penerbit wade group - trunojoyo
TRANSCRIPT
Penerbit WADE GROUP
ii
Penulis : Bain Khusnul Khotimah, S.T, M.Kom.
ISBN : 978-602-6802-11-8
Desain & Layout : Abu Muntaha
Cover Image : http://www.google.com
Penerbit WADE GROUP --- BuatBuku.com CV. WADE GROUP
Jl. Pos Barat Km.1 Ngimput Purwosari Babadan Ponorogo Indonesia 63491 BuatBuku.com [email protected] INDONESIA
Cetakan Pertama, November 2015
Hak Cipta © 2015 pada Penulis Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apapun, baik secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotocopy, merekam atau dengan sistem penyimpanan lainnya, tanpa seizin tertulis dari Penulis. Perpustakaan Nasional: Katalog Dalam Terbitan (KDT)
xiv + 238 hlm.; 15,5 x 23 cm
iii
Kata Pengantar
Puji syukur Kita panjatkan kehadirat Allah SWT serta
sholawat dan salam kita hatur ke junjungan Nabi Mohammad SAW,
berkat rahmat-Nya serta syafaatnya sehingga penulisan buku ajar
“Teori Simulasi Dan Pemodelan: Konsep, Aplikasi Dan Terapan” ini dapat terselesaikan. Penulisan buku ajar ini, dimaksudkan untuk
memberikan gambaran tentang konsep, perkembangan, teori,
pemodelan, dan perkembangan aplikasi simulasi kepada para
pembaca, khususnya mahasiswa yang menempuh mata kuliah
Simulasi.
Buku ini berisi dasar pemodelan sistem dan operasi sistem ril,
teknik simulasi dapat digunakan untuk penyelesaian beragam
persoalan yang menyangkut dengan sistem dan operasi sistem.
Penerapan Simulasi dapat diaplikasikan dengan menggunakan
prosedur pengoperasian sistem yang secara khusus disusun untuk
menyelesaian persoalan yang dihadapi. Sedangkan prosedur yang
digunakan disusun berdasarkan pemodelan dan analisis sistem.
Beberapa contoh aplikasi simulasi diambil dari beberapa penelitian
baik jurnal maupun buku yang disajikan dalam bentuk-bentuk umum
simulasi dan dalam bentuk-bentuk khusus untuk penyelesaian
persoalan system dalam berbagai aplikasi persoalan misalnya
persoalan sistem antrian dan persoalan sistem persediaan. Contoh-
contoh aplikasi ini diharapkan dapat menumbuhkan penguasaan atas
penggunaan teknik simulasi.
Dalam proses belajar mengajar, guna menunjang proses
tersebut kami menyusun buku ajar ini yang diperuntukkan bagi
mahasiswa, yang juga diharapkan dapat digunakan sebagai acuan
materi antar dosen yang mengajar pada beberapa kelas parallel di
Jurusan Teknik Informatika. Kami sangat mengharapkan saran dan
iv
kritik membangun dari para mahasiswa, dosen dan pembaca guna
kesempurnaan catatan kuliah ini.
Bangkalan, 2015
Bain Khusnul Khotimah
v
DAFTAR ISI
Kata Pengantar…iii
Daftar Isi…v
Daftar Gambar…xi
Daftar Tabel…xiii
BAB I. KONSEP DASAR MODEL SIMULASI…1
1.1 Dunia Nyata dan Sistem…3
1.1.1 Tujuan Imitasi pada Simulasi…3
1.1.2 Simulasi Penyelesaian Persoalan…5
1.1.3 Konsep Simulasi…6
1.2 Tahapan Simulasi…9
1.3 Dasar-dasar Pemodelan Sistem…11
1.4 Bentuk Operasi Maya dan Simulasi…20
1.5 Prosedur Pengoperasian Sistem Maya…21
1.6 Operasi Maya Sistem Diskrit…22
1.7 Simulasi dengan Operasi Statik…24
1.8 Simulasi dengan Operasi Dinamik…26
1.9 Bentuk Nilai Simulasi Deterministik…27
1.10 Simulasi Stokastik…29
1.11 Verifikasi dan Validasi Simulasi…31
1.12 Rangkuman…32
vi
BAB II. PEMODELAN SISTEM DINAMIK...35
2.1 Pendekatan dalam Sistem Dinamik...37
2.2 Simulasi dalam Sistem Dinamik…40
2.2.1 Pemodelan Sistem Dinamik…41
2.3 Perangkat Lunak Simulasi...42
2.3.1 Sub Model Pasar/Penjualan...45
2.3.2 Sub Model Konsumen Rumah Tangga...46
2.3.3 Sub Model Jumlah Tangkapan…47
2.3.4 Sub Model SDM…48
2.3.5 Diagram Stok Aliran (Stock Flow
Digram)…49
2.4 Analisis Kebutuhan…50
2.4.1 Interaksi Antar Variabel…50
2.4.2 Diagram Stock And Flow…52
2.5 Simulasi Hasil Pemodelan UKM…55
2.6 Rangkuman…57
BAB III. SISTEM TUNGGU…61
3.1 Teori Antrian…62
3.1.1 Komponen Proses Antrian…63
3.2 Model-Model Antrian…67
3.3 Aplikasi Antrian Pada Layanan Bandara…89
3.3.1 Pengolahan Data Waktu Kedatangan…92
3.3.2 Pengolahan Data Waktu Pelayanan…97
vii
3.3.3 Perhitungan Variabel Model Antrian...102
3.4 Rangkuman…105
BAB IV. PEUBAH ACAK…109
4.1 Sebaran Peluang Peubah Acak Diskret…110
4.2 Sebaran peubah Acak Kontinu…118
4.3 Sebaran Peluang Bersama…120
4.4 Rangkuman…123
BAB V. NILAI HARAPAN (EKSPETASI)…127
5.1 Gambaran Nilai Harapan…128
5.2 Kaedah-kaedah Nilai harapan…133
5.3 Nilai Harapan Khusus…136
5.4 Sifat-sifat Koefisien korelasi (r)…140
5.5 Sifat-sifat Ragam/Variasi…146
5.6 Teorema Chebyshev…14λ
5.7 Rangkuman…152
BAB VI. SEBARAN PELUANG DISKRET…157
6.1 Sebaran Seragam…158
6.2 Sebaran Binomial dan Multinomil…160
6.3 Sebaran Hipergeometrik…167
6.4 Sebaran Poisson…171
6.5 Sebaran Binomial Negatif dan Geometrik…177
viii
6.6 Rangkuman…181
BAB VII. SEBARAN NORMAL…185
7.1 Kurva Normal…186
7.2 Luas Daerah Di bawah Kurva Normal…190
7.3 Pendekatan Normal terhadap Binomial…193
7.4 Rangkuman…199
BAB VIII. PENGEMBANGAN MODEL…203
8.1 Pemodelan Simulasi Kejadian Diskrit Dinamis…204
8.2 Teknik Representasi kejadian system…206
8.3 Simulasi Monte Carlo…209
8.4 Sistem Komputer Time-Shared…211
8.4.1 Formulasi Masalah…213
8.4.2 Model Analitik…216
8.4.3 Pertimbangan Pemrograman dan Struktur
Data…222
8.4.4 Penambahan Waktu dalam Model
Simulasi…222
8.5 Aplikasi Pemodelan Simulasi untuk Sistem Antrian
Kesehatan…223
8.5.1 Kejadian kondisional diskret...224
8.5.2 Pemrosesan Kejadian…224
8.5.3 Kejadian (Event)…225
ix
8.5.4 Proses Simulasi Pro Model...227
8.5.5 Verifikasi dan Validasi Model...228
8.6 Permasalahan Analisis dalam Model Simulasi…228
8.7 Rangkuman…236
x
xi
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Sistem ril dan sistem imitasi ............................................. 4
Gambar 1.2. Gambaran pemodelan simulasi ........................................ 6
Gambar 1.3 Model konseptual simulasi ................................................. 7
Gambar 1.4. Tahapan Simulasi ............................................................ 11
Gambar 1.9. Kurva Karakteristik Beberapa Ketidaklinieran .............. 14
Gambar 1.5 Wilayah Kerja Simulasi .................................................. 17
Gambar 1.6 Illustrasi Operasi Diskrit dari Operasi Kontinu ............... 24
Gambar 1.7 Simulasi statik atas satu segmen aktivitas ..................... 25
Gambar 1.12. Simulasi dinamik dalam periode ganda ............ 26
Gambar 2.1 Pendekatan Sistem dengan Simulasi Sistem Dinamik .... 42
Gambar 2.2 Diagram Simpal Kausal .................................................. 45
Model Perikanan di Kabupaten Konawea Selatan .............................. 45
Gambar 2.3 Model Sub Sistem Pasar................................................. 46
Gambar 2.4 CLD Sub Sistem Model Konsumen ................................ 47
Gambar 2.5 CLD Sub Sistem Model Jumlah Tangkapan .................. 47
Gambar 2.6 CLD Sub Model SDM/Penduduk .................................. 48
Gambar 2.7 Diagram Alir Model Sistem Perikanan Lengkap ............ 49
Gambar 2.8 Interaksi Antar Variabel Awal ........................................ 52
Gambar 2.9 Submodel Teknologi ....................................................... 53
Gambar 2.10 Submodel Permintaan dan Produksi ............................. 53
Gambar 2.11 Submodel Keuangan ..................................................... 54
Gambar 2.12 Submodel Kebijakan Investasi ..................................... 54
Gambar 2.13. Hasil Simulasi Skenario ............................................... 56
Gambar 3.1 Komponen Dasar Antrian ............................................... 63
xii
Gambar 3.2. Antrian Satu Saluran Satu Tahap ................................... 65
Gambar 3.3. Antrian Banyak Saluran Satu Tahap .............................. 66
Gambar 3.4. Antrian Satu Saluran Banyak Tahap .............................. 66
Gambar 3.5. Antrian Banyak Saluran Banyak Tahap ......................... 66
Gambar 3.6. Model Antrian ................................................................ 67
Gambar 3.7 Model Antrian Model M/M/1/I/I ................................... 68
Gambar 3.8 Model Antrian Model M/M/S/I/I .................................... 72
Gambar 3.9. Model Antrian Model M/M/1/I/F .................................. 80
Gambar 3.10. Model Antrian Model M/M/S/F/I ................................ 83
Gambar 4.1 Grafik sebaran peluang diskret ..................................... 112
Gambar P(a<x<b) = b
a
dxxf )(
.......................................................... 119
Gambar 6.1 histogram dari sebaran seragam f(x:6) =1/6 ................. 160
Gambar 7.1 kurva normal ................................................................. 187
Gambar 7.1 Kurva Normal ............................................................... 189
Gambar 7.2 Kurva Normal f(x1<x<x2) = luas daerah yang diarsir .. 190
7.3 Gambar hubungan antara luasan dan N(,2) ............................ 192
Gambar 7.3 Hampiran Kurva Normal terhadap b(x;16,0,5) ............. 194
Gambar 8.1. Graf kejadian sistem perbaikan mesin ........................ 209
Gambar 8.2. Sistem komputer time-shared ...................................... 211
Gambar 8.4. Logika pemrogaman time-shared computer ................ 221
Gambar 8.5 Model Konseptual ......................................................... 226
Gambar 8.6 Aliran Diagram Entitas ................................................ 226
Gambar 8.7 Contoh gambar Simulasi Pro Model ............................ 227
xiii
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1. Simbol-simbol Diagram Alir ............................................. 43
Tabel 3.1 Maskapai Penerbangan Yang Beroperasi ........................... 90
di Bandara Adisutjipto Yogyakarta ..................................................... 90
Tabel 3.3 Waktu Kedatangan PenumpangCheck-In Batavia .............. 91
Tabel 3.4 Waktu Pelayanan PenumpangCheck-In Batavia ................. 92
Tabel 3.5 Distribusi Frekuensi Waktu Kedatangan ............................ 93
Tabel 3.6 Hasil Perhitungan 2 Untuk Waktu Kedatangan
Penumpang .......................................................................................... 97
Tabel 3.7 Distribusi Frekuensi waktu Pelayanan ................................ 98
Tabel 3.8 Hasil Perhitungan 2 Untuk Waktu Pelayanan Penumpang
........................................................................................................... 101
Table 5.1. Sebaran peluang ............................................................... 130
Tabel 8.1. Biaya dan pengurangan waktu koneksi dengan beberapa
alternatif memori ............................................................................... 213
Tabel 1. Waktu terhubung rata-rata .................................................. 218
Tabel 1. Hasil Analisis Data Input .................................................... 227
xiv
1
BAB I
KONSEP DASAR MODEL
SIMULASI
2
BAB I
KONSEP DASAR MODEL SIMULASI
Tujuan Intruksional Umum
1. Mahasiswa mengerti arti dan manfaat studi simulasi, serta
mendapat gambaran tentang cakupan studi simulasi
2. Mahasiswa dapat membangun model yang akan
disimulasikan dan memahami definisi simulasi.
Tujuan Intruksional Khusus
1. Mahasiswa mampu mengikhtisarkan pentingnya simulasi
sehingga lebih termotivasi untuk memahaminya labih
lanjut
2. Mahasiswa dapat menyebutkan manfaat dan kelebihan-
kelebihan pendekatam simulasi.
3. Mahasiswa dapat menyebutkan bidang-bidang atau ilmu-
ilmu yang sering menggunakan pendekatan simulasi.
4. Mahasiswa mampu membandingkan sistem dan model,
dan menyimpulkan perlunya model untuk kebutuhan
simulasi.
5. Mahasiswa mampu menggolongkan model ke dalam
simulasi matematis, baik yang statis maupun dinamis.
3
1.1 Dunia Nyata dan Sistem
Dalam penerapan dunia nyata maka segala sesuatu pasti
mengikuti suatu aturan seperti air yang mengalir dari tempat
yang tinggi (gunung) ke tempat (dataran) yang lebih rendah.
Sedangkan pada pemakaian suatu alat bantu yang sangat penting
ialah model abstrak yang perilaku esensialnya mencerminkan
perilaku dunia nyata (realita) yang diwakilinya. Model
digunakan dalam banyak cara untuk mendiskripsikan system
untuk mendisain dan mengelola sistem sebagai fungsi analisis.
Analisis ini didefinisikan sebagai determinasi output model,
dengan menggunakan input dan struktur model yang telah
diketahui. Dalam membangun analisis simulasi maka
dibangunlah system imitasi dalam simulasi.
1.1.1 Tujuan Imitasi pada Simulasi
Menurut pendefinisian pada berbagai kamus,
kata simulasi diartikan sebagai cara mereproduksi
kondisi dari suatu keberadaan dengan menggunakan
model dalam rangka studi pengenalan atau pengujian
atau pelatihan dan yang sejenis lainnya. Simulasi
dalam bentuk pengolahan data merupakan imitasi
dari proses dan input ril yang menghasilkan data
output sebagai gambaran karakteristik operasional
dan keadaan pada sistem. Hubungan sistem ril
dengan sistem imitasi dalam simulasi disajikan pada
Gambar 1.2. (Napitupulu, 2009).
4
Gambar 1.1 Sistem ril dan sistem imitasi
Imitasi dalam simulasi menghasilkan model
representasi dari suatu proses atau operasi dan
keadaan ril. Model sebagai imitasi disusun dalam
bentuk yang sesuai menyajikan sistem ril atas hal-
hal tertentu yang perlu direpresentasikan dengan
maksud untuk menghadirkan tiruan dari kegiatan
dan sistem ril. Sebagai contoh, model sistem antrian
sebagai imitasi dari sistem pelayanan disusun untuk
menggambarkan posisi dari pelanggan menunggu di
depan stasiun pelayanan.
Tujuan imitasi sistem ril dengan menghadirkan
elemen dan komponen tiruan adalah untuk peniruan
fungsi dan hubungan ril serta interaksi antar objek
dan komponen ril pada sistem tiruan. Komponen-
komponen sistem tiruan hadir dalam bentuk fungsi
dan interaksi imitasi yang disajikan dalam bentuk
rangkaian proses dalam aktivitas dan operasi sistem
yang disimulasi. Operasi tiruan yang berlangsung
dengan penggunaan data input tiruan diperlukan
5
untuk menghasilkan output sebagai gambaran dari
hasil operasi dan keadaan pada sistem yang
disimulasi.
1.1.2 Simulasi Penyelesaian Persoalan
Masalah tidak adanya metode yang sesuai
dengan persoalan pada umumnya berkaitan dengan
bentuk persoalan yang unik dan rumit, yang tidak
dapat diselesaikan dengan menggunakan metode dan
model-model baku yang ada. Sebagai contoh adalah
persoalan sistem antrian yang unik seperti disajikan
pada Gambar 1.2.
Perumusan persoalan dengan penyesuaian
terhadap metode yang hendak digunakan biasanya
terjadi atas kepentingan untuk memperoleh solusi
seadanya. Namun dengan upaya penyesuaian, solusi
yang diperoleh dapat menyimpang dari yang
semestinya, di samping dapat memunculkan
persoalan baru jika penerapan solusi yang diperoleh
tidak dapat memberikan hasil yang diharapkan dan
bahkan menimbulkan masalah pada penanganan
persoalan. (Napitupulu, 2009).
Model Baku : M/M/1
Stasiun Pelayanan
6
a. Model Sistem Antrian
b. Model Solusi Grafis
Gambar 1.2. Gambaran pemodelan simulasi
(Napitupulu, 2009)
1.1.3 Konsep Simulasi
Simulasi sebagai proses pengolahan data
dengan penggunaan rangkaian model-model
simbolik pada pengoperasian sistem tiruan tidak
mengharuskan dan tidak mengajukan penggunaan
formula atau fungsi-fungsi dan persamaan tertentu
Stasiun Pelayanan
Stasiun Pelayanan
Stasiun Pelayanan
7
sebagai model simbolik penyelesaian persoalan,
tetapi sebaliknya simulasi yang terdiri dari tahapan-
tahapan dan langkah-langkah pengolahan data
haruslah dilengkapi dengan model-model simbolik
yang sesuai memberikan hasil pengoperasian sistem
tiruan dalam bentuk data output yang berguna
untuk penyelesaian persoalan. Simulasi juga tidak
terikat dengan penggunaan model-model sistem
acuan tetapi memerlukan pemodelan untuk
menghasilkan model sistem dan model operasi
sistem yang sesuai dengan tujuan penelitian atau
penyelidikan.
Gambar 1.3 Model konseptual simulasi
8
Penyusunan model-model pada simulasi
merupakan bentuk aplikasi dari teori, prinsip, dan
pendekatan sistem. Model sistem dan model-model
simbolik dari fungsi atau proses serta prosedur
pengoperasian sistem tiruan haruslah disusun sebagai
perangkat lunak untuk penyelidikan dan analisis
karakteristik sistem. Untuk itu peniruan operasi
sistem ril dilakukan atas elemen-elemen yang
berkaitan dengan aktivitas sistem yaitu masukan dan
komponen- komponen sistem, hubungan dan
interaksi antar komponen sistem, aturan-aturan,
disiplin dan ketentuan lainnya yang berlaku dalam
aktivitas sistem. Berdasarkan peniruan sistem dan
aktivitas sistem ril yang sesuai, hasil simulasi sistem
dapat diterima dan berlaku syah sebagai data output
yang berguna menunjukkan karakteristik operasional
sistem ril.
Sesuai dengan konsep simulasi sistem tersebut
di atas, solusi untuk suatu persoalan dalam bentuk
keadaan yang kurang baik ataupun keadaan yang
tidak optimal dapat disusun dalam bentuk
rancangan pengembangan sistem dan bentuk
rancangan perbaikan pengelolaan dan pengoperasian
sistem. Solusi untuk mewujudkan keadaan yang
lebih baik dapat diperoleh berdasarkan hasil analisis
dan pengujian rancangan pengembangan dan
perbaikan melalui simulasi sistem seperti disajikan
pada Gambar 1.3.
Model konseptual simulasi pada gambar di atas
menunjukkan simulasi sebagai imitasi sistem melalui
penyusunan model-model yang diperlukan pada
9
pengoperasian sistem maya sebagai tiruan yang sama
ataupun sebagai imitasi modifikasi dari suatu sistem
ril untuk memperoleh karakteristik operasional
sistem sebagai bahan pertimbangan pada penentuan
solusi atas persoalan sistem ril.
1.2 Tahapan Simulasi
Proses Tahapan dalam mengembangkan Model dan
simulasi komputer secara umum, sebagai berikut :
a. Memahami sistem yang akan disimulasikan Jika
Pengembang model tidak tau atau belum mengetahui cara
kerja sistem yang akan dimodel simulasikan maka
pengembang perlu meminta bantuan seorang ahli (pakar)
dibidang sistem yang bersangkutan. Data masukan,
keluaran, variable dan parameter masih dalam bentuk
symbol – symbol verbal (kata – kata).
b. Mengembangkan Model matematika dari sistem Apabila
pengembang sudah mengetahui cara kerja sistem yang
bersangkutan, maka tahap berikutnya adalah
memformulasikan model matematika dari sistem. Model
matematika bisa dalam bentuk persamaan diferensial,
persamaan aljabar linear, persamaan logika diskret dan
lain – lain disesuaikan dengan karakterisitik sistem dan
tujuan pemodelan
c. Mengembangkan Model matematika untuk simulasi
Digunakan untuk menyederhanakan model matematika
yang sudah dihasilkan sebelumnya. Agar lebih mudah
dalam menyederhanakan Model matematika, maka
10
dibuatlah suatu Flow Chart untuk merinci tahapan yang
harus dilewati untuk membuat program.
d. Membuat program (software) Beberapa flow chart dari
tahapan sebelumnya kemudian diimplementasikan lebih
lanjut menjadi program (software) computer
e. Menguji, memverifikasi dan memvalidasi keluaran
simulasi Simulasi pada dasarnya adalah menirukan sistem
nyata (realitas) sehingga tolak ukur baik tidaknya simulasi
adalah sejauh mana yang bersangkutan. Pengujian
(testing) dilakukan pada tingkat modul program, untuk
menguji fungsi subsistem. Verifikasi dilakukan untuk
membuktikan bahwa hasil implementasi program
komputer sudah sesuai dengan rancangan model konsep
dari sistem yang bersangkutan. Validasi dilakukan dengan
membandingkan hasil keluaran simulasi dengan data yang
diambil dari sistem nyata (realitas).
f. Mengeksekusi program simulasi untuk tujuan tertentu.
Eksekusi (running) program komputer bisa dilakukan
secara waktu nyata (real time) atau waktu tidak nyata
(offline) tergantung dari tujuan simulasi. Secara umum ada
3 tujuan simulasi, yaitu : untuk mempelajari perilaku
(behavior) sistem, untuk pelatihan (training), untuk
hiburan/permainan (gaming).
11
Gambar 1.4. Tahapan Simulasi
1.3 Dasar-dasar Pemodelan Sistem
Sebuah sistem merupakan kombinasi dari beberapa
komponen yang bekerja bersama-sama. Konsep sistem yang
digunakan berupa gejala-gejala abstrak dan dinamis seperti yang
dijumpai dalam “sistem” harus dapat di interprestasikan untuk dapat menyatakan sistem fisik, biologi, ekonomi, dan
12
sebagainya.
Pemodelan sistem adalah suatu langkah awal yang di
lakukan untuk pembuatan suatu rekayasa perangkat lunak dari
sebuah sistem yang akan di simulasikan. Apabila formulasi
model dilakukan maka tahap selanjutnya akan dilakukan
evaluasi model system diantaranya adalah: ketelitian,
ketersediaan taksiran atas variable, interpretasi, dan validasi.
Dalam hal ini formulasi model senantiasa dilakukan berdasarkan
teori-teori yang berlaku diwilayah dimana system berada.
Beberapa tahapan yang biasa dilakukan untuk melakukan
formulasi model yaitu:
a. Dari sudut pandang system dan lingkungannya: system
tertutup & system terbuka.
b. Dari sudut pandang tingkat kepastian system: system
deterministic & system probabilistic.
c. Dari sudut pandang kedinamisan system: system dinamis
& system statis.
d. Dari sudut pandang kekontinuan system: system kontinu
& system diskrit.
Perkembangan sistem kontrol dalam industri proses
dewasa ini telah melahirkan banyak penemuan–penemuan baru
tentang masalah konsep dan prinsip kerja dari berbagai sistem
yang digunakan didalam industri itu sendiri untuk melaksanakan
proses produksinya.
Beberapa sistem yang terdapat di sekeliling kita dapat
didefinisikan sebagai berikut:
13
a. Sistem Linier
Definisi sistem linier merupakan suatu sistem yang
mempunyai persamaan model yang linier dengan
menerapkan prinsip superposisi. Definisi prinsip
superposisi menyatakan respon yang dihasilkan oleh
penggunaan secara serentak dua buah fungsi penggerak
yang berbeda adalah sama dengan jumlah dari dua buah
respon individualnya. Oleh karenanya, pada sistem linier,
respon terhadap beberapa masukan dapat dihitung dengan
cara mencari respon terhadap tiap-tiap masukan dan
menjumlahkan hasilnya. Prinsip ini memungkinkan kita
untuk menyusun jawaban yang kompleks pada persamaan-
persamaan diferensial linier dari beberapa jawaban yang
sederhana. Pada penyelidikan sistem dinamik secara
eksperimantal, jika sebab dan akibat adalah sebanding,
maka akan berlaku sistem superposisi sehingga sistem
tersebut dapat dianggap linier.
b. Sistem Non Linier
Sistem non linier adalah sistem yang dinyatakan
oleh persamaan non linier dan tidak dapat menerapkan
prinsip superposisi. Beberapa kurva karakteristik ketidak
lini eran diperlihatkan pada Gambar 1-1 ibawah ini.
Beberapa contoh persamaan non linier adalah:
BA sin
32BAZ
14
Keluaran Keluaran
Masukan
Keluaran
Masukan
Masukan
(a) (b)
(c)
(a) Ketidaklinieran saturasi, (b) Ketidaklinieran daerah
mati, (c) Ketidaklinieran hukum kuadrat
0)1( 2
2
2
xdt
dxx
dt
xd
,
03
2
2
xxdt
dx
dt
xd
Gambar 1.9. Kurva Karakteristik Beberapa
Ketidaklinieran
c. Sistem Kendali dengan Lup Terbuka
Sistem kendali dengan lup terbuka adalah suatu
sistem kendali yang keluarannya tidak di umpan balikkan
dengan masukannya. Sehingga untuk setiap masukan
acuan (set point), kondisinya tidak akan berubah (tetap).
Respon keluaran yang demikian itu tergantung dari
15
keadaan dari kalibrasi sistem kendali itu sendiri.
Manakala, penalaan parameter sistem adalah benar dan
stabil maka sistem itu akan bekerja sesuai dengan yang
diinginkan. Tetapi manakala penalaan parameter sistem
tidak tepat atau bahkan terjadi suatu gangguan
(disturbance) pada sistem maka sistem itu tidak dapat
bekerja seperti apa yang diinginkan.
d. Sistem Kendali dengan Lup Tertutup
Sistem kendali lup tertutup adalah suatu sistem
kendali yang keluarannya dapat di umpan balikkan dengan
masukannya. Sehingga untuk setiap masukan acuan (set
point), kondisinya akan selalu berubah sesuai dengan nilai
masukan acuan yang diberikan pada sistem tersebut.
Dalam hal ini, sistem kendali dengan lup tertutup biasanya
tidak peka terhadap perubahan yang terjadi pada sistem,
baik itu perubahan yang disebabkan oleh karena gangguan
eksternal maupun internal sistem. Hal itu disebabkan
karena adanya penalaan yang sedemikian rupa pada sistem
kendali lup tertutup yang ditujukan agar jika sewaktu-
waktu terjadi perubahan yang mendadak / tidak dapat
diramalkan pada sistem tersebut maka dengan cepat sistem
merespon keluaran yang kemudian akan dibandingkan
dengan masukan acuan utuk menghasilkan suatu nilai
yang dikehendaki.
e. Karakteristik Sistem Kendali Otomatik
Beberapa karakteristik yang penting dari sistem
kendali otomatik adalah:
16
a. Sistem kendali ototomatik merupakan sistem
dinamis (berubah terhadap waktu) yang dapat
berbentuk linier dan non linier.
b. Bersifat menerima informasi, memprosesnya,
mengolahnya, dan mengembangkannya.
c. Komponen/unit yang membentuk sistem kendali ini
akan saling berinteraksi
d. Bersifat mengembalikan sinyal ke bagian masukan
(feedback) dan ini digunakan untuk memperbaiki
sifat sistem.
e. Karena adanya pengembalian sinyal ini (sistem
umpan balik) maka pada sistem kendali otomatik
selalu terjadi maslah stabilisasi.
f. Pemakaian Sistem Kendali Otomatik
Pemakaian dari sistem kendali otomatik ini
dikelompokan sebagai berikut: [10]
a. Pengontrolan proses
b. Pembangkit tenaga listrik (pengontrolan distribusi
tenaga)
c. Pengontrolan numeric (numerical control, N/C)
d. Transportasi
e. Servomekanis,dll
17
Gambar 1.5 Wilayah Kerja Simulasi
(Law and Kelton, 1991)
a. Eksperimen langsung dan tidak langsung. Eksperimen
langsung dan tidak langsung merupakan suatu cara yang
digunakan untuk memperoleh gambaran dan informasi
secara lengkap dari system yang ingin disimulasikan. Bila
diinginkan data yang benar-benar valid maka yang lebih
tepat adalah eksperimen langsung terhadap system
realnya, karena jika kita bereksperimen terhadap model
system maka akan timbul kendala apabila model tersebut
tidak menggambarkan system realnya secara utuh.
18
b. Model Fisik dan model matematik
Model system dapat berwujud secara fisik maupun
dalam bentuk formula matematik. Pada umumnya model
matematik selalu dapat memberikan hasil yang
menjanjikan, karena model matematik yang sempurna
akan dapat memberikan informasi dan pada akhirnya akan
dapat menunjukkan kinerja dari system nyatanya secara
tepat.
c. Penyelesaian analitik dan dengan simulasi
Penyelesaian analitik dan dengan simulasi
merupakan bagian tahapan selanjutnya manakal model
fisik maupun model matematik system selesai dibuat. Jika
model system cukup sederhana maka penyelesaian secara
analisis mudah dilakukan, namun bila model system cukup
kompleks maka penyelesaian simulasi dengan
menggunakan computer akan lebih membantu.
Simulasi computer adalah suatu metode yang mana
metode itu dengan sendirinya harus disesuaikan dengan
karakteristik system real yang di buat simulasinya.
Banyaknya karakteristik system yang ada di sekeliling kita
akan memunculkan bermacam-macam simulasi,
diantaranya adalah:
a. Simulasi system dinamis : merupakan model
simulasi yang dapat merepresentasikan system yang
berubah-ubah sepanjang waktu.
b. Simulasi system diskrit: merupakan system yang
perubahan statenya terjadi pada waktu-waktu diskrit.
19
c. Simulasi system kontinu: merupakan system yang
perubahan statenya terjadi secara kontinu.
d. Simulasi system probabilistic: merupakan system
dengan kejadian yang probabilistic.
Aspek-aspek yang mendasar bagi kajian simulasi
suatu system adalah:
1. Aspek pemodelan system. Dilakukan untuk
membuat representasi system dalam bahasa/bentuk
tertentu, sehingga dengan perwujudan representasi
itu maka segala bentuk analisis dan pembahasan atas
sitem dapat dilakukan.
Adapun tahapan utama dalam melakukan
pemodelan system adalah sebagai berikut:
a. Penetapan tujuan
b. Identifikasi masalah
c. Pengembangan model koseptual
d. Pengembangan Model matematis
e. Validasi
Solusi model Pemahaman atas segala bentuk
komponen (entity) dan antribut (antribute) beserta
interaksi yang mewarnai system mutlak diperlukan
karena pemahaman ini merupakan modal dasar yang
utama dalam pemodelan system. Atas model
matematis yang diperoleh, selanjutnnya dilakukan
validasi sehingga akan diperoleh model yang valid.
20
2. Aspek pemrograman computer. Dilakukan untuk
menyelesaikan persoalan model matematika system
kedalam bentuk program computer, sehingga
program tersebut dapat menirukan perilaku system
realnya.
3. Aspek percobaan (statistic). Dilakukan untuk
mengolah data keluaran simulasi agar dapat
menunjukan keluaran yang benar dan tidak
menyesatkan.
1.4 Bentuk Operasi Maya dan Simulasi
Operasi sistem dalam bentuk maya umumnya
diawali dengan pengambilan input dan diakhiri dengan
penyajian output hasil pengolahan data. Operasi maya per
siklus dapat diulang kembali mulai dari awal periode atau
dilanjutkan pada periode selanjutnya. Operasi maya dalam
sejumlah siklus dapat berulang dalam satu periode yang
sama atau berlanjut dalam jumlah periode yang sama
dengan jumlah siklus operasi maya. Operasi maya pada
umumnya berlangsung dalam bentuk rangkaian proses
maya dengan input maya dan output maya.
