pendahuluan pengantar metode simpleksfile.upi.edu/direktori/fpmipa/jur._pend._matematika/... · dan...
TRANSCRIPT
Fitriani Agustina, Math,
UPI
1
Pendahuluan
Pengantar Metode
Simpleks
Fitriani Agustina, Math,
UPI
2
METODE SIMPLEKS (PRIMAL)
• Masalah Program Linear
• Masalah Program Linear dalam Bentuk Matriks
• Ketentuan dalam Bentuk Standar Masalah PL
• Bentuk Standar Masalah Program Linear
• Bentuk Standar Pembatas Linear
• Bentuk Standar Peubah Keputusan
• Bentuk Standar PL dalam Bentuk Matriks
• Solusi Basis dan Solusi Basis Fisibel
• Memperbaiki Nilai Fungsi Tujuan z
• Mengakhiri Perhitungan Simpleks
Fitriani Agustina, Math,
UPI
3
Masalah Program Linear
• Maksimasi (Minimasi) :
dengan pembatas linear
dan pembatas tanda
nnxcxcxcz 2211
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
,,
,,
,,
2211
22222121
11212111
njx j ,,2,1,0
Fitriani Agustina, Math,
UPI
4
Masalah PL dalam bentuk matriks
• Maksimasi (Minimasi) :
dengan pembatas linear dan pembatas tanda
dimana:
00 xcz t
bxA 0000 x
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
0
nc
c
c
c
2
1
0
nx
x
x
x
2
1
0
mb
b
b
b
2
1
Fitriani Agustina, Math,
UPI
5
Ketentuan dalam Bentuk Standar
Masalah PL
• Seluruh pembatas linear harus berbentuk
persamaan dengan ruas kanan yang nonnegatif.
• Seluruh peubah keputusan harus merupakan
peubah nonnegatif.
• Fungsi tujuan merupakan maksimasi /minimasi.
Beberapa hal yang dapat dilakukan untuk memperoleh
bentuk standar masalah PL sesuai ketentuan di atas
berkaitan dengan pembatas linear dan peubah
keputusan.
Fitriani Agustina, Math,
UPI
6
Bentuk Standar Pembatas Linear
• Apabila pembatas linearnya bertanda ”≤”, maka
pada ruas kiri pembatas linear perlu ditambahkan
slack variable.
• Pembatas linear bertanda ”≤” berhubungan dengan
penggunaan dan ketersediaan sumber daya,
sehingga slack variable mewakili jumlah sumber
daya yang tidak dipergunakan.
• Misalkan pembatas linear ke-p bertanda ”≤”, maka
diperoleh bentuk standar:
dimana merupakan slack variable
ppnnpnpp bxxaxaxa 2211
pnx
Fitriani Agustina, Math,
UPI
7
• Apabila pembatas linearnya bertanda ”≥”, maka
pada ruas kiri pembatas linear perlu dikurangkan
surplus variable.
• Pembatas linear bertanda ” ≥” berhubungan
dengan persyaratan spesifikasi minimum,
sehingga surplus variable mewakili jumlah
kelebihan sesuatu dibandingkan dengan
spesifikasi minimumnya.
• Misalkan pembatas linear ke-q bertanda ” ≥”,
maka diperoleh bentuk standar:
dimana merupakan surplus variable
qqnnqnqq bxxaxaxa 2211
qnx
Fitriani Agustina, Math,
UPI
8
• Ruas kanan dari suatu persamaan dapat dijadikan
bilangan nonnegatif dengan cara mengalikan kedua
ruas dengan .
• Arah pertidaksamaan berubah apabila kedua ruas
dikalikan dengan .
• Pembatas linear dengan pertidaksamaan yang ruas
kirinya berada dalam tanda mutlak dapat diubah
menjadi dua pertidaksamaan.
1
1
Fitriani Agustina, Math,
UPI
9
Bentuk Standar Peubah Keputusan
• Suatu peubah keputusan yang tidak terbatas
dalam tanda dapat dinyatakan sebagai dua peubah
keputusan nonnegatif dengan menggunakan
substitusi:
dimana dan . Selanjutnya substitusi
ini harus dilakukan pada seluruh pembatas linear
dan fungsi tujuannya.
