pembuktian teorema pythagoras
TRANSCRIPT
Bismilaah….Assalamualaikum Wr. Wb.
Seminar Pendidikan MatematikaPembuktian
Teorema Pythagoras
Oleh
Arief Indrawan
053832
Pythagoras Of Samons(570 – 471 SM)
Pernah berguru pada;
•Pherecydes
•Anaximander (Phylosop dan Astronom)
•Thales of Melitus (Philosop dan Matematikawan)
Pergi ke Mesir 547 SM (23 tahun)
Pulang saat berusia 55 tahun
Membuka sekolah di Corton
Bergerak dalam bidang;
Matematika, Musik dan Astronomi
Teorema Pythagoras
Cina
Orang – orang mesir sudah mengetahui bahwa segitiga dengan panjang sisi-sisinya 3, 4 dan 5 adalah segitiga siku - siku
Tschou-Gun (1100 SM) mengetahui tentang karakteristik pada segitiga siku-siku
Babilonia dan CaldeanTelah mengetahui teorema ini beratus-ratus tahun sebelum pythagoras hidup. Terbukti pada tablet Babilonia dari tanah liat yang menunjukan ciri-ciri dari segitiga siku-siku
Mesir
Materi PrasyaratSudut – sudut Konkruen
1 dan 3, 2 dan 4 sudut-sudut bertolak belakang
1 dan 5, 2 dan 6 sudut-sudut sehadap
5 dan 3, 4 dan 6 sudut-sudut dalam bersebrangan
segitiga
Jumlah sudut-sudut segitiga 1800
Aksioma kekonkruenan
Kesebangunan segitiga
A
B
D
C
D midpoint AC
ACD dan CBD sama kaki
Lingkaran
Hukum Kekekalan Luas
•Sifat-sifat Lingkaran
•Lingkaran Dalam segitiga
A B
C
D
E
F
O
a
b
r
b-r
a-r
a-r
b-r
r
r
CEO dan CFO konkruen
BDO dan BFO konkruen
)(2
1cbar
CB = c = a + b – 2r
Pembuktian Teorema Pythagoras
L.ABC = 2L.BFO + 2L.CEO + L.ADOE=r(a - r) + r(b – r) + r2
=ar – r2 + rb – r2 + r2
= r(a + b – r)
L.ABC = r(a + b – (½(a + b – c) )L.ABC = r (½(a + b + c))
L.ABC = ½(a + b – c) x ½(a + b + c)
L.ABC = ½ ab
½(a + b – c) x ½(a + b + c) = ½ ab((a + b)- c) (a + b + c) = 2ab
(a+b)2 – c2 = 2aba2 +b2 = c2
Subtitusikan )(2
1cbar
AB
C
D
E
F
ab
c L
BCL dan BCA sebangun
c
aBL
2
DAE dan FAB sebangun
BFC = FBC = 450
Misal CAB = BCL = LCE = x0
BCE = 2x0
DCE = 90 – 2x0
CDE = CED = 450 + x0
ADE = 1800 – (450 + x)
AED = 1800 – (x0 + 1800 – (450 + x0)AED = 450
Berarti,AED = CFBFAB =FAB
ADE dan AFB sebangun
Pembuktian Teorema Pythagoras
AF
AB
AE
AD
c
aBL
2
L
AD x AF = AE x AB(b – a)(b + a) = c (c - 2BL)
b2 - a2 = c (c - 2 )
b2 + a2 = c2c
a2
AB
C
D E
a
b
c
b
b
CBD dan CBE sebangun
Karena sebangun maka;
BC
BD
BE
BC
BC2 = BD x BE
a2 = (c - b)(c + b)
a2 = c2 – b2
c2 = a2 + b2
Miss AEC = ACE = x0
ADC = y0
X0 + y0 = 900
ACD = 900 – x0
BCD + ACD = 900
BCD = 900 – ACDBCD = 900 – (900 – x0) = x0
Karena CBD = CBEBCD = CEB
MakaBCD sebangun dengan BCE
AB
C
E
F
G
a
a
a
a
b
b
c
c
D
ACD dan AGE sebangunAG
AE
AC
AD
AD x AG = AC x AE
(c – a)(c + a) = b x b
c2 – a2 = b2
c2 = a2 + b2
CBD = AFE = x0
BCD = BDC = 900 – ½x0
DCA = 900 - (900 – ½x0)DCA = ½ x0
EFG = 1800 – x0
FGE = FEG = ½ (1800 – (1800 – x0)FGE = ½ x0
Karena DAC = EAGDCA = AGE
Maka ADC dan AGE sebangun
A
B C
DE
F a
bc
x
y
u
y
c
ABE dan ADE Konkruen
ABC dan BFE sebangun
CDEF Persegi panjang
c
y
b
u
a
x
PROOF
y = a + ux = b + c
c
y
b
u
a
x y = a + u
x = b + csubtitusi
c
au
b
u
a
cb
a
cbbu
)(
aa
cbcu
)(
aa
cbc
a
cbb
)()(b(b + c) = c(b + c) – a2 b2 + bc = bc + c2 – a2
c2 = a2 + b2
A B
C
DE
F
G
H
M
K
L
ab
c
x
y z
ABK dan CBD konkruenBAF dan CAE konkruen
L.ABK = ½ L.BCHKL.CBD = ½ L.BDLM
L.BCHK = L.BDLM = a2
L.ACGE = L.AELM = b2
L.BAF = ½ L.ACGEL.CAE = ½ L.AELM
L.ABDE = L.BDLM + L.AELM c2 = a2 + b2
A B
C
D E
Q
R
M
P
a
b
c
a
b
ABC dan PQC konkruen MR PQ PROOF
422
1.
2bbbMPCL
422
1.
cPRPR
cMPCL
422
1.
2aaaMCQL
422
1.
cQRcQRMCQL
b2 = cPRa2 = cQR
a2 + b2 = c(PR + QR)a2 + b2 = c(c)a2 + b2 = c2
AB
CD
E
F
a
bc
ab/c
aa/c
bb/c
ab/c
a
b
BE & AE
AF & CF
Apakah BCEF merupakan persegi
panjang ????
Pembuktian teorema phytagoras
L.FCEBD = L.BCFE + L.BCD
2)(
2 ab
c
ab
c
b
c
a
2)( 22
2
abba
c
ab
L.FCEBD = L.ABCD + L.ABE + L.ACF
2
2
2
2
22 c
abb
c
abaab
)(2
222
bac
abab
)(22
)( 222
222
bac
abab
abba
c
ab a2 + b2 = c2