péndulo real sin rozamiento
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Comportamientodeunpéndulorealsinrozamiento
CarlosE.Solivérez*
Introducción
LospéndulostienenimportantesaplicacionesprácticasenMecánicayson,juntoconlosresortes,elprototipomatemáticodelossistemasfísicosperiódicos,elpuntodepar-tidaparasudiscusión.
Eneltratamientoelementaldelpéndulosehacen3suposicionescuyaúnicajustifica-ciónessimplificarlaresolucióndelaecuacióndiferencialquedescribesumovimiento:
• masa oscilante concentrada en un volumenmuy pequeño (aproximación demasapuntual);
• amplitudesdeoscilaciónpequeñas(pequeñasoscilaciones);
• movimientosinrozamiento(noamortiguado).
Lospéndulosrealesnoestánformadospormasaspuntuales,susoscilacionespuedenserdegranamplitudylasfuerzasderozamientosiemprecausanladetencióndelmovi-mientoenunlapsodetiempofinito.Enestanotasecalculaelperíododeunpéndulosinhacerlas2primerasaproximaciones,dejandolaeliminacióndela3ªparauntrabajoposterior.
LadiscusióndelospéndulosrealesnoamortiguadospuedehacerseconpocomásquelaaplicacióndelPrincipiodeConservacióndelaEnergía.Sepuedeobtenersuam-plituddeoscilación apartir delas condiciones iniciales, establecer las condicionesenquehayperiodicidad,calcularelperíodoysudependenciaconlaamplitud.Todoestopuedehacersesinque,aparentemente,sehayaresueltolaecuacióndiferencial.Enreali-dad,comoseverá,elPrincipiodeConservacióndelaEnergíaMecánicaconstituyelapri-merintegraciónrespectodelascoordenadasdelaecuacióndiferencialdesegundoor-den respectodel tiempo,cuandolas fuerzas intervinientesson funcionesdepunto.Laconstantedeintegración—laenergíatotal—eslamásimportanteconstantefísicadelmovimientoysuvalordeterminalaposibilidaddeaparicióndelrégimenoscilatorio.
Ecuacióndiferencial
Laecuacióndelmovimientodeuncuerporígidocapazderotarunángulo θ alrededordelpuntodesuspensiónS,conmomentodeinercia I ,bajolaaccióndelacuplagravitato-riaτ es
I ⋅d 2θ /dt 2=τ ,
dondeθ eselánguloenradianesyd θ /dt lavelocidadangularderotaciónω .ComoseveenlaFigura1,paraunpénduloreallacuplaes τ =-l ⋅P ⋅sen(θ),donde l esladistanciadelpuntodesuspensiónSalcentrodemasaC,P =m· geselpeso,mlamasa, glaaceleracióndelagravedadyθ elángulodeapartamientodelavertical(posicióndeequilibrioesta-ble)conelsentidopositivoindicadoporlaflecha.Entonces,laecuacióndiferencialdelmovimientoes
I ·d 2θ /dt 2+l ·P ·sen(θ )=0. (1)
Parapequeñosapartamientos(θ ≪1)ymasamuyconcentrada( I =m·l 2)laec.(1)pue-deaproximarsepor
* Véase esbozo biográfico en http://cyt-ar.com.ar/cyt-ar/index.php/Usuario:Csoliverez.
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d 2θ /dt 2+k 2·θ =0,dondek =√( g /l ),
denominadaecuaciónarmónica.Comopuedeverificarseporderiva–ción,susolucióngeneral,correspondientealllamadopénduloideal,eslafunciónperiódica
θ (t )=c1·cos(k ·t )+c2·sen(k ·t ),quetambiénpuedeescribirse
θ (t )=θ m·cos(k ·t +ϕ ),
donde θ m es la amplitud de la oscilación, ϕ la fase y T =2π /k=2π√(l / g)elperíodo,queenestecasoesindependientedelamasaysudistribuciónespacial.
