penetración de una barrera de potencial

7/29/2019 Penetracin de una barrera de potencial

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Penetracin de una barrera de potencial

Soluciones de la ecuacin de SchrdingerPenetracin de una barrera de potencial

Se puede determinar a partir de la ecuacin de Schrdinger la probabilidad T de que una partcula

atraviese una barrera de potencial. Esta probabilidad es proporcional al cuadrado de la relacin de

amplitudes de las funciones senoidales de onda, a los dos lados de la barrera. Estas amplitudes se

determinan igualando las funciones de onda y sus derivadas en los puntos limtrofes, lo cual es un

problema matemtico bastante complicado. Cuando T es mucho menor que la unidad, T se determina de

forma aproximada con la frmula que sigue:

Donde

E = Energa de la partcula

V = Potencial de la barrera

a = espesor de la barrera

Nos interesa estudiar el caso en que la partcula llega a la barrera desde la izquierda (regin 1, x < 0) con

una energa E < V. En ese caso la Mecnica Clsica predice que la partcula se refleja en x < 0 y no puedellegar a la regin 3 (x < a). Se demostrar entonces que la Mecnica Cuntica predice en cambio que la

partcula tiene cierta probabilidad T de atravesar la barrera.

Aclaremos que la ecuacin de Schrdinger no es vlida para partculas relativistas. Esto es as porque la

ecuacin de la mecnica clsica est implcita en su desarrollo y la energa para esta partcula es
http://2.bp.blogspot.com/-l5JvzX1ZSxk/TqSZ0gaQL3I/AAAAAAAAAWQ/rqJVCU3zE1k/s1600/2.jpghttp://4.bp.blogspot.com/-D-1A-TeoMHQ/TqSaJ7DtJvI/AAAAAAAAAXY/BgzFJ_bxQBU/s1600/Imagen87.jpghttp://2.bp.blogspot.com/-l5JvzX1ZSxk/TqSZ0gaQL3I/AAAAAAAAAWQ/rqJVCU3zE1k/s1600/2.jpghttp://4.bp.blogspot.com/-D-1A-TeoMHQ/TqSaJ7DtJvI/AAAAAAAAAXY/BgzFJ_bxQBU/s1600/Imagen87.jpghttp://2.bp.blogspot.com/-l5JvzX1ZSxk/TqSZ0gaQL3I/AAAAAAAAAWQ/rqJVCU3zE1k/s1600/2.jpghttp://4.bp.blogspot.com/-D-1A-TeoMHQ/TqSaJ7DtJvI/AAAAAAAAAXY/BgzFJ_bxQBU/s1600/Imagen87.jpg


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En 1928 Paul Dirac desarroll una teora relativista de la mecnica cuntica utilizando esencialmente los

mismos postulados de la teora de Schrdinger, excepto que la ecuacin anterior la sustituy por su

anloga relativista

Por supuesto que la teora de Dirac se reduce a la de Schrdinger a bajas velocidades. Afortunadamente,

la mayora de los fenmenos cunticos se pueden estudiar en casos que no son relativistas.

Para el caso que nos atae, las soluciones generales de la ecuacin de Schrdinger independiente del

tiempo en las tres regiones en que se divide el eje x son:

Partimos de la ecuacin de Schrdinger

Y a partir de aqu se plantea la ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo:

En la primera regin, el potencial V es cero y se puede reacomodar haciendo

Esta es una ecuacin diferencial de segundo orden homognea con coeficientes constantes. Recordemos

que las soluciones sern:

Aqu:
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Y la solucin ser

En la segunda regin el potencial V es distinto de cero y vale V.

Cuya solucin ahora es:

En la tercera regin el potencial vuelve a ser cero:

A partir de aqu se aplican las condiciones frontera (tambin denominadas de contorno o empalme):

En matemticas, en el campo de las ecuaciones diferenciales, un problema de valor de frontera se lo

denomina al conjunto de una ecuacin diferencial y a las condiciones de frontera. Una solucin de un

problema de condiciones de frontera es una solucin de una ecuacin diferencial que tambin satisface

condiciones de frontera.

