MAKALAH

APLIKASI FUNGSI GREEN PADA DINAMIKA SISTEM FISIS MASSA PEGAS DENGAN

SHOCK ABSORBER

Disusun Untuk Memenuhi Salah SatuTugas Terstruktur

Dalam Mata Kuliah Pemodelan Matematika

Endang Lastri : 2412.089

Dermi Yanti

ENDANG LASTRI 89

DERMI YANTI 8

PMTK V C

DosenPembimbing :

Tisti Ilda Prihandini, M.Si

JURUSAN TARBIYAH PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

SEKOLAH TINGGI AGAMA ISLAM NEGERI (STAIN)

SJECH M.DJAMIL DJAMBEK

BUKITTINGGI

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Di dalam berbagai permasalahan fisika, matematika memegang peranan yang sangat penting.

Banyak permasalahan fisika yang harus diselesaikan dengan menggunakan model matematika. Salah

satu model matematika yang cukup penting adalah persamaan differensial.Persamaan diferensial adalah

persamaan yang memuat turunan satu (atau beberapa) fungsi yang tidak diketahui. Persamaan

differensial seringkali muncul dalam permasalahan fisika yang mencoba menggambarkan keadaan

kehidupan nyata. Banyak hukum-hukum alam dan hipotesa-hipotesa yang dapat diterjemahkan ke

dalam persamaan yang mengandung persamaan diferensial. Sebagai contoh, turunan-turunan dalam

fisika muncul sebagai kecepatan dan percepatan, dalam geometri sebagai kemiringan. Keadaan inilah

yang merupakan persoalan pada banyak kasus fisika, sehingga untuk memperoleh suatu persamaan

diferensial yang melukiskan suatu persoalan dalam kehidupan nyata, biasanya diambil permisalan

bahwa keadaan sebenarnya diatur oleh hukum-hukum yang sangat sederhana yang biasanya sering

dibuat permisalan yang ideal.

Sampai saat ini masih banyak anggapan bahwa tidak ada gaya gesekan yang bekerja pada

osilator. Jika anggapan ini dipegang, maka bandul atau beban pada pegas akan berosilasi terus

menerus. Pada kenyataannya, amplitudo osilasi berkurang sedikit demi sedikit sampai akhirnya

menjadi nol karena pengaruh gesekan. Dikatakan bahwa geraknya teredam oleh gesekan dan disebut

osilasi teredam. Gesekan seringkali muncul dari gesekan udara atau gaya dalam. Besar gaya gesekan

biasanya bergantung kepada laju. Dalam banyak hal, gaya gesekan sebanding dengan kecepatan, tetapi

arahnya berlawanan. Contoh dari osilasi teredam misalnya adalah pada shock absorber mobil.

Shock absorber merupakan komponen penting suatu kendaraan yaitu dalam sistem suspensi,

yang berguna untuk meredam gaya osilasi dari pegas. Shock absorber berfungsi untuk

memperlambat dan mengurangi besarnya getaran gerakan dengan mengubah energi kinetik dari

gerakan suspensi menjadi energi panas yang dapat dihamburkan melalui cairan hidrolik.

B. Tujuan

Tujuan dari penulisan makalah ini adalah:

1. Untuk menyelesaikan kasus fisis massa pegas dengan shock absorber dengan mengkonstruksi

fungsi green.