Laecuacióndiferencial (1) nocontiene funcionesque dependanexplícitamentedeltiempo,porloquesepuedehacerunaprimerain-tegraciónrespectodeθ delasiguientemanera.Comod θ /dt =ω ,
d 2θ /dt 2=d ω /dt =(d ω /d θ )·(d θ /dt )=ω ·d ω /d θ.Laec.(1)puedeentoncesreescribirse
I ⋅d 2θ /dt 2+l ·P ·sen(θ )= I ·ω ·d ω /d θ +l ·P ⋅sen(θ )=0,
ó I ·ω ·d ω +l ·P ·sen(θ )·d θ =0.
Evaluando la integraldefinidade cada término,donde los extremos debencorres-ponderse,seobtiene
I ·ω ·d ω ω (0)
ω (θ )
∫ + l ·P·sen(θ )·d θ 0
θ
∫ =1
2 I ·ω (θ )
2 − 1
2 I ·ω (0)
2 − [l ·P·cos(θ )− l ·P·cos(0)]= 0.
ReordenandotérminossepuedeverquelaecuaciónanteriornoessinoelPrincipiodeConservacióndelaEnergíaMecánica.Paraellosepasanalsegundomiembrolostérmi-
noscorrespondientesalextremoinferiordeintegración,obteniendo
1
2 I ·ω (θ )
2− l ·P·cos(θ ) = 1
2 I ·ω (0)
2− l ·P. (2)
Elprimertérminodecadamiembroeslaenergíacinéticaderotación,mientrasqueelsegundoeslaenergíapotencialgravitatoriaV (θ ).SielorigendeV (θ )eselpuntomásba-jodelatrayectoria(θ =0),consentidopositivohaciaarriba,
V (θ ) = − (−P)·dh0
h
∫ = P·h = P·[l − l ·cos(θ )]= l ·P·[1− cos(θ )].
Figura1.Pénduloreal.
Figura2.Energíapotencialdelpénduloreal.
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Estaexpresiónesválidaparacualquiervalorde θ ysegraficaenlaFigura2.LasmarcassobreelcírculodetrazosdelaizquierdasonposicionesdelcentrodemasaCdelpéndu-lo,mientrasque lasmarcassobre lacurvadetrazocontinuode laderechasonlosco-rrespondientesvaloresdelaenergíapotencial.Esinteresantecompararestafiguraconlaqueseobtendríaparaelpénduloideal,dondelaenergíapotencialesunafuncióndi-
vergentedeθ .Sumandol ⋅P aambosmiembros,laec.(2)sepuedereformularasí:
I ⋅ω 2/2+l ⋅P ·[1-cos(θ )]=E c+V =E M,dondeE ceslaenergíacinéticaderotación,V laenergíapotencialgravitatoriayE Mlaenergíamecánicatotaldelsistema.Laexpresiónesválidaparatiempo t arbitrario.E Mesindependientede t ysiempreigualalasumadelaenergíacinéticaypotencial.Elcom-portamientodelsistemarotante,enparticularsucarácterperiódicooaperiódico,de–pendecríticamentedelvalordeE M,temaqueseanalizaacontinuación.
Análisisenergético
Adiferenciadelpénduloideal—quesiempreoscila—elrealpuedetener2comporta-mientostotalmentediferentessegúnlaenergíainicialqueseleproporcione,seaenfor-macinéticaopotencial.ElpéndulorecibeenergíaexclusivamentepotencialcuandoselevantasucentrodemasaChastaunaposiciónangularθ 0yseloliberadesdeallíconve-locidadinicialnula.Recibeenergíaexclusivamentecinéticacuandoenlaposicióndeequilibrioestableθ =0seleimprimevelocidadinicialv 0.Enelcasogeneralpuedepro-porcionarseambostiposdeenergíaliberándolodesdeunaposicióninicialθ 0≠0conve-locidadinicialv 0nonula.
