(e) -Q(e) (komutatif)
Atau ditulis
x [P(x) -Q(x)]
Terbukti benar
![Page 10: PEMBUKTIAN MATEMATIKA - · PDF fileContoh 3 Ada pasien yang ... 12 dan P 22: P 12: ... Buktikan, jika m adalah bilangan bulat genap dan n bilangan bulat ganjil maka m + n adalah bilangan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020108/5a916b8b7f8b9a8b5d8ba65c/html5/thumbnails/10.jpg)
Pembuktian Logika Predikat ….
Contoh 3
Ada pasien yang menyukai semua dokter. Semua
pasien tidak menyukai tukang obat. Maka
disimpulkan bahwa semua dokter pasti bukan
tukang obat
Buktikan kebenaran dari argumen ini.
![Page 11: PEMBUKTIAN MATEMATIKA - · PDF fileContoh 3 Ada pasien yang ... 12 dan P 22: P 12: ... Buktikan, jika m adalah bilangan bulat genap dan n bilangan bulat ganjil maka m + n adalah bilangan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020108/5a916b8b7f8b9a8b5d8ba65c/html5/thumbnails/11.jpg)
Pembuktian Logika Predikat ….
Jawab
P(x) : x adalah pasien
Q(y) : y adalah dokter
R(y) : y adalah tukang obat
S(x,y) : x suka y
P1 : x [P(x) y (Q(y) S(x,y)]
P2 : x [P(x) y (R(y) -S(x,y)]
K : y [Q(y) -R(y)]
![Page 12: PEMBUKTIAN MATEMATIKA - · PDF fileContoh 3 Ada pasien yang ... 12 dan P 22: P 12: ... Buktikan, jika m adalah bilangan bulat genap dan n bilangan bulat ganjil maka m + n adalah bilangan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020108/5a916b8b7f8b9a8b5d8ba65c/html5/thumbnails/12.jpg)
Pembuktian Logika Predikat ….
Untuk suatu nilai x=e berlaku :
P1 : [P(e) y (Q(y) S(e,y)]
P2 : [P(e) y (R(y) -S(e,y)]
Dapat ditulis :
P11 : P(e)
P12 : y (Q(y) S(e,y))
P21 : P(e)
P22 : y (R(y) -S(e,y)) = y (S(y) -R(e,y))
(kontrapositif)
![Page 13: PEMBUKTIAN MATEMATIKA - · PDF fileContoh 3 Ada pasien yang ... 12 dan P 22: P 12: ... Buktikan, jika m adalah bilangan bulat genap dan n bilangan bulat ganjil maka m + n adalah bilangan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020108/5a916b8b7f8b9a8b5d8ba65c/html5/thumbnails/13.jpg)
Pembuktian Logika Predikat ….
Perhatikan P12 dan P22 :
P12 : y (Q(y) S(e,y))
P22 : y (S(e,y) -R(y))
y (Q(y) -R(y)) (silogisme)
Terbukti benar karena
K : y [Q(y) -R(y)]
![Page 14: PEMBUKTIAN MATEMATIKA - · PDF fileContoh 3 Ada pasien yang ... 12 dan P 22: P 12: ... Buktikan, jika m adalah bilangan bulat genap dan n bilangan bulat ganjil maka m + n adalah bilangan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020108/5a916b8b7f8b9a8b5d8ba65c/html5/thumbnails/14.jpg)
Pembuktian Logika Predikat ….
Latihan
Tunjukkan bahwa pernyataan :
x [F(x) -S(x)]
adalah kesimpulan dari premis-premis :
x (F(x) S(x)) y(M(y) W(y))
y(M(y) -W(y))
![Page 15: PEMBUKTIAN MATEMATIKA - · PDF fileContoh 3 Ada pasien yang ... 12 dan P 22: P 12: ... Buktikan, jika m adalah bilangan bulat genap dan n bilangan bulat ganjil maka m + n adalah bilangan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020108/5a916b8b7f8b9a8b5d8ba65c/html5/thumbnails/15.jpg)
Pembuktian Langsung
Misalkan p dan q adalah proposisi.
Pembuktian langsung p q (p implikasi logik ke q)
adalah dengan mengkonstruksi proposisi-proposisi
r1, r2, …, rn, sedemikian sehingga
p r1, r1 r2, r2 r3, … , rn q
![Page 16: PEMBUKTIAN MATEMATIKA - · PDF fileContoh 3 Ada pasien yang ... 12 dan P 22: P 12: ... Buktikan, jika m adalah bilangan bulat genap dan n bilangan bulat ganjil maka m + n adalah bilangan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020108/5a916b8b7f8b9a8b5d8ba65c/html5/thumbnails/16.jpg)
Pembuktian Langsung ….
Contoh 4
Buktikan bahwa kuadrat bilangan ganjil adalah
juga bilangan ganjil.
![Page 17: PEMBUKTIAN MATEMATIKA - · PDF fileContoh 3 Ada pasien yang ... 12 dan P 22: P 12: ... Buktikan, jika m adalah bilangan bulat genap dan n bilangan bulat ganjil maka m + n adalah bilangan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020108/5a916b8b7f8b9a8b5d8ba65c/html5/thumbnails/17.jpg)
Pembuktian Langsung ….