Operasi maya berlangsung dengan menggunakan
data tiruan yang dapat dibedakan atas data deterministik
dan data stokastik pada simulasi dinamik atau simulasi
statik. Pengadaan data input tiruan deterministik
dilakukan dengan cara menyediakan nilai-nilai yang pasti,
sedangkan data input tiruan stokastik dapat disediakan
dengan menggunakan nilai-nilai peluang sebagai penduga.
Operasi sistem pada simulasi statik berlangsung bebas
21
tidak terikat dengan kemajuan waktu, sedangkan operasi
sistem pada simulasi dinamik berlangsung dalam selang
waktu maya yang disesuaikan terhadap selang waktu
operasi pada sistem nyata.
Hasil simulasi sistem dalam bentuk data output
merupakan hasil operasi imitasi pada sistem maya.
Dengan penggunaan nilai- nilai input yang sama dengan
nilai-nilai input pada sistem ril, data output hasil
pengoperasian sistem maya sebagai imitasi dari suatu
sistem ril pada prinsipnya adalah sama dengan nilai-nilai
dari hasil operasi sistem ril yang sama. Data output hasil
simulasi sistem maya dan data hasil operasi sistem ril
adalah sama dalam bentuk nilai-nilai yang berfungsi
menunjukkan keadaan pada sistem maya dan keadaan
pada sistem ril.
1.5 Prosedur Pengoperasian Sistem Maya
Simulasi komputer dijalankan dengan menggunakan
program simulasi pada komputer. Program simulasi sistem
berfungsi untuk menghadirkan komponen-komponen
suatu sistem maya dan untuk mengoperasikan sistem
maya yang terbentuk. Program simulasi sistem yang
tersusun dalam bentuk rangkaian perintah-perintah dan
ekspressi merupakan prosedur pengoperasian sistem
maya.
Dengan penggunaan variabel sebagai komponen
sistem maya, operasi maya dapat disusun dalam bentuk
rangkaian ekspressi dan model-model simbolik yang
menyatakan bentuk dan fungsi proses serta hubungan
22
input-output. Ekspressi-ekspressi pada program dapat
disusun sebagai rangkaian pernyataan yang berfungsi
untuk mengendalikan jalannya operasi maya sehingga
proses pengolahan data dapat menirukan proses dan
interaksi pada sistem ril.
Program komputer khusus untuk suatu simulasi
sistem dapat disusun dengan menggunakan bahasa
program tertentu, antara lain bahasa C++ dan bahasa
Visual Basic. Program simulasi juga dapat disusun dalam
bentuk worksheet aplikasi ataupun dengan menggunakan
perangkat lunak sistem simulasi seperti ProModel,
PowerSim dan lain sebagainya. Perangkat lunak sistem
simulasi berfungsi dengan mengoperasikan model sistem
dan menggunakan data input tiruan. Untuk itu
diperlukan penyusunan model sistem dan model operasi
sistem, penentuan karakteristik data input serta
penyusunan ekspressi-ekspressi pengoperasian sistem
maya sesuai dengan bentuk operasi pada sistem ril yang
disimulasikan.
1.6 Operasi Maya Sistem Diskrit
Dari segi cara pelaksanaannya, simulasi komputer
termasuk simulasi sistem diskrit sesuai dengan bentuk
pengoperasian sistem secara terputus-putus, meskipun
aktivitas dan operasi pada sistem ril berlangsung kontinu.
Simulasi sistem dapat dijalankan dengan pelaksanaan
operasi diskrit sehubungan dengan ketidaklayakan
pengoperasian sistem tiruan dengan menjalankan aktivitas
maya dalam bentuk kontinu.
23
Pengoperasian sistem tiruan berlangsung secara
diskrit sesuai dengan proses pemasukan data, pengolahan
data dan penerimaan output hasil pengolahan data secara
bertahap pada posisi waktu atau posisi operasi maya
tertentu. Meskipun proses pengolahan data berlangsung
dalam selang waktu yang relatip sangat kecil,
pengambilan dan penentuan nilai-nilai dalam simulasi
sistem tetap berlangsung secara diskrit per periode dan per
siklus.
Pengoperasian sistem secara diskrit juga berkaitan
dengan pelaksanaan elemen operasi maya yang tuntas
seketika melalui eksekusi perintah program, meskipun
pelaksanaannya pada sistem ril berlangsung kontinu
dalam selang waktu yang relatip lama. Sebagai contoh,
pengisian sejumlah bahan baku ke dalam tangki
persediaan pada sistem ril berlangsung kontinu dan selesai
dalam beberapa jam, namun pada simulasi dapat
terlaksana dan tuntas seketika melalui eksekusi perintah
penambahan nilai variabel yang menyatakan isi tangki.
(Gambar 1.6.)
Operasi pengisian 600 m3 bahan ke dalam tangki persediaan
24
Gambar 1.6 Illustrasi Operasi Diskrit dari Operasi
Kontinu
1.7 Simulasi dengan Operasi Statik
Pada simulasi statik, pengoperasian sistem maya
berlangsung secara bebas tidak terikat dengan kemajuan
waktu. Hasil simulasi yang diperoleh merupakan
gambaran keberadaan dan karakteristik sistem dalam
berbagai konfigurasi atau variasi keadaan yang tidak
terikat dengan waktu.
Simulasi statik merupakan simulasi sistem maya
dalam satu periode sebagai satu siklus peristiwa atau satu
segmen aktivitas. Pengulangan simulasi statik berlaku
terbatas dalam satu periode tunggal pada posisi yang sama
dan tidak bergerak. Pelaksanaan simulasi dalam m siklus
adalah statis dalam satu periode seperti disajikan pada
25
Gambar 1.11. berikut.
Gambar 1.7 Simulasi statik atas satu segmen aktivitas
Simulasi sistem termasuk simulasi statik jika
kelangsungan operasi sistem maya tidak berkaitan dengan
kemajuan waktu maya dan kemajuan waktu maya tidak
berpengaruh terhadap operasi dan keadaan sistem.
Sebagai contoh, simulasi analisis rentabilitas proyek
investasi dengan umur 10 tahun dapat dilakukan berulang-
ulang tanpa terikat dengan waktu operasi maya. Analisis
proyek dalam satu siklus berlangsung dalam satu periode
operasi, di mana satu periode operasi tidak sama dengan
selang waktu 10 tahun maya. Jika pengulangan simulasi
dilakukan sebanyak 200 kali, bukan berarti analisis
rentabilitas dilakukan untuk proyek dalam selang waktu
2000 tahun maya. Demikian juga jika umur proyek
dikurangi menjadi 5 tahun, bukan berarti simulasi
berlangsung dalam ½ siklus. Simulasi proyek dengan
umur 10 tahun maupun 5 tahun sama-sama berlangsung
dalam 1 siklus yang sama.
26
1.8 Simulasi dengan Operasi Dinamik
Pada simulasi dinamik, pengoperasian sistem
berlangsung berkelanjutan dalam ruang waktu maya.
Operasi sistem dinamik adalah khas tidak berulang pada
periode atau pada selang waktu yang sama. Dengan
mengikuti kemajuan waktu, perubahan pada sistem maya
selalu dikaitkan dengan selang waktu ataupun posisi
waktu maya, di mana operasi maya dijalankan dalam
sejumlah periode yang berurutan menurut kemajuan waktu
atau menurut pembagian waktu maya untuk sejumlah
periode seperti disajikan pada Gambar 1.12.
Gambar 1.12. Simulasi dinamik dalam periode ganda
(Napitupulu, 2009)
Simulasi sistem secara dinamik terikat dengan
kemajuan dan perubahan waktu karena operasi maya
dijalankan dalam sejumlah periode yang berurutan dengan
27
selang waktu tertentu, ataupun menurut kemajuan waktu
yang menentukan urutan dan jumlah periode. Jika
pelaksanaan operasi dinamik berlangsung dalam n periode
yang berurutan, dan 1 periode operasi berlangsung dalam
m menit maya maka simulasi berlangsung dalam n(m)
menit maya.
Sebagai contoh, sistem antrian maya dengan operasi
dinamik dijalankan dengan mengikuti kemajuan waktu
yang menentukan terhadap jumlah kedatangan, lama
pelayanan dan panjang antrian. Sistem maya dioperasikan
dari menit ke menit dalam selang waktu 7 jam atau 420
menit maya. Dengan selang waktu 1 menit maya per 1
kali pengecekan operasi sistem maka simulasi berlangsung
dalam 420 kali pengecekan. Jika simulasi dijalankan
dalam 210 menit maya berarti pengoperasian sistem
antrian dalam simulasi berlangsung dalam 210 kali
pengecekan.
1.9 Bentuk Nilai Simulasi Deterministik
Pengoperasian sistem tiruan termasuk simulasi
deterministik jika semua nilai-nilai input tiruan yang
digunakan terdiri dari nilai- nilai pasti atau menentu.
Hasil simulasi sistem yang diperoleh juga merupakan
nilai pasti untuk masing-masing kombinasi nilai-nilai
input sistem. Dengan penggunaan data input deterministik,
jumlah hasil simulasi yang dapat diperoleh akan sama
dengan jumlah kombinasi dari nilai-nilai parameter dan
variabel yang digunakan seperti diberikan pada contoh
berikut :
28
Jika nilai input A=5 dan B=7 dengan model simbolik
operasi C = A*B maka nilai C = 5x7 = 35 merupakan
nilai pasti.
Selama nilai A dan nilai B serta model simbolik C
= A*B tidak berubah maka nilai C akan tetap sama
tidak berubah pada setiap ulangan simulasi operasi.
Jika nilai A terdapat pada dua level yaitu A1= 4 dan
A2= 6 maka nilai C menurut nilai A terdiri dari 2
nilai pasti yaitu C1= 28 dan C2= 42
Jika nilai A terdapat pada dua level yaitu A1 =4
dan A2=6, dan nilai B terdapat pada tiga level
yaitu B1=5, B2=6 dan B3=7 maka nilai C menurut
nilai A dan nilai B terdiri dari 6 nilai pasti sesuai
dengan jumlah kombinasi dari variabel A dengan
variabel B sebanyak 2 x 3 yaitu :
C1= 20, C2= 24, C3= 28, C4= 30, C5= 36, dan
C6= 42
Pada contoh di atas dapat terlihat jelas bahwa hasil
simulasi deterministik tidak berubah untuk nilai-nilai
masukan yang sama. Hasil simulasi sistem tetap akan
sama meskipun dengan jumlah ulangan yang sangat besar.
Pengulangan simulasi dengan nilai- nilai input yang sama
tidak akan memberikan nilai hasil simulasi yang berubah
sehingga ulangan simulasi tidak diperlukan untuk
penentuan nilai rata-rata hasil pengoperasian sistem.
Sehubungan dengan hasil simulasi deterministik
yang sama untuk nilai-nilai input yang sama maka
perlunya simulasi sistem deterministik adalah untuk
29
memperoleh nilai hasil simulasi untuk nilai-nilai input
tertentu dari antara nilai-nilai input yang berbeda dalam
jumlah yang relatip sangat besar. Simulasi deterministik
untuk nilai-nilai input yang berbeda dapat bermanfaat
menyajikan bentuk hubungan yang pasti antara nilai-
nilai input dengan nilai- nilai output pada operasi statik
yang berulang maupun operasi dinamik yang
berkelanjutan.
1.10 Simulasi Stokastik
Simulasi sistem termasuk simulasi stokastik jika
nilai-nilai input yang digunakan terdiri dari nilai-nilai
dugaan. Data output hasil simulasi yang diperoleh dengan
penggunaan nilai-nilai input dugaan juga termasuk nilai
dugaan, meskipun simulasi dilakukan dengan langkah-
langkah yang pasti. Hasil simulasi dalam bentuk nilai
dugaan tidak dapat diubah menjadi nilai pasti.
Nilai dugaan tidak berdiri sendiri sebagai nilai
tunggal tetapi sebagai nilai anggota dari suatu kelompok
nilai dengan kehadiran berdasarkan peluang tertentu.
Penggunaan nilai-nilai sebagai data input berdasarkan
peluang berkaitan dengan terdapatnya banyak nilai-nilai
sejenis yang mungkin muncul dari kelompok yang sama.
Sebagai contoh, rata-rata kecepatan angin termasuk data
dugaan pada suatu simulasi pelayaran sehubungan
dengan nilainya yang berubah dari waktu ke waktu tidak
dapat dinyatakan dengan nilai pasti. Penggunaan nilai-
nilai kecepatan angin sebagai data input pada simulasi
merupakan nilai dugaan berdasarkan peluang yang
menentukan frekwensi kemunculan nilai-nilai pada
30
operasi maya.
Penggunaan data input dugaan akan memberikan
nilai hasil simulasi dalam bentuk nilai ekspektasi yang
tidak terlepas dari peluang yang menentukan frekwensi
kehadiran nilai-nilai input. Hubungan nilai-nilai input
dugaan dengan hasil simulasi sebagai nilai ekspektasi
dapat dijelaskan melalui contoh berikut:
Pada kecepatan angin rata-rata 15; 20 dan 25
km per jam, kecepatan rata-rata perahu adalah 5;
10 dan 15 km per jam. Kecepatan angin rata-rata
15 km/jam dapat terjadi dengan peluang 0,5;
kecepatan rata-rata 20 km/jam dengan peluang 0,3
dan kecepatan rata-rata 25 km/jam dengan peluang
0,2. Berdasarkan nilai rata-rata dan peluang
terjadinya kecepatan angin serta hubungannya
dengan kecepatan perahu maka ekspektasi jarak
tempuh perahu per jam dapat diperoleh dari
perhitungan : (0,5x5)+(0,3x10)+(0,2x15) = 8,5
km/jam.
Ekspektasi jarak tempuh perahu pada contoh di atas
tidak dapat dinyatakan dengan nilai pasti karena data
input terdiri dari nilai-nilai dugaan. Ekspektasi jarak
tempuh perahu akan berubah dengan mengikuti perubahan
nilai-nilai peluang kecepatan angin pada setiap ulangan
simulasi. Sesuai dengan perubahan nilai-nilai bilangan
acak sebagai nilai peluang, data kecepatan angin dugaan
pada setiap siklus simulasi juga mengalami perubahan
sehingga dengan peningkatan jumlah ulangan simulasi
akan diperoleh rata- rata jarak tempuh perahu yang
berubah dan bervariasi.
31
1.11 Verifikasi dan Validasi Simulasi
Sistem tiruan dan program simulasi dapat digunakan
apabila model sistem sesuai dengan bentuk sistem ril, dan
operasi maya sesuai dengan operasi ril. Untuk itu
verifikasi model sistem perlu dilakukan sebelum uji coba
penggunaan program simulasi.
Verifikasi model sistem dilakukan berdasarkan
pengecekan kesesuaian model dengan keadaan ril,
terutama dalam hal jumlah dan jenis komponen, bentuk
hubungan interaksi antar komponen, serta input-output
proses dalam operasi sistem. Ketidaksesuaian umumnya
mengakibatkan penyimpangan hasil simulasi terhadap
hasil yang seharusnya. Ketidaksesuaian model dapat
terjadi dalam berbagai hal yang disebutkan di atas.
Ketidaksesuaian misalnya terdapat pada komponen-
komponen sistem maya yang tidak tepat mewakili
komponen-komponen sistem ril dengan prosedur yang
tidak efektip mengintegrasikan semua komponen-
komponen sistem sehingga mengakibatkan adanya
perbedaan antara operasi sistem maya dengan operasi
sistem ril.
Selanjutnya prosedur pengoperasian sistem maya
juga perlu divalidasi karena model operasi yang
digunakan pada sistem maya kemungkinan tidak sesuai
dengan bentuk operasi pada sistem ril. Model operasi
sistem maya yang berbeda dengan bentuk operasi ril jelas
tidak berlaku mewakili sistem ril. Model operasi sistem
maya tidak valid jika uji coba simulasi memberikan
hasil yang berbeda dibandingkan dengan hasil operasi
sistem ril.
32
Prosedur pengoperasian sistem yang disusun
berdasarkan model operasi sistem yang lolos verifikasi
juga perlu divalidasi. Prosedur dalam bentuk program
komputer perlu divalidasi sebelum digunakan pada
pensimulasian. Validasi program simulasi dapat dilakukan
berdasarkan hasil pengecekan kesamaan antara hasil
simulasi dengan hasil operasi ril atas penggunaan data
input yang sama. Jika pengujian ini menunjukkan bahwa
hasil simulasi tidak sesuai dengan hasil operasi sistem ril
maka program simulasi yang digunakan dianggap tidak
berlaku syah dan tidak dapat digunakan pada
pensimulasian.
Program simulasi yang valid berdasarkan hasil
pengujian dan pembuktian merupakan jaminan untuk
penerimaan hasil simulasi atas penggunaan model sistem
dan model operasi yang sama. Berdasarkan validasi ini,
model sistem dan program simulasi yang disempurnakan
selanjutnya dapat digunakan pada pensimulasian dengan
penggunaan data input tiruan yang bervariasi, baik untuk
penyelesaian persoalan pengelolaan sistem maupun dalam
rangka pengembangan sistem.
1.12 Rangkuman
Simulasi merupakan teknik penyelesaian persoalan
sistem ril dengan cara pengoperasian sistem imitasi untuk
memperoleh data output operasi yang menunjukkan
karakteristik operasional sistem sebagai bahan yang
berguna pada penyusunan solusi persoalan.
33
Simulasi dapat berlaku memberikan hasil yang
valid sebagai bahan penyusunan solusi persoalan sistem
ril melalui imitasi operasi dengan penggunaan model-
model dan prosedur yang sesuai dan valid untuk
penyelidikan, analisis dan evaluasi operasi sistem.
Simulasi dapat berfungsi menyelidiki karakteristik
operasional sistem melalui operasi imitasi dengan
penggunaan elemen-elemen, komponen-komponen dan
input maya yang sesuai untuk mewakili elemen-elemen,
komponen-komponen dan input operasi sistem ril.
LATIHAN
1) Apakah yang dimaksud dengan permodelan ?
2) Apakah yang dimaksud dengan simulasi computer?
3) Apa yang dimaksud dengan system diskrit, probabilistic?
Berikan contohmasing-masing?
4) Buatlah contoh sebuah gambaran simulasi tentang system
produksi di dunia industri !
5) Apa yang dimaksud dengan system linier dan non linier?
Berikan contoh masing-masing!
6) Simulasi efektip diaplikasikan untuk penyelesaian
persoalan sistem ril yang dapat diamati. Bagaimana bentuk
penggunaan simulasi pada penyelesaian persoalan pada
suatu sistem yang belum terwujud atau yang tidak
ditemukan dalam bentuk ril?
34
7) Keberadaan dan kehadiran sistem dalam bentuk maya
dapat terlihat dari hasil simulasi yang berlaku mewakili
operasi dan keadaan pada sistem ril. Bagaimana jika
hasil operasi sistem ril berbeda dengan hasil operasi dari
sistem maya tiruannya?
8) Sistem sebagai suatu bentuk perpaduan dari berbagai jenis
komponen melalui interaksi dapat hadir dalam bentuk
yang berbeda. Apakah bentuk-bentuk kehadiran yang
berbeda dari suatu sistem ril yang sama adalah berkaitan
satu sama lain?
9) Bentuk dari sistem maya sebagai imitasi dari suatu
sistem ril dapat ditentukan melalui pemodelan yang
didasari oleh suatu kepentingan penyelesaian persoalan.
Apakah bentuk sistem maya dapat berlaku sebagai model
perbaikan pada sistem ril?
DAFTAR PUSTAKA
1. Sandi Setiawan “SIMULASI” (Bab 1 s/d 4)
2. Humala L. Napitupulu, Simulasi Sistem
Pemodelan Dan Analisis, USUpress 2009
2009usupress.usu.ac.id/files/SIMULASI%20SISTEM_final_ba
b%201.pdf
3. (Law, A.M., Kelton, W.D. (1997), Simulation Modeling and
Analysis, McGraw-Hill, Singapore.
35
BAB II
PEMODELAN SISTEM
DINAMIK
36
BAB II
PEMODELAN SISTEM DINAMIK
Tujuan Intruksional Umum
1. Membuat model sistem dinamik pengembangan industri.
2. Menentukan faktor-faktor apa saja yang paling
berpengaruh didalam pengembangan industri.
3. Menjelaskan pengertian tentang state space dan
menentukan nisbah alih hubungannya dengan persamaan
ruang keadaan
4. Mengembangkan analisis sistem pengaturan dalam model
persamaan Ruang Keadaan (state space)
Tujuan Intruksional Khusus
1. Mahasiswa memahami definisi dan konsep dari Sistem
Dinamik.
2. Mahasiswa mampu melakukan perancangan Sistem.
3. Mahasiswa memiliki keterampilan Sintesis, Integrasi dan
perancangan.
4. Mahasiswa memiliki Problem Solving Skills.
37
2.1 Pendekatan dalam Sistem Dinamik
Sistem dinamik adalah metodologi untuk memahami suatu
masalah yang kompleks. Metodologi ini dititikberatkan pada
pengambilan kebijakan dan bagaimana kebijakan tersebut
menentukan tingkah laku masalah-masalah yang dapat
dimodelkan oleh sistem secara dinamik (Richardson dan Pugh
1986). Permasalahan dalam sistem dinamik dilihat tidak
disebabkan oleh pengaruh dari luar namun dianggap disebabkan
oleh struktur internal sistem. Tujuan metodologi sistem dinamik
berdasarkan filosofi kausal (sebab akibat) adalah mendapatkan
pemahaman yang mendalam tentang tata cara kerja suatu sistem
(Asyiawati 2002; Muhammad; et a!. 2001). Tahapan dalam
pendekatan sistem dinamik adalah :
a. ldentifikasi dan definisi masalah
b. Konseptualisasi sistem
c. Formulasi model
d. Sirnulasi model
e. Verifikasi dan validasi model
f. Analisis kebijakan
g. Impiementasi kebijakan
Tahapan dalam pendekatan sistem dinamik diawali dan
diakhiri dengan pemahaman sistem dan permasalahannya
sehingga membentuk suatu lingkaran tertutup.
Pemodelan merupakan alat bantu dalam pengambilan
keputusan. Model digambarkan sebagai suatu sistem yang
dibatasi. Sistem yang dibatasi ini merupakan sistem yang
38
meliputi semua konsep dan variabel yang saling berhubungan
dengan permaslahan dinamik yang ditentukan. Permasalahan
dalam sistem dinamik dilihat tidak disebabkan oleh pengaruh
dari luar, namun dianggap disebabkan oleh struktur internal dari
sistem. Tujuan metodologi sistem dinamik berdasarkan filosofi
kausal (sebab akibat) adalah mendapatkan pemahaman
mendalam tentang tata cara kerja suatu sistem (Asyiawati
2002).
Proses pemodelan terdiri atas langkah-langkah sebagai
berikut (Sterman 2000):
1. Perumusan masalah dan pemilihan batassan dunia nyata.
Tahap ini meliputi kegiatan pemilihan tema yang akan
dikaji, penentuan variabel kunci, rencana waktu untuk
mempertimbangkan masa depan yang jadi pertimbangan
serta seberapa jauh kejadian masa lalu dari akar masalah
tersebut dan selanjutnya mendefinisikan masalah
dinamisnya.
2. Formulasi hipotesis dinamis dengan menetapkan hipotesis
berdasarkan pada teori perilaku tergadap masalahnya dan
membangun peta struktur kausal melalui gambaran model
mental pemodel dengan bantuan alat-alat seperti causal
loop diagram. Stock flow diagram, dan alat bantu lainnya.
Model mental adalah asumsi yang sangat dalam melekat,
umum atau bahkan suatu gambaran dari bayangan atau
citra yang berpengaruh pada bagaimana kita memahami
dunia dan bagaimana kita mengambil tindakan (Senge
1995).
3. Tahap formulasi model simulasi dengan membuat
spesifikasi struktur, aturan keputusan, estimasi parameter
39
dan uji konsistensi dengan tujuan dan batasan yang telah
ditetapkan sebelumnya.
4. Pengujian meliputi pengujian melalui pembandingan dari
model yang dijadikan referensi, pengujian kehandalan
(robustness) dan uji sensistivitas.
5. Evaluasi dan perancangan kebijakan berdasarkan skenario
yang telah diujicobakan dari hasil simulasi. Perancangan
kebijakan mempertimbangkan analisis dampak yang
ditimbulkan, kehandalan model pada skenario yang
berbeda dengan tingkat ketidakpastian yang berbeda pula
serta keterkaitan antar kebijakan agar dapat bersinergi.
Tahapan-tahapan pemodelan :
1. mendefinisikan masalah dan tujuan model
2. Menentukan variabel tujuan
3. memilih variabel control
4. memilih parameter variabel kontrol
5. menguji model yang dihasilkan
6. melihat bagaimana model akan bekerja, memilih horizon
waktu atau perilaku dinamis dalam waktu
7. jalankan model
8. mengganti parameter dengan alasan ekstrim
9. membandingkan hasil dengan data eksperimen
10. Perbaiki model berdasarkan parameter yang ada
40
2.2 Simulasi dalam Sistem Dinamik
Analisis model sistem dinamis menggunakan analisis
model simulasi. Simulasi sebagai teknik penunjang keputusan
dalam pemodelan, misalnya pemecahan masalah bisnis secara
ekonomis dan tepat menghadapi perhitungan rumit dan data
yang banyak. Simulasi adalah aktivitas di mana pengkaji dapat
menarik kesimpulan tentang perilaku dari suatu sistem melalui
penelaahan perilaku model yang selaras, di mana hubungan
sebab akibatnya sama dengan atau seperti yang ada pada sistem
sebenarnya (Eriyatno 1998).
Simulasi juga dilakukan dengan menggunakan bahasa
program dalam beberapa software program komputer yang
dirancang untuk kebutuhan simulasi seperti Dynamo, AutoMod
II, ProModel, Simfactory II.5, Witness, XCELL+, -Powersim,
Stella dan lain-lain. Perangkat lunak dalam pemodelan sistem
dinamik tersebut merupakan alat bantu yang dapat memudahkan
pemodel dalam menerjemahkan bahasa causal loop diagram ke
dalam stock flow diagram. Stock flow diagram harus dilengkapi
dengan persamaan matematika dan nilai awal untuk aktivitas
simulasi. Stock flow diagram sebagai konsep sentral dalam teori
sistem dinamik. Stock adalah akumulasi atas pengumpulan dan
karakteristik keadaan sistem dan pembangkit informasi di mana
aksi keputusan didasarkan padanya. Stock digabungkan dengan
rate atau flow sebagai aliran informasi, sehingga stock menjadi
sumber ketidakseimbangan dinamis dalam sistem. Perangkat
pemodelan sistem dinamis juga dilengkapi berbagai kemudahan
seperti tampilan yang mudah dimengerti sehingga memudahkan
pemodel bagi pemodel taupun pemakai yang tidak mengerti
secara teknis sekalipun. Stella yang dipakai dalam penelitian ini
merupakan suatu pernagkat lunak yang dibuat atas dasar model
sistem dinamis dalam melakukan simulasi.
41
2.2.1 Pemodelan Sistem Dinamik
Pada pemodelan system dinamik menggunakan
proses pemetaan masalah yang berasal dari dunia nyata ke
dalam dunia model maya (Borshchev dan Filippov).
Karakteristik unik yang dimiliki sebuah model yaitu sifat
representatif dari sistem nyata, mampu menggambarkan
sistem nyata secara rinci (describle), mampu menerangkan
bentuk-bentuk interaksi dengan jelas (explainable), dan
mampu meramalkan kondisi-kondisi di masa datang
secara realistis (predictable). Menurut Forrester sistem
dinamik digunakan untuk melihat sebuah struktur yang
mendasari situasi yang kompleks dan mengidentifikasi
pola penyebab dari perubahan perilaku yang terjadi. Pada
metode sistem dinamik ini berkaitan dengan berbagai
sistem yang kompleks, dimana pola perilaku yang
dibangkitkan oleh sistem tersebut seiring dengan
bertambahnya waktu. Sehingga persoalan yang dapat
dimodelkan dengan sistem dinamik adalah masalah yang
bersifat dinamis atau berubah terhadap waktu dan struktur
yang fenomenanya mengandung paling sedikit satu unsur
umpan balik (feedback structure).
Dalam sistem dinamik, dunia real atau nyata
dinyatakan dalam bentuk stock seperti material, ilmu
pengetahuan, orang dan uang. Bentuk lainnya adalah
aliran antar stock dan informasi sebagai penentu nilai
dalam aliran. Gambaran mengenai sistem dinamik dapat
dilihat pada Gambar 2.1.
42
Gambar 2.1 Pendekatan Sistem dengan Simulasi
Sistem Dinamik , (Borshchev dan Filippov, 2004)
2.3 Perangkat Lunak Simulasi
Untuk melakukan simulasi dari sebuah model, diperlukan
perangkat lunak (software) yang secara cepat dapat melihat
perilaku dari model yang telah dibuat. Ada berbagai macam
perangkat lunak yang dapat digunakan untuk keperluan ini,
seperti Vensim, Dynamo, Ithink, Stella dan Power Simulation.
Tetapi dalam penelitian ini, software yang digunakan adalah
Power Simulation.
Powersim digunakan untuk membangun dan melakukan
simulasi suatu model dinamik. Suatu model dinamik adalah
kumpulan dari variabel-variabel yang saling mempengaruhi
antara satu dengan lainnya dalam suatu kurun waktu.
Setiap variabel berkorespondensi dengan suatu besaran
yang nyata atau besaran yang dibuat sendiri. Semua variabel
tersebut memiliki nilai numerik dan sudah merupakan bagian
43
dari dirinya.
Pada waktu mensimulasikan model, variabel-variabel akan
saling dihubungkan membentuk suatu sistem yang dapat
menirukan kondisi sebenarnya. Pada perangkat lunak Powersim,
suatu sistem yang menggambarkan hubungan antara variabel-
variabel itu dinamakan stock flow diagram.
Model yang dibangun dengan menggunakan perangkat
lunak Powersim berbentuk simbol-simbol dan perkembangan
selanjutnya, simulasi dengan menggunakan perangkat lunak ini
banyak dipakai dalam bidang-bidang komersial, industri,
manajemen dan riset. Simulasi ditujukan untuk mencari model
yang paling cocok sebelum diterapkan dalam kondisi
sebenarnya. Simbol yang digunakan ditampilkan pada Tabel 5.
Tabel 2.1. Simbol-simbol Diagram Alir (Muhammadi, 2001)
No. Simbol Arti
1.
Level
2.
Auxiliary
3.
Konstanta
44
4.
Sumber
5.
Hubungan
6.
Hubungan tertunda
7.
Inisialisasi hubungan
8.
Aliran (flow)
Diagram Simpal Kausal
Berdasarkan jurnal (Kholil M., 2007) menggunakan
diagram Simpal Kausal untuk menghubungkan antara variabel-
variabel yang membentuk model dalam sistem perikanan. Dasar
pembuatan model mental yang direpresentasikan dalam bentuk
diagram simpal kausal ini adalah kondisi nyata keadaan
perikanan yang ada di Kabupaten Konawe Selatan.
Dari diagram simpal kausal (CLD) diatas, maka model
sistem perikanan Kabupaten Konawea Selatan dibagi menjadi 4
Sub Sistem, Yaitu
1. 1.Sub Sistem Pasar
2. Sub Sistem Konsumsi
45
3. Sub Sistem Jumlah Tangkapan
4. Sub Sistem SDM
Gambar 2.2 Diagram Simpal Kausal
Model Perikanan di Kabupaten Konawea Selatan
(Kholil M., 2007)
2.3.1 Sub Model Pasar/Penjualan
Sub model pasar yang terdiri dari Stock (Level) dan
Flow (Aliran) atau sebelumnya disebut Rate konsumen
rumah tangga yang dipengaruhi oleh jumlah konsumen
rumah tangga, dan jumlah tangkapan, industri
pengolahan dan regulasi dari Pemda Kabupaten Konawea.
Pada sub model Pasar ini penulis membatasi hanya pada
Pasar
PAD
PDRB
LajuKelahiran
IndustriPengolahan
Emigrasi
Konsumen
PopulasiPenduduk
HargaIkan
LajuKematian
Imigrasi
+
+
+
-
-
+
++
+
++
+
JumlahTangkapan
PotensiKelautan
SDMAlatTangkap
+
+
+
++
LajuKonsumsi
+
+
+
+ _
LajuKonsumen
+
+
+ LajuPenangkapanIkan
+
+
+Teknologi
+
+
+
46
hasil perikanan yang berupa hasil tangkapan dilaut, tidak
termasuk budidaya perikanan yang lain.
Pasar akan meningkat dipengaruhi oleh laju
konsumsi. Besarnya laju konsumsi dipengaruhi oleh
besarnya konsumen rumah tangga dan besarnya
permintaan industri pengolahan ikan. Besar pasar sektor
Perikanan ini akan menjadikan pendapatan asli
(PAD)daerah meningkat lewat restribusi/pajak yang
dibebankan pada hasil penjualan. Sejalan dengan hal
tersebut diatas akan meningkat pula Produk Domestik
Bruto daerah tersebut (PDRB). Lihat gambar 2.3 Model
Sub Sistem Pasar dibawah ini.