2. Untuk membuat perbandingan solusi persamaan yang dihasilkan dengan menggunakan metode

fungsi green dengan solusi persamaan yang dihasilkan dengan menggunakan metode koefisien

tak tentu

C. Manfaat

Adapun manfaat yang diharapkan dalam penulisan makalah ini adalah sebagai berikut:

1. Dalam bidang matematika : untuk mengemukakan suatu metode sebagai alternatif untuk

menyelesaikan persamaan diferensial linear tak homogen yaitu dengan mengkonstruksi fungsi

green

2. Dalam bidang yang dibahas : untuk mengetahui system fisis masa pegas dengan shock absorber

D. Rumusan masalah

1. Bagaimana perbandingan solusi persamaan yang dihasilkan dengan menggunakan metode

fungsi green dengan solusi persamaan yang dihasilkan dengan menggunakan metode koefisien

tak tentu

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

A. Bidang Matematika

1. Persamaan Diferensial Linear Homogen dengan Koefisien Konstan

Bentuk umum persamaan diferensial linear homogen dengan koefisien konstan adalah:

…… ( )

Ada tiga kemungkinan penyelesaian dari persamaan (1), yaitu:

a. Bila akar-akarnya real dan berlainan, maka penyelesaian yaitu:

b. Bila akar-akarnya real dan sama, maka penyelesaian yaitu:

c. Bila akar-akarnya kompleks, maka penyelesaian yaitu:

2. Persamaan Diferensial Linier Orde-n Tak dengan koefesien konstan

Bentuk umum persamaan diferensial tak homogen orde-n adalah sebagai berikut:

…… ( )

Solusi umum y(x) akan didapatkan bila solusi umum dari persamaan homogen diketahui.

Kemudian y(x) dibentuk dengan pemanbahan sebagai penyelesaian homogennya dengan

sebagai penyelesaian partikulernya, sehingga

…… ( )

B. Bidang Permasalahan

1. Konsep fungsi green

Dari suatu system persamaan diferensial linear tak homogen orde-n:

… ( )

Dengan fungsi f(x) merupakan fungsi yang kontiniu. Fungsi G(x,t) dikatakan sebagai fungsi

green untuk masalah nilai awal persamaan diferensial diatas jika memenuhi kondisi berikut ini:

a. G(x,t) terdefenisi pada daerah R=IxI dari semua titik (x,t) dimana x dan t terletak dalam

selang I.

b. G(x,t),

merupaka fungsi kontinu pada R= IxI

c. Untuk setiap dalam selang I, fungsi ∫

adalah solusi persaman

diferensial diatas yang memenuhi kondisi awal

2. Metode koefesien tak tentu

Variansi Parameter dipakai apabila tidak bisa diselesaikan dengan metode koefisien tak tentu

sehingga metode koefisien tak tentu ini lebih sederhana.

Ide dasar dari koefesien tak tentu adalah menduga dengan cerdas solusi berdasarkan fungsi

r(x) di ruas kanan.

Bentuk persamaan umumnya :

……(5)

Fungsi r(x) merupakan bentuk solusi particular diperoleh dengan cara menebak,

sepertinya misalnya fungsi cos, fungsi sin, fungsi exponensial atau jumlah dari beberapa

fungsi

r(x) berisikan koefesien tak tentu

Turunkan sesuai persamaan umum diatas

Substitusikan dan seluruh turunannya ke dalam persamaan

Bentuk r(x) Pilihan untuk

Sin ax A sin ax + B cos ax

Cos ax A sin ax + B cos ax

Missal f(x) merupakan fungsi polinom, eksponen, sinus atau cosinus. Maka solusi

dimisalkan sebagai jumlah dari f(x) dan semua turunannya. Selanjutnya

disubstitusikan ke persamaan awal untuk menghitung nilai dari koefesiennya.

3. System fisis persamaan osilasi harmonik teredam

Osilasi merupakan suatu gerakan periodik, umumnya terhadap waktu dai suatu

pengukuran, contoh pada ayunan bandul. Sedangkan alat yang melakukan osilasi adalah

osilasitor

Shock absorber merupakan komponen penting suatu kendaraan yaitu dalam sistem

suspensi, yang berguna untuk meredam gaya osilasi dari pegas. Shock absorber berfungsi untuk

memperlambat dan mengurangi besarnya getaran gerakan dengan mengubah energi kinetik dari

gerakan suspensi menjadi energi panas yang dapat dihamburkan melalui cairan hidrolik.

