pendientes de 1º bach matemÁticas i …. razones trigonométricas 1.- halla el seno, el coseno y...
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PENDIENTES DE 1º BACH
MATEMÁTICAS I
EJERCICIOS BLOQUE I
Tema 1. Los números reales
1.- Suma los siguientes radicales: 9655432426
Solución
626
2.- Suma los siguientes radicales: 2035002125453
Solución
518
3.- Suma los siguientes radicales: 33 333 6 1252564322 bbbb
Solución 3
11 b
4.- Racionaliza: 5
5
Solución
5
5.- Racionaliza: 32
3
Solución
336
6.- Calcula el valor de x: a) log2 x = – 5 b) logx 243 = 5 Solución a) x = 1/32 b) x = 3 7.- Calcula el valor de x:
a) log2 4x = 3 b) logx 32 = 2
5
Solución a) x = 2 b) x = 4 8.- El número de bacterias, N, que hay después de t horas de una infección viene dado por:
N = 5t + 1 a) ¿Cuántas bacterias habrá después de 5 horas? b) ¿Cuántas horas deben transcurrir para que haya más de 5000 bacterias? Solución a) N(5) = 56 = 15625 bacterias.
b) 5000 = 5t + 1 t = 5log
5log5000log = 4,29 h
2. Álgebra
1.- Factoriza el siguiente polinomio y halla sus raíces: x4 + 2x
3 – x
2 – 2x
Solución
x(x – 1)(x + 1)(x + 2)
Raíces: x1 = 0; x2 = 1; x3 = – 1; x4 = – 2
2.- Factoriza el siguiente polinomio y halla sus raíces: x3 + 3x
2 + 2x
Solución
x(x + 1)(x + 2)
Raíces: x1 = 0; x2 = – 1; x3 = – 2
3.- Factoriza el siguiente polinomio y halla sus raíces: x3 – 3x
2 + 3x – 1
Solución
(x – 1)3
Raíces: x1 = x2 = x3 = – 1
4.- Factoriza el siguiente polinomio y halla sus raíces: x3 – 2x
2 + x
Solución
x(x – 1)2
Raíces: x1 = 0; x2 = x3 = 1
5.- Factoriza el siguiente polinomio y halla sus raíces: x3 + 3x
2 – 4x – 12
Solución
(x – 2)(x + 2)(x + 3)
Raíces: x1 = 2; x2 = – 2; x3 = – 3
6.- Resuelve: 6
53
1
32
xx
x
Solución
x = 2
7.- Resuelve: 4
4
2
1
4 22 x
x
xx
x
Solución
x = – 6
8.- Resuelve:4
7
1
1
122
2
xxx
x
Solución
x1 = 3, x2 = 1/3
9.- Resuelve: 042
6
2
13
x
x
x
x
Solución
x1 = 1, x2 = –18
10.- Resuelve: 125 2xx
Solución
x = 4
11.- Resuelve: xx 17
Solución
x = 10
12.- Resuelve: 5132 xx
Solución
x = 9
13.- Resuelve: x4 + 2x
2 – 3 = 0
Solución
x1 = – 1; x2 = 1
14.- Resuelve: 2x4 – 3x
2 – 20 = 0
Solución
x1 = – 2; x2 = 2
15.- Resuelve: 4x + 1
+ 2x + 3
= 320
Solución
x = 3
16.- Resuelve: 2x – 20 · 2
– x + 8 = 0
Solución
x = 1
17.- Resuelve: log (x2 + 1) – log (x
2 – 1) = log 13/12
Solución
x1 = – 5, x2 = 5
18.- Resuelve: log x2 – log (x – 16) = 2
Solución
x1 = 20, x2 = 80
19.- Resuelve: 3 log 2x – 2 log x = log (4x + 1)
Solución
x = 1/4
20.- Resuelve: 2 log x + 4 log x = 6
Solución
x = 10
21.- Una bacteria se reproduce por bipartición cada hora. Si inicialmente tenemos 200 bacterias,
calcula cuánto tiempo tiene que pasar para tener 2 millones de bacterias.
