pemodelan dan simulasi numerik penyebaran penyakit ...digilib.unila.ac.id/54327/3/skripsi tidak full...
TRANSCRIPT
PEMODELAN DAN SIMULASI NUMERIK PENYEBARAN
PENYAKIT INFLUENZA DENGAN PENGARUH VAKSINASI
DAN FAKTOR IMIGRASI
Oleh
YOLA WIDYA UTAMI
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2018
ABSTRAK
PEMODELAN DAN SIMULASI NUMERIK PENYEBARAN PENYAKIT
INFLUENZA DENGAN PENGARUH VAKSINASI DAN FAKTOR
IMIGRASI
oleh
YOLA WIDYA UTAMI
Penyakit influenza atau yang biasa disebut sebagai penyakit flu pertama kali
dikemukakan dengan jelas oleh Hippocrates kurang lebih 2400 tahun yang lalu.
Penyakit ini sangat umum di kalangan masyarakat. Penyebab penyakit ini
biasanya disebabkan oleh interaksi manusia terhadap udara berdebu atau
disebabkan oleh perubahan iklim. Penyebaran penyakit ini dapat melalui udara.
Model matematika yang cocok untuk digunakan dalam menyelesaikan masalah
penyebaran penyakit adalah model SIR yaitu Suspectible (S), Infected (I),
Recovered (R). Langkah awal yang dilakukan untuk mencari kesetimbangan pada
model penyebaran penyakit ini yaitu dengan membuat model matematika dari
penyebaran penyakit lalu melakukan pencarian nilai titik kesetimbangan dan
kestabilan. Dari simulasi yang dilakukan maka dapat disimpulkan bahwa
penyebaran penyakit akan semakin berkurang apabila proporsi vaksinasi pada
populasi semakin besar.
Kata kunci : penyebaran penyakit, pemodelan matematika, SIR, simulasi
numerik.
ABSTRACT
MODELLING AND NUMERIC SIMULATION OF THE SPREAD OF
INFLUENZA WITH INFLUENCE OF VACCINE AND IMIGRATION
FACTOR
By
YOLA WIDYA UTAMI
Influenza or what is commonly referred to as flu was first stated clearly by
Hippocrates about 2400 years ago. This disease is very common among the
community. The cause of this disease is usually caused by human interaction with
dusty air or caused by climate change. The spread of this disease can be by air.
Mathematical models that are suitable to use in solving this problem SIR models
that is Suspectible (S), Infected (I), Recovered (R). The first step taken to find
equilibrium in the model of the spread of this disease is to create a mathematical
model of the spread of the disease and then search for equilibrium point and
stability. From the simulations carried out, it can be concluded that the spread of
the disease will decrease if the proportion of vaccination in the population gets
bigger.
Keyword : disease spread, mathematic models, SIR, numeric simulation.
PEMODELAN DAN SIMULASI NUMERIK PENYEBARAN
PENYAKIT INFLUENZA DENGAN PENGARUH VAKSINASI
DAN FAKTOR IMIGRASI
Oleh
YOLA WIDYA UTAMI
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar
SARJANA SAINS
pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2018
RIWAYAT HIDUP
Penulis bernama lengkap Yola Widya Utami, anak kedua dari 4 bersaudara yang
dilahirkan di Bandarlampung pada tanggal 26 Juni 1997 oleh pasangan Bapak
Sugiyanto dan Ibu Dian Agusriana.
Penulis menempuh pendidikan Taman Kanak-Kanak (TK) di TK Kartika II-7
pada tahun 2002-2003, Sekolah Dasar (SD) di SD Kartika II-5 Bandarlampung
pada tahun 2003-2009, SMP Negeri 2 Bandarlampung pada tahun 2009-2011, dan
bersekolah di SMA Negeri 2 Bandarlampung pada tahun 2011-2014.
Pada tahun 2014 penulis melanjutkan pendidikan di perguruan tinggi dan terdaftar
sebagai mahasiswi S1 Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur Mandiri. Selama menjadi
mahasiswi, penulis ikut serta dalam organisasi Himpunan Mahasiswa Jurusan
Matematika (HIMATIKA) FMIPA Unila sebagai anggota aktif bidang Minat dan
Bakat.
