pendahuluan · web viewukuran keeratan hubungan disebut dengan koefisien korelasi (pearson product...
TRANSCRIPT
PENDAHULUAN
BAB I
PENDAHULUAN
Statistika inferensial adalah metode-metode yang berhubungan dengan analisis sebagian data (sample) untuk kemudian sampai pada peramalan atau penarikan kesimpulan mengenai keseluruhan data populasi.
Dari pernyataan tersebut terkandung makna bahwa statistika inferensial mempunyai 2 fungsi, yaitu:
1. Estimasi, yaitu usaha untuk menduga, menaksir atau meramalkan suatu keadaan tertentu.
2. Membuktikan atau menguji kebenaran suatu hipotesis.
Hipotesis adalah asumsi atau dugaan mengenai sesuatu hal.
Ada 2 macam hipotesis:
1. Hipotesis nol (H0) merupakan suatu pernyataan mengenai nilai parameter populasi. Biasanya dinyatakan dengan “tidak ada perbedaan” , “tidak ada hubungan”, “sama dengan”, dll.
2. Hipotesis alternative (H1) merupakan pernyataan yang diperoleh dari kajian teoritis, biasanya merupakan asumsi dari peneliti.
Beberapa bentuk pasangan hipotesis:
a. H0 :
H1 : ≠
c. H0 :
H1 :
b. H0 :
H1 :
Contoh:
1. H0 : ribu (Rata-rata produksi TV di suatu perusahaan adalah 90 ribu unit)
H1 : ≠ ribu (Rata-rata produksi TV di suatu perusahaan adalah tidak sama dengan 90 ribu unit)
2. H0 : pp = pw (Proporsi pria perokok tidak berbeda dengan proporsi wanita perokok)
H1 : pp > pw (Proporsi pria perokok lebih besar daripada proporsi wanita perokok)
Jenis Kesalahan
Keputusan
Terima H0
Terima H1
Keadaan sebenarnya
H0 benar
Benar
Salah jenis I ()
H1 benar
Salah jenis II
Benar
adalah peluang menolak H0 padahal H0 benar
adalah peluang menolak H1 padahal H1 benar
Peneliti atau pembuat keputusan selalu berusaha agar kedua jenis kesalahan tersebut dibuat sekecil mungkin. Nilai kesalahan yang biasa digunakan adalah sebesar 0.05 = 5%
Prosedur pengujian hipotesis:
1. Merumuskan hipotesis (H0 dan H1)
2. Menentukan uji yang sesuai (uji Z, uji t, F, 2, dll)
3. Menentukan nilai tabel
4. Menentukan daerah keputusan
5. Mengambil keputusan (tolak H0 atau terima H0) dan menyimpulkan
BAB II
UJI CHI SQUARE (2)
Merupakan teknik analisis yang diantaranya digunakan untuk menguji ada tidaknya perbedaan pada gejala nominal atau ordinal dan kemudian menarik kesimpulan dari gejala tersebut.
Pada dasarnya teknik analisis dapat dikelompokkan menjadi 2:
1. Bila tabel kontingensi berbentuk 2 x 2
(
)
å
-
-
=
e
e
o
f
f
f
2
2
5
.
0
c
2. Bila tabel kontingensi berbentuk selain 2 x 2
(
)
å
-
=
e
e
o
f
f
f
2
2
c
dimana
fo = frekuensi observasi atau frekuensi teramati
fe = frekuensi ekspektasi atau frekuensi harapan
=
(
)
(
)
å
å
å
total
baris
o
kolom
o
f
f
x
f
Dengan derajat bebas (db) = (r-1) (c-1)
Kriteria pengambilan keputusan
· Tolak H0 bila 2 hitung ≥ 2 , db
· Terima H0 bila 2 hitung < 2 , db
Untuk mengetahui besarnya hubungan antara dua variable digunakan koefisien Cremer (V) dengan persamaan:
(
)
(
)
1
,
1
min
'
2
-
-
=
c
r
n
V
s
Cremer
c
-1 ≤ V ≤ 1
· Uji 2 untuk sample lebih dari satu
Contoh:
1. Seorang manager pemasaran ingin mengetahui bagaimana minat pembelian suatu produk bila ditinjau dari usia konsumen berdasarkan data berikut:
Minat membeli
Jumlah
Suka
Tidak suka
Muda
10
30
40
Tua
40
20
60
Jumlah
50
50
100
Penyelesaian:
1. Menentukan hipotesis:
H0 : tidak terdapat perbedaan minat antara konsumen usia muda dan tua
H1 : ada perbedaan minat antara konsumen usia muda dan tua
2. Menentukan uji yang sesuai. Karena tabel yang terbentuk 2 x 2 maka digunakan persamaan
fe =
(
)
(
)
å
å
å
total
baris
o
kolom
o
f
f
x
f
Suka
Tidak suka
Muda
10
20
30
20
40
Tua
40
30
20
30
60
50
50
100
(
)
(
)
(
)
(
)
0416
.
15
30
5
.
0
30
20
30
5
.
0
30
40
20
5
.
0
20
30
20
5
.
0
20
10
2
2
2
2
2
=
-
-
+
-
-
+
-
-
+
-
-
=
c
3. Nilai tabel untuk 2 0.05 (1) = 3.841
4. Menentukan daerah keputusan
· Tolak H0 bila 2 hitung ≥ 2 0.05 (1)
· Terima H0 bila 2 hitung < 2 0.05 (1)
5. Sehingga kriteria keputusan adalah tolak H0 karena 2 hit > 2 0.05 (1) dengan kesimpulan bahwa ada perbedaan minat antara konsumen usia muda dan konsumen usia tua
Sementara itu untuk mengetahui besarnya hubungan antara kedua variable tersebut digunakan persamaan:
(
)
(
)
1
,
1
min
'
2
-
-
=
c
r
n
V
s
Cremer
c
=
1
100
0416
.
15
×
= 0.3878
Ini menunjukkan meskipun ada perbedaan minat antara konsumen usia muda dan konsumen usia tua tetapi hubungan antara minat membeli dan usia tidak terlalu besar.
2. Seorang peneliti menemukan data tentang tingkat pendidikan dengan jumlah anak
≤ 1
2-3
> 3
Jumlah
Pendidikan tinggi
30
20
10
60
Pendidikan sedang
40
40
10
90
Pendidikan rendah
20
40
90
150
Jumlah
90
100
110
300
Penyelesaian:
1. Menentukan hipotesis:
Hipotesis:
H0 : tidak terdapat hubungan antara tingkat pendidikan dengan jumlah anak
H1 : terdapat hubungan antara tingkat pendidikan dengan jumlah anak
2. Menentukan uji yang sesuai.
(
)
å
-
=
e
e
o
f
f
f
2
2
c
≤ 1
2-3
> 3
Jumlah
Pendidikan tinggi
30
18
20
20
10
22
60
Pendidikan sedang
40
27
40
30
10
33
90
Pendidikan rendah
20
45
40
50
90
55
150
Jumlah
90
100
110
300
(
)
å
-
=
e
e
o
f
f
f
2
2
c
= 42.259
1. Menentukan nilai tabel untuk 2 0.05 (4) = 9.488
2. Menentukan daerah keputusan
· Tolak H0 bila 2 hitung ≥ 2 0.05 ,(4)
· Terima H0 bila 2 hitung < 2 0.05, (4)
3. Sehingga kriteria keputusan adalah tolak H0 karena 2 hit > 2 0.05 (4) dengan kesimpulan bahwa ada hubungan antara tingkat pendidikan dengan jumlah anak.
Sementara itu untuk mengetahui besarnya hubungan antara kedua variable tersebut digunakan persamaan:
(
)
(
)
1
,
1
min
'
2
-
-
=
c
r
n
V
s
Cremer
c
=
2
300
259
.
42
×
= 0.265
Ini menunjukkan bahwa hubungan antara tingkat pendidikan dan jumlah anak tidak terlalu besar.
SOAL:
1. Berdasarkan data berikut, seorang dokter ingin :
Sakit jantung
Tidak sakit
Bukan perokok
10
30
Perokok
40
20
a. mengetahui hubungan kebiasaan merokok terhadap penyakit jantung
b. Besarnya hubungan antara kedua variable tersebut
2. Penelitian dilakukan terhadap 180 anak usia sekolah dari beberapa keluarga dengan tingkat sosial ekonomi (sosek) yang berbeda, diperoleh hasil sebagai berikut:
Mudah sakit
Sehat
Sosek baik
10
45
Sosek menengah
15
45
Sosek buruk
45
20
Berdasarkan data tersebut,
a. ujilah apakah ada hubungan antara kesehatan dengan tingkat sosial ekonomi
b. besarnya hubungan antara kedua variable tersebut.
· Uji 2 untuk sample tunggal
x
· Bila db=1
(
)
å
-
-
=
e
e
o
f
f
f
2
2
5
.
0
c
Contoh:
Misalnya dari suatu percobaan dengan metode baru diperoleh data sbb:
Kategori
Frek.
Berhasil
Gagal
Jumlah
fo
fe
27
20
13
20
40
40
1. Hipotesis:
H0 : peluang keberhasilan dan kegagalan untuk metode baru tersebut sama
H1 : peluang keberhasilan dan kegagalan untuk metode baru tersebut tidak sama
2.
(
)
(
)
2250
.
4
1125
.
2
1125
.
2
20
5
.
0
20
13
20
5
.
0
20
27
2
2
2
=
+
=
-
-
+
-
-
=
c
3. Nilai tabel untuk 2 0.05 (1) = 3.841
4. Menentukan daerah keputusan
a. Tolak H0 bila 2 hitung ≥ 2 0.05 (1)
b. Terima H0 bila 2 hitung < 2 0.05 (1)
5. Sehingga kriteria keputusan adalah tolak H0 karena 2 hit > 2 0.05 (1) dengan kesimpulan bahwa peluang keberhasilan dan kegagalan untuk metode baru tersebut tidak sama dimana metode mempunyai keberhasilan lebih banyak dari kegagalan
x
Bila db > 1
(
)
å
-
=
e
e
o
f
f
f
2
2
c
Contoh:
Penelitian dilakukan terhadap 45 siswa sekolah kejuruan. 13 orang menyukai sekolah mereka, 18 orang menyatakan sama saja dengan sekolah lain dan 14 anak tidak menyukai sekolah mereka.
