penaksiran parameter pada distribusi rayleigh …

PENAKSIRAN PARAMETER PADA DISTRIBUSI RAYLEIGH

MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD

DAN METODE BAYES

SKRIPSI

FITRI ARDIANTI

130803077

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2017




DAN METODE BAYES

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar

Sarjana Sains

FITRI ARDIANTI

130803077

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM


MEDAN

2017


i

PERSETUJUAN

Judul : Penaksiran Parameter pada Distribusi Rayleigh

menggunakan Metode Maximum Likelihood dan

Metode Bayes

Kategori : Skripsi

Nama : Fitri Ardianti

Nomor Induk Mahasiswa : 130803077

Program Studi : Sarjana (S1) Matematika

Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Disetujui di

Medan, Oktober 2017

Komisi Pembimbing :

Pembimbing,

Dr. Sutarman, M.Sc

NIP. 19631026 199103 1 001

Disetujui Oleh

Departemen Matematika FMIPA USU

Ketua,

Dr. Drs. Suyanto, M.Kom

NIP. 19590813 198601 1 002


ii

PERNYATAAN



DAN METODE BAYES

SKRIPSI

Menyatakan dengan sebenarnya bahwa skripsi yang saya serahkan ini benar-benar

merupakan hasil karya saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang

masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Oktober 2017

FITRI ARDIANTI

130803077


iii

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT Yang Maha Pemurah dan

Maha Penyayang, dengan limpah karunia-Nya Penulis dapat menyelesaikan

penyusunan skripsi ini dengan judul Skripsi “Penaksiran Parameter pada

Distribusi Rayleigh menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode

Bayes”.

Terima kasih penulis sampaikan kepada Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku

pembimbing yang telah meluangkan waktunya selama penyusunan skripsi ini.

Terima kasih kepada Bapak Dr. Open Darnius, M.Sc dan Ibu Dr. Esther S M

Nababan, M.Sc selaku dosen pembanding 1 dan pembanding 2 yang memberikan

kritik dan saran yang membangun dalam menyelesaikan skripsi penulis.

Terimakasih kepada Bapak Dr. Drs. Suyanto, M.Kom dan Bapak Drs. Rosman

Siregar, M.Si selaku Ketua Departemen dan Sekertaris Departemen Matematika

FMIPA USU Medan, Bapak Dr. Kerista sebayang, M.S selaku Dekan FMIPA

USU Medan, seluruh Staff dan Dosen Matematika FMIPA USU serta pegawai

FMIPA USU. Terima kasih kepada kedua orangtua tercinta, Ayahanda Poniman

dan Ibunda Sugiati. Terima kasih kepada sahabat-sahabat yang terhimpun dalam

grup “Muslimah Kece” yaitu Dhira, Dilla, Indri, Mia, dan Shindi. Terima kasih

kepada teman-teman Pema Sekawasan USU yaitu Surya, Rozy, Lusi, dan Putri.

Terima kasih kepada keluarga PEMA FMIPA USU, teman-teman Matematika

2013 FMIPA USU serta rekan-rekan kuliah lainnya yang tidak dapat saya

sebutkan satu persatu namanya yang telah membantu penulis dalam

menyelesaikan skripsi ini. Semoga Allah SWT Yang Maha Esa akan

membalasnya.

Medan, Oktober 2017

FITRI ARDIANTI

130803077


iv



DAN METODE BAYES

ABSTRAK

Penelitian ini bertujuan untuk membandingkan metode Maximum Likelihood dan

metode Bayes dalam menaksir parameter Distribusi Rayleigh. Distribusi prior

untuk metode Bayes yang digunakan pada penelitian ini adalah prior Jeffrey.

Perbandingan kedua metode dilakukan melalui simulasi data pada berbagai

kondisi parameter dan ukuran sampel. Evaluasi terhadap kedua metode dilakukan

melalui pengamatan terhadap nilai bias dan MSE yang dihasilkan. Berdasarkan

simulasi data dari estimator yang diperoleh dengan menggunakan program R,

diketahui bahwa nilai bias dari kedua metode menunjukkan pola yang sama yakni

nilai bias yang semakin kecil dengan ukuran sampel semakin besar. Nilai bias

pada metode Bayes dengan fungsi kegurian loss function-L1 menunjukkan angka

yang semakin kecil dibandingkan dengan metode Maximum Likelihood dan

metode Bayes dengan fungsi kerugian precautionary loss function, entropy loss

function, dan loss function-L1. Sedangkan, untuk nilai MSE menunjukkan error

yang semakin besar dengan kondisi ukuran sampel semakin besar. Nilai MSE

metode Maksimum Likelihood lebih kecil dibandingkan nilai MSE pada metode

Bayes dengan fungsi kerugian precautionary loss function, entropy loss function,

dan loss function-L1. Penelitian ini menunjukkan bahwa tidak selamanya metode

Bayes lebih baik dibandingkan dengan metode Maximum Likelihood dalam

menaksir parameter.

Kata Kunci: Penaksiran Parameter, Distribusi Rayleigh, Metode Maximum

Likelihood, Metode Bayes


v

ESTIMATING PARAMETER OF RAYLEIGH DISTRIBUTION

BY USING MAXIMUM LIKELIHOOD METHOD

AND BAYES METHOD

ABSTRACT

This study aims to compare the Maximum Likelihood method and Bayes method

in estimating the Rayleigh Distribution parameter. The prior distribution for the

Bayes method used in this study is Jeffrey's priority. Comparison of both methods

is done by simulation of data on various condition of parameter and sample size.

Evaluation of both methods is done through observation of the bias and MSE

values generated. Based on the data simulation of estimator obtained by using

program R, it is known that the bias value of both methods shows the same pattern

that the smaller the bias value with the bigger the sample size. The bias value on

the Bayes under loss function-L1 method shows a smaller number compared to

Maximum Likelihood method and Bayes method with loss function loss

precautionary function, entropy loss function, and loss function-L1. Meanwhile,

for the MSE value shows an increasingly small error with the condition of the

larger the sample size. The MSE value of the Likelihood Maximum method is

smaller than the MSE value of the Bayes method with the loss function of

precautionary loss function, entropy loss function, and loss function-L1. This

study shows that Bayes method is not always better than Maximum Likelihood

method in estimating parameters.

Keywords: Estimation of Parameter, Rayleigh Distribution, Maximum Likelihood

Method, Bayes Method


vi

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN i

PERNYATAAN ii

PENGHARGAAN iii

ABSTRAK iv

ABSTRACT v

DAFTAR ISI vi

DAFTAR TABEL

DAFTAR GAMBAR

viii

ix

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Rumusan Masalah 4

1.3 Tujuan Penelitian 4

1.4 Batasan Masalah 5

1.5 Kontribusi Penelitian 5

1.6 Metodologi Penelitian 6

BAB 2 LANDASAN TEORI

2.1 Probabilitas Dasar 8

2.2 Peubah Acak 9

2.2.1 Peubah Acak Diskrit 10

2.2.2 Peubah Acak Kontinu 10

2.3 Ekspektasi dan Varians 11

2.3.1 Ekspektasi 11

2.3.2 Varians 14

2.4 Distribusi Gamma 15

2.4.1 Fungsi Gamma 16

2.4.2 Fungsi Kepadatan Probabilitas dan Fungsi

Distribusi Kumulatif Gamma

18

2.4.3 Ekspektasi dan Varians Distribusi Gamma 18

2.5 Distribusi Weibull 19


Kumulatif Distribusi Weibull

19

2.5.2 Ekspektasi dan Varians Distribusi Weibull 19

2.6 Distribusi Rayleigh 20


Kumulatif Distribusi Rayleigh

21

2.6.2 Ekspektasi dan Varians Distribusi Rayleigh 22

2.7 Fungsi Densitas Peluang Bersama 22

2.8 Fungsi Densitas Peluang Marginal 22

2.9 Distribusi Sampel 23


vii

2.10 Distribusi Bersyarat 24

2.11 Penaksiran Parameter 25

2.12.1 Metode Maximum Likelihood 26

2.12.2 Teorema Bayes

2.12.2.1 Distribusi Prior

2.12.2.2 Distribusi Posterior

2.12.2.3 Fungsi Risiko

27

29

30

31

2.12.3 Metode Evaluasi Estimator 34

BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Desain Penelitian 36

3.2 Metode Penyelesaian 36

BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Penaksiran Parameter pada Distribusi Rayleigh 39 4.1.1 Menentukan Estimator Parameter dengan

Metode Maximum Likelihood 40 4.1.2 Menentukan Estimator Parameter dengan

Metode Bayes 42

4.1.2.1 Menentukan Distribusi Prior Non-

Informatif Distribusi Rayleigh

42

4.1.2.2 Menentukan Distribusi Posterior

Distribusi Rayleigh 43

4.1.2.3

4.1.2.4

Menentukan Fungsi Densitas

Marginal Distribusi Rayleigh 44

Menetukan Estimator Bayes 46 4.2 Simulasi Data menggunakan Program R 53

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan 55 5.2 Saran 56

DAFTAR PUSTAKA 57


viii

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

Tabel

4.1 Nilai Bias Estimasi Distribusi Rayleigh 53

4.2 Nilai MSE Estimasi Distribusi Rayleig 54


ix

DAFTAR GAMBAR

Nomor

Gambar Judul Halaman

2.1

2.2

3.1

Empat kejadian 𝐵𝑖 untuk 𝑖 = 1,⋯ , 4 merupakan partisi dari

himpunan semesta U, sekitar kejadian A

Himpunan semesta berkurang mengingat kejadian A telah

terjadi, bersama dengan mempartisi empat kejadian

himpunan semesta

Diagram Alir

28

29

39


BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Pengetahuan tentang penaksiran parameter menjadi hal yang sangat penting. Para

peneliti, administrator dalam bidang pendidikan, bisnis, atau pemerintah, dan

pengamat politik semuanya berkepentingan dalam masalah penaksiran (Walpole,

1997). Penaksiran yang dilakukan harus dapat dipertanggungjawabkan yang

dinyatakan dengan tingkat keyakinan dari hasil taksiran yang diperoleh. Banyak

pihak sangat berkepentingan dengan masalah penaksiran ini. Penaksiran

parameter merupakan salah satu teknik pengambilan keputusan tentang suatu

parameter populasi. Penaksiran parameter dan pengujian hipotesis merupakan

teori statistika inferensi. Statistika inferensi merupakan salah satu cabang

statistika yang digunakan dalam penarikan kesimpulan atau generalisasi mengenai

suatu populasi (Waluyo, 2001). Statistika inferensi meliputi metode analisis,

interpretasi, dan prediksi berdasarkan hasil sampel dalam membantu penarikan

kesimpulan suatu populasi.

Statistika inferensi dapat dikelompokkan ke dalam dua teknik utama, yaitu

penaksiran parameter dan pengujian hipotesis. Teknik ini menggunakan informasi

sampel dalam menentukan kesimpulan. Dalam teori keputusan, inferensi

didasarkan pada kombinasi informasi sampel beserta bagian-bagian lainnya yang

dianggap relevan dengan suatu persoalan tertentu agar dihasilkan keputusan yang

terbaik. Penaksiran adalah proses yang menggunakan sampel (statistik) untuk

mengestimasi hubungan parameter populasi yang tidak diketahui. Jadi dengan

penaksiran, keadaan parameter populasi dapat diketahui (Hasan & Iqbal, 2002).

Nilai dugaan yang diperoleh dari statistik contoh acak akan menghasilkan

nilai yang berbeda dengan berbedanya contoh acak yang diambil. Dengan

demikian, dalam penaksiran ini terdapat ketidakpastian (uncertainty). Karena

ketidakpastian ini, maka suatu penaksir yang baik harus memiliki sifat-sifat


2

tertentu agar penaksiran yang dihasilkan memberikan nilai taksiran yang terbaik.

Penaksir yang memiliki sifat terbaiklah yang akan digunakan sebagai penaksir

sebuah parameter. Suatu penaksir yang baik adalah bila nilai tengah sebaran

penaksir tersebut sama dengan parameter sebarannya. Penaksir yang bersifat

demikian disebut penaksir tak berbias (unbiased). Selain penaksir tak berbias, ciri

penaksir yang baik adalah memiliki variansi minimum, yakni penaksir yang

memiliki varians terkecil diantara seluruh penaksir untuk parameter yang sama

dan penaksir yang konsistensi, yakni apabila ukuran sampel n mendekati ukuran

populasi dan menyebabkan θ mendekati (Gurajati, 1998).

Secara umum penaksiran parameter digolongkan menjadi dua yaitu

penaksiran titik (point estimation) dan penaksiran interval (interval estimation).

Penaksiran titik (point estimation) merupakan penaksiran dari sebuah parameter

populasi yang dinyatakan oleh bilangan tunggal.

Penaksiran interval (interval estimation) merupakan penaksiran dari

parameter populasi yang dinyatakan dengan dua buah bilangan diantara posisi

parameternya diperkirakan berbeda. Penaksiran interval mengindikasikan tingkat

kepresisian atau akurasi dari sebuah penaksiran sehingga penaksiran interval akan

dianggap semakin baik jika mendekati penaksiran titik. (Murrary & Larry, 1999).

Karakteristik yang berkaitan dengan sampel disebut sebagai statistik, sedangkan

karakteristik yang berkaitan dengan populasi disebut dengan parameter.

Sedangkan nilai sampel statistik yang digunakan untuk mengestimasi parameter

populasi disebut dengan estimator. Parameter adalah ukuran seluruh populasi

yang diwakili oleh nilai estimasi. Parameter populasi pada umumnya tidak

diketahui karena banyaknya anggota populasi.

Teori penaksiran sering dipakai sebagai prosedur untuk mencari parameter

dari sebuah model yang paling cocok pada suatu data pengamanan yang ada.

Dalam analisis keandalan (reliabilitas) dan teori antrian, penaksiran parameter

digunakan untuk mencari parameter dari distribusi yang berkaitan dengan data

yang dimiliki.


3

Beberapa penelitian seperti di bidang Biologi, Fisika, Pertanian dan

Kedokteran biasanya akan menghasilkan data yang berhubungan dengan waktu

hidup dari suatu individu. Data waktu hidup merupakan variabel random non

negatif. Analisis statistika yang digunakan untuk menganalisis data waktu hidup

tersebut disebut analisis tahan hidup (survival).

Analisis uji hidup merupakan suatu analisis terhadap individu-individu suatu

populasi dengan memusatkan perhatian pada lamanya waktu individu

menjalankan fungsinya dengan baik sampai kematian individu tersebut, yang

dinyatakan dengan fungsi selamat dan fungsi bahaya. Fungsi distribusi tahan

hidup yang didasarkan pada pengetahuan atau asumsi tertentu tentang distribusi

populasinya termasuk dalam fungsi parametrik. Beberapa distribusi yang dapat

digunakan dalam menggambarkan waktu hidup antara lain distribusi

Eksponensial, distribusi Weibull, distribusi Gamma, distribusi Rayleigh, dan lain-

lain (Lawless, 1982). Berdasarkan beberapa distribusi tersebut dipilih fungsi tahan

hidup berdistribusi Rayleigh pada penelitian ini.

Pada teori estimasi dapat dilakukan dengan dua metode yaitu metode klasik

dan metode bayes. Metode klasik sepenuhnya mengandalkan proses infernsi pada

data sampel yang diambil dari populasi, sedangkan metode bayes disamping

memanfaatkan data sampel yang diperoleh dari populasi juga memperhitungkan

suatu distribusi awal yang disebut distribusi prior (Box & Tiao, 1973). Metode

statistik klasik terdiri dari metode kuadrat terkecil (least square method), metode

momen, dan metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood method).