Pada tahun 2017 penulis melakukan Kerja Praktik (KP) di Perusahaan Daerah Air
Minum Way Rilau Bandarlampung dan pada tahun yang sama penulis
melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Sumur Kumbang, Kecamatan
Kalianda, kabupaten Lampung Selatan, Provinsi Lampung.
Kata Inspirasi
” To a great mind, nothing is little” (Sherlock Holmes)
“Do not lose hope, nor be sad ” (QS. Ali Imron/3:139)
“I’m selfish, Impatient and a little insecure. I make mistakes, I am out of control and at times hard to handle. But if you can’t handle me at my worst,
then you sure don’t deserve me at my best.” (Marilyn Monroe)
PERSEMBAHAN
Untuk sahabat-sahabat terbaikku, terimakasih untuk semua Alhamdulillah, puji
syukur kehadirat Allah SWT yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang. Dengan
segala kerendahan hati penulis persembahkan skripsi ini kepada:
Kedua orangtuaku yang selalu tulus berkorban, membimbing, selalu memberikan
semangat, rela menjadi pendengar yang baik dan mendoakan setiap waktu untuk
keberhasilan penulis.
Untuk kakak dan adikku tersayang yang selalu memberikan semangat dan
dukungan serta do’a yang tak pernah henti untukku. Terimakasih sudah menjadi
motivator di setiap hariku.
Untuk sahabat-sahabatku selama di kampus kebahagian dan keceriaan yang telah
kalian berikan untukku, kalian adalah sahabat-sahabat terbaik yang selalu ada,
terimakasih atas semua cerita indah yang selalu mengisi hari-hariku.
SANWACANA
Alhamdulillah, puji syukur penulis panjatkan atas kehadiran Allah SWT. yang
telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga dapat terselesaikan skripsi
dengan judul “Pemodelan dan Simulasi Numerik Penyebaran Penyakit
Influenza Dengan Pengaruh Vaksinasi dan Faktor Imigrasi” .
Terselesaikannya skripsi ini tidak terlepas dari bantuan, kerjasama, dan dukungan
berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terimakasih kepada :
1. Bapak Subian Saidi, S.Si., M.Si., selaku pembimbing I yang telah
memberikan arahan, bimbingan, ide, kritik dan saran kepada penulis
selama proses pembuatan skripsi ini.
2. Bapak Dr. Aang Nuryaman, S.Si., M.Si., selaku pembimbing II yang telah
memberikan arahan, bimbingan, ide, kritik, semangat kepada penulis.
3. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si., selaku penguji yang telah
memberikan ide, dukungan, kritik dan saran kepada penulis sehingga
terselesaikan skripsi ini.
4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D, selaku Pembimbing Akademik
yang telah membimbing penulis dalam menyelesaikan permasalahan
seputar akademik.
5. Ibu Dra. Wamiliana, M.A, Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
6. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D., selaku Dekan Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
7. Seluruh Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA
Universitas Lampung.
8. Bapak Sugiyanto, Bunda Erika Agustina, Kakak dan Adik-adikku Yogi,
Ica, Kia dan keluarga besar.
9. Ibu Dian Agusriana dan keluarga.
10. Sahabat-sahabat penulis Caroline, Amoy, Ananda, Adinda, Naya, Elina,
Rima, Kiki, Margaretha, Anin, Putri, Dea, Ecy, Syafa, Maget, Lena, Wika,
Dandi, Zulfi, Fajar, Arif, Raka, Dracjat, Novi, Rama, Abror, Rahmad.
11. Teman-teman Matematika 2014, Teman-teman KKN 2017 Desa Sumur
Kumbang, Abang dan Yunda Matematika 2013.
12. Semua pihak yang terlibat dalam penyelesaian skripsi ini.
Tentunya, Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dari skripsi ini, akan
tetapi besar harapan semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Sekian
dan terima kasih.