Gambar 2.3 Model Sub Sistem Pasar
2.3.2 Sub Model Konsumen Rumah Tangga
Sub Model Konsumen Rumah Tangga (ikan)
dibangun dari Stock Konsumen Rumah Tangga yang
jumlahnya dipengaruhi oleh aliran atau Flow laju
konsumen RT yang besarnya tergantung dari jumlah
Rumah Tangga, dan harga ikan.
Pasar
PAD
PDRB
++
LajuKonsumsi
+
+
+
47
Konsumen
HargaIkan
+
LajuKonsumen
+
+
+
Gambar 2.4 CLD Sub Sistem Model Konsumen
2.3.3 Sub Model Jumlah Tangkapan
Sub Sistem Jumlah tangkapan menggambarkan
bahwa jumlah tangkapan sebagai Stock (Level)
dipengaruhi oleh laju penangkapan ikan yang merupakan
Flow (Aliran) Laju penangkapan ikan dipengaruhi oleh
potensi kelautan, alat tangkap, sumber daya manusia yang
kompeten. Sementara jumlah tangkapan akan
mempengaruhi industri pengolahan ikan
IndustriPengolahan
Angkatankerja
JumlahTangkapan
PotensiKelautan
SDM
AlatTangkap
+
+
+
+
LajuPenangkapanIkan
+
++
+
+
Teknologi
Gambar 2.5 CLD Sub Sistem Model Jumlah
Tangkapan
48
2.3.4 Sub Model SDM
Sub sistem populasi penduduk menggambarkan
jumlah penduduk di Kabupaten Konawea Selatan yang
lahir dan meninggal . Untuk memudahkan perhitungan sub
model ini menggunakan data langsung yang terdiri dari
rata-rata bertambahnya kelahiran dan kematian per tahun
atau disebut sebagai fraksi kelahiran dan kematian.
Jumlah penduduk dipengaruhi pula oleh imigrasi
dan emigrasi. Emigrasi penduduk terjadi karena kesulitan
mendapatkan penghasilan yang layak .Selain Emigrasi
adapula penduduk yang datang dan menetap Kabupaten
Konawea Selatan. Karena merupakan Kota Kabupaten
baru banyak pekerja pendatang yang menetap dan menjadi
penduduk permanen di wilayah ini.
LajuKelahiran
Emigrasi
PopulasiPenduduk
LajuKematian
Imigrasi
+
+
+
-
-
+
SDM
+
+ _
Konsumen
+
Gambar 2.6 CLD Sub Model SDM/Penduduk
49
2.3.5 Diagram Stok Aliran (Stock Flow Digram)
Dari model mental sistem pengembangan perikanan
di Kabupaten Konawea Selatan yang telah dibuat
berdasarkan kondisi nyata di lapangan, maka di buat
model Komputer yang biasa disebut stock flow diagram
(diagram stok aliran).
Model komputer dalam bentuk Stock Flow
Diagram(SFD). Pembuatan SFD ini dilakukan
berdasarkan perangkat lunak yang digunakan. Ada
beberapa perangkat lunak yang digunakan untuk
pemodelan sistem dinamik, antara lain : Stella, Dynamo,
Vensim, Powersim, Ithink. Dalam hal ini penulis
menggunakan Powersim, karena menurut hemat penulis
perangkat lunak Powersim merupakan perangkat lunak
sistem dinamik yang User Friendly (ramah pengguna).
STOCK FLOW DIAGRAMModel Sistem Perikanan
Lengkap
Jmlh_rata2_anggota_Keluarga
Jumlah_Rumah_Tangga
Emigrasi
Populasi_Penduduk
Teknologi
Pasar
Konsumen_rumah_Tangga
Fraksi_Keluarga
Jumlah_Rumah_Tangga
Kematian
Imigrasi
Kelahiran
Fraksi_Emigrasi
Fraksi_Kematian
Fraksi_Imigasi
Angkatan_Kerja
Alat_Tangkap
Potensi_Kelautan
Fraksi_Kelahiran
Fraksi_AT
Fraksi_Potensi_Kelautan
Fraksi_Teknologi
Regulasi_Pemda
Fraksi_regulasi_Pemda
Industri_Pengolahan
Fraksi_AK
Fraksi_sdm_sk
SDM_SK
Fraksi_JSDMKontribusi_SDM
FSDM
Laju_Penagkapan
Hasil_Tangkapan
Hasil_Tangkapan
Harga_Ikan_segar
Laju_Penjualan
Harga_Pengolahan
Constant_23
Kebutuhan_Perkapita
Laju_Konsumen_RT
PDRB_Sektor
PPn
PAD_Sektor
Kbth_per_kepala
Gambar 2.7 Diagram Alir Model Sistem
Perikanan Lengkap (Kholil M., 2007)
50
2.4 Analisis Kebutuhan
Pada penelitian yang dilakukan Retnari Dian Mudiastuti
dkk, penerapan aplikasi simulasi Alternatif Skenario Kebijakan
Peningkatkan Daya Saing UKM Mebel dengan Pendekatan
Sistem Dinamik. Permasalahan kemampuan daya saing UKM
mebel merupakan sistem yang kompleks karena terdapatnya
berbagai macam aliran seperti material, uang, informasi dan
aktivitas, dimana aliran tersebut memiliki interdependensi satu
sama lainnya, terdiri dari berbagai stakeholder (pemangku
kepentingan) selain produsen dalam hal ini UKM, juga
konsumen (lokal maupun mancanegara) yang melakukan
permintaan dari waktu ke waktu, penyedia bahan baku, serta
pemerintah yang berperan sebagai regulator pengembangan
bisnis serta faktor tenaga kerja.
Tahapan dalam penelitian ini dijelaskan sebagai berikut.
Tahapan Identifikasi variabel, dimana dilakukan studi literatur
dari berbagai penelitian sebelumnya terkait kemampuan
teknologi UKM serta kunjungan lapangan untuk mendapatkan
data terkait variabel berpengaruh dan kondisi nyata di UKM
mebel di Kota Pasuruan. UKM mebel yang terpilih adalah
UKM-UKM skala kecil yang berpengalaman memproduksi
mebel kayu jati ekspor. Data yang dibutuhkan berupa data
profile UKM, pola permintaan produk, proses produksi,
kemampuan mesin produksi, kemampuan tenaga kerja, biaya
operasional dan kebijakan UKM daerah dan pusat.
2.4.1 Interaksi Antar Variabel
Pola interaksi antar variabel digambarkan pada
Gambar 2.8, dimana dijelaskan hubungan yang saling
51
mempengaruhi antar variabel yang ada. Kapasitas
produksi mempengaruhi kemampuan pemenuhan oleh
importir dan kapasitas produksi dipengaruhi oleh
kemampuan teknologi (mesin) dan tenaga kerja.
Rendahnya kapasitas produksi mempengaruhi jumlah
pemenuhan permintaan yang selanjutnya berpengaruh
terhadap keuntungan UKM, Nur, dkk. Jumlah keuntungan
dan kapasitas produksi merupakan indikator daya saing
UKM mebel pada penelitian ini.
Pada interaksi variabel digambarkan skenario berupa
kebijakan yang akan diterapkan untuk melihat perubahan
terhadap model yang dikembangkan dengan tujuan
peningkatan keuntungan dan kapasitas produksi dalam
kurun waktu 120 bulan atau 10 tahun. Skenario yang
dikembangkan dalam pemodelan simulasi ini adalah
investasi mesin semi modern maupun mesin modern, dan
investasi peningkatan kemampuan tenaga kerja bantu
untuk menjadi tenaga ahli.
52
Gambar 2.8 Interaksi Antar Variabel Awal
2.4.2 Diagram Stock And Flow
Tujuan pembuatan diagram stock and flow adalah
menggambarkan interaksi antar variabel sesuai logika
struktur dengan bantuan software Ventana Simulator
(Vensim)™. Pemodelan interaksi variabel pada diagram stock and flow dari submodel teknologi (mesin dan tenaga
kerja), submodel permintaan dan produksi, submodel
keuangan, dan submodel kebijakan investasi Perancangan
diagram stock and flow juga bertujuan mengetahui pola
perilaku variabel dalam model kemampuan UKM mebel.
Berikut dijelaskan mengenai diagram stock and flow dan
beberapa formulasi pada masing-masing submodel pada
Gambar 2.9, 2.10, 2.11, 2.12.
53
Gambar 2.9 Submodel Teknologi
Gambar 2.10 Submodel Permintaan dan Produksi
WIPproduk dikirim
produk dibuatlama pengerjaan
perkontainer
kapasitas produksi
perbulan
jumlah mesin
modern baru
jumlah mesin semi
modern eksisting
auxiliary unit
month/kontaineer
jumlah mesin semi
modern baru
<jumlah mesin
modern baru>
<jumlah mesinsemi modern
baru>
tb SMP
ta mesin semi
modern
tb SMA
fraksi tb SMP
fraksi ta
fraksi tb SMA
ta mesin modern
fraksi ta moderntotal ta
pemilihan tingkat
pendidikan
<signal investasi
pendidikan>
<signal investasi
pendidikan>
<jumlah mesin semi
modern baru>
<jumlah mesin semi
modern baru>
bulan<Time>
WIPproduk dikirim
produk dibuatlama pengerjaan
perkontainer
kapasitas produksi
perbulan
permintaan ekspor
perbulan
kesenjangan produksi
(permintaan - kapasitas)
actual order
jumlah mesin
modern barujumlah mesin semi
modern eksisting
auxiliary satuan
month
auxiliary satuan
kontainer
pembayaran
order (DP)
auxiliary unit
month/kontainer
<jumlah mesin
modern baru>
<jumlah mesin semi
modern baru>
<jumlah mesin semi
modern eksisting>
<jumlah mesin semi
modern baru>
54
Gambar 2.11 Submodel Keuangan
Gambar 2.12 Submodel Kebijakan Investasi
bulan
<Time>
WIPproduk dikirim
produk dibuat
permintaan ekspor
perbulan
actual order
auxiliary satuan
kontainer
akumulasi
pendapatanpemasukan pengeluaranpembayaran
order (DP)
harga per
kontainer
biaya manpower
biaya perawatan
mesinbiaya produksi
biaya produksi per
kontainer
<produk dibuat>
signalpemakaian
order signal out<produk dibuat>
biaya maintenance
perperawatan
<harga per
kontainer>
<auxiliary satuan
month>
biaya investasi
tenaga kerja
<auxiliary satuan
month>
fix cost perbulan
persen biaya
produksi
persen DP
pelunasan
signal produk
selesai<produk dikirim>
auxiliary satuan
kontainer/month
<total ta>
<tb SMP>
<tb SMA>
fraksi biaya ta
fraksi biaya tb
SMP
fraksi biaya tb
SMA
biaya beli mesin
jual mesin existing <Time>
harga bekas
<jumlah mesin semi
modern eksisting>
jumlah pegawai
Bonus Tahunan
fraksi Bonus
Tahunan
signal in
<signal in>
<signal investasi
pendidikan>
fraksi biaya sma
ahli
<jumlah mesin semi
modern baru>
<jumlah mesin semi
modern eksisting>
<Bonus Tahunan>
<auxiliary satuan
kontainer>
<tb SMP>
<auxiliary satuan
month>
pemasukan modal
awal
fraksi modal awal
kapasitas produksi
per bulan
kualitas bahan
baku
akumulasi
pendapatanpemasukan pengeluaran
<auxiliary satuan
month> biaya investasi
tenaga kerja
biaya pelatihan per
unit mesin modern
<jumlah mesin
modern baru>
<auxiliary satuan
month>
biaya beli mesin
beli mesin modern
beli mesin semi
modern
harga mesin semi
modern
harga mesin
modern
<jumlah mesin
modern baru>
<jumlah mesin semi
modern baru>
<Time>
investasi
pendidikan
<Time>
biaya investasi
pendidikan
aktifkan
<jumlah mesin semi
modern baru>
<jumlah mesin semi
modern eksisting>
fraksi biaya
investasi
signal investasi
pendidikansignal masuk
<auxiliary satuan
month>
multiplier satuan
rupiah per monthmultiplier satuan
rupiah
55
2.5 Simulasi Hasil Pemodelan UKM
Berdasarkan hasil simulasi kondisi eksisting, ditemukan bahwa
keterbatasan kapasitas produksi yang dipengaruhi oleh
kemampuan mesin dan kemampuan tenaga kerja mempengaruhi
profit atau keuntungan UKM. Pengaruh kemampuan mesin dan
tenaga kerja signifikan berpengaruh pada jumlah keuntungan
UKM. Terkait dengan hasil wawancara dengan pelaku UKM,
diharapkan adanya peningkatan kapasitas produksi melalui
penambahan mesin produksi dan tenaga ahli mebel. Sehingga
pada skenario yang diajukan adalah penggantian mesin semi
modern ke mesin modern, penambahan mesin modern dan
investasi tenaga ahli. Skenario yang diajukan adalah mengganti
4 unit mesin modern, mengganti 8 unit mesin modern,
menambah 4 unit mesin modern dan investasi tenaga ahli mebel.
Berdasarkan penetapan skenario yaitu mengganti 8 unit mesin
semi modern dengan 4 unit mesin modern, 8 unit mesin modern,
atau menambah 4 unit mesin modern dan investasi tenaga ahli
mebel, maka hasil skenario terlihat pada Gambar 2.13.
56
Gambar 2.13. Hasil Simulasi Skenario
Pada skenario dilakukan untuk mendapatkan strategi
terbaik dengan parameter nilai keuntungan yang tertinggi
sebagai indikator daya saing UKM. Pada kondisi eksisting, nilai
keuntungan pada tahun ke-10 sebesar 1,4 miliar rupiah. Setelah
menerapkan 4 skenario yaitu menggunakan 4 unit mesin
modern, 8 unit mesin modern, penambahan 4 unit mesin modern
dan investasi tenaga ahli, maka strategi dengan nilai keuntungan
UKM tertinggi senilai 2,173 miliar rupiah dengan
melakukan investasi 4 unit mesin modern. Keuntungan
terendah senilai 762,17 juta rupiah pada skenario penambahan 4
unit mesin modern. Pemilihan strategi jangka pendek dapat
dipertimbangkan dengan mengganti mesin modern menjadi 4
unit mesin, sedangkan dengan memperhatikan kemampuan
modal UKM dan untuk menghasilkan ketersediaan tenaga ahli
keuntungan
4 B
2.95 B
1.9 B
850 M
-200 M
0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120
Time (Month)
keuntungan : Investasi Tenaga Ahli rupiah
keuntungan : Menambah 4 unit mesin modern rupiah
keuntungan : Mengganti 8 unit mesin modern rupiah
keuntungan : Mengganti 4 unit mesin modern rupiah
keuntungan : Eksisting rupiah
57
mebel kayu sehingga dapat berdampak positif pada jangka
menengah dan jangka panjang, maka pelaksanaan scenario
investasi tenaga ahli dapat dipertimbangkan. Sehingga ketika
terjadi keputusan perubahan mesin dan adanya kepastian
permintaan mebel, maka UKM tidak memiliki kesulitan terkait
tenaga ahli lagi sehingga demikian daya saing UKM dapat
meningkat.
2.6 Rangkuman
Sistem dinamik diaplikasikan pada system manufaktur dan
jasa terdiri dari elemen-elemen yang saling berhubungan dan
berfungsi secara interaktif untuk menghasilkan produk tertentu.
Sistem dinamik terdiri dari entitas, sumber, aktivitas, dan
kontrol yang disimbolkan dengan diagram atau alur. Metrik
kinerja sistem atau variabel respon biasanya berupa waktu,
utilisasi, inventori, kualitas atau yang berhubungan dengan
biaya. Sedangkan optimisasi sistem berupaya menemukan
penentuan nilai variabel keputusan yang paling tepat yang
memaksimumkan atau meminimumkan nilai variabel respon
tertentu. Dengan menerapkan memahami pendekatan sistem
model Causal Loop Diagram (CLD) maka dapat digunakan
untuk menvisualisasikan lebih jelas bahwa strategi masalah baik
secara internal maupun eksternal semata yang biasa dilakukan,
tapi banyak beberapa hal yang perlu di perhatikan secara cermat
di karenakan setiap unit dapat saling mempengaruhi atau
mengakibatkan dampak antara satu dengan yang lainnya.
58
LATIHAN
1. Buatlah diagram simulasi sistem bandara, jJika sebuah bandar
udara dianggap sebagai sebuah system, deskripsikan selengkap
mungkin system tersebut.
Ambillah sebuah contoh kasus yang ada dalam bandara
dan definisikan modelnya (apa yang akan menjadi fungsi tujuan,
batasan, dsb). Tidak perlu dibuat detail model matematikanya.
Buatlah diagram simpal kausal loopnya dan alur sistem!
2. Buatlah pemodelan dinamis pada perkiraan Jumlah Penduduk di
Kabupaten Bangkalan dengan diagram simpal kausal dengan
mempertimbangkan efek pendapatan daerah dan factor-fator
lainnya. (tugas sebagai projek mandiri)
DAFTAR PUSTAKA
1. Forrester, J.W. (1961), Principles of Systems. MIT Press.
2. Borshchev, A., and Filippov, A. From System Dynamics and
Discrete Event to Practical Agent Based Modeling: Reasons,
Techniques, Tools The 22nd International Conference of the
System Dynamics Society. Oxford, England, 2004
3. Han, X., Wen, Y., and Kant, S. (2009), The global
competitiveness of the Chinese wooden furniture industry.
Forest Policy and Economics Vol.11, pp.561–569.
4. Law, A.M., Kelton, W.D. (2000), Simulation Modeling and
Analysis, McGraw-Hill, Singapore.
5. repository.unhas.ac.id/.../Full%20paper%20IWOBE%20Iqbal.d
oc?...1
59
6. Muhammad Kholil dkk, 2008. Model Simulasi Pengembangan
Industri Perikanan Di Konawea Selatan Dengan Pendekatan
Sistem Dinamik
http://digilib.mercubuana.ac.id/manager/file_artikel_abstrak/Isi_
Artikel_213311627740.pdf
7. Sumber: Harrell, C., B.K. Ghosh and R.O. Bowden, Jr.,
Simulation Using Promodel, 2nd ed., McGrawHill, Singapore,
2003.
60
61
BAB III
SISTEM TUNGGU
62
BAB III
SISTEM TUNGGU
Tujuan Intruksional Umum
1. Mahasiswa dapat membuat model antrian dan
menggunakan rumus-rumusnya untuk mendapatkan solusi
optimal, sehingga diharapkan dapat membuat program
aplikasinya.
Tujuan Intruksional Khusus
1. Mahasiswa dapat menentukan elemen dasar model antrian.
2. Mahasiswa dapat menjelaskan proses pure birth dan pure
death.
3. Mahasiswa dapat memahami distribusi Poisson dan
Eksponensial.
3.1. Teori Antrian
Suatu antrian adalah suatu garis tunggu dari
pelanggan/pengunjung yang memerlukan layanan dari suatu
atau lebih pelayanan (fasilitas layanan). Kejadian garis tunggu
tersebut timbul disebabkan oleh kebutuhan akan layanan
sehingga pengantri/pengunjung yang tiba tidak bisa
mendapatkan pelayanan, sedangkan masalah yang timbul dalam
antrian adalah bagaimana mengusahakan keseimbangan antara
biaya tunggu (antrian) terhadap biaya mencegah antrian itu
sendiri guna memperoleh keuntungan yang maksimal. Dalam
63
kehidupan sehari-hari, kejadian antrian sering kita jumpai
misalnya antrian saat melakukan transaksi di bank, antrian
ditempat praktek dokter, antrian saat pembayaran rekening
listrik atau telepon dan banyak lagi contoh antrian yang lain.
Umumnya tiap orang pernah mengalami kejadian seperti ini
dalam hidupnya, jadi antrian bisa dikatakan sudah menjadi
bagian dari kehidupan setiap orang.
Dalam banyak hal, tambahan fasilitas pelayanan dapat
diberikan untuk mengurangi antrian atau untuk mencegah
timbulnya kepadatan antrian akan tetapi, biaya karena
memberikan pelayanan tambahan akan menimbulkan
pengurangan keuntungan mungkin sampai dibawah tingkat yang
dapat diterima. Sebaliknya timbulnya antrian akan
mengakibatkan hilangnya para langganan atau nasabah.
3.1.1. Komponen Proses Antrian
Komponen dasar antrian adalah kedatangan,
pelayanan dan antri komponen ini disajikan pada gambar
dibawah ini :
Gambar 3.1 Komponen Dasar Antrian
64
a. Kedatangan
Setiap masalah antrian melibatkan kedatangan,
unsur ini sering dinamakan proses input. Proses
input ini meliputi sumber kedatangan atau biasa
dinamakan Calling Population dan cara terjadinya
kedatangan yang umumnya merupakan proses
Random atau acak.
b. Pelayanan
Pelayanan atau mekanisme pelayanan dapat
terdiri dari satu atau lebih fasilitas pelayanan,
contohnya pada sebuah check out counter dari suatu
super market terkadang hanya ada seorang pelayan,
padahal bisa juga diisi seorang kasir dengan
pembantunya untuk memasukan barang-barang
kekantung plastik. Pada kasus pendaftaran
mahasiswa baru UNIKOM dapat ditambahkan
bagian teller dari bank yang bersangkutan untuk
menampung uang pendaftarannya, agar tidak terjadi
penumpukan uang di loket pendaftaran, dan juga
meringankan tugas bagian pelayanan karena hanya
mengerjakan satu pekerjaan saja yaitu menerima
calon mahasiswa baru yang mendaftarkan diri.
c. Antrian
Timbulnya antrian terutama tergantung dari
sifat kedatangan dan proses pelayanan. Faktor lain
yang penting dalam antrian adalah disiplin antri.
Disiplin antri adalah aturan keputusan yang
menjelaskan cara melayani pengantri. Misalnya
datang awal dilayani terlebih dahulu, datang terakhir
65
dilayani terlebih dahulu, berdasarkan abjad,
berdasarkan janji dan sebagainya. Berikut beberapa
jenis disiplin antrian, diantaranya :
o FIFO ( First In First Out )
o LIFO (Last In Last Out )
o SIRO ( Service In Random Order )
o PS ( Priority Service )
Jika tidak ada antrian berarti terdapat
pelayanan yang menganggur atau kelebihan fasilitas
pelayanan.
Proses antrian pada umumnya dikelompokan
kedalam empat struktur dasar menurut sifat fasilitas
pelayanan, yaitu :
a. Satu Saluran Satu Tahap
Gambar 3.2. Antrian Satu Saluran Satu Tahap
66
b. Banyak Saluran Satu Tahap
Gambar 3.3. Antrian Banyak Saluran Satu
Tahap
c. Satu Saluran Banyak Tahap
Gambar 3.4. Antrian Satu Saluran Banyak
Tahap
d. Banyak Saluran Banyak Tahap
Gambar 3.5. Antrian Banyak Saluran
Banyak Tahap
67
Banyaknya saluran dalam proses antrian
adalah jumlah pelayanan parallel yang tersedia,
banyaknya tahap menunjukan jumlah pelayanan
beruntun yang harus dilalui oleh setiap kedatangan.
Empat kategori yang disajikan diatas merupakan
kategori dasar, masih terdapat banyak variasi
struktur antrian yang lain.
Pada pembahasan ini mempelajari mengenai
sistem tunggu yang terdiri dari beberapa jenis
tergantung dari jumlah server dan buffernya. Pada
pembahasan sebelumnya mengenai distribusi engset
dan binomial tidak terdapat buffer didalamnya.
Dalam sistem delay ini akan terdapat buffer yang
menjadi tempat user sebelum dilayani oleh sistem.
3.2. Model-Model Antrian
Adapun sistem tunggu akan dibahas pada bab ini adalah
sebagai berikut ;
Gambar 3.6. Model Antrian
68
Empat model antrian :
1. Model M/M/1/I/I
Gambar 3.7 Model Antrian Model M/M/1/I/I
Rumus :
Jumlah individu rata-rata dalam antrian
)-(
2
qn
Jumlah individu rata dalam sistem total
-
tn
Waktu rata-rata dalam antrian
)-(
qt
Waktu rata-rata dalam sistem total
-
1 tt
Probabilitas jumlah n individu dalam sistem
69
n
nP
-1
Tingkat kegunaan fasilitas pelayanan
P
Contoh
Tuan Indra memiliki usaha pompa bensin dengan
hanya satu pompa. Mobil yang ingin mengisi bensin
datang mengikuti distribusi poisson dengan rata-rata 25
mobil per jam. Bila pompa bensin sedang melayani
kustomer maka kustomer yang datang akan pergi ke
tempat lain. Waktu yang diperlukan untuk mengisi bensin
mobil-mobil tersebut mengikuti distribusi eksponensial
dengan rata-rata 30 mobil per jam. Dia ingin menganalisa
sistem antriannya dengan mempergunakan teori antrian.
Tentukan :
a. Tingkat kegunaan bagian pelayanan pompa bensin.
b. Jumlah rata-rata langganan dalam antrian.
c. Jumlah rata-rata langganan dalam sistem.
d. Waktu menunggu rata-rata dalam antrian.
e. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem.
f. Probabilitas lebih dari satu mobil dalam sistem dan
lebih dari empat mobil dalam sistem.
70
Penyelesaian :
Diketahui : = 25 orang per jam
= 30 orang per jam
a. Tingkat kegunaan bagian pelayanan restaurant.
P = 30
25 = 0,8333
Rata-rata bagian pelayanan sibuk 83,33% dari
waktunya.
b. Jumlah rata-rata langganan dalam antrian.
)-(
2
qn = )25-30( 30
25
2
= 4,1667 mobil
c. Jumlah rata-rata langganan dalam sistem.
-
tn = 25-30
25 = 5 mobil
d. Waktu menunggu rata-rata dalam antrian.
)-(
qt
)25-30( 30
25 qt = 0,1667 jam atau 10 menit
e. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem.
-
1 tt =
25-30
1 = 0,2 jam atau 12 menit
71
f. Probabilitas lebih dari satu mobil dan lebih dari
empat mobil dalam sistem.
Probabilitas lebih dari satu mobil dalam sistem
Dengan n
nP
-1
P0 = (1 – 0,8333) (0,8333)0 = 0,1667
P1 = (1 – 0,8333) (0,8333)1 = 0,1389
P(n > 1) = 1 – P(n 1)
= 1 – (P0 + P1)
= 1 – (0,1667 + 0,1389)
= 1 – (0,3056) = 0,6944 = 69,44%
Probabilitas lebih dari empat mobil dalam sistem
Dengan n
nP
-1
P0 = (1 – 0,8333) (0,8333)0 = 0,1667
P1 = (1 – 0,8333) (0,8333)1 = 0,1389
P2 = (1 – 0,8333) (0,8333)2 = 0,1158
P3 = (1 – 0,8333) (0,8333)3 = 0,0965
P4 = (1 – 0,8333) (0,8333)4 = 0,0804
P(n > 4) = 1 – P(n 4)
= 1 – (P0 + P1 + P2 + P3 +P4)
72
= 1 – (0,1667 + 0,1389 + 0,1158 + 0,0965 + 0,0804)
= 1 – (0,5983) = 0,4017 = 40,17%
2. Model M/M/S/I/I
Gambar 3.8 Model Antrian Model M/M/S/I/I
Rumus :
Jumlah individu rata-rata menunggu dalam antrian
02P
)-(S )!1(
S
n
S
q
Jumlah individu rata-rata dalam sistem total
n q tn
73
Waktu menunggu rata-rata dalam antrian
S
t
2
0
q
S-1)S(S!
P
Waktu menunggu rata-rata dalam sistem
1
t q tt
Tingkat kegunaan fasilitas pelayanan
S
P
Probabilitas tidak ada individu dalam sistem
1!
n!
1
1
0
0
SS
PS
S
n
n
Probabilitas menunggu dalam antrian
SS
PP
S
W
1!
0
74
Contoh
1. Sebuah bank memperkerjakan tiga teller. Nasabah
datang mengikuti distribusi poisson, selama periode
waktu 8 jam rata-rata nasabah datang sebanyak
1.750 orang. Jika seorang nasabah mendapati semua
teller sedang sibuk ia akan menggabung pada antrian
yang dilayani oleh ketiga teller. Waktu trsansaksi
antara nasabah dan teller mempunyai distribusi
eksponensial dengan rata-rata 0,5 menit. Tentukan :
a. Tingkat kedatangan nasabah per jam.
b. Tingkat kegunaan teller.
c. Probabilitas tidak ada nasabah.
d. Jumlah nasabah rata-rata menunggu untuk
dilayani.
e. Jumlah nasabah dalam sistem.
f. Waktu menunggu rata-rata dalam antrian.
g. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem.
h. Probabilitas untuk menunggu dalam antrian.
Jawab
Diketahui :
S = 3 teller
= 1.750 nasabah / 8 jam = 218,75 nasabah per jam
= 60 menit/ 0,5 menit = 120 nasabah per jam
75
a. Tingkat kedatangan panggilan per jam.
= 120 nasabah per jam
b. Tingkat kegunaan karyawan.
S
P = )120(3
75,218
= 0,6076 = 60,76%
c. Probabilitas tidak ada panggilan.
1!
n!
1
1
0
0
SS
PS
S
n
n
)360/75,2181(!3
)120/75,218(
!2
)120/75,218(
!1
)120/75,218(
!0
1
132
= 5731,26615,18229,11
1
= 0,1417
= 14,17%
d. Jumlah pedagang rata-rata menunggu untuk
dilayani.
02P
)-(S )!1(
S
n
S
q
76
= (0,1417) )75,218-60(3 )!13(
120
75,218)120)(75,218(
2
3
= 0,5647 nasabah
e. Jumlah pedagang dalam sistem.
n q tn
= 0,5647 + 1,8229 = 2,3876 nasabah
f. Waktu menunggu rata-rata dalam antrian.
S
t
2
0
q
S-1)S(S!
P
=
3
2 120
75,218
360
75,218-1)120(3)(3!
0,1417
= 0,00258 jam atau 0,1548 menit
g. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem.
1
t q tt
= 0,00258 + 120
1
= 0,01091 jam atau 0,6546 menit
77
h. Probabilitas untuk menunggu dalam antrian.
SS
PP
S
W
1!
0
=
360
75,2181!3
1417,0
120
75,2183
= 0,3646
2. Sebuah bank memperkerjakan tiga teller. Nasabah
datang mengikuti distribusi poisson, selama periode
waktu 8 jam rata-rata nasabah datang sebanyak
1.750 orang. Jika seorang nasabah mendapati semua
teller sedang sibuk ia akan menggabung pada antrian
yang dilayani oleh ketiga teller. Waktu trsansaksi
antara nasabah dan teller mempunyai distribusi
eksponensial dengan rata-rata 0,5 menit. Bank
tersebut telah menerima keluhan-keluhan dari
banyak nasabah bahwa waktu pelayanan terlalu
lama. Karena itu, manajer bank sedang
mempertimbangkan penambahan satu teller lagi
untuk mengurangi waktu menunggu dalam sistem.
Dia merasa bahwa biaya pelayanan total akan naik
karena penambahan teller. Bila seorang teller
berpenghasilan Rp 3.500,- per jam (termasuk semua
gaji dan jaminan lainnya) dan biaya mendapatkan
seorang nasabah check out sedang menunggu adalah
Rp. 5.500,- per jam (gaji, tunjangan, kehilangan
keuntungan karena penundaan dan biaya-biaya
lainnya), tentukan apakah lebih baik tetap
78
mempunyai 3 teller atau 4 teller yang menangani
nasabah tersebut.
Jawab
Diketahui :
= 1.750 nasabah / 8 jam = 218,75 nasabah per jam
= 60 menit/ 0,5 menit = 120 nasabah per jam
S = 3 teller (dari soal no. 1 dengan 3 teller 2,3876 tn )
S2 = 4 teller
CS = Rp 3.500,- per jam/ teller
CW = Rp 5.200,- per jam
Total biaya sekarang per jam dengan tiga teller.
Wt CC tSWS n SC C S
= 3 (Rp 3.500) + 2,3876 (Rp 5.500)
= Rp 23.631,8,- ≈ Rp 23.650,-
Total biaya per jam dengan empat karyawan.
1!
n!
1
1
0
0
SS
PS
S
n
n
79
=
480)218,75/ - (1 ! 4
120)(218,75/
! 3
120)(218,75/
! 2
120218,75/
! 1
120)(218,75/
! 0
1
1432
= 8454,00096,16615,18229,11
1
= 0,1577
02
P )-(S )!1(
S
n
S
q
= (0,1577) 218,75)-(480 )!14(
)120/75,218)(120)(75,218(2
4
= 0,1116 nasabah
n q tn = 0,1116 + 1,8229 = 1,9345 nasabah.
Wt CC tSWS n SC C S
= 4 (Rp 3.500) + 1,9345 (Rp 5.500)
= Rp 24.639,75,- ≈ Rp 24.650,-
Kesimpulan :
Total biaya antrian dengan tiga teller sebesar Rp
23.650,- dan total biaya antrian dengan empat teller
sebesar Rp 24.650,-. Karena total biaya antrian dengan
memperkerjakan tiga teller lebih murah maka tidak perlu
direkomendasikan untuk penambahan satu teller lagi.