Un problema de condiciones de frontera aparece en muchos aspectos de la fsica, como en las ecuaciones

diferenciales que explican ciertos problemas fsicos. Problemas que involucran la ecuacin de onda son

comnmente problemas de condiciones de frontera. Muchas clases de problemas de valores de frontera

importantes son los problemas de Sturm-Liouville. El anlisis de estos problemas involucra funciones

propias y operadores diferenciales.

Muchos de los primeros problemas de valor de frontera han sido estudiados mediante los problemas de

Dirichlet, o buscando una funcin armnica (solucin de una ecuacin de Laplace) cuya solucin est dada

por el principio de Dirichlet.

Entonces, las condiciones de empalme en x = 0 son
http://3.bp.blogspot.com/-R_RDvIBDyEE/TqScIjjXYvI/AAAAAAAAAXw/Rpx-0En7_R0/s1600/13.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-lSlk_Mu09UM/TqScG-ym0jI/AAAAAAAAAXo/wX9v9NMh6f4/s1600/12.jpghttp://1.bp.blogspot.com/-Df_Z_JVqzPI/TqScE6qC_FI/AAAAAAAAAXg/7na7TQq94tY/s1600/11.jpghttp://2.bp.blogspot.com/-IHB1npKsPos/TqSZ7ev-X2I/AAAAAAAAAXQ/1CCoWIsc0Nk/s1600/10.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-9icgA7YALVQ/TqSZ6Sjl6CI/AAAAAAAAAXI/F0r9QL6xS-I/s1600/9.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-R_RDvIBDyEE/TqScIjjXYvI/AAAAAAAAAXw/Rpx-0En7_R0/s1600/13.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-lSlk_Mu09UM/TqScG-ym0jI/AAAAAAAAAXo/wX9v9NMh6f4/s1600/12.jpghttp://1.bp.blogspot.com/-Df_Z_JVqzPI/TqScE6qC_FI/AAAAAAAAAXg/7na7TQq94tY/s1600/11.jpghttp://2.bp.blogspot.com/-IHB1npKsPos/TqSZ7ev-X2I/AAAAAAAAAXQ/1CCoWIsc0Nk/s1600/10.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-9icgA7YALVQ/TqSZ6Sjl6CI/AAAAAAAAAXI/F0r9QL6xS-I/s1600/9.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-R_RDvIBDyEE/TqScIjjXYvI/AAAAAAAAAXw/Rpx-0En7_R0/s1600/13.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-lSlk_Mu09UM/TqScG-ym0jI/AAAAAAAAAXo/wX9v9NMh6f4/s1600/12.jpghttp://1.bp.blogspot.com/-Df_Z_JVqzPI/TqScE6qC_FI/AAAAAAAAAXg/7na7TQq94tY/s1600/11.jpghttp://2.bp.blogspot.com/-IHB1npKsPos/TqSZ7ev-X2I/AAAAAAAAAXQ/1CCoWIsc0Nk/s1600/10.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-9icgA7YALVQ/TqSZ6Sjl6CI/AAAAAAAAAXI/F0r9QL6xS-I/s1600/9.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-R_RDvIBDyEE/TqScIjjXYvI/AAAAAAAAAXw/Rpx-0En7_R0/s1600/13.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-lSlk_Mu09UM/TqScG-ym0jI/AAAAAAAAAXo/wX9v9NMh6f4/s1600/12.jpghttp://1.bp.blogspot.com/-Df_Z_JVqzPI/TqScE6qC_FI/AAAAAAAAAXg/7na7TQq94tY/s1600/11.jpghttp://2.bp.blogspot.com/-IHB1npKsPos/TqSZ7ev-X2I/AAAAAAAAAXQ/1CCoWIsc0Nk/s1600/10.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-9icgA7YALVQ/TqSZ6Sjl6CI/AAAAAAAAAXI/F0r9QL6xS-I/s1600/9.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-R_RDvIBDyEE/TqScIjjXYvI/AAAAAAAAAXw/Rpx-0En7_R0/s1600/13.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-lSlk_Mu09UM/TqScG-ym0jI/AAAAAAAAAXo/wX9v9NMh6f4/s1600/12.jpghttp://1.bp.blogspot.com/-Df_Z_JVqzPI/TqScE6qC_FI/AAAAAAAAAXg/7na7TQq94tY/s1600/11.jpghttp://2.bp.blogspot.com/-IHB1npKsPos/TqSZ7ev-X2I/AAAAAAAAAXQ/1CCoWIsc0Nk/s1600/10.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-9icgA7YALVQ/TqSZ6Sjl6CI/AAAAAAAAAXI/F0r9QL6xS-I/s1600/9.jpg


