3.4 PENYIASATAN LENGKUNG KUBIK NEWTON

Sir Isaac Newton dilahirkan pada tanggal 4 Januari 1643 di Woolsthorpe-by-Colsterworth

yang merupakan sebuah desa di Lincolnshire. Ayahnya telah meninggal dunia tiga bulan

sebelum Newton dilahirkan manakala ibunya pula digambarkan sebagai seorang yang

berkarakter baik dan berintelek. Pada tahun 1661, Newton telah diterima masuk ke Trinity

College Cambridge untuk menyambung pelajaran dalam bidang undang-undang. Peraturan

di Cambridge telah didominasi oleh falsafah Aristotle namun pada tahun ketiga, pelajar telah

diberikan kebebasan untuk mempelajari falsafah yang lain. Newton telah mempelajari

falsafah Descartes, Gassendi, Hobbles dan Boyle. Newton telah merekodkan dapatannya

dalam bukunya yang bertajuk Certain Philosophical Questions.

Pada tahun 1665, beliau telah menemui teorem binomial umum dan mula

memperkembang teori matematik yang kemudiannya berkembang menjadi kalkulus.

Newton telah berjaya menamatkan pelajarannya semasa berumur 22 tahun. Pembelajaran

persendirian yang telah dilakukan oleh beliau telah berjaya mendorongnya

mengembangkan teori kalkulus, optik dan juga hukum graviti. Penemuan pertama Newton

adalah mengenai cahaya putih yang sebenarnya wujud berdasarkan pembiasan tujuh jenis

warna yang terdapat pada pelangi. Berpegang kepada hukum ini, beliau telah mencipta

teropong refleksi pertama yang digunakan oleh sebahagian besar penyelidik bintang pada

hari ini.

Rajah : Sir Isaac Newton

Salah satu pencapaian terbesar yang telah dicapai oleh Isaac Newton ialah

penyiasatan beliau mengenai pengkelasan lengkung kubik pada akhir abad ke tujuh belas.

Newton telah menjumpai 72 bentuk lengkungan yang berbeza manakala pengkaji lain telah

menemui enam lagi bentuk lengkungan yang menjadikan jumlah keseluruhan bagi lengkung

kubik sebanyak 78. Newton menyatakan bahawa semua kubik boleh dihasilkan melalui lima

unjuran parabola kubik yang berbeza.

Pengkelasan mengenai lengkung kubik Newton dinyatakan dalam topik ‘Curve’ pada

tahun 1710 oleh John Harris dalam buku yang ditulisnya bertajuk Technicum Lexicon yang

diterbitkan di London. Di samping itu, beliau turut menunjukkan bahawa mana-mana kubik

boleh didapati dengan unjuran yang sesuai bagi lengkung eliptik dengan persamaan berikut:

di mana unjurannya adalah transformasi birational, dan kubik umum juga boleh ditulis

sebagai:

Persamaan Newton bagi kelas pertama adalah:

Lengkung Newton yang ke-66 dinamakan sebagai Trident of Newton. Pengkelasan Newton

mengenai kubik telah dikritik oleh Euler kerana kekurangan kenyataan umum. Plucker

kemudiannya telah mengupas mengenai pengkelasan tersebut secara lebih mendalam

dengan menyatakan bahawa terdapat 219 jenis kubik.

y2=ax3+b x2+cx+d

y2=x3+ax+b

xy2+ey=ax3+b x2+cx+d

Newton telah mengenalpasti beberapa tingkah laku kualitatif yang mungkin wujud melalui

lengkungan yang mempunyai persamaan berikut:

yang mana a ,b , c… j ialah parameter tetap, manakala x dan y ialah pemboleh ubah.

Dianggarkan bahawa sekurang-kurangnya satu pekali awal ahingga d adalah bukan sifar

supaya ia dapat membentuk lengkungan kubik yang sah. Penyiasatan Newton boleh dikaji

dengan mengaplikasikan pengetahuan mengenai kalkulus dan aljabar seperti berikut:

a) Untuk mendapatkan idea mengenai kepelbagaian lengkung kubik, lukiskan graf

lengkung yang telah disenaraikan di bawah yang telah berlaku dalam persekitaran

geometri atau algebra tertentu.