Pendapat
Frek
Menyukai
Sama saja
Tdk menyukai
fo
fe
13
15
18
15
14
15
1. Hipotesis:
H0 : peluang pendapat siswa mengenai sekolah mereka sama
H1 : peluang pendapat siswa mengenai sekolah mereka tidak sama
2.
(
)
å
-
=
e
e
o
f
f
f
2
2
c
= 3.6001
3. Nilai tabel untuk 2 0.05 (2) = 5.991
4. Menentukan daerah keputusan
a. Tolak H0 bila 2 hitung ≥ 2 0.05 (2)
b. Terima H0 bila 2 hitung < 2 0.05 (2)
5. Sehingga kriteria keputusan adalah terima H0 karena 2 hit < 2 0.05 (2) dengan kesimpulan bahwa peluang pendapat mereka mengenai sekolah mereka sama
· Menghitung 2 tanpa frekuensi harapan
Untuk tabel berbentuk 2 x 2
Kategori 1a
Kategori 1b
Jumlah baris
Kategori 2a
A
B
a+b
Kategori 2b
C
D
c+d
Jumlah kolom
a+c
b+d
Jml tot= a+b+c+d
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
d
c
b
a
d
b
c
a
n
bc
ad
n
+
+
+
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
=
c
Contoh:
Penyelesaian:
1. Menentukan hipotesis:
H0 : tidak terdapat perbedaan minat antara konsumen usia muda dan tua
H1 : ada perbedaan minat antara konsumen usia muda dan tua
2. Menentukan uji yang sesuai. Karena tabel yang terbentuk 2 x 2 maka dapat digunakan persamaan
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
d
c
b
a
d
b
c
a
n
bc
ad
n
+
+
+
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
=
c
Minat membeli
Jumlah
Suka
Tidak suka
Muda
10
30
40
Tua
40
20
60
Jumlah
50
50
100
0417
.
15
6000000
)
950
(
100
)
60
(
)
40
(
)
50
(
)
50
(
2
100
)
40
)(
30
(
)
20
)(
10
(
100
2
2
2
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
=
c
3. Nilai tabel untuk 2 0.05 (1) = 3.841
4. Menentukan daerah keputusan
a. Tolak H0 bila 2 hitung ≥ 2 0.05 (1)
b. Terima H0 bila 2 hitung < 2 0.05 (1)
5. Sehingga kriteria keputusan adalah tolak H0 karena 2 hit > 2 0.05 (1) dengan kesimpulan bahwa ada perbedaan minat antara konsumen usia muda dan konsumen usia tua
2 Untuk Uji Kenormalan
2
x
1
x
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
rcn
X
n
r
X
X
n
c
X
X
n
X
X
X
2
total
2
c
2
1
2
r
2
1
2
rc
2
12
2
11
å
å
å
å
å
å
å
å
+
+
+
-
+
+
-
+
+
+
.
.
.
.
..
..
.
.
.
...
...
...
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
rcn
X
n
r
X
X
n
c
X
X
n
X
X
X
2
total
2
c
2
1
2
r
2
1
2
rc
2
12
2
11
å
å
å
å
å
å
å
å
+
+
+
-
+
+
-
+
+
+
.
.
.
.
..
..
.
.
.
...
...
...
q
p
s
Y
Y
r
Y
pb
0
1
-
=
(
)
(
)
6
0
4
0
58
6
25
15
.
.
.
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
u
q
.
p
s
Y
Y
r
Y
b
0
1
(
)
621
0
44
18
75
113
17
119
.
.
.
.
-
=
bX
a
Y
ˆ
+
=
(
)
0
2
2
=
-
-
-
=
¶
¶
å
å
X
b
a
Y
X
b
e
(
)
0
2
2
=
-
-
-
=
¶
¶
å
å
X
b
a
Y
a
e
Dengan hipotesis:
H0: data berdistribusi normal
H1 : data tidak berdistribusi normal
Menentukan daerah keputusan
· Tolak H0 bila 2 hitung ≥ 2 (5) ( data tidak berdistribusi normal
· Terima H0 bila 2 hitung < 2 (5) ( data berdistribusi normal
Contoh:
berikut ini adalah 50 data produksi gabah di suatu daerah. Tentukan apakah data tersebut berdistribusi normal
20
24
26
30
38
20
24
27
31
38
20
25
27
31
38
22
25
28
33
39
22
25
28
33
40
22
25
30
34
40
22
25
30
35
40
23
25
30
35
44
24
26
30
36
44
24
26
30
37
44
Penyelesaian:
1. Tentukan hipotesisnya:
H0: data berdistribusi normal
H1 : data tidak berdistribusi normal
2. Menentukan nilai 2
a. mencari nilai mean =
n
x
å
dan standard deviasi =
(
)
1
2
2
-
-
å
å
n
n
x
x
dari data di atas diperoleh mean= 29.9 dan standard deviasi = 6.8
b. menentukan nilai interval untuk mendapatkan frekuensi observasi (fo)
3. Membuat tabel untuk menghitung nilai 2
Kategori
Interval
fo
fo (%)
fe (%)
fo-fe
(fo-fe)2
(
)
e
e
o
f
f
f
2
-
> mean+2s
> 43.5
3
6
2.28
3.72
13.8384
6.069474
Mean+2s s/d mean+1s
36.7-43.5
8
16
13.59
2.41
5.8081
0.42738
Mean+1s s/d mean
29.9-36.7
14
28
34.13
-6.13
37.5769
1.100993
mean s/d mean-1s
23.1-29.9
17
34
34.13
-0.13
0.0169
0.000495
Mean-1s s/d mean-2s
16.3-23.1
8
16
13.59
2.41
5.8081
0.42738
Mean-2s >
16.3 >
0
0
2.28
-2.28
5.1984
2.28
Jumlah
50
100
100
10.3057
4. Menentukan nilai 2 tabel
2 tabel untuk db=5 dan taraf nyata 5% = 11.07
5. Menentukan kesimpulan
Karena 2 hitung (=10.3057) lebih kecil daripada 2 tabel (11.07) maka terima H0 dengan kesimpulan bahwa data berdistribusi normal
SOAL:
1. Suatu perusahaan keluarga memiliki 5 unit usaha. Pada rapat tahunan pemegang saham diharapkan setiap unit memberikan keuntungan 50jt per tahun. Berdasarkan laporan tutup buku diperoleh hasil sbb:
Bidang Usaha
Keuntungan(jt)
Wartel
41
Warnet
84
Toko kelontong
28
Fotocopy
52
Kantin
59
Ujilah apakah setiap unit memberikan keuntungan yang sama?
2. Tentukan kenormalan dari data di bawah ini:
52
57
60
62
66
54
57
60
63
66
55
57
61
63
67
56
58
61
63
67
56
59
61
64
67
56
59
61
64
68
56
59
61
64
68
56
59
62
65
56
60
62
65
75
56
60
62
65
77
PENERAPAN PENELITIAN BERTUJUAN MELIHAT PERBEDAAN (ANALISIS : UJI BEDA)
Satu populasi
Dua Populasi
3 Populasi ke atas
Sampel besar (≥ 30)
UJI Z
UJI Z
· DEPENDENT (PAIRED) SAMPLE
· INDEPENDENT SAMPLE
ONE WAY ANOVA
TWO WAY ANOVA
Sampel kecil (< 30)
UJI t
UJI t
1. UJI ≤ 2 POPULASI
A. ONE SAMPLE T TEST
Contoh :
Ketua Program bahwa rata-rata nilai statistika bisnis mahasiswa program studi S1 Manajemen adalah sebesar 80. Apakah pernyataan ini dapat disimpulkan benar ?
Sebuah penelitian kemudian dilakukan, dan diperoleh sejumlah data nilai mahasiswa mata Studi Manajemen menyatakan kuliah statistika bisnis berikut ini :
No.
Nilai
1
76.85
2
77.95
3
78.65
4
79.25
5
82.65
6
88.15
7
92.54
8
96.25
9
84.56
10
88.25
B. PAIRED SAMPLE T TEST (SAMPEL BERPASANGAN)
Contoh :
Sebuah penelitian terhadap efek training terhadap karyawan produsen sepatu dilakukan untuk melihat apakah training yang diberikan benar-benar memberikan efek yang positif terhadap produktivitas karyawan. Untuk itu sebuah sampel terdiri dari 10 orang, masing-masing dihitung berapa jumlah produk sepatu yang dihasilkan, dan setelah diberi training untuk 10 orang yang sama, dilakukan perhitungan ulang berapa jumlah produk sepatu yang dihasilkan.
No.
Juml produk sblm training
Juml produk sesudah training
1
50
55
2
52
60
3
54
50
4
51
51
5
55
65
6
50
50
7
51
50
8
52
51
9
54
52
10
52
50
C. INDEPENDENT SAMPLE T TEST (SAMPEL TERPISAH)
Seorang mahasiswa manajemen melakukan suatu penelitian untuk menyusun sebuah tugas akhir, yang bertujuan untuk melihat apakah terdapat perbedaan antara berat badan dan tinggi badan untuk mahasiswa dengan mahasiswi. Untuk itu dilakukan pengambilan sampel atas 7 orang mahasiswa dan 7 orang mahasiswi yang hasilnya adalah sebagai berikut:
No.