Salah satu metode yang paling sering digunakan untuk menaksir parameter

suatu distribusi adalah metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood

method). Memaksimumkan fungsi likelihood biasanya dilakukan dengan metode

derivatif (turunan). Pendugaan maksimum likelihood mempunyai sifat-sifat

penting yaitu: tak bias secara asimtotik (ada kemungkinan akan berbias pada

sampel kecil) tapi sangat baik pada sampel berukuran besar, konsisten, efisien

secara asimtotis, invarian pada skala pengukuran (satuan pengukuran tidak

mempengaruhi nilai dugaan parameter model) (Bollen, 1989).


4

Metode klasik memandang parameter sebagai besaran tetap yang tidak

diketahui harganya, dan inferensi didasarkan hanya pada informasi dalam sampel.

Metode bayes memandang parameter sebagai variabel yang menggambarkan

pengetahuan awal tentang parameter sebelum pengamatan dilakukan dan

dinyatakan dalam suatu distribusi yang disebut sebagai distribusi prior (Bolstad,

2007). Sedangkan penentuan distribusi prior yang tidak didasarkan pada data yang

ada disebut non-informatif prior. Setelah pengamatan dilakukan, informasi dalam

distribusi prior dikombinasikan dengan informasi dengan data sampel melalui

teorema Bayes, dan hasilnya dinyatakan dalam bentuk distribusi yang disebut

distribusi posterior yang selanjutnya menjadi dasar untuk inferensi dalam metode

Bayes (Berger, 1990).

Langkah-langkah yang dilakukan adalah mencari distribusi non-informatif

prior yang kemudian digabungkan dengan informasi sampel melalui teorema

bayes sehingga dihasilkan distribusi posterior (Albert, 2009). Selanjutnya bisa

dicari distribusi posterior marginal untuk tiap parameter dari distribusi posterior

yang terbentuk.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian dari latar belakang penelitian ini, maka rumusan masalah pada

penelitian ini adalah bagaimana mencari estimator parameter dari distribusi

Rayleigh dengan menggunakan metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes

dengan beberapa fungsi kerugian yang digunakan, kemudian akan dilakukan

simulasi data terhadap estimator yang telah diperoleh dengan menggunakan

program R untuk melihat metode yang terbaik diantara kedua metode tersebut

dalam menaksir parameter .

1.3 Tujuan Penelitian

Menentukan estimator parameter dari distribusi Rayleigh dengan metode

Maximum Likelihood dan Metode Bayes, kemudian akan dilakukan simulasi data


5

terhadap estimator yang telah diperoleh dengan menggunakan program R untuk

melihat metode yang terbaik diantara kedua metode tersebut dalam menaksir

parameter .

1.4 Batasan Masalah

Batasan masalah pada penelitian ini adalah:

1. Distribusi yang dipakai pada penelitian ini adalah distribusi Rayleigh dengan

satu parameter.

2. Penaksiran yang dilakukan pada penelitian ini adalah penaksiran titik (point

estimation).

3. Metode yang digunakan untuk melakukan penaksiran terhadap parameter

pada penelitian ini adalah metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes.

4. Fungsi kerugian yang digunakan pada Metode Bayes adalah precautionary

loss function, entropy loss function, dan loss function-L1 sebagai bahan

perbandingan.

1.5 Kontribusi Penelitian

1. Mengembangkan dan menerapkan probabilitas dan statistika dengan teorema

Maximum Likelihood dan teorema Bayes serta memperlihatkan prosedur

penggunaan metode Maximum Likelihood dan metode Bayes dalam menduga

parameter dari distribusi Rayleigh serta melihat perbandingan metode yang

menghasilkan penaksiran yang baik.

2. Menerapkan metode Maximum Likelihood dan metode Bayes dalam

penunjang ilmu matematika statistika dan probabilitas sehingga dapat

meningkatkan penguasaan dan pemikiran teknik estimasi yang lebih baik serta

memudahkan dalam pengambilan keputusan pada tingkat populasi.

3. Bahan acuan tambahan untuk penelitian sejenis di masa akan datang.


6

1.6 Metodologi Penelitan

Metodologi yang digunakan pada penelitian ini adalah studi literatur. Berikut

tahapan-tahapan studi literatur yang digunakan untuk menyelesaikan

permasalahan didalam penelitian ini.

1. Studi literatur

Pada tahap ini dilakukan studi literatur tentang penaksiran parameter pada

distribusi Rayleigh dengan Metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes.

Adapun teori pendukung yang digunakan seperti penaksiran parameter,

distribusi Rayleigh, Metode Maximum Likelihood, Metode Bayes, dan teori-

teori pendukung lainnya.

2. Melakukan penaksiran parameter pada Distribusi Rayleigh

Pada tahap ini dilakukan penaksiran parameter pada Distribusi Rayleigh

menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes sehingga

diperoleh estimator dari setiap parameter menggunakan studi literatur yang

berkaitan. Adapun langkah-langkah dalam melakukan penaksiran parameter

pada distribusi Rayleigh adalah sebagai berikut:

2.1 Melakukan estimasi Maksimum Likelihood

a. Menentukan fungsi likelihood berdasarkan distribusi Rayleigh.

b. Menentukan logaritma natural (ln) pada fungsi likelihood berdasarkan

distribusi Rayleigh.

c. Melakukan differensial fungsi likelihood berdasarkan distribusi

Rayleigh sebagai konsekuensi memaksimumkan parameter distribusi

Rayleigh terhadap parameter, dan kemudian menyamakan persamaan

dengan nol.

2.2 Melakukan estimasi Bayes

a. Menentukan distribusi prior dengan aturan Jeffrey’s yang menyatakan

bahwa distribusi prior merupakan akar dari informasi Fisher.


7

b. Menentukan distribusi posterior distribusi Rayleigh.

c. Menentukan fungsi densitas marginal distribusi Rayleigh.

d. Menentukan fungsi densitas posterior.

e. Melakukan estimasi Bayes berdasarkan fungsi densitas posterior yang

diperoleh dengan fungsi kerugian precautionary loss function, entropy

loss function, dan loss function-L1.

3. Membandingkan Metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes

Pada tahap ini dilakukan perbandingan metode Maximum Likelihood dan

metode Bayes berdasarkan simulasi data yang diperoleh dengan program R.

Adapun langkah-langkah untuk melakukan perbandingan adalah sebagai

berikut:

a. Membangkitkan data berdistribusi Rayleigh dengan program R untuk

metode Maximum Likelihood maupun metode Bayes.

b. Menentukan ukuran sampel.

c. Menghitung nilai bias dan nilai Mean Square Error (MSE) dari kedua

metode untuk membandingkan hasil penaksiran parameter antara

metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes dengan beberapa

fungsi kerugian yang digunakan.

d. Membuat tabel perbandingan nilai bias dan nilai Mean Square Error

(MSE) dari kedua metode tersebut dari data berdistribusi Rayleigh

yang dibangkitkan dengan program R.

4. Analisis dan Kesimpulan

Pada tahap ini dilakukan analisis dari hasil perbandingan antara Metode

Maximum Likelihood dan Metode Bayes yang selanjutnya akan diambil

suatu kesimpulan terhadap metode yang terbaik dalam menaksir parameter.


BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Probabilitas Dasar

Istilah percobaan atau percobaan statistik telah digunakan untuk menjelaskan

sembarang proses yang menghasilkan satu atau lebih ukuran bagi faktor

kebetulan. Sering kali, kita tidak tertarik pada keterangan rinci setiap titik contoh,

namun hanya pada suatu keterangan numerik hasil percobaan. Dalam mempelajari

dasar-dasar teori statistika kita sudah mengetahui bahwa statistika merupakan

suatu alat dan juga metode analisa yang digunakan untuk mengevaluasi data di

mana pada akhirnya akan diperoleh suatu kesimpulan dari data sampel yang ada.

Dari semua alat analisa yang ada, maka konsep probabilitas merupakan salah satu

alat analisa yang cukup penting untuk diketahui, karena dalam statistik modern

sekarang ini konsep teori probabilitas banyak sekali digunakan dalam

memecahkan masalah yang ada.

Andrei Kolgomorov (1930-1987) meletakkan landasan matematis teori

probabilitas dan teori acak. Dalam tulisannya, Kolgomorov menggunakan teori

probabilitas dalam mempelajari pergerakan planet dan turbulensi aliran udara.

Kontribusi penting lainnya adalah proses stokastik, informasi, mekanika statistik

dan dinamika nonlinear.

Konsep probabilitas memungkinkan peneliti dalam mengolah statistika

deskriptif ke dalam statistika inferensial. Asal teori probabilitas adalah modelisasi

peluang permainan. Probabilitas muncul dari kolaborasi antara Blaise Pascal dan

Pierre de Fermat dalam menemukan peluang dari suatu permainan. Sejak

kolaborasi tersebut probabilitas lebih banyak digunakan kepada permainan hingga

abad ke 18, ketika Pierre di Laplace dan Karl F Gauss menggunakan aturan dasar

probabilitas terhadap masalah fisis lainnya.

Kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang dihasilkan dari suatu

percobaan statistik dievaluasi dengan segugus (himpunan) bilangan riil yang


9

disebut bobot atau probabilitas dengan berjangkauan 0 sampai 1. Untuk setiap

titik di dalam ruang contoh tersebut kita menetapkan suatu probabilitas

sedemikian rupa sehingga jumlah semua probabilitas adalah 1. Untuk

mendapatkan probabilitas dari suatu kejadian 𝐴, kita menjumlahkan semua

probabilitas yang diketahui titik-titik contoh dalam 𝐴. Jumlah ini disebut

probabilitas dari 𝐴 dan ditandai dengan 𝑃 𝐴 .

Definisi 2.1

Andaikan S adalah ukuran sampel yang berhubungan dengan sebuah eksperimen.

Untuk setiap kejadian 𝐴 dalam 𝑆 (𝐴 himpunan bagian dari 𝑆), kita ambil sebuah

angka, 𝑃 𝐴 yang disebut dengan probabilitas 𝐴 (Wackerly et al. 2008). Jadi,

berikut axioma:

Axioma 1 : 𝑃 𝐴 ≥ 0

Axioma 2 : 𝑃 𝑆 = 0

Axioma 3 : Jika 𝐴1,𝐴2, 𝐴3, ⋯ bentuk barisan kejadian saling lepas pada S

(itu berarti 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅, jika 𝑖 ≠ 𝑗, kemudian:

𝑃 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 ⋯ = 𝑃 𝐴𝑖 ∞𝑖=1

2.2 Peubah Acak

Eksperimen probabilitas memiliki keluaran (outcome) yang bisa berupa suatu nilai

numerik (angka/bilangan), suatu cacahan/hitungan, atau suatu hasil pengukuran

(measurement). Variabel acak (random variable), biasa ditandai dengan sebuah

simbol seperti 𝑋, adalah variabel yang memiliki sebuah nilai numerik tunggal

untuk setiap keluaran dari sebuah eksperimen probabilitas. Dengan kata lain, nilai

tertentu dari 𝑋 dalam sebuah eksperimen adalah suatu kemungkinan keluaran

yang acak.

Definisi 2.2

Peubah acak adalah suatu fungsi yang menghubungkan sebuah bilangan real

dengan setiap unsur di dalam ruang sampel (Walpole dan Myers, 1998).


10

2.2.1 Peubah Acak Diskrit

Definisi 2.3

Jika himpunan seluruh nilai yang mungkin dari peubah acak 𝑋 adalah suatu

himpunan yang dapat dicacah sedemikian rupa 𝑥1,𝑥2,𝑥3,⋯ ,𝑥𝑛 atau

𝑥1,𝑥2,𝑥3, ⋯ ,𝑥𝑛 disebut sebagai variabel acak diskrit. Bagi suatu peubah acak

diskrit 𝑋, didefinisikan fungsi massa peluang 𝑃𝑋 𝑥 sebagai:

𝑃𝑋 𝑥 = 𝑃 𝑋 = 𝑥 (2.1)

Fungsi massa peluang 𝑃 𝑥 bernilai positif, untuk sejumlah nilai x tercacah.

Dengan kata lain, jika 𝑋 mengambil salah satu dari nilai 𝑥1,𝑥2,𝑥3,⋯ , 𝑥𝑛 maka

peubah acak diskrit 𝑋 dengan nilai yang mungkin 𝑥1, 𝑥2,𝑥3, ⋯ , 𝑥𝑛 fungsi massa

peluang adalah fungsi yang memenuhi kriteria berikut:

1) 𝑝 𝑥𝑖 ≥ 0; 𝑖 = 1, 2,⋯

2) 𝑝 𝑥𝑖 𝑛𝑖=1 = 1

3) 𝑝 𝑥𝑖 = 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖

2.2.2 Peubah Acak Kontinu

Definisi 2.4

Sebuah peubah acak 𝑋 berdistribusi kontinu jika terdapat fungsi f tak negatif,

terdefinisi pada garis bilangan riil, sehingga setiap interval pada bilangan riil

(berbatas atau tak berbatas), probabilitas bahwa 𝑋 yang berada pada interval

tersebut merupakan jumlahan daerah f pada interval tersebut. Sebagai contoh,

keadaan yang menggambarkan definisi di atas, dengan batas dalam interval

tertutup [a,b].

𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Berimplikasi pada:

𝑃 𝑋 ≥ 𝑎 = ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞

𝑎 dan 𝑃 𝑋 ≤ 𝑏 = ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 (2.2)

𝑏

−∞


11

Berdasarkan karakteristik 𝑓 distribusi variabel acak kontinu dengan cara yang

sama menyatakan bahwa fungsi probabilitas berkarakteristik distribusi peubah

acak kontinu. Fungsi kepadatan peluang 𝑓 dapat digunakan untuk

menggambarkan distribusi probabilitas peubah acak kontinu. Jika suatu interval

memuat kemiripan nilai 𝑋, probabilitasnya besar dan berkorespondensi dengan

𝑓 𝑥 . Memenuhi ketiga kaidah berikut:

1) 𝑓 𝑥 ≥ 0

2) ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞

−∞= 1

3) 𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

Distribusi probabilitas adalah visualisasi peubah acak 𝑋 dalam bentuk kurva.

Ketika 𝑋 merupakan peubah acak berbatas, himpunan probabilitas yang

digambarkan terhadap nilai yang mungkin disebut probabilitas 𝑋.

Jika 𝑋 adalah peubah acak berbatas, dengan nilai-nilai 𝑛1, 𝑛2,⋯ maka

daftar distribusi probabilitas bekaitan dengan 𝑋 = 𝑛1,𝑋 = 𝑛2, ⋯ Jumlah seluruh

probabilitas selalu sama dengan 1.

Ingat bahwa 𝑋 merupakan variabel acak, sedangkan 𝑥 merupakan nilai

spesifik dari variabel acak 𝑋. Berakibat jika 𝑥 = 2 maka probabilitas 𝑃 𝑋 = 𝑥

berarti 𝑃 𝑋 = 2 , probabilitas bahwa 𝑋 adalah 2. Hal yang sama jika 𝑌

merupakan peubah acak maka 𝑃 𝑌 = 𝑦 probabilitas 𝑌 dengan nilai khusus 𝑦.

2.3 Ekpektasi dan Varians

Berikut ini akan dijelaskan pengertian serta sifat-sifat dari ekspektasi dan varians.

2.3.1 Ekspektasi

Dalam suatu pengukuran eskperimen, hasil pengukuran eksperimen seringkali

menghasilkan variasi. Ukuran-ukuran yang menggambarkan karakteristik sampel

berkorespondensi dengan karakteristik populasi. Secara sederhana karakteristik

tersebut digambarkan sebagai nilai harapan atau lebih dikenal dengan mean.