Didapati bahawa pakej aljabar komputer adalah sangat berguna untuk menyelesaikan

persamaan bagi y dalam sebutan x dan kemudian menghasilkan graf. Walau

bagaimanapun, anda perlu berhati-hati dengan folium itu; anda akan perlu melakukan plot

parametrik untuk mendapatkan sekurang-satu ini dengan betul. Untuk memastikan bahawa

graf anda menunjukkan semua ciri-ciri lengkung, anda mungkin perlu untuk zum keluar

untuk melihat gambar global.

b) Andaikan kes khas y=f (x )=a x3 +b x2+cx+d di mana a≠0manakala b , c dand

adalah nombor nyata yang tetap. Tentukan bentuk-bentuk graf dari segi fungsi pekali

a x3+b x2 y+cx y2+d y3+c x2+ fxy+g y2+hx+ iy+ j=0

y (1+x2)=1, the witch of Maria Agnesi

y2(2−x )=x3, the cissoids of Diocles

x3+ y3=1, Lengkung Fermat bagi n=1

x3+ y3−3 xy=0 the folium of Descartes

yang sesuai. Adalah lebih mudah jika kita menganggarkan bahawa penyelesaian

bagi f ' (x)=0.

c) Dengan menggunakan cara yang sama, teroka bentuk bagi lengkung

x y=f (x)=a x3+b x2+cx+ddi mana a≠0. Kemudian tentukan bentuk bagi lengkung

dari segi pekali. Anda perlu membuat keputusan apabila persamaan c=0

mempunyai penyelesaian dalam bentuk tiga positif atau tiga negatif.

d) Teruskan penyiasatan anda dengan menganggarkan bahawa lengkung dalam

bentuk y2=f (x )=a x3+b x2+cx+d di mana a≠0. Kali ini, anda perlu mendapatkan

lima bentuk yang berbeza bergantung kepada ciri bagi punca f (x).

e) Newton telah dapat mempermudah persamaan kubik umum kepada empat

persamaan yang lebih ringkas berdasarkan perubahan koordinat yang sesuai.

Empat persamaan tersebut adalah:

Persamaan (1) dan (2) menyumbang kepada satu spesies daripada 78 spesies lengkung

kubik yang tidak dijana. Persamaan (3) menyumbang kepada lima spesies dan persamaan

(4) menyumbang kepada 71 spesies yang selebihnya. Berdasarkan persamaan (2) dan (3),

Newton menenekankan bahawa kedua-dua lengkung ini hanya menyumbang satu spesies

kepada katalog beliau. Ini adalah berdasarkan fakta bahawa ‘bumps’ boleh tergelincir keluar

apabila berlaku perubahan koordinat yang linear dan dibenarkan oleh Newton supaya ia

tidak boleh dipisahkan melalui skima spesifikasi beliau. Sebagai contoh, mulakan dengan

dengan lengkung y=x3−x dan lakukan perubahan pemboleh ubah x '=x dan y '= y+x .

Lakarkan lengkung pada titik x yang asal, koordinat y dan koordinat x 'dan y ' yang baru.

1) y=f (x )=a x3 +b x2+cx+d

2) x y=f ( x )=ax3+b x2+cx+d

3) y2=f ( x )=a x3+b x2+cx+d

4) x y2+ey=f (x)=a x3 +b x2+cx+d

f) Kita telah mengkaji tiga jenis lengkung kubik pada langkah (b) hingga (d). Secara

umum, langkah keempat adalah lebih rumit. Namun demikian, adalah tidak mustahil

untuk menyelesaikan y dalam sebutan x. Newton melakukannya dengan

mendarabkan x dan kemudiannya melakukan ‘completing the square’. Buat

sebarang kenyataan umum mengenai persamaan kubik yang keempat. Sebagai

contoh, berapakah titik di atas lengkung yang boleh menyentuh setiap nilai x?

Berapa banyakkah selang pada paksi x yang tidak boleh menyentuh setiap nilai x?

Berapakah asimptot yang mungkin?

Cara yang lain juga boleh digunakan bagi memansuhkan lengkung (selain daripada tidak

mempunyai nilai kubik) jika faktor-faktor yang menentukan persamaan menjadi hasil darab

bagi nilai tersebut. Sebagai contoh, x y2+ y=x3−x yang mempunyai faktor

(x+ y )(1+ xy−x2)=0. Berikan senarai yang lengkap mengenai lengkung kubik yang

dimansuhkan dengan menggunakan cara ini. Akhir sekali, gunakan komputer untuk

meneroka tentang persamaan kubik yang keempat.