LamínimaenergíaE Mnecesariaparallevarelcentrodemasaalaposiciónmásalta(aaltural sobreelpuntodesuspensión)es2l ⋅P .CuandoE M≤2l ·P elcuerponopuededarmásdeunarevolucióncompleta.Enesecaso:
1. elcentrodemasaalcanzasuposiciónangularextrema ±θ mcuandolaenergíacinética(lavelocidad)esnulaylaenergíapotencialesmáxima;
2. elcentrodemasaalcanzasuvelocidadextrema±v m(energíacinéticamáxima)cuan-dolaenergíapotencialesmínima(queconeleccióndeorigenhechaesV =0).
Sepuedeentoncescalcularlaamplitudθ mylavelocidadmáximav m=l ⋅ω menfuncióndeE Mapartirdelaexpresióndelaenergíamecánicatotal
E M= I ⋅ω 2/2+l ⋅P ·[1-cos(θ )]=E c+V = I ω m2/2=l ⋅P ·[1-cos(θ m)]. (3)
Figura3.
Péndulorealenelespaciodelasfasesθ —ω .
Apesardequelaenergíapotencialessiempreperiódicaen θ ,elmovimientodelpénduloesperiódicosóloenelrangoE M<2l ⋅P .Estoseveclaramenteeneldiagramadetrayectoriasenelespaciodelasfases θ — ω .Estatrayectoriaseobtienedespejandoω delaec.(3):
ω = ±2
I E M − l ·P· 1− cos(θ
m)[ ]( ). (4)
Lasramasquecorrespondenalsentidopositivoderotaciónsonlascurvasdelsemipla-nosuperiordelaFigura3;lasdelnegativosonlasdelsemiplanoinferior.
Lascurvascerradas,identificatoriasdelcomportamientoperiódico,correspondena
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E M<2l ⋅P .Lascurvasondulantescorrespondenalcasonoperiódico E M>2l ⋅P ,dondeelpéndulonooscilasinorotaconvelocidadvariable,máximaenlapartemásbaja,mínimaenlapartemásaltadelrecorrido.Estecomportamientoessimilaraldelcarritodeunamontañarusa:sinoseleproporcionalaenergíacinéticamínimanecesariapararemon-tarlaprimeracuesta,vuelveallugardepartida;siselaenergíaessuficiente,lasuperará
continuandosumovimiento.Conelpéndulosucedeexactamentelomismo.Lascurvasdetrazodiscontinuocorrespondenalcasolímite,EM=2l ⋅P ,queseparala
regióndecomportamientoperiódicodelanoperiódica.Elcomportamientoenestecaso,quepuederesolversedemaneraexacta,sediscuteacontinuación.
CasolímiteE M=2l ·P
Laprimeraideaqueacudealamenteesqueestecasoessólounomásdecomporta-mientoperiódicoyqueelpéndulooscilaráalcanzandolaalturamáxima,conelperíodoquecorresponda.Estahipótesisnopuedesercorrectaporquetantolavelocidadcomolacuplasonnulasenelpuntosuperior,demaneraqueunavezalcanzadoéstenohayim-
pulsonifuerzaderestituciónquetiendaasacarlodeallí.Estáclaroque,porserelequi-librioinestable,cualquierperturbacióntenderáahacerlo,perolaecuaciónnoincluyeta-lesperturbaciones.Unapreguntainteresantees¿cuantotiempodemoraelcuerpoenlle-garalacúspide?Pararesponderlahayqueresolverlaecuacióndiferencialparaesteva-lorlímitedeenergía,resoluciónqueescasitrivialcomparadaconladelcasoE M<2l ·P .
Setieneentonces
I ·ω 2/2+l ⋅P ·[1-cos(θ )]=E M=2l ⋅P ,
quepermitedespejarω paraobtener
ω =2l ·P
I 1+ cos θ ( )( ).
Como1+cos(θ )=1+cos2(θ /2)-sen2(θ /2)=2cos2(θ /2),laexpresióndeω resultaser
ω = ±d θ
dt = ±2
l ·P
I cos
θ
2
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ .
Eldoblesignocorrespondealosdosposiblessentidosquepuedetenerlavelocidadan-gularparaunmismovalordeθ ,segúnelpénduloesté"deida"o"devuelta".Laecuacióndiferencialpuederesolverseparat enfuncióndeθ ,separandovariablesdelasiguientemanera:
d θ
cos θ / 2( )
= ±2l ·P
I
dt .
Integración sobre t en el intervalo [0;t ] y sobre θ en el intervalo correspondiente[θ 0;θ (t )],dondeθ 0=θ (0)seobtiene
d θ
cos θ / 2( )θ 0
θ
∫ = ±l ·P
I t . (5)
Laprimeraintegral,quepuedeencuentrarseencualquierbuenatabladeprimitivas1,es
1 Véase, por ejemplo, G. Korn y T. Korn, Mathematical Handbook for Scientists and Engineers,
McGraw-Hill Book Company, EEUU-Canadá-Inglaterra-Australia, 1968 (2ª edición). Apéndice E, In-tegrales, pp. 925-980. En esta tabla la primitiva buscada es la Nº 325.
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5
dθ
cos(θ /2)∫ = 2ln tgθ
4+π
4
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
,
resultadoquepuedeverificarseporderivación.Reemplazandoenlaec.(5)seobtiene
ln
tg (θ / 4 + π / 4( )tg θ 0 / 4 + π / 4( )
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ = ±
l ·P
I t = ±k ·t ,
dondek =√(l ·P / I ),constantequesereducealadelpénduloidealcuandoelmomentodeinerciapuedeaproximarseporeldeunamasapuntual.Lasdossolucionesdeestecasolímitesonentonces
tg(θ /4+π /4)=tg(θ 0/4+π /4)e±k ·t .
Cuando el origen del tiempo se elige enθ 0=0,lasfuncionesθ ±(t )sonlasqueserepre-sentanenlaFigura4,dondelacurvadetrazo
continuocorrespondeae+k ·t
,yelrecorridosehacedeθ =0aθ =π .Parae-k ·t (líneadetrazodiscontinuo) el recorrido se hace en sentidocontrario,deθ =0aθ =-π .Seveasíquesielpéndulopartedelaposicióndeequilibrioesta-ble, necesita un lapso de tiempo infinito paraarribaralacúspide.Estocorrespondeallímiteen que el período tiende a infinito, es decir,cuandolafuncióndejadeserperiódica.
Cálculodelperíodo.
La discusión previa dejó bien establecido que sólo hay comportamiento periódicocuandoE M<2l ⋅P .Enestecasoesconvenienteescribir(véaseec.(3))
E M=l ⋅P ⋅[1-cos(θ m)]
quereemplazadaenlaec.(4)da
ω =d θ
dt = ±
2
I E
M −V (θ )( ) = ±2l ·P
I cos(θ )− cos(θ
m)( ), θ ≤θ
m.
Estaecuaciónpuedeintegrarseigualqueenelcasolímiteparaobtener
dt = ±I
2l ·P
d θ
cos(θ )− cos(θ m
), θ ≤θ
m. (5)
Ellapsodetiempotranscurridoentreelinstante θ =0yaquélenelcualθ =θ mesuncuartodelperíodoT .Entonces,
T
4= dt
0
t m
∫ =
I
2l ·P
d θ
cos(θ )− cos(θ m)0
θ m
∫ .
Cuandoθ m=π laintegraleslacalculadaenlaec.(5)yesfácilverificarqueelperíodore-sultainfinito.Cuandoθ m≠π laintegralnopuedeexpresarseentérminodefuncionesele-mentales,debiendocalcularsemediantedesarrollosenserieométodosnuméricosapro-piados.Debidoaqueestaintegralaparececonfrecuenciaenaplicacionestécnicas,la
Figura4.
Comportamientolímitedelpénduloreal.