• Oleh karena itu bentuk standar masalah PL
dinyatakan dalam bentuk matriks adalah:
jx
21
jjj xxx
01 jx 02 jx
Fitriani Agustina, Math,
UPI
10
Bentuk Standar Masalah PL dalam
Bentuk Matriks
• Misalkan terdapat m pembatas linear dimana
sebanyak g pembatas linear dengan tanda "≤", dan
sebanyak h pembatas linear dengan tanda "≥",
maka dapat dinyatakan bahwa terdapat
(m – g – h ) pembatas linear dengan tanda "=".
• Maksimasi (Minimasi) :
dengan pembatas linear dan pembatas tanda
s
t
s
t xcxcz 00
bxA 0x
Fitriani Agustina, Math,
UPI
11
Solusi Basis dan Solusi Basis Fisibel
• Bentuk standar pembatas linear adalah
(1)
Persamaan (1) dapat dinyatakan dalam bentuk
berikut ini:
(2)
dimana adalah vektor-vektor yang
merupakan vektor kolom pada matriks A dengan
orde dimana .
• Pada pembahasan ini diasumsikan bahwa
persamaan (1) konsisten.
bxA
bxxx NN 2211
Naaa ,,, 21
Nm hgnN
Fitriani Agustina, Math,
UPI
12
• Persamaan (1) diasumsikan bahwa dan
serta tiap peubah secara tetap
diasosiasikan berkoresponden dengan vektor
kolom .
• Apabila dipilih m vektor kolom yang membentuk
matriks A adalah bebas linear, dan peubah
lain yang berkoresponden dengan vektor-vektor
yang tersisa pada matriks A tersebut mempunyai
nilai nol, sehingga himpunan m persamaan
simultan itu mempunyai penyelesaian tunggal yang
dinamakan penyelesaian dasar (solusi basis).
Nm
mARank jx
j
mN
Fitriani Agustina, Math,
UPI
13
• m peubah dari solusi basis yang berasosiasi
dengan m vektor kolom yang bebas linear
dinamakan peubah dasar (basic variable/BV),
• (N – m) peubah sisanya dinamakan peubah
nondasar (nonbasic variable/NBV) pada
umumnya ditetapkan bernilai nol.
• Apabila terdapat satu/lebih BV yang bernilai nol
maka masalah program linear tersebut dinamakan
degenerasi dan BV yang bernilai nol dinamakan
peubah degenerasi.
• Jika seluruh peubah pada suatu solusi basis
bernilai nonnegatif, maka solusi itu dinamakan
solusi basis fisibel (BFS).KLIK
Fitriani Agustina, Math,
UPI
14
Memperbaiki nilai fungsi tujuan z
• Misalkan diberikan z tertentu sebagai solusi basis
awal, maka pada iterasi berikutnya akan dicoba
untuk memperoleh solusi basis fisibel yang baru
dengan nilai fungsi tujuan yang berubah.
• Apabila maksimasi maka nilai z
akan ditingkatkan dengan cara memperoleh solusi
basis fisibel yang baru sampai mencapai nilai
maksimum (optimal),dan berlaku sebaliknya untuk
kasus minimasi.
nxxxfz ,,, 21
Fitriani Agustina, Math,
UPI
15
• Misalkan untuk bentuk standar masalah PL
diketahui solusi basis fisibel awalnya dan B
merupakan matriks dengan orde (m x m) dimana
kolom-kolom dari matriks B merupakan vektor
basis, sehingga B dinamakan matriks basis yaitu
suatu sub matriks dari matriks A yang non singular
mNnmnmmnmm
Nnnn
Nnnn
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
A
2121
2221222221
1211111211
Fitriani Agustina, Math,
UPI
16
100
010
001
21
22221
11211
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
100
010
001
21
22212
12111
mNnmnm
Nnn
Nnn
aaa
aaa
aaa
B
Fitriani Agustina, Math,
UPI
17
• Ambil sembarang vektor basis dan vektor harga
dari peubah basis , kemudian dari
diidentifikasi sejumlah NBV dan BV dari persamaan
awal yang merupakan solusi basis fisibel:
atau
dan fungsi tujuannya adalah
dimana
bxA
bxB B
B
t
B xcz
Bx
Bc
100
010
001
B
mb
b
b
b
2
1
Bm
B
B
B
x
x
x
x
2
1
bdxdxdxdx mBmrBrrBrB 1111
m
i
iBi bdx1
Fitriani Agustina, Math,
UPI
18
• Perlu diingat bahwa B merupakan matriks berorde
(m x m) dan , hal ini berarti
bahwa tiap kolom dari matriks A , yaitu
merupakan kombinasi linear dari kolom pada
matriks B. Hubungan tersebut dapat dinyatakan
sebagai berikut:
atau
dimana:
BRankmARank
j
id
m
i
ijij
mmjjj
ad
dada
1
11
jj aB
Tmjjj aaa 1
Fitriani Agustina, Math,
UPI
19
• Solusi basis fisibel yang baru diperoleh dengan
cara sederhana yaitu dengan hanya mengganti
satu kolom matriks B.