Secara matematis dinyatakan dengan formula berikut:


12

1) Peubah Acak Diskrit

𝜇𝑥 = 𝐸 𝑋 = 𝑥𝑖𝑃 𝑥𝑖 𝑛𝑖=1 (2.3)

2) Peubah Acak Kontinu

𝜇𝑥 = 𝐸 𝑋 = ∫ 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞

−∞ (2.4)

Sifat-sifat Ekspektasi:

1) 𝐸 𝑏 = 𝑏 (2.5)

Bukti: 𝐸 𝑋 = ∫ 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞

−∞

𝐸 𝑏 = 𝑏

Substitusi 𝑋 = 𝑏 maka 𝐸 𝑏 = ∫ 𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞

−∞, karena b merupakan

konstanta maka berlaku:

𝐸 𝑏 = ∫ 𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞

−∞, karena ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

∞

−∞= 1, maka

𝐸 𝑏 = 𝑏. 1

∴ 𝐸 𝑏 = 𝑏 ∎

2) 𝐸 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎𝐸 𝑋 + 𝑏 (2.6)

Bukti: Misalkan 𝑋 adalah suatu peubah acak dengan a dan b merupakan suatu

tetapan, maka

𝐸 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎𝐸 𝑋 + 𝑏

𝐸 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

∞

−∞

= 𝑎 ∫ 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑏 ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞

−∞

∞

−∞

Karena ∫ 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐸 𝑋 ∞

−∞, dan ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1

∞

−∞,

∴ 𝐸 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎𝐸 𝑋 + 𝑏 ∎


13

3) 𝐸 𝑔 𝑋,𝑌 ± 𝑕 𝑋, 𝑌 = 𝐸 𝑔 𝑋,𝑌 ± 𝐸 𝑕 𝑋,𝑌 (2.7)

Bukti: 𝐸 𝑔 𝑋,𝑌 ± 𝑕 𝑋,𝑌 = ∫ ∫ 𝑔 𝑥, 𝑦 ± 𝑕 𝑥,𝑦 ∞

−∞𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦

∞

−∞

= ∫ ∫ 𝑔 𝑥, 𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 ±∞

−∞

∞

−∞

∫ ∫ 𝑕 𝑥, 𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦∞

−∞

∞

−∞

∴ 𝐸 𝑔 𝑋, 𝑌 ± 𝑕 𝑋, 𝑌 = 𝐸 𝑔 𝑋, 𝑌 ± 𝐸 𝑕 𝑋, 𝑌 ∎

4) 𝐸 𝑔 𝑋 ± 𝑕 𝑋 = 𝐸 𝑔 𝑋 ± 𝐸 𝑕 𝑋 (2.8)

Bukti: 𝐸 𝑔 𝑌 ± 𝑕 𝑌 = 𝐸 𝑔 𝑋 ± 𝐸 𝑕 𝑋

Karena 𝐸 𝑋 = ∫ 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞

−∞, maka substitusi 𝑌 = 𝑔 𝑋 ± 𝑕 𝑋 ,

sehingga diperoleh

𝐸 𝑌 = ∫ 𝑌𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞

−∞

𝐸 𝑌 = ∫ 𝑔 𝑋 ± 𝑕 𝑋 𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞

−∞

Berlaku;

𝐸 𝑌 = ∫ 𝑔 𝑋 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔 𝑋 ∞

−∞𝑓 𝑋 𝑑𝑥

∞

−∞

𝐸 𝑔 𝑋 ± 𝑕 𝑋 = ∫ 𝑔 𝑋 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔 𝑋 ∞

−∞𝑓 𝑋 𝑑𝑥

∞

−∞

∴ 𝐸 𝑔 𝑋 ± 𝑕 𝑋 = 𝐸 𝑔 𝑋 ± 𝐸 𝑕 𝑋 ∎

5) 𝐸 𝑋𝑌 = 𝐸 𝑋 𝐸 𝑌 (2.9)

Bukti: 𝑋 dan 𝑌 adalah dua peubah acak bebas, maka

𝐸 𝑋𝑌 = 𝐸 𝑋 𝐸 𝑌

Menurut definisi,

𝐸 𝑋𝑌 = ∫ ∫ 𝑥𝑦𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦∞

−∞

∞

−∞

Karena 𝑋 dan 𝑌 adalah bebas, dapat kita tuliskan 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑕 𝑦 .

Dimana 𝑔 𝑥 dan 𝑕 𝑦 adalah sebaran marginal dari 𝑋 dan 𝑌. Oleh

sebab itu:

𝐸 𝑋𝑌 = ∫ ∫ 𝑥𝑦𝑔 𝑥 ∞

−∞𝑕 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦

∞

−∞

𝐸 𝑋𝑌 = ∫ 𝑥𝑔 𝑥 𝑑𝑥∞

−∞∫ 𝑦𝑕 𝑦 𝑑𝑦

∞

−∞

𝐸 𝑋𝑌 = ∫ 𝑥𝑔 𝑥 𝑑𝑥∞

−∞∫ 𝑦𝑕 𝑦 𝑑𝑦

∞

−∞

∴ 𝐸 𝑋𝑌 = 𝐸 𝑋 𝐸 𝑌 ∎


14

2.3.2 Varians

Pengukuran suatu variabel memungkinkan untuk mempermudah pemahaman

mengenai suatu data. Untuk mengetahui seberapa besar tingkat variabilitas sampel

yang berhubungan dengan populasi didefinisikan oleh 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋 − 𝜇 2 ,

secara lebih jelas diperlihatkan oleh:

1) Variabel Acak Diskrit

𝜎2 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑋 − 𝜇 2𝑝 𝑥𝑖 𝑛𝑖=0 (2.10)

2) Variabel Acak Kontinu

𝜎2 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = ∫ 𝑋 − 𝜇 2𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞

−∞ (2.11)

Varians untuk kasus kontinu dapat dijabarkan sebagai berikut:

𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋 − 𝜇 2

𝑉𝑎𝑟 𝑋 = ∫ 𝑋 − 𝜇 2∞

−∞𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑉𝑎𝑟 𝑋 = ∫ 𝑋2 − 2𝑋𝜇 + 𝜇2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞

−∞

= ∫ 𝑋2 − 2𝑋𝜇 + 𝜇2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞

−∞

= ∫ 𝑋2𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − 2𝜇 ∫ 𝑋𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞

−∞+ 𝜇2 ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

∞

−∞

∞

−∞

𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 2𝜇𝐸 𝑋 + 𝜇2

Karena 𝜇 = 𝐸 𝑋 , maka diperoleh:

𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸 𝑋 2

Sifat-sifat Varians:

1) 𝑉𝑎𝑟 𝑐 = 0 (2.12)

Bukti: Berdasarkan definisi dari perumusan varians, maka:

𝑉𝑎𝑟 𝑐 = 𝐸 𝑐 − 𝐸 𝑐 2

= 𝐸 𝑐 − 𝑐 2

= 𝐸 0

∴ 𝑉𝑎𝑟 𝑐 = 0 ∎


15

2) 𝑉𝑎𝑟 𝑐𝑋 = 𝑐2𝑉𝑎𝑟 𝑋 (2.13)


𝑉𝑎𝑟 𝑐𝑋 = 𝐸 𝑐𝑋 − 𝐸 𝑐𝑋 2

= 𝐸 𝑐𝑋 − 𝐸 𝑐𝑋 2

= 𝐸 𝑐𝑋 − 𝑐𝐸 𝑋 2

= 𝐸 𝑐2𝐸[𝑋 − 𝐸(𝑥) 2

∴ 𝑉𝑎𝑟 𝑐𝑋 = 𝑐2𝑉𝑎𝑟[𝑋] ∎

3) 𝑉𝑎𝑟 𝑋 + 𝑐 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 (2.14)


𝑉𝑎𝑟 𝑋 + 𝑐 = 𝐸 𝑋 + 𝑐 − 𝐸 𝑋 + 𝑐 2

= 𝐸 𝑋 + 𝑐 − 𝐸 𝑋 − 𝐸(𝑐) 2

= 𝐸 𝑋 + 𝑐 − 𝐸 𝑋 − 𝑐 2

= 𝐸 𝑋 − 𝐸 𝑋 2

∴ 𝑉𝑎𝑟 𝑋 + 𝑐 = 𝑉𝑎𝑟[𝑋] ∎

2.4 Distribusi Gamma

Distribusi Gamma merupakan salah satu alternatif model yang banyak digunakan

dalam eksperimen yang menunjukkan distribusi yang tidak simetris. Meskipun

distribusi normal memiliki peranan yang luas di berbagai bidang, dalam

kenyatannya terdapat situasi di mana hasil-hasil eksperimen menunjukkan

distribusi yang tidak simetris ataupun tidak menunjukkan kecendrungan simetris.

Dalam kasus-kasus semacam ini, model distribusi normal tidak dapat memberikan

hasil yang tepat jika digunakan. Untuk eksperimen-eksperimen probabilitas yang

hasilnya menunjukkan suatu bentuk distribusi yang mempunyai variasi ukuran

kemencengan yang cukup signifikan.


16

2.4.1 Fungsi Gamma

Didefinisikan untuk 𝛼 > 0, fungsi Gamma Γ 𝛼 adalah:

Γ 𝛼 = 𝑥𝛼−1𝑒−𝑥𝑑𝑥

∞

0

(2.15)

Sifat-sifat penting fungsi Gamma antara lain:

1) Γ 𝛼 = α − 1 Γ 𝛼 − 1 atau

Γ 𝛼 − 1 =Γ 𝛼

𝛼 − 1 ; 𝛼 > 1 (2.16)

Bukti: Berdasarkan persamaan (2.15) jika dilakukan integral parsial dari

fungsi Gamma dengan 𝑢 𝑥 = 𝑥𝛼−1 dan 𝑑𝑣 𝑥 = 𝑒𝑥𝑑𝑥, sehingga

diperoleh:

𝑢 𝑥 = 𝑥𝛼−1 → 𝑑𝑢 𝑥 = 𝛼 − 1 𝑥𝛼−2𝑑𝑥

𝑑𝑣 𝑥 = 𝑒−𝑥𝑑𝑥 → 𝑣 𝑥 = ∫ 𝑒−𝑥∞

0𝑑𝑥 = −𝑒−𝑥

sehingga

Γ 𝛼 = ∫ 𝑢 𝑥 𝑑𝑣 𝑥 ∞

0

= 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 − ∫ 𝑣 𝑥 𝑑𝑢 𝑥 ∞

0

= 𝑥𝛼−1 − 𝑒−𝑥 − ∫ −𝑒−𝑥 𝛼 − 1 𝑥𝛼−2𝑑𝑥∞

0

= −𝑒−𝑥𝑥𝛼−1|∞0

+ 𝛼 − 1 ∫ 𝑥𝛼−2 −𝑒−𝑥 𝑑𝑥∞

0

= 0 + 𝛼 − 1 Γ 𝛼

= 𝛼 − 1 Γ 𝛼 − 1

∴ Γ 𝛼 = α − 1 Γ 𝛼 − 1 , 𝛼 > 1 ∎

2) Untuk sebuah bilangan bulat positif 𝑛,

Γ 𝑛 = 𝑛 − 1 ! (2.17)

Bukti: Berdasarkan persamaan (2.17), dapat diperoleh

Γ 𝛼 = α − 1 Γ 𝛼 − 1 , dengan cara yang sama akan dihasilkan

Γ 𝑛 = n − 1 n − 2 Γ 𝑛 − 2

= n − 1 n − 2 ⋯ Γ 1

dalam hal ini,


17

Γ 1 = ∫ x0e−x dx = −e−x |∞0

1

0

= −𝑒−∞ − −𝑒0

= 0 − (−1)

=1

Sehingga diperoleh,

Γ 𝛼 = α − 1 α − 2 ⋯ 1

∴ Γ 𝛼 = α − 1 ! ∎

3) Didefinisikan

Γ 1

2 = π (2.18)

Bukti: Γ 𝛼 = ∫ 𝑥𝛼−1𝑒−𝑥𝑑𝑥∞

0

Γ 1

2 = ∫ 𝑥

1

2−1𝑒−𝑥𝑑𝑥

∞

0

Γ 1

2 = lim𝑘→∞ ∫ 𝑥−

1

2𝑒−𝑥𝑑𝑥𝑘

0

Fungsi di atas dijadikan dalam bentuk polar, maka pertama-tama

misalkan sebagai berikut:

Substitusi 𝑥 = 𝑢2 →𝑑𝑥

𝑥𝑢= 2𝑢 ke persamaan (2.19)

Γ 1

2 = lim𝑘→∞ ∫ 𝑢2 −

1

2𝑒−𝑢2 1

2𝑢𝑑𝑢

𝑘

0

Γ 1

2 = lim𝑘→∞ ∫ 𝑢−1 𝑒−𝑢2 1

2𝑢𝑑𝑢

𝑘

0

= lim𝑘→∞ ∫ 𝑒−𝑢2 1

2𝑑𝑢

𝑘

0

=1

2lim𝑘→∞ ∫ 𝑒−𝑢2

𝑑𝑢𝑘

0

karena;

𝐼2 = ∫ 𝑒−𝑢2𝑑𝑢

∞

0∫ 𝑒−𝑣2

𝑑𝑣∞

0

𝐼2 = ∫ ∫ 𝑒−𝑢2−𝑣2𝑑𝑢

∞

0

∞

0𝑑𝑣

𝐼2 = ∫ ∫ 𝑒−𝑟2𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

∞

0

2𝜋

0

𝐼2 = ∫ 𝑑𝜃 ∫ 𝑒−𝑟22𝑟𝑑𝑟 = 4𝜋

∞

0

2𝜋

0


18

sehingga;

Γ 1

2 = lim𝑘→∞ ∫ 𝑢−1 𝑒−𝑢2 1

2𝑢𝑑𝑢

𝑘

0

=1

2lim𝑘→∞ ∫ 𝑒−𝑢2

𝑑𝑢𝑘

0

=1

2 2 𝜋

= 𝜋

∴ Γ 1

2 = 𝜋 ∎

2.4.2 Fungsi Kepadatan Probabilitas dan Fungsi Distribusi Kumulatif

Gamma

Definisi 2.5

Sebuah variabel acak 𝑌 dikatakan memiliki distribusi gamma dengan parameter

𝛼 > 0 dan 𝛽 > 0 jika dan hanya jika fungsi densitas dari 𝑌 adalah:

𝑓 𝑌 = 𝑦𝛼−1𝑒

−𝑦𝛽

𝛽𝛼Γ 𝛼 , 0 ≤ 𝑦 ≤ ∞

0 , 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

(2.19)

sedangkan fungsi distribusi kumulatif Gamma adalah (Wackerly et al. 2007):

𝐹𝐺 𝑌 = 𝑦𝛼−1𝑒

−𝑦𝛽

𝛽𝛼Γ 𝛼

𝑑

𝑐

𝑑𝑦 , 0 < 𝑐 < 𝑑 < ∞ (2.20)

2.4.3 Ekspektasi dan Varians Distribusi Gamma

Teorema 2.1

Jika 𝑌 merupakan distribusi gamma dengan parameter 𝛼 dan 𝛽, maka:

𝜇 = 𝐸 𝑌 = 𝛼𝛽 (2.21)

𝜎2 = 𝑉 𝑌 = 𝛼𝛽2 (2.22)


19

2.5 Distribusi Weibull

Distribusi Weibull meliputi distribusi Eksponensial dan distribusi Rayleigh

sebagai bentuk khususnya. Karena fungsi hazard dari distribusi ini adalah fungsi

turun ketika parameter bentuk 𝑐 lebih kecil daripada 1, konstan ketika 𝑐 sama

dengan 1 (kasus eksponensial), dan fungsi naik ketika 𝑐 lebih besar dari 1

(Johnson et al. 1994).