80
3. Model M/M/1/I/F
Gambar 3.9. Model Antrian Model M/M/1/I/F
Rumus :
Jumlah individu rata-rata dalam antrian.
-1 1
)1( -1
1
2
qn
Jumlah individu rata-rata dalam sistem.
1
1
-1 1
1-1
tn
81
Probabilitas jumlah n individu dalam sistem.
n
P
-1
-1
1n
Contoh
Sebuah restaurant fast food mengoperasikan sebuah
pintu yang melayani pembeli. Restaurant tersebut terletak
pada jalan yang ramai tetapi restaurant mempunyai tempat
parkir yang terbatas. Tempat parkir yang tersedia hanya 6
ruangan. Tingkat kedatangan pelanggan adalah 21 mobil
per jam dan mengikuti distribusi Poisson sedangkan
tingkat pelayanan restaurant 36 mobil per jam dan juga
berdistribusi Poisson.
Tentukan :
a. Jumlah mobil rata-rata dalam antrian.
b. Jumlah mobil rata-rata dalam sistem.
c. Probabilitas ada 10 mobil dalam sistem.
Jawab
Diketahui :
= 21 mobil per jam
= 36 mobil per jam
= 6 ruangan
82
a. Jumlah mobil rata-rata dalam antrian.
-1 1
)1( -1
1
2
qn
=
6
616
2
36
21-1
36
211
36
21)16(
36
216-1
36
21
= (0,3403)
4003,0
1970,04053,01
= 0,6730 mobil.
b. Jumlah mobil rata-rata dalam sistem.
1
1
-1 1
1-1
tn
=
16
166
36
21-1
36
211
36
216
36
2116-1
36
21
83
= (0,5833)
4071,0
1379,02758,01
= 1,2352 mobil.
c. Probabilitas ada 10 mobil dalam sistem.
n
nP
-1
-1
1
= 10
16 36
21
36
21-1
36
21-1
= 0,0046 9770,0
4167,0
= 0,00196 mobil
4. Model M/M/S/F/I
Gambar 3.10. Model Antrian Model M/M/S/F/I
84
Notasi antrian sumber terbatas :
U : Waktu rata-rata antar kedatangan per unit
T : Waktu rata-rata pelayanan per unit
H : Jumlah rata-rata unit yang sedang dilayani
J : Jumlah rata-rata unit sedang beroperasi
N : Jumlah unit dalam populasi
M : Jumlah channel pelayanan
X : Faktor pelayanan (proporsi waktu pelayanan yang
diperlukan)
D : Probabilitas bahwa suatu kedatangan harus
menunggu
F : Faktor efisiensi menunggu dalam garis (antrian)
Rumus :
Faktor pelayanan.
X = UT
T
Jumlah unit rata-rata menunggu untuk dilayani.
qn = N (1 – F)
Jumlah unit rata-rata dalam sistem.
85
tn = N – J atau tn = qn + H
Waktu menunggu rata-rata pelayanan.
q
q
n
U) (T n
Ntq
Waktu menunggu rata-rata dalam sistem.
q
q
n
U) (T n
Ntt
+ T
Jumlah rata-rata unit sedang dilayani.
H = F.N.X
Jumlah rata-rata unit yang sedang beroperasi.
J = N.F (1 – X)
Contoh :
Sebuah rumah sakit menginformasikan bahwa rata-
rata setiap pasien dari 20 pasien yang ada memerlukan
tipe-tipe perawatan tertentu setiap 4 jam. Ada dua orang
dokter yang melayani pasien-pasien tersebut dengan rata-
rata waktu pelayanan selama 10 menit per pasien. Tingkat
kedatangan dan tingkat pelayanan mengikuti distribusi
eksponensial, tentukan:
a. Waktu antar kedatangan rata-rata dari setiap pasien.
b. Jumlah pasien rata-rata menunggu untuk dilayani.
c. Waktu menunggu rata-rata pelayanan.
86
d. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem.
e. Jumlah pasien rata-rata yang sedang dilayani.
f. Jumlah pasien rata-rata yang sedang beroperasi.
g. Jumlah pasien rata-rata dalam sistem.
h. Probabilitas bahwa pasien akan menunggu untuk
dilayani.
i. Jumlah rata-rata fasilitas pelayanan menganggur.
Penyelesaian :
Diketahui :
U = 4 jam per tipe-tipe perawatan
N = 20 pasien
T = 10 menit per pasien
= 2 dokter
a. Waktu antar kedatangan rata-rata dari setiap pasien.
U = 4 jam tipe-tipe perawatan
= 240 menit per tipe-tipe perawatan
Dengan : X = UT
T
=
24010
10
= 0,04
b. Jumlah pasien rata-rata menunggu untuk dilayani.
Diketahui :
N = 20, X = 0,04 dan M = 2, dari tabel
87
diperoleh
F = 0,994.
qn = N (1 – F)
= 20 (1 – 0,994)
= 0,12 pasien ≈ tidak ada pasien yang
menunggu.
c. Waktu menunggu rata-rata pelayanan.
q
q
n
U) (T n
Ntq
= 12,020
)24010(12,0
= 1,5 menit.
d. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem.
tt = qt + T
= 1,5 + 10 = 11,5 menit.
e. Jumlah pasien rata-rata yang sedang dilayani.
H = F.N.X
= (0,994) (20) (0,04)
= 0,7952 pasien ≈ 1 pasien.
88
f. Jumlah pasien rata-rata yang masih dalam
ruangannya.
J = N.F.(1 – X)
= 20 (0,994) (1 – 0,04) = 19 pasien.
g. Jumlah pasien rata-rata dalam sistem.
tn = N – J
= 20 – 19 = 1 pasien.
atau,
tn = qn + H
= 0,12 + 0,7952
= 0,λ152 pasien ≈ 1 pasien.
h. Probabilitas bahwa pasien akan menunggu untuk
dilayani.
D = 0,202 (diperoleh dari tabel) = 20,2%
i. Jumlah rata-rata fasilitas pelayanan menganggur.
I = M – H
= 2 – 0,7952
= 1,2048 dokter ≈ 1 dokter.
89
3.3. Aplikasi Antrian Pada Layanan Bandara
Pada penelitian yang dilakukan oleh Reynold Tri Kristiono
pada tahun 2011 melakukan analisis pelayanan penumpang bagian
counter check-in di bandara adisutjipto Yogyakarta, dengan
peningkatan permintaan akan sarana transportasi udara akan
mengakibatkan peningkatan jumlah lalu lintas penerbangan baik
itu pesawat maupun penumpangnya. Jumlah penumpang
angkutan udara yang terus menerus mengalami peningkatan
mengakibatkan terjadinya kepadatan di bandara. Salah satu
dampak dari kepadatan tersebut adalah mempengaruhi tingkat
pelayanan di Check-in counter. Melihat kondisi yang terjadi
sekarang dimana sering terjadi antrian yang panjang dan
penumpukan penumpang di counter check-in khususnya pada
jam padat, yang mengakibatkan banyaknya keluhan dan
komplain dari calon penumpang dan pengguna jasa bandar
udara yang terlambat menyelesaikan proses check- in.
Masalah kepadatan penumpang di Bandar Udara
Internasional Adisutjipto Yogyakarta saat ini semakin
meningkat tiap tahunnya. Sehingga sering terjadi antrian yang
panjang dan penumpukan penumpang di check-in counter
khususnya pada jam padat. Dengan segala kemampuan jumlah
tenaga kerja, sarana dan prasarana serta fasilitas atau peralatan
melaksanakan berbagai macam pelayanan dan usaha untuk
mencapai tujuan perusahaan. Berdasarkan kepada intensitas arus
penumpang dari hari ke hari yang menunjukkan peningkatan di
Bandar udara Internasional Adisutjipto, maka PT. (Persero)
Angkasa Pura I Cabang Bandara Internasional Adisutjipto
Yogyakarta berupaya untuk meningkatkan pelayanan terhadap
pemakai jasa bandar udara.
90
Di Bandara Adisutjipto Yogyakarta saat ini terdapat 6
maskapai penerbangan yang beroperasi secara berjadwal dengan
berbagai macam tujuan penerbangan seperti : Jakarta,
Denpasar, Mataram, Surabaya, Balikpapan, Banjarmasin,
Pontianak, Ujung Pandang dan Halim Perdana Kusuma.
Tabel 3.1 Maskapai Penerbangan Yang Beroperasi
di Bandara Adisutjipto Yogyakarta
Jadwal penerbangan Batavia Air di Bandara Adisutjipto
Yogyakarta saat ini memiliki 4 kali kegiatan operasi
penerbangan dalam sehari dengan berbagai macam tujuan
seperti dijelaskan pada tabel di bawah ini :
91
Tabel 3.2 Jadwal Penerbangan Reguler Batavia Air
Tabel 3.3 Waktu Kedatangan PenumpangCheck-In Batavia
92
Tabel 3.4 Waktu Pelayanan PenumpangCheck-In Batavia
Sumber : Hasil pengolahan dan perhitungan
(Reynold Tri Kristiono, 2011)
3.3.1. Pengolahan Data Waktu Kedatangan
Berdasarkanpada data waktu kedatangan, tahapan
pengujian adalah sebagai berikut:
Batavia
1. Menentukan range atau sebaran data pengamatan
Range = H – L
= Data terbesar – Data terkecil
= 8,35 – 1,03 = 7,32
93
2. Menentukan jumlah kelas
K = 1 + 3,322 log N
dengan N = 60, maka :
K = 1 + 3,322 log 60
= 6,87 7
3. Menentukan lebar kelas
I = R / K
= 7,32 / 6,87
= 1,07
4. Pengujian distribusi data
Data waktu kedatangan beserta frekuensinya
dapat dilihat pada tabel dibawah ini:
Tabel 3.5 Distribusi Frekuensi Waktu Kedatangan
94
1. Uji Keseragaman Data
Pengujian ini dilakukan untuk menyeleksi data
yang pantas diikutkan dalam perhitungan
selanjutnya. Data yang tidak pantas akan disebut
data ekstrim dan selanjutnya dibuang. Suatu data
akan dianggap ekstrim jika data diatas batas kontrol
atas atau dibawah batas kontrol bawah.
n
XiX
= 60
21,206 = 3,44
)1(
)()( 22
NN
XiXiN
)160(60
)21,206()07,937(60 2
= 1,97
BKA =
X + 3 = 3,44 + 3 (1,97) = 9,34
BKB =
X - 3 = 3,44 - 3 (1,97) = -2,46
Dari hasil perhitungan diketahui bahwa data
tertinggi yang terkumpul (8,35) lebih kecil dari BKA
(9,34) dan data terendah yang terkumpul (1,03) lebih
besar dari BKB (-2,46) maka dapat disimpulkan
bahwa data tersebut sudah seragam.
2. Uji Chi Kuadrat
Uji yang akan dilakukan untuk menentukan
distribusi ini adalah uji chi kuadrat. Dengan
ketentuan sebagai berikut:
95
a. Ho = Waktu Antar Kedatangan Penumpang
Berdistribusi Eksponensial
Hi = Waktu Antar Kedatangan Tidak
Berdistribusi Eksponensial
b. Tingkat kepercayaan 99 % dan tingkat
ketelitian α 1%
V = 7 – 1 = 6 2 tabel = 0.01;6 =16,80
c. Kriteria penolakan
Ho = diterima jika 2 hitung < 2 tabel
Hi = ditolak jika 2 hitung > 2 tabel
d. Perhitungan 2 hitung
Langkah – langkah perhitungannya adalah
sebagai berikut:
1) Menentukan probabilitas teoritis F(t) untuk
distribusi eksponensial tiap kelas dengan
rumus F(t) = e-t1/
x - e
-t2/
x
2) Menentukan frekuensi harapan untuk selang
kelas dengan rumus
ei = F(t) x jumlah data
Sebagai contoh perhitungan sel kedua
96
ei = F(t) x N
= e-2,11/3,44
– e-3,18/3,44
x 60
= 8,69
Dengan diketahui nilai oi dan ei maka suatu
ukuran deviasi antara frekuensi amatan dan
frekuensi teoritis dapat dihitung dengan
menggunakan rumus sebagai berikut :
2 = ei
eioi2)(
Dimana : oi = Frekuensi yang diamati sel ke i
ei = Frekuensi harapan sel ke i
Sebagai contoh perhitungan 2 untuk sel kedua
dimana ei = 8,69 dan oi = 14 diperoleh
2 = 69,8
)69,814( 2= 3,25
Untuk seluruh perhitungan tersebut dapat
diringkas dalam tabel sebagai berikut:
97
Tabel 3.6 Hasil Perhitungan 2 Untuk Waktu
Kedatangan Penumpang
Dari hasil perhitungan diketahui 2 hitung
(12,13) < 2 tabel (16,80) berarti 2 hitung terletak
diluar daerah kritis. Karena 2 hitung lebih kecil dari
2 tabel maka Ho diterima sehingga dapat
disimpulkan bahwa waktu antar kedatangan
penumpang berdistribusi eksponensial.
3.3.2. Pengolahan Data Waktu Pelayanan
Berdasarkanpada data waktu pelayanan, tahapan
pengujian adalah sebagai berikut:
Batavia
1. Menentukan range atau sebaran data pengamatan
Range = H – L
= Data terbesar – Data terkecil
98
= 9,40 – 1,02 = 8,38
2. Menentukan jumlah kelas
K = 1 + 3,322 log N
dengan N = 60, maka :
K = 1 + 3,322 log 60
= 6,87 7
3. Menentukan lebar kelas
I = R / K
= 8,38 / 6,87
= 1,22
4. Pengujian distribusi data
Data waktu pelayanan beserta frekuensinya
dapat dilihat pada tabel dibawah ini:
Tabel 3.7 Distribusi Frekuensi waktu Pelayanan
99
5. Uji Keseragaman Data
Pengujian ini dilakukan untuk menyeleksi data
yang pantas diikutkan dalam perhitungan
selanjutnya. Data yang tidak pantas akan disebut
data ekstrim dan selanjutnya dibuang. Suatu data
akan dianggap ekstrim jika data diatas batas kontrol
atas atau dibawah batas kontrol bawah.
n
XiX
= 60
48,220 = 3,67
)1(
)()( 22
NN
XiXiN
)160(60
)48,220()62,1089(60 2
= 2,18
BKA =
X + 3 = 3,67 + 3 (2,18) = 10,21
BKB =
X - 3 = 3,67 - 3 (2,18) = -2,87
Dari hasil perhitungan diketahui bahwa data
tertinggi yang terkumpul (9,40) lebih kecil dari BKA
(10,21) dan data terendah yang terkumpul (1,02)
lebih besar dari BKB (-2,87) maka dapat
disimpulkan bahwa data tersebut sudah seragam.
6. Uji Chi Kuadrat
Uji yang akan dilakukan untuk menentukan
distribusi ini adalah uji chi kuadrat. Dengan
ketentuan sebagai berikut:
100
a. Ho = Waktu Antar Pelayanan Penumpang
Berdistribusi Eksponensial
Hi = Waktu Antar Pelayanan Tidak
Berdistribusi Eksponensial
b. Tingkat kepercayaan 99 % dan tingkat
ketelitian α 1%
V = 7 – 1 = 6 2 tabel = 0.01;6 =16,80
c. Kriteria penolakan
Ho = diterima jika 2 hitung < 2 tabel
Hi = ditolak jika 2 hitung > 2 tabel
d. Perhitungan 2 hitung
Langkah – langkah perhitungannya adalah
sebagai berikut:
1) Menentukan probabilitas teoritis F(t) untuk
distribusi eksponensial tiap kelas dengan
rumus F(t) = e-t1/
x - e
-t2/
x
2) Menentukan frekuensi harapan untuk selang
kelas dengan rumus
ei = F(t) x jumlah data
Sebagai contoh perhitungan sel kedua
ei = F(t) x N
= e-2,25/3,67
– e-3,46/3,67
x 60
101
= 9,13
Dengan diketahui nilai oi dan ei maka
suatu ukuran deviasi antara frekuensi amatan
dan frekuensi teoritis dapat dihitung dengan
menggunakan rumus sebagai berikut :
2 = ei
eioi2)(
Dimana : oi = Frekuensi yang diamati sel ke i
ei = Frekuensi harapan sel ke i
Sebagai contoh perhitungan 2 untuk
sel kedua dimana ei = 9,13 dan oi = 15
diperoleh 2 =
13,9
)13,915( 2= 3,78
Untuk seluruh perhitungan tersebut
dapat diringkas dalam tabel sebagai berikut:
Tabel 3.8 Hasil Perhitungan 2 Untuk Waktu
Pelayanan Penumpang
102
Dari hasil perhitungan diketahui 2
hitung (10,19) < x2 tabel (16,80) berarti 2
hitung terletak diluar daerah kritis. Karena 2
hitung lebih kecil dari 2 tabel maka Ho
diterima sehingga dapat disimpulkan bahwa
waktu antar pelayanan penumpang
berdistribusi eksponensial.
3.3.3 Perhitungan Variabel Model Antrian
Dari hasil pengumpulan dan pengujian data maka
dapat disimpulkan bahwa waktu kedatangan dan waktu
pelayanan penumpang Batavia, Lion, Wings, Merpati, dan
Mandala mengikuti distribusi eksponensial sedangkan
Garuda tidak mengikuti distribusi eksponensial, sehingga
hanya lima maskapai yang dapat diteruskan kedalam
perhitungan variabel model antrian.
Dari hasil pengujian waktu antar kedatangan
penumpang Batavia didapat (
X ) = 3,44 berarti tingkat
kedatangan penumpang =
X
1 =
44,3
1 x 60 menit = 17
Dari hasil pengujian waktu pelayanan penumpang
Batavia didapat (
X ) = 3,67 berarti tingkat pelayanan
penumpang =
X
1 =
67,3
1x 60 menit
= 16 penumpang/jam.
103
Perhitungan nilai – nilai variabel antrian Batavia :
Diketahui :
Tingkat kedatangan penumpang 17 penumpang/jam
Tingkat pelayanan penumpang 16 penumpang/jam
a. Tingkat kegunaan fasilitas pelayanan
P = = 17/16 =1,06 = 106 %
Hasil diatas 100 % menunjukkan bahwa fasilitas
check-in sibuk sehingga tidak ada kesempatan
menganggur bagi petugas pelayanan check-in.
b. Tingkat menganggur fasilitas
1 – P = 1 – 1,06 = - 0,06 = - 6 %
Hasil dibawah 0 % menunjukkan bahwa tidak ada
kesempatan menganggur bagi petugas counter
check-in.
c. Jumlah rata – rata penumpang dalam antrian
Lq = )(
2
= )1716(16
172
= - 18
Dengan demikian jumlah rata – rata penumpang
dalam antrian sebanyak -18 penumpang. Sedangkan
nilai negatif menunjukkan bahwa sistem tidak
mampu menampung penumpang sehingga terjadi
penumpukan penumpang.
104
d. Jumlah rata – rata penumpang dalam sistem
Ls =
= 1716
17
= - 17
Dengan demikian jumlah rata – rata penumpang
dalam sistem sebanyak -17 penumpang. Sedangkan
nilai negatif menunjukkan bahwa sistem tidak
mampu menampung penumpang sehingga terjadi
penumpukan penumpang. Jumlah rata – rata
penumpang pada sistem harus lebih besar dari pada
jumlah dalam antrian hal itu disebabkan karena
jumlah penumpang dalam sistem adalah jumlah
antrian ditambah satu orang yang sedang dilayani.
Sehingga apabila diaplikasikan dalam bentuk
matematika maka menjadi Sistem = Antrian + Pelayanan
sehingga S = -18 + 1 = -17.
e. Waktu rata – rata menunggu penumpang dalam
antrian
Wq =)(
= )1716(16
17
= - 1,06 jam = -
63,75 menit
Dengan demikian bila jumlah penumpang dalam
antrian sebanyak -18 penumpang maka rata – rata
waktu antriannya adalah -63,75 menit, sedangkan
untuk rata – rata waktu antrian per penumpang
adalah 3,54 menit. Sedangkan nilai negatif
menunjukkan bahwa sistem tidak mampu melayani
penumpang dengan maksimal sehingga terjadi
antrian atau penumpukan penumpang.
105
f. Waktu rata – rata penumpang dalam sistem
Ws =
1=
1716
1
= - 1 jam = - 60 menit
Dengan demikian bila jumlah penumpang dalam
sistem sebanyak -17 penumpang maka rata – rata
waktu antriannya adalah -60 menit. Sedangkan nilai
negatif menunjukkan bahwa sistem tidak mampu
melayani penumpang dengan maksimal sehingga
terjadi antrian atau penumpukan penumpang. Waktu
rata – rata dalam sistem harus lebih besar dari
jumlah rata – rata antrian karena waktu dalam sistem
adalah penjumlahan dari waktu antrian ditambah
dengan waktu pelayanan di sini diketahui bahwa
waktu antrian adalah -63,75 menit dan waktu
pelayanan 3,75 menit sehingga waktu dalam sistem
adalah -63,75 menit+ 3,75 menit = -60 menit.
3.4. Rangkuman
Setiap masalah antrian diuraikan dalam 3 karateristik,
yaitu : kedatangan, antrian dan pelayanan Model antrian adalah
model probabilistik (stochastic) karena unsur-unsur tertentu
proses antrian yang dimasukkan dalam model adalah variabel
random. Variabel random ini sering digambarkan dengan
distribusi probabilitas. Asumsi yang biasa digunakan dalam
kaitannya dengan distribusi kedatangan (banyaknya kedatangan
per unit waktu) adalah distribusi Poisson.
106
LATIHAN
1. Dalam suatu ruang praktek dokter, setiap 5 menit datang 1
pasien. Untuk melayani setiap pasien dibutuhkan waktu 5 menit.
Jam kerja praktek dokter adalah jam 15.00 – 18.00. Hitunglah:
a. Banyaknya pasien yang bisa dilayani selama jam kerja.
b. Rata-rata banyaknya pasien dalam sistem.
c. Rata-rata panjang antrian.
d. Rata-rata waktu menunggu seorang pasien dalam sistem.
e. Rata-rata waktu menunggu tiap pasien sebelum menerima
pelayanan (antri).
2. Kedatangan penelpon ke suatu telepon umum mengikuti fungsi
poisson dengan rata-rata waktu 10 menit antara kedatangan satu
dengan lainnya. Lamanya satu pembicaraan telepon rata-rata 3
menit dan mengikuti distribusi eksponensial. Hitunglah:
a. Probabilitas bahwa seorang penelpon yang datang ke
telepon umum tersebut harus menunggu.
b. Rata-rata panjang antrian yang tidak kosong.
c. Perusahaan telepon akan mendirikan tempat telepon
umum yang kedua dengan syarat waktu menunggu suatu
kedatangan penelpon hingga memperoleh giliran paling
sedikit 3 menit.
Berapa seharusnya banyaknya kedatangan sehingga
tempat telepon umum yang kedua tersebut mempunyai alas an
kuat untuk didirikan?
107
DAFTAR PUSTAKA
1. Gottfried, Byron S., “Elements of Stochatic Process
Simulation”, Prentice-Hall, Inc., New Jersey, 1984.
2. Law, Averill M., W. David Kelton, “Simulation Modeling &
Analysis”, Mc. Graw-Hill Inc., Singapore, 1991.
3. Soepono Soeparlan, “Pengantar Simulasi”, Penerbit Gunadarma, Jakarta, 1995.
4. Mendenhall, William, “A course in Business Statistics”,
Duxbury Press, Boston, 1984.
5. elearning.upnjatim.ac.id/courses/MK/document/2._ANTRIAN.d
oc?...
6. Reynold Tri Kristiono, 2011. Analisis Pelayanan Penumpang
Bagian Counter Check-In Di Bandara Adisutjipto Yogyakarta
Universitas Pembangunan Nasional ‘Veteran’ Yogyakarta
108
109
BAB IV
PEUBAH ACAK
110
BAB IV
PEUBAH ACAK
Tujuan Intruksional Umum
1. Mahasiswa mampu memahami peubah acak diskrit,
peubah acak kontinu, fungsi distribusi, fungsi peluang.
2. Mahasiswa mampu memahami pemodelan statistika yang
menitikberatkan pada kajian peluang secara matematik.
Tujuan Intruksional Khusus
1. Mahasiswa mampu memahami dan membedakan peubah
acak diskrit dan kontinu.
2. Mahasiswa mampu menghitung peluang pada nilai peubah
acak dan mampu mengidentifikasi ruang sampel dan
event dari contoh penerapan peluang acak.
3.Mahasiswa mampu menentukan fungsi distribusi dan
transformasi peubah acak (serta distribusi peluang yang
menyertainya)
4.1 Sebaran Peluang Peubah Acak Diskret
Suatu peubah acak diskret tiap nilai yang mungkin
mendapatkan nialai peluang tertentu. Dalam kasusu
melantunkan mata uang tiga kali. Peubah acak X yang
menyatakan banayaknya muka yang muncul mendapatlan 2
dengan peluang 3/8 .pada contoh kemungkinan banyaknya anak
111
laki-laki yang lahir bila pasangan suami istri merencanakan 2
anak cukup disajikan pada table berikut :
Perhatikan jumlah peluangnya sama dengan 1(satu),
karena x menyatakan suatu yang mungkin.
Fungsi nilai numeic dari x dinyatakan f(x), g(x). r(x) dan
sebagainya jadi f(x) =P(X=X)
Dari contoh diatas maka f(2) = P(X=2) =1/4
Misalkan dalam suatu kandang terdapat 15 ekor ayam
broiler 5 ekor diantaranya adalah jantan. Jika seorang peternak
mengambil 3 ekor ayam broiler secara acak carilah sebaran
peubah acak X yang menyatakan banyaknya anak ayam jantan
yang terambil. Ayam broiler jantan yang mungkin terambil
adalah 0,1,2 atau tiga ekor denagn peluang yangberbeda seperti
disajikan pada table berikut :
Catatan ( 10) ( 9 ) ( 8 )= 720 = 24 coba cari yang lain
15 14 13 2730 91
Kerap kali kita igin menggambarkan grafik suatu sebaran
peluang diskret. Ada dua macam grafik yang biasa digunakan
adalah diagram batang atau histogram. Sebagai contoh kita
gambar sebaran peluang peubah acak banyaknya muka (M)
yang peluang muncul bila 4 mata uang seimbang dilantunkan.
Adapun sebaran peluang seperti table berikut :
112
a. Grafik batang b. histogram
Gambar 4.1 Grafik sebaran peluang diskret
Pada mekanisme percobaan yang sering kali dilakukan
akan mempunyai dua kemungkinan hasil yang dapat diberi
nama berhasil atau gagal. Misalnya saja dalam pelemparan
sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan
mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Dan salah satu di
antara keduanya ditentukan sebagai ‘berhasil’ dan yang lainnya sebagai ‘gagal’. Percobaan tersebut mempunyai ciri-ciri bahwa
ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang
keberhasilan setiap ulangan tetap sama yaitu sebesar 1/2 .
Percobaan semacam ini disebut percobaan binom.
Jika suatu ulangan binomial mempunayi peluang
keberhasilan p dan pelang kegagalan q = 1 – p, maka distribusi
probabilitas bagi peubah acak binomial X, yaitu bayaknya
keberhasilan dalam n ulangan bebas, adalah :
113
Definisi Distribusi Peluang Binomial
n-xxn
x q p Cb(x;n,p)
Dimana:
x = 0,1,23,...,n
n: banyaknya ulangan
x: banyak keberhasilan dalam peubah acak X
p: peluang berhasil pada setiap ulangan
q: peluang gagal = 1 - p pada setiap ulangan
Secara ringkas, Percobaan Binomial adalah percobaan
yang mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:
1. Percobaan diulang n kali
2. Hasil setiap ulangan hanya dapat dikategorikan ke dalam
2 kelas;
Misal: "BERHASIL" atau "GAGAL"
("YA" atau "TIDAK"; "SUCCESS" or "FAILED")
3. Peluang keberhasilan = p dan dalam setiap ulangan nilai p
tidak berubah.
Peluang gagal = q = 1- p.
4. Setiap ulangan bersifat bebas satu dengan yang lain.
114
Contoh
Tentukan peluang mendapatkan "MATA 1" muncul 3 kali
pada pelemparan 5 kali sebuah dadu setimbang!
Kejadian sukses/berhasil = mendapat "MATA 1"
Jawab
x = 3
n = 5 pelemparan diulang 5 kali
p =1
6 q = 1-
1
6 =
5
6
n-xxn
x q p Cb(x;n,p)
2
653
615
361 )()(53 C) ,;b(
= 5
3 2
5
6
2
5
!
! ! = 10 0.003215...= 0.03215...
Contoh:
10 % dari semacam benda tergolong ke dalam kategori A.
Sebuah sampel berukuran 30 telah diambil secara acak. Berapa
peluang sampel itu akan berisikan benda kategori A :
semuanya,
sebuah,
dua buah,
paling sedikit sebuah,
115
paling banyak dua buah
tentukan rata-rata terdapatnya kategori A.
Jawab
Artikan R = banyak benda kategori A. Peluang benda
termasuk kategori A = 0,10. Semuanya tergolong kategori
A R = 30
P (R = 30) = )!3030(!30
!30
(0,10)
30 (0,90)
0 = 10
-30
Sebuah harga yang sangat kecil yang praktis sama dengan
nol.
Sebuah termasuk kategori A berarti X = 1
P (R = 1) = )!130(!1
!30
(0,10)
1 (0,90)
29 = 0,1409
Peluang sampel itu berisi sebuah benda kategori A =
0,1409
Disini X = 2, sehingga :
P (R = 2) = )!230(!2
!30
(0,10)
2 (0,90)
28 = 0,2270
Paling sedikit sebuah benda tergolong kategori A, berarti
X = 1, 2, 3, .., 30. Jadi perlu P(R = 1) + P(R = 2) + … + P(R = 30). Tetapi P(R = 0) + P(R = 1) + … + P(R = 30) =
1, sehingga yang dicari = 1 – P(R = 0).
P(R= 0) = )!030(!0
!30
(0,10)
0 (0,90)
30 = 0,0423.
116
Jadi, peluang dalam sampel itu terdapat paling sedikit
sebuah benda kategori A = 1 – 0,0423 = 0,9577
Terdapat paling banyak 2 buah kategori A, berarti R= 0, 1,
2. Perlu dicari P(R = 0) + P(R = 1) + P(R = 2) = 0,0423 +
0,1409 + 0,2270 = 0,4102.
= 30 (0,1) = 3 artinya, rata-rata diharapkan akan terdapat
3 benda termasuk kategori A dalam setiap kelompok yang
terdiri atas 30
Contoh Aplikasi:
Debit puncak banjir sungai Citarum-Nanjung priode T=5
tahun adalah 359m3/det. Tentukan dalam waktu 10 tahun
peluang debit banjir tersebut:
Tidak terjadi ?
Terjadi satu kali ?
Terjadi dua kali ?
Terjadi tiga kali ?
Rata-rata dan deviasi standarnya ?
Jawab
Dari soal didapat:
T=5 tahun, maka P=1/T=1/5=0,2
Q=1-P=1-0,2=0,8
N=10
117
P(R)= xNxN
x QPC , maka:
o Peluang debit banjir tidak terjadi, berarti x=0, sehingga
P(R=0)= 107,0)8,0()2,0()!010(!0
!10 100010010
0
QPC
o Peluang debit banjir terjadi satu kali , berarti x=1,
sehingga:
P(R=1)= 268,0)8,0()2,0()!110(!1
!10 91110110
1
QPC
o Peluang debit banjir terjadi dua kali , berarti x=2,
sehingga:
P(R=2)= 308,0)8,0()2,0()!210(!2
!10 82210210
2
QPC
o Peluang debit banjir terjadi tiga kali , berarti x=3,
sehingga:
P(R=3)= 201,0)8,0()2,0()!310(!3
!10 73310310
3
QPC
o Peluang debit banjir dengan T=5 tahunan, rata-rata terjadi
selama 10 tahun, sehingga :
NP =(10)(0,2)=2 kali.
Artinya, waktu 10 tahun, rata-rata akan terjadi debit banjir
dengan priode 5 tahunan adalah 2 kali, dengan deviasi
standar dihitung dari: NPQ =
118
kali26,18,0.2,0.10
4.2 Sebaran peubah Acak Kontinu
Suatu peubah acak kontinu mempunyai peluang nol pada
setiap titik x. mungkin hal ini mengejutkan pada permulaan,
tetapi akan mudah dipahami dengan contoh berikut. Pandanglah
peubah acak berat sapi bali yang berumur dua tahun maka sapi
tersebut mempunyai berat normal antara 200-300 Kg. ternyata
banyak sekali sapi bali yang berumur 2 tahun yang mempunyai
berat 200-300 Kg salah satu diantaranya adalah sapi bali yang
beratnya 210 kg. peluang terpilihnya sapi bali yang beratnya
tepat tidak kurang sedikitpun atau persisi 210 kg mendekati 0
atau sama denagn nol karena 1 : banyak sekali (1 : tak hingga).