Tinggi badan
Berat badan
Gender
1
174.5
65.8
Pria
2
178.6
62.7
Pria
3
170.8
66.4
Pria
4
168.2
68.9
Pria
5
159.7
67.8
Pria
6
167.8
67.8
Pria
7
165.5
65.8
Pria
8
154.7
48.7
Wanita
9
152.7
45.7
Wanita
10
155.8
46.2
Wanita
11
154.8
43.8
Wanita
12
157.8
58.1
Wanita
13
156.7
54.7
Wanita
14
154.7
49.7
Wanita
2. UJI > 2 POPULASI (3 POPULASI KE ATAS)
ASUMSI DALAM ANOVA (ANALYSIS OF VARIANCE) :
1. Populasi yang diuji berdistribusi normal
2. Varians populasi yang diuji sama.
3. Antar populasi yang diuji tidak berhubungan (independen)
A. ONE WAY ANOVA
( Hanya ada satu faktor yang diuji beda
B. TWO WAY ANOVA
( memiliki lebih dari dua faktor yang diuji, sehingga dilakukan pula uji interaksi antar faktor
BAB II
PENGUJIAN RATA-RATA
Dalam pengujian nilai tengah (rata-rata) uji statistik yang digunakan adalah uji z atau uji t, tergantung pada banyaknya data sample yang diperoleh. Untuk sample besar (n≥30) digunakan uji z, sedangkan untuk sample kecil (n<30) digunakan uji t. Kedua uji statistik tersebut mensyaratkan bahwa sample harus berdistribusi normal dan merupakan data interval atau rasio.
( PENGUJIAN RATA-RATA UNTUK SATU POPULASI
a. sample besar (n ≥ 30)
n
x
z
/
0
s
m
-
=
s
Hipotesis yang digunakan adalah:
≠≠
Wilayah kritis
Wilayah kritis
Wilayah kritis
zhit > z
zhit <- z/2 dan zhit > z/2
zhit <- z
Contoh:
1. Pada tahun 1970-an tinggi badan rata-rata orang Indonesia adalah 161 cm dengan varians 81 cm. Saat ini, diduga telah terjadi kenaikan rata-rata tinggi badan bila dibandingkan dengan tahun 1970-an. Untuk membuktikannya diambil contoh acak berukuran 35 dan diperoleh rata-rata sebesar 167 cm. Ujilah apakah dugaan tersebut benar pada taraf nyata 5%. Diasumsikan sample berdistribusi normal.
Diketahui:
Rata-rata populasi (0) = 161 cm
varians () = 81 cm ( simpangan baku () = 9 cm
Banyaknya sample (n) = 35
Rata-rata sample (
x
) = 167
Taraf nyata () = 0.05
Jawab:
1. Menentukan hipotesis
H0 : = 161 (rata-rata tinggi badan sama dengan 161 cm)
H1 : > 161 (rata-rata tinggi badan lebih dari 161 cm)
2. Karena sample yang digunakan berukuran besar (n > 30) maka uji yang digunakan adalah uji z
n
x
z
/
0
s
m
-
=
z =
35
9
161
167
-
=
94
.
3
521
,
1
6
=
3. Menentukan nilai tabel. Untuk = 0.05 maka z= 1.645
4. Menentukan daerah keputusan (wilayah kritik)
· Tolak H0 bila zhit ≥ z = 1.645
· Terima H0 bila zhit < z = 1.645
5. Karena nilai zhit (3.94) lebih besar dari nilai z (1.645) maka tolak H0 dengan kesimpulan rata-rata tinggi orang Indonesia saat ini lebih dari 161 cm
2. Sebuah perusahaan alat olah raga mengembangkan jenis batang pancing sintetik yang dikatakan mempunyai kekuatan rata-rata 8 kg dan simpangan baku 0.5 kg. Ujilah hipotesis alternatif yang menyatakan bahwa kekuatan rata-ratanya tidak sama dengan 8 kg, bila dari 50 sampel batang pancing yang diambil menunjukkan rata-rata kekuatan 7.8 kg. Gunakan taraf nyata 0.01. Diasumsikan sample berdistribusi normal.
Diketahui:
Rata-rata populasi (0) = 8 kg
simpangan baku () = 0.5 kg
Banyaknya sample (n) = 50
Rata-rata sample (
x
) = 7.8 kg
Taraf nyata () = 0.01
Jawab:
1. Menentukan hipotesis
H0 : = 8 (rata-rata kekuatan batang pancing sama dengan 8 kg)
H1 : ≠ 8 (rata-rata kekuatan batang pancing tidak sama dengan 8 kg)
2. Karena sample yang digunakan berukuran besar (n > 30) maka uji yang digunakan adalah uji z
n
x
z
/
0
s
m
-
=
z =
50
5
.
0
8
8
.
7
-
=
83
.
2
07
.
0
2
.
0
-
=
-
3. Menentukan nilai tabel. Karena hipotesis yang digunakan bertanda ≠ maka digunakan uji 2 arah ( = 0.005 maka z = 2.575
4. Menentukan daerah keputusan (wilayah kritik)
· Tolak H0 bila zhit ≤ - z = - 2.575 atau bila zhit ≥ z = 2.575
· Terima H0 bila -z (-2.575) < zhit < z (2.575)
6. Karena nilai zhit (-2.83) lebih kecil dari nilai -z (-2.575) maka tolak H0 dengan kesimpulan bahwa rata-rata kekuatan batang pancing tidak sama dengan 8 kg, tetapi kurang dari 8 kg
b. sample kecil (n < 30)
n
s
x
t
/
0
m
-
=
Hipotesis yang digunakan adalah:
H0:
H1 :
H0:
H1 : ≠
H0:
H1 :
Wilayah kritis
Wilayah kritis
Wilayah kritis
thit > t
thit <- t/2 dan thit > t/2
thit <- t
Contoh:
1. Suatu perusahaan lampu menyatakan bahwa lampu produksinya rata-rata dapat bertahan selama 400 jam. Sebuah lembaga konsumen berkeinginan untuk membuktikan pendapat tersebut sebab ada keluhan dari masyarakat yang menyatakan bahwa lampu pijar tersebut cepat putus. Untuk membuktikannya diambil contoh acak sebanyak 25 lampu dengan data sbb:
450
390
400
480
500
380
350
400
340
300
300
345
375
425
400
425
390
340
350
360
300
200
300
250
400
Ujilah apakah pendapat perusahaan lampu tersebut benar, gunakan taraf nyata 5%. Diasumsikan sample berdistribusi normal.
Diketahui:
Rata-rata populasi (0) = 400 jam
Banyaknya sample (n) = 25
Rata-rata sample (
x
) =
25
400
...
400
390
450
+
+
+
+
= 366 jam
simpangan baku (s) =
(
)
1
2
2
-
-
å
å
n
n
x
x
= 68.25
Taraf nyata () = 0.05
Jawab:
1. Menentukan hipotesis
H0 : = 400 (rata-rata daya tahan lampu sama dengan 400 jam)
H1 : < 400 (rata-rata daya tahan lampu kurang dari 400 jam)
2. Karena sample yang digunakan berukuran kecil (n < 30) maka uji yang digunakan adalah uji t
n
s
x
t
/
0
m
-
=
25
25
.
68
400
366
-
=
t
=
49
.
2
65
.
13
34
-
=
-
3. Menentukan nilai tabel. = 0.05 ( t0.05 =1.711
4. Menentukan daerah keputusan (wilayah kritik)
· Tolak H0 bila thit ≤ - t (- 1.711)
· Terima H0 bila thit > t0.05 (-1.711)
5. Karena nilai thit (-2.49) lebih kecil dari nilai -t (-1.711) maka tolak H0 dengan kesimpulan bahwa rata-rata daya tahan lampu pijar tersebut kurang dari 400 jam
2. Tinggi rata-rata mahasiswi tingkat persiapan di suatu perguruan tinggi adalah 162.5 cm. apakah ada alasan untuk mempercayai bahwa terjadi peningkatan dalam tinggi rata-rata mahasiswi, bila diambil suatu contoh acak sebanyak 20 mahasiswi dengan tinggi rata-rata 165.2 cm dan simpangan baku 5.9 cm. gunakan taraf nyata 5%
Diketahui:
Rata-rata populasi (0) = 162.5 cm
Banyaknya sample (n) = 20
Rata-rata sample (
x
) = 165.2 cm
simpangan baku (s) = 5.9 cm
Taraf nyata () = 0.05
Jawab:
1. Menentukan hipotesis
H0 : = 162.5 (rata-rata tinggi badan mahasiswi sama dengan 162.5 cm)
H1 : > 165.2 (rata-rata tinggi badan mahasiswi lebih dari 162.5 cm)
2. Karena sample yang digunakan berukuran kecil (n < 30) maka uji yang digunakan adalah uji t
n
s
x
t
/
0
m
-
=
20
9
.
5
5
.
162
2
.
165
-
=
t
=
05
.
2
32
.
1
7
.
2
=
3. Menentukan nilai tabel. = 0.05 ( t0.05 = 1.7291
4. Menentukan daerah keputusan (wilayah kritik)
· Tolak H0 bila thit ≥ t (1.7291)
· Terima H0 bila thit < t0.05 (1.7291)
5. Karena nilai thit (2.05) lebih besar dari nilai t (1.7291) maka tolak H0 dengan kesimpulan bahwa terjadi peningkatan tinggi rata-rata mahasiswi tingkat persiapan
S O A L
1. Sebelum kenaikan BBM, pedagang jeruk rata-rata dapat menjual jeruk paling banyak 100 kg jeruk per hari. Peneliti ingin membuktikan bahwa setelah kenaikan BBM ada penurunan jumlah penjualan jeruk. Untuk itu dilakukan pendataan terhadap 20 pedagang jeruk dengan hasil penjualan sbb (gunakan taraf nyata 5%):
98
80
12
90
70
100
60
85
95
100
70
95
90
85
75
90
70
90
60
110
2. Ujilah hipotesis yang menyatakan bahwa isi kaleng rata-rata suatu jenis minyak pelumas adalah 10 liter. Bila diambil contoh acak 10 kaleng dengan isi sebanyak: 10.2, 9.7, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9, 10.4, 10.3, dan 9.8 liter. Gunakan taraf nyata 0.01 dan asumsikan bahwa isi tersebut menyebar normal.