Bandarlampung, Oktober 2018
Penulis
Yola Widya Utami
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR .......................................................................... xiv
DAFTAR TABEL ............................................................................... xv
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah ..................................................... 1
1.2 Tujuan Penelitian ...................................................................... 3
1.3 Manfaat Penelitian...................................................................... 3
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Persamaan Diferensial ............................................................. 4
2.1.1 Persamaan Diferensial Biasa dan Parsial ........................ 5
2.1.2 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear ................ 6
2.2 Persamaan Diferensial Linear Orde Pertama ........................... 7
2.3 Sistem Persamaan Diferensial ................................................. 8
2.4 Sistem Persamaan Diferensial Orde Pertama ........................... 9
2.5 Model Epidemi SIR ................................................................ 11
2.6 Metode Runge-Kutta ............................................................... 13
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian .................................................. 16
3.2 Metode Penelitian ................................................................... 16
ii
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Pemodelan Matematika ............................................................ 18
4.2 Titik Kesetimbangan ............................................................... 25
4.3 Angka Reproduksi Vaksinasi .................................................. 27
4.4 Kestabilan ............................................................................... 28
4.5 Simulasi Numerik ................................................................... 31
V. PENUTUP
5.1 Simpulan ................................................................................. 62
5.2 Saran ....................................................................................... 63
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
1 Parameter yang Mempengaruhi Pembentukkan Model Epidemik SIR
dengan Pengaruh Vaksinasi dan Faktor Imigrasi .............................. 22
2 Nilai untuk setiap kondisi yang berbeda ........................................... 60
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
1 Skema Penyebaran Penyakit Influenza ............................................. 21
2 Grafik SIR dengan , dan ............................ 33
3 Grafik SIR dengan , dan .............................. 34
4 Grafik SIR dengan .3, dan ......................... 36
5 Grafik SIR dengan , dan ........................... 37
6 Grafik SIR dengan , dan ......................... 38
7 Grafik SIR dengan , dan ........................... 40
8 Grafik SIR dengan , dan ...................... 41
9 Grafik SIR dengan , dan ........................ 42
10 Grafik SIR dengan , dan ...................... 43
11 Grafik SIR dengan , dan ........................ 45
12 Grafik SIR dengan , dan ...................... 46
13 Grafik SIR dengan , dan ........................ 47
14 Grafik SIR dengan , dan ...................... 48
15 Grafik SIR dengan , dan ........................ 49
16 Grafik SIR dengan , dan ...................... 51
17 Grafik SIR dengan , dan ........................ 52
18 Grafik SIR dengan , dan ............................ 54
19 Grafik SIR dengan , dan .............................. 55
20 Grafik SIR dengan , dan ............................ 56
21 Grafik SIR dengan , dan .............................. 57
22 Grafik Proporsi sistem SIR untuk dan dan sistem SIR
untuk dan ...................................................................... 58
1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Penyakit influenza atau yang biasa disebut sebagai penyakit flu pertama kali
dikemukakan dengan jelas oleh Hippocrates kurang lebih 2.400 tahun yang lalu.
Penyakit influenza disebabkan oleh virus RNA dari familia Orthomyxoviridae (virus
influenza).Virus influenza menyerang Unggas dan mamalia sebagai penyakit
menular. Penyakit yang banyak ditemukan di masyarakat luas ini tak luput dari
perhatian para ilmuwan tidak hanya dari bidang medis tetapi juga dari bidang sains.
Penyakit influenza adalah penyakit yang mewabah di kalangan masyarakat dan
sangat umum untuk diketahui. Penyebab penyakit ini biasanya disebabkan oleh
interaksi manusia terhadap udara berdebu atau disebabkan oleh perubahan iklim
sekitar. Virus Influenza terdiri dari 3 jenis yaitu Virus influenza A, Virus influenza B,
Virus influenza C. Ketiga virus influenza tersebut memiliki struktur yang sama secara
keseluruhannya. Beberapa jenis influenza hanya terdapat pada wilayah spesifik saja
seperti flu spanyol pada tahun 1918 dan flu hongkong pada tahun 1968.