Jawab
Misalkan p : n bilangan ganjil
q : n2 bilangan ganjil
p : n bilangan ganjil
r1 : n = 2k + 1 , kZ
r2 : n2 = (2k + 1)2
r3 : n2 = 4k2 + 4k + 1
r4 : n2= 2(2k2 + 2k) + 1
r5 : n2= 2m + 1 , m=(2k2 + 2k) Z
q : n2 bilangan ganjil.
![Page 18: PEMBUKTIAN MATEMATIKA - · PDF fileContoh 3 Ada pasien yang ... 12 dan P 22: P 12: ... Buktikan, jika m adalah bilangan bulat genap dan n bilangan bulat ganjil maka m + n adalah bilangan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020108/5a916b8b7f8b9a8b5d8ba65c/html5/thumbnails/18.jpg)
Conditional Proof
Conditional proof adalah pembuktiam proposisi
yang berbentuk implikasi.
Contoh 5
Buktikan, jika m adalah bilangan bulat genap dan
n bilangan bulat ganjil maka m + n adalah
bilangan bulat ganjil.
![Page 19: PEMBUKTIAN MATEMATIKA - · PDF fileContoh 3 Ada pasien yang ... 12 dan P 22: P 12: ... Buktikan, jika m adalah bilangan bulat genap dan n bilangan bulat ganjil maka m + n adalah bilangan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020108/5a916b8b7f8b9a8b5d8ba65c/html5/thumbnails/19.jpg)
Conditional Proof ….
Jawab
Misalkan m = 2k , kZ
n = 2j + 1 , jZ
m + n = 2k + 2j + 1
= 2(k +j) + 1
= 2 p +1 , pZ
![Page 20: PEMBUKTIAN MATEMATIKA - · PDF fileContoh 3 Ada pasien yang ... 12 dan P 22: P 12: ... Buktikan, jika m adalah bilangan bulat genap dan n bilangan bulat ganjil maka m + n adalah bilangan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020108/5a916b8b7f8b9a8b5d8ba65c/html5/thumbnails/20.jpg)
Pembuktian Tak Langsung
Ada dua jenis pembuktian tak langsung yaitu :
(1) Pembuktian Kontrapositif
(2) Pembuktian Kontradiksi
Kedua jenis pembuktian ini dimulai dengan
memisalkan kesimpulan q salah, dengan kata lain
memisalkan –q benar.
![Page 21: PEMBUKTIAN MATEMATIKA - · PDF fileContoh 3 Ada pasien yang ... 12 dan P 22: P 12: ... Buktikan, jika m adalah bilangan bulat genap dan n bilangan bulat ganjil maka m + n adalah bilangan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020108/5a916b8b7f8b9a8b5d8ba65c/html5/thumbnails/21.jpg)
Pembuktian Tak Langsung ….
1. Pembuktian Kontrapositif
Menurut aturan kontrapositif, menunjukkan
kebenaran proposisi p q sama dengan
menunjukkan - q -p.
Contoh 6
Buktikan, jika n2 genap maka n genap untuk n
bilangan bulat.
![Page 22: PEMBUKTIAN MATEMATIKA - · PDF fileContoh 3 Ada pasien yang ... 12 dan P 22: P 12: ... Buktikan, jika m adalah bilangan bulat genap dan n bilangan bulat ganjil maka m + n adalah bilangan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020108/5a916b8b7f8b9a8b5d8ba65c/html5/thumbnails/22.jpg)
Pembuktian Tak Langsung ….
Jawab
Misalkan p : n2 genap -p : n2 ganjil
q : n genap -q : n ganjil
maka
p q : jika n2 genap maka n genap
setara dengan
- q -p : jika n ganjil maka n2 ganjil
proposisi ini sudah dibuktikan pada contoh 1 tadi.
![Page 23: PEMBUKTIAN MATEMATIKA - · PDF fileContoh 3 Ada pasien yang ... 12 dan P 22: P 12: ... Buktikan, jika m adalah bilangan bulat genap dan n bilangan bulat ganjil maka m + n adalah bilangan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020108/5a916b8b7f8b9a8b5d8ba65c/html5/thumbnails/23.jpg)
Pembuktian Tak Langsung ….
2. Pembuktian Kontradiksi
Pada pembuktian kontradiksi, akan dimulai dengan
memisalkan q salah dan selanjutnya ditunjukkan
terdapat pernyataan yang kontradiksi sehingga
disimpulkan haruslah q benar.
Contoh 7
Misalkan a bilangan real, jika a > 0 maka > 0.1a
![Page 24: PEMBUKTIAN MATEMATIKA - · PDF fileContoh 3 Ada pasien yang ... 12 dan P 22: P 12: ... Buktikan, jika m adalah bilangan bulat genap dan n bilangan bulat ganjil maka m + n adalah bilangan](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020108/5a916b8b7f8b9a8b5d8ba65c/html5/thumbnails/24.jpg)
Pembuktian Tak Langsung ….
Jawab
Anggap pernyataan a > 0 benar dan > 0 salah.
Proposisi ini akan menjadi a > 0 dan 0.
Berdasarkan sifat perkalian diperoleh
a( ) 0
1 0
Akan kontradiksi dengan kenyataan bahwa 1>0.
Jadi haruslah > 0.
1a
1a
1a
1a