3. Ada yang menyatakan bahwa jarak tempuh mobil rata-rata paling banyak adalah 20000 km/tahun dengan simpangan baku 1700km. Untuk menguji pendapat tersebut, diambil 100 sampel mobil dengan waktu tempuh rata-rata 23500 km/tahun. Ujilah pendapat tersebut dengan taraf nyata 0.05.
4. Sebuah pabrik rokok menyatakan bahwa kadar nikotin rata-rata pada rokoknya tidak melebihi 3.5 mg. Diambil contoh acak 8 batang rokok dengan kadar nikotin rata-rata 4.2 mg dan simpangan baku 1.4. Ujilah pernyataan pabrik rokok tersebut pada taraf nyata 0.01 dan asumsikan kadar nikotin tsb mempunyai sebaran normal.
( PENGUJIAN RATA-RATA UNTUK 2 POPULASI
Uji ini dilakukan bila ingin diketahui ada tidaknya perbedaan rata-rata dua populasi atau lebih. Misalnya seorang bupati menyatakan bahwa penduduk yang tinggal di kabupatennya memiliki tingkat kesadaran politik yang lebih tinggi dari kabupaten lain. Atau sebuah perusahaan mobil menyatakan bahwa mobil yang diproduksi di pabriknya, memiliki efisiensi penggunaan bahan bakar yang lebih baik dari produknya yang lama.
A. Pengujian untuk 2 sampel bebas (independent sample)
Sebelum melakukan pengujian terhadap dua sample bebas, terlebih dahulu perlu dilakukan pengujian terhadap homogenitas varians sample tersebut.
Pengujian homogenitas varians
Dengan hipotesis:
H0 : varians dari kedua sample tersebut homogen
H1 : varians dari kedua sample tersebut heterogen
terkecil
ians
terbesar
ians
F
var
var
=
derajat bebas : v1 = (n1 – 1), v2 = (n2 – 2)
Bila nilai Fhitung ≥ F;(v1,v2) maka tolak H0 dengan kesimpulan varians heterogen
nilai Fhitung < F;(v1,v2) maka terima H0 dengan kesimpulan varians homogen
1. Uji t untuk dua sample bebas (independent) dengan varians homogen
· Bila n1 ≠ n2
t =
(
)
(
)
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
-
+
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-
+
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-
-
å
å
å
å
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
n
n
n
n
n
x
x
n
x
x
x
x
……1)
Derajat bebas (db)= n1 + n2 – 2
Atau
t =
(
)
(
)
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+
-
+
-
-
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
1
1
2
1
1
n
n
n
n
s
n
s
n
x
x
……..2)
db = n1 + n2 – 2
Contoh:
1. Pelajaran matematika diberikan kepada 10 siswa dengan metode pengajaran A. Kelas kedua yang terdiri dari 12 siswa mendapat pelajaran yang sama tetapi dengan metode pengajaran B. Pada akhir semester, murid kedua kelas tersebut diberi ujian dengan soal yang sama. Kelas pertama mencapai nilai rata-rata 81 dengan simpangan baku 5, sedangkan kelas kedua memperoleh nilai rata-rata 86 dengan simpangan baku 4. Ujilah hipotesis bahwa kedua metode tersebut tidak sama menggunakan taraf nyata 5%. Asumsikan bahwa kedua populasi menyebar normal.
Diketahui:
n1 = 10
n2 = 12
rata-rata sample 1 (
1
x
) = 81
rata-rata sample 2 (
2
x
) = 86
s1 = 5 ( s12 = 25
s2 = 4 ( s22 = 16
Sebelum melakukan pengujian terhadap rata-rata, terlebih dahulu dilakukan pengujian terhadap homogenitas ragam untuk menentukan rumus uji-t yang akan digunakan.
Dengan hipotesis:
H0 : varians dari kedua sample tersebut homogen
H1 : varians dari kedua sample tersebut heterogen
s1 = 5 ( s12 = 25
56
.
1
16
25
var
var
=
=
=
terkecil
ians
terbesar
ians
F
; db = (9,11)
s2 = 4 ( s22 = 16
Jawab:
1. Menentukan hipotesis
H0 : (rata-rata nilai ujian dari dua metode pengajaran tersebut sama)
H1 : ≠ (rata-rata nilai ujian dari dua metode pengajaran tersebut tidak sama)
2. Karena n1 ≠ n2 maka uji yang digunakan adalah :
(
)
(
)
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
-
+
-
-
=
12
1
10
1
2
12
10
16
1
12
25
1
10
86
81
t
(
)
(
)
(
)
08
.
0
1
.
0
20
16
11
25
9
5
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
=
(
)
63
.
2
609
.
3
5
18
.
0
20
401
5
-
=
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
3. Menentukan nilai tabel. Karena hipotesis yang digunakan bertanda ≠ maka digunakan uji 2 arah ( = 0.025 maka t untuk db=20 adalah 2.086
4. Menentukan daerah keputusan (wilayah kritik)
· Tolak H0 bila thit ≤ - ttab = - 2.086 atau bila thit ≥ ttab = 2.086
· Terima H0 bila -ttab(-2.086) < thit < ttab (2.086)
5. Karena nilai thit (-2.63) lebih kecil dari nilai -ttab (-2.086) maka tolak H0 dengan kesimpulan bahwa rata-rata nilai ujian kedua metode tersebut tidak sama, ternyata metode B lebih baik dari metode A
· Bila n1 = n2
(
)
(
)
)
1
(
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
å
å
-
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
å
å
-
-
=
n
n
n
x
x
n
x
x
x
x
t
Atau
t =
(
)
(
)
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
+
-
-
)
1
(
1
1
2
2
2
2
1
1
2
1
n
n
s
n
s
n
x
x
db = 2n – 2
2. Berikut ini adalah nilai ujian siswa pria dan wanita pada mata kuliah statistika:
No
Pria
Wanita
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7
6
7
8
6
7
6
8
8
7
8
7
3
5
8
7
7
8
6
6
Ujilah hipotesis bahwa ada perbedaan rata-rata nilai ujian antara siswa pria dan wanita. Gunakan taraf nyata 5%. Asumsikan bahwa kedua populasi menyebar normal.
Diketahui:
n1 = 10
n2 = 10
rata-rata sample 1 (
1
x
) = 7
rata-rata sample 2 (
2
x
) = 6.8
s12 = 0.68
s22 = 1.067
Sebelum melakukan pengujian terhadap rata-rata, terlebih dahulu dilakukan pengujian terhadap homogenitas ragam untuk menentukan rumus uji-t yang akan digunakan.
Dengan hipotesis:
H0 : varians dari kedua sample tersebut homogen
H1 : varians dari kedua sample tersebut heterogen
s1 = 5 ( s12 = 0.68
57
.
1
68
.
0
067
.
1
var
var
=
=
=
terkecil
ians
terbesar
ians
F
;db = (9,9)
s2 = 4 ( s22 = 1.067
Jawab:
1. Menentukan hipotesis
H0 : P= W (rata-rata nilai ujian dari siswa pria dan wanita sama)
H1 : P≠ W (rata-rata nilai ujian dari siswa pria dan wanita tidak sama)
2. Karena n1 = n2 maka uji yang digunakan adalah :
t=
(
)
(
)
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
+
-
-
)
1
(
1
1
2
2
2
2
1
1
2
1
n
n
s
n
s
n
x
x
(
)
(
)
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
+
-
-
=
)
1
10
(
10
067
.
1
1
10
67
.
0
1
10
8
.
6
7
t
(
)
(
)
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
90
067
.
1
9
67
.
0
9
2
.
0
48
.
0
174
.
0
2
.
0
90
603
.
9
03
.
6
2
.
0
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
3. Menentukan nilai tabel. Karena hipotesis yang digunakan bertanda ≠ maka digunakan uji 2 arah ( = 0.025 maka t untuk db=18 adalah 2.101
4. Menentukan daerah keputusan (wilayah kritik)
· Tolak H0 bila thit ≤ - ttab = - 2.101 atau bila thit ≥ ttab = 2.101
· Terima H0 bila -ttab(-2.101) < thit < ttab (2.101)
5. Karena nilai thit (0.48) lebih kecil dari nilai ttab (2.101) maka terima H0 dengan kesimpulan bahwa rata-rata nilai ujian untuk siswa pria dan wanita adalah sama.
2. Uji t untuk dua sample bebas (independent) dengan varians heterogen
· Bila n1 ≠ n2
2
2
2
1
2
1
2
1
n
s
n
s
x
x
t
+
-
=
Pengganti ttabel adalah:
(
)
(
)
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
'
n
s
n
s
t
n
s
t
n
s
t
+
+
=
dimana t1 = t ; (n1-1) dan t2 = t ; (n2-1)
· Bila n1 = n2
2
2
2
1
2
1
2
1
n
s
n
s
x
x
t
+
-
=
, db= n-1
Contoh:
Dilakukan penelitian untuk mengetahui kecepatan memasuki dunia kerja antara lulusan SMU dan SMK. Berdasarkan 22 responden lulusan SMU dan 18 responden lulusan SMK diperoleh data bahwa lama menunggu untuk mendapatkan pekerjaan kedua kelompok lulusan sekolah tersebut adalah:
No
Lama menunggu pekerjaan (dalam tahun)
SMU
SMK
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
6
3
5
2
5
1
2
3
1
3
2
4
3
4
2
3
1
5
1
3
1
4
2
1
3
1
3
2
2
1
3
1
1
1
3
2
1
2
2
1
n1 = 22
x
1 = 2.91
s1 = 1.51
s12 = 2.28
n2 = 18
x
2 = 1.78
s2 = 0.81
s22 = 0.65
Ujilah hipotesis bahwa waktu tunggu untuk mendapatkan pekerjaan bagi lulusan SMU dan SMK tidak sama. Gunakan taraf nyata 5% dan asumsikan bahwa kedua populasi menyebar normal.