2
Model matematika yang merupakan representasi sederhana dari aspek tertentu dalam
kehidupan nyata semakin banyak digunakan untuk menganalisis dinamika
penyebaran virus terutama mengestimasi parameter kunci dalam epidemiologi seperti
periode inkubasi, durasi terjangkitnya penyakit, bilangan reproduksi dasar. Salah satu
bentuk Model matematika yang cocok untuk digunakan dalam menyelesaikan
masalah penyebaran penyakit adalah model SIR. Model epidemi SIR sendiri
merupakan singkatan dari Suspectible (S), Infected (I), Recovered (R). Model epidemi
SIR memiliki tiga bagian populasi yaitu kelompok yang sehat tetapi memiliki
kemungkinan terjangkit penyakit. Selain itu, kelompok populasi yang kedua adalah
kelompok yang terjangkit penyakit dan memiliki kemungkinan untuk menularkan
penyakit tersebut. Kelompok populasi terakhir yang dimaksud adalah kelompok yang
telah sembuh dan kebal dari penyakit. Kajian mengenai pemodelan penyebaran
penyakit influenza yang dibatasi oleh faktor vaksinasi telah banyak dibahas
sebelumnya, salah satu jurnal yang mengkaji penyebaran penyakit influenza adalah
Simulasi Level Sanitasi Pada Model Sir Dengan Imigrasi dan Vaksinasi oleh Anita
Kesuma Arum dan Sri Kuntari (2011).
3
Penyebaran penyakit influenza dapat dipengaruhi berbagai macam faktor luar, salah
satunya adalah vaksinasi. Adanya vaksinasi dapat membuat seseorang menjadi kebal
terhadap sebuah penyakit. Selain adanya faktor vaksinasi, faktor imigran juga akan
ditambahkan sebagai variabel tambahan dalam model yang dibuat. Masalah
matematika yang didapatkan dari model ini dapat diselesaikan dengan metode Runge-
Kutta. Metode Runge-Kutta dianggap cocok untuk menyelesaikan permasalahan non-
linier seperti penyebaran penyakit.
1.2 Tujuan Penilitian
Penelitian ini bertujuan untuk mendapatkan model dan simulasi numerik mengenai
penyebaran penyakit influenza dengan pengaruh vaksinasi dan faktor imigrasi dengan
metode Runge-Kutta.
1.3 Manfaat Penilitan
Penelitian ini bermanfaat untuk mengetahui model dan simulasi numerik mengenai
penyebaran penyakit influenza dengan pengaruh vaksinasi dan faktor imigrasi. Selain
itu penelitian ini bermanfaat untuk mempelajari lebih lanjut pengaplikasian metode
Runge-Kutta.
4
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Persamaan Diferensial
Terbentuknya persamaan diferensial sebagai suatu model matematika berasal dari
ketertarikan dan keingintahuan seseorang tentang perilaku atau fenomena perubahan
sesuatu didunia nyata. Dengan mengamati suatu fenomena pertumbuhan, seseorang
ingin mengetahui bagaimana model pertumbuhannya, kapan tumbuhan tersebut
dipanen atau bahkan punah.
Dari fenomena penularan virus, seseorang ingin mengetahui bagaimana dinamika
penyebaran virus, sehingga dapat disusun strategi perencanaan dan pengendalian
penyebaran virus. Perencanaan dan pengendalian ini merupakan tugas penting bagi
para pengelola kesehatan masyarakat.
Sebagian besar kajian dalam kalkulus berisi tentang bagaimana seseorang dapat
mengekspresikan fenomena perubahan secara matematis, dengan mengambil rasio
perubahan dalam satu besaran terhadap perubahan besaran yang lain yang
mempunyai hubungan fungsional akan menghasilkan laju perubahan. Fungsi
5
mendeskripsikan bahwa nilai variabel ditentukan oleh nilai variabel ,
sehingga nilai bergantung pada nilai dalam kalkulus didefinisikan sebagai
Jika limitnya ada (Kartono, 2012).
2.1.1 Persamaan Diferensial Biasa dan Persamaan Diferensial Parsial
Suatu persamaan diferensial yang memuat turunan biasa dinamakan Persamaan
Diferensial Biasa. Selanjutnya persamaan diferensial yang memuat turunan parsial
disebut Persamaan Diferensial Parsial. Dua contoh persamaan diferensial biasa
dituliskan sebagai berikut ini
Dengan Q, L, R, C dan E berturut-turut menyatakan muatan induktansi, resistansi,
kapasitansi dan voltase dan
Persamaan diatas merupakan persamaan yang merepresentasikan peluruhan suatu
radioaktif untuk suatu waktu tertentu dengan konstanta peluruhan k.