Solución
200 · 2t = 2000000 t = 13,3 h
22.- Resuelve: x2 – 6x + 8 < 0
Solución
(2, 4)
23.- Resuelve: x2 – 3x – 10 ≥ 0
Solución
(– , – 2] [5, + )
24.- Resuelve: x3 – 6x
2 – x + 6 ≥ 0
Solución
[– 1, 1] [6, + )
25.- Resuelve: 04
42
2
x
x
Solución
(– 2, 2)
26.- Resuelve: 01
92
x
x
Solución
(– , – 3] (– 1, 3]
27.- Resuelve: 04
22
x
xx
Solución
(– , – 4) [0, 2]
28.- Resuelve:
52
233
62
zyx
zyx
zyx
Solución
x = 2, y = – 1, z = 3
29.- Resuelve:
523
53
1
zyx
zx
zyx
Solución
x = 1, y = 0, z = – 2
30.- Resuelve:
1
42
3
zyx
zyx
zyx
Solución
x = – 4, y = 2, z = 5
31.- Carmen tiene una colección de 30 películas entre musicales, comedias y aventuras. Se sabe
que entre los musicales y las de comedia igualan al número de aventuras y que entre las
musicales y el doble de comedias exceden en 5 a las de aventuras. Calcula el número de
películas de cada clase.
Solución
N.º de musicales: x
N.º de comedias: y
N.º de aventuras: z 52
30
zyx
zyx
zyx
x = 10, y = 5, z = 15
32.- Tres amigos juegan juntos a la lotería y les toca un premio de 9000 €. El primero cobra el
triple del segundo, y este el doble que el tercero. Calcula cuánto recibe cada uno.
Solución
Premio del 1.er: x
Premio del 2.º: y
Premio del 3. er
: z zy
yx
zyx
2
3
9000
x = 6000, y = 2000, z = 1000
Premio del 1.º: 6000 €
Premio del 2.º: 2000 €
Premio del 3.º: 1000 €
33.- Halla tres números tales que la suma de los tres es 330. El primero excede en 20 unidades
al segundo y el tercero es la media aritmética del primero y segundo.
Solución
1.er número: x
2.º número: y
3.er número: z
2
20
330
yxz
yx
xyx
x = 120, y = 100, z = 110
3. Razones trigonométricas 1.- Halla el seno, el coseno y la tangente del ángulo agudo de un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa mide 10 cm, el cateto contiguo, 8 cm y el cateto opuesto, 6 cm Solución
5
3sen ,
5
4cos ,
4
3tg
2.- Calcula el seno, el coseno y la tangente de los ángulos agudos del triángulo rectángulo que se forma al trazar la altura sobre el lado desigual de un triángulo isósceles. El lado desigual mide 10 cm y la altura, 12 cm Solución
13169125 22x cm
13
12sen ,
13
5cos ,
5
12tg
13
5sen ,
13
12cos ,
12
5tg
3.- Sabiendo que sen = 1/5 y que el ángulo está en el primer cuadrante, calcula cos y tg Solución
sen2 + cos2 = 1
1cos25
1 2 25
24cos2
25
62
25
24cos
cos
sentg
12
6
5
62:
5
1tg
4.- Sabiendo que cos = 3/5 y que el ángulo está en el primer cuadrante, calcula sen y tg Solución