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funciónquedefine(queespartedeunafamiliamayordefuncionesvinculadas)hamere-cidotenerunnombre,eldeIntegralElípticaCompletadePrimeraEspecie,2
K(sen(α )) =
1
2
d θ
cos(θ )− cos(2α )0
2α
∫ =
d ϕ
1− sen2(α ) sen
2(ϕ )0
π /2
∫ .
ElvalordelafunciónK(sen(α ))puedeobte-nersedetablas3ocalcularseusandoprogra-masdecomputadoracomoMathematica®omedianteelalgoritmoquesedarámásade-lante.Sudependenciade α ,quesemuestraenlaFigura5,hacequeelperíododelpén-dulorealseaunafuncióncrecientedelaam-plitud.Paraamplitudespequeñaslacurvaescasihorizontal,constante,convalorcercanoaπ /2.Sepuedeverificarfácilmentequeen
laaproximacióndemasapuntualelvalordelperíodo coincide con el calculado para elpénduloidealalcomienzodeestedocumento.
Cuandosehacenprácticasdelaboratorio,frecuentementesecalculaelperíodo
T = 4I
l ·PK sen θ
m/ 2( )( ) (6)
haciendoundesarrolloenseriedelaintegralelípticaparacorregirladependenciadelperíodoconlaamplitud.Ésto,ademásdeserimprecisoyengorroso,noesnecesarioyaquehayunmétodosimpleyderápidaconvergenciaparacalcularelvalordelaintegralelípticaK:eldelamediaaritmética-geométrica. 4Lamediaaritmética-geométricadedosnúmerosa0,b0,eselnúmeroobtenidomedianteelalgoritmoderecurrenciaconsistenteenremplazarelprimernúmerodelparporlamediaaritméticadelparyelsegundonú-meroporlamediageométricayasísucesivamenteapartirdecadanuevoparobtenido.Losdosprimerospasosdeestarelaciónderecurrenciason:
a1=(a0+b0)/2(mediaaritmética),b1=√(a0b0)(mediageométrica),
a2=(a1+b1)/2,b2=√(a1b1).
Secontinúahastaencontrarelparenésimoparaelcuallosvaloresdeanybncoincidenentresíconlaprecisióndeseada.ParacalcularlafunciónK(sen(α ))conestemétodoseusanlosvaloresinicialesa0=1yb0=cos(α ).Sian=bndentrodelaprecisióndeseada,en-
tonceselvalorbuscadoesK(sen(α ))=π /2an.Latablainferiorilustralarapidezconqueconvergeelparinicialalvalordeseadoconunaprecisióndetresdígitos(errormenorqueel1%)para θ m=π /2,osea,α =π /4.Elvalorinicialesb0=cos(π /4)=1/√2=0,70711yloscálculossehicieronconunacalcula-doradebolsillo.
2
La reducción de la integral original a la forma canónica del último miembro, mediante sucesivoscambios de la variable de integración, se da en el Apéndice.
3
Véase, por ejemplo, M. Abramowitz e I. A. Stegun (compiladores), Handbook of Mathematical Func-tions, Dover, New York (EEUU), 1965, p. 590.
4Abramowitz, p. 599.
Figura5.
Períodoenfuncióndelaamplitud.
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La3ªiteraciónsedasóloatítuloilustrativoyaquelaprecisióndeseadaselogróenla2ª.ElvalorresultantedelaintegralelípticaesK=1,85entotalconcordanciaconlosvalo-restabulados.Nohacerlacorrecciónporamplitud,comoenelpénduloideal,equivaleausarelvalorK=π/2=1,57cometiendounnadadespreciableerrorrelativodel18%.