Diketahui:
n1 = 22
x
1 = 2.91
s1 = 1.51
s12 = 2.28
n2 = 18
x
2 = 1.78
s2 = 0.81
s22 = 0.65
Sebelum melakukan pengujian terhadap rata-rata, terlebih dahulu dilakukan pengujian terhadap homogenitas ragam untuk menentukan rumus uji-t yang akan digunakan.
Dengan hipotesis:
H0 : varians dari kedua sample tersebut homogen
H1 : varians dari kedua sample tersebut heterogen
s1 = 1.51 ( s12 = 2.28
56
.
1
16
25
var
var
=
=
=
terkecil
ians
terbesar
ians
F
; db = (21,17)
s2 = 0.81 ( s22 = 0.65
Jawab:
1. Menentukan hipotesis
H0 : (tidak ada perbedaan masa menunggu untuk mendapatkan pekerjaan antara lulusan SMA dan SMK)
H1 : ≠(ada perbedaan masa menunggu untuk mendapatkan pekerjaan antara lulusan SMA dan SMK)
2.
2
2
2
1
2
1
2
1
n
s
n
s
x
x
t
+
-
=
=
18
65
.
0
22
28
.
2
78
.
1
91
.
2
+
-
=
02
.
3
14
.
0
13
.
1
=
3. Karena n1 ≠ n2 maka perlu dicari nilai t pengganti nilai ttabel dengan persamaan berikut:
(
)
(
)
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
'
n
s
n
s
t
n
s
t
n
s
t
+
+
=
=
09
.
2
15
.
0
29
.
0
04
.
0
1
.
0
)
11
.
2
(
04
.
0
)
08
.
2
(
1
.
0
18
65
.
0
22
28
.
2
)
11
.
2
(
18
65
.
0
)
08
.
2
(
22
28
.
2
=
=
+
+
=
+
+
4. Menentukan daerah keputusan (wilayah kritik)
· Tolak H0 bila thit ≤ - t’ = - 2.09 atau bila thit ≥ t’ = 2.09
· Terima H0 bila –t’ (-2.09) < thit < t’ (2.09)
5. Karena nilai thit (3.02) lebih besar dari nilai t’ (2.09) maka tolak H0 dengan kesimpulan bahwa terdapat perbedaan masa menunggu untuk mendapatkan pekerjaan antara lulusan SMA dan SMK
B. Pengujian untuk 2 sampel berpasangan (correlated sample)
Biasanya digunakan untuk membandingkan dua hal dimana sampel yang digunakan hanya berasal dari satu populasi.
Uji t untuk 2 sampel berpasangan
t =
(
)
(
)
1
2
2
2
1
-
-
-
å
å
n
n
n
d
d
x
x
derajat bebas = n-1
Contoh:
Untuk mengetahui apakah ada perbedaan nilai IP mahasiswa setelah mengikuti pelatihan dengan sebelum mengikuti pelatihan. Dengan mengasumsikan bahwa populasinya normal, ujilah pada taraf 0.025, apakah keanggotaan dalam organisasi mahasiswa berakibat buruk pada nilai seseorang.
Sampel
1
2
3
4
5
Sebelum
Sesudah
2.0
2.2
2.0
1.9
2.3
2.5
2.1
2.3
2.4
2.4
Diketahui:
rata-rata sample 1 (
1
x
) = 2.16
rata-rata sample 2 (
2
x
) = 2.26
n = 5
Jawab:
1. Hipotesis
H0 :
H1 :
2.menghitung nilai t
Sebelum
Sesudah
di
di2
2.0
2.0
2.3
2.1
2.4
2.2
1.9
2.5
2.3
2.4
-0.2
0.1
-0.2
-0.2
0.0
0.04
0.01
0.04
0.04
0.00
-0.5
0.13
t =
(
)
(
)
1
2
2
2
1
-
-
-
å
å
n
n
n
d
d
x
x
=
(
)
58
.
1
20
08
.
0
1
.
0
1
5
5
5
)
5
.
0
(
13
.
0
26
.
2
16
.
2
2
-
=
-
=
-
-
-
-
3. menentukan nilai tabel, untuk taraf nyata 0.025 dan db=4 (n-1). t(0.025;4) =2.776
4. Menentukan daerah keputusan (wilayah kritik)
· Tolak H0 bila thit ≤ - ttab = - 2.776
· Terima H0 bila thit > - ttab (-2.776)
5. Karena nilai thit (-1.58) lebih besar dari nilai -t (-2.776) maka terima H0 dengan kesimpulan bahwa pelatihan tidak memberikan pengaruh yang berarti pada nilai yang dicapainya.
S O A L
1. Sebuah perusahaan menyatakan bahwa kekuatan rentangan rata-rata tali A melebihi kekuatan tali B. Untuk menguji pernyataan tersebut, 51 tali dari masing-masing jenis diuji. Hasil uji memperlihatkan bahwa tali A mempunyai kekuatan rentangan rata-rata 86.7 kg dengan simpangan baku 6.28 kg. Sedangkan tali B mempunyai kekuatan rentangan rata-rata 77.8 kg dengan simpangan baku 5.61 kg.
a. Ujilah pernyataan perusahaan tsb dengan menggunakan taraf nyata 0.05.
b. Bagaimanakah hubungan antara jenis tali dengan kekuatan rentangan?
2. Data di bawah ini menunjukkan masa putar film yang diproduksi dua perusahaan film yang berbeda (asumsikan keduanya berdistribusi normal):
Masa putar (menit)
Perusahaan 1
102
86
98
109
92
Perusahaan 2
81
165
97
134
92
87
114
Perusahaan 2 menyatakan bahwa masa putar rata-rata film yang diproduksi perusahaannya melebihi masa putar rata-rata film yang diproduksi perusahaan 1. Ujilah pernyataan tersebut pada taraf nyata 0.1.
3. Sebuah pabrik mobil ingin memutuskan apakah akan menggunakan ban merek A atau merek B bagi mobil terbarunya. Untuk membantu mencapai keputusan tersebut, dilakukan percoban menggunakan 12 ban untuk masing-masing merek tersebut. Ban-ban tersebut dipasang dan digunakan sampai aus sehingga harus diganti. Hasilnya adalah:
Merek A
Rata-rata=37900 km
S1 =5100 km
Merek B
Rata-rata = 39800 km
S2 = 5900 km
Ujilah hipotesis pada taraf nyata 5% bahwa tidak ada perbedaan antara kedua merek ban tersebut. Asumsikan kedua populasi berdistribusi normal
4. Seorang perancang mobil mempunyai keyakinan teoritis bahwa pengecatan sebuah mobil perlombaan mengurangi kecepatan maksimalnya. Dia memilih 6 mobil dari bengkel dan menguji dengan dan tanpa cat. Hasilnya adalah:
Mobil
Kecepatan maksimal (mph)
Dicat
Tidak dicat
1
2
3
4
5
6
186
185
179
184
183
186
189
186
183
188
185
188
a. Ujilah pernyataan perancang mobil tersebut pada taraf nyata 5%
b. Tentukan hubungan antara kecepatan maksimal dan pengecatan mobil.
· UNTUK SAMPLE BESAR ( n ≥ 30 )
A. Pengujian untuk 2 sampel bebas (independent sample)
Sama halnya dengan sample kecil (n< 30), untuk sampel besar ini, sebelum melakukan pengujian terhadap dua sample bebas, terlebih dahulu perlu dilakukan pengujian terhadap varians sample tersebut. Caranya sama dengan kasus untuk sample kecil
1. Uji z untuk dua sample bebas (independent) dengan varians homogen
· Bila n1 ≠ n2 ≥ 30
z =
(
)
(
)
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
-
+
ú
û
ù
ê
ë
é
-
+
ú
û
ù
ê
ë
é
-
-
å
å
å
å
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
n
n
n
n
n
x
x
n
x
x
x
x
atau
z =
(
)
(
)
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+
-
+
-
-
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
1
1
2
1
1
n
n
n
n
s
n
s
n
x
x
· Bila n1 = n2 ≥ 30
(
)
(
)
)
1
(
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
=
å
å
å
å
n
n
n
x
x
n
x
x
x
x
z
2. Uji z untuk dua sample bebas (independent) dengan varians heterogen
· Bila n1 ≠ n2 ≥ 30 dan n1 = n2 ≥ 30
z
2
2
2
1
2
1
2
1
n
s
n
s
x
x
+
-
=
B. Pengujian untuk 2 sampel berpasangan (correlated sample)
Uji z untuk 2 sampel berpasangan
z =
(
)
(
)
1
2
2
2
1
-
-
-
å
å
n
n
n
d
d
x
x
untuk mengetahui kuatnya hubungan antara dua variable dapat dicari dengan korelasi point biserial (rpb):
db
t
t
r
pb
+
=
2
2
Dengan kriteria:
· 0-0.19 = sangat rendah
· 0.20-0.39 = rendah
· 0.40-0.59 = sedang
· 0.60-0.79 = kuat
· 0.80-1.00 = sangat kuat
Sedangkan untuk mengetahui besarnya pengaruh suatu variable terhadap variable lainnya digunakan koefisien determinasi:
Koef. Determinasi = rpb2 x 100%
BAB III
ANALISIS VARIANS
Pengujian nilai tengah digunakan untuk menguji beda rata-rata dari satu atau dua populasi. Sedangkan untuk tiga populasi atau lebih digunakan Analisis Varians (ANAVA)/Analysis of Variance (ANOVA). Data yang digunakan berupa data interval atau rasio dan berdistribusi normal.