Dalam usaha mentakrifkan persamaan kubik sebenar iaitu selain kuadratik, telah

diandaikan bahawa a ,b , c dand ialah bukan sifar. Newton berpendapat bahawa semua

persamaan dalam bentuk y=a x3+c x2+hx+ j=0 adalah dari jenis yang sama; persamaan

ini boleh mempunyai sifar atau dua ekstrema (titik ekstrem) yang cenderung sebagai infiniti

positif mahupun negatif. Hal ini telah menyokong fakta bahawa Newton menganggap dua

lengkungan akan mempunyai bentuk yang sama sekiranya perubahan koordinat

mentransformasikannya kepada posisi yang lain. Ciri-ciri utama bagi membezakan

lengkungan ialah:

Ciri-ciri yang membezakan lengkungan

Bilangan titik yang

bersilang

Kewujudan dan bilangan

gelung (loops) tertutup

Bilangan cabang asimptot

Isaac Newton telah membezakan lengkung kubik kepada empat buah kelas yang mana

setiap satu kelas tersebut dibahagikan kepada beberapa spesies. Berikut merupakan enam

jenis lengkung kubik yang akan dibincangkan:

3.4.1 Parabola Mencapah Newton

Parabola mencapah merupakan lengkung kubik bagi kelas yang ketiga. Menurut Newton,

parabola mempunyai kaki yang saling mencapah antara satu sama lain dan bersifat tidak

terhingga. Beliau menggunakan teorem bahawa setiap kubik boleh diperolehi melalui

unjuran di bahagian tengah iaitu dari satu permukaan kepada permukaan yang lain.

Persamaan bagi lengkung kubik ini adalah seperti berikut:

yy=a x3+bxy+cx+d

Rajah : Ciri-ciri yang membezakan lengkungan

Lengkung Kubik Newton

Parabola Mencapah

Newton

1) Parabola

Semikubik

2) Lengkung

Telur Newton

3) Kubik

Tschirnhausen 4) Hanya 1

punca nyata

5) Lengkung

Eliptik

6) Trident of

Newton

Rajah : Enam jenis lengkung kubik Newton

Parabola mencapah pula boleh dikategorikan mengikut jenis-jenisnya bergantung

kepada penyelesaian bagi sebelah kanan persamaan yang dinyatakan di atas. Rajah di

bawah menunjukkan jenis-jenis lengkungan kubik bagi parabola mencapah:

3.4.1.1 Tiga Punca Nyata

a) Semua Punca Nyata Sama: Parabola Semikubik

Sebagai salah satu lengkung kubik bagi parabola mencapah, parabola semikubik

merupakan keadaan lengkung kubik di mana tiga punca nyata bagi sebelah kanan

persamaan adalah sama. Berikut merupakan gambar rajah bagi lengkung semikubik:

Parabola Mencapah

Newton

Hanya 1 punca nyata

3 punca nyataSemua punca

nyata sama:

Parabola

semikubik

3 punca nyata & punca

yang tidak nyata:

Lengkungan telur Newton

2 punca nyata:

Kubik

Tschirnhausen

Rajah : Jenis Parabola Mencapah Newton dan jenisnya

Lengkung Eliptik

Rajah : Parabola Semikubik

Nama parabola semikubik diperolehi daripada perkataan ‘parabola kubik’. Nama ini

diberikan berdasarkan nilai kuasa tiga (kubik) yang telah dibahagikan dengan dua (semi).

Parabola semikubik juga dikenali dengan nama Parabola Neile bersempena dengan nama

William Neile (1637-1670) yang menemui lengkung ini pada tahun 1657. Lengkung ini

merupakan lengkungan aljabar yang pertama sekali mengambil kira jarak lengkungan.

Pengiraannya telah diterbitkan oleh Wallis pada tahun 1659 yang kemudiannya telah

mengkreditkannya kepada anak muridnya, Neile. Persamaan bagi parabola ini adalah

seperti berikut:

Pada tahun 1687, Leibniz mencabar rakan-rakannya dengan soalan tentang

lengkung isokronus; di bawah graviti, halaju menegak bagi objek yang bergolek di atas

lengkung ini adalah malar. Pada tahun 1690, Jacob Bernoulli mendapati bahawa lengkung

yang diberikan adalah parabola semi-padu (perubahan x dan y dalam formula di atas).