sen2 + cos2 = 1
sen2 + 25
9 = 1 sen2 =
25
16 sen =
5
4
tg = cos
sen tg =
3
4
5
3:
5
4
5.- Sabiendo que tg = 3 y que el ángulo está en el primer cuadrante, calcula sen y cos Solución
tg2 + 1 = sec2
9 + 1 = sec2 sec2 = 10 sec = 10 cos = 10
10
tg = cos
sen sen = tg cos =
10
103
6.- Una escalera de 8 m de longitud se apoya sobre una pared y alcanza los 6 m. ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo? Solución
tg = 8
6 = 36° 52’12’’
7.- Halla la altura de una antena de radio si su sombra mide 80 m cuando los rayos del Sol forman un ángulo de 30º con la horizontal. Solución
tg 30° = 80
x x = 80 tg 30° = 46,19 m
8.- Calcula el área de un decágono regular de 4 cm de lado. Solución
18tg
2a 6,16 cm
A = 2
16,640123,2 cm2
9.- Calcula la altura de una torre si al situarse a 25 m de su pie, se observa el punto más alto de la torre con un ángulo de 45° Solución
x = 25 · tg 45° = 25 · 1 = 25 m
10.- Un ángulo está en el 2.º cuadrante y sen = 1/5. Calcula cos y tg Solución
sen2 + cos2 = 1 25
1 + cos2 = 1 cos2 =
25
24 cos =
5
62
5
24
tg = cos
sen tg =
12
6
5
24:
5
1
11.- Un ángulo está en el 4.º cuadrante y cos = 3/5. Calcula sen y tg Solución
sen2 + cos2 = 1 sen2 + 25
9 = 1 sen2 =
25
16 sen =
5
4
tg = cos
sen tg =
3
4
5
3:
5
4
12.- Un ángulo está en el 3.er cuadrante y tg = 3. Calcula sen y cos Solución
tg2 + 1 = sec2
9 + 1 = sec2 sec2 = 10 sec = 10 cos = 10
10
tg = cos
sen sen = tg cos =
10
102
10
103
13.- Resuelve: sen 2x = tg x Solución
2sen x cos2 x = sen x sen x (2 cos2 x – 1) = 0
2
2cos2/1cos
0sen
2 xx
x
Si sen x = 0
x1 = 0° + 360°k, k Z
x2 = 180° + 360°k, k Z
Si cos x = 2
2
x3 = 45° + 360°k, k Z
x4 = 315° + 360°k, k Z
Si cos x = – 2
2
x5 = 135° + 360°k,
k Z x6 = 225° + 360°k,
k Z
14.- Resuelve: 3sen x – 2cos2 x = 0 Solución 3sen x – 2(1 – sen2 x) = 0 3sen x – 2 + 2sen2 x = 0
2sen2 x + 3sen x – 2 = 0
2
1sen
2sen
x
x
a) sen x = – 2 No es una solución válida.
b) Si sen x = 2
1
x1 = 30° + 360°k, k Z
x2 = 150° + 360°k, k Z
4. Resolución de triángulos 1.- En un triángulo se conoce a = 8 m, A = 120° y B = 20°. Calcula el lado b, ¿cuántas soluciones tiene? Solución
m 3,16120sen
20sen8
20sen120sen
8b
b Tiene una solución.
2.- En un triángulo se conoce c = 6 cm, A = 70° y B = 65°. Calcula el lado a, ¿cuántas soluciones tiene? Solución
C = 45° cm 7,9745sen
70sen6
70sen45sen
6a
a Tiene una solución.