Konstruksi shock absorber itu terdiri atas piston, piston rod dan tabung. Piston adalah

komponen dalam tabung shock absorber yang bergerak naik turun di saat shock absorber

bekerja. Sedangkan tabung adalah tempat dari minyak shock absorber dan sekaligus ruang

untuk piston bergerak naik turun. Dan yang terakhir adalah piston rod adalah batang yang

menghubungkan piston dengan tabung bagian atas (tabung luar) dari shock absorber. Untuk

lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar berikut:

Shock absorber bekerja dalam dua siklus yakni siklus kompresi dan siklus ekstensi.

Siklus kompresi (penekanan)

Saat shock absorber ditekan karena gaya osilasi dari pegas suspensi, maka gerakan yang

terjadi adalah shock absorber mengalami pemendekan ukuran. Siklus kompresi terjadi ketika

piston bergerak ke bawah, menekan fluida hidrolik di dalam ruang bawah piston. Dan minyak

shock absorber yang berada dibawah piston akan naik keruang atas piston melalui lubang yang

ada pada piston. Sementara lubang kecil (orifice) pada piston tertutup karena katup menutup

saluran orifice tersebut. Penutupan katub ini disebabkan karena peletakan katup yang berupa

membran (plat tipis) dipasangkan dibawah piston, sehingga ketika minyak shock absorber

berusaha naik ke atas maka katup membran ini akan terdorong oleh shock absorber dan

akilbatnya menutup saluran orifice. Jadi minyak shock absorber akan menuju ke atas melalui

lubang yang besar pada piston, sementara minyak tidak bisa keluar melalui saluran oriface pada

piston. Pada saat ini shock absorber tidak melakukan peredaman terhadap gaya osilasi dari

pegas suspensi, karena minyak dapat naik ke ruang di atas piston dengan sangat mudah.

Siklus ekstensi (memanjang)

Pada saat memanjang piston di dalam tabung akan begerak dari bawah naik ke atas.

Gerakan naik piston ini membuat minyak shock absorber yang sudah berada diatas menjadi

tertekan. Minyak shock absorber ini akan mencari jalan keluar agar tidak tertekan oleh piston

terus. Maka minyak ini akan mendorong katup pada saluran oriface untuk membuka dan

minyak akan keluar atau turun ke bawah melalui saluran oriface. Pada saat ini katup pada

lubang besar di piston akan tertutup karena letak katup ini yang berada di atas piston. Minyak

shock absorber ini akan menekan katup lubang besar, piston ke bawah dan mengaakibat katup

ini tertutup. Tapi letak katup saluran oriface membuka karena letaknya berada di bawah piston,

sehingga ketika minyak shock menekan ke bawah katup ini membuka. Pada saat ini minyak

shock absorber hanya dapat turun ke bawah melalui saluran orifice yang kecil. Karena

salurannya yang kecil, maka minyak shock absorber tidak akan bisa cepat turun ke bawah alias

terhambat. Di saat inilah shock absorber melakukan peredaman terhadap gaya osilasi pegas

suspensi.

4. Wronski

Definisi : Misalkan f , f ,….fn adaah n buah fungsi yang semuanya dan turunan-turunan

sampai dengan turunan ke (n- ) kontinu pada selang [a,b]. wronski dari f , f ,….fn dihitung

pada peubah x, dinyatakan oleh W (f ,f ,….fn ; x) dan ditentukan sebagai determinan- deterninan

yaitu :

W(f , f ,….fn ;x) =||

||

Dimana tiap fungsi yang muncul dalam determinan ini dihitung pada x.

5. Hukum Newton II

Hukum I Newton menyatakan bahwa jika tidak ada gaya total yang bekerja pada sebuah

benda, maka benda tersebut akan tetap diam, atau jika sedang bergerak, akan bergerak lurus

beraturan (kecepatan konstan). Selanjutnya, apa yang terjadi jika sebuah gaya total diberikan

pada benda tersebut?