Kenyataan diatas menyebabkan :
P(a<x≤b) = P (a<x<b) + P (x=b)
= P (a<x<b) + 0
= P(Ax<b)
Jadi tidaklah menjadi masalah apakah titik ujung diikut
sertakan ataupun tidak.
Sebaran peluang kontinu tidak dapat disajikan dalam
bentuk table,tetapi rumusnya ada. Seperti sediakala sebaran
peluang akan dinyatakan denagn fungsi f(x).sebaran peluang
kontinu f(x) biasa disebut fungsi padat atau fungsi kepekatan,
dimana x berada dalam selang dua nilai tertentu di dalam ruang
contoh sehingga grafik f(x) digambarkan secara seimbang.
119
.
Gambar P(a<x<b) = b
a
dxxf )(
Gambar grafik diatas disebut grafik fungsi kepekatan f(x)
fungsi kepekatan peluang digambarkan oleh luas daerah
dibawah kurva yang bersangkutan dan diatas sumbu x. bila
digambar secara keseluruhan maka luas kurva tersebut = 1
artinya total peluang diri - ~<x<+~ adalah sama denagn satu.
Peluang bagi semua nilai x yangberada dalam selang (a,b)
sama denagn luas dibawah kurva kepekatan antara x=a sampai
x=b.
Jadi fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang peubah acak
kontinu x yang didefinisikan diatas terdefinisi pada semua
bilangan nyata (real) R bila :
1. f(x) ≥ 0, untuk semua x=R
2.
~
~
1(xdxf
0
20
a b
f(x)
X
120
3. P(a<x<b) = b
a
dxxf 1)(
4.3 Sebaran Peluang Bersama
Setelah kita pelajari peubah acakdan sebaran peluangnya
pada ruang sample berdimensi satu dangan kata lain hasil
percobaan berasal dari peubah acak yang tunggal ternyata pada
banyak keadaan diperelukan pencatatan hasil beberapa peubah
acak secara serempak,jadi deminsi pengamatan lebih dari satu.
Bila X dan Y dua peubah acak sebaran peluang terjadinya
secara serempak dapat dinyatakan denagn fungsi f(x,y0.
biasanya f(x,y) disebut peluang bersama (gabungan) X dan Y .
jadi dalam kasusu diskret f(x,y0 = P(X=x,Y=y) yaitu f(x,y)
menyatakan peluang bahwa X dan Y terjadi bersama-sama.
Sebagai contoh bila X menyatakan umur (tahun) sapai bali
betina dan Y menyatakan banyaknya kali kelahiran maka f(3,4)
berarti sapi bali betina umur 3 tahun dan telah melahirkan
sebanyak 4 kali.
Contoh
Dua ekor anak anjing Kintamani dipilih secara acak dari
dalamkeranjang seorang pedagang anjing yang berisi 3 ekor
warna putih, 2 ekor warna hitam dan 3 ekor warna kemerahan.
Bila X menyatakan anak anjing kintamani yang bulunya
berwarna putih dan Y anak anjing Kintamanai berwarna hitam
terambil/terpilih.
Hitunglah:
1. fungsi peluang bersama f(x.y)
2. P [ (x,y) ЄA] bila A daerahnya { (x,y) │x + y ≤ 1}
121
Jawab
1. Pasangan harga (x,y) yang memungkinkan adalah : (0,0),
(0,1) (1,0)(1,1)(0,2)atau(2,0)
Banyaknya cara yang berkemungkinan sama memilih dua
ekor anak anjing kintamani dari 8 ekor (3+2+3 ekor) yang
bulunya berwarna putih dan hitam adalah (8
2) = 8/2!(8-2)!
= 28
Misalkan f(0,1) menyatakan peluang bahwa anak anjing
Kintamani yang warna bulunya kemerahan dan hitam
yang terpilih dapat dicari denagn cara :
28
6
28
)3)(2)(1(
)(
)()(()1,0(
8
2
3
)1
2
1
3
0 f
Jadi )(
))()((),(
8
2
3
2
23
yxyxyxf
Dengan jalan yang sama dapat dihitung peluang
untuk kasus yang lainnya.hasil perhitungannya disajikan
pada table dibawah ini.
Table sebaran peluang bersama x dan y serta
peluang marginalnya.
122
2. P[(x,y) ЄA] = P[(x + y)≤1]
= f (0,0) + f(0,1) + f(1,0)
= 3/29 + 6/28 + 9/28
= 18/28
Sebaran peluang bersama f(x,y) yang dihasilkan oleh
peubah acak diskret x dan Y sehingga diperoleh sebaran
peluang berdeminsi satu g (x) bagi peubah x dan h(x) bagi
peubah y,maka g(x) dan h (x) disebut sebaran marginal
bagi X dan Y
Misalnya kita mencari g(0) :
f(x/y) = f(x,y)
h(y)
f(x,y) = h(y),f(x/y)
jika f(x/y) =g(x)
maka f(x,y) = g(x),h(x)
Apabila X dan Y adalh peubah peubah acak diskret
atau kontinu yang sebaran peluangnya f(x.y) dan sebaran
marginalnya adalag g(x) dan h(x) maka X dan y dikatakan
bebas secara statistika jika dan hanya jika :
f(x,y) = g(x),h(x) untuk semua nilai-nilai x dan y
misalkan contoh soal diatas kita ambil f(0,20 g(0) dan h(2)
maka
f(0,2) ≠g(0),h(2)
123
3/28 ≠ (15/28)(3/28)
Jadi contoh diatas tidak bebas secara statsitika(tidak
indevenpen)
4.4 Rangkuman
Peubah acak adalah suatu fungsi bernilai real yang
harganya ditentukan oleh setiap anggota dalam ruang sampel.
Peubah acak diskret adalah peubah acak yang didefinisikan pada
ruang sampel yang mengandung titik sampel berhingga
banyaknya. Peubah acak kontinu adalah peubah acak yang
didefinisikan pada ruang sampel yang mengandung titik sampel
tak berhingga banyaknya dan sama banyaknya dengan titik pada
sepotong garis. Fungsi f yang dinyatakan dengan f(x) adalah
suatu fungsi peluang atau distribusi peluang suatu peubah acak
diskret X jika, untuk setiap hasil x yang mungkin:
(1) F (x) 0
(2) x
xf 1)(
(3) P(X =x ) = f (x)
LATIHAN
1. Peluang turun hujan per hari secara rutin diketahui p=0,7.
Berdasarkan pengamatan dilakukan dalam satu minggu,
hitunglah:
a. Berapa peluang tidak turun hujan dalam satu minggu?
124
b. Berapa peluang paling sedikit turun hujan satu hari dalam
satu minggu?
2. Curah hujan dikota Malang diketahui penyebarannya secara
normal dengan rata-rata tingkat curah hujan 30 mm dan ragam
27 mm2.
Hitunglah:
1. Curah hujan di kota Malang kurang dari 10 mm?
2. Curah hujan di kota Malang antara 10 mm sampai 20 mm?
3. Curah hujan di kota Malang di atas 30 mm?
4. Jika dikatakan Malang mempunyai peluang 10% curah hujan
tertinggi, berapa batas curah hujan tersebut!
DAFTAR PUSTAKA
1. Ronald E. Walpode, Ilmu Peluang dan Statistika Untuk Insinyur
dan Ilmuwan, Penerbit ITB, 1995
2. Jay L.Devore, Probability & Statistics for Engineering and the
Sciences, Wadsworth,Inc,1982
3. Bethea , Robert M. , Statistical Methods for Engineers and
Scientists, Marcel Dekker,Inc, 1985.
4. Ronald E. Walpole and raymond H. Myers, Probability and
Statistic for engineers and scientists ,ed.2, Macmillan publishing
Co,Inc,
5. Ronald E. Walpole, Pengantar Statistika, Edisi Terjemahan, PT.
Gramedia, Jakarta, 1992.
125
6. Anto Dayan, Pengantar Metode Statistik, Jilid 1&2, LP3S,
Jakarta, 1976
7. https://syahrialidroes.files.wordpress.com/2009/.../vi-distribusi-
peluang3....
126
127
BAB V
NILAI HARAPAN
(EKSPETASI)
128
BAB V
NILAI HARAPAN (EKSPETASI)
Tujuan Intruksional Umum
1. Mahasiswa mampu memahami Satu konsep yang penting
di dalam teori peluang dan statistika adalah ekspektasi
matematik atau nilai ekspektasi..
Tujuan Intruksional Khusus
1. Mahasiswa mampu memahami ukuran yang menyatakan
harapan dari hasil yang dapat diperoleh dari suatu
percobaan statistika dinyatakan secara matematis sebagai
ekspektasi matematika.
2. Mahasiswa mampu memahami aplikasi dan contoh
penerapan nilai harapan dalam aplikasi system
5.1. Gambaran Nilai Harapan
Dari 16 orang ibu rumah tangga yang ikut program
keluarga berencana (KB) catur Warga( cukup punya anak
dua)ternyata 4 keluarga mempunyai anak keduanya perempuan,
7 keluarga satu anak laki satu anak perempuan dan 5 keluarga
keduanya anak laki-laki. Coba perhatikan jika x menyatakan
anak laki-laki dari keluarga tersebut maka x bisabernilai 0,1 dan
2 bila kita ingin mencari nilai rata-rata anak laki-laki yang lahir
dari 16 orang ibuyang ikut program KB maka
x= 0(4/16) + 1(7/16)+2(5/16) = 17/16=1,06
129
hasil rata-rata ini mendekati 1 yaitu nilai yang mungkin terjadi
namun nilai rata-rata tersebut biasanya (secara teoritis) akan
mendekati 1,keluarga yang ikut KB yang dicatat semakin
banyak.Sesuatu yang mungkin ini adalah sesuatu yang
diharapkan terjadi,jadi nilai kemungkinan yang diharapkan
terjadi ini disebut Nilai harapan (Ekspetasi).
Nilai harapan ini biasanya diberi symbol atau ntasi
E(x),dapat dicari dari definisi peluangnya atau dalam uraian
diatas adalah dari kemungkinan anak laki-laki yang lahir dari
ibu-ibu yang ikut KB Catur Warga tersebut yaitu :
f(0) = P(X=0)=(2
0)/22 =1/4
f(1) =P(X=0) =(2
1)/22=2/4
f(2)=P(X=0) =(2
2)/22=1/4
jadi E[x] =0(1/4) +1(2/4)+2(1/4)=1
Hal ini berarti bila semua ibu rumah tangga yang KB
Catur waga dicatat (sample diperbanyak) maka rata-rata
banyaknya anak laki-laki yang dilahirkannya sama dengan
1(setengah anak-anak yang lahir dari ibu-ibu yang ikut program
KB Catur warga adalah laki-laki hal ini memang yang kita
harapkan, kenapa?
Bila x adalah suatu peubah acak yang memiliki sebaran
peluang(peluang teoriis) seperti table berikut :
130
Table 5.1. Sebaran peluang
Maka nilai harapan E[x] bagi x adalah:
bila diskret :
n
i
xixifxE1
)(][
bila kontinu ;
~
~
1)(. dxxfx
Bila x adalah peubah acak dengan sebaran peluang f(xi0,
untuk i=1,2,3,…..,n maka nilai harapn fungsi g(x) yang merupakan fungsi dari peubah X adalah :
n
i
xifxigxE1
)()(][
Contoh
Tentukan nilai harapan banyaknya perempuan dalam
panitia yang terdiri dari 3 orang dipih secara acak 4 orang
perempuan dan 3 orang laki-laki!
Jawab
Misalkan X menyatakan banyaknya wanita yang terpilih, maka
131
rumus peluang X adalah :
3
7
3
3
3
4
)(x
xf , x = 0,1,2,3
Sehingga, f(0)= ;35
182;
35
121;
35
1 ff dan
35
43 f
Jadi, E(X) = 0. 7
51
7
12
35
4.3
35
182
35
12.1
35
1
Ini artinya, bahwa, jika pemilihan tersebut diulang bekali-kali,
maka rata-rata wanita terpilih adalah 7
51 tiap pemilihan.
Contoh
Hitunglah nilai harapan peubah acak X yang mempunyai
fungsi pada:
f(X) =
lainnyaXuntuk
XuntukX
,0
10,2
Jawab
E(X) = 3
2
3
22,
1
0
1
0
1
0
3
xxdxxdxxxf
Contoh:
Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang
seperti table berikut ;
132
Hitunglah nilai harapan g(x) =(x-1)2
Jawab:
E[x-1] =
3
0x
(x-1)2f(x)
= (0-1)2f(x) + (1-1)
2f(1) + (2-1)
2f(2) + (3-1)
2f(3)
= (1)(1/3) + (0)(1/2) + (1)(0) =(4)(1/6)
=1
Bila X dan Y merupakan peubah acak dengan sebaran
peluang gabungan f(x,y) maka nilai harapan fungsi g(x,y)
adalah:
E[g(x,y)] =
n
i
n
j
yxyjxiyjfxig1 1
],[,(,(
Contoh:
Dua puluh sample daging sapi diperiksa pHnya sebagai
peubah acak X dan warnanya sebagai peubah acak Y kedua
peubah tersebur diberikan ekor 0,1 dan 2.Skor tersebut
menunjukkan dibawah normal,normal dan diatas normal,
hasilnya disajikan pada table berikut :
133
Maka
E[x,y] =
3
1
3
1
,(i j
yjxixiyjf
5.2. Kaedah-kaedah Nilai harapan
Dengan mengetahui kaedah-kaedah atau sifat-sifat dari
nilai harapan akan memungkinkan kita menghitung suatu nilai
harapan melalui nilai harapan melalui nilai harapan yang telah
diketahui atau pun dapat mempermudah perhitungan. Hal ini
berlaku untuk peubah acak diskret maupun konyinu.
Jika a dan b merupakan suatu konstanta atau tatapan maka:
E[aX + b] =aE[X] = b
Bila diambil a=0 maka E[b] =b
Bila diambil b=0 maka E[aX]=aE[X]
Jika X dan Ydua buah peubah acak yang saling bebas
maka
E[XY] =E[X].E[Y]
134
Contoh
Dua puluh ekor anjing Bali jantan diperiksa
tinjanya,untuk mengetahui apakah ada atau tidaknya cacing
(x=0,1).disamping itu juga diperiksa kadar Haemoglobin
darahnya untuk mengetahui apakah dibawah normal,normal ata
diatas normal(y=0,1,2) datanya seperti table berikut:
Tentukan distribinal dan peluang marginal dan bersama
serta tunjukkan apakan X dan Y bebas secara statistika
E[XY] = (0) (0)(λ/20)+(0)(1)(3/20) +……………+(2)(1)(1/20)
= 3/20
E[X] = (0)(12/20)+(1)(4/20)+(2)(4/20)
= 12/20
E[Y] = (0)(15/20)+(1)(15/20)
= 5/20
E[XY] = E[X].E[Y]
3/20 = (12/20)(5/20)
3/20 = 3/20
Jadi X dan Y saling bebas statistika
135
Contoh
Tentukan variansi X, jika X menyatakan banyaknya buah
mangga yang harus diambil oleh Dilla dari dalam tas yang berisi
4 mangga dan 3 jeruk, jika dia mengambil 3 buah sekaligus !
Jawab
Distribusi peluangnya adalah :
7
24
35
4.3
35
18.2
35
12.1
35
1.0)(][
7
12
35
4.3
35
18.2
35
12.1
35
1.0)(][
22
x
x
xfxXE
xxfXE
Jadi 49
24
7
12
7
242
2
Contoh
Diketahui fungsi padat peluang peubah acak X dinyatakan
sebagai :
laiinyaxuntuk
xxxf
0
21)1(2)(
hitunglah Rataan dan Variansi
136
Jawab
3
5
6
52
2
3
3
72
)14(2
1108(
3
12
2
1
3
12)(2)1(2][
2
1
2322
1
2
1
xxdxxxdxXXXE
.6
17)1(2 22 dxxxXE
Sehingga diperoleh rataan 3
5)( XE dan varians
18
1
3
5
6
172
2
5.3. Nilai Harapan Khusus
Bila g(x) =xk menghasilkan nilai harapan yang momen
ke –k disekitar titik asal peubah acak X yang dinotasikan denagn 3k. jadi bila X diskret maka:
3k =E[x
k] =
n
i
xixif1
)(
bila k=0 maka diperoleh 30 = 1
hasil ini merupakan total peluang didalam ruang sample
bila k=1 maka diperoleh 31 = E[X]
Hasil ini merupakan nilai tengah populasi biasanya ditulis
x atau jadi = x = E[X]
137
Bila k=2 maka diperoleh 32=E[X
2} dan seterusnya.
Bila g(x) =(x- )k memberikan nilai harapan yang disebut
momen ke k disekitar rata-rata peubah acak X,yang dinyatakan
dengan k jadi k = E [x- )k]
Bila k =2 maka 2 mempunyai makna khusus karena
memberikan gambaran penyebaran pengukuran disekitar rata-
rata.jadi 2 disebut gaman/variasi peubah acak X dan dinyatakan
denagn α2x atau α2
Jadi α2 = 2 = E [(x- )2]
= E[(x2-2 x + 2
)]
=`E[x2] –E[2 x] +E[ 2
]
= E[x2] –2 E[x] + 2
= E [x2] -2 . + 2
= E[x2] - 2 2
+ 2
= E[x2] -
2
Jadi keragaman peubah acak X α2 = E [x
2] – 2
Jika pengamatan/observasi kita ukur dengan ukuran
tertentu misalkan meter maka = E[X] mempunyai satuan meter pula,sedangkan α2
=E[(x- )2] mempunyai satuan
pengukuran meter kuadarat (m2). Untuk menyeragamkan satuan
ukurannya,mengakarkan ragamnya (√α2) hasilnya disebut
standar deviasi atau simpangan baku dan dinyatakan dengan α atau disingkat SD.
138
Contoh
Berdasarkan teori peluang lahirnya anak jantan sama
denagn betina dari seekor induk sapi Bali. Jika seorang peternak
mempunyai 5 ekor sapi Bali betina bunting maka: hitunglah
rata-rata anak sapi bali jantan yang mungkin lahir dan
simpangan bakunya.
Jawab
Kemungkinan anak sapi bali jantan (x) yang lahir yaitu
x=0,1,2,3,4 dan 5
Peluang lahir anak sapi Bali jantan f(x) =P(X=x) = 52
)x5
(
f(0) =P(X=0) = 321)0
5(
52
f(1) =P(X=1) = 3251)
5(
52
f(2) =P(X=2) = 3210)2
5(
52
f(3) =P(X=3) = 321)0
5(
52
f(4) =P(X=4) = 325)4
5(
52
f(5) =P(X=5) = 321)5
5(
52
139
Jadi :
E[X] =0(1/32) + 1(5/32) +2(10/32)+3(10/3)+4(5/32)+5(1/32)
= 80/32=2,5 jadi =2,5
E[X2] = 0
2(1/32) + 1
2(5/32)+2
2(10/32) + 3
2(10/3) + 4
2(5/32) +
52(1/32)
= 240/32 =7,5
α2=E(X
2)-
2=7,5-(2,5)
2 =1,25
jadi SD= √1,25 =1.11
Bila g(x,y) =(x- x)(y- y) dengan x=E[X] dan y =E[Y] maka akan menghasilkan suatu nilai harapan khusus yang
disebut kovariasi atau keragaman X dan Y yang diberikan notasi
αxy atau kov (xy) jadi
αxy=E[(x- x)(y- y)]
= E[(xy- yx- xy+ x y)]
=E[xy]- yE[x]- xE[y]+ x y
=E[xy]-2 yx+ x y
=E[(xy)- xy
Jadi αxy = kov (xy) =E[XY]- x y
Harga kovariasi tergantung pada satuan pengukuran X dan
Y biasanya kita menginginkan suatu ukuran yang menyatakan
hubunga dua peubah yang tidak tergaantung dari pada satuan
ukurannya. Hal ini dapat diperoleh denagn membagi
kovariasinya denagn standar deviasi peubah X dan Y
140
Ukuran hubungan yang diperoleh dinamakan koefisien
korelasi antara peubah X dan Y yang diberikan notasi kor
(X<Y) atau r
Jadi : Kor (X,Y) = r = Kov (XY)
αx αy
5.4. Sifat-sifat Koefisien korelasi (r)
Kor (X,Y) adalah bilangan yang harganya antar -1 dan 1 (-
1≤r≤1). Harga -1 dan 1 dicapai bila hubungan peubah X dan Y
sangat erat yaitu sebagai suatu garis lurus dengan koefisien arah
negative dan positif
Kor (X,Y) tidak berubah apabila peubanya ditambah ata
dikalikan bilangan konstan yang tandanya sama. Misalnya Z=
5x + 2 dan v=2y+3 maka Kor(Z,V) =Kor(X,Y). Analisis
korelasi banyak jenisnya, ada sembilan jenis korelasi yaitu :
Korelasi pearson Product Moment (r) ; Korelasi Ration (y);
Korelasi Spearman Rank atau Rhi ( rs atau p); Korelasi Berserial
(rb); Korelasi Korelasi Poin Berserial (rpb); Korelasi Phi (0);
Korelasi Tetrachoric (rt); Korelasi Kontigency (C); Korelasi
Kendall’s Tau (8), Bagaimana cara menggunakannya ? tergantung pada jenis data yang dihubungkan.
Berdasarkan sembilan teknik analisis korelasi tersebut,
maka dipilih dan dibahas ialah Korelasi Pearson Product
Moment (r) karena sangat populer dan sering dipakai oleh
mahasiswa dan peneliti. Korelasi ini dikemukakan oleh Karl
Pearson tahun 1900. Kegunaannya untuk mengetahui derajat
hubungan dan kontribusi variabel bebas (independen) dengan
variabel terikat (dependent).
141
})(}{)({
))((
2222YYnXXn
YXXYnrxy
Korelasi dilambangkan (r) dengan ketentuan nilai r tidak
lebih dari harga (-1< r < + 1). Apabilah nilai r = -1 artinya
korelasinya negatif sempurna; r = 0 artinya tidak ada korelasi
dan r = 1 berarti korelasinya sangat kuat. Sedangkan arti harga r
akan dikonsultasikan dengan tabel interpretasi nilai r sebagai
berikut.
Interpretasi Koefisien Korelasi Nilai r
Interval Koefisien Tingkat Hubungan
0,80 – 1,000
0,60 – 0,799
0,40 – 0.599
0,20 – 0,399
0,00 – 0,199
Sangat Kuat
Kuat
Cukup Kuat
Rendah
Sangat Rendah
Selanjutnya untuk menyatakan besar kecilnya sumbangan
variabel X terhadap Y dapat ditentukan dengan rumus koefisien
diterminan sebagai berikut.
KP = r2 x 100%
Dimana KP = Nilai Koefisien Diterminan
r = Nilai Koefisien Korelasi
142
Pengujian lanjutan yaitu uji signifikansi yang berfungsi
apabila peneliti ingin mencari makna hubungan variabel X
terhadap Y, maka hasil korelasi tersebut diuji dengan uji
Signifikansi dengan rumus :
2r1
2nr
hitungt
Dimana: thitung = Nilai t
r = Nilai Koefisien korelasi
n = Jumlah Sampel
Contoh
Hitung hubungan antara motivasi dengan Kinerja Dosen
STAI Daruttaqwa Gresik
Motivasi (X) : 60; 70; 75; 65; 70; 60; 80; 75; 85; 90; 70; dan 85
Kinerja (Y) : 450; 475; 450; 470; 475; 455; 475; 470; 485; 480;
475;dan 480.
Pertanyaan ;
a. Berapakah besar hubungan motivasi dengan kinerja
dosen?
b. Berapakah besar sumbangan (kontribusi) motivasi dengan
kinerja dosen?
c. Buktikan apakah ada hubungan yang signifikan motivasi
dengan kinerja dosen?
143
Jawab
Langkah-langkah menjawab:
Langkah 1.
Membuat Ha dan Ho dalam bentuk kalimat :
Ha : ada hubungan yang signifikan motivasi dengan
kinerja dosen.
Ho : Tidak ada hubungan yang signifikan motivasi dengan
kinerja dosen.
Langkah 2.
Membuat Ha dan Ho dalam bentuk statistik;
Ha μ r ≠ 0
Ho : r = 0
Langkah 3.
Membuat tabel penolong untuk menghitung Korelasi PPM:
No X Y X2 Y
2 XY
1.
2.
3.
4.
60
70
75
65
450
475
450
470
3600
4900
5625
4225
202500
225625
202500
220900
27000
33250
33750
30550
144
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
70
60
80
75
85
90
70
85
475
455
475
470
485
480
475
480
4900
3600
6400
5625
7225
8100
4900
7225
225625
207025
225625
220900
235225
230400
225625
230400
33250
27300
38000
35250
41225
43200
33250
40800
Statistik X Y X2 Y
2 XY
Jumlah 885 5640 66325 2652350 416825
Langkah 4.
Mencari rhitung dengan cara masukkan angka statistik dari
tabel penolong dengan rumus ;
})(}{)({
))((
2222YYnXXn
YXXYnrxy
})640.5()350.652.2.(12}.{)885()325.66.(12{
)460.5).(885()825.416(12
22
xyr
145
465,002,327.365
00.169
000.835.463.133
900.169xyr
Langkah 5.
Mencari besarnya sumbangan (konstribusi) variabel X
terhadap Y dengan rumus :
KP = r2 x 100% = 0,465
2 x 100% = 21,62 %.
Artinya motivasi memberikan konstribusi terhadap kinerja
dosen sebesar 21,62% dan sisanya 78,38% ditentukan oleh
variabel lain.
Langkah 6.
Menguji signifikan dengan rumus thitung :
329,388,0
15,2
684,01
212465,0
2r1
2nr
hitungt
2
Kaidah pengujian :
Jika thitung ≥ ttabel, maka tolak Ho artinya signifikan dan
thitung ≤ ttabel, terima Ho artinya tidak signifikan.
Berdasarkan perhitungan di atas , α = 0,05 dan n = 12, uji dua pihak;
dk = n - 2 = 12 – 2 = 10 sehingga diperoleh ttabel = 2,228
Ternyata thitung lebih besar dari ttabel, atau 3,329 > 2,228, maka
Ho ditolak, artinya ada hubungan yang signifikan motivasi
dengan kinerja dosen.
146
Langkah 7.
Membuat kesimpulan
1. Berapakah besar hubungan motivasi dengan kinerja
dosen? rxy sebesar 0,465 kategori cukup kuat.
2. Berapakah besar sumbangan (konstribusi) motivasi
dengan kinerja dosen?
KP = r2 x 100% = 0,465
2 x 100% = 21,62%. Artinya
motifasi memberikan konstribusi terhadap kinerja dosen
sebesar 21,62% dan sisanya 78,38% ditentukan oleh
variable lain.
3. Buktikan apakah ada hubungan yang signifikan motivasi
dengan kinerja dosen? terbukti bahwa ada hubungan yang
signifikan motivasi dengan kinerja dosen.
Ternyata thitung lebih besar dari ttabel, atau 3,329 >
2,228, maka Ho ditolak, artinya ada hubungan yang
signifikan motivasi dengan kinerja dosen.
5.5. Sifat-Sifat Ragam/Variasi
Bila dimisalkan g(x) sebagai fungsi peubah acak X maka
rata-rata dan variasi g(x) akan dinyatakan denagn g(x) dan α2g(x)
Teorema : misalkan X peubah acak denagn sebaran peluang
f(x) maka variasi g(x) adalah :
Var [g(x)] = E[{g(x) – g(x)}2]
(sesuai dengan teorema ragam)
147
Teorema ; Bila X suatu peubah acak dan b suatu konstanta atau
tetapan maka : α2 (x+b) = α2
x =α2
Bukti:
α2 (x+b) = E[{x+b) – (x+b) }
2]
Oleh karena (x+b) = E[X+b] =E[X] + b = + b
Sehingga μ α2 (x+b) = E[(X + b – -b)
2]
= E[(X – )2]
= α2
Rumus/teorema ini menyatakan bahwa ragam /variasi
tidak berubah bila suatu konstanta/tetapan ditambahkan ke
ataupun dikurangkan dari suatu peubah acak. Penambahan atau
pengurangan suatu konstanta hanyalah mengeser harga x ke kanan ata kekiri dan tidak akan mengubah ragamnya.
Teorema : Bila X suatu peubah acak digandakan denagn a dan a
adalah suatu konstanta maka :
α2ax =a
2α2x =a
2α2
(coba buktikan pembaca membuktikan )
Teorema ini menyatakan bila suatu peubah acak dikalikan
atau dibagi denagn suatu konstanta maka variasinya dikalikan
atau dibagi denagn kuadrat konstanta tersebut
Teorema : Bila X dan Y peubah acak denagn sebaran peluang
gabungan f(x,y) maka
α2a +by =a
2 α2x +b
2α2y +2abα2xy
148
Contoh
Tentukan variansi X, jika X menyatakan banyaknya buah
mangga yang harus diambil oleh Dilla dari dalam tas yang berisi
4 mangga dan 3 jeruk, jika dia mengambil 3 buah sekaligus !
Jawab
Distribusi peluangnya adalah :
7
24
35
4.3
35
18.2
35
12.1
35
1.0)(][
7
12
35
4.3
35
18.2
35
12.1
35
1.0)(][
22
x
x
xfxXE
xxfXE
Jadi 49
24
7
12
7
242
2
Contoh
Diketahui fungsi padat peluang peubah acak X dinyatakan
sebagai :
laiinyaxuntuk
xxxf
0
21)1(2)(
hitunglah Rataan dan Variansi
149
Jawab
3
5
6
52
2
3
3
72
)14(2
1108(
3
12
2
1
3
12)(2)1(2][
2
1
2322
1
2
1
xxdxxxdxXXXE
.6
17)1(2 22 dxxxXE
Sehingga diperoleh rataan 3
5)( XE dan varians
18
1
3
5
6
172
2
5.6. Teorema chebyshev
Dalam suatu peubah acak memberikan gambaran
mengenai penyebaran pengamatan disekitar nilai tengahnya.
Bila variasi ataupun aimpangan baku suatu peubah acak kecil
nilainya maka umumnya pengamatan mengelompokkan dekat
disekitar nilai tengahnya,sebaliknya jika variasi ataupun
simpangan bakunya semakin besar nilainya maka umumnya
pengamatan lebih menyebar /jauh dari nilai tengahnya. Keadaan
ini berlaku pada sebaran diskret maupun kontinu.
Perbandingan tersebut dapat digambarkan dengan kurva
berikut ;
150
Gambar penyebaran pengamatan peubah acak kontinu
disekitar nilai tengah disini αx<αy
Chebyshev,seorang matematikawan berkebangsan rusia
menemukan bahwa bagian paling luas dua nilai tengahnya
berkaitan denagn simpangan bakunya. Karena luas dibawah
sebaran peluang peubah acak sama denagn 1 maka luas antara
bilangan sembarang menyatakan peluang peubah acak yang
bersangkutan mendapat nilai antara kedua bilangan tersebut .
Teorema Chebyshev menyatakan bahwa peluang setiap
peubah acak X mendapat nilai k simpangan baku dari nilai rata-
rata adalah paling sedikit (1-1/k2) yaitu :
P( – kα <X< +kα≥1-1/k2
Teorema tersebut memberikan taksiran yang berhati-hati
(konservatif) tentang peluang suatu peubah acak mendapat nilai
dalam jarak kesimpangan baku dari harga rata-rata.
Misalkan untuk k=2 teorema menyatakan bahwa peubah
acak X mempunyai peluang paling sedikit 1-1/22 =3/4 mendapat
nilai dalam jarak dua simpangan baku dari nilai rata-rata. Yaitu
¾ atau lebih pengamatan setiap sebaran terletak dalam selang ± 2α
151
Contoh
Suatu peubah X mempunyai rata-rata =8 dan ragam α2=9
sedangkan sebaran tidak diketahui
Hitunglah P(-4 < X <20) dan P (│x-8│>6)
Jawab
P(-4<X<20) = P(8-(4)(3)<X<8 + (4)(3)
Dalam hal ini digunakan k=4 maka
P(-4<X<20) ≥ 1-1/42
P(-4<X<20) ≥ 15/16
P(│x -8│) >6 = 1-P(│x - 8│<6)
P(│x -8│) >6 = 1-P( -6<x -8<6)
P(│x -8│) >6 = 1-P( 8-6<x<8 +6)
P(│x -8│) >6 = 1-P( 8-(2)(3)<x<8 + (2)(3)
Dalam hal ini diperoleh/digunakan k=2 maka :
P(│x -8│) ≤1-(1-1/22)
P(│x -8│) ≤1-1-1/4
P(│x -8│) ≤1/4
Teorema Chebyshev berlaku untuk setiap sebaran
pengamatan oleh karena itu hasilnya biasanya lemah. Hasil yang
diberikan teori tersebut hanyalah batas bawah. Yaitu kita tahu
bahwa peluang suatu peubah acak mendapat nilai dalam jarak
dua simpangan baku dari harga rata-rata tidak mungkin kurang
152
dari ¾. Tetapi kita tidak tahu lebih dari itu (nilai sesunguhnya)
hanya bila sebaran peluangnya diketahui baru peluangnya yang
tetap dapat ditentukan.