Weibull

Fungsi densitas probabilitas dari variabel acak 𝑋 Weibull adalah sebagai berikut

(Johnson et al. 1994):

𝑓 𝑥 =𝑐

𝛼 𝑥 − 휀0

𝛼 𝑐−1

𝑒− 𝑥−휀0

𝛼 𝑐

,𝑥 > 휀0 (2.23)

Fungsi distribusi kumulatif:

𝐹 𝑥 = 1 − 𝑒− 𝑥−휀0

𝛼 𝑐

, 𝑥 > 휀0 (2.24)

Fungsi survival atau keandalan:

𝑅 𝑥 = 1 − 𝐹 𝑥 = 𝑒− 𝑥−휀0

𝛼 𝑐

,𝑥 > 휀0 (2.25)

dari persamaan (2.25) dan (2.27), kita peroleh fungsi hazard sebagai berikut:

𝑕 𝑥 =𝑃 𝑥

𝑅 𝑥 =

𝑐

𝛼 𝑥 − 휀0

𝛼 𝑐−1

,𝑥 > 휀0 (2.26)

2.5.2 Ekspektasi dan Varians Distribusi Weibull

𝐸 𝑥 = 𝑏Γ 1 +1

𝑐 (2.27)

𝑉 𝑥 = 𝑏2Γ 1 +2

𝑐 − Γ 1 +

1

𝑐

2

(2.28)


20

2.6 Distribusi Rayleigh

Distribusi Rayleigh diperkenalkan oleh Lord Rayleigh (J.W. Strutt, 1880) dalam

Johnson (1994:456) sehubungan dengan masalah di bidang akustik. Distribusi

Rayleigh adalah kasus khusus dari distribusi Weibull dengan b = 2𝑏, c = 2 dan

m = 0 (Krishnamoorthy, 2006).

Miller (1964) dalam Johnson (1994: 456) memperoleh distribusi Rayleigh

sebagai distribusi probabilitas jarak dari sumber menuju titik 𝑌1,𝑌2 ,⋯ , 𝑌𝑁

pada

ruang Euclidean N-dimensi, dimana sYi ' adalah independen dan identik dengan

variabel distribusi 𝑁 0,𝜎2 .

Siddiqui (1962) dalam Johnson (1994: 456) menunjukkan bahwa luas

distribusi Rayleigh (kekuatan distribusi atau luas gelombang elektronik diterima

melewati medium yang menyebar) adalah distribusi asimtotik dari 2 dimensi jalan

acak. Polovko (1986) dalam Johnson (1994: 456) mencatat bahwa beberapa tipe

dari alat perlengkapan elektrovacuum mempunyai keistimewaan yang menua

dengan cepat seiring berjalannya waktu meskipun mereka tidak memiliki cacat

manufaktur.

Distribusi Rayleigh adalah distribusi yang tepat untuk memodelkan

beberapa unit hidup secara linear meningkatkan nilai hazard. Mengutip kerja

Hertz (1909) dan Skellam (1952) dengan cepat, Cliff dan Ord (1975) menunjuk

bahwa distribusi Rayleigh terdiri sebagai distribusi dari jarak antara seorang

individu dengan tetangga terdekatnya ketika pola yang renggang dihasilkan

dengan proses Poisson. Hirano (1986) telah menjelaskan laporan singkat

mengenai sejarah dan kekayaan dari distribusi ini (Johnson, et al. 1994).

Distribusi Rayleigh sering digunakan dalam bidang fisika yang

berhubungan dengan pemodelan proses seperti radiasi suara dan cahaya, tinggi

gelombang, dan kecepatan angin. Selain Distribusi Weibull, Distribusi Rayleigh

juga merupakan distribusi yang dianggap sesuai untuk menggambarkan distribusi

kecepatan angin.


21

Secara empiris, model distribusi Rayleigh mampu digunakan dengan baik

pada sejumlah proses desain dengan feedback yang sangat signifikan sebagai

bagian dari proses solusi. Pada perkembangan selanjutnya telah dilakukan

penelitian juga bahwa model kehandalan Rayleigh ini sangat mendekati data

defect yang sebenarnya dari proyek yang dikumpulkan pada upaya pengembangan

software. Pada tahun 1982, Trachtenberg memeriksa histori defect per bulan pada

proyek software yang diujinya dan menemukan bahwa pola dari defect yang

dihasilkan menyerupai kurva Rayleigh.

Pada tahun 1984, Gaffney dari divisi Federal System IBM mampu

memproyeksikan jumlah laten dari data defect yang diperkirakan muncul dengan

memodelan data yang dimilikinya menggunakan model Rayleigh (Gaffney, 1984).


Rayleigh

Sebuah variabel acak Rayleigh 𝑋 mempunyai fungsi densitas probabilitas sebagai

berikut:

𝑓 𝑥 =𝑥

𝜎2𝑒𝑥𝑝

−𝑥2

𝜎2 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ ∞, 𝜎 > 0 (2.29)

Fungsi distribusi kumulatif:

𝐹 𝑥 = 1 − 𝑒𝑥𝑝 −𝑥2

𝜎2 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ ∞,𝜎 > 0 (2.30)

Fungsi survival atau keandalan:

𝑅 𝑥 = 1 − 𝐹 𝑥 = 𝑒𝑥𝑝 −𝑥2

𝜎2 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ ∞,𝜎 > 0 (2.31)

dan fungsi hazard:

𝑕 𝑥 =𝑃(𝑥)

𝑅(𝑥)=

𝑥

𝜎2; 0 ≤ 𝑥 ≤ ∞,𝜎 > 0 (2.32)


22

2.6.2 Ekspektasi dan Varians Distribusi Rayleigh

𝐸 𝑥 = 𝜎 𝜋

2 (2.33)

𝑉𝑎𝑟 𝑥 = 𝜎2 2 −𝜋

2 (2.34)

2.7 Fungsi Densitas Peluang Bersama

Fungsi densitas peluang bersama dari k-dimensi variabel random diskrit 𝑋 =

𝑋1, 𝑋2, 𝑋3 ,⋯ , 𝑋𝑘 didefinisikan:

𝑓𝑋 𝑥1,𝑥2,𝑥3,⋯ ,𝑥𝑘 = 𝑃 𝑋1 = 𝑥1,𝑋2 = 𝑥2,⋯ , 𝑋𝑘 = 𝑥𝑘 (2.35)

untuk semua nilai 𝑥 = 𝑥1,𝑥2,𝑥3, ⋯ ,𝑥𝑛 dari 𝑋.

Sebuah k-dimensi nilai vektor variabel random 𝑋 = 𝑋1, 𝑋2 ,𝑋3 ,⋯ ,𝑋𝑘

kontinu dengan fungsi densitas bersama 𝑓 𝑥1,𝑥2,𝑥3, ⋯ ,𝑥𝑘 , maka fungsi densitas

kumulatifnya dapat tulis:

𝐹𝑋 𝑥1,⋯ , 𝑥𝑘 = ⋯

𝑥1

−∞

𝑓 𝑡1, ⋯ , 𝑡𝑘 𝑑𝑡1𝑑𝑡2

𝑥𝑘

−∞

⋯𝑑𝑡𝑘 (2.36)

untuk semua 𝑥 = 𝑥1, 𝑥2,𝑥3,… , 𝑥𝑘 .

2.8 Fungsi Densitas Peluang Marginal

Jika pasangan (𝑋1,𝑋2) adalah variabel random diskrit yang mempunyai fungsi

densitas peluang bersama 𝑓(𝑥1,𝑥2), maka fungsi densitas peluang marginal untuk

𝑋1 dan 𝑋2 adalah

𝐹1 𝑥1 = 𝑓 𝑥1,𝑥2 𝑥2 (2.37)

𝐹2 𝑥2 = 𝑓 𝑥1,𝑥2 𝑥1 (2.38)


23

Jika pasangan (𝑋1,𝑋2) adalah variabel random kontinu yang mempunyai fungsi

densitas peluang bersama 𝑓(𝑥1,𝑥2), maka fungsi densitas peluang marginal untuk

𝑋1 dan 𝑋2 adalah

𝐹1 𝑥1 = ∫ 𝑓 𝑥1, 𝑥2 𝑑𝑥2∞

−∞ (2.39)

𝐹2 𝑥2 = ∫ 𝑓 𝑥1,𝑥2 𝑑𝑥1∞

−∞ (2.40)

2.9 Distribusi Sampel

Bidang statistika inferensi pada dasarnya berkenaan dengan penempatan dan

prediksi, hasil suatu percobaan statistika dapat dicatat dalam bentuk numerik

ataupun aksara. Bila sepasang dadu dilantumkan dan jumlahnya merupakan hal

yang ingin diselidiki maka hasilnya dicatat dalam bentuk numerik.

Keseluruhan pengamatan yang ingin diteliti, berhingga atau tidak,

membentuk apa yang disebut populasi atau universum. Kata populasi pengamatan

yang diperoleh dari penelitian statistik yang menyangkut manusia. Sekarang

statistikawan menggunakan kata tersebut untuk menyatakan seluruh pengamatan

tentang hal yang ingin diselidiki, terlepas apa itu menyangkut orang, binatang,

ataupun benda lainnya. Banyaknya pengamatan dalam populasi dinamakan

ukuran. Suatu populasi terdiri atas keseluruhan pengamatan yang menjadi

perhatian.

Dalam bidang inferensial statistik, statistikawan ingin menarik kesimpulan

mengenai suatu populasi dalam hal tidak mungkin atau tidak praktis mengenai

himpunan seluruh pengamatan yang membentuk populasi tersebut. Sebagai

contoh dalam usaha menentukan rata-rata panjang umur bola lampu merk tersebut

agar masih ada sisa dijual. Biaya yang amat tinggi juga merupakan kendala dalam

memeriksa seluruh populasi. Karena itu peneliti menggunakan sebagaian

pengamatan dari populasi dalam menarik inferensi tentang populasi tersebut.

Sampel adalah suatu bagian himpunan dari populasi (Ronald & Raymod, 1995).


24

Dalam mengambil sampel acak berukuran 𝑛 dari suatu populasi 𝑓(𝑥),

didefinisikan variabel acak 𝑥𝑖 , 𝑖 = 1, 2, ⋯ ,𝑛, sebagai pengukuran atau nilai

sampel ke 𝑖 yang diamati, variabel acak 𝑥1,𝑥2,⋯ ,𝑥𝑛 merupakan suatu sampel

acak populasi 𝑓(𝑥), dengan nilai numerik 𝑥1,𝑥2,⋯ ,𝑥𝑛 , bila pengukuran

dikerjakan dengan mengulangi percobaan n kali secara bebas dalam keadaan yang

pada dasarnya sama, maka dapat dianggap bahwa ke-n variabel acak 𝑥1,𝑥2,⋯ ,𝑥𝑛

bebas dan masing-masing berdistribusi 𝑓(𝑥). Ini berarti bahwa 𝑥1,𝑥2, ⋯ ,𝑥𝑛

masing-masing berdistribusi peluang 𝑓 𝑥1 ,𝑓 𝑥1 ,⋯ ,𝑓 𝑥𝑛 .

Misalkan 𝑥1,𝑥2, ⋯ ,𝑥𝑛 merupakan n variabel acak bebas yang masing-

masing berdistribusi peluang 𝑓(𝑥), 𝑥1,𝑥2,⋯ , 𝑥𝑛 didefinisikan sebagai sampel

acak ukuran n dari populasi 𝑓(𝑥) dan distribusi peluang gabungannya ditulis

sebagai: 𝑓 𝑥1,𝑥2,⋯ , 𝑥𝑛 = 𝑓 𝑥1 ,𝑓 𝑥1 ,⋯ ,𝑓 𝑥𝑛 (Ronald & Raymond, 1995).

2.10 Distribusi Bersyarat

Jika 𝑋1 dan 𝑋2 merupakan variabel random diskrit atau kontinu dengan fungsi

densitas peluang bersama 𝑓(𝑥1,𝑥2), maka fungsi densitas peluang bersyarat dari

𝑋2, jika diketahui 𝑋1 = 𝑥1 didefinisikan dengan:

𝑓 𝑥2 𝑥1 =𝑓 𝑥1, 𝑥2

𝑓1 𝑥1 (2.41)

Untuk nilai 𝑥1 sedemikian hingga 𝑓1 𝑥1 > 0, dan nol untuk lainnya. Sedangkan

fungsi densitas peluang bersyarat dari 𝑋1, jika diketahui 𝑋2 = 𝑥2 didefinisikan

dengan:

𝑓 𝑥1 𝑥2 =𝑓 𝑥1, 𝑥2

𝑓2 𝑥2 (2.42)

Untuk nilai 𝑥2 sedemikian hingga 𝑓2 𝑥2 > 0, dan nol untuk lainnya.


25

2.11 Penaksiran Parameter

Statistika inferensi adalah statistika yang dengan segala informasi dari sampel

digunakan untuk menarik kesimpulan mengenai karakteristik populasi darimana

sampel itu diambil. Statistika inferensi digunakan untuk memprediksi keadaan

dari suatu populasi berdasarkan sampel yang diambil dan berusaha untuk

menyimpulkan karakteristik dari suatu populasi tersebut. Untuk ini kelakuan

populasi dipelajari berdasarkan data yang diambil baik secara sampling ataupun

sensus.

Dalam kenyataannya mengingat beberapa faktor, untuk keperluan tersebut

diambil sebuah sampel yang representatif lalu berdasarkan pada hasil analisis

terhadap data sampel yang kesimpulan mengenai populasi dibuat. Kelakuan

populasi yang akan ditinjau hanyalah mengenai parameter populasi dan sampel

yang digunakan adalah sampel acak. Data sampel dikumpulkan dan dianalisis,

nilai-nilai yang perlu yaitu statistik, dihitung dan dari nilai-nilai statistik tersebut

dapat disimpulkan bagaimana parameter bertingkah laku, dan parameter yang

diduga adalah rata-rata dan variansi (Surwako, 2007).

Sebuah nilai 𝜃 bagi suatu statistik ^

𝜃 disebut suatu nilai dugaan bagi

parameter populasi . Misalnya, nilai 𝑥 bagi statistik 𝑋 , yang dihitung dari suatu

contoh berukuran 𝑛, merupakan nilai dugaan bagi parameter populasi 𝜇. Begitu

pula, 𝑝 =𝑥

𝑛 merupakan suatu nilai dugaan bagi proporsi sebenarnya p dalam suatu

percobaan binom. Statistik yang digunakan untuk memperoleh sebuah nilai

dugaan disebut penduga atau fungsi keputusan. Jadi, fungsi keputusan 𝑆2, yang

merupakan fungsi dari contoh acak yang bersangkutan, adalah suatu penduga bagi

𝜎2, sedangkan nilai dugaan 𝑠2 merupakan “realisasinya” (Walpole, 1997). Contoh

yang berbeda pada umumnya akan menghasilkan nilai dugaan yang berbeda pula.

Pada teori estimasi dapat dilakukan dengan dua metode yaitu metode klasik

dan metode bayes. Metode klasik sepenuhnya mengandalkan proses inferensi

pada data sampel yang diambil dari populasi, sedangkan metode bayes disamping

memanfaatkan data sampel yang diperoleh dari populasi juga memperhitungkan


26

suatu distribusi awal yang disebut distribusi prior (Box & Tiao, 1973). Metode

statistik klasik terdiri dari metode kuadrat terkecil (least square method), metode


Salah satu metode yang paling sering digunakan untuk menaksir parameter

suatu distribusi adalah metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood

method). Memaksimumkan fungsi likelihood biasanya dilakukan dengan metode

derivatif (turunan). Pendugaan maksimum likelihood mempunyai sifat-sifat

penting yaitu: tak bias secara asimtotik (ada kemungkinan akan berbias pada

sampel kecil) tapi sangat baik pada sampel berukuran besar, konsisten, efisien

secara asimtotis, invarian pada skala pengukuran (satuan pengukuran tidak

mempengaruhi nilai dugaan parameter model) (Bollen, 1989).