Selanjutnya, contoh untuk persamaan diferensial parsial adalah persamaan potensial
(Laplace), sebagai berikut
6
Persamaan difusi
Dan persamaan gelombang
Dengan dan adalah suatu konstanta sembarang. Persamaan potensial, persamaan
difusi dan persamaan gelombang berturut-turut merupakan permasalahan dalam
bidang elektrik dan magnetic, elasticitas dan mekanika fluida. Ketiga contoh di atas
merupakan contoh persamaan diferensial parsial yang sering dijumpai dalam berbagai
fenomena fisik (Marwan dan Said Munzir, 2009)
2.1.2 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
Persamaan diferensial biasa
dikatakan linear jika F adalah linear dalam variabel-variabel .
Definisi serupa juga berlaku untuk persamaan diferensial sebagian. Jadi secara umum
persamaan diferensial biasa linear order n diberikan dengan
7
Persamaan yang tidak dalam bentuk diatas merupakan persamaan tak linear. Contoh
persamaan tak linear, persamaan pendulum
Persamaan tersebut tak linear karena suku sin . Persamaan diferensial
,
juga tak linear karena suku dan . (Waluya, 2006)
2.2 Persamaan Diferensial Linier Orde Pertama
Tidak semua persamaan diferensial dapat dipisahkan. Misalnya, dalam persamaan
diferensial
Tidak terdapat cara untuk memisahkan variabel sedemikian rupa sehingga
mempunyai dan semua ekpresi yang melibatkan pada satu ruas serta dan
semua ekpresi yang melibatkan pada ruas lainnya. Namun persamaan diferensial ini
dapat diletakkan dalam bentuk
Dengan dan hanya merupakan fungsi saja. Persamaan diferensial
berbentuk ini disebut persamaan diferensial linear orde-pertama. Orde-pertama
8
mengacu pada fakta bahwa turunan hanyalah berupa turunan pertama. Linear
mengacu pada fakta bawha persamaan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk
, dengan adalah operator turunan, dan I adalah operator
identitas (yakni ). dan I adalah operator linear (Varberg, Purcell & Rigdon,
2007)
2.3 Sistem Persamaan Diferensial
Sistem persamaan diferensial adalah suatu sistem yang memuat n buah persamaan
diferensial, dengan n buah fungsi yang tidak diketahui, dimana n merupakan bilangan
bulat positif lebih besar sama dengan dua. Antara persamaan diferensial yang satu
dengan yang lain saling keterkaitan dan konsisten.
Bentuk umum dari suatu sistem n persamaan orde pertama mempunyai bentuk
sebagai berikut:
9
Dengan adalah variabel bebas dan t adalah variabel terikat, sehingga
, dimana
merupakan derivatif fungsi
terhadap t , dan g, adalah fungsi yang tergantung pada variabel dan t
(Neuhauser, 2004).
2.4 Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde Pertama
Sistem persamaan diferensial biasa muncul secara alamiah dalam masalah yang
melibatkan beberapa variabel tak bebas (misalnya ), yang mana masing-
masing darinya merupakan sebuah fungsi dari satu variabel tak bebas (misalnya t).
Dalam proses penyempurnaan model, seringkali kita perlu memperhatikan lebih dari
satu variabel tak bebas yang bergantung pada satu variabel bebas agar mendapatkan
deskripsi yang memadai dari suatu perilaku yang sedang dipelajari.
Secara umum, sistem persamaan diferensial linier orde pertama dinyatakan dalam
bentuk
Sistem diatas dikatakan mempunyai solusi pada interval jika terdapat
himpunan n fungsi
10
Yang dapat didiferensialkan pada semua titik dalam interval dan memenuhi sistem
persamaan pada semua titik pada interval ini.
Solusi ini dapat dipandang sebagai himpunan persamaan parametrik dalam ruang
berdimensi n untuk suatu niali tertentu dari t, solusi ini akan memberikan nilai untuk
koordinat-koordinat dari sebuah titik dalam ruang itu. Bila t berubah
maka koordinat itu pada umumnya juga berubah. Kumpulan titik-titik yang
bersesuaian dengan membentuk sebuah kurva dalam ruang. Kurva ini
dinamakan trayektori atau lintasan dari sebuah partikel yang bergerak sesuai dengan
sistem persamaan diferensial itu. Jika sistem ini dilengkapi dengan kondisi awal
dimana adalah niali tertentu dari t dalam I, dan
adalah nilai yang
tekah ditentukan maka membentuk masalah niali awal. Kondisi-kondisi awal ini
menentukan titik mulainya pergerakan partikel tersebut. Teorema eksistensi dan
keunikan solusi masalah nilai awal ini analog dengan teorema eksistensi dan
keunikan solusi untuk satu buah persamaan diferensial orde pertama.