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Si resolvemos el sistema para A y B en trminos de C y D resulta:

Que se puede escribir en forma matricial

Las condiciones de empalme en x=a son

Y nos dan:

Si resolvemos el sistema para D y C en trminos de F y G
http://3.bp.blogspot.com/-Lz-sppzJRRA/TqSerlm-VjI/AAAAAAAAAYY/3Cw_1F9OYZc/s1600/18.jpghttp://1.bp.blogspot.com/--b4_Nyb-nOM/TqSeWdk3cSI/AAAAAAAAAYQ/jZ-lvVNF8LQ/s1600/17.jpghttp://4.bp.blogspot.com/-O1Vfd6iT-NQ/TqSdlwCGXhI/AAAAAAAAAYI/MVJHGX4OfMw/s1600/16.jpghttp://4.bp.blogspot.com/-dpGKD1QfBIc/TqSdJOVW9AI/AAAAAAAAAYA/vdsmhdUdPqs/s1600/15.jpghttp://1.bp.blogspot.com/-rDdNTbqfSvY/TqSdHQOkxAI/AAAAAAAAAX4/efwQh0pOSIg/s1600/14.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-Lz-sppzJRRA/TqSerlm-VjI/AAAAAAAAAYY/3Cw_1F9OYZc/s1600/18.jpghttp://1.bp.blogspot.com/--b4_Nyb-nOM/TqSeWdk3cSI/AAAAAAAAAYQ/jZ-lvVNF8LQ/s1600/17.jpghttp://4.bp.blogspot.com/-O1Vfd6iT-NQ/TqSdlwCGXhI/AAAAAAAAAYI/MVJHGX4OfMw/s1600/16.jpghttp://4.bp.blogspot.com/-dpGKD1QfBIc/TqSdJOVW9AI/AAAAAAAAAYA/vdsmhdUdPqs/s1600/15.jpghttp://1.bp.blogspot.com/-rDdNTbqfSvY/TqSdHQOkxAI/AAAAAAAAAX4/efwQh0pOSIg/s1600/14.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-Lz-sppzJRRA/TqSerlm-VjI/AAAAAAAAAYY/3Cw_1F9OYZc/s1600/18.jpghttp://1.bp.blogspot.com/--b4_Nyb-nOM/TqSeWdk3cSI/AAAAAAAAAYQ/jZ-lvVNF8LQ/s1600/17.jpghttp://4.bp.blogspot.com/-O1Vfd6iT-NQ/TqSdlwCGXhI/AAAAAAAAAYI/MVJHGX4OfMw/s1600/16.jpghttp://4.bp.blogspot.com/-dpGKD1QfBIc/TqSdJOVW9AI/AAAAAAAAAYA/vdsmhdUdPqs/s1600/15.jpghttp://1.bp.blogspot.com/-rDdNTbqfSvY/TqSdHQOkxAI/AAAAAAAAAX4/efwQh0pOSIg/s1600/14.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-Lz-sppzJRRA/TqSerlm-VjI/AAAAAAAAAYY/3Cw_1F9OYZc/s1600/18.jpghttp://1.bp.blogspot.com/--b4_Nyb-nOM/TqSeWdk3cSI/AAAAAAAAAYQ/jZ-lvVNF8LQ/s1600/17.jpghttp://4.bp.blogspot.com/-O1Vfd6iT-NQ/TqSdlwCGXhI/AAAAAAAAAYI/MVJHGX4OfMw/s1600/16.jpghttp://4.bp.blogspot.com/-dpGKD1QfBIc/TqSdJOVW9AI/AAAAAAAAAYA/vdsmhdUdPqs/s1600/15.jpghttp://1.bp.blogspot.com/-rDdNTbqfSvY/TqSdHQOkxAI/AAAAAAAAAX4/efwQh0pOSIg/s1600/14.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-Lz-sppzJRRA/TqSerlm-VjI/AAAAAAAAAYY/3Cw_1F9OYZc/s1600/18.jpghttp://1.bp.blogspot.com/--b4_Nyb-nOM/TqSeWdk3cSI/AAAAAAAAAYQ/jZ-lvVNF8LQ/s1600/17.jpghttp://4.bp.blogspot.com/-O1Vfd6iT-NQ/TqSdlwCGXhI/AAAAAAAAAYI/MVJHGX4OfMw/s1600/16.jpghttp://4.bp.blogspot.com/-dpGKD1QfBIc/TqSdJOVW9AI/AAAAAAAAAYA/vdsmhdUdPqs/s1600/15.jpghttp://1.bp.blogspot.com/-rDdNTbqfSvY/TqSdHQOkxAI/AAAAAAAAAX4/efwQh0pOSIg/s1600/14.jpg