Newton berpendapat bahwa kecepatan akan berubah. Suatu gaya total yang diberikan

pada sebuah benda mungkin menyebabkan lajunya bertambah. Akan tetapi, jika gaya total itu

mempunyai arah yang berlawanan dengan gerak benda, gaya tersebut akan memperkecil laju

benda. Jika arah gaya total yang bekerja berbeda arah dengan arah gerak benda, maka arah

kecepatannya akan berubah (dan mungkin besarnya juga). Karena perubahan laju atau

kecepatan merupakan percepatan, berarti dapat dikatakan bahwa gaya total dapat menyebabkan

percepatan.

Hubungan antara percepatan dan gaya tersebut selanjutnya dikenal sebagai Hukum II

Newton, yang bunyinya sebagai berikut:

a. "Percepatan sebuah benda berbanding lurus dengan gaya total yang bekerja padanya dan

berbanding terbalik dengan massanya. Arah percepatan sama dengan arah gaya total yang

bekerja padanya."

b. Hukum II Newton tersebut dirumuskan secara matematis dalam persamaan:

BAB III

PENYELESAIAN

A. Deskripsi masalah

Tipikal mobil atau truk ringan akan memiliki lebih banyak perlawanan selama siklus ekstensi

daripada siklus kompresi. Semua peredam kejut modern adalah kecepatan-sensitif – suspensi semakin

cepat bergerak, semakin banyak perlawanan yang shock breker sediakan. Hal ini memungkinkan

guncangan untuk menyesuaikan diri dengan kondisi jalan dan untuk mengontrol semua gerakan yang

tidak diinginkan yang dapat terjadi dalam kendaraan yang bergerak. Secara sederhana shock absorber

merupakan pengaplikasian dari gerak osilasi harmonik yang teredam.

B. Listing Faktor

1. Massa (m)

2. Gaya pemulih (F)

3. Konstanta pegas (k)

4. Gaya redaman (-c) dalam hal ini c adalah konsanta positif.

5. Waktu (t)

6. Sudut ( )

7. Gaya dorong keatas (y)

8. Kecepatan (v)

C. Model Sederhana

Gaya teredam umumnya dipengaruhi oleh gaya gesekan

Fgesekan = cv

∑

ma + cv – ky =0

Dalam osilasi teredam sebenarnya masih terdapat gaya lain yang bekerja berupa gaya

paksaan. Dalam hal ini, dimisalkan gaya paksaan yang diberikan terhadap sistem yang telah

disebutkan adalah Di sini adalah harga dari gaya eksternal dan adalah frekuensi

sudutnya. Untuk jelasnya, dapat kita bayangkan bahwa gaya eksternal tersebut diberikan langsung

pada massa yang digantungkan pada pegas. Maka kita peroleh persamaan:

……… (8)

D. Penyelesaian

1. Penyelesaian Dengan menggunakan Metode Green

Persamaan yang kita dapatkan dari sistem fisis-massa pegas shock absorber telah di

bahas sebelumnya adalah :

Atau dapat kita tulis dalam bentuk lain yakni :

… … (9)

Maka untuk mendapatkan solusi dari persamaan (9) di atas kita selesaikan terlebih dahulu

penyelesaian homogennya :

………( )

√(

) (

)

……… ( )

Untuk gerak teredam kritis maka

……… ( )

Sehingga

……… ( )

Maka dari hasil ini didapatkan :

…… ( )

Kemudian kita selesaikan persamaan partikularnya melalui metode fungsi green :

Mis :

……( 5)

Dari persamaan (15) kita dapatkan

…… ( 6)

…… ( 7)

W = |

|

=

= …… ( 8)

|

| ……… ( 9)

|

| ……… ( )

=

=

=

= …… ( )

Dengan

∫

…… ( )

…… ( )

sehingga dengan mensubstitusikan persamaan (21) dan (23) ke persamaan (22) didapatkan

∫

……… ( )

Kemudian dengan menunjukkan perhitungan secara matematika maka akan diapatkan nilai

sebagai berikut :

[ ] … ( 5)

Sehingga,

[ ] …… ( 6)

Dengan y merupakan solusi dari persamaan (8) yang didapakan melalui fungsi green.