Jika variabel t tidak tampak secara eksplisit dalam fungsi-fungsi maka
sistem itu disebut sistem otonom. Jika tidak maka sistem itu disebut tidak otonom.
Jika variabel t menyatakan variabel waktu maka sistem otonom adalah bebas waktu
dalam pengertian bahwa turunan-turunan yang berhubungan dengan pendefinisian
sistem tidak berubah atas perubahan waktu.
11
Oleh karena itu, bentuk umum sistem dari n persamaan diferensial linier orde pertama
dapat dituliskan sebagai berikut:
Jika setiap fungsi adalah nol untuk semua t dalam interval I,
maka sistem tersebut dinamakan homogen, jika tidak maka dinamakan sistem tak
homogen (Kartono, 2012).
2.5 Model Epidemi SIR
Model SIR pertama kali diperkenalkan oleh W.O. Kermack dan Mc. Kendrick dalam
makalahnya yang berjudul “A Contribution to the Mathematical Theory of
Epidemic”, yang kemudian muncul dalam Proceeding Royal Society London
halaman 700-721 tahun 1927, dan kemudian menjadi peranan penting dalam
perkembangan matematika epidemi. Mengenai rangkuman tersebut telah dituliskan
secara lengkap oleh Murray.
12
Di dalam modelnya, populasi manusia dibagi menjadi tiga kelompok, yaitu suspek
dengan symbol S, terinfeksi dengan symbol I dan sembuh atau recovery dengan
symbol R, yang masing-masing diberikan dalam bentuk s, I dan r.
Jumlah total dari keseluruhan kelompok tersebut adalah
S atau suspectable dalam pemodelan SIR merupakan individu yang tidak terinfeksi
tetapi golongan ini dapat tertular penyakit. Oleh karena itu golongan ini juga
memiliki kemungkinan untuk menjadi terinfeksi.
I atau infected merupakan individu yang dapat menyebarkan penyakit pada individu
yang rentan. Waktu yang diperlukan oleh penderita infeksi penyakit dinamakan
periode penyakit. Setelah mengalami periode penyakit kemudian individu ini pindah
dan menjadi individu yang sembuh atau recovered.
R atau recovered merupakan individu yang telah sembuh atau kebal dalam
kehidupannya.
Model SIR umumnya ditulis dalam bentuk persamaan diferensial biasa (ODE), yang
merupakan salah satu bagian model deterministik (bukan pemilihan random, hal ini
disebabkan karena kesamaan kondisi awal yang diberikan untuk mendapatkan
output), dengan waktu yang kontinu. Kita dapat mengasumsikan perubahan individu
terinfeksi dan susceptible terjadi dengan laju proporsional terhadap jumlah populasi.
Laju perubahan individu terinfeksi baru didefinisikan sebagai , dengan
13
merupakan nilai transmisivitas sedangkan merupakan nilai laju penyembuhan.
Individu yang terinfeksi diasumsikan dapat kembali sembuh dengan probabilitas
konstan sepanjang waktu.
Maka persamaan diferensial yang didapat dari penjabaran tersebut adalah sebagai
berikut:
Persamaan ini menggambarkan mengenai transisi masing-masing individu dari S ke I
lalu ke R. dengan menambahkan ketiga persamaan tersebut kita dapat menunjukkan
dengan mudah bahwa total populasi adalah konstan (Iswanto, 2012).
2.6 Metode Runge-Kutta
Rumus Euler ysng diperbaiki sebagai suatu cara untuk menyelesaikan masalah nilai
awal secara numeric. Galat pemotongan lokal untuk metode-metode ini sebanding
dengan masing-masing dan . Kita melihat bahwa Euler yang diperbaiki lebih
14
akurat dari pada metode Euler namun mereka masih belum cukup akurat untuk
pekerjaan numeric yang serius.
