penerapan persamaan diferensial parsial
TRANSCRIPT
![Page 1: Penerapan Persamaan Diferensial Parsial](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102423/55af3f511a28ab883d8b468b/html5/thumbnails/1.jpg)
ILUSTRASI FENOMENA FISIK
u(x,t)
ISOLATOR
X
t xo xt
![Page 2: Penerapan Persamaan Diferensial Parsial](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102423/55af3f511a28ab883d8b468b/html5/thumbnails/2.jpg)
PENENTUAN
MODEL MATEMATIKA
![Page 3: Penerapan Persamaan Diferensial Parsial](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102423/55af3f511a28ab883d8b468b/html5/thumbnails/3.jpg)
Aliran panas di dalam suatu benda homogen mengikuti persamaan
panas:
Dengan adalah suhu dalam benda tersebut, k adalah
konduktifitas
termal, s adalah panas jenis, dan r adalah kerapatan benda,
adalah
Laplacian dari u, dan relatif terhadap koordinat Kartesius x, y, z:
Sebagai salah satu penerapan penting, marilah kita tinjau suhu pada
suatu
batang atau kawat tipis panjang, yang irisan melintangnya konstan
![Page 4: Penerapan Persamaan Diferensial Parsial](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102423/55af3f511a28ab883d8b468b/html5/thumbnails/4.jpg)
Maka u tergantung hanya pada x dan waktu t dan
persamaan panasnya menjadi apa yang dinamakan
persamaan panas berdemensi-satu, yaitu:
![Page 5: Penerapan Persamaan Diferensial Parsial](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102423/55af3f511a28ab883d8b468b/html5/thumbnails/5.jpg)
penyelesaian
MODEL MATEMATIKA
![Page 6: Penerapan Persamaan Diferensial Parsial](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102423/55af3f511a28ab883d8b468b/html5/thumbnails/6.jpg)
Marilah kita mulai dengan kasus kedua ujung batangnya (x=0dan
x=L) dipertahankan pada suhu nol. Maka syarat-syaratbatasnya
adalah:
untuk setiap t > 0.
Jika f(x) adalah suhu awal batang tersebut, maka syaratawalnya
adalah:
diketahui
Selanjutnya, kita akan menentukan solusi u(x,t) bagi (1) yang
memenuhi (2)& (3).
![Page 7: Penerapan Persamaan Diferensial Parsial](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102423/55af3f511a28ab883d8b468b/html5/thumbnails/7.jpg)
Langkah Pertama. Dengan menerapkan metode pemisahan variabel,
mula-mula kita tentukan solusi bagi (1) yang memenuhi syarat batas (2)
Kita mulai dengan:
Sehingga diperoleh:
Kita simpulkan bahwa kedua ruas itu pasti sama dengan suatu konstanta
misalnya k.
Untuk , misalkan , sehingga kita peroleh dari (5):
![Page 8: Penerapan Persamaan Diferensial Parsial](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102423/55af3f511a28ab883d8b468b/html5/thumbnails/8.jpg)
Diperoleh:
Kita lihat bahwa ini menghasilkan dua persamaan diferensial
biasa:
![Page 9: Penerapan Persamaan Diferensial Parsial](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102423/55af3f511a28ab883d8b468b/html5/thumbnails/9.jpg)
Langkah Kedua. Kita perhatikan (6).
Dengan menggunakan pers. bantu diperoleh:
Solusi umumnya adalah:
Syarat batas atas (2) berakibat bahwa:
dan
![Page 10: Penerapan Persamaan Diferensial Parsial](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102423/55af3f511a28ab883d8b468b/html5/thumbnails/10.jpg)
Jika G=0, berimplikasi u=0 (tidak mungkin)
Jika G≠0, maka F(0)=0 dan F(L)=0.
Dari (8):
Untuk
Berdasarkan (*)& (**) diperoleh:
![Page 11: Penerapan Persamaan Diferensial Parsial](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102423/55af3f511a28ab883d8b468b/html5/thumbnails/11.jpg)
Dengan mengambil B=1, kita memperoleh solusi (6) yang
memenuhi (2):
Sekarang dari (7):
Integralkan kedua ruas:
![Page 12: Penerapan Persamaan Diferensial Parsial](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102423/55af3f511a28ab883d8b468b/html5/thumbnails/12.jpg)
Diketahui , maka:
Solusi umumnya adalah:
Jadi, fungsi-fungsi:
Merupakan solusi bagi pers. panas (1) yang memenuhi (2).
,
![Page 13: Penerapan Persamaan Diferensial Parsial](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102423/55af3f511a28ab883d8b468b/html5/thumbnails/13.jpg)
Langkah Ketiga. Untuk memperoleh solusi yang juga
memenuhi (3),
kita perhatikan:
(10)
![Page 14: Penerapan Persamaan Diferensial Parsial](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102423/55af3f511a28ab883d8b468b/html5/thumbnails/14.jpg)
CONTOH SOAL
Misalkan suhu di dalam sebatang tembaga yang telah
diisolasi
yang panjang 80 cm suhu awalnya adalah 100 sin (πx/80)° C
dan
ujung-ujungnya dipertahankan pada suhu 0°C. Berapa lama
sampai
suhu maksimum di dalam batang tembaga itu turun menjadi
50°C?
Data fisik untuk tembaga:
Kerapatan 8.92 gr/cm3, panas jenis 0,092 kal/°C, konduktifitas
termal 0.95 kal/cm det°C.
![Page 15: Penerapan Persamaan Diferensial Parsial](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102423/55af3f511a28ab883d8b468b/html5/thumbnails/15.jpg)
Penyelesaian
Diketahui : Panjang = L = 80 cm
Konduktivitas termal = K = 0,95 kal/cm det
°C
Panas jenis = s = 0,092 kal/gr °C
Kerapatan = ρ = 8,92 gr/cm3
![Page 16: Penerapan Persamaan Diferensial Parsial](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102423/55af3f511a28ab883d8b468b/html5/thumbnails/16.jpg)
Syarat awal menghasilkan:
![Page 17: Penerapan Persamaan Diferensial Parsial](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102423/55af3f511a28ab883d8b468b/html5/thumbnails/17.jpg)
![Page 18: Penerapan Persamaan Diferensial Parsial](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022102423/55af3f511a28ab883d8b468b/html5/thumbnails/18.jpg)
Dari perhitungan di atas, kita peroleh:
Di dalam dibutuhkan , dengan
Sehingga diperoleh:
Solusi bagi adalah
Selanjutnya:
detik
menit