Pengetahuan mengenai lengkungan ini telah diaplikasikan oleh Dutch Van Heuraet dalam

melaksanakan kerja-kerja pembinaannya.

Lengkung semikubik juga boleh didapati dengan mengambil kira sesuatu objek,

contohnya Bumi sebagai punca graviti. Persamaan yang sepadan bagi jarak s(t) sebagai

fungsi masa t yang telah berlalu adalah s" = - gM/s ². Oleh yang demikian, tentulah mudah

bagi mengesahkan bahawa parabola semikubik t(s) adalah penyelesaiannya.

b) Tiga Punca Nyata & Punca Tidak Nyata: Lengkungan Telur Newton

y2=x3

Menurut Newton (1710), lengkungan telur merupakan parabola mencapah yang berbentuk

seolah-olah loceng dengan bucu yang berbentuk bujur. Newton menamakan lengkung ini

sebagai ‘lengkungan telur’ memandangkan bentuknya yang bujur seakan-akan sebiji telur.

Persamaan bagi lengkung ini adalah seperti berikut:

Melalui beberapa transformasi linear, tiga pemboleh ubah yang sepadan dengan

punca boleh dikurangkan kepada satu pemboleh ubah a sahaja. Berikut merupakan gambar

rajah bagi lengkungan telur Newton:

.

c) Dua Punca Nyata: Kubik Tschirnhausen

y2=(x2−1)( x−a)

Rajah : Lengkungan Telur Newton

Menurut Newton (1710), lengkungan Kubik Tschirnhausen merupakan parabola mencapah

yang dibentuk sama ada melalui Nodated dengan menyentuh lengkung bujur atau melalui

Punctuate dengan menggambarkan lengkung bujur sebagai sesuatu yang kecil dan tidak

terhingga. Dua daripada tiga punca nyata adalah sama. Lengkung ini mempunyai dua

bentuk. Berikut merupakan gambar rajah bagi Lengkungan Kubik Tschirnhausen:

Lengkung yang pertama adalah lebih biasa dilihat dalam literatur lengkung. Lengkung ini

juga boleh dilihat sebagai satu lingkaran sinusoidal (a = 1/3). Persamaan bagi lengkung ini

adalah seperti berikut:

Origin bagi persamaan di atas dipanggil sebagai kutub bagi lengkung. Lengkung ini

juga mempunyai persamaan kutub berbentuk r=cos−3φ dan ia juga dikenali sebagai

duplikatriks padu. Lengkung ini kemudiannya telah dikaji oleh Tschirnhaus pada tahun

1690. Pada tahun 1696 pula, ia telah dikaji oleh de L'Hôpital dan Catalan. Oleh yang

demikian, lengkung ini turut dikenali dengan nama Kubik Tschirnhaus, Kubik L'Hôpital dan

Trisektrik Catalan. Namun demikian, R.C. Archibald telah menamakan lengkung ini sebagai

Lengkung Kubik Tschirnhaus berdasarkan laporan yang telah ditulis oleh beliau pada tahun

1900.

y2=x2(x+1) y2=x2(x−1)atau

Rajah : Lengkungan Kubik Tschirnhausen

Antara ciri-ciri yang menarik mengenai Lengkung Kubik Tschirnhaus adalah:

Ciri-ciri Lengkung Kubik

Tschirnhaus

Merupakan katakaustik bagi

parabola

Katakaustiknya berbentuk

parabola semi kubik

Pedalnya adalah parabola

Merupakan sonsangan bagi

kutub Triseks MacLaurin

Merupakan pedal bagi Lengkung

Talbot

Merupakan sonsangan bagi folium mudah

Rajah : Ciri-ciri Lengkung Kubik Tschirnhausen

3.4.1.2 Hanya Satu Punca Nyata

Hanya terdapat satu punca nyata. Menurut Newton pada tahun 1710, jika terdapat dua

punca nyata adalah mustahil, maka akan ada Parabola Tulen yang berbentuk seperti

loceng. Berikut merupakan persamaan bagi lengkung ini:

Berikut merupakan gambar rajah bagi lengkung yang hanya mempunyai satu punca nyata:

3.4.1.3 Lengkung Eliptik

Adalah tidak mustahil untuk menentukan parabola mencapah sebagai salah satu jenis

lengkung kubik yang bersamaan dengan topologi torus a. Lengkung ini wujud dalam kajian

mengenai kamiran eliptik. Baru-baru ini, ia telah digunakan untuk membina kod ralat bagi

kerja-kerja membaik pulih. Ia juga telah digunakan dalam bidang kriptografi dengan gelaran

‘’lengkung eliptik sistem kripto’. Pada tahun 1997, telah dinyatakan bahawa lengkung eliptik

boleh dikesan dengan mudah berdasarkan simetri. Berikut merupakan persamaan bagi

lengkung ini:

y2=x (x2+a2)

Rajah : Parabola mencapah yang hanya mempunyai 1 punca nyata

y2=x3+ax+b

Bagi lengkung, parameter

adanb tidak boleh bersamaan

dengan sifar. Berikut merupakan gambar rajah bagi Lengkung

Eliptik:

Lengkung Eliptik merupakan lengkung bukan tunggal yang diaplikasikan dalam

sebarang bidang K di mana ia mempunyai punca nyata. Pada masa kini, Lengkung Eliptik

Rajah : Lengkung-lengkung Eliptik

biasanya dikaji dalam beberapa varian dalam fungsi eliptik Weierstrass yang mentakrifkan

sambungan kuadratik dalam fungsi rasional boleh diperoleh dengan mengekstrak punca

kuasa bagi kubik.

3.4.2 Trident of Newton

Trident of Newton merupakan lengkung kubik bagi parabola satah. Nama Trident of Newton

diberikan berdasarkan bentuknya yang seperti serampang tiga mata. Ia merupakan

lengkung kubik yang ke-66 dalam pengkelasan Newton terhadap kubik dan telah dikaji

sendiri oleh Newton dan Descartes. Ia terkandung dalam pengkelasan Newton terhadap

lengkung kubik dalam buku yang ditulis oleh John Harris bertajuk Lexicon Technicumby.

Oleh yang demikian, lengkung ini juga turut dikenali dengan nama Parabola Descartes

walaupun sebenarnya ia bukanlah parabola. Lengkungan ini akan menyentuh satah pada

satu atau tiga titik. Persamaan bagi Trident of Newton adalah:

Newton telah menyatakan beberapa ciri bagi lengkung ini iaitu ia mempunyai empat kaki,

dua kaki asimptot menghala paksi y dan dua kaki parabola. Bentuk yang paling mudah

adalah axy=x3−a3 seperti dalam gambar rajah di bawah. Dalam kes ini, posisi serpentin

dimansuhkan kepada titik infleksion.

xy=ax3+b x2+cx+d

Rajah : Lakaran lengkung axy=x3−a3di mana a=0hingga3

Descartes menggunakan lengkung ini untuk menyelesaikan persamaan sektik dengan

menentukan persilangan dengan bulatan. Ia juga diaplikasikan oleh Descartes dalam

proses pembinaan mekanikal dan Maclaurin dalam geometrik organik.

Berikut merupakan gambar rajah bagi lengkung Trident of Newton:

Terdapat dua persamaan subset bagi Trident of Newton iaitu:

Rajah : Lengkung-lengkung Kubik Trident of Newton

yx=(x+a)(x−a)(x−2a)

y=x2+ ax

Rajah : Lakaran lengkung axy=x3−a3di mana a=0hingga3

Newton telah meninggal dunia pada tahun 1727 ketika berusia 84 tahun. Beliau

telah mendapat penghormatan untuk disemadikan di Westminster Abbey. Sesungguhnya,

terlalu banyak sumbangan yang telah diberikan oleh Newton dalam bidang matematik.

Melalui sumbangan beliau, bidang matematik telah berjaya diperkembang dan diperluas

dari hari ke hari. Teorem-teorem yang diketengahkan oleh beliau juga masih digunakan dan

diaplikasikan oleh ahli-ahli matematik sehingga ke hari ini. Pemergiannya merupakan suatu

kehilangan yang besar bagi seluruh warga dunia.