1. Analisis Varians Satu Arah
digunakan jika ingin menguji beda rata-rata suatu pengamatan berdasarkan satu kriteria yang memiliki beberapa kelompok. Banyaknya data untuk setiap kelompok bisa sama (n1= n2=…= nk) atau bisa juga berbeda (n1≠ n2≠…≠ nk)
Contoh:
Berikut ini adalah data penjualan dari 3 merek rokok selama 5 hari:
Hari ke-
Penjualan (bungkus)
Merek A
Merek B
Merek C
1
2
3
4
5
20
25
15
27
19
10
15
22
13
20
19
26
21
16
25
Pada contoh di atas, merek merupakan kriteria sedangkan kelompok terbagi menjadi merek A, B, C.
TABEL ANALISIS VARIANS SATU ARAH
Sumber Variasi
Jumlah Kuadrat
Derajat Bebas (db)
Kuadrat Tengah
F
Antar Kelompok (between)
Dalam Kelompok (within)
JKK
JKE
k -1
N – k
KTK =
1
k
JKK
-
KTE =
k
N
JKE
-
KTE
KTK
F
=
Ftabel = F(k-1),(N-k) ;
Total
JKT
N -1
dimana:
· JKT = JKK + JKE = Jumlah Kuadrat Total
· JKT =
(
)
N
X
X
2
total
2
total
å
å
-
· JKK =
(
)
(
)
(
)
(
)
N
X
n
X
...
n
X
n
X
2
total
k
2
k
2
2
2
1
2
1
å
å
å
å
-
+
+
+
= jumlah kuadrat kelompok
dgn N= n1+n2+…+nk
· JKE = JKT - JKK
Kriteria pengujian: Tolak H0 bila Fhitung ≥ Ftabel
dimana H0 : tidak ada perbedaan antar kelompok (…)
H1: sekurang-kurangnya ada dua kelompok yang berb eda
Uji F di atas hanya dapat menyatakan ada tidaknya perbedaan, sedangkan untuk mengetahui kelompok mana saja yang berbeda digunakan metode:
· LSD (Least Significant Difference), bila n-nya sama
dengan persamaan:
LSD = t(N-k);0.05
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
i
n
2
KTE
· t protected , bila n-nya tidak sama
dengan persamaan:
t protected =
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
j
i
j
i
N
1
N
1
KTE
X
X
Untuk mengetahui kuatnya hubungan dan besarnya pengaruh antar kelompok digunakan analisis korelasional ETA ( ), dengan persamaan:
ETA ( ) =
JKT
JKK
Contoh ANOVA satu arah dengan n sama
1. Seorang pemilik toko ingin melihat apakah ada perbedaan penjualan untuk ketiga jenis merek rokok berikut:
Hari ke-
Penjualan (bungkus)
Merek A
Merek B
Merek C
1
2
3
4
5
20
25
15
27
19
10
15
22
13
20
19
26
21
16
25
Jawab:
1. Hipotesis: H0 : tidak ada perbedaan rata-rata hasil penjualan untuk ketiga merek tersebut (… )
H1: sekurang-kurangnya ada dua merek yang memberikan rata-rata hasil penjualan berbeda
2. Menghitung nilai-nilai yang terdapat dalam tabel ANOVA
XA
XA2
XB
XB2
XC
XC2
(X
(X2
20
400
10
100
19
361
49
861
25
625
15
225
26
676
66
1526
15
225
22
484
21
441
58
1150
27
729
13
169
16
256
56
1154
19
361
20
400
25
625
64
1386
JUMLAH
106
2340
80
1378
107
2359
293
6077
JKT =
(
)
N
X
X
total
2
2
å
å
-
=
(
)
15
293
6077
2
-
= 353.7333
JKK =
(
)
(
)
(
)
(
)
N
X
n
X
n
X
n
X
total
C
C
B
B
A
A
2
2
2
2
å
å
å
å
-
+
+
=
=
-
+
+
15
293
5
107
5
80
5
106
2
2
2
2
2247.2 + 1280 + 2289.8 - 5723.2667 = 93.7333
JKE = JKT - JKK
= 353.7333 – 93.7333 = 260
Sumber Variasi
Jumlah Kuadrat
Derajat Bebas (db)
Kuadrat Tengah
F
Kelompok
Error
93.7333
260
2
12
KTK = 46.8667
KTE = 21.6667
F= 2.1631
Total
353.7333
14
3. Menentukan nilai Ftabel = F(2 , 14) ; 0.05 = 3.74
4. Menentukan daerah keputusan: Tolak H0 bila Fhitung ≥ Ftabel dan terima H0 bila Fhitung < Ftabel
5. Karena nilai Fhitung (=2.1631) < Ftabel (= 3.74) maka terima H0 dengan kesimpulan bahwa ketiga merek rokok tersebut memberikan hasil penjualan yang sama
Contoh ANOVA satu arah dengan n tidak sama
2. Seorang pemilik toko ingin melihat apakah ada perbedaan penjualan untuk ketiga jenis merek rokok berikut:
Hari ke-
Penjualan (bungkus)
Merek A
Merek B
Merek C
1
2
3
4
5
30
25
20
27
10
15
22
13
20
19
26
21
Jawab:
1. Hipotesis: H0 : tidak ada perbedaan hasil penjualan untuk ketiga merek
tersebut (…)
H1: sekurang-kurangnya ada dua merek rokok yang memberikan hasil penjualan berbeda
2. Menghitung nilai-nilai yang terdapat dalam tabel ANOVA
XA
XA2
XB
XB2
XC
XC2
(X
(X2
30
900
10
100
19
361
59
1361
25
625
15
225
26
676
66
1526
20
400
22
484
21
441
63
1325
27
729
13
169
40
898
20
400
20
400
JUMLAH
102
2654
80
1378
66
1478
248
5510
Rata-rata
25.5
16
22
JKT =
(
)
N
X
X
total
2
2
å
å
-
=
(
)
12
248
5510
2
-
= 384.6667
JKK =
(
)
(
)
(
)
(
)
N
X
n
X
n
X
n
X
total
C
C
B
B
A
A
2
2
2
2
å
å
å
å
-
+
+
=
=
-
+
+
12
248
3
66
5
80
4
102
2
2
2
2
2601 + 1280 + 1452 – 5125.3333= 207.6667
JKE = JKT - JKK
= 384.6667-207.6667 = 177
Sumber Variasi
Jumlah Kuadrat
Derajat Bebas (db)
Kuadrat Tengah
F
Kelompok
Error
207.6667
177
2
9
KTK = 103.8333
KTE = 19.6667
F= 5.2797
Total
384.6667
11
3. Menentukan nilai Ftabel = F(2 , 9) ; 0.05 = 4.26
4. Menentukan daerah keputusan: Tolak H0 bila Fhitung ≥ Ftabel dan terima H0 bila Fhitung < Ftabel
5. Karena nilai Fhitung (=5.2797) > Ftabel (= 4.26) maka terima H1 dengan kesimpulan bahwa sekurang-kurangnya ada dua merek rokok yang memberikan hasil penjualan berbeda
Untuk melihat merek mana yang memberikan hasil berbeda digunakan t protected (karena n-nya tidak sama)
dengan persamaan:
t protected =
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
j
i
j
i
N
1
N
1
KTE
X
X
· Untuk XA dan XB:
t p =
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
5
1
4
1
6667
19
16
5
25
N
1
N
1
KTE
X
X
B
A
B
A
.
.
=
=
=
8500
.
8
5
.
9
)
45
.
0
(
6667
.
19
5
.
9
3.1934
SOAL
Berikut ini merupakan hasil penjualan 5 merek TV di sebuah toko. Ingin diketahui apakah ada perbedaan hasil penjualan pada kelima merek tersebut.
No.
A
B
C
D
E
1.
2.
3.
4.
5.
5
4
8
6
3
9
7
8
6
9
3
5
2
3
7
2
3
4
1
4
7
6
9
4
7
2. Analisis Varians dua arah
Digunakan jika ingin menguji beda rata-rata suatu pengamatan berdasarkan dua criteria yang berbeda.
a. ANALISIS VARIANS DUA ARAH TANPA INTERAKSI
Sumber Variasi
Jumlah Kuadrat
Derajat Bebas (db)
Kuadrat Tengah
F
Baris
Kelompok
Error
JKB
JKK
JKE
r - 1
c – 1
(r–1)(c–1)
KTB =
1
r
JKB
-
KTK =
1
c
JKK
-
KTE =
(
)
(
)
1
c
1
r
JKE
-
-
KTE
KTB
F
1
=
KTE
KTK
F
2
=
Ftabel = F(k-1),(N-k) ;
Total
JKT
rc -1
dimana:
· JKT = JKK + JKB + JKE = Jumlah Kuadrat Total
· JKT =
(
)
(
)
rc
X
X
X
X
2
total
2
ij
2
12
2
11
å
å
å
å
-
+
+
...
· JKB =
(
)
(
)
(
)
(
)
rc
X
c
X
X
X
2
total
2
r
2
2
2
1
å
å
å
å
-
+
+
+
.
.
.
...
= jumlah kuadrat baris
· JKK=
(
)
(
)
(
)
(
)
rc
X
r
X
X
X
2
total
2
c
2
2
2
1
å
å
å
å
-
+
+
+
.
.
.
...
= jumlah kuadrat kelompok
dgn r = jumlah baris
c = jumlah kolom
· JKE = JKT – JKB - JKK
Contoh:
Seorang pemilik toko ingin mengetahui hasil penjualan 3 merek rokok di tiga daerah yang berbeda
Merek A
Merek B
Merek C
Kota besar
25
21
14
Kota kecil
12
18
17
Pedesaan
15
10
11
1. Hipotesis:
a. H0 : tidak ada perbedaan rata-rata hasil penjualan rokok untuk ketiga daerah tersebut
H1: sekurang-kurangnya ada dua daerah yang memberikan rata-rata hasil penjualan rokok berbeda
b. H0 : tidak ada perbedaan rata-rata hasil penjualan rokok untuk ketiga merek tersebut
H1: sekurang-kurangnya ada dua merek yang memberikan rata-rata hasil penjualan rokok berbeda
2. Membuat tabel ANOVA
Merek A
Merek B
Merek C
Jumlah
Kota besar
25
21
14
60
Kota kecil
12
18
17
47
Pedesaan
15
10
11
36
Jumlah
52
49
42
143
· JKT =
(
)
(
)
rc
X
X
X
X
2
total
2
ij
2
12
2
11
å
å
å
å
-
+
+
...