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Que escribimos en forma matricial

Juntando ambas formas matriciales

Donde

La ecuacin matricial anterior vincula las amplitudes de las ondas a izquierda y derecha de la barrera, y

por lo tanto permite resolver cualquier problema de reflexin y transmisin que se desee.

Para el caso nuestro, donde E


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Y sabiendo que

Hacemos el cociente

El coeficiente de transmisin de la barrera es:

Es decir, el mdulo de los nmeros complejos elevado al cuadrado
http://4.bp.blogspot.com/-oscYAP9Lgew/TqSkO7OneNI/AAAAAAAAAZg/Gz9UqBzPgaQ/s1600/27.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-IpJmXaeTwWw/TqSisiZWAyI/AAAAAAAAAZY/-Mizvcujz2M/s1600/26.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-LX8pqyF_F0s/TqSicHPZe4I/AAAAAAAAAZQ/IohrROzPASk/s1600/25.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-t3JSmyLGHEw/TqSiAbUhL8I/AAAAAAAAAZI/Q6smcGOMHGQ/s1600/24.jpghttp://4.bp.blogspot.com/-oscYAP9Lgew/TqSkO7OneNI/AAAAAAAAAZg/Gz9UqBzPgaQ/s1600/27.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-IpJmXaeTwWw/TqSisiZWAyI/AAAAAAAAAZY/-Mizvcujz2M/s1600/26.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-LX8pqyF_F0s/TqSicHPZe4I/AAAAAAAAAZQ/IohrROzPASk/s1600/25.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-t3JSmyLGHEw/TqSiAbUhL8I/AAAAAAAAAZI/Q6smcGOMHGQ/s1600/24.jpghttp://4.bp.blogspot.com/-oscYAP9Lgew/TqSkO7OneNI/AAAAAAAAAZg/Gz9UqBzPgaQ/s1600/27.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-IpJmXaeTwWw/TqSisiZWAyI/AAAAAAAAAZY/-Mizvcujz2M/s1600/26.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-LX8pqyF_F0s/TqSicHPZe4I/AAAAAAAAAZQ/IohrROzPASk/s1600/25.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-t3JSmyLGHEw/TqSiAbUhL8I/AAAAAAAAAZI/Q6smcGOMHGQ/s1600/24.jpghttp://4.bp.blogspot.com/-oscYAP9Lgew/TqSkO7OneNI/AAAAAAAAAZg/Gz9UqBzPgaQ/s1600/27.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-IpJmXaeTwWw/TqSisiZWAyI/AAAAAAAAAZY/-Mizvcujz2M/s1600/26.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-LX8pqyF_F0s/TqSicHPZe4I/AAAAAAAAAZQ/IohrROzPASk/s1600/25.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-t3JSmyLGHEw/TqSiAbUhL8I/AAAAAAAAAZI/Q6smcGOMHGQ/s1600/24.jpg