• Matriks basis baru yang non singular dinotasikan
dengan yang dibentuk melalui perubahan kolom
dari matriks B dan penempatan kembali kolom
( ) dari matriks A. Dalam hal ini dapat
dinyatakan sebagai kombinasi linear dari :
(3)
B
rd
k 0k k
mdd ,,1
mmkrrkkk dadada 11
Fitriani Agustina, Math,
UPI
20
• apabila solusi persamaan (3) untuk disubstitusi
ke persamaan akan diperoleh solusi
basis baru yaitu:
• Solusi basisnya harus fisibel, yaitu:
untuk
dimana:
rd
m
i
iBi bdx1
ba
xdx
a
ax k
rk
Brm
rii
iBr
rk
ikBi
;1
0
Br
rk
ikBiBi x
a
axx rimi dan ,,1
0rk
BrBr
a
xx 00;min
,,1
ik
ik
Bi
mirk
Br aa
x
a
x
Fitriani Agustina, Math,
UPI
21
• Nilai fungsi tujuan dapat ditentukan oleh , dan
untuk permasalahan memaksimumkan z, diperoleh
dan
tetapi karena , dan maka
diperoleh:
dimana dan adalah solusi
basis fisibel untuk suatu k yang diberikan karena
dan diketahui.
zz
m
i
BiBi xcz1
m
i
BiBi xcz1
BiBi cc ri kBr cc
kkkk
rk
Br czzcza
xzz
i
t
B
m
i
ikBik acacz 1
kz
Bc
ka
Fitriani Agustina, Math,
UPI
22
Mengakhiri perhitungan simpleks
Secara garis besar pada tiap iterasi metode simpleks,
terdapat tiga aspek yang perlu diperhatikan, yaitu:
1. Vektor (berkorespondensi dengan peubah )
adalah calon peubah untuk menjadi peubah
masuk (entering variable/EV) pada matriks basis
apabila k memenuhi syarat:
(a.1)
k kx
0;min,,1
jjjjNj
kk czczcz
Fitriani Agustina, Math,
UPI
23
• Penyataan jika dan hanya jika dan
menunjukkan bahwa dapat dipilih vektor
dari matriks A untuk masuk dalam matriks basis.
• Apabila terdapat lebih dari satu k yang
menunjukkan bahwa maka nilai k yang
dipilih adalah nilai k yang menunjukkan
yang paling minimum.
zz 0 kk cz
0 k
0 kk cz
0 kk cz
Fitriani Agustina, Math,
UPI
24
2. Vektor (berkorespondensi dengan peubah )
akan menjadi peubah keluar (leaving variable/LV)
meninggalkan matriks basis apabila r memenuhi
syarat: (a.2)
3. Fungsi tujuan dapat diperbaiki (ditingkatkan
apabila memaksimumkan) jika dan hanya jika
dan dimana θ diperoleh pada aspek
ke-2.
00;min,,1
ik
ik
Bi
mirk
Br aa
x
a
x
00 kk cz
rd Brx
Fitriani Agustina, Math,
UPI
25
4. Apabila tidak ada k yang menunjukkan
Dengan kata lain terdapat nilai untuk tiap
kolom vektor pada matriks A. Hal ini berarti
bahwa nilai fungsi tujuan telah mencapai
maksimum.
Untuk masalah program linear dengan maksimasi
z = ct x dengan pembatas linear Ax = b dan pembatas
tanda x ≥ 0. Misalkan solusi basis fisibel ada dan
paling sedikit untuk satu nilai k, zk – ck < 0 dan aik ≥ 0
untuk semua (i = 1, ..., m), maka masalah program
linear tersebut mempunyai nilai tak tebatas untuk
fungsi tujuannya.
0 kk cz
0 kk cz
j
Fitriani Agustina, Math,
UPI
26
Untuk masalah program linear dengan maksimasi
dengan pembatas linear dan
pembatas tanda . Apabila pada solusi basis
fisibel yang diperoleh terdapat untuk tiap
kolom dari matriks A yang tidak terdapat pada
matriks B maka solusi basis fisibelnya adalah
optimal.
xcz t bxA
0x
0 jj cz
j