2.11.1 Metode Maximum Likelihood

Definisi 2.6

Misalkan 𝑥1,𝑥2,⋯ , 𝑥𝑛 adalah sampel random dari populasi dengan densitas

𝑓 𝑥,𝜃 di mana 𝜃 𝜃1 ,𝜃2 , ⋯ ,𝜃𝑘 merupakan parameter tak diketahui, fungsi

likelihood dituliskan:

𝐿 𝜃1, 𝜃2 ,⋯ , 𝜃3 = 𝑓 𝑥𝑖; 𝜃

𝑛

𝑖=1

(2.43)

Fungsi likelihood adalah fungsi dari parameter yang tidak diketahui . Dalam

aplikasi 𝐿 𝜃 menunjukkan fungsi densitas probabilitas bersama dari sampel

random. Jika 𝑆 ruang parameter yang merupakan interval terbuka dan 𝐿 𝜃

merupakan fungsi yang dapat diturunkan serta diasumsikan maksimum pada 𝑆 S

maka persamaan maksimum likelihodnya adalah:

𝜕

𝜕𝜃𝐿 𝜃 = 0 (2.44)

Ketika menentukan nilai estimator kemungkinan maksimum, itu sering lebih

mudah menentukan nilai dari parameter yang memaksimumkan logaritma natural

dari fungsi likelihood daripada nilai parameter yang memaksimumkan fungsi


27

likelihood itu sendiri. Karena fungsi logaritma natural adalah fungsi naik, dan

solusinya akan sama. Sehingga persamaan logaritma natural likelihoodnya adalah:

𝜕

𝜕𝜃ln 𝐿 𝜃 = 0 (2.45)

2.11.2 Teorema Bayes

Dari definisi probabilitas bersyarat:

𝑃 𝐵|𝐴 =𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

𝑃 𝐴

Kita tau bahwa probabilitas marginal dari kejadian 𝐴 ditentukan dengan

menjumlahkan probabilitas dari bagian saling lepas nya. Karena 𝐴 = 𝐴 ∩ 𝐵 ∪

𝐴 ∩ 𝐵

dan jelas bahwa 𝐴 ∩ 𝐵 dan 𝐴 ∩ 𝐵

adalah saling lepas, sehingga:

𝑃 𝐴 = 𝐴 ∩ 𝐵 + 𝐴 ∩ 𝐵

Kita substitusi ke dalam definisi probabilitas bersyarat, sehingga diperoleh:

𝑃 𝐵|𝐴 =𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 + 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

Sekarang kita gunakan aturan perkalian untuk menentukan distribusi gabungan.

Teorema Bayes untuk kejadian tunggal diperoleh:

𝑃 𝐵|𝐴 =𝑃 𝐴|𝐵 𝑃 𝐵

𝑃 𝐴|𝐵 𝑃 𝐵 + 𝑃 𝐴|𝐵 𝑃 𝐵 (2.46)

Sering kita mempunyai himpunan lebih dari 2 kejadian partisi dari ruang sampel.

Contohnya, andaikan kita mempunyai n kejadian 𝐵1,⋯ ,𝐵𝑛 sedemikian:

Gabungan 𝐵1 ∪ 𝐵2 ∪ ⋯ , 𝐵𝑛 = 𝑈, dan

Setiap pasang dari kejadian adalah saling lepas, 𝐵𝑖 ∩ 𝐵𝑗 = ∅ untuk

𝑖 = 1,⋯ , 𝑛, 𝑗 = 1,⋯ , 𝑛 dan 𝑖 ≠ 𝑗.

Kemudian kita nyatakan himpunan kejadian 𝐵1,⋯ , 𝐵𝑛 partisi himpunan semesta.

Kejadian 𝐴 akan dipartisi menjadi bagian partisinya. 𝐴 = 𝐴 ∩ 𝐵1 ∪ 𝐴 ∩ 𝐵2 ∪


28

𝐴 ∩ 𝐵𝑖 dan 𝐴 ∩ 𝐵𝑗 adalah saling lepas, karena 𝐵𝑖 dan 𝐵𝑗 adalah saling lepas.

Oleh sebab itu,

𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵𝑗

𝑛

𝑗=1

Ini diketahui sebagai hukum probabilitas total. Probabilitas bersyarat, dikatakan

bahwa probabilitas dari sebuah kejadian 𝐴 adalah jumlah dari probabilitas bagian

saling lepasnya. Menggunakan aturan perkalian dari tiap probabilitas

gabungannya diberikan:

𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴|𝐵𝑗 𝑃 𝐵𝑗

𝑛

𝑗=1

Probabilitas bersyarat 𝑃 𝐵𝑖|𝐴 untuk 𝑖 = 1,⋯ , 𝑛 ditentukan dengan membagi tiap

probabilitas gabungan dengan probabilitas kejadian 𝐴.

𝑃 𝐵𝑖|𝐴 =𝑃 𝐴 ∩ 𝐵𝑖

𝑃 𝐴

Menggunakan aturan perkalian untuk menentukan probabilitas gabungan,

sehingga diperoleh:

𝑃 𝐵𝑖|𝐴 =𝑃 𝐴|𝐵𝑖 𝑃 𝐵𝑖

𝑃 𝐴|𝐵𝑗 𝑃 𝐵𝑗 𝑛𝑗=1

(2.47)

Gambar 2.1 Empat kejadian 𝐵𝑖 untuk 𝑖 = 1,⋯ , 4 merupakan partisi dari

himpunan semesta U, sekitar kejadian A.


29

Gambar 2.2 Himpunan semesta berkurang mengingat kejadian A telah terjadi

bersama dengan mempartisi empat kejadian himpunan semesta.

Ini adalah hasil yang diketahui sebagai teorema Bayes (Bolstad, 2007). Metode

Bayes memperkenalkan suatu metode dimana kita perlu mengetahui bentuk

distribusi awal (prior) dari populasi. Sebelum menarik sampel dari suatu populasi

terkadang memperoleh informasi mengenai parameter yang akan diestimasi.

Informasi ini kemudian digabungkan dengan informasi dari sampel yang

digunakan dalam mengestimasi parameter populasi dan parameter populasi

berasal dari suatu distribusi, sehingga nilainya tidaklah tunggal dan merupakan

variabel random.

Bayes menggunakan interpretasi probabilitas secara subjektif di dalam

analisa statistika formal. Pendekatan bayes terhadap metode estimasi statistik

menggabungkan informasi yang dikandung dalam sampel dengan informasi lain

yang telah tersedia sebelumnya. Dari segi statistikawan klasik memandang bahwa

parameter populasi mempunyai harga tertentu yang tidak diketahui sehingga

pernyataan probabilitas tentang parameter populasi tidak mempunyai arti.

2.11.2.1 Distribusi Prior

Prior merupakan bentuk distribusi frequency yang merupakan representasi

objektif pada suatu parameter yang lebih rasional untuk dipercayai, atau prior

merupakan suatu representasi subjektifitas seseorang dalam memandang sebuah

parameter menurut penilaiannya sendiri. Sehingga permasalahan pokok agar prior

dapat interpretatif adalah bagaimana memilih distribusi prior untuk suatu

parameter yang tidak diketahui namun sesuai dengan permasalahan yang ada.


30

Permasalahan utama dalam metode bayes adalah bagaimana memilih

distribusi prior 𝑓(𝜃), dimana prior menunjukan ketidakpastian tentang parameter

𝜃 yang tidak diketahui. Distribusi prior dikelompokan menjadi dua kelompok

berdasarkan fungsi likelihoodnya, yaitu sebagai berikut: (Box dan Tiao, 1973)

Berkaitan dengan bentuk hasil identifikasi pola datanya.

1. Distribusi prior konjugat (conjugate), mengacu pada acuan analisis model

terutama dalam pembentukan fungsi likelihoodnya sehingga dalam

penentuan prior konjugat selalu dipikirkan mengenai penentuan pola

distribusi prior yang mempunyai bentuk konjugat dengan fungsi densitas

peluang yang pembangun fungsi likelihoodnya.

2. Distribusi prior tidak konjugat (non-conjugate), apabila pemberian prior

pada suatu model tidak mengindahkan pola pembentuk fungsi likelihoodnya.

Berkaitan dengan penentuan masing-masing parameter pada pola distribusi prior

1. Distribusi prior informatif, mengacu pada pemberian parameter dari

distribusi prior yang telah dipilih baik distribusi prior konjugat atau tidak,

pemberian parameter pada distribusi prior ini akan sangat mempengaruhi

bentuk dari distribusi posterior yang akan didapatkan pada informasi data

yang diperoleh.

2. Distribusi prior non-informatif, pemilihannya tidak didasarkan pada data

yang ada atau distribusi prior yang tidak mengandung informasi tentang

parameter 𝜃, salah satu pendekatan dari non-informatif prior adalah metode

Jeffrey’s.

2.11.2.2 Distribusi Posterior

Definisi 2.7

Distribusi posterior adalah fungsi densitas bersyarat 𝜃 jika diketahui nilai

observasi 𝑥. Distribusi posterior dapat dituliskan sebagai berikut:

𝑓 𝜃|𝑥 =𝑓 𝜃,𝑥

𝑓 𝑥 (2.48)


31

Apabila 𝜃 kontinu, distribusi prior dan distribusi posterior 𝜃 dapat disajikan

dengan fungsi densitas. Fungsi densitas bersyarat satu variabel random jika

diketahui nilai variabel random kedua hanyalah fungsi kepadatan bersama dua

variabel random itu dibagi dengan fungsi densitas marginal variabel random

kedua. Tetapi fungsi densitas bersama 𝑓(𝜃, 𝑥) dan fungsi densitas marginal 𝑓(𝑥)

pada umumnya tidak diketahui, hanya distribusi prior dan fungsi likelihood yang

biasanya dinyatakan.

Fungsi densitas bersama yang diperlukan dapat ditulis dalam bentuk

distribusi prior dan fungsi likelihood sebagai berikut:

𝑓 𝜃, 𝑥 = 𝑓 𝑥|𝜃 𝑓 𝜃 (2.49)

Dimana 𝑓(𝑥,𝜃) merupakan fungsi likelihood dan 𝑓(𝜃) merupakan fungsi densitas

distribusi prior. Selanjutnya fungsi densitas marginal dapat dinyatakan sebagai

berikut:

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝜃,𝑥 𝑑

∞

−∞

𝜃 = 𝑓 𝑥|𝜃 𝑓 𝜃 𝑑

∞

−∞

𝜃 (2.50)

sehingga dari persamaan (2.49), dan (2.50), fungsi densitas posterior untuk

variabel random kontinu dapat ditulis sebagai berikut:

𝑓 𝜃, 𝑥 =𝑓 𝜃 𝑓 𝑥|𝜃

∫ 𝑓 𝑥|𝜃 𝑓 𝜃 𝑑𝜃∞

−∞

(2.51)

Distribusi posterior dapat digunakan untuk menentukan estimator dan estimasi

interval dari parameter yang tidak diketahui (Soejoeti & Soebanar, 1988).

2.11.2.3 Fungsi Risiko

Definisi 2.8

Misalkan 𝐿(𝜃 ,𝜃) adalah fungsi kerugian yang diasosiasikan dengan estimasi

parameter 𝜃. Misalkan 𝑔

(𝜃|𝑊 = 𝑤) adalah distribusi posterior dari variabel


32

acak . Kemudian risiko dari 𝜃 adalah nilai ekspektasi dari fungsi kerugian

dengan distribusi posterior 𝜃 (Larsen, 2012).

𝑟𝑖𝑠𝑖𝑘𝑜 =

𝐿(𝜃 ,𝜃)𝑔

(𝜃|𝑊 = 𝑤)𝑑

𝜃

𝜃 𝑗𝑖𝑘𝑎 adalah kontinu

𝐿 𝜃 ,𝜃 𝑔

𝜃 𝑊 = 𝑤

𝑎𝑙𝑙 𝜃

𝑗𝑖𝑘𝑎 adalah diskrit

Estimasi Bayes 𝜃 dari 𝜃 adalah serangkaian relatif optimal menuju fungsi

kerugian yang dipilih. Pada umumnya fungsi kerugian yang digunakan adalah

squared error loss function (fungsi error kuadratik). Adapun beberapa macam

fungsi kerugian, diantaranya:

1) Squarred Error Loss Function (SELF)

𝐿 𝜃 ,𝜃 = 𝜃 − 𝜃 2 (2.52)

Estimator bayes dari fungsi kerugian pada persamaan (2.52) adalah:

𝜃 𝐵 = 𝐸𝜋 𝜃 (2.53)

Sehingga diperoleh fungsi resiko:

𝑅𝐵 𝜃 = 𝐸𝜃 𝜃 2− 2𝜃𝐸𝜃 𝜃 + 𝜃2 (2.54)

2) Precautionary Loss Function

Norstom (1996) memperkenalkan sebuah alternatif fungsi kerugian asimetri

precautionary dan juga menjelaskan sebuah pembagian fungsi kerugian

precautionary dengan fungsi kuadrat sebagai bentuk khusus (Srivastava, R.S.

et al. 2004). Adapun fungsi kerugian precationary sebagai berikut:

𝐿 𝜃 ,𝜃 = 𝜃 −𝜃

2

𝜃 (2.55)


33

Ekpektasi posterior dari fungsi kerugian pada persamaan (2.55) adalah:

𝐸𝜋 𝐿 𝜃 − 𝜃 = 𝐸𝜋 𝜃2

𝜃 + 𝐸𝜋 𝜃 − 𝐸𝜋 𝜃 (2.56)

Nilai yang meminimumkan persamaan (2.56), dinotasikan sebagai dengan

menyelesaikan persamaan di bawah ini:

𝑑

𝑑𝜃𝐸𝜋 𝐿 𝜃 − 𝜃 = 0

𝜃 𝑝 = 𝐸𝜋 𝜃2

12 (2.57)

3) Entropy Loss Function

Banyak kasus praktek, itu lebih lebih realistis menunjukkan kerugaian dalam

istilah rasio 𝜃

𝜃. Dalam hal ini, Calabria dan Pulcini (1994) menunjuk fungsi

kerugian yang asimetri adalah kerugian entropy sebagai berikut:

𝐿 𝛿 = 𝛿𝑝 − 𝑝 log 𝛿 − 1𝑒 (2.58)

dimana

𝛿 =𝜃

𝜃,

Sehingga eskpektasi posterior dari fungsi kerugian pada persamaan (2.58)

adalah sebagai berikut:

𝐸𝜋 𝐿 𝛿 = 𝑏 𝐸𝜋 𝜃

𝜃 − 𝐸𝜋 𝑙𝑜𝑔 𝑒

𝜃

𝜃 − 1 (2.59)

Nilai yang meminimumkan persamaan (2.59), dinotasikan sebagai dan dengan

menyelesaikan persamaan berikut:

𝑑

𝑑𝜃𝐸𝜋 𝐿 ∆ = 0

𝜃 𝑒 = 𝐸𝜋 1

𝜃

−1

(2.60)


34

4) Loss Function-L1

Mempertimbangkan fungsi kerugian diberikan:

𝐿1 𝜃 , 𝜃 = 𝜃

𝜃− 1

2

(2.61)

Estimator Bayes dari loss function L1, katakan menggunakan nilai dari

𝑓 𝜃|𝑦

𝜃 1 =𝐸𝜋

1𝜃

𝐸𝜋 1𝜃2

(2.62)

5) Loss Function-L2


𝐿2 𝜃 , 𝜃 = 𝜃

𝜃 − 1

2

(2.63)

Estimator Bayes dari loss function L2, katakan menggunakan nilai dari

𝑓 𝜃|𝑦 ,

𝜃 2 =𝐸𝜋 𝜃

2

𝐸𝜋 𝜃 (2.64)

2.12.4 Metode Evaluasi Estimator

Estimator yang telah diperoleh dengan metode pendekatan klasik dan pendekatan

Bayes akan menghasilkan estimator yang berbeda. Estimator terbaik yang

memiliki sifat tertentu, diantaranya sifat tak bias, variansi minimum estimator tak

bias, dan Mean Square Error (MSE).