= (252 + 212 + 142 + 122 + … + 112) -
)
)(
(
3
3
143
2
= 2465 – 2272,11 = 192,89
· JKB =
(
)
(
)
(
)
(
)
rc
X
c
X
X
X
2
total
2
r
2
2
2
1
å
å
å
å
-
+
+
+
.
.
.
...
=
)
)(
(
3
3
143
3
36
47
60
2
2
2
2
-
+
+
= 96,22
· JKK=
(
)
(
)
(
)
(
)
rc
X
r
X
X
X
2
total
2
c
2
2
2
1
å
å
å
å
-
+
+
+
.
.
.
...
=
)
)(
(
3
3
143
3
42
49
52
2
2
2
2
-
+
+
= 17,56
· JKE = JKT – JKB - JKK
= 192,89 – 96,22 – 17,56 = 79,11
Sumber Variasi
Jumlah Kuadrat
Derajat Bebas (db)
Kuadrat Tengah
F
Baris
Kelompok
Error
96,22
17,56
79,11
2
2
4
KTB =
11
48
2
22
96
,
,
=
KTK =
78
8
2
56
17
,
,
=
KTE =
78
19
4
11
79
,
,
=
F1 = 2,43
F2 = 0,44
Total
192,89
8
3. Menentukan nilai Ftabel = F(2 , 4) ; 0.05 = 6,94 (nilai Ftabel untuk baris dan kolom sama karena derajat bebas keduanya juga sama)
4. Menentukan daerah keputusan:
Hipotesis a: Tolak H0 bila F1 ≥ Ftabel dan terima H0 bila Fhitung < Ftabel
Hipotesis b: Tolak H0 bila F2 ≥ Ftabel dan terima H0 bila Fhitung < Ftabel
5. Hipotesis a: Karena nilai F1 (=2,43) < Ftabel (= 6,94) maka terima H0 dengan kesimpulan bahwa tidak ada perbedaan rata-rata hasil penjualan rokok untuk ketiga daerah tersebut
Hipotesis b: Karena nilai F1 (=0,44) < Ftabel (= 6,94) maka terima H0 dengan kesimpulan bahwa tidak ada perbedaan rata-rata hasil penjualan rokok untuk ketiga merek tersebut
b. ANALISIS VARIANS DUA ARAH DENGAN INTERAKSI
Sumber Variasi
Jumlah Kuadrat
Derajat Bebas (db)
Kuadrat Tengah
F
Baris
Kelompok
Interaksi
Error
JKB
JKK
JK(BK)
JKE
r - 1
c – 1
(r–1)(c–1)
rc(n – 1)
KTB =
1
r
JKB
-
KTK =
1
c
JKK
-
KT(BK) =
(
)
(
)
1
c
1
r
BK
JK
-
-
)
(
KTE =
)
(
1
n
rc
JKE
-
KTE
KTB
F
1
=
KTE
KTK
F
2
=
KTE
BK
KT
F
3
)
(
=
Total
JKT
rcn -1
dimana:
· JKT = JKK + JKB + JKE = Jumlah Kuadrat Total
· JKT =
(
)
(
)
rcn
X
X
X
X
2
total
2
ijk
2
112
2
111
å
å
å
å
-
+
+
...
· JKB =
(
)
(
)
(
)
(
)
rcn
X
cn
X
X
X
2
total
2
r
2
2
2
1
å
å
å
å
-
+
+
+
..
..
..
...
=jumlah kuadrat baris
· JKK=
(
)
(
)
(
)
(
)
rcn
X
n
r
X
X
X
2
total
2
c
2
2
2
1
å
å
å
å
-
+
+
+
.
.
.
.
.
.
...
= jumlah kuadrat kelompok
· JK(BK) =
dgn r = jumlah baris
c = jmlah kolom
n = jumlah pengamatan setiap sel
· JKE = JKT – JKB – JK(BK) – JKK
Contoh:
Berikut ini adalah data penjualan rokok selama 2 bulan dilihat dari merek dan daerah penjualan :
Merek A
Merek B
Merek C
Kota besar
25
30
21
15
14
25
Kota kecil
10
12
15
18
20
17
Pedesaan
15
20
10
15
12
18
1. Hipotesis:
a. H0 : tidak ada perbedaan rata-rata hasil penjualan rokok untuk ketiga daerah tersebut
H1: sekurang-kurangnya ada dua daerah yang memberikan rata-rata hasil penjualan rokok berbeda
b. H0 : tidak ada perbedaan rata-rata hasil penjualan rokok untuk ketiga merek tersebut
H1: sekurang-kurangnya ada dua merek yang memberikan rata-rata hasil penjualan rokok berbeda
c. H0 : tidak ada interaksi antara merek rokok dan daerah penjualan
H1: ada interaksi antara merek rokok dan daerah penjualan
2. Membuat tabel ANOVA
Merek A
Merek B
Merek C
Jumlah
Kota besar
25+30=55
21+15=36
14+25=39
130
Kota kecil
10+12=22
15+18=33
20+17=37
92
Pedesaan
15+20=35
10+15=25
12+18=30
90
Jumlah
112
94
106
312
· JKT =
(
)
(
)
rcn
X
X
X
X
2
total
2
ijk
2
112
2
111
å
å
å
å
-
+
+
...
=
(
)
(
)
(
)
2
3
3
312
18
15
21
30
25
2
2
2
2
2
2
-
+
+
+
+
+
...
= 5912 -
18
97344
= 504
· JKB =
(
)
(
)
(
)
(
)
rcn
X
cn
X
X
X
2
total
2
r
2
2
2
1
å
å
å
å
-
+
+
+
..
..
..
...
=
18
97344
6
90
92
130
2
2
2
-
+
+
=
5408
33
5577
-
,
=169,33
· JKK =
(
)
(
)
(
)
(
)
rcn
X
n
r
X
X
X
2
total
2
c
2
2
2
1
å
å
å
å
-
+
+
+
.
.
.
.
.
.
...
=
18
97344
6
106
94
112
2
2
2
-
+
+
=
5408
5436
-
= 28
· JK(BK) =
=
18
97344
2
30
39
36
55
2
2
2
2
-
+
+
+
+
...
=
5408
5436
33
5577
2
11534
+
-
-
,
= 161,67
· JKE = JKT – JKB – JKK– JK(BK)
= 504 – 169,33 – 28 – 161,67 = 145
Sumber Variasi
Jumlah Kuadrat
Derajat Bebas (db)
Kuadrat Tengah
F
Baris
Kelompok
Interaksi
Error
169,33
28
161,67
145
2
2
4
9
KTB = 84,67
KTK = 14
KT(BK) = 40,42
KTE = 16,11
5,26
0,87
2,51
Total
504
17
3. Menentukan nilai Ftabel :
F1 ( F(2 , 9) ; 0.05 = 4,26
F2 ( F(2 , 9) ; 0.05 = 4,26
F3 ( F(4 , 9) ; 0.05 = 3,63
4. Menentukan daerah keputusan:
Tolak H0 bila Fhitung ≥ Ftabel dan terima H0 bila Fhitung < Ftabel
5. Kesimpulan
a. Sekurang-kurangnya ada dua daerah penjualan yang memberikan rata-rata hasil penjualan rokok berbeda
b. tidak ada perbedaan rata-rata hasil penjualan rokok untuk ketiga merek tersebut
c. tidak ada interaksi antara merek rokok dan daerah penjualan
BAB IV
ANALISIS KORELASI (r)
Merupakan metode analisis statistika yang digunakan untuk mengukur derajat keeratan linier antara dua variabel. Ukuran keeratan hubungan disebut dengan koefisien korelasi (Pearson Product Moment Correlation Coefficient), dan dilambangkan dengan r (untuk sampel) serta ( (dibaca : rho; untuk populasi).
Metode analisis ini menetapkan beberapa persyaratan yang harus dipenuhi oleh pasangan variabel yang akan dianalisa keeratan hubungannya. Pasangan variabel biasanya disimbolkan dengan variabel X1 dan X2. Persyaratan yang harus dipenuhi adalah X1 dan X2 berskala pengukuran minimal interval; X1 dan X2 berdistribusi bivariat normal, dimana untuk setiap pengamatan :
(X1,X1), (X2,X2),…, (Xn,Xn)
memiliki distribusi bivariat normal yang sama; serta antara pengamatan bersifat independen. Persyaratan lain adalah sama seperti yang disyaratkan oleh metode analisis statistika lainnya yaitu pengambilan pasangan data harus dilakukan secara random.Korelasi mempunyai nilai antara -1 sampai 1 (-1< r < 1) dimana:
a. nilai 0 menunjukkan bahwa tidak ada hubungan antara variable X1 dan X2 (tidak berkorelasi)
b. nilai (+) menunjukkan bahwa bila nilai X1 bertambah, maka nilai X2 juga akan bertambah (korelasi positif).
c. Nilai (-) menunjukkan bahwa bila nilai X1 bertambah, maka nilai X2 akan berkurang (korelasi negative).
Hubungan antara X dan Y dapat dinyatakan pada gambar berikut:
Untuk menafsirkan apakah koefisien korelasi yang diperoleh menunjukkan hubungan yang kuat, sedang atau rendah digunakan ketentuan sebagai berikut:
Interval koefisien
Tingkat Hubungan
0.00 – 0.19
0.20 – 0.39
0.40 – 0.59
0.60 – 0.79
0.80 – 1.00
Sangat rendah
Rendah
Sedang
Kuat
Sangat kuat
Korelasi Sederhana
Digunakan untuk mencari hubungan antara satu variable X dengan satu variable Y. Untuk menggunakan teknik analisis korelasi yang sesuai, perlu memperhatikan jenis data yang dimiliki.