5.7. Rangkuman
Pada nilai harapan maka dalam suatu percobaan tentu ada
hasil yang diharapkan. Untuk mendapatkan hasil yang baik dan
kesimpulan hasil yang akurat, maka percobaan statistika
tersebut dilakukan berulang kali. Hal tersebut dimaksudkan
untuk memperoleh suatu hasil yang benar-benar
mendekati,sehingga kesimpulan yang dihasilkan valid. Ukuran
yang menyatakan harapan dari hasil yang dapat diperoleh dari
suatu percobaan statistika dinyatakan secara matematis sebagai
ekspektasi matematika.
Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang
f(x). Nilai harapan X atau harapan matematika X didefinisikan
sebagai
kontinuXJikadxxfx
diskretXJikaxxfXE
)(.
)()(
Jika X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang
gabungan f(x,y), maka nilai harapan matematik fungsi g(X,Y)
ditentukan oleh
,
,.
kontinuxJikadxxfxg
diskretxJikaxfxg
xgEx
153
LATIHAN
1. Seratus ekor anjing yang sedang beranak dicatat periode
kelahiranya sebagai peubah acak X dan jumlah anaknya sebagai
peubah acak Y datanya seperti tabel berikut :
Hitunglah:
a. rata-rata anak anjing yang lahir dari seekor induknya.
b. Ragam peubah acak X dan Y
c. Korelasi (X,Y)
2. Beradasarkan hasil penelitian didapatkan bahwa perkawinan
antara ayam buras jantan berbulu putih denagn ayam buras
betina berbulu hitam anak ayam yang menetas terdiri atas
15%putih, 20 % hitam dan 65% bulu campuran (warna lain)
Sedangkan jenis kelaminnya 60%jantan. Jika warna bulu
dianggap e=sebagai peubah X dan jenis kelamin sebagai peubah
Y hitunglah
154
a. E[X] dan E[Y]
b. Keragaman peubah acak X dan Y
c. Kovariasi (XY)
d. α2x+y
e. α22x-2y
3. Suatu peubah acak X mempunyai 12 dan ragam 4 denagn
menggunakan teorema Chebushev hitunglah :
a. P (│x-12│≥3) b│x-12│<3)
c. P(6<x<16) d. harga c sehingga P(│x-12>c│)≤0,04
DAFTAR PUSTAKA
1. Matematika Teknik 2nd
Edition. JA.Kastroude, Prentice Hall
1996.
2. K.H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications,
McGraw-Hill, New York, 5th
Edition, 2003.
3. K.A. Ross, C.R.B. Wright, Discrete Mathematics, Prentice-Hall,
New Jersey, 4th
Edition, 2003.
4. V. Bryant, Aspect of Combinatorics: A wide-ranging
introduction, Cambridge Univ. Press, Great Britain, 1995
5. Djarwanto, dkk. 1996. Statistik Induktif. BPFE :Yogyakarta
6. Harinaldi. 2005. Prinsip-prinsip Statistik untuk Teknik dan
Sains. Erlangga : Jakarta.
155
7. ftp.gunadarma.ac.id/handouts/S1.../Probabilita%20dan%20Statis
tika.doc
8. Drs. Ach. Nur Syamsudin, M.Pd. bahan ajar, 2011
https://achmadnursamsudin.files.wordpress.com/.../korelasi
pearson-prod...
9. xa.yimg.com/kq/groups/23082406/348656916/name/binom-
nenny.doc
156
157
BAB VI
SEBARAN PELUANG DISKRET
158
BAB VI
SEBARAN PELUANG DISKRET
Tujuan Intruksional Umum
1. Mahasiswa mampu menjelaskan dan menanalisa hasil
penentuan eksperimen acak meliputi prosedur, observasi
dan model
2. Mahasiswa mampu mengidentifikasi ruang sampel dan
event dari eksperimen acak
Tujuan Intruksional Khusus
1. Mahasiswa mampu memahami konsep dasar tentang
eksperimen acak dan penentuan ruang sampel serta event
dari suatu eksperimen tersebut.
2. Mahasiswa mampu dan paham definisi tentang eksperimen
acak, ruang sampel dan event tersebut dilengkapi dengan
beberapa contoh yang berguna untuk memberikan
penjelasan secara utuh tentang konsep- konsep tersebut.
6.1. Sebaran Seragam
Pada sebaran peubah acak akan dihasilkan dari percobaan
statistika mempunyai sifat-sifat yang sama dan pada dasarnya
dapat dinyatakan dalam sebaran peluang yang sama. Dalam bab
ini akan dibahas beberapa sebaran peluang diskret yang sering
muncul dalam percobaan statistika. Sebaran peluang diskret
yang paling sederhana ialah sebaran yang peubah acaknya
159
memperoleh semua harga denagn peluang yang sama sebaran
peluang semacam ini disebut sebaran seragam atau uniform.
Bial peubah acak X mendapat harga x1,x2,…..xk dengan peluang yang sama maka sebaran seragam disket diberikan oleh
f(X;k) =1/k, X=x1,x2,…..xk
Notasi f(X:k) dipakai sebagai penggati f(x) untuk
menunjukkan bahwa sebaran seragam tersebut bergantung atas
parameter k. Rata-rata dan variasi sebaran seragam disket f(x;k)
adalah :
=1/k
k
i
Xi1
dan α 2 = 1/k
k
i 1
(xi – )2
Contoh :
Bila sebuah dasu dilantunkan maka tiap ekemen ruang
sample S =(1,2,3,4,5,6) muncul dengan peluang yang sama yaitu
1/6
Jadi merupakan sebaran seragam f( x:6) =1/6 disini x=
1,2,3,2,3,4,5,6
Demikian juga misalkan kita memilih 5 ekor anak ayam
betina secara acak dari seekor induk yang mempunyai 6 ekor
anak betina.
Banyaknya kombinasi yang mungkin = (6
5) = 6 kombinasi
karena satiap anak ayam mempunyai peluang yang sama untuk
terpilih berarti sebaran sampelnya mengikuti sebaran saragam
f(X;6=1/6 untuk X=1,2,3,4,5,6
160
Kedua contoh diatas mempunyai gambar histogram
sebagai berikut :
Gambar 6.1 histogram dari sebaran seragam f(x:6) =1/6
6.2. Sebaran Binomial dan Multinomil
Suatu percobaan sering terdiri atas beberapa uaha/trial,bial
setiap usaha memberikan hasil salah satu dari dua kemungkinan
yang dinamakan sukses atau gagal, maka percobaan demikian
disebut percobaan binomial. Dalam percobaan binomial
pendifinisian atau menentukan kejadian sukses harus jelas dn
kita dapat menentukan atau memilih salah satu hasil sebagai
sukses.
Misalkan pada pelantunan 3 mata uang yang seimbang
maka muncul salah satu muka kita sebut kejadian sukses,
demikian pula kekahiran anak sapi perah, bila lahir anak betina
bisa disebut suatu kejadian sukses.
Syarat-syarat suatu percobaan binomial adalah sebagai
berikut :
161
1. percobaan terdiri atas n usaha yang berulang
2. tiap usaha memberikan hasil yang dapat ditentukan
dengan sukses atau gagal.
3. peluang sukses dinyatakan denagn p tidak berubah dari
usaha yang satu ke usaha berikutnya.
4. tiap usaha bebas denagn usaha lainnya.
Pandanglah suatu percobaan binomial pemeriksaan tiga
sample tinja ayam mengenai ada tidaknya cacing. Bila
diketemukan cacing pada ayam tinja tersebut dianggap sukses
dan berdasarkan teori atau hasil penelitian, peluang
ditemukannya cacing tersebut p=0,75=3/4
Banyaknya sukses merupakan suatu peubah acak yang
harganya adalah bilangan bulat dari 0 sampai 3
Kedelapan hasil yang mungkin harga x dan peluangnya
disajikan dalam tabel berikut:
Catatan T (tidak diketemukan cacing atau gagal)
C(ditemukan cacing atau sukses)
162
Sebaran peluang diatas dapat disajikan lebih ringkas
seperti tabel dibawah ini :
Sebaran acak binomial yang menggambarkan banyaknya
sukses x dan N usaha diberikan notasi b(X;n,p), karena nilai
sebaran ini tergantung dari banyaknya usaha (n) dan peluang
sukses dalam suatu usaha (p)
Jadi untuk contoh diatas sebaran peluang X bila X
menyatakan kemungkinan ditemukannya 2 sampel berisi cacing
dari tiga sample tinja ayam adalah P(X=2) =f(x)
=b(2;3,3/4)=27/64
Jika percobaan bernoulli sebanyak N kali secara
independen, x = menghasilkan peristiwa A dan sisanya (N – x) =
A . Jadi 1 – P = P( A ), maka peluang terjadinya peristiwa A
sebanyak X = R kali di antara N, dihitung oleh:
xNxN
x QPCRP)(
Dimana:
P(R)=peluang terjadinya sebesar R untuk N kejadian .
N = jumlah kejadian.
R = jumlah kejadian yang diharapkan =0,1,2,…,n
P = peluang terjadinya kejadian (parameter distribusi)
Q = peluang kegagalan (tidak terjadi) = 1-P
163
)!(!
!
xNx
NC
N
x , jumlah kombinasi N dan x pada 1 (satu)
satuan waktu dengan N!=1.2.3.4…(N-1).N dan 0!=1.
Parameter distribusi binomial antara lain adalah:
(1) rata-rata hitung (mean) NP
(2) Variansi NPQ2
(3) Deviasi standar NPQ
(4) Kemencengan NPQ
PQCS
3
3
(5) Koefisien Kurtosis 361
NPQ
PQCK
Untuk N tak hingga, maka distribusi binomial cendrung
menjadi fungsi normal.
Contoh :
(1) Peluang untuk mendapatkan 6 muka G ketika melakukan
undian dengan sebuah mata uang homogin sebanyak 10
kali adalah :
P (R = 6) = 10
6C ( ½ )6 ( ½ )
4 = (210) ( ½ )
10 = 0,2050
Dengan R = jumlah muka G yang nampak
164
(2) Undian dengan menggunakan 10 buah dadu homogin
sekaligus. Berapa peluang nampaknya mata 6 sebanyak 8
buah, yaitu:
P (mata 6) = 1/6 dan disini N = 10, R = 8 dimana R
berarti muka bermata 6 nampak disebelah atas, maka :
P (R=8) = 10
8C (1/6)8 (5/6)
2 = 0,000015
Berarti undian dengan 10 dadu akan diperoleh mata 6
sebanyak 8 kali, terjadi kira-kira 15 dari tiap sejuta.
(3) 10 % dari semacam benda tergolong ke dalam kategori A.
Sebuah sampel berukuran 30 telah diambil secara acak.
Berapa peluang sampel itu akan berisikan benda kategori
A :
a. semuanya,
b. sebuah,
c. dua buah,
d. paling sedikit sebuah,
e. paling banyak dua buah
f. tentukan rata-rata terdapatnya kategori A.
Jawab:
a. Artikan R = banyak benda kategori A. Peluang benda
termasuk kategori A = 0,10. Semuanya tergolong kategori
A R = 30
165
b. P (R = 30) = )!3030(!30
!30
(0,10)
30 (0,90)
0 = 10
-30
Sebuah harga yang sangat kecil yang praktis sama dengan
nol.
c. Sebuah termasuk kategori A berarti X = 1
P (R = 1) = )!130(!1
!30
(0,10)
1 (0,90)
29 = 0,1409
Peluang sampel itu berisi sebuah benda kategori A =
0,1409
d. Disini X = 2, sehingga :
P (R = 2) = )!230(!2
!30
(0,10)
2 (0,90)
28 = 0,2270
e. Paling sedikit sebuah benda tergolong kategori A, berarti
X = 1, 2, 3, .., 30. Jadi perlu P(R = 1) + P(R = 2) + … + P(R = 30). Tetapi P(R = 0) + P(R = 1) + … + P(R = 30) = 1, sehingga yang dicari = 1 – P(R = 0).
P(R= 0) = )!030(!0
!30
(0,10)
0 (0,90)
30 = 0,0423.
Jadi, peluang dalam sampel itu terdapat paling sedikit
sebuah benda kategori A = 1 – 0,0423 = 0,9577
f. Terdapat paling banyak 2 buah kategori A, berarti R= 0, 1,
2. Perlu dicari P(R = 0) + P(R = 1) + P(R = 2) = 0,0423 +
0,1409 + 0,2270 = 0,4102.
166
g. = 30 (0,1) = 3 artinya, rata-rata diharapkan akan terdapat
3 benda termasuk kategori A dalam setiap kelompok yang
terdiri atas 30
Distribusi multinomial ialah perluasan dari distribusi
binomial. Misalkan sebuah eksperimen menghasilkan peristiwa-
peristiwa E1, E2, …, Ek dengan peluang 1 = P(E1), 2 = P(E2),
…, k = P(Ek). Terhadap eksperimen ini kita lakukan percobaan
sebanyak N kali. Maka peluang akan terdapat x1 peristiwa E1, x2
peristiwa E2, …, xk peristiwa Ek diantara N, ditentukan oleh
distribusi multinomial berikut :
P(x1, x2, …, xk) = kxxx
N x
k
xx
k
...!!...!
! 2
2
1
1
21
x1 + x2 + … + xk = N dan 1 + 2 + …+ k = 1,
0 < I < 1, i = 1, 2, …, k.
Eskpektasi terjadinya tiap peristiwa E1, E2, …, Ek berturut-turut
adalah N1, N2, …, Nk
Variansnya N1 (1 - 1), N2 (1 - 2), …, Nk (1 - k).
Contoh :
1) Dalam undian dengan sebuah dadu sebanyak 12 kali,
maka peluang terdapat mata 1, mata 2, … mata 6 masing-
masing tepat dua kali adalah
2222226/16/16/16/16/16/1
!2!2!2!2!2!2
!12= 0,0034
167
2) Sebuah kotak berisi 3 barang yang dihasilkan oleh mesin
A, 4 oleh mesin B dan 5 oleh mesin C. kecuali
dikategorikan berdasarkan mesin, identitas lainnya
mengenai barang tersebut sama. Sebuah barang diambil
secara acak dari kotak itu, identitas mesinnya dilihat, lalu
disimpan kembali kedalam kotak. Tentukan peluang
diantara 6 barang yang diambil dengan jalan demikian
terdapat 1 dari mesin A, 2 dari mesin B dan 3 dari mesin
C.
Jawab :
Jelas bahwa P (dari mesin A) = 12
3, P (dari mesin B) =
12
4
dan P (dari mesin C) = 5/12. Dengan rumus di atas
didapat:
P (1 dari mesin A dan 2 dari mesin B dan 3 dari mesin C)
=
321
12
5
12
4
12
3
!3!2!1
!6
= 0,1206
6.3 Sebaran Hipergeometrik
Untuk mempelajari sebaran hipergeometrik kita
perhatikan contoh berikut. Dalam sebuah kandang berisi 50 ekor
anak itik 10 ekor diantranya jantan dan sisianya betina seorang
peternak mambenli 3 ekor anak itik diambil secara acak dari
kandang itu (jadi pengambilan tanpa pengembalian ) dan
kemudian diadakan sexing terhadap anak itik yang telah
diambil/dibeli. Apakah anak itik yang telah diambil jantan atau
betina yang terambil jiak jantan yang diambil pembeli
168
mengangap sukses dan kita berikan lambang x maka nilia
numeric x = 0,1,2,atau 3
Secara lebih umum dapat kita pandang persoalan diatas
sebagai berikut. Misalkan dalam kandang tersebut a ekor anak
itik jantan, dan b ekor anak itik betina,sehingga seluruh itik yang
ada N =a + b ekor jadi b = N-a kita ambil tanpa pengembalian n
ekor (1≤n≤N) sedemikian hingga (Nn) himpuna bagian
mempunyai peluang yang sama yaitu (1
N) akan terambil jadi ada
N benda yang terdiri dari a benda yang akan diberi nama sukses
sedangkan sisanya N-a diberi nama gagal.Umumnya yang akan
dicari adalah peluang memilih x sukses dari sebanyak a yang
tersedia dan n-x gagal dari sebanyak N-a yang tersedia. Bila
sample ukurannya n diambil N benda. Ini dikenal percobaan
hipergeometrik denagn sifat-sifat sebagai berikut :
1. sample acak ukuran n diambil dari N benda
2. sebanyak a benda dapat nama sukses sedangkan sisanya
N-a diberi nama gagal.
Banyaknya X dalam percobaan hipergeometrik disebut
peubah acak hipergeometrik dan diberi notasi h(x;N,n,a) disini :
h(x;N,n,a) = )xnaN)(x
a(
/ )nN(
Jadi kemungkinan anak itik jantan yang terambil dapat
diselesaikan denagn rumus sebaran hiepergeometrik: .
h(0;50,3,10) = )0-3
01-50)(0
10( / )350
( = 0.504
h(1;50,3,10) = )1-3
01-50)(110( / )3
50( = 0.398
169
h(2;50,3,10) = )2-301-50)(
210( / )3
50( = 0.092
h(3;50,3,10) = )3-301-50)(
310( / )3
50( = 0.006
Dalam bentuk tabel dapat disajikan sebagai berikut :
Dari contoh diatas kita dapat mencari nilai tengah ( ) dan ragamnya (α2
) sebagai berikut :
= 0(0,504) +1(0,393) +2(0,092)+3(0,006)
= 0,6
α2 = {(0
2(0,504)+1
2(0,393) +3
2(0,006)}-0,6
2
= 0,46
Dapat dicari rumus untuk menghitung nilai tengah ( ) dan ragamnya (α2
) sebagai berikut :
= nNa dan α2
= nNa (1-
Na ) [(N-n)/(N-1)]
Jadi μ = (3)(10/50)=0,6
α2 = (3)(10/50)(1-10/50)[(50-3)/(50-1)]
= (0,6)(0.8)(959) =0,46
Rumus nilai tengahdan ragam identik denagn rumus-
rumus untuk sebaran binomial bila n kecil dibandingkan N maka
peluang penarikan/pengambilan hanya berubah cukup kecil .jadi
170
pada dasarnya percobaan adalah binomial sehingga sebaran
hipergeometrik dapat dihampiri denagn sebaran binomial
denagn p=a/N
Jadi nilai tengah dan ragamnya dapat pula dihampiri
denagn rumus sebagai berikut
= np = n a/N dan α2=npq= n a/N(1-k/n)
jadi terlihat rumus nilai tengah sama sedangkan rumus ragam
ada perbedan denagn factor koreksi [N-n)/(N-1)] basarnya factor
koreksi dapat diabaikan jika n cukup kecil bila dibandingkan
denqagn N atau jika N cukup besar dibandingkan n.
Contoh
Dalam program vaksinasi ayam buras disuatu propinsi
dikirim 1000 ampul vaksin diantaranya terdapay 200 ampul
yang rusak bila pada suatu desa mendapat jatah 5 ampul berapa
peluangnya terdapat satu ampul yang rusak
Jawab
Karena n =5 cukup kecil dibandingkan dengan N=1000
maka peluangnya dapat dihampiri dengan menggunakan sebaran
binomial
jadi peluang mendapatkan 1 ampul vaksin yang rusak adalah
h(1 1000,5,200) = b(1;5,0,2)
( 200 )(1000-200)
1 5-1 = ( 5)(0,2)1(0,8)
5-1
)5
1000(
171
0,407λ = 0,4096
Jadi peluangnya bisa didekati dengan 0,41
6.4 Sebaran Poisson
Percoban yang menghasilkan peubah acak X yang bernilai
numeric yaitu banyaknya sukses dalam selang waktu tertentu
atau dalam daerah tertentu disebuit percobaan poisson panjang
selang waktu tertentu dapat berupa apa saja, bis saja semenit,
sehari,seminggu,sebulan setahun dan sebagainya. Seperti pada
peubah acak binomial X yang menunjukkan banyaknya sukses
dalam n usaha independent, namun pada peubah acak Poisson
terjadi bila n cukup besar, tetapi p sangat kecil mendekati 0.
Dalam hal ini misalnya X mungkin menyatakan tikus sawah
dalam sehari yang matai ,banyaknya bakteri pathogen yang
tumbuh pada suatu media dalam waktu tertentu dan sebagainya.
Perhatikan sebaran peluang peubah acak binomial mX
yaitu :
f(x) =P(X=x) = )xn( p
x(1-p)
n-x x=0,1,……..,n.
Misalkan n cukup besar tetapi p sangat kecil mendekati
nol (p→ 0) misalkan hasil kali p denagn n kita tulis =np sehingga p = /n. maka nilai tengah dan ragamnya dapat kita tulis : = dan α2
= (1- /n)
Jika dibuat konstan n diperbesar dan p mendekati 0 (
sehingga p = /n→0) maka ragamnya akan mendekati harga
konstan yaitu α=
Jadi untuk peubah acak binomial X dengan n cukup besar
172
dan p mendekati nol dan np= maka nilai tengah dan ragamnya keduanya akan mendekati harga yang sama yaitu
sebagai contoh misalkan =2 maka peubah acak binomial dengan :
n = 4 p=0,5 maka =4(0,5) =2 α2 =2(0,5) =1,0
n = 20 p=0,1 maka =20(0,1) =2 α2 =2(0,9) =1,8
n = 100 p=0,02 maka =100(0,02) =2 α2 =2(0,98) =1,96
n = 300 p=0,01 maka =300(0,01) =2 α2 =2(0,99) =1,98
jadi jika n bertambah besar dan np diambil konstan maka
dan α2 keduanya mendekati limit yang memuat dan x. hal ini
dapat ditunjukkan memang demikian adanya. Jika np= dan n cukup besar maka untuk sembarang harga tertentu x, maka
fungsi peluang f(x) =P9X=x) = (xn)( /n)x(1- )n-x
harga fungsi
peluang ini mendekati suatu limit seperti rumus berikut :
f(x) = P(X=x) = e-
x ,
disni e= 2,71828
x!
sebaran peubah acak ini disebut sebaran poisson dan
dinyatakan denagn P(x ) karena nilainya hanya tergantung dari x dan yaitu rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam
selang waktu atau daerah tertentu dan oleh karena = maka
f(x) =P(X=x) = e-
x ; x=0,1,2,……..
x!
nilai-nilai sebaran poisson telah disajikan dalam tabel (lihat
lampiran)
173
Contoh
Berdasarkan teori/penelitian banyaknya telur cacing hati
yang menetas dalam air yang mengandung Furadan dengan
konsentrasi 2 gram/liter sebanyak 2 butir telur dari 100 butir
telur yang ditetaskanbila kita juga menetas dengan cara yang
sama berapa peluang bahwa :
a. 4 butir telur yang menetas
b. Antara 0 dan 4 (0<x<4) yang menetas
Jawab
Jadi x= 4 dan =2, maka coba lihat tabel poisson)
P(4;2) = e -2
24 = (0,1353)(16) = 2,1648 =0,0902
4! 24 24
Σ P(x 2) =P(1 2) + Pλ2 2) + Pλ3 2)
x=1 = 0,270671 +0,270671 +0,180447 = 0,721789
Distribusi Poisson dapat pula dianggap sebagai
pendekatan kepada distribusi binomial.
N cukup besar dan P(A), sangat dekat kepada nol sehingga =
Np tetap, distribusi binomial menjadi distribusi Poisson,
dilakukan pendekatan N ≥ 50 sedangkan Np < 5.
Dirumuskan menjadi: !
)(R
eRP
R
dimana:
P(R) = peluang terjadinya sebesar R dalam jumlah
kejadian N.
174
R = jumlah kejadian yang diharapkan =0,1,2,…,N
= rata-rata hitung (mean) distribusi Poisson.
N = jumlah kejadian.
e = 2,71828
Dengan parameter statistiknya sebagai berikut::
(1) Rata-rata hitung (mean) NP
(2) Variansi NPQ2
(3) Deviasi standar NPQ
(4) Kemencengan NPQ
PQCS
(5) Koefisien Kurtosis 361
NPQ
PQCK
Contoh
1) Banyak orang yang lewat melalui muka pasar setiap hari,
tetapi sangat jarang terjadi seseorang menemukan barang
hilang dan mengembalikannya kepada si pemilik atau
melaporkannya kepada polisi.
2) Dalam tempo setiap 5 menit, operator telepon banyak
menerima permintaan nomor untuk disambungkan,
diharapkan jarang sekali terjadi salah sambung.
3) Misalkan rata-rata ada 1,4 orang buta huruf untuk setiap
100 orang. Sebuah sampel berukuran 200 telah diambil.
175
4) Jika R = banyak buta huruf per 200 orang, maka untuk kita
sekarang = 2,8.
Peluangnya tidak terdapat yang buta huruf adalah :
P(R=0) = .0608,0!0
)8,2( 8,208,2
ee
Sedangkan peluang terdapatnya yang buta huruf sama
dengan (1-0.0608) = 0,9392.
Contoh
Peluang seseorang akan mendapat reaksi buruk setelah
disuntik = 0,0005. Dari 4000 orang yang disuntik, tentukan
peluang yang mendapat reaksi buruk:
a) tidak ada
b) ada 2 orang
c) lebih dari 2 orang, dan
d) ada berapa orang akan mendapat reaksi buruk.
Jawab
a) Dengan menggunakan pendekatan distribusi Poisson
kepada distribusi binomial, maka = Np = 4000 X
0,0005 = 2.
R = banyak orang yang mendapat reaksi buruk akibat
suntikan, maka:
P(R=0) = .1353,0!0
202
e
176
b) Dalam hal ini X = 2, sehingga :
P(R=2) = .2706,0!2
222
e
Peluang ada 2 orang mendapat reaksi buruk ialah 0,2706.
c) Yang menderita reaksi buruk lebih dari 2 orang, ini berarti
X = 3, 4, 5, . . . . Tetapi P(R=0) + P(R=1) + . . . = 1, maka
P(R=3) + P(R=4) + . . . = 1- P(R=0)- P(R=1)– P(R=2).
Harga-harga P(R=0) dan P(R=2) sudah dihitung di atas
P(R=1) = .2706,0!1
212
e
Peluang yang dicari = 1 – (0,1353 + 0,2706 + 0,2706) =
0,3235.
d) Tiada lain diminta menentukan rata-rata , yaitu
= 2.
Contoh Aplikasi:
Dalam suatu DPS dibangun dam pengendali banjir dengan
umur bangunan 100 tahun. Berapa peluang terjadinya banjir 550
m3/det dengan priode ulang 200 tahun selama priode umur dam
tersebut, apabila ditentukan dengan Distribusi Poisson ?
Jawab
Priode ulang banjir 200 tahun, maka peluang terjadinya 1
kali banjir adalah:
005,0200
11
TP , dan 5,0005,0.100 NP
177
sehingga:
!
)(R
eRP
R
= 308,0!1
71828,2.05,0 5,01
Artinya, pada DPS itu dengan umur dam pengendali banjir
100 tahun, selama priode umur tersebut akan terjadi banjir
priode 200 tahun dengan peluang 0,308%.
6.5 Sebaran Binomial Negatif dan Geometrik
Percobaan binomial negative adalah suatu percobaan
yang berbagai sifatnya sama dengan percobaan binomial,
kecuali bahwa disini usaha diulang sampai terjadi sejumlah
sukses tertentu.jadi jika n tetap maka ingin diketahui peluang
bahwa sukses ke k terjadi pada usaha ke x.
Sebagai contoh dalam usaha meningkatkan mutu ternak
sapi Bali dan efisiensi penguunaan pejantan maka dilakukan
kawin suntik atau inseminasi buatan (IB). jika diketahui
keberhasilan IB 60 % ingin dicari peluang sapi betina yang ke 7
yang di Ib. nyatakan sapi Bali betina yang bunting (sukses)
denagnS dan yang gagal atau tidak beruntung denagnG maka
salah satu kemungkinan adalah SSGSSGS
Kemungkinan susunan lain dari S dan G dapat disusun
sedemikian rupa asalkan memenuhi syarat yang terakhir harus S
(sukses) yang ke lima. Jumlah semua urutan yang mungkin
sama dengan banyaknya cara memisahkan (menyekat keenam
usaha yang pertama menjadi dua kelompok yaitu kelompok
pertama mengandung dua G dan kelompok ke dua yang
mengandung empat S jadi ada )46( =15 cara yang berlainan itu
178
yaitu :
GGSSSSS, GSGSSSS, GSSGSSS, GSSSGSS,
GSSSSGS SGGSSSS, SGSGSSS, SGSSGSS,
SGSSSGS, SSGGSSS, SSGSGSS, SSGSSGS,
SSSGGSS, SSSGSGS, SSSSGGS
Jadi merupakan peluang mendapatkan 4 kejadian sukses
p=0,6 dari 6 kejadian yang terjadi karena kejadian yang ke 7
selalu sukses. Sehingga dapat dihitung besar peluang denagn
sebaran binomial sebagai berikut \;
b(4;6,0,6) = )46( (0,6)
6 (0,4)
4-2= 0,112
Sebaran ini sangat menyerupai sebaran binomial
sehingga disebut sebaran binomial negative dan diberikan notasi
atau lambing b* (x,k,p)
Berdasarkan ilustrasi diatas maka bila usaha yang saling
bebas dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan
peluang p sedangkan gagal denagn peluang q=1 – p maka
sebaran peluang acak X yaitu banyaknya usaha yang tepat pada
sukses ke k adalah :
b* (x; k,p) = )1-k1-x( p
k q
x-k disini x =k, k+1, k+2,………
Contoh
Seekor sapi bali yang diperiksa kesehatannya mungkin
jinak (berhasil diperiksa) mungkin juga liar (gagal diperiksa
)kemungkinan berhasil atau gagal adalah sama yaitu 0,5
tergantung dari cara pemeriksaannya. Jika seorang doketr hewan
memeriksa dengan cara tertentu berapa peluanng sapi yang ke 5
dalam keadaan jinak yang kedua :
179
Jawab
Dengan menggunakan sebaran peluang binomial negatip
maka x=5,k=2 dan p=0,5
Sehingga :
b*(5; 2,0,5) = )1-21-5
( (0,5)2(0,5)
5-2
=0,125
Pada sebaran binomial negatip yang bersifat khusus
dimana k=1 maka diperoleh sebaran peluang denagn satu S
didalam sejumlah usaha yang dilakukan.misalkan pada contoh
diatas yaitu pada pemerikasaan kesehatan 5 ekor sapi Bali.
Seandainya 4 ekor sapi yang diperiksa gagal/tidak mau jinak
maka eluang sapi yang kelima mau jinak menjadi b*(x; 1,p)
=pqx-1
untuk x=1,2,3,…. Yang suku-suku ekspansinya
membentuk persamaan yang meningkat secara geometric. Oleh
karena itu sebaran yang demikian disebut sebaran geometric
yang dinotasikan dengan g(x;p). umumnya percobaan ini terus
menerus dilakukan dn baru berhenti setelah
berhasil/sukses,namun saja terus gagal karena peluang
berhasil/sukses akan semakin kecil bila percobaan terus
dilakukan. Mungkin akan lebih besar kemungkinan akan
berhasil jika teknik/cara percobaan yang diruber.
Sebaran geometric terjadi,bila usaha yang saling bebas dan
dilakukan berulang kali sampai mencapai sukses,denganpeluang
sukses p dan peluang gagal q=1-p maka sebaran peluang peubah
acak X yaitu banyaknya yang berakhir sukses yang pertama
adalah :
g(x;p) =pqx-1
; x=1,2,3,………..
180
Contoh
Telah diketahui bahwa peluang untuk mendapatkan parasit
cacing tertetu pada jantung seekor penyu adalah 0,30 jika
seorang dokter hewan memeriksa jantung penyu ditempat
pemotongan penyu dan dokter hewan tersebut mempunyai
keyakinan jik apeluang untuk mendapatkan parasit cacing
tersebut pada jantung penyu ≤0,01 maka penyu-penyu yang
dipotong ditempat pemotongan tersebut semuanya bebas dari
parasit cacing tersebut.
Berapa ekor penyu paling sedikit harus diperiksa untuk
meyakinkan bahwa penyu-penyu di rumah potobf tersebut bebas
dari parasit pad jantungnya.
Jawab
Dengan menggunakan sebaran peluang geometric p=0,30
dan q =1-0,30 =0,70 maka
Gg(x;p) =pqx-1
0,001= (0,3)(0,7)x-1
Log0,01 = log[(0,3) (0,7)x-1
]
Log 0,01=Log0,3 + (x-1)Log 0,7
-2 =-0,523 +(x-1)-0,155
-2= -0,523-0,155x + 0,155
0,155x=1,632
X=10,5
181
Karena dokter hewan tersebut baru yakin jika peluangnya
≤0,01 maka diperiksa minimal 11 ekor dank e 11 ekor yang diperiksa menunjukkan negatip/tidak ada cacing pada
jantungnya.