1) Sifat Tidak Bias (Unbiased)

Nilai ekspektasi sebuah estimator adalah ukuran pusat dari distribusinya. Ini

adalah nilai rata-rata bahwa estimator akan mempunyai rata-rata dari keseluruhan


35

kemungkinan sampel. Sebuah estimator dikatakan “tak bias (unbiased)” jika rata-

rata dari distribusi sampling adalah nilai parameter yang sebenarnya. Hal itu

berarti, sebuah estimator 𝜃 bersifat tak bias jika dan hanya jika:

𝐸 𝜃 = 𝜃 𝑓 𝜃 |𝜃 𝑑𝜃 = 𝜃

Dimana 𝑓 𝜃 |𝜃 adalah distribusi sampling dari estimator 𝜃 dengan parameter 𝜃.

Seringkali statistik menegaskan bahwa estimator tak bias karena rata-rata

kemungkinan keseluruhan contoh acak, sebuah estimator tak bias memberikan

nilai sebenarnya. Nilai bias dari estimator 𝜃 adalah selisih dari nilai ekspektasi

nya dan nilai parameter yang sebenarnya.

𝑏𝑖𝑎𝑠 𝜃 = 𝐸 𝜃 − 𝜃

Estimator tak bias memiliki bias sama dengan nol (Bolstad, 2007).

2) Mean Square Error (MSE)

Teorema 2.2 (Berger, 1990)

Jika W merupakan sebuah estimator untuk 𝜃, maka Mean Square Error (MSE)

dari estimator W merupakan fungsi 𝐸(𝑊 − 𝜃)2, MSE mengukur rataan kuadrat

dari selisih estimator W dengan parameter 𝜃 yang didefinisikan sebagai:

𝐸 𝑊 − 𝜃 2 = 𝑉𝑎𝑟 𝑊 + 𝐸 𝑊 − 𝜃 2

= 𝑉𝑎𝑟 𝑊 + 𝑏𝑖𝑎𝑠 𝑊 2 (2.65)

Bukti persamaan (2.65)

𝑀𝑆𝐸 𝑊 = 𝐸 𝑊 − 𝜃 2

= 𝐸 𝑊 − 𝐸 𝑊 + 𝐸 𝑊 − 𝜃 2

= 𝐸 𝑊 − 𝐸 𝑊 2

+ 𝐸 𝐸 𝑊 − 𝜃 2 + 2𝐸 𝑊 − 𝐸 𝑊 𝐸 𝑊 − 𝜃

= 𝐸 𝑊 − 𝐸 𝑊 2

+ 𝐸 𝑊 − 𝜃 2

+ 0

= 𝑉𝑎𝑟 𝑊 + 𝑏𝑖𝑎𝑠 𝑊 2


36

Sehingga berdasarkan persamaan (2.65), 𝑀𝑆𝐸 𝑊 untuk estimator tak bias akan

sama dengan nilai variansinya dari estimator W, karena nilai 𝑏𝑖𝑎𝑠 𝑊 2 pada

estimator tak bias akan sama dengan nilai nol. Secara umum MSE mempunyai

dua komponen, yaitu variansi yang mengukur variabilitas estimator dan bias yang

mengukur keakuratan dari estimator.


BAB 3

METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Desain Penelitian

Penelitian ini bersifat literatur dan melakukan studi kepustakaan untuk mengkaji

dan menelaah berbagai buku, jurnal, karya ilmiah, laporan dan berbagai tulisan

lainnya yang berkaitan dengan pokok permasalahan yang dibahas dalam

penelitian ini.

3.2 Metode Penyelesaian

Untuk menaksir parameter pada distribusi Rayleigh digunakan metode Maximum

Likelihood dan metode Bayes. Dimana metode yang digunakan diharapkan dapat

menghasilkan parameter yang memiliki sifat tak bias, efisien dan konsisten yang

kemudian akan dibandingkan antara kedua metode untuk melihat metode yang

terbaik dalam menaksir parameter pada distribusi Rayleigh. Setelah perhitungan

selesai, maka akan dibuat hasil dan kesimpulan dari penelitian tersebut. Adapun

alur penyelesaiannya sebagai berikut:

1. Studi literatur

Pada tahap ini dilakukan studi literatur tentang penaksiran parameter pada

distribusi Rayleigh dengan Metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes

dengan teori pendukung seperti penaksiran parameter, distribusi Rayleigh,

Metode Maximum Likelihood, Metode Bayes, dan teori-teori pendukung

lainnya.

2. Melakukan penaksiran parameter pada Distribusi Rayleigh

Pada tahap ini dilakukan penaksiran parameter pada Distribusi Rayleigh

menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes sehingga

diperoleh estimator dari setiap parameter menggunakan studi literatur yang


38

berkaitan. Adapun langkah-langkah dalam melakukan penaksiran parameter

pada distribusi Rayleigh adalah sebagai berikut:

2.1 Melakukan estimasi Maksimum Likelihood

a. Menentukan fungsi likelihood berdasarkan distribusi Rayleigh.

b. Menentukan logaritma natural (ln) pada fungsi likelihood berdasarkan

distribusi Rayleigh.

c. Melakukan differensial fungsi likelihood berdasarkan distribusi

Rayleigh sebagai konsekuensi memaksimumkan parameter distribusi

Rayleigh terhadap parameter, dan kemudian menyamakan persamaan

dengan nol.

2.2 Melakukan estimasi Bayes

a. Menentukan distribusi prior dengan aturan Jeffrey’s yang menyatakan

bahwa distribusi prior merupakan akar dari informasi Fisher.

b. Menentukan distribusi posterior.

c. Menentukan distribusi posterior marginal untuk parameter.

d. Melakukan estimasi Bayes berdasarkan fungsi densitas posterior yang

diperoleh dengan fungsi kerugian precautionary loss function, entropy


3. Membandingkan Metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes

Pada tahap ini dilakukan perbandingan metode Maximum Likelihood dan

metode Bayes berdasarkan simulasi data yang diperoleh dengan program R.

Adapun langkah-langkah untuk melakukan perbandingan adalah sebagai

berikut:

a. Membangkitkan data berdistribusi Rayleigh dengan program R untuk

metode Maximum Likelihood maupun metode Bayes.

b. Menentukan ukuran sampel dan banyaknya perulangan yang akan

dilakukan.


39

c. Menghitung nilai bias dan nilai Mean Square Error (MSE) dari kedua

metode untuk membandingkan hasil penaksiran parameter antara

metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes.

d. Membuat tabel perbandingan nilai bias dan nilai Mean Square Error

(MSE) dari kedua metode tersebut dari data berdistribusi Rayleigh

yang dibangkitkan dengan program R.

4. Analisis dan Kesimpulan

Pada tahap ini dilakukan analisis dari hasil perbandingan antara Metode

Maximum Likelihood dan Metode Bayes yang selanjutnya akan diambil

suatu kesimpulan terhadap metode yang terbaik dalam menaksir parameter.

Gambar 3.1 Diagram Alir

Studi

Literatur

Membandingkan Metode

Maximum Likelihood

Estimation dan Metode

Bayes berdasarkan simulasi

data

Kesimpulan

Penaksiran parameter

pada Distribusi

Rayleigh

Penaksiran titik dengan

Metode Maximum Likelihood

dan Metode Bayes


BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Penaksiran Parameter pada Distribusi Rayleigh

Pada penelitian ini, peneliti akan melakukan penaksiran terhadap parameter pada

distribusi Rayleigh satu parameter dengan metode klasik dan metode Bayes.

Beberapa metode klasik yang biasanya digunakan untuk menaksir parameter

diantaranya adalah metode kuadrat terkecil (least square method), metode


Metode klasik yang digunakan pada pada penelitian ini adalah metode

maximum likelihood. Memaksimumkan fungsi likelihood biasanya dilakukan

dengan metode derivatif (turunan). Pendugaan maximum likelihood mempunyai

sifat-sifat penting yaitu: tak bias secara asimtotik (ada kemungkinan akan berbias

pada sampel kecil) tapi sangat baik pada sampel berukuran besar, konsisten,

efisien secara asimtotis, invarian pada skala pengukuran (satuan pengukuran tidak

mempengaruhi nilai dugaan parameter model). Metode bayes memandang

parameter sebagai variabel yang menggambarkan pengetahuan awal tentang

parameter sebelum pengamatan dilakukan dan dinyatakan dalam suatu distribusi

yang disebut sebagai distribusi prior (Bolstad, 2007).

Berikut akan dilakukan penaksiran parameter pada distribusi Rayleigh satu

parameter dengan metode maximum likelihood dan metode Bayes yang kemudian

hasil estimator dari kedua metode tersebut akan dilakukan simulasi dengan

menggunakan program R untuk melihat metode yang terbaik dalam menaksir

parameter distribusi Rayleigh satu parameter.


41

4.1.1 Menentukan Estimator Parameter dengan Metode Maksimum

Likelihood

Distribusi Rayleigh merupakan salah satu keluarga distribusi peluang kontinu

yang biasa digunakan dalam pemodelan data kelangsungan hidup. Distribusi

Rayleigh diperkenalkan oleh Lord Rayleigh pada tahun 1880. Distribusi Rayleigh

dikenal secara luas di bidang oseanografi dan dalam teori komunikasi untuk

menggambarkan puncak sesaat kekuatan sinyal radio yang diterima. Distribusi

Rayleigh memiliki beberapa parameter, diantaranya satu parameter. Dalam hal ini

peneliti akan melakukan penaksiran parameter terhadap distribusi Rayleigh

dengan satu parameter, adapun fungsi densitas probabilitas distribusi Rayleigh

satu parameter sebagai berikut:

𝑓 𝑥|𝜎 =𝑥

𝜎2𝑒𝑥𝑝

−𝑥2

2𝜎2 ; 𝑥,𝜎 > 0 4.1

fungsi likelihood dari fungsi densitas probabilitas pada persamaan (4.1) adalah

misalkan nxxx ,,, 21 adalah variabel acak independen ukuran n, sehingga

diperoleh:

𝐿 𝑥, 𝜎 = 𝑓 𝑥1;𝜎 𝑓 𝑥2;𝜎 ⋯𝑓 𝑥𝑛 ;𝜎

𝐿 𝑥, 𝜎 =𝑥1

𝜎2𝑒𝑥𝑝

−𝑥2

2𝜎2 𝑥2

𝜎2𝑒𝑥𝑝

−𝑥2

2𝜎2 ⋯

𝑥𝑛

𝜎2𝑒𝑥𝑝

−𝑥2

2𝜎2

𝐿 𝑥, 𝜎 = 𝑥𝑖 1

𝜎2 𝑛𝑛

𝑖=1

𝑒𝑥𝑝 −1

2

𝑥𝑖

𝜎

2𝑛

𝑖=1

4.2

kemudian untuk memaksimumkan fungsi likelihood, maka logaritma naturalkan

fungsi likelihood sehingga diperoleh:

𝑙𝑛 𝐿 𝑥;𝜎 = 𝑙𝑛 𝑥𝑖 1

𝜎2 𝑛𝑛

𝑖=1

𝑒𝑥𝑝 −1

2

𝑥𝑖

𝜎

2𝑛

𝑖=1

𝑙𝑛 𝐿 𝑥;𝜎 = 𝑙𝑛 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

+ 𝑙𝑛 1

𝜎2 𝑛

+ 𝑙𝑛 𝑒𝑥𝑝 −1

2

𝑥𝑖

𝜎

2𝑛

𝑖=1


𝑛

𝑖=1

+ 𝑛 𝑙𝑛 𝜎−2 + 𝑙𝑛 𝑒𝑥𝑝 −1

2

𝑥𝑖

𝜎

2𝑛

𝑖=1


42


𝑛

𝑖=1

− 2𝑛 𝑙𝑛 𝜎 + 𝑙𝑛 𝑒𝑥𝑝 −1

2

𝑥𝑖

𝜎

2𝑛

𝑖=1


𝑛

𝑖=1

− 2𝑛 𝑙𝑛 𝜎 −1

2

𝑥𝑖

𝜎

2𝑛

𝑖=1

(4.3)

kemudian, differensial parsialkan fungsi ;ln xL pada persamaan (4.3)

sehingga diperoleh:

𝜕

𝜕𝜎 𝑙𝑛 𝐿 𝑥; 𝜎 = 0

𝜕

𝜕𝜎 𝑙𝑛 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

− 2𝑛 𝑙𝑛 𝜎 −1

2

𝑥𝑖

𝜎

2𝑛

𝑖=1

= 0

𝜕

𝜕𝜎 𝑙𝑛 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

−𝜕

𝜕𝜎 2𝑛 𝑙𝑛 𝜎 −

𝜕

𝜕𝜎 1

2

𝑥𝑖

𝜎

2𝑛

𝑖=1

= 0

−2𝑛

𝜎+

1

2

2𝑥𝑖2

𝜎3

𝑛

𝑖=1

= 0

−2𝑛

𝜎 = −

𝑥𝑖2

𝜎3

𝑛

𝑖=1

2𝑛 = 𝑥𝑖

2

𝜎2

𝑛

𝑖=1

2𝑛𝜎2 = 𝑥𝑖2

𝑛

𝑖=1

𝜎2 = 1

2𝑛 𝑥𝑖

2

𝑛

𝑖=1

∴ 𝜎 = 1

2𝑛 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1

1

2 atau 𝜎 =

1

2𝑛 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1 (4.4)

diperoleh estimator distribusi Rayleigh satu parameter dengan metode maximum

likelihood pada persamaan (4.4), yaitu 𝜎 𝑀𝐿𝐸 = 1

2𝑛 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1

1

2 atau 𝜎 𝑀𝐿𝐸 =

1

2𝑛 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1


43

4.1.2 Menentukan Estimator Parameter dengan Metode Bayes

Pada bagian ini akan dijelaskan beberapa langkah-langkah yang akan peneliti

lakukan dalam menentukan estimator parameter dari distribusi Rayleigh dengan

metode Bayes. Adapun langkah-langkahnya sebagai berikut:

4.1.2.1 Menentukan Distribusi Prior Non- Informatif Distribusi Rayleigh

Metode Bayes merupakan suatu metode yang memperhitungkan peranan

informasi dari sebaran sebelumnya (prior). Hal inilah yang membedakan metode

Bayes dengan metode pendugaan yang lain. Sehingga dapat dikatakan bahwa

metode Bayes menggunakan informasi yang lebih lengkap untuk menduga suatu

obyek.

Asumsi dapat dilakukan seperti pada saat menentukan distribusi prior ini.

Asumsi-asumsi yang diberikan dapat didasarkan pada bentuk distribusi hasil

identifikasi pola datanya atau dengan penentuan masing-masing parameter untuk

pola distribusi prior tersebut. Ketika suatu sejarah data dan data sampel yang ada

tidak menunjukkan informasi untuk distribusi prior, maka dapat memilih asumsi

berdasarkan penentuan masing-masing parameter untuk pola distribusi prior

tersebut. Asumsi seperti ini biasanya disebut dengan asumsi distribusi prior non-

informatif.

Non-informatif berhubungan dengan situasi dimana distribusi prior tidak

memiliki basis populasi. Hanya terdapat sedikit informasi prior sehingga distribusi

prior berperan minimal dalam distribusi posterior. Salah satu bentuk pendekatan

dari prior non-informatif adalah dengan menggunakan metode Jeffrey’s.