3.- En un triángulo se conoce b = 14 cm, c = 17 cm y B = 42°. Calcula el ángulo C, ¿cuántas soluciones tiene? Solución
0,812514
42sen17= Csen
sen
17
42sen
14
C
C1 = 54° 20’ 33’’ B + C1 < 180°; C2 = 125° 39’ 27’’ B + C2 < 180°. Tiene dos soluciones. 4.- En un triángulo se conoce b = 8 m, c = 5 m y A = 25°. Calcula el lado a Solución a2 = b2 + c2 – 2bc cos A a2 = 82 + 52 – 2 · 8 · 5 · cos 25° a = 4,06 m 5.- En un triángulo se conocen los tres lados a = 2 m, b = 5 m y c = 4 m. Calcula el ángulo A Solución
'54' 19' 22° = 0,925 =452
245 = cos
222
AA
6.- Desde la puerta de un almacén se ve una gasolinera, que está a 70 m, y un quiosco de prensa, que está a 50 m. El ángulo con el que se ve el segmento que une la gasolinera con el quiosco es de 40°. Calcula la distancia que hay entre el quiosco y la gasolinera. Solución
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A a2 = 502 + 702 – 2 · 50 · 70 · cos 40° a = 45,14 m
7.- De una parcela triangular se conocen dos lados a = 90 m y b = 83 m y el ángulo comprendido entre ellos, C = 50°. Halla el área de la parcela. Solución
m² 2861,18 = 50°sen · 83 · 90 · 2
1 = Área
5. Geometría analítica 1.- Calcula el módulo y el argumento del vector v (– 3, – 4) Solución
|v| = 5, = 233° 7’ 48” 2.- Dados los puntos A( – 5, 3) y B(2, 7), calcula las coordenadas del vector AB Solución AB(7, 4) 3.- Dado el punto A(1, 3) calcula las coordenadas del punto B tal que AB(5, – 1) Solución
B(x, y) AB(x – 1, y – 3) = (5, – 1) x = 6, y = 2 4.- Dados los vectores u(– 2, 1) y v(– 5, 3) calcula 3u – 2v Solución 3u – 2v = (– 6 + 10, 3 – 6) = (4, – 3) 5.- Halla el producto escalar de los vectores: u(5, 2) y v(– 3, 4) Solución u · v = – 15 + 8 = – 7 6.- Calcula el ángulo que forma los vectores: u(2, – 3) y v (– 5, – 4) Solución
"49'185162594
)4)(3()5(·2cos
7.- Halla el valor de x para que los vectores u(– 2, 4) y v(x, – 3) sean perpendiculares. Solución
u · v = 0 – 2x – 12 = 0 x = – 6 8.- Un cuadrado tiene por vértices contiguos los puntos A(2, 3) y B(4, 2). Calcula sus otros dos vértices. Solución
Dado AB(2, – 1), hay dos vectores perpendiculares:
AC AB es AC(1, 2)
AC’ AB es AC’(– 1, – 2)
OC = OA + AC OC = (2, 3) + (1, 2) = (3, 5)
OC’ = OA + AC’ OC’ = (2, 3) + (– 1, – 2) = (1, 1)
OD = OB + AC OD = (4, 2) + (1, 2) = (5, 4)
OD’ = OB + AC’ OD’ = (4, 2) + (– 1, – 2) = (3, 0)
9.- Un cuadrado tiene por vértices opuestos los puntos A(4, 2) y C(6, 6). Calcula sus otros dos vértices. Solución
AM = AC/2 = (2, 4)/2 = (1, 2) Hay dos vectores perpendiculares:
MB AM es MB(2, – 1)
MD AM es MD(– 2, 1)
OM = OA + AM OM = (4, 2) + (1, 2) = (5, 4)
OB = OM + MB OB = (5, 4) + ( 2, – 1) = (7, 3)
OD = OM + MD OD = (5, 4) + (– 2, 1) = (3, 5)
10.- Dibuja la recta que pasa por el punto A(3, 1) y tienen como vector director v(–1, 2) y halla su pendiente. Solución
m = – 2
11.- Dibuja la recta que pasa por los puntos A(– 3, 2) y B(3, – 1), calcula el vector director y la pendiente de la recta. Solución
v = AB = (6, – 3) || (2, – 1) m = – 1/2
12.- Comprueba si los puntos A(– 3, 4), B(– 1, 3) y C(3, 1) están alineados. Solución
2
1
4
2,
2
1
2
1BCAB mm Están alineados.