6.6 Rangkuman
Peubah acak adalah suatu fungsi bernilai real yang
harganya ditentukan oleh setiap anggota dalam ruang sampel.
Dmana peubah acak diskret adalah peubah acak yang
didefinisikan pada ruang sampel yang mengandung titik sampel
berhingga banyaknya. Sedangkan Peubah acak kontinu adalah
peubah acak yang didefinisikan pada ruang sampel yang
mengandung titik sampel tak berhingga banyaknya dan sama
banyaknya dengan titik pada sepotong garis. Jika distribusi
peluang f(x,y), peubah acak X dan Y diketahui, maka distribusi
peluang X dan Y sendiri adalah :
Untuk hal diskret g(x) = y x
yxfyhyxf ),()();,(
Untuk hal kontinu g(x) = dxyxfyhdyyxf ),()(;),(
g(x) dan h(y), masing-masing didefinisikan sebagai
distribusi marginal X dan Y.
LATIHAN
1. Untuk memeriksa kepalsuan susu serbuk jenis tertentu yang
beredar di kota denpasar,maka diperiksa 10 sampel took penjual
susu serbuk secara acak dan sample yang diambil berturut-turut
182
diberikan kode 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dan 10 dan seluruh sample
disimpan dlam kotak
a. jika pemeriksa mengambil satu sample secara acak berapa
peluang bahwa yang terambil adalah sample yang kode 4
b. jika ada dua kemungkinan yang sma yaitu palsu dan tidak
berapa peluang semua sample yang diperiksa tidak ada
yang palsu
2. Berdasrkan hasil pemeriksaan pravalensi infestasi cacing
Ascaridia galli pada tinja itik Bali jantan adalah 22 %. Bila
diperiksa 15 ekor itik jantan hitunglah :
a. paling sedikit 9 ekor didapatkan cacing tersebut.
b. antara 2 sampai 6 ekor didapatkan cacing tersebut
c. tepat 5 ekor ditemukan cacing tersebut
d. bila anda yakin pasti salah satu itik yang diperiksa atau
minimal satu ekor yang diperiksa pada tinjanya terdapat
cacing tersebut, bila peluang ditemukannya 0,99 berapa
ekor minimal itik Bali tinjanya harus diperiksa
3. Dua belas butir telur ayam konsumsi yang masing-masing 2,4 dan
6 butir diberi zat pengawet A,B dan C dan kemudian disimpan
pada suhu 37 C.jik a telur yang diambil seua diberikat pengawet
B
4. Disuatu rumah pemotongan hewan (RPH) dalam jangka waktu
satu tahun yang rata-rata memotong sapi betina 50 ekor per hari
hanya ada 2 ekor sapi betina bunting yang dipotong berapa
peluang dalam jangka waktu satu tahun.
183
a. kurang dari 2 ekor sapi betina bunting
b. antar 1-3 ekor sapi betina bunting yang dipotong
c. tidak ada sapi betina bunting yang dipotong.
5. Untuk membuktikan suatu obat yang baru ditemukan dapat
menyembuhkan suatu penyakit tertentu pada ternak kambing
kacang dalam jangka waktu 3 hari maka obat tersebut
disuntikkan pada beberapa ekor kambing penderita.
a. berapa peluang kambing yang ke 7 diobati merupakan
sembuh yang ke 3 kalinya dalam jangka waktu 3 hari
b. bila pemakai obat tersebut baru yakin obat itu dapat
diandalkan jiak semua ternak diobatiberturut-turut sembuh
peluangnya lebih kecil daro 0,01 berapa ekor ternak
penderita menimal diobati berturut-turut sembuh.
6. Daging babi yang dipasarkan disekitar kota denpasar disinyalir 20
% tercemar bakteri Salmonella. Untuk yakin 99% bahwa daging
babi yang dijual di suatu kias daging bebas dari bakteri
salmonella berapa paling sedikit jumlah sample daging yang
harus diperiksa
DAFTAR PUSTAKA
1. Ronald E. Walpode, Ilmu Peluang dan Statistika Untuk Insinyur
dan Ilmuwan, Penerbit ITB, 1995
2. Jay L.Devore, Probability & Statistics for Engineering and the
Sciences, Wadsworth,Inc,1982
184
3. Bethea , Robert M. , Statistical Methods for Engineers and
Scientists, Marcel Dekker,Inc, 1985.
4. Ronald E. Walpole, Pengantar Statistika, Edisi Terjemahan, PT.
Gramedia, Jakarta, 1992.
5. Anto Dayan, Pengantar Metode Statistik, Jilid 1&2, LP3S,
Jakarta, 1976
6. https://syahrialidroes.files.wordpress.com/2009/.../vi-distribusi-
peluang3....
185
BAB VII
SEBARAN NORMAL
186
BAB VII
SEBARAN NORMAL
Tujuan Intruksional Umum
1. Mahasiswa mampu memahami konsep distribusi normal
dalam pengukuran.
2. Mahasiswa paham akan penerapan metode distribusi
normal yang benar saat melakukan proses pengukuran.
Tujuan Intruksional Khusus
1. Mahasiswa memahami dan mampu mengimplementasikan
metode distribusi normal hasil pengukuran dengan benar
2. Mahasiswa mampu memahami kebenaran teoritis untuk
ide-ide statistik dari berbagai bukti beberapa hasil
penelitian yang terkait dengan pengembangan aplikasi.
7.1 Kurva Normal
Peubah-peubah yang menggunakan skala rasional seperti
pengukuran berat,panjang,volume,waktu dn sebagainyabiasanya
mengikuti sebaran peluang kontinu. Salah satu sebaran peluang
kontinu yang terpenting dalam seluruh bidang statistika adalah
sebaran normal. Grafiknya disebut kurva normal berbentuk
lonceng atau genta seperti gambar dibawah ini :
187
Gambar 7.1 kurva normal
Pada distribusi normal (Distribusi Gauss) merupakan distribusi
probabilitas yang paling penting baik dalam teori maupun aplikasi
statistic dalam penerapan pemodelan untuk data riil diberbagai
bidang antara lain karakteristik fisik mahluk hidup (berat, tinggi
badan manusia, hewan dll). Adapun kesalahan-kesalahan
pengukuran dalam eksperimen ilmiah pengukuran-pengukuran
intelejensia dan perilaku, dimana nilai skor berbagai pengujian
dan berbagai ukuran dan indikator ekonomi sebagai berikut:
Distribusi normal terjadi secara alamiah. Seperti diuraikan
sebelumnya banyak peristiwa di dunia nyata yang
terdistribusi secara normal.
Beberapa variable acak yang tidak terdistribusi secara
normal dapat dengan mudah ditranformasikan menjadi
suatu distribusi variabel acak yang normal.
Ada beberapa hasil dan teknik analisis yang berguna
dalam pekerjaan statistik hanya bisa berfungsi dengan
benar jika model distribusinya berupa distribusi normal
188
Pada beberapa variabel acak yang tidak menunjukkan
distribusi normal pada populasinya Namun distribusi rata-
rata sampel yang diambil secara random dari populasi
tersebut ternyata menunjukkan distribusi normal.
Pada tahun 1733 De Moive menemukan persamaan
matematika kurva normal yang menjadi dasar bayak teori
statistika induktif. Sebaran normal disebut juga sebaran Gaus
untuk menghormati Gauss (1777-1855) yang juga menemukan
persamaan waktu menghitung kesalahan penelitian (galat
penelitian)dalam pengukuran yang berulang-ulang mengenai
bahan yang sama
Suatu peubah acak X yang sebarannya berbentuk Genta
seperti gambar diats disebut peubah acak normak. Persamaan
matematik sebaran peluang peubah acak normal kontinu
tergantung pada dua parameter yaitu dan α, yang biasa disebut rata-rata hitung dan simpangan baku jadi fungsi pada X biasanya
dinotasikan dengan n(x ,α) persamaan μ
Nn(x; ,α) = 1___ e –(1/2)[(x- )/α] 2
√ 2πα
Disini – ~<x<+~ dengan π =3,1415λ… dan e=2,71828……. Secara ringkas sebaran peluang peubah acak normal sering ditulis X ~N( x,αx) dan dibaca peubah X menyebar normal dengan nilai tengah x dan simpangan baku αx.
Bila danα diketahui maka seluruh kurva normal diketahui sebagai contoh bila =60 dan α=8 maka ordinat n(xμ 6o,8) dapat dengan mudah dihitung untuk berbagai harga x dan
kurvanya dapat digambar.
189
Bila nilai –nilai dan α tertentu maka akan menghasilkan kurva dengan gambar tertentu pula. Coba perhatikan gambar
dibawah ini
Gambar 7.1 Kurva Normal
Gambar kurva A dan B memiliki nilai tengah (rata0rata
hitung) yang sama,tetapi simpangan baku yang berbeda.
Sedangkan kurva B dan C memiliki nilai tengan yang berbeda
tetapi simpangan bakunya sama. Kurva A dan C memiliki nilai
tengan dan simpangan baku yang berbeda.
Dengan kurva serta memeriksa turunan pertama dan kedua
dari nilai n(x ,α) dapat diperoleh lima sifat kurva normal sebagai berikut :
1. Modus, titik pada sumbu datar yang memberikan
maksimum kurva, terdapat pada x¯ = .
2. Kurva staangkup terhadap garis tegak yang nilainya sma
dengan
3. Kurva mempunyai titik belok pada x= +α dan x= -α cembung ke atas bila -α < x< +α dan cembung ke bawah untuk harga x lainnya.
190
4. Kedua ujung kurva normal mendekati asimtot sumbu datar
(sumbu x) bila harga x bergerak menjauhi baik dari ke kiri maupun ke kanan.
5. Seluruh luas di bawah kurva dan diatas sumbu datar
(sumbu X )sama dengan 1,0 (100%)
7.2 Luas Daerah Di bawah Kurva Normal
Kurva setiap semaran peluang atau fungsi padat dibuat
sedemikian rupa sehingga luas kurva diantara kedua koordinat
x= x1 dan x= x2 sama dengan harga peubah acak X mendapat
harga antar x= x1 dan x=x2. jadi untuk kurva normal seperti bi
bawah ini:
Gambar 7.2 Kurva Normal f(x1<x<x2) = luas
daerah yang diarsir
Jadi bagi suatu fungsi padat tertentu yang memiliki danα lain akan menghasilkan peluang P (x1<x<x2) yang berbeda pula
besarnya, walaupun letak x1 dan x2 tetap. Sehingga setiap kali
ingin menghitung besarnya peluang tersebut harus mencari
interval terhadap bentuk fungsi f(x) = n(x ,α) itu ini merupakan pekerjaan merepatkan dan kurang efisien. Untuk
mengatasi kesulitan dalam menghitung integral fungsi padat
191
normal, maka dibuat tabel luas kurva normal,sehingga
memudahkan penggunaannya. Akan tetapi mungkin membuat
tabel yang berlainan untuk setiap harga dan α . Untuk itu peubah acak normal dapat ditransformasikan menjadi himpunan
pengamatan baru yang dikenal peubah acak normal Z.
Sebaran normal Z disebut pula sebaran normal baku yang
memiliki nilai tengah z = 0 dan simpangan baku αz = 1 jadi biasanya ditulis Z ~ N(0,1) dan dirumuskan dengan :
x _____x - x
Z
Bila diketahui bahwa peubah acak X ~ N( , α) maka semua nilai Xi yang berada pada selang (x1, x2) dapat
ditransformasikan menjadi peubah baku Z yang berada dalam
selang Z1 =( x1 – )/α dan Z2 = (x2 – )/α .. sehingga P(x1 <x<x2)
dapat dicari dengan cepat menggunakan P( Z1<Z<Z2)
berdasarkan nilai tabel (lihat tabel Z pada lampiran)
Untuk setiap distribusi populasi dari suatu variabel acak
yang mengikut sebuah distribusi normal, maka
68,26% dari nilai-nilai variabel berada dalam ± 1 x dari
x ,
95,46% dari nilai-nilai variabel berada dalam ± 2 x dari
x ,
99,73% dari nilai-nilai variabel berada dalam ± 3 x dari
x
192
7.3 Gambar hubungan antara luasan dan N(,2)
Contoh
Sapi bali jantan yang berumur 2 tahun rata-rata beratnya
250 kg dan simpangan bakunya 11,05 kg. bila diasumsikan berat
sapi tersebut mengikuti sebaran normal berapa % (peluangnya) :
a. Berat Sapi Bali jantan antara 240-260 kg
b. Berat sapi Bali jantan kurang dari 235 kg
Jawab
Untuk menyelesaikan soal diatas kita transformasikan dulu
nilai-nilai x1 =240, x2=260 dan x3 =235 menjadi Z1, Z2 dan Z3
Z1 = x1 – __ = 240 – 250 = -0.90
α 11,05
193
Z2 = x2 – __ = 260 – 250 = 0.90
α 11,05
Z3 = x3 – __ = 235 – 250 = -1.36
α 11,05
dengan menggunakan tabel Z maka :
a. P(Z1<Z<Z2) = P(-0,90<Z<0,90)
Karena kurva simetris dan luasnya = 1 maka
P(-0,90<Z<0,90) = 1- 2(P(Z<90)
= 1- (0,1841)
= 1- 0,3684 =0,6316
Jadi sekitar 63,16 % sapi Bali jantan yang berumur 2
tahun berat antara 240 -260 kg
b. P(Z<Z3) = P(Z<-1,36) = P(Z>1,36) = 0,0869
Jadi sekitar 8,69 % sapi bali jantan umur 2 tahun beratnta
kurangf 235 kg.
7.3 Pendekatan Normal terhadap Binomial.
Peluang yang berkaitan dengan percobaan binomial secara
langsung dapat diperoleh dari rumus sebaran binomial atau dari
tabel binomial pad alampiran, n cukup kecil (n<25). Bila n besar
atau tak tersedia dalam tabel, maka peluang binomial dapat
dihitung dengan pendekatan sebaran normal.
194
Pada uraian sebelumnya sebaran poisson dapat dipakai
untuk menghampiri peluang binomial, jika n cukup besar dan p
mendekati 0. Sedangkan jika n cukup besar dan p tidak cukup
dekat denagn 0 atau 1 maka sebaran binomial dapat dihampiri
oleh sebaran normal dan hampiran itu sangat baik bila n cukup
besar dan p mendekati 0,50.
Bila X peubah acak binomial dengan nilai tengah = np dan α2
=npq, bila n cukup besar maka betuk limit sebaran
normal baku n(Z;0,1) adalah
x- np
Z = √ npq
Untuk melihat pendekatan normal terhadap sebaran
binomial perhatikan conoth berikut :mula-mula lukislah
histogram b(x; 16, 0,5) dan kemudian letakkan kurva normal
dengan rata-rata dan ragam yang sama dengan peubah binomial
X sehingga keduanya saling tumpang tindih. Untuk itu lukislah
kurva normal denagn = np = 16 (0,5) =8,0 dan α2 =npq
=16(0,5)(0,5)=4,0
Histogram b(x;16,0,5) dan kurva normal padanannya yang
seluruhnya telah tertentu oleh rata-rata dan ragamnya seperti
gambar dibawah ini.
Gambar 7.3 Hampiran Kurva Normal terhadap b(x;16,0,5)
195
Tingkat akurasi (ketepatan) pendekatan tergantung dari
sejauh mana kurva normal yang dihasilkan dapat mendekati
histogram dari binomial.
Dari contoh diatas kita dapat menghitung peluang yang
tepat bahwa X berharga 4 sama dengan luas persegi panjang
dengan yang titik tenganya x= 4 yaitu b(4;16,0,5) = 0,0278 luas
ini dengan pendekatan normal identik dengan luas daerah
dibawah kurva normal antar x 1 =3,5 dan x 2 =4,5.jiak diubah
kedalam sebaran normal Z maka
Z1= x1 – = 3,5 – 8,0 = -2,25
α √4
Z1= x2 – = 4,5 – 8,0 = -1,75
α √4
jadi
P (-2,25 <Z<-1,75) = P(Z.1,75) – P (Z>2,25)
= 0,0401 – 0,0122
= 0,0279
Jadi nilainya sama bila kita ambil 3 angka dibelakang
koma yaitu 0,028.
Contoh
Berdasarkan pengalaman 30 % dari itik Bali yang dibeli
pada peternak adalah invertil (tidak bisa menetas) jika seorang
pengusaha peternakan menetaskan 250 butir telur berpa peluang
bahwa yang invertil kurang dari 60 butir.
196
Jawab
Banyaknya telur yang invertil mengikuti sebaran binomial
dengan parameter n =250 dan p =0,30 karena ukuran sample
cukup besar an p tidak terlalu dekat dengan 0 atau 1 maka dapat
digunakan pendekatan sebaran normal baku yaitu
= np = 250 (0,30)=75
α2 =npq = 250(0,30)(0,70) =52,5 dan α =√52,5 =7,25
untuk mendapatkan peluany yang ditanyakan harus dicari luas
daerahnya yaitu :
Z1 = x1 – = 60 – 75 = -2,07
α 7,25
jadi P(x<60) = P (Z< -2,07) = P(Z.2,07) = 0,0192
Contoh
1. Diketahui data berdistribusi normal dengan
mean = 55 dan deviasi standar = 15
a) P(55≤x≤75) =
=
= P(0≤Z≤1,33)
= 0,4082 (Tabel Z)
Atau Tabel Z A = 0,4082
197
7.2 P(60≤x≤80)
= P(0,33≤Z≤1,67)
= P(0≤Z≤1,67) – P(0≤Z≤0,33)
= 0,4525 – 0,1293 = 0,3232
Z1 = = 0,33 B = 0,1293
Z2 = = 1,67 A = 0,4525
C = A – B = 0,3232
198
7.3 P(40≤x≤60)= A + B
= P(-1,00≤Z≤0,33)
= P(-1,00≤Z≤0) + P(0≤Z≤0,33)
= 0,3412 + 0,1293
= 0,4705
Atau : Z1 = = -1,00
A = 0,3412
Z2 = = 0,33
B = 0,1293
199
7.4 P(x ≤ 40) = 0,5 – A
= 0,5 – 0,3412
= 0,1588
7.5 P(x ≥ 85)
e. P(x ≤ 85) = 0,5 + A
= 0,5 + 0,4772
= 0,9772
7.4 Rangkuman
Distribusi Normal adalah model distribusi kontinyu yang
paling penting dalam teori probabilitas. Distribusi Normal
diterapkan dalam berbagai permasalahan. Distribusi normal
memiliki kurva berbentuk lonceng yang simetris. Karena
200
distribusi frekuensi probabilitas disusun berdasarkan teori
peluang maka pengetahuan tentang distribusi teoritis menjadi
sangat penting untuk membuat estimasi atau meramalkan
variasi-variasi yang mungkin dapat timbul pada suatu keadaan
yang tidak pasti. Dua parameter yang menentukan distribusi
normal adalah rataan / ekspektasi ( ) dan standar deviasi (σ).
LATIHAN
1. Diketahui peubah acak X yang menyebar normal dengan rata-
rata 16 dan simpangan baku 2,5 hitunglah :
a. P(X<5)
b. Nilai k sehigga P(x<k) = 0,2578
c. P(17<x<21)
d. Nilai k sehingga P(x>k) =0,2578
2. Berat badan sapi Bali jantan 2 tahun mengikuti sebran normal
dengan rata-rata 250 kg simpangan baku 8,30kg. bila sebuah
rumah pemotongan hewan memotong 200 ekor sapi Bali jantan
umur 2 tahun berapa ekor dapat diharapkan.
a. Beratnya kurang dari 240 kg
b. Beratnya antara 235 dan 265 kg
c. Beratnya lebih dari 270 kg
201
3. Hitunglah galat (kesalahan) dalam pengampiran dengan kurva
normal sebaran binomial dibawah ini
a. 10
Σ b( x 10, 0,3)
x = 0
b. 20
Σ b( x 20, 0,3)
x = 0
c. 20
Σ b( x 20, 0,5)
x = 9
d. 20
Σ b( x 30, 0,3)
x = 0
e. 10
Σ b( x 30, 0,5)
x = 0
4. Suatu perusahaan farmasimengatakan bahwa suatu jenis obat
tertentu dapat menyembuhkan rata-rata 80 % penyakit kulit pada
kelinci. Untuk menguji kebenaran maka obat tersebut dicoakan
pada 100 ekor kelinci penderita :
202
a. berapa peluang 75 ekor ikelinci atau lebih dapat
disembuhkan.
b. Bila peluang kesembuhan 0,95 diputuskan obat tersebut
masih bisa diterima leh pemakai obat, berapa menimal
jimlah ternak yang diharapkan sembuh.
c. Bila ingin mengurangi jumlah kelinci penderita yang
dipakai mencoba obat tersebut, berapa jumlah minimal
kelinci penderita yang diperlukan jika peluang semua
ternak yang diinginkan sembuh maksimal 0,01.
DAFTAR PUSTAKA
1. Walpole E. Ronald, Myers H. Ronald, Ilmu Peluang dan
Satatistika Untuk Insinyur dan Ilmuwan (terjemahan), edisi 2,
ITB, 1986.
2. Denis Anderson, Sweeney J., Williams A. Thomas, Statistics for
Businees and Economics, West Publishing Company, USA,
1987.
3. Boediono, Koster Wayan, Teori dan Aplikasi Statistika dan
Probabilitas, Rosdakarya, Bandung, 2001.
203
BAB VIII
PENGEMBANGAN MODEL
204
BAB VIII
PENGEMBANGAN MODEL
Tujuan Intruksional Umum
1. Mahasiswa mampu menjelaskan pengertian dasar dari
model pengembangan simulasi sebagai suatu pendekatan
dalam kasus
2. Mahasiswa mengetahui inisialisasi parameter, waktu dan
penerapan berbagai jenis pengembangan model
Tujuan Intruksional Khusus
1. Mahasiswa mampu mengikhtisarkan pentingnya model
simulasi dalam berbagai kasus
2. Mahasiswa mampu menggunakan simulasi dalam
penerapan program simulator
3. Mahasiswa mampu membandingkan sistem dan model
dalam setiap kasus, serta menyimpulkannya untuk
kebutuhan simulasi.
8.1 Pemodelan Simulasi Kejadian Diskrit Dinamis
Semua aspek pemodelan yang sudah dipelajari
sebelumnya akan digunakan dalam bagian ini:formulasi masalah
yang didasarkan pada sistem nyata dan sampling dari distribusi
probabilitas variabel model. Simulasi kejadian diskrit
memodelkan sistem yang berubah sesuai waktu melalui suatu
205
representasi dimana variabel status berubah secara langsung
pada titik terpisah dalam waktu. Titik terpisah dalam waktu
adalah keadaan dimana suatu kejadian terjadi. Kejadian
didefinisikan sebagai kejadian langsung yang dapat mengubah
status sistem. Meskipun simulasi kejadian diskrit dapat
dilakukan secara manual, jumlah data yang harus disimpan dan
dimanipulasi dalam dunia nyata mengharuskan penggunaan
komputer digital.
Pada simulasi jarum Buffon adalah simulasi kejadian-
diskrit statis dalam artian bahwa simulasi itu terdiri dari
serangkaian kejadian acak dimana setiap kejadian tidak
dipengaruhi oleh kejadian sebelumnya. Waktu bukan bagian
dari simulasi. Menjatuhkan jarum dilakukan berulang-ulang,
memberikan perkiraan yang lebih baik akan probabilitas jarum
menyentuh atau memotong garis, tapi simulasi akan tetap sama
jika ke 3000 jarum dijatuhkan secara bersama-sama atau
dijatuhkan satu demi satu sebanyak 3000 kali. Lebih sering,
simulasi bersifat dinamis, dimana interaksi antara kejadian acak
dan waktu adalah bagian dari simulasi. Karena sifat dinamis ini,
kita harus mengikuti nilai waktu tersimulasi selama simulasi
dijalankan, dan kita juga perlu mekanisme mengembangkan
waktu tersimulasi dari satu nilai ke nilai lainnya. Kita sebut
variabel model simulasi yang memberikan nilai waktu
tersimulasi saat ini dengan simulation clock. Unit waktu
simulation clock tidak pernah dinyatakan secara eksplisit ketika
pemrograman model dibuat dengan bahasa pemrograman umum
seperti FORTRAN, Pascal atau C, dan diasumsikan dalam unit
yang sama dengan parameter input. Juga, secara umum tidak
ada hubungan antara waktu tersimulasi dengan waktu
menjalankan simulasi dalam komputer.
206
Dua pendekatan prinsipal disarankan untuk menjalankan
simulation clock yaitu next-event time advance dan fixed-
increment time advance. Pendekatan pertama digunakan hampir
semua bahasa simulasi dan bahasa umum (general purpose
language), karena itu kita akan menggunakan pendekatan ini.
Dalam next-event time advance simulation clock diinisiasi
dengan 0 dan waktu terjadinya kejadian di masa mendatang
ditentukan. Simulation clock kemudian bertambah (maju)
dengan waktu terjadinya kejadian berikutnya yang pertama,
dimana pada suatu titik status sistem diperbaharui setelah
terjadinya suatu kejadian, dan pengetahuan kita akan waktu
kejadian berikutnya juga diperbaiki. Proses penambahan
simulation clock berlanjut terus dari satu kejadian ke kejadian
lainnya sampai kondisi penghentian yang sudah didefinisikan
dipenuhi. Karena semua status berubah hanya pada waktu
kejadian model simulasi kejadian-diskrit, periode tidak aktif
diloncat dari waktu kejadian ke waktu kejadian. Harus
diperhatikan bahwa loncatan berurutan simulation clock secara
umum bervariasi dalam ukuran (tidak sama) .
8.2 Teknik Representasi kejadian sistem
Model simulasi kejadian-diskrit dapat digambarkan
sebagai sebuah model interaksi kejadian diskrit yang terjadi
dalam sistem dan variabel status sistem. Interaksi ini dapat
ditunjukkan dengan graf dimana simpul (verteks) menunjukkan
kejadian dan cabang berarah (ruas) menunjukkan penyebab
langsung terjadinya suatu kejadian hanya jika kondisi dipenuhi.
207
Kejadian,
penghubung tidak terkondisi
penghubung terkondisi
Jika ruas yang menghubungkan dua kejadian adalah garis
terputus, itu menunjukkan bahwa terjadinya satu kejadian bisa
menyebabkan pembatalan kejadian lainnya. Jika ada penundaan
antara dua kejadian terhubung, penundaan ditunjukkan pada
ruas di antara kedua kejadian. Jika terjadinya suatu kejadian
bersifat kondisional, referensi terhadap kejadian penting
ditunjukkan ruas penghubung. Contoh :
Pada diagram di atas menunjukkan bahwa kejadian i akan
mengarah ke kejadian j setelah penundaan selama t dan kondisi
1 terpenuhi.
Sebagai contoh sistem kejadian-diskrit, perhatikan
sekumpulan mesin yang ditangani sekelompok operator. Setiap
mesin rusak perlu diperbaiki oleh operator. Setelah diperbaiki,
mesin akan berfungsi kembali. Variabel status sistem adalah
sebagai berikut:
i j
1
t
208
M(i) status mesin i
0 = menunggu perbaikan
1 = sedang diperbaiki
2 = beroperasi
O(j) status operator
0 = menganggur
1 = sibuk
Kejadian diskrit yang terjadi adalah:
1(i) mesin i menunggu diperbaiki
M(i) diatur jadi 0
2(ij) operator j mulai memperbaiki mesin i
M(i) bernilai 1
O(j) bernilai 1
3(ij) operator j menyelesaikan perbaikan mesin i
O(j) bernilai 0
4(i) mesin i mulai beroperasi
M(i) bernilai 2
Kondisinya adalah:
C(1) beberapa O(j) = 0 (ada operator menganggur)
C(2) beberapa M(i) = 0 (ada mesin sedang mengunggu
209
diperbaiki)
Penundaan kejadian :
T(r) waktu mesin dijalankan di antara panggilan perbaikan
T(s) waktu yang dibutuhkan untuk memperbaiki mesin
Graf kejadian sistem tersebut adalah:
Gambar 8.1. Graf kejadian sistem perbaikan mesin
8.3 Simulasi Monte Carlo
Sebelum mengembangkan model simulasi kompleks, kita
bicarakan dulu list processing dalam simulasi. Untuk model
simulasi sederhana, kita dapat menemukan tidak ada list atau
maksimum hanya satu list record dengan 1 atribut. Tapi untuk
model simulasi kompleks kita harus berhadapan dengan
beberapa list yang memuat banyak records juga dengan banyak
atribut. Sering pemrosesan FIFO (First In First Out) tidak
efisien. Jika jumlah besar informasi ini tidak disimpan dan
dimanipulasi secara efisien, eksekusi model akan membutuhkan
waktu yang lama dan memori penyimpanan yang besar akan
mengakibatkan model simulasi tidak layak.
1(i) 2(i,j)
c(1)
4(i) 3(i,j)
t(r) c(2)
t(s)
210
Ada dua cara penyimpanan list records dalam komputer
yaitu alokasi sekuensial dan terhubung (linked).
Pendekatan alokasi-sekuensial meletakkan records
berdekatan secara fisik dalam lokasi penyimpanan, satu demi
satu record sesuai dengan hubungannya. Dalam pendekatan
alokasi penyimpanan terhubung, setiap record memuat atribut
dan pointer (link). Pointer menunjukkan relasi logik dari satu
record ke record lainnya dalam list. Sehingga record dalam list
yang saling berhubungan tidak harus diletakkan berdekatan.
Pendekatan kedua ini (alokasi penyimpanan terhubung) lebih
disukai dalam pemodelan simulasi karena memiliki beberapa
keuntungan, yaitu:
1. waktu pemrosesan yang dibutuhkan untuk jenis list
tertentu dapat dikurangi secara signifikan.
2. pemrosesan list-kejadian untuk model simulasi dimana
daftar (list) kejadian memuat sejumlah besar record
kejadian secara simultan dapat dipercepat
3. untuk beberapa model simulasi, kapasitas memori
komputer yang dibutuhkan untuk menyimpan bisa lebih
kecil.
4. menyediakan kerangka umum yang memungkinkan
menyimpan dan memanipulasi banyak daftar secara
simultan dengan mudah, dimana records dalam daftar
berbeda dapat diproses dengan cara berbeda.
211
8.4 Sistem Komputer Time-Shared
Perhatikan sistem komputer time-shared, dimana pemakai
dihubungkan ke sistem melalui jaringan telepon. Hanya ada
sedikit jumlah port untuk koneksi seperti ini, dan ketika semua
port digunakan ketika panggilan masuk, maka pengguna akan
menerima signal sibuk dan harus mencoba membuat koneksi di
lain waktu. Sekali koneksi tersambung, port tidak akan dapat
digunakan lagi oleh pemakai lain sampai pemakai saat itu
memutus hubungan dengan menutup telepon. Skematik sistem
ditunjukkan oleh Gambar 1.
Gambar 8.2. Sistem komputer time-shared
Dengan maksud menyederhanakan permasalahan, kita
akan mengasumsikan bahwa pemakai berusaha menghubungi
komputer pada waktu acak sepanjang hari dengan laju rata-rata
212
panggilan 35 per jam. Data historis rata-rata lamanya waktu,
termasuk perhitungan dan bukan perhitungan, 25 menit.
Meskipun saat ini ada 14 port, tidak jarang bagi pemakai
menemukan bahwa semua port sibuk saat mereka melakukan
pemanggilan. Permintaan memperbesar memori CPU dan
menambah jumlah port dan kecepatan transmisi sudah sering
diajukan untuk meningkatkan level pelayanan.
Port relatif mahal karena biaya perangkat keras dan biaya
pelayanan telepon per bulan. Harga perangkat keras untuk
setiap port sekitar Rp10,000,000,- dan biaya pelayanan telepon
serta perawatan setiap port per bulan sebesar Rp250,000,-.
Sistem komputer hanya dapat mendukung 32 port dan kapasitas
perhitungan sistem terbatas.
Dipercaya bahwa dengan meningkatkan laju transmisi
antara sistem komputer dengan pemakai yang memanggil dari
120 kpd (karakter per detik) menjadi 960 kpd, lama sesi dapat
dikurangi. Diyakini bahwa lama sesi rata-rata dapat dikurangi
tiga menit menggunakan laju transmisi lebih tinggi.
Peningkatan dari 120 ke 960 kpd membutuhkan biaya
Rp4,000,000,- untuk setiap 100 terminal yang dapat
dikoneksikan ke sistem.
Studi pendahuluan menunjukkan bahwa kinerja sistem
akan diperbaiki jika memori CPU diperbesar. Pengaruh
peningkatan seperti itu akan menjadi sesi paling sensitif dimana
pemakai akan terhubung ke sistem dalam jangka waktu singkat.
Memori CPU saat ini 1MB dan dapat diperbesar ke 2 MB atau 3
MB. Tabel 1 menunjukkan biaya dan pengurangan waktu
koneksi untuk memori 1MB, 2 MB dan 3 MB.
Dengan maksud mengevaluasi kegunaan penambahan
port, peningkatan kecepatan transmisi, atau menambah memori,
213
disarankan untuk mempelajari kinerja sistem dan biaya yang
berhubungan dengan bantuan model analitik, model simulasi
dan keduanya.