Distribusi prior untuk distribusi Rayleigh satu parameter adalah sekitar

non-informatif jika diambil proporsional akar kuadrat dari informasi Fisher (Box

dan Tiao, 1973). Diperoleh differensial pertama dari fungsi ;ln xL pada

persamaan (4.3), sebagai berikut:


44

𝜕

𝜕𝜎 𝑙𝑛 𝐿 𝑥; 𝜎 = −

2𝑛

𝜎+

1

2

2𝑥𝑖2

𝜎3

𝑛

𝑖=1

(4.5)

untuk mendapatkan informasi Fisher, differensial parsial kan persamaan (4.5)

untuk yang kedua kalinya, sehingga diperoleh:

𝜕2

𝜕𝜎2 𝑙𝑛 𝐿 𝑥; 𝜎 =

2𝑛

𝜎2− 3

𝑥𝑖2

𝜎4

𝑛

𝑖=1

𝐼 𝜎2 = −𝐸 𝜕2

𝜕𝜎2 𝑙𝑛 𝐿 𝑥; 𝜎

𝐼 𝜎2 =2𝑛

𝜎2

𝑓 𝜎 = 𝐼 𝜎2 ∝1

𝜎 (4.6)

diperoleh persamaan (4.6) yang merupakan nilai non-informatif prior pada

distribusi Rayleigh satu parameter.

4.1.2.2 Menentukan Distribusi Posterior Distribusi Rayleigh

Setelah mencari fungsi likelihood dan menentukan distribusi prior dari distribusi

Rayleigh, kemudian akan dicari distribusi posterior dari distribusi Rayleigh.

Kepadatan posterior bersama dari adalah:

𝑓 𝜎|𝑥 ∝ 𝑓 𝜎 ∗ 𝐿 𝑥; 𝜎 (4.7)

dimana 𝑓 𝜎 merupakan nilai non-informatif prior pada distribusi Rayleigh satu

parameter dan 𝐿 𝑥;𝜎 merupakan fungsi likelihood distribusi Rayleigh satu

parameter, sehingga diperoleh:

𝑓 𝜎|𝑥 ∝1

𝜎

1

𝜎2 𝑛

𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑒𝑥𝑝 −1

2

𝑥𝑖

𝜎

2𝑛

𝑖=1

𝑓 𝜎|𝑥 ∝1

𝜎2𝑛+1 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑒𝑥𝑝 −1

2

𝑥𝑖

𝜎

2𝑛

𝑖=1


45

∴ 𝑓 𝜎|𝑥 ∝𝑐


𝑛

𝑖=1

𝑒𝑥𝑝 −1

2

𝑥𝑖

𝜎

2𝑛

𝑖=1

(4.8)

dimana c adalah konstanta normal. (Box & Tiao, 1973) pada bukunya

menjelaskan jika 𝑃 𝜎 menjadi prior dan 𝐿 𝑥; 𝜎 menjadi fungsi likelihood,

fungsi padat peluang (pdf) posterior 𝑃 𝜎|𝑥 diberikan:

𝑃 𝜎|𝑥 = 𝑐 ∗ 𝑃 𝜎 ∗ 𝑃 𝑥; 𝜎 (4.9)

dimana c adalah konstanta normal. Sehingga diperoleh distribusi posterior dari

distribusi rayleigh satu parameter pada persamaan (4.8)

4.1.2.3 Menentukan Fungsi Densitas Marginal Distribusi Rayleigh

Dari persamaan (4.8), kita peroleh fungsi densitas marginal:

𝑃 𝜎|𝑥 = 𝑓 𝜎|𝑥 𝑑𝜎

∞

0

𝑃 𝜎|𝑥 = 𝑐


𝑛

𝑖=1

𝑒𝑥𝑝 −1

2

𝑥𝑖

𝜎

2𝑛

𝑖=1

𝑑𝜎

∞

0

𝑃 𝜎|𝑥 = 𝑐 1

𝜎

1

𝜎2 𝑛

𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑒𝑥𝑝 −1

2

𝑥𝑖

𝜎

2𝑛

𝑖=1

𝑑𝜎

∞

0

𝑃 𝜎|𝑥 = 𝑐 1

𝜎

1

𝜎2 𝑛

𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑒𝑥𝑝 −1

2

𝑥𝑖2

𝜎2

𝑛

𝑖=1

𝑑𝜎

∞

0

dengan menggunakan transformasi, diperoleh:

𝑢 =1

2

𝑥𝑖2

𝜎2

𝑛

𝑖=1

→1

𝜎2=

2𝑢

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

→1

𝑑𝜎2=

2𝑑𝑢

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

→ 𝑑𝜎 = 2

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

−12

𝑑𝑢

kemudian kita substitusi ke persamaan berikut:

𝑃 𝜎|𝑥 = 𝑐 2𝑢

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

12

2𝑢

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑒𝑥𝑝 −𝑢 2

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

−12

𝑑𝑢

∞

0


46


𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

𝑛+12

𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1


𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

−12

𝑑𝑢

∞

0


𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

𝑛+12

𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑒𝑥𝑝 −𝑢 2−

12

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1 −12

𝑑𝑢

∞

0

𝑃 𝜎|𝑥 = 2𝑛+12−

12𝑐

𝑢𝑛+12 𝑒𝑥𝑝 −𝑢

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1 𝑛+12−

12

𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑑𝑢

∞

0

𝑃 𝜎|𝑥 = 2𝑛𝑐 𝑢𝑛+

12 𝑒𝑥𝑝 −𝑢

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑑𝑢

∞

0

𝑃 𝜎|𝑥 = 2𝑛𝑐 𝑢𝑛+12 𝑒𝑥𝑝 −𝑢

𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1 𝑛𝑑𝑢

∞

0

karena ∫ 𝑢𝑛+1

2 𝑒𝑥𝑝 −𝑢 ∞

0 𝑑𝑢 = Γ 𝑛 +

3

2 , diperoleh:

∴ 𝑃 𝜎|𝑥 =2𝑛𝑐 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1 Γ 𝑛 +

32

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1 𝑛 (4.10)

oleh karena itu, dapat diperoleh fungsi densitas posterior sebagai berikut:

𝜋 ∗ 𝜎|𝑥𝑖 =𝑓 𝜎|𝑥

𝑃 𝜎|𝑥

𝜋 ∗ 𝜎|𝑥𝑖 =

𝑐𝜎2𝑛+1 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1 𝑒𝑥𝑝 −

12

𝑥𝑖

𝜎 2

𝑛𝑖=1

2𝑛𝑐 𝑥𝑖 𝑛𝑖=1 Γ 𝑛 +

32

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1 𝑛

∴ 𝜋 ∗ 𝜎|𝑥𝑖 = 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1 𝑛 𝑒𝑥𝑝 −

12

𝑥𝑖

𝜎 2

𝑛𝑖=1

𝜎2𝑛+1 2𝑛 Γ 𝑛 +32

(4.11)

4.1.2.4 Menentukan Estimator Bayes

Dari persamaan (4.11) akan dicari estimator bayes pada distribusi Rayleigh satu

parameter. Estimator Bayes merupakan estimator yang meminimalkan fungsi

resiko, dengan merupakan harga harapan dari fungsi kerugian.


47

Ada beberapa fungsi kerugian yang dapat diaplikasikan pada metode

Bayes diantaranya squarred error loss function, precautionary loss function,

entropy loss function, loss function-L1 dan loss function-L2 sesuai dengan artikel

Singh dan Srivastava.

Dalam hal ini, peneliti menggunakan 3 fungsi kerugian untuk estimasi

distribusi Rayleigh pada pendekatan bayesian, yaitu precautionary loss function,

entropy loss function, dan loss function-L1.

(a) Precautionary Loss Function

Estimator bayes dengan precautionary loss function adalah sebagai berikut:

𝜃 𝑝 = 𝐸 𝜃2 12 4.12

Sehingga diperoleh:

𝐸 𝜎2 12 = 𝜎2

∞

0

𝜋 ∗ 𝜎|𝑥𝑖 𝑑𝜎

12

𝐸 𝜎2 12 = 𝜎2

∞

0

𝑥𝑖


12

𝑥𝑖

𝜎 2

𝑛𝑖=1

𝜎2𝑛+1 2𝑛 Γ 𝑛 +32

𝑑𝜎

12

dengan menggunakan transformasi, dapat diperoleh:

𝑢 =1

2

𝑥𝑖2

𝜎2

𝑛

𝑖=1

→ 𝜎−2 =2𝑢

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

→ 𝑑𝜎−2 =2𝑑𝑢

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

→ 𝑑𝜎 = 2

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

−12

𝑑𝑢


𝐸 𝜎2 12 = 𝜎2𝜎−2𝑛𝜎−1

∞

0

𝑥𝑖


12

𝑥𝑖

𝜎 2

𝑛𝑖=1

2𝑛 Γ 𝑛 +32

𝑑𝜎

12


48

𝐸 𝜎2 12 =

2𝑢

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1 −

12

2𝑢 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1 𝑛 𝑒𝑥𝑝 −𝑢 2

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1 −

12

2𝑛 Γ 𝑛 +32

𝑑𝑢

∞

0

12

𝐸 𝜎2 12 =

2𝑢

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1 𝑛−

12 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1 𝑛 𝑒𝑥𝑝 −𝑢

2 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1

−

12

2𝑛 Γ 𝑛 +32

𝑑𝑢

∞

0

12

𝐸 𝜎2 12 = 2𝑛−

12 2−

12 2−𝑛

𝑢 𝑛−12 𝑒𝑥𝑝 −𝑢 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1

Γ 𝑛 +32

𝑑𝑢

∞

0

12

𝐸 𝜎2 12 = 2−1

𝑢 𝑛−12 𝑒𝑥𝑝 −𝑢 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1

Γ 𝑛 +32

𝑑𝑢

∞

0

12

karena ∫ 𝑢 𝑛−1


0𝑑𝑢 = Γ 𝑛 +

1

2 , diperoleh:

𝐸 𝜎2 12 =

Γ 𝑛 +12

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

2Γ 𝑛 +32

12

∴ 𝐸 𝜎2 12 =

Γ 𝑛 +12

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

2 Γ 𝑛 +32

(4.13)

Jadi, diperoleh estimator bayes 𝜎 𝐵𝑆𝑝 = Γ 𝑛+

1

2 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1

2 Γ 𝑛+3

2

(b) Entropy Loss Function

Estimator bayes dengan entropy loss function adalah sebagai berikut:

𝜃 𝑒 = 𝐸 1

𝜃

−1

4.14

Sehingga diperoleh:


49

𝐸 1

𝜎

−1

= 1

𝜎

∞

0


−1

𝐸 1

𝜎

−1

= 1

𝜎

∞

0

𝑥𝑖


12

𝑥𝑖

𝜎 2

𝑛𝑖=1

𝜎2𝑛+1 2𝑛 Γ 𝑛 +32

𝑑𝜎

−1


𝑢 =1

2

𝑥𝑖2

𝜎2

𝑛

𝑖=1

→ 𝜎−2 =2𝑢

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

→ 𝑑𝜎−2 =2𝑑𝑢

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

→ 𝑑𝜎 = 2

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

−12

𝑑𝑢


𝐸 1

𝜎

−1

= 𝜎−1𝜎−2𝑛𝜎−1

∞

0

𝑥𝑖


12

𝑥𝑖

𝜎 2

𝑛𝑖=1

2𝑛 Γ 𝑛 +32

𝑑𝜎

−1

𝐸 1

𝜎

−1

=

2𝑢 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1

2𝑢

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1 𝑛

𝑥𝑖2𝑛


𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1 −

12

2𝑛 Γ 𝑛 +32

𝑑𝑢

∞

0

−1

𝐸 1

𝜎

−1

=

2𝑢

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1 𝑛+1

𝑥𝑖2𝑛


𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1 −

12

2𝑛 Γ 𝑛 +32

𝑑𝑢

∞

0

−1

𝐸 1

𝜎

−1

= 2𝑛+1 2−12 2−𝑛

𝑢 𝑛+1 𝑒𝑥𝑝 −𝑢 𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1 −12

Γ 𝑛 +32

𝑑𝑢

∞

0

−1

𝐸 1

𝜎

−1

= 2 𝑢 𝑛+1 𝑒𝑥𝑝 −𝑢 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1 −

12

Γ 𝑛 +32

𝑑𝑢

∞

0

−1

karena ∫ 𝑢 𝑛+1 𝑒𝑥𝑝 −𝑢 ∞

0𝑑𝑢 = Γ 𝑛 + 2 , diperoleh:

𝐸 1

𝜎

−1

= 2 Γ 𝑛 + 2

Γ 𝑛 +32 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1


50

∴ 𝐸 1

𝜎

−1

=Γ 𝑛 +

32 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1

2 Γ 𝑛 + 2 (4.15)

Jadi, diperoleh estimator bayes 𝜎 𝐵𝑆𝑒 = Γ 𝑛+

3

2 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1

2 Γ 𝑛+2

(c) Loss Function-L1


𝐿 𝜎 ,𝜎 = 𝜎

𝜎− 1

2

(4.16)

Estimator Bayes dibawah fungsi kerugian-L, sebagai berikut:

𝜎 =𝐸

1𝜎

𝐸 1𝜎2

(4.17)

untuk ekspektasi yang berlaku sebagai pembilang, akan dihitung sebagai berikut:

𝐸 1

𝜎 =

1

𝜎

∞

0


𝐸 1

𝜎 =

1

𝜎

∞

0

𝑥𝑖


12

𝑥𝑖

𝜎 2

𝑛𝑖=1

𝜎2𝑛+1 2𝑛 Γ 𝑛 +32

𝑑𝜎


𝑢 =1

2

𝑥𝑖2

𝜎2

𝑛

𝑖=1

→ 𝜎−2 =2𝑢

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

→ 𝑑𝜎−2 =2𝑑𝑢

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

→ 𝑑𝜎 = 2

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

−12

𝑑𝑢


𝐸 1

𝜎 = 𝜎−1𝜎−2𝑛𝜎−1

∞

0

𝑥𝑖


12

𝑥𝑖

𝜎 2

𝑛𝑖=1

2𝑛 Γ 𝑛 +32

𝑑𝜎


51

𝐸 1

𝜎 =

2𝑢 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1

2𝑢

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1 𝑛

𝑥𝑖2𝑛


𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1 −

12

2𝑛 Γ 𝑛 +32

𝑑𝑢

∞

0

𝐸 1

𝜎 =

2𝑢

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1 𝑛+1

𝑥𝑖2𝑛


𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1 −

12

2𝑛 Γ 𝑛 +32

𝑑𝑢

∞

0

𝐸 1

𝜎 = 2𝑛+1 2−

12 2−𝑛


𝑖=1 −12

Γ 𝑛 +32

𝑑𝑢

∞

0

𝐸 1

𝜎 = 2


𝑖=1 −12

Γ 𝑛 +32

𝑑𝑢

∞

0

karena ∫ 𝑢 𝑛+1 𝑒𝑥𝑝 −𝑢 ∞

0𝑑𝑢 = Γ 𝑛 + 2 , diperoleh:

∴ 𝐸 1

𝜎 =

2 Γ 𝑛 + 2 𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1 −12

Γ 𝑛 +32

(4.18)

untuk ekspektasi yang berlaku sebagai penyebut, akan dihitung sebagai berikut:

𝐸 1

𝜎2 =

1

𝜎2

∞

0


𝐸 1

𝜎2 =

1

𝜎2

∞

0

1𝜎

1𝜎2𝑛 𝑥𝑖


12

𝑥𝑖

𝜎 2

𝑛𝑖=1

2𝑛 Γ 𝑛 +32

𝑑𝜎


𝑢 =1

2

𝑥𝑖2

𝜎2

𝑛

𝑖=1

→ 𝜎−2 =2𝑢

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

→ 𝑑𝜎−2 =2𝑑𝑢

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

→ 𝑑𝜎 = 2

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

−12

𝑑𝑢


𝐸 1

𝜎2 = 𝜎−2𝜎−2𝑛𝜎−1

∞

0

𝑥𝑖


12

𝑥𝑖

𝜎 2

𝑛𝑖=1

2𝑛 Γ 𝑛 +32

𝑑𝜎


52

𝐸 1

𝜎2 = ∫

2𝑢

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

2𝑢

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

𝑛

2𝑢

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

12 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1

𝑛


𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

−12

2𝑛 Γ 𝑛+3

2

𝑑𝑢∞

0

𝐸 1

𝜎2 =

2𝑢

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1 𝑛+

32 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1 𝑛 𝑒𝑥𝑝 −𝑢

2 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1

−

12

2𝑛 Γ 𝑛 +32

𝑑𝑢

∞

0

𝐸 1

𝜎2 = 2𝑛+

32 2−

12 2−𝑛

𝑢 𝑛+32 𝑒𝑥𝑝 −𝑢 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1 −1

Γ 𝑛 +32

𝑑𝑢

∞

0

𝐸 1

𝜎2 = 2

𝑢 𝑛+32 𝑒𝑥𝑝 −𝑢 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1 −1

Γ 𝑛 +32

𝑑𝑢

∞

0

karena ∫ 𝑢 𝑛+3


0𝑑𝑢 = Γ 𝑛 +

5

2 , diperoleh:

∴ 𝐸 1

𝜎2 =

2 Γ 𝑛 +52

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1 −1

Γ 𝑛 +32

(4.19)

sehingga dengan menggunakan persamaan (4.14) dan (4.15), diperoleh estimator Bayes:

𝜎 =𝐸

1𝜎

𝐸 1𝜎2

𝜎 =

2 Γ 𝑛 + 2 𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1 −

12

Γ 𝑛 +32

2 Γ 𝑛 +52 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1

−1

Γ 𝑛 +32

𝜎 = 2 Γ 𝑛 + 2 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1

−12

2 Γ 𝑛 +52 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1

−1

∴ 𝜎 = 2 Γ 𝑛 + 2

2 Γ 𝑛 +52

𝑥𝑖2

𝑛

𝑖=1

(4.20)

Jadi, diperoleh estimator bayes 𝜎 𝐵𝑆1 = 2 Γ 𝑛+2

2 Γ 𝑛+5

2

𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1


53

4.2 Simulasi Data menggunakan Program R

Penaksir yang diperoleh menggunakan metode Maximum Likelihood dan metode

Bayes akan dibandingkan menggunakan simulasi. Simulasi data dilakukan dengan

membangkitkan berbagai jenis kondisi data yang melibatkan tiga macam ukuran

sampel yaitu n = 10, n = 25, n = 50, dan n = 100. Data yang diperoleh tersebut

dianalisis untuk menduga parameter menggunakan metode Maximum Likelihood

dan metode Bayes. Selanjutnya dihitung nilai bias dan MSE (Mean Square Error)

dari kedua metode tersebut. Simulasi pada penelitian ini dilakukan dengan

program R.

Tabel 4.1 Nilai Bias Estimasi Distribusi Rayleigh

N 𝝈 Nilai Estimator Nilai Bias

𝝈 𝑴𝑳𝑬 𝝈 𝑩𝑺𝒑 𝝈 𝑩𝑺𝒆 𝝈 𝑩𝑺𝟏 𝝈 𝑴𝑳𝑬 𝝈 𝑩𝑺𝒑 𝝈 𝑩𝑺𝒆 𝝈 𝑩𝑺𝟏

10

0,5 0.7496453 0.7315789 0.7066852 0.691493 -0.2846832 -0.2898723 -0.2970224 -0.3013859

1 0.7496453 0.7315789 0.7066852 0.691493 -0.7846832 -0.7898723 -0.7970224 -0.8013859

1,5 0.7496453 0.7315789 0.7066852 0.691493 -1.284683 -1.289872 -1.297022 -1.301386

2 0.7496453 0.7315789 0.7066852 0.691493 -1.784683 -1.789872 -1.797022 -1.801386

2,5 0.7496453 0.7315789 0.7066852 0.691493 -2.284683 -2.289872 -2.297022 -2.301386

25

0,5 0.6645003 0.6579534 0.6484712 0.6423827 -0.3881442 -0.3892462 -0.3908424 -0.3918672

1 0.6645003 0.6579534 0.6484712 0.6423827 -0.8881442 -0.8892462 -0.8908424 -0.8918672

1,5 0.6645003 0.6579534 0.6484712 0.6423827 -1.388144 -1.389246 -1.390842 -1.391867

2 0.6645003 0.6579534 0.6484712 0.6423827 -1.888144 -1.889246 -1.890842 -1.891867

2,5 0.6645003 0.6579534 0.6484712 0.6423827 -2.388144 -2.389246 -2.390842 -2.391867

50

0,5 0.7435811 0.7398909 0.7344527 0.7308961 -0.4095031 -0.4099522 -0.4106141 -0.4110469

1 0.7435811 0.7398909 0.7344527 0.7308961 -0.9095031 -0.9099522 -0.9106141 -0.9110469

1,5 0.7435811 0.7398909 0.7344527 0.7308961 -1.409503 -1.409952 -1.410614 -1.411047

2 0.7435811 0.7398909 0.7344527 0.7308961 -1.909503 -1.909952 -1.910614 -1.911047

2,5 0.7435811 0.7398909 0.7344527 0.7308961 -2.409503 -2.409952 -2.410614 -2.411047

100

0,5 0.7096232 0.7078558 0.7052282 0.7034933 -0.4382613 -0.438415 -0.4386436 -0.4387946

1 0.7096232 0.7078558 0.7052282 0.7034933 -0.9382613 -0.938415 -0.9386436 -0.9387946

1,5 0.7096232 0.7078558 0.7052282 0.7034933 -1.438261 -1.438415 -1.438644 -1.438795

2 0.7096232 0.7078558 0.7052282 0.7034933 -1.938261 -1.938415 -1.938644 -1.938795

2,5 0.7096232 0.7078558 0.7052282 0.7034933 -2.438261 -2.438415 -2.438644 -2.438795


54

Tabel 4.2 Nilai MSE Estimasi Distribusi Rayleigh

N 𝝈 Nilai Estimator Nilai MSE

𝝈 𝑴𝑳𝑬 𝝈 𝑩𝑺𝒑 𝝈 𝑩𝑺𝒆 𝝈 𝑩𝑺𝟏 𝝈 𝑴𝑳𝑬 𝝈 𝑩𝑺𝒑 𝝈 𝑩𝑺𝒆 𝝈 𝑩𝑺𝟏

10

0,5 0.7496453 0.7315789 0.7066852 0.691493 0.1299173 0.1317209 0.1342944 0.1359151

1 0.7496453 0.7315789 0.7066852 0.691493 0.6646005 0.6715932 0.6813168 0.687301

1,5 0.7496453 0.7315789 0.7066852 0.691493 1.699283 1.711465 1.728338 1.738687

2 0.7496453 0.7315789 0.7066852 0.691493 3.233966 3.251337 3.27536 3.290073

2,5 0.7496453 0.7315789 0.7066852 0.691493 5.268649 5.291209 5.322382 5.341459

25

0,5 0.6645003 0.6579534 0.6484712 0.6423827 0.1885944 0.1890773 0.1897811 0.1902356

1 0.6645003 0.6579534 0.6484712 0.6423827 0.8267386 0.8283235 0.8306235 0.8321028

1,5 0.6645003 0.6579534 0.6484712 0.6423827 1.964882 1.967569 1.971465 1.973969

2 0.6645003 0.6579534 0.6484712 0.6423827 3.603026 3.606815 3.612307 3.615836

2,5 0.6645003 0.6579534 0.6484712 0.6423827 5.74117 5.746061 5.753149 5.757703

50

0,5 0.7435811 0.7398909 0.7344527 0.7308961 0.196964 0.1971867 0.1975158 0.1977314

1 0.7435811 0.7398909 0.7344527 0.7308961 0.8564671 0.8571389 0.8581299 0.8587783

1,5 0.7435811 0.7398909 0.7344527 0.7308961 2.01597 2.017091 2.018744 2.019825

2 0.7435811 0.7398909 0.7344527 0.7308961 3.675473 3.677043 3.679358 3.680872

2,5 0.7435811 0.7398909 0.7344527 0.7308961 5.834976 5.836995 5.839972 5.841919

100

0,5 0.7096232 0.7078558 0.7052282 0.7034933 0.2095575 0.2096487 0.2097844 0.2098742

1 0.7096232 0.7078558 0.7052282 0.7034933 0.8978188 0.8980637 0.898428 0.8986688

1,5 0.7096232 0.7078558 0.7052282 0.7034933 2.086079 2.086479 2.087073 2.087465

2 0.7096232 0.7078558 0.7052282 0.7034933 3.77434 3.774894 3.775717 3.77626

2,5 0.7096232 0.7078558 0.7052282 0.7034933 5.962601 5.963309 5.964361 5.965055

Dari tabel 4.1 dapat dilihat bahwa untuk nilai bias dari kedua metode

menunjukkan nilai bias semakin kecil dengan ukuran sampel semakin besar. Hal

ini sesuai dengan teori yang mengatakan bahwa pendugaan Maximum Likelihood

sangat baik pada sampel ukuran besar. Nilai bias pada metode Bayes dengan

fungsi kerugian loss function-L1 menunjukkan angka yang semakin kecil

dibandingkan dengan metode Maximum Likelihood dan metode Bayes dengan

fungsi kerugian precautionary loss function, entropy loss function, dan loss

function-L1.

Sedangkan untuk nilai MSE, dari tabel 4.2 menunjukkan nilai error yang

semakin besar dengan kondisi ukuran sampel semakin besar. Nilai MSE pada

metode Maximum Likelihood menunjukkan angka lebih kecil dibandingkan

dengan metode Bayes dengan fungsi kerugian precautionary loss function,

entropy loss function, dan loss function-L1.

Dari hasil simulasi data pada tabel diatas menunjukkan bahwa metode

Bayes tidak selamanya lebih baik dalam menaksir parameter dibandingkan

dengan metode Maximum Likelihood.


BAB 5

KESIMPULAN DAN SARAN

Pada bab ini akan diperlihatkan kesimpulan yang diperoleh dari hasil penelitian

yang diperoleh pada bab sebelumnya.

5.1 Kesimpulan

1. Estimator yang diperoleh dari penaksiran parameter pada distribusi Rayleigh

dengan metode Maximum Likelihood dan metode Bayes menggunakan

fungsi kerugian dibawah quasi-prior dengan asumsi bahwa distribusi prior

non-informatif dan pendekatan yang dilakukan dengan metode Jeffrey’s

adalah:

Estimasi dengan metode Maksimum Likelihood :

𝜎 𝑀𝐿𝐸 = 1

2𝑛 𝑥𝑖

2

𝑛

𝑖=1

Estimasi dengan metode Bayes dengan beberapa fungsi risiko:

(a) Precautionary Loss Function

𝜎 𝐵𝑆𝑝 = Γ 𝑛+

1

2 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1

2 Γ 𝑛+3

2

(b) Entropy Loss Function

𝜎 𝐵𝑆𝑒 = Γ 𝑛+

3

2 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1

2 Γ 𝑛+2

(c) Loss Function-L1

𝜎 𝐵𝑆1 = 2 Γ 𝑛 + 2

2 Γ 𝑛 +52

𝑥𝑖2

𝑛

𝑖=1


56

2. Berdasarkan simulasi data dari estimator yang diperoleh dengan

menggunakan program R, diketahui bahwa nilai bias dari kedua metode

menunjukkan pola yang sama yakni nilai bias semakin kecil dengan ukuran

sampel semakin besar. Nilai bias pada metode Bayes dengan fungsi

kerugian loss function-L1 menunjukkan angka yang semakin kecil

dibandingkan dengan metode Maximum Likelihood dan metode Bayes

dengan fungsi kerugian precautionary loss function, entropy loss function,

dan loss function-L1.

3. Nilai MSE dari tabel hasil simulasi data menunjukkan error yang semakin

besar dengan kondisi ukuran sampel semakin besar. Nilai MSE pada metode

Maximum Likelihood menunjukkan angka lebih kecil dibandingkan dengan

metode Bayes dengan fungsi kerugian precautionary loss function, entropy


4. Dari analisis tersebut menunjukkan bahwa metode Bayes tidak selamanya

lebih baik dalam menaksir parameter dibandingkan dengan metode

Maximum Likelihood.

5.2 Saran

1. Melakukan penaksiran parameter distribusi Rayleigh lebih dari satu

parameter.

2. Melakukan penaksiran parameter distribusi Rayleigh dengan

membandingkan beberapa metode penaksiran untuk melihat metode terbaik

dalam menaksir parameter distribusi Rayleigh.


57

DAFTAR PUSTAKA

Al-Mayali dan Al-Shaibani. 2013. A Comparison for Some of the Estimators of

Rayleigh Distribution with Simulation. Journal of Karbala University. 4 (11).

Bolstad, W.M. 2007. Introduction to Bayesian Statistics Second Edition. America:

A John Wiley & Sons. Inc.

Box, G.E.P and Tiao, G.C. 1973. Bayesian Inference In Statistical Analysis.

Phlilippines: Addision-Wesley Publishing Company, Inc.

Berger, C. 1990. Statistical Inference. New York: Pasific Grove.

Gaffney, J., dan John, E. 1984. On Predicting Software Related Performance of

Large-Scale Systems dalam Tenth International Computer Measurement

Group Conference. San Fransisco.

Harinaldi. 2005. Prinsip-prinsip Statistik untuk Teknik dan Sains. Jakarta:

Erlangga.

Hasan, dan Iqbal. 2002. Pokok-Pokok Materi Statistik 1 (Statistik Deskriptif).

Jakarta: Bumi Aksara.

Hogg, R.V and Tanis, E.A., 1997. Probability and Statistical Inference Fifth

Edition. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall International, Inc.

Hogg, R.V and Tanis, E.A., 2001. Probability and Statistical Inference Sixth

Edition. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall International, Inc.

Johnson, N. L., Kotz, S. and Balakrishnan, N. 1994. Continuous Univariate

Distributions, Volume 1, Second Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc.

Krishnamoorthy, K. 2006. Handbook of Statistical Distributions with

Applications. USA: Chapman & Hall/CRC.

Larsen, R.J and Marx, M.L. 2012. An Introduction to Mathematical Statistics and

Its Applications Fifth Edition. Prentice Hall.

Lawless, J.K. 1982. Statistik Model and Methods for Lifetime Data. New York:

John Willey and Sons, Inc.

L. H. Putnam. 1978. A General Empirical Solution to the Macro Software Sizing

and Estimating Problem, Ieee Transactions On Software Engineering Vol. %1

dari %2SE-4 no. 4, 345-361.

Millar, R. B. 2011. Maximum Likelihood Estimation and Inference: with example

in R, SAS and ADMB. New Zealand: John Wiley & Sons.

Montgomery, D.C and Runger, G.C. 2003. Applied Statistics and Probability for

Engineers Third Edition. John Wiley & Sons, Inc.


58

M. Trachtenberg. 1982. Discovering How to Ensure Software Relaibility. Pp. 53-

57.

Singh, K.L., dan Srivastava, R. S. 2014. Bayesian estimation of parameter of

invers Maxwell distribution via size-biased sampling, International Journal of

Science and Research. 1835–1839.

Soejoeti, Z dan Soebanar. 1988. Inferensi Bayesian. Jakarta: Karunika Universitas

Terbuka.

Wackerly, D.D., Medenhall III, W., Scheaffer, R.L. 2008. Mathematical Statistics

with Applications, Seventh Edition. USA: Thomson Learning, Inc.

Walpole, R.E. 1997. Pengantar Statistika Edisi ke-3. Alih bahasa oleh Sumantri,

B. Jakarta: PT. Gramedia Pustaka Utama.

Walpole, R.E., Myers, R.H., and Myers, S.L. 1998. Probability and Statistics for

Engineers and Scientists, Sixth Edition. Upper Saddle River, New Jersey:

Prentice Hall, Inc.

Waluyo, S. D. 2001. Statistika untuk Pengambilan Keputusan. Jakarta: Ghalia

Indonesia.

Widiharih T, Suparti. 2003. Statistika Matematika II. Semarang: Universitas

Diponegoro.


penaksiran parameter pada distribusi rayleigh …

Documents