Sebuah metode yang relatife sederhana dan juga cukup akurat yang sering digunakan
dinamakan metode Runge-Kutta. Metode Runge-Kutta ini mempunyai galat
pemotongan local yang sebanding dengan . Metode yang sangat terkenal untuk
mengaproksimasi solusi masalah nilai awal orde pertama adalah metode Runge-Kutta
orde ke empat. Prosedur metode Rung-Kutta orde ke empat untuk menyelesaikan
masalah nilai awal tersebut sebagai berikut:
Tahap 1. Bagilah interval menjadi subinterval dengan menggunakan
titik-titik yang berspasi sama:
,
,
Tahap 2. Untuk , dapatkan barisan aproksimasi berikut:
Dimana
16
III. METODOLOGI PENELITIAN
1.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini akan dilakukan di Jurusan Matematik Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung dan waktu penelitian dilaksanakan pada
semester ganjil tahun ajaran 2017/2018.
1.2 Metode Penelitian
Adapun langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Mengkaji karakteristik model penyakit influenza SIR.
2. Memodelkan penyebaran penyakit influenza terkontrol vaksinasi dengan adanya
faktor imigrasi.
3. Melakukan simulasi numerik dengan metode Runge-Kutta untuk melihat perilaku
sistem penyebaran penyakit influenza SIR. Langkah-langkah yang dilakukan dalam
melakukan simulasi numerik dengan metode Runge-Kutta adalah sebagai berikut:
17
- Bagi interval [a,b] menjadi n subinterval dengan panjang sama yaitu
sehingga dimana
- Dari dan maka untuk metode runge-kutta didapatkan
- Sehingga didapatkan
4. Mengkaji hasil dari simulasi numerik dan model matematik amengenai analisis
kestabilan yang didapatkan.
5. Menginterpretasikan hasil dari solusi dinamik yang didapatkan.
62
V. PENUTUP
5.1 Simpulan
Adapun simpulan yang dapat diambil dari hasil pembahasan yang telah dilakukan
adalah model epidemi SIR untuk penyebaran penyakit influenza dengan pengaruh
vaksinasi dan faktor imigrasi dapat dinotasikan sebagai
Model tersebut memiliki dua titik kesetimbangan, yaitu
1. Titik kesetimbangan bebas penyakit.
2. Titik kesetimbangan epidemi.
63
Model tersebut memiliki nilai atau Nilai reproduksi vaksinasi yaitu
Setelah dilakukan beberapa simulasi numerik terhadap model yang didapatkan,
dapat dilihat bahwa sistem akan menjadi stabil saat tingkat vaksinasi yang
diberikan yaitu .
Nilai dapat mempengaruhi simulasi yang dilakukan. Apabila , maka
tingkat vaksinasi yang dibutuhkan agar penyakit lebih cepat menghilang adalah
. Dengan berlakunya hal ini maka sistem akan lebih cepat menuju stabil.
5.2 Saran
Disarankan untuk pembaca yang tertarik masalah ini dapat mengembangkan
model epidemic SIR dengan menambahkan peubah yang belum disebutkan pada
penelitian ini.
DAFTAR PUSTAKA
Hethcote, H.W. 2000. The Mathematics of Infectious Disease. SIAM Review 42
Number 4, 599-653.
Iswanto, R.J. 2012. Pemodelan Matematika: Aplikasi dan Terapannya. Graha
Ilmu, Yogyakarta.
Kartono, 2012, Persamaan Diferensial Biasa Model Matematika Fenomena
Perubahan, Graha Ilmu, Yogyakarta
Marwan. & Said, M. 2009. Persamaan Diferensial. Graha Ilmu, Yogyakarta.
Neuhauser, C. 2004. Calculus for Biology and Medicine. Pearson Education,
New Jersey.
N. Anggriani, A., Supriatna, B. & Subartini, R. W. 2015. Kontrol Optimum pada
Model Epidemik SIR dengan Pengaruh Vaksinasi dan Faktor Imigrasi.
Bandung: Jurnal Matematika Integratif. Vol. 11, No. 2 : 111-118.
Varberg, D., Purcell, E.J. & Rigdon, S.E. 2006. Calculus, 9th edition. Pearson,
New York.
Waluya, B. 2006. Buku Ajar: Persamaan Diferensial. Universitas Negeri
Semarang. Semarang.