Solucióncompletadelaecuacióndelmovimiento
Lasolucióndelaecuacióndiferencialdelpén-dulorealseobtieneintegrandolaec.(6).Lainte-gralresultantenodefinelafunción θ =f(t )sinosuinversa, t =g(θ )=f -1(θ ). Como f(t )esunafunciónperiódicadeperíodoT dadopor(7),suinversaes
unafunciónmultivaluadaqueestáunívocamentedefinidasóloenunintervalodelongitudT /2,porejemplo[θ 1;θ 1+T /2].Larazóndeestalimitaciónsecomprende analizando, por ejemplo, la funciontrigonométricainversaarcosen(t )delaFigura6.Eltramocentraldetrazocontinuodefine,enelin-
tervalo deordenadasdel semiperíodo [-π /2;π /2], una función uniforme (univaluada)perohayinfinitosintervalosporencimaodebajodeéstedondelafuncióntambiéntomavalores.
Lasdosramas(lapositivaylanegativa)queseobtienenporintegracióndelaec.(6)
permitenconstruirunsemiperíododeg(θ )comenzando(oterminando)concualquiervalordeθ .Bastaconstruirlafunciónparaelsemiperíodomásfácildecalcular,yaquetodossoniguales,porloqueseintegralaecuacióndiferencial(6)sobre t enelintervalo[t ;T /4]y,demaneracorrespondiente,sobreθ en[θ ;θ m].Seobtieneasí
T
4− t =
I
2l ·P
d θ
cos(θ )− cos(θ m )θ
θ m
∫ =
I
l ·P
d ϕ
1− sen2(α )·sen2
(ϕ )ϕ
π /2
∫ , −θ m ≤θ ≤θ m ,
dondelasegundaintegralseobtienedelamismamaneraqueenelanteriorcálculodelperíodo.Nóteseque(omitiendo,porsimplicidad,laescrituradelintegrando)
ϕ
π /2
∫ =
0
π /2
∫ −
0
ϕ
∫ .
Setieneentoncesque
T
4− t =
I
l ·P
d ϕ
1− sen2(α ) sen
2(ϕ )
−I
l ·P
d ϕ
1− sen2(α )·sen
2(ϕ )0
ϕ
∫ 0
π /2
∫ =
T
4− F ϕ \ sen(α )( ).
Seusóaquílaec.(7)yladefinicióndelaIntegralElípticadePrimeraEspecie5
F ϕ \ sen(α )( ) =d ϕ
1− sen2(α )·sen
2(ϕ )0
ϕ
∫ ,
delacualKeselcasoespecialϕ =π /2.
5
Abramowitz, p. 589.
Orden 0 1 2 3
a 1 0,85355 0,84722 0,84721
b 0,70711 0,84090 0,84720 0,84721
Figura6.
Funciónmultivaluadaarcoseno.
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Resultaentoncesque
t = I
l ·PF ϕ \ sen(θ m / 2)( ), −θ m ≤θ ≤θ m .
EnlaFigura7segraficaladependenciadeFcon θ
paraθ m=π /2.Laslíneasdetrazosidentificanlostra-mos adicionales que fue necesario incorporar pararepresentarunperíodocompleto(véaseladiscusióninicialdelasección).Paracomparaciónsehagrafica-do también, en trazo gris, la función sinusoidal delmismoperíodoyamplitud,delaquedifierepoco.
Comparaciónconelpénduloideal
Lasprincipalesdiferenciasentreelpénduloideal—masaconcentradaqueoscilaconpequeñaamplitud—yelpéndulorealsinrozamientosonlassiguientes:
•
Mientrasqueelperíododelpénduloideal2π√(l / g)esindependientedelamasayfor-madelcuerpo,elperíododelpéndulorealdependedeladistribuciónespacial(yde
homogeneidad)delamasaatravésdelvalorde√[I /(l ·m· g)].Porejemplo,paraunaesferahomogéneaderadior ,I =m·l 2+2m·r 2/5.
• Aligualqueenelpénduloideal,elperíododelpénduloesaproximadamenteconstan–teparapequeñasoscilacionesperoaumentaconlaamplitudytiendeahacerseinfini-to(movimientonoperiódico)cuandolaamplitudtiendeaπ .
• Lavariacióntemporaldelángulodeoscilaciónθ (t )difierepocodelasinusoidecorrespondientealpénduloideal.