· Korelasi Pearson (Product Moment Correlation)
· Digunakan bila variabel X dan Y datanya berupa data interval/rasio
· Persamaan yang digunakan adalah sebagai berikut:
(
)
(
)
(
)
(
)
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
=
å
å
å
å
å
å
å
n
Y
Y
n
X
X
n
Y
X
XY
r
XY
2
2
2
2
Atau
(
)
(
)
(
)
(
)
å
å
å
å
å
å
å
-
-
-
=
2
2
2
2
Y
Y
n
X
X
n
Y
X
XY
n
r
XY
Dimana : n = banyaknya pengamatan
( X = jumlah variabel X
( XY = jumlah dari hasil kali variabel X dan Y
( X2 = jumlah dari variabel X yang dikuadratkan
(( X) 2 = kuadrat dari jumlah variabel X
Contoh:
Seorang manager ingin mengetahui hubungan antara motivasi kerja (X) dengan prestasi kerja (Y)
Responden
Motivasi kerja (X)
Prestasi kerja (Y)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
50
70
80
40
90
60
30
40
50
25
60
45
Jawab:
Responden
Motivasi kerja (X)
Prestasi kerja (Y)
X2
Y2
X.Y
1.
2.
3.
4.
5.
6.
50
70
80
40
90
60
30
40
50
25
60
45
Jumlah
390
250
(
)
(
)
(
)
(
)
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
=
å
å
å
å
å
å
å
n
Y
Y
n
X
X
n
Y
X
XY
r
XY
2
2
2
2
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
6
62500
11250
6
152100
27100
6
250
390
17400
)
)(
(
=
95
0
5
1458337
1150
33
833
1750
1150
.
.
)
.
(
)
(
=
=
Ini menunjukkan bahwa hubungan yang terjadi antara motivasi kerja dengan prestasi kerja sangat kuat.
· Uji Signifikansi
Pengujian signifikansi koefisien korelasi dapat dihitung menggunakan uji t dengan persamaan sebagai berikut:
2
1
2
r
n
r
t
-
-
=
,
dimana ttabel = t(n-2);
Hipotesis yang digunakan berdasarkan contoh di atas adalah:
H0: = 0
: tidak ada hubungan antara motivasi dan prestasi kerja
H1: ≠ 0
: ada hubungan antara motivasi dan prestasi kerja
· Korelasi Point Biserial
· Jika ingin diketahui hubungan antara sebuah variabel yang datanya berbentuk interval/rasio dengan sebuah variabel lain yang datanya terdiri dari dua kategori/dikotomi (misalnya: laki-laki dan perempuan, sudah menikah dan belum menikah, desa dan kota).
· Persamaan yang digunakan adalah:
q
p
s
Y
Y
r
Y
pb
0
1
-
=
Dimana: p= proporsi kategori 1
q= proporsi kategori 0
1
Y
= rataan Y untuk kategori 1
0
Y
= rataan Y untuk kategori 0
SY= standar deviasi (simpangan baku) Y
=
(
)
1
2
2
-
-
å
å
n
n
Y
Y
Contoh:
Seorang guru ingin mengetahui hubungan antara nilai ulangan matematika dengan jenis kelamin. Dalam kasus ini, jenis kelamin mempunyai dua kategori yaitu L (1) dan P (0).
Responden
JK (X)
Nilai matematika (Y)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
10
15
30
20
25
15
20
25
30
20
Jawab:
p = 4/10 = 0.4
q = 6/10 = 0.6
1
Y
= 60/4 = 15
0
Y
= 150/6=25
Sy = 6.58
Tanda (-) menunjukkan bahwa bila nilai ulangan matematika siswa perempuan tinggi maka siswa laki-laki mendapatkan nilai ulangan yang rendah.
· Uji Signifikansi
Pengujian signifikansi koefisien korelasi dapat dihitung menggunakan uji t dengan persamaan sebagai berikut:
2
1
2
pb
pb
r
n
r
t
-
-
=
,
dimana ttabel = t(n-2);
Hipotesis yang digunakan adalah:
H0: = 0
: tidak ada hubungan antara variabel Y dan variabel X
H1: ≠ 0
: ada hubungan antara variabel Y dan variabel X
· Korelasi Biserial
· Digunakan untuk mencari hubungan antara dua variabel dimana salah satu dari variabel tersebut dianggap sebagai variabel dikotomi sedangkan variabel lainnya berbentuk interval/rasio
· Persamaan yang digunakan adalah:
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
u
q
.
p
s
Y
Y
r
Y
b
0
1
Dimana: p= proporsi kategori 1
q= proporsi kategori 0
1
Y
= rataan Y untuk kategori 1
0
Y
= rataan Y untuk kategori 0
sY= standar deviasi (simpangan baku) Y
u= ordinat dari kurva normal yang membagi kurva normal atas 2 bagian, satu bagian adalah proporsi p dan bagian lainnya adalah proporsi q dari total area
Contoh:
Seorang peneliti ingin melihat apakah ada hubungan antara IQ dengan kelulusan seseorang pada akhir tahun kuliah.
Resp.
IQ
Nilai akhir
Resp.
IQ
Nilai akhir
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
100
115
125
90
120
140
150
120
110
130
75
50
70
65
40
70
80
50
65
45
bila syarat kelulusan adalah mahasiswa yang memiliki nilai > 60 maka dari data awal dapat diubah menjadi:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
100
115
125
90
120
140
150
120
110
130
Lulus (1)
Tidak lulus (0)
Lulus (1)
Lulus (1)
Tidak lulus (0)
Lulus (1)
Lulus (1)
Tidak lulus (0)
Lulus (1)
Tidak lulus (0)
Jawab:
p = 6/10 = 0.6
q = 4/10 = 0.4
1
Y
= 715/6 = 119.17
0
Y
= 455/4=113.75
Sy = 18.44
· Uji Signifikansi
Pengujian signifikansi koefisien korelasi dapat dihitung menggunakan uji t dengan persamaan sebagai berikut:
2
1
2
b
b
r
n
r
t
-
-
=
,
dimana ttabel = t(n-2);
Hipotesis yang digunakan adalah:
H0: = 0
: tidak ada hubungan antara variabel Y dan variabel X
H1: ≠ 0
: ada hubungan antara variabel Y dan variabel X
· Korelasi Rank Spearman
· Jika pengamatan dari variabel X dan Y diukur sekurang-kurangnya dalam bentuk skala ordinal.
· Persamaan yang digunakan adalah:
n
n
d
r
i
s
-
-
=
å
3
2
6
1
Dimana : di = beda (selisih) antara 2 pengamatan yang berpasangan
n = banyaknya pengamatan
Contoh:
Ingin diketahui apakah ada korelasi antara nilai ujian akhir matematika dan nilai Ekonomi mikro. Untuk itu dipilih secara acak nilai ujian akhir matematika dan ekonomi mikro dari 10 orang mahasiswa. Nilai-nilai tersebut adalah sebagai berikut:
Mahasiswa
Nilai matematika
Nilai ekonomi mikro
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
85
90
80
50
40
70
60
30
65
95
70
80
100
60
60
80
60
50
80
100
Jawab:
Langkah pertama adalah melakukan rangking pada data di atas
Data nilai matematika:
Nilai
matematika
rank
Nilai Ek. mikro
rank
30
40
50
60
65
70
80
85
90
95
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
50
60
60
60
70
80
80
80
100
100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
3
3
3
5
7
7
7
9.5
9.5
Selanjutnya masukkan nilai rank tersebut ke dalam data asal.
Mahasiswa
Rank nilai matematika
Rank nilai
ekonomi mikro
di
(di)2
A
b
c
d
e
f
g
h
i
j
8
9
7
3
2
6
4
1
5
10
5
7
9.5
3
3
7
3
1
7
9.5
3
2
-2.5
0
-1
-1
1
0
-2
0.5
9
4
6.25
0
1
1
1
0
4
0.25
Jumlah
26.5
Dengan demikian nilai korelasi Spearman adalah:
n
n
d
r
i
s
-
-
=
å
3
2
6
1
84
0
16
0
1
10
1000
159
1
10
10
5
26
6
1
3
.
.
)
.
(
=
-
=
-
-
=
-
-
=
· Uji Signifikansi
Pengujian signifikansi koefisien korelasi rank Spearman dapat dihitung menggunakan uji t (bila n< 30) atau uji z (bila n> 30) dengan persamaan sebagai berikut:
Uji t (
2
1
2
s
s
r
n
r
t
-
-
=
, dimana ttabel = t(n-2);
Uji Z(
1
-
=
n
r
Z
s
,
dimana Ztabel = Z
Hipotesis yang digunakan adalah:
H0: = 0
: tidak ada hubungan antara variabel Y dan variabel X
H1: ≠ 0
: ada hubungan antara variabel Y dan variabel X
Korelasi Ganda
Digunakan untuk menunjukkan hubungan secara bersama-sama antara beberapa variabel independent (X1, X2,…, Xn) dengan satu variabel dependent (Y).
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
1
2
X
X
X
X
YX
YX
YX
YX
X
X
.
Y
r
r
r
r
r
r
r
-
-
+
=
Dimana: rY.X1X2 = koefisien korelasi ganda variabel X1 dan X2 secara bersama-sama terhadap variabel Y.
rYX1= koefisien korelasi product moment antara variabel X1 dengan variabel Y
rYX2= koefisien korelasi product moment antara variabel X2 dengan variabel Y
rX1X2= koefisien korelasi product moment antara variabel X1 dengan variabel X2
Jadi sebelum menghitung koefisien korelasi ganda, terlebih dahulu menghitung nilai koefisien product moment untuk setiap variabel.
Contoh:
Ingin diketahui hubungan antara nilai ujian matematika dengan nilai tugas dan frekuensi tidak mengikuti kuliah.
Siswa
Nilai ujian (Y)
Nilai tugas (X1)
frek.tidak kuliah (X2)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
85
74
76
90
85
87
94
98