2. Penyelesaian dengan menggunakan metode koefesien tak tentu

Sebagaimana diketahui bahwa persamaan dari gerak osilasi teredam pada schok mobil adalah

sebagai berikut :

……… ( 7)

Dengan penyelesaian homogennya :

…………( 8)

Untuk persamaan partikulernya :

………… ( 9)

…………( )

…………( )

Maka ketiga persamaan (29), (30), dan (31) kita substitusikan ke persamaan ( 7) sehingga

didapatkan :

Kemudian dari persamaan ini akan didapatkan nilai A dan B untuk persamaan (27), yakni sebagai

berikut:

( )

…………( )

…………( )

Sehingga di dapat nilai y yang merupakan solusi dari persamaan (27) dengan menjumlahkan nilai

dari dan yakni:

… ()

E. Interpretasai

Kesamaan yang kita dapatkan dari kedua metode tersebut adalah penyelesaian dengan

menggunakan kedua metode tersebut untuk sistem fisis- massa pegas dengan shock absorber

yang dihasilkan adalah dalam bentuk sinusoidal. Sedangkan untuk perbedaannya dapat kita lihat

pada tabel berikut:

Metode Fungsi Green Metode Koefisien Tak Tentu

1. Pengujian lebih rumit 1. Pengujian lebih sederhana

2. Dalam pengerjaan perlu dketahui selng

waktu .

2. Dalam pengerjaan tidak perlu

diketahui selang waktu.

F. Evaluasi

a. Modifikasi

Karena dalam penyelesaian model matematika ini dilakukan untuk dua metode. Maka penulis

menganggap bahwa tidak ada modifikasi di dala model ini, karena pada metode tak tentu sudah

tidak memmperhatikn faktor lain.

b. Cek Jenis Model

1) Berdasarkan Kegunaan

Deskriptif : menjelaskan masalah nyata.

2) Berdasarkan besaran Kuantitatif

kontinu

3) Berdasarkan Informasi Data

Deterministik : biasa di ukur dan hampir sama dengan yang aslinya

4) Berdasarkan Penyelesaian

Analitik : diselesaikan secara matematika

5) Konsep Matematika: Integral dan differensial

BAB IV

PENUTUP

A. Kesimpulan

Dari hasil pembahasan dapat diambil kesimpulan bahwa:

1. Melalui metode fungsi green didapatkan solusi persamaan dari persamaan fisis-massa pegas

dengan shock absorber. Dalam hal ini, hasil yang didapatkan melalui metode fungsi green

terebut adalah bersesuaian dengan hasil yang didapatkan melalui metode koefisen tak tentu.

2. Perbandingan solusi yang dihasilkan dengan metode fungsi green dan dengan metode koefisien

tak tentu adaah terletak pada perbedaan nilai konstantanya saja. Dengan demikian kita dapat

mengetahui bahwa solusi ya g didapatkan dari kedua metode tersebut adalah sama.

B. Saran

Dalam makalah ini kami menggunkan penyelesainnya dengan koefien tak tentu, untuk pemodelan

yang berikutnya kami menyarankan untuk menyelesaikan dengan variansi parameter.

DAFTAR PUSTAKA

Supeno, Imam dkk. 2003, Persamaan Diferensial Biasa, Malang: Fakultas Matematika Dan

Ilmu Pengethuan Alam Universitas Negeri Malang

Jurnal Aplikasi Fungsi Green Pada Dinamika System Fisis Massa Pegas Dengan Shock

Absorber. Diakses tgl. 14 Oktober 2014 pukul 19:23 WIB