13.- Halla las ecuaciones vectorial, paramétricas, continua, general y explícita de la recta determinada por el punto A(– 1, 5) y el vector director v(2, – 3) Solución Ecuación vectorial:
(x, y) = (– 1, 5) + t(2, – 3); t R Ecuaciones paramétricas:
Rtty
tx
35
21
Ecuación continua:
3
5
2
1 yx
Ecuación general: 3x + 2y – 7 = 0
Ecuación explícita:
2
7
2
3xy
14.- Dada la siguiente recta, escribe el tipo de ecuación, halla un punto, un vector director y la pendiente:
(x, y) = (– 3, 2) + t(5, – 1), t R Solución Ecuación vectorial, A(– 3, 2); v(5, – 1), m = – 1/5 15.- Dada la siguiente recta, escribe el tipo de ecuación, halla un punto, un vector director y la pendiente:
ty
tx
5
23 t R
Solución Ecuaciones paramétricas, A(3, 5); v(2, – 1), m = – 1/2 16.- Dada la siguiente recta, escribe el tipo de ecuación, halla un punto, un vector director y la pendiente:
5
43
yx
Solución Ecuación continua, A(3, – 4); v(1, 5), m = 5 17.- Dadas la siguiente recta, escribe el tipo de ecuación, halla un punto, un vector director y la pendiente:
4x – y + 1 = 0 Solución Ecuación general, A(0, 1); v(1, 4), m = 4 18.- Dada la siguiente recta, escribe el tipo de ecuación, halla un punto, un vector director y la pendiente:
y = – x + 3 Solución Ecuación explícita, A(0, 3); v(1, – 1), m = – 1 19.- Escribe la ecuación en forma punto pendiente de la recta que pasa por el punto A(– 4, 3) y tiene pendiente – 2 Solución
y = – 2(x + 4) + 3 y = – 2x – 5 20.- Escribe la ecuación en forma punto pendiente de la recta que pasa por el punto A(– 4, 3) y tiene pendiente – 2 Solución
y = – 2(x + 4) + 3 y = – 2x – 5
Dada la recta r 3x + 4y – 1 = 0, halla una recta s paralela a r que pase por el punto P(3, – 2) Solución
mr = 4
3 ms =
4
3 y =
4
3(x – 3) – 2 r 3x + 4y – 1 = 0
21.- Halla la ecuación de la recta s que pase por el punto A(3, 1) y es perpendicular a la recta r que pasa por los puntos B(1, 2) y C(2, – 1) Solución
mr = – 3 ms = 1/3 y = 3
1(x – 3) + 1 r x – 3y = 0
22.- Determina la posición relativa de las siguientes rectas:
r (x, y) = (– 3, 3) + t(2, – 1), t R
2
5
1
3 yxs
Solución
2
1
1
2)2,1();1,2( sr vv Las rectas son secantes.
23.- Determina la posición relativa de las siguientes rectas:
Rtty
txr
4
101
s 2x + 5y – 10 = 0 Solución
2
4
5
10)2,5();4,10( sr vv Las rectas son paralelas.
24.- Halla la distancia que hay entre los puntos A(2, – 3) y B(5, 1) Solución
d(A, B) = 5169)31()25(),( 22BAd u
25.- Halla la distancia del punto A(2, – 3) a la recta 3
2
4
1 yxr
Solución
Ecuación general de la recta: r 3x – 4y + 11 = 0
5
29
43
|11)3(·42·3|),(
22rAd = 5,8 u
26.- Halla la distancia del punto A(1, – 5) a la recta Rtty
txr
23
4
Solución
Ecuación general de la recta: r 2x – y – 11 = 0
5
54
5
4
)1(2
|1151·2|),(
22rAd u
27.- Halla el ángulo que forman las rectas
Rtty
txr
4
2 s y = 3(x – 1) + 2
Solución
Ecuaciones generales de las rectas: r x – 2y + 8 = 0, s 3x – y – 1 = 0
2
2
50
5
1941
23cos = 45°