Conclusiones
Elpéndulorealilustraimportantespropiedadesfísicasdesistemasmecánicososcila-torios,alavezquemétodosgeneralesderesolucióndeecuacionesdiferencialesbasadosenprincipioscrucialescomoeldeconservacióndelaenergía.Apesardequeeltrata-mientonorequiereotrossaberesdeAnálisisMatemáticoquelosdadosenunprimercursodeltema,esmuydifícilencontrarlodetalladamentediscutidoenlostratadosdeMecánica,razónporlaquesehellevadoacaboestetrabajo.Lascomplicacionesquein-troduceelrozamientosonsignificativas,razónporlaquenosehatratadoaquíeltema.Sutratamientopuedeserunabuenaintroducciónalestudiodesistemasdisipativos,pe-rorequiereconocimientosmásavanzadosdeAnálisisMatemático.
Figura7.Gráficodeθ (t )paraθ m=π /2.
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Apéndice
Reduccióndelaintegralelípticaaformanormal
Sedemuestraacontinuaciónlaigualdaddelosdosúltimosmiembrosdelasiguienteecuación,mencionadaenlapágina6:
K sen(α )( ) =1
2
d θ
cos(θ ) − cos(θ m
)0
θ m
∫ =
d ϕ
1− sen2(α )·sen
2(ϕ )0
π /2
∫ .
Lasegundaintegral,salvouneventualreemplazodesen( α )porunavariabletalcomom,eslaformaestándarocanónicadelaIntegralElípticaCompletadeSegundaEspecie.Pa-rareducirlaprimeraintegralalasegundahayquehacersucesivoscambiosdelavaria-bledeintegración.
Nótese,enprimerlugar,que
cos(θ )=cos2(θ /2)-sen2(θ /2)=1-2sen2(θ /2),
cos(θ )-cos(θ m)=2[sen2(θ m/2)-sen2(θ /2)].
Sehaceluegouncambiodevariabletalquemantengaelextremoinferiordeintegración(0)ytransformeelsegundo,θ m,enπ /2.Unreemplazoapropiadoes
sen(θ /2)=sen(θ m/2)sen(ϕ ),
yaqueentoncesaθ =0correspondeϕ =0;yaθ =θ mcorrespondeϕ =π /2.Derivandolaecuaciónanteriorseobtienelarelaciónentrediferenciales
cos(θ /2)·dθ /2=sen(θ m/2)·cos(ϕ )·dϕ ,
dθ =2sen(θ m/2)·cos(ϕ )·dϕ /cos(θ/2).
Sepuedeescribircos(θ /2)=√[1-sen2(θ /2)]=√[1-sen2(θ m/2)sen2(ϕ )]
usandoelsignopositivodelaraíz,yaqueθ /2estáacotadoalintervalo[-π /2;π /2]dondeelcosenonuncaesnegativo.Asimismo,conanálogasconsideracionesdesigno,
cos ϕ ( ) = 1− sen2 ϕ ( ) = 1−
sen2 θ / 2( )
sen2 θ
m/ 2( )
=
sen2 θ
m/ 2( )− sen
2 θ / 2( )
sen θ m/ 2( )
=
cos θ ( )− cos θ m( )
2 sen θ m/ 2( )
,
dondesehausadolatransformaciónquedefineϕ yelprimerdesarrollodeldenomina-dor.Elintegrandosetransformaentoncesasí:
d θ
cos θ ( )− cos θ m( )
=2sen θ m / 2( ) cos θ ( )− cos θ m( )·d ϕ
2 sen θ m
/ 2( )·cos θ / 2( )· cos θ ( )− cos θ m( )
= 2d ϕ
cos θ / 2( )= 2
d ϕ
1− sen2 θ
m/ 2( )·sen
2 ϕ ( ).
Reemplazandoenlaprimeraintegralalcomienzodelasección,yteniendoencuentalodichoinicialmentesobrelosnuevoslímitesdeintegración,seobtienelasegundainte-gral.Sevetambiénqueresulta
α =θ m/2.