Tabel 8.1. Biaya dan pengurangan waktu koneksi dengan
beberapa alternatif memori
Waktu perhitungan
rata-rata
Biaya (dolar) peningkatan
10
8
7
0
20,000
30,000
Konfigurasi saat ini
Memori 1M-Byte
Memori 2M-byte
8.4.1 Formulasi Masalah
Untuk memformulasikan masalah, kita perlu
menjawab pertanyaan :
1. Apa yang kita harapkan untuk dipelajari dengan
membangun model simulasi kasus ini?
2. Informasi apa yang kita inginkan disediakan
simulasi?
Pertanyaan-pertanyaan ini bisa dikembangkan lagi
dan tidak selalu diungkapkan secara eksplisit.
214
Kita dapat menggunakan model simulasi untuk
memprediksi kinerja sistem sebagai parameter perubahan
sistem atau lebih disukai, model simulasi dapat digunakan
untuk mengarahkan pengoptimuman beberapa tujuan yang
dibatasi oleh sumber daya terbatas.
Untuk kasus di atas, dengan mencoba konfigurasi
sistem berbeda, kita dapat mengamati ukuran kinerja
sistem. Pertanyaan yang akan dijawab bisa dalam bentuk:
1. Berapa probabilitas penghubungan ke sistem sebagai
fungsi jumlah koneksi terminal (port)? atau
2. Berapa jumlah rata-rata port sibuk, sebagai fungsi
memori, koneksi terminal dan kecepatan transmisi?
atau
3. berapa level kepuasan pemakai sebagai fungsi
peningkatan sumber daya?
Berbagai pertanyaan lain dapat dibentuk, setiap
pertanyaan membantu analis untuk fokus pada tujuan
pemodelan simulasi.
Alternatifnya, kita dapat menyatakan fungsi objektif
yang akan dioptimalkan bersamaan dengan pembatas yang
harus dipenuhi untuk mendapatkan solusi layak. Sebagai
contoh, kita mungkin memilih dari salah bentuk di bawah
ini untuk tujuan dan pembatas :
maksimumkan (kepuasan pengguna)
terhadap : biaya total pengeluaran < C0
atau
215
minimumkan (total pengeluaran)
terhadap : kepuasan pemakai > S0
atau
minimumkan (lama rat-rata sesi per pemakai)
terhadap : biaya total < C0
atau
minimumkan (total biaya)
termasuk biaya pemakai dan biaya sumber daya
Beberapa dari tujuan dan pembatas ini perlu
diklarifikasi, yang merupakan langkah penting dalam
formulasi masalah. Tanpa mengidentifikasi dengan jelas
dan lebih dini pertanyaan yang harus dijawab dari model
simulasi, proses pemodelan simulasi akan berakhir dengan
sendirinya dan analisis akan sangat mudah kehilangan
wawasan tujuan akhir dari pemodelan. Detil dan level
kompleksitas model harus merefleksikan penggunaan
akhir model. Model tidak perlu lebih kompleks atau lebih
detil dari pertanyaan yang harus dijawab yang dibuat di
awal analisis.
Karena tujuan pengembangan model adalah untuk
mendukung pengambilan keputusan, maka selanjutnya
kita harus mempertimbangkan kriteria pengambilan
keputusan termasuk tujuan dan kendala yang dihadapi.
Berbagai kriteria keputusan ada, tapi jika kita membatasi
pilihan pada pengukuran biaya dan level pelayanan, kita
dapat mempertimbangkan kriteria seperti berikut:
216
1. minimumkan TC
2. minimumkan TC dengan kendala PK < P0
3. minimumkan PK dengan kendala TC < TC0
4. minimumkan biaya total sistem (termasuk nilai
waktu pemakai, biaya perangkat keras dan telepon).
Kriteria terakhir ini adalah yang umum, tapi kita
akan menghadapi model yang lebih kompleks.
Kompleksitasnya ada karena kita harus mengukur nilai
waktu pemakai. Untuk selanjutnya kita akan
menggunakan kriteria keputusan no. 2. Nilai P0 dibuat
0.02 dan level pelayanan paling tidak 0.98.
8.4.2 Model Analitik
Sebelum mengembangkan model simulasi, pertama-
tama harus selalu dipertimbangkan apakah model analitik
dapat digunakan. Pengembangan dan penggunaan model
analitik lebih murah dibandingkan model simulasi, dan
bahkan jika model analitik sempurna tidak dapat
dikembangkan, model analitik pendekatan akan sangat
berguna untuk menganalisis sistem.
Model analitik untuk kasus komputer time-shared di
atas dapat dikembangkan dengan membuat beberapa
asumsi terlebih dahulu :
Waktu koneksi berdistribusi secara eksponensial
dengan rata-rata konstan.
217
Waktu antara dua panggilan berdistribusi
eksponensial dengan rata-rata konstan.
Pengaruh jumlah awal pemakai yang terhubung ke
sistem pada permulaan hari menghilang dengan
cepat
Distribusi waktu di antara panggilan tidak berubah
(paling tidak secara mendasar) ketika semua port
terpakai.
Misalkan : Pi = peluang secara tepat sejumlah i
pemakai terhubung, i = 0, 1, ..., K
= 1/waktu rata-rata antara kedatangan
= 1/rata-rata waktu terhubung
maka,
1
00
!
iP
K
i
i
(1) dan
i
i
P
P
0
1
(2) 1 i K
Dalam model ini, PK adalah probabilitas bahwa
semua port digunakan atau probabilitas bahwa pengguna
yang mau masuk ke sistem tidak dapat terhubung.
218
Menggabungkan kedua persamaan di atas akan diperoleh:
i
K
P
K
i
i
K
K
0
!
(3)
ada 108 pilihan alternatif berbeda (2 kecepatan transmisi,
3 ukuran memori dan sampai 18 ports). Dari sudut
pandang model antrian, setiap alternatif pilihan dapat
direpresentasikan dengan waktu koneksi rata-rata (1
) dan
jumlah port K. menggunakan persamaan (3), level
pelayanan PC dapat dihitung untuk setiap alternatif. Tabel
1 menunjukkan waktu terhubung rata-rata untuk himpunan
bagian pilihan kecepatan transmisi dan 3 memori.
Tabel 1. Waktu terhubung rata-rata
Diagram Model Simulasi (graf) kejadian untuk
sistem di atas adalah:
219
Gambar 8.3 Graf kejadian untuk sistem komputer time-
shared
Variabel status :
N(t) = jumlah port sibuk
Kejadian :
1. pemakai berusaha koneksi ke sistem
2. pemakai terhubung dan sesi mulai
3. pemakai menyudahi sesi
Kondisi :
C(1) : n(t) < K
Penundaan :
t(a) = waktu sampai pemakai berikutnya berusaha masuk
t(s) = jangka waktu pemakai terhubung dengan sistem
1 2 c(1) 3
t(a)
t(s)
220
Variabel model :
Variabel Eksogenus – tidak dapat dikontrol
Variabel Eksogenus –dapat dikontrol (variabel
keputusan)
Variabel Endogenus – variabel status
Variabel Endogenus – ukuran kinerja
Parameter simulasi
221
Function dan Subroutines
Logika pemrograman menggunakan metode
penjadwalan kejadian waktu berlanjut ditunjukkan
Gambar 8.4.
Gambar 8.4. Logika pemrogaman time-shared
computer
222
8.4.3 Pertimbangan Pemrograman dan Struktur Data
Usaha perhitungan dalam simulasi pada umumnya
melibatkan banyak kejadian, seperti identifikasi kejadian
paling dekat berikutnya dan penjadwalan kejadian
berikutnya. Program simulasi akan jauh lebih efisien jika
kejadian yang dieksekusi diurutkan berdasarkan waktu
kejadian berikutnya, daripada disimpan tidak terurut.
Daripada mencari sekumpulan kejadian berikutnya secara
fisik di dalam komputer, akan lebih baik melakukan
pencarian secara logika. Menggunakan metode penstruktur
data, efisiensi simulasi komputer dapat ditingkatkan secara
signifikan, khususnya saat simulasi mempunyai banyak
kejadian berikutnya dijadwalkan.
8.4.4 Penambahan Waktu dalam Model Simulasi
Penambahan waktu dalam model simulasi harus
diperhatikan. Dua sisi sering harus dihadapi dalam
penambahan waktu mode simulasi. Pertama, dalam
banyak kasus, waktu (T) ditambah dengan selisih waktu
(T+delta) tanpa ada kejadian selama interval waktu (T,
T+delta), menyebabkan pencarian kejadian selama interval
waktu menjadi sia-sia. Kedua, akan terjadi kehilangan
akurasi jika kejadian dimungkinkan terjadi hanya pada
waktu delta dan kelipatannya. Jika delta dinaikkan,
permasalahan yang pertama akan dikurangi tetapi akan
menyebabkan penurunan akurasi. Sebaliknya, ukuran
delta dikurangi. Keakuratan akan lebih baik, tetapi
frekuensi pembaharuan (dan pencarian berurutan kejadian)
meningkat, menyebabkan komputasi model tidak efisien.
223
Metode alternatif untuk memperbaharui waktu (T)
adalah dengan memeriksa semua kejadian di masa
mendatang secara berurut dan memperharui T dengan
waktu kejadian paling dulu terjadi. Dengan melangkah ke
kejadian terjadwal terdekat, baik permasalahan
pembaharuan yang tidak penting dan akurasi dapat
dihilangkan, tapi logika yang agak lebih kompleks.pada
kebanyakan simulasi kejadian-diskrit, pelacakan kejadian
adalah metode yang paling disukai dalam penambahan
waktu dan merupakan metode paling banyak dilakukand
alam bahasa simulasi.
8.5 Aplikasi Pemodelan Simulasi untuk Sistem Antrian
Kesehatan
Pada penelitian Nia pada tahun 2009 melakukan analisa
system antrian kegiatan di Puskesmas Kelurahan Sadang
Serang, puskesmas tersebut melayani pasien dewasa dan anak-
anak. Puskesmas Sadang Serang memiliki fasilitas dokter umum
(untuk pasien dewasa), dokter anak, dokter gigi dan apotek. Jam
operasinya hanya empat jam, yaitu dari jam 08.00 s/d 12.00
WIB. Hal tersebut yang mengakibatkan panjangnya antrian
pasien. Antrian pendaftaran dan dokter umum yang panjang
mengakibatkan banyak pasien di jam tertentu tidak mendapatkan
tempat duduk di ruang tunggu. Mau tidak mau pasien tersebut
harus menunggu, karena kondisi yang tidak sehat harus segera
disembuhkan. Hal tersebut pula mendorong peneliti untuk
memecahkan masalah tersebut. Agar pasien yang datang ke
puskesmas merasa nyaman dan setidaknya dapat menstimulus
pasien agar cepat sembuh dari penyakit yang dideritanya.
224
Adapun masalah yang kami temukan dilapangan adalah
adanya antrian yang panjang pada jam-jam tertentu setiap
fasilitas puskesmas. Tujuan penelitian ini adalah untuk
mengetahui berapa jumlah tempat duduk yang harus tersedia
untuk menampung pasien dewasa dan anak-anak pada jam sibuk
(peak hour) dan menentukan jumlah server yang tepat sehingga
rata-rata waktu menunggu lebih singkat
8.5.1 Kejadian kondisional diskret
Simulasi kejadian diskret (discrete time simulation)
merupakan simulasi dengan perubahan status dari model
simulasi terjadi pada titik-titik waktu yang diskret yang
dipicu oleh kejadian. Dalam simulasi kejadian diskret,
variabel status berubah jika suatu kejadian terjadi.
Sedangkan simulasi kontinyu, variabel status berubah
dengan berubahnya waktu.
Kejadian yang dipicu oleh suatu kondisi tertentu.
Contoh dalam sistem antrian adalah kejadian seorang
pelanggan mulai dilayani (yang dipicu oleh kejadian orang
sebelumnya selesai dilayani).
8.5.2 Pemrosesan Kejadian
Kejadian memicu eksekusi dari logika yang
berkaitan dengan kejadian. Contohnya adalah jika suatu
entitas membebaskan suatu sumberdaya, variabel status
dan statistik diperbarui dan daftar tunggu diperiksa untuk
memeriksa aktivitas apa yang akan diproses berikutnya.
225
Pada sistem nyata, kejadian-kejadian dapat terjadi
bersamaan. Dalam simulasi komputer, hanya ada satu
aktivitas yang diproses pada suatu saat. Diperlukan suatu
metode atau aturan untuk menentukan kejadian yang
terjadi pada saat yang bersamaan.
8.5.3 Kejadian (Event)
Dua kejadian yang mengubah status system adalah
kedatangan (arrival) dan kepergian (departure). Kejadian
kedatangan terjadi jika pelanggan tiba di antrian. Tiap
pemrosesan kedatangan pelanggan mencakup penjadwalan
kedatangan pelanggan berikutnya. Jika pelanggan dilayani
ATM, kepergian dijadwalkan berdasarkan lamanya waktu
pelayanan. Untuk penghentian simulasi disebut kejadian
penghentian (termination). Sedangkan pada deskripsi
sistem dapat digambarkan sebagai berikut :
1. Lokasi puskesmas terlatak di daerang sadang serang.
2. Terdapat fasilitas pelayanan didalamnya,
diantaranya pelayanan dokter umum, dokter anak
dan apotek.
3. Jam pelayanan dibatasi hanya 4 jam, yaitu dari jam
08:00 WIB – 12:00 WIB.
Pada model konseptual untuk penerapan antrian
puskesmas maka digambarkan pemodelannya sebagai
berikut:
226
20 14 13 12 11 1
Kedatangan pasienAntrian Pendaftaran
( FIFO)Layanan
Pendaftaran Kepergian pasien
8 6 5
Antrian Klinik( FIFO) Layanan Klinik
4 3 2
Antrian Apotek( FIFO) Layanan Apotek
10 9 7
Antrian Klinik( FIFO) Layanan Klinik
Gambar 8.5 Model Konseptual
Adapun analisis data input meliputi :
1. Pengujian independensi data, dilakukan dengan
scatter plot, autocorelation plot dan run test
2. Pengujian data mempunyai distribusi identik, yang
dilakukan dengan uji Kruskal Wallis
3. Fitting terhadap distribusi teoritis tertentu, dilakukan
dengan uji Chisquare
Diagram aliran entitas :
Gambar 8.6 Aliran Diagram Entitas
227
Hasil analisis data input dapat dilihat pada Tabel 1.
Urutan kedatangan pasien di puskesmas hingga
meninggalkan apotek dapat dilihat pada Gambar 3.
Tabel 1. Hasil Analisis Data Input
8.5.4 Proses Simulasi Pro Model
Berikut ini adalah beberapa gambar dari proses
running pada software Pro Model
Gambar 8.7 Contoh gambar Simulasi Pro Model
228
8.5.5 Verifikasi dan Validasi Model
Verifikasi dilakukan dengan membandingkan antara
input yang diberikan model dan animasi running simulasi.
Input model yang terdiri dari lama waktu antar
kedatangan, waktu pelayanan pendaftaran, waktu
pelayanan dokter umum, waktu pelayanan dokter anak,
dan waktu pelayanan apotek, hasil running simulasi dapat
menampilkan sesuai dengan input yang diberikan. Maka
dengan melihat dan membandingkan antara logika
konseptual dan logika pada model simulasi hasil running
simulasi dapat disimpulkan bahwa telah sesuai dan
berdasarkan hasil tersebut pula maka model ini telah
terverifikasi.
Validasi dilakukan dengan membandingkan output
hasil simulasi dengan kondisi aktual, dengan
menggunakan uji t. Uji t dilakukan untuk menguji apakah
data dari model dan aktual berasal dari distribusi yang
sama. Pada masalah ini, kami membandingkan output
maksimum antrian dari model simulasi dan aktual,
kemudian dilakukan uji t. Berdasakan uji kenormalan,
data secara signifikan berdistribusi normal dengan
menggunakan selang kepercayaan 95%. Dari hasil uji-t di
atas, signifikansi > 0.05 untuk semua variabel, sehingga
dapat disimpulkan data simulasi dan aktual berasal dari
distribusi yang sama, dan dikatakan model valid.
8.6 Permasalahan Analisis dalam Model Simulasi
Semua sistem dinamis dapat dikategorikan sebagai sistem
terminating atau nonterminating. Sistem diklasifikasikan
229
terminating jika kejadian yang menggerakkan sistem
menghentikan kejadian dalam suatu waktu tertentu, sedangkan
sistem diklasifikasikan nonterminating jika kejadian diskrit
terjadi berulang-ulang tanpa batasan. Mungkin ada sesi kejadian
berulang yang disebut dengan regenerasi dalam sistem
terminating, tetapi setiap sesi itu akan mulai dari awal lagi.
Dalam sistem kejadian diskrit terminating, suatu kejadian TE
menandai akhir dari suatu sesi. Kejadian TE mungkin selalu
terjadi pada waktu yang sama, selama setiap sesi, atau waktu
kejadiannya mungkin variabel acak. Dalam sistem terminating,
status akhir sesi sebelumnya tidak mempengaruhi status awal
sesi berikutnya. Sebaliknya dalam sistem nonterminating,
kejadian diskrit menggerakkan sistem terjadi terus tanpa batas.
Bagian tunggal sistem berlangsung terus tanpa batas dan tidak
ada kejadian yang mengakhiri.
Adalah penting untuk membedakan sistem terminating
atau nonterminating, karena masing-masing menggunakan
metode analisis output berbeda. Perlu diperhatikan juga
perbedaan antara sistem dan simulasi sistem. Setiap simulasi
merupakan proses terminating tetapi tidak semua sistem bersifat
terminating. Untuk setiap simulasi, selanjutnya kita perlu
membedakan apakah simulasi steady-state (status stabil) atau
transient (sementara). Cara menganalisis output model simulasi
tergantung dari keadaan sistem (terminating atau
nonterminating) dan karakteristik perilakunya (steady-state atau
transient). Contoh-contoh sistem terminating:
1. Bank: bank buka setiap hari dari jam 9.00 pagi dengan
keadaan awal tidak ada nasabah dan ditutup jam 4.00 sore
dan menyelesaikan layanan nasabah yang terakhir ada di
antrian. Lama setiap sesi (hari) akan berbeda (tergantung
dari jumlah nasabah yang masih mengantri jam 4.00 sore
230
itu) tetapi setiap hari akan selalu dimulai dan diakhiri
dengan tidak ada nasabah dalam antrian. Kejadian yang
mengakhiri adalah penyelesaian pelayanan nasabah
terakhir. Dalam simulasi seperti ini kita akan menyukai
memilih mengukur kinerja yang menaksir waktu rata-rata
semua nasabah menunggu, sama halnya dengan waktu
rata-rata nasabah tiba pada waktu berbeda setiap harinya.
2. Sistem komputer: sistem komputer mulai bekerja pagi hari
ketika pengguna pertama masuk ke dalam sistem (log on),
dan berakhir ketika pengguna terakhir hari itu keluar dari
sistem (log off). Meskipun selama detik-detik akhir dan
jam-jam lebih awal kadang-kadang pengguna mungkin
akan masuk ke sistem (log on), perhatian kita hanya
selama jam kerja normal dan kinerja sistem selama bukan
ja kerja tidak diperhatikan. Setiap sesi mungkin mulai jam
8.00 pagi dengan sejumlah acak pengguna (sudah masuk
lebih awal dalam sistem) dan sesi diakhiri ketika pengguna
terakhir keluar dari sistem jam 5 sore. Ukuran kinerja
yang mungkin adalah jumlah rata-rata pengguna
terhubung ke sistem apda waktu yang berbeda dalam satu
hari, peluang seorang pengguna tidak bisa masuk ke dalam
sistem dalam waktu berbeda dalam satu hari, jumlah rata-
rata pengguna yang terhubung ke sistem setiap hari dan
peluang total seorang pengguna tidak dapat terhubung ke
sistem.
3. Permainan peluang: dua pemain dua melempar koin. Jika
kedua koin sama (menunjukkan kepala atau ekor), pemain
pertama akan memenangka satu dolar. Jika satu koin
menunjukkan kepala dan satunya lagi ekor, maka pemain
kedua akan memenangkan satu dolar. Permainan
berlangsung selama satu jam atau sampai salah satu
231
pemain kehabisan uangnya. Lama satu sesi oleh
karenanya adalah satu jam atau sampai keadaan dimana
salah satu pemain tidak dapat melanjutkan karena sudah
kehabisan uang. Kejadian yang mengakhiri terjadi ketika
salah satu pemain memenangkan uang terakhir pemain
lainnya atau satu jam telah berlangsung. Ukuran kinerja
bisa berupa rata-rata waktu permainan dan peluang
memenangkan permainan.
4. Inventori komponen: seorang produsen membeli mesin
berfungsi tunggal (special-purposes machine) bersamaan
dengan 5 komponen pengganti untuk komponen mesin
kritis. Mesin akan digunakan selama 2 tahun mendatang.
Jika komponen kritis rusak, komponen itu akan
digantikan. Pengusaha itu tidak akan mendapatkan
komponen pengganti dengan cepat dan dengan biaya
murah setelah pembelian awal itu. Lama setiap sesi oleh
akrenanya adalah 2 tahun atau sampai kelima komponen
pengganti sudah rusak. Kejadian yang mengakhiri adalah
waktu 2 tahun atau sampai kelima komponen rusak,
tergantung yang mana yang terjadi lebih dulu. Ukuran
kinerja sistem bisa berupa peluang komponen akan
bertahan selama 2 tahun dan waktu rata-rata sistem
beroperasi.
5. Sistem basis data: dalam basis data terkomputerisasi data
didistribusikan di dalam beberapa file. Data dihubungkan
menggunakan field kunci dan pointer. Ketika pertanyaan
basis data terjadi, pencarian dilakukan di semua file yang
mengandung data menggunakan field kunci dan pointer
untuk mencari lokasi data yang diminta. Kejadian yang
mengakhiri adalah lokasi data yang dibutuhkan. Ukuran
232
kinerja termasuk jumlah rata-rata file yang diakses dan
waktu rata-rata menemukan lokasi.
Sedangkan dalam penerapan contoh sistem nonterminating
akan dijelaskan seperti contoh dibawaah ini:
1. Jobshop: fasilitas produksi terdiri dari beberapa stasiun
kerja. Ketika suatu pekerjaan tiba pada fasilitas, pekerjaan
itu akan melewati beberapa stasiun sampai diselesaikan.
Meskipun shop hanya beroperasi satu shift dan tidak
beroperasi pada hari Sabtu atau minggu, jobshop ini
tergolong sistem nonterminating. Ketika operasi akan
diakhiri (seperti pada Jumat malam), status akhir sistem
akan menjadi status awal ketika operasi dimulai lagi.
Siklus hidup sistem tidak terbatas dan sistem
disimulasikan selama pengakumulasian statistik yang
dibutuhkan untu ukuran kinerja. Ukuran kinerja bsia
dalam bentuk utilisasi berbagai stasiun kerja, waktu rata-
rata penyelesaian satu pekerjaan dan rata-rata pekerjaan
dalam proses.
2. Sistem inventori: peritel menimbun barang dagangan dan
melakukan pemesanan ulang ketika level inventori
mencapai atau lebih rendah dari level yang ditentukan.
Meskipun aktifitas jualan hanya 8 jam sehari dan 5 hari
dalams atu minggu, inventori akhir pada hari tertentu akan
menjadi inventori awal pada hari berikutnya. Kejadian
diskrit yang menggerakkan sistem berlangsung tanpa
batas, dan ukuran kinerja termasuk rata-rata inventori,
fraksi order yang harus memesan ulang atau berlebih dan
jumlah rata-rata order per tahun.
233
3. Bandar udara: selama 24 jam per hari, pesawat tiba dan
berangkat dari bandara. Meskipun ada periode aktivitas
ringan dan berat, keadaan pagi di bandara tergantung dari
bagus tidaknya manajemen dilakukan sore sebelumnya
dengan tidak ada pengakhiran sistem. Ukuran kinerja
termasuk rata-rata waktu satu pesawat harus menunggu
untuk lepas landas atau mendarat dan rata-rata jumlah
pesawat menunggu untuk mendarat atau lepas landas.
4. Rumah sakit: pasien masuk rumah sakit dengan asumsi
kamar inap tersedia. Begitu satu tempat tidur sudah diisi,
tempat tidur itu tidak akan tersedia lagi sampai pasien
tersebut sudah pulang atau pindah kamar. Pasien yang
tidak dapat diterima karena tidak ada tempat tidur lagi
akan masuk ke rumah sakit lainnya jika memerlukan
perawatan segera atau menunggu sampai ada tempat tidur
yang kosong berikutnya. Jumlah pasien yang masuk dan
keluar setiap pagi tergantung dari jumlah pasien di rumah
sakit dan panjang daftar tunggu sore sebelumnya. Ukuran
kinerja termasuk rata-rata jumlah pasien dalam klinik dan
rata-rata waktu menunggu pasien untuk mendapatkan
perawatan.
5. Sistem status tetap: dosen direkrut oleh suatu universtas
dan beberapa tahun diberikan sebagai tahapan menuju
status tetap. Pada akhir setiap tahun pengajaran dan
penelitian dosen menerima tahun berikutnya sebagai
tahapan menuju status tetap. Setelah 6 tahun, evaluasi
dilakukan, dosen akan diangakt menjadi status tetap atau
hanya akan diberikan kontrak satu tahun lagi. Selama 6
tahun itu, dosen dapat meninggalkan universitas. Setelah
menerima status tetap, dosen dapat tinggal sampai pensiun
atau pindah ke universitas lain. Ini adalah sistem
234
nonterminating (kecuali untuk sdosen yang akhirnya tidak
mendapatkan status tetap) karena universitas mempunyai
masa hidup tidak terbatas.pada akhir sembarang tahun,
jumlah dosen dalam universitas tergantung dari jumlah
pada awal tahun dan status permanen mereka dan jumlah
tahun menuju status permanen. Ukuran kinerja adalah
jumlah dosen status permanen dan bukan permanen dan
peluang bahwa seorang dosen akan mendapatkan status
permanen.
Karakteristik perilaku sistem seperti yang diuraikan di atas
bisa steady-state (status stabil) atau transient. Untuk memahami
perbedaan steady-state dan transient, perhatikan definisi ini:
Asumsikan:
s(t) adalah status sistem pada waktu t.
Ps(t) adalah peluang bahwa sistem akan berada pada status s
pada waktu t.
Sistem akan berada dalam status stabil relatif terhadap
variabel status s ketika
0
dt
tdPs
jika tidak sistem tidak akan mencapai status stabil dan
dikatakan menunjukkan perilaku transient. Ketika distribusi
peluang variabel status tidak berubah lagi sepanjang waktu,
maka variabel status sudah mencapai status stabil atau lebih
tepatnya mencapai distribusi status stabilnya.
Terminologi status stabil juga sering disalahartikan,
menyarankan bahwa sistem akan lebih terkontrol (tidak
235
berubah), menyebabkan hanya sedikit perubahan radikal dalam
statusnya. Kita tidak bisa menerima saja pemikiran bahwa
sistem mantap setelah periode dasar operasi. Meskipun
distribusi peluang variabel status stabil sepanjang waktu, sistem
berpindah dari satu keadaan ke keadaan lainnya sama aktifnya
dengan fase status stabil saat sistem dalam keadaan fase
transient. Faktanya, ragam status sistem lebih besar pada
keadaan stabil dibandingkan selama dalam keadaan transient.
Contoh sistem yang dapat mencapai status stabil adalah:
1. Jobshop menerima order pada laju rata-rata konstan.
Awalnya, pada simulasi, jobshop mungkin tidak
mempunyai pekerjaan dalam proses. Asumsinya jobshop
meneruskan operasi secara tidak terbatas. Sistem ini
nonterminating dan mencapai perilaku status stabil.
2. Bank darah mengumpulkan dan menyimpan darah,
mendistribusikannya ke anggota rumah sakit yang
membutuhkannya. Dengan menganggap permintaan akan
darah seragam sepanjang tahun, inventori darah akan
memenuhi distribusi status stabil. Sistem adalah
nonterminating.
3. Pembayaran tol dikumpulkan di boks tol pada pintu masuk
tol selama jam sibuk (jam 7 sampai jam 9). Jika intensitas
lalu lintas tidak berubah selama 2 jam, dan laju
kedatangan cukup besar, sistem akan melewati fase
transientnya dengan cepat dan analisis status stabil akan
sesuai, meskipun simulasi hanya untuk 2 jam. Ketika
dianalisis dalam bentuk seperti ini, sistem adalah
terminating dan kejadian yang menghentikan adalah
kesimpulan jam sibuk.
236
Contoh sistem yang tidak akan mencapai status stabil adalah:
1. Pengguna sistem komputer time-shared terhubung ke
sistem jam 8 pagi sampai jam 5 sore. Laju pengguna
terhubung ke sistem bervariasi sepanjang hari, dengan
permintaan padatnya pertengahan pagi dan sore. Sistem
ini adalah terminating yang tidak akan mencapai distribusi
status stabil karena variasi permintaan sistem komputer
dan jam operasi yang terbatas 9 jam.
2. Perusahaan penerbangan punya kebijakan untuk menerima
reservasi lebih 5% dari total tempat duduk yang tersedia
untuk mengantisipasi penumpang yang tidak muncul pada
jam penerbangan. Setiap hari merupakan sesi terminating,
diakhiri dengan sejumlah acak penumpang yang tidak
dapat tiket. Kondisi akhir hari tertentu tidak akan
mempengaruhi kondisi awal hari berikutnya (dengan
asumsi penumpang yang tidak dapat tiket hari tertentu
sudah terakomodasi dengan penerbangan lainnya hari itu
juga). Dalam simulasi ini tidak ada distribusi status stabil
maupun transient dan waktu buakn inti simulasi.
8.7 Rangkuman
Penerapan simulasi untuk menerapkan system yang
berbeda-berbeda dari karakteristik model sebenarnya. Karena
itu menggunakan output simulasi kejadian diskrit untuk
menjawab pertanyaan pemodelan yang merupakan perilaku dan
karakteristik sistem nyata bisa menjadi pekerjaan yang sangat
sulit. Dalam berbagai studi simulasi, waktu dan dana besar
biasanya dikeluarkan saat pengembangan model dan pembuatan
program, tapi sangat sedikit usaha yagn dilakukan dalam
237
menganalisis output simulasi dengan tepat. Ada beberapa alasan
kenapa analisis data output belum dilakukan dengan benar.
Pertama, pengguna sering membayangkan bahwa simulasi
hanya latihan dalam pemrograman komputer, bahkan untuk
yang sangat kompleks. Akibatnya, banyak studi simulasi
dimulai dengan pembangunan dan pengkodean model heuristik
dan diakhiri dengan penjalanan tunggal mode untuk
menghasilkan “jawaban”. Padahal, simulasi adalah percobaan contoh statistik berbasis komputer. Oleh karena itu, jika hasil
simulasi tidka mempunyai arti, teknik statistik harus digunakan
untuk merancang dan menganalisis percobaan simulasi. Alasan
kedua adalah output proses semua simulasi maya bersifat
dinamis dan otokorelasi.
LATIHAN
1. Simulasikan system antrian dengan monte carlo berdasarkan
parameter waktu dan kedatangan.
2. Dalam suatu ruang praktek dokter, setiap 4 menit datang 1
pasien. Untuk melayani setiap pasien dibutuhkan waktu 2,5
menit. Jam kerja praktek dokter adalah jam 15.00 – 18.00.
Hitunglah:
a) Banyaknya pasien yang bisa dilayani selama jam kerja.
(45 pasien)
b) Rata-rata banyaknya pasien dalam sistem. (1,66 pasien)
c) Rata-rata panjang antrian. (1,04 pasien)
d) Rata-rata waktu menunggu seorang pasien dalam sistem.
(6,66 menit)
238
e) Rata-rata waktu menunggu tiap pasien sebelum menerima
pelayanan (antri). (4,16 menit)
DAFTAR PUSTAKA
1. Nia Budi Puspitasari , 2009 Simulasi Pelayanan Puskesmas
Sadang Serang http://www.e-jurnal.com/2014/09/simulasi-
pelayanan-puskesmas-sadang.html
2. Dwyer. 1997. Simulations in the Learning Cycle: A Case Study
Involving Exploring the Nardoo. University of Alabama
3. Eylon, et.al. 1996. Computer Simulation as Tool for Teaching
and Learning. Using a Simulation Environment in Optics.
Journal of Science Education anf Technology.
4. Zeitzman, A.l., & Hewson, P.W.1986. Effect of Instruction
Using Microcomputers Simulations and Conceptual Change
Strategies onScience Learning. Journal of Research and Science
Teaching.
5. W.DavidKelton: Books. Simulation Modelling and Analysis
.McGraw Hill, 2001
6. openstorage.gunadarma.ac.id/.../simulasi%20sistem/PENGEMB
ANGAN...
7. William Stalling, “Operating Systems second edition”, Prentice Hall International Editions, USA, 1995.