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Si la barrera es alta (o sea E/V no es muy prximo a 1) y ancha

de modo que transmita poco, entonces
http://1.bp.blogspot.com/-WNUM_98IO8c/TqSk4uS6KsI/AAAAAAAAAZw/XaNGNXgyvK4/s1600/29.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-KxrxkSIhJKw/TqSkdp3uUFI/AAAAAAAAAZo/o8LNa2-azE4/s1600/28.jpghttp://1.bp.blogspot.com/-WNUM_98IO8c/TqSk4uS6KsI/AAAAAAAAAZw/XaNGNXgyvK4/s1600/29.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-KxrxkSIhJKw/TqSkdp3uUFI/AAAAAAAAAZo/o8LNa2-azE4/s1600/28.jpg


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De modo que la expresin se va a reducir bastante

Pues tambin se har

y la expresin de T toma una forma sencilla:

http://elfisicosupernumerario.blogspot.com/2011/10/penetracion-de-una-barrera-de-potencial.html

http://www.lfp.uba.ar/es/notas%20de%20cursos/notasmecanicacuantica/09Ejemplos.pdf
http://elfisicosupernumerario.blogspot.com/2011/10/penetracion-de-una-barrera-de-potencial.htmlhttp://3.bp.blogspot.com/-GKMftfjyBH0/TqSmH_53U5I/AAAAAAAAAaQ/agqudeNL3eY/s1600/33.jpghttp://2.bp.blogspot.com/-qN8eiLhkBEY/TqSl3eGWuyI/AAAAAAAAAaI/rG7ONZ1iK8g/s1600/32.jpghttp://4.bp.blogspot.com/-yQMTE4XiWK0/TqSlir2LZ4I/AAAAAAAAAaA/UcJ6CtScGOc/s1600/31.jpghttp://1.bp.blogspot.com/-QqvFiLIYbYQ/TqSlQ3bLbJI/AAAAAAAAAZ4/R5e2kJy5Ni8/s1600/30.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-GKMftfjyBH0/TqSmH_53U5I/AAAAAAAAAaQ/agqudeNL3eY/s1600/33.jpghttp://2.bp.blogspot.com/-qN8eiLhkBEY/TqSl3eGWuyI/AAAAAAAAAaI/rG7ONZ1iK8g/s1600/32.jpghttp://4.bp.blogspot.com/-yQMTE4XiWK0/TqSlir2LZ4I/AAAAAAAAAaA/UcJ6CtScGOc/s1600/31.jpghttp://1.bp.blogspot.com/-QqvFiLIYbYQ/TqSlQ3bLbJI/AAAAAAAAAZ4/R5e2kJy5Ni8/s1600/30.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-GKMftfjyBH0/TqSmH_53U5I/AAAAAAAAAaQ/agqudeNL3eY/s1600/33.jpghttp://2.bp.blogspot.com/-qN8eiLhkBEY/TqSl3eGWuyI/AAAAAAAAAaI/rG7ONZ1iK8g/s1600/32.jpghttp://4.bp.blogspot.com/-yQMTE4XiWK0/TqSlir2LZ4I/AAAAAAAAAaA/UcJ6CtScGOc/s1600/31.jpghttp://1.bp.blogspot.com/-QqvFiLIYbYQ/TqSlQ3bLbJI/AAAAAAAAAZ4/R5e2kJy5Ni8/s1600/30.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-GKMftfjyBH0/TqSmH_53U5I/AAAAAAAAAaQ/agqudeNL3eY/s1600/33.jpghttp://2.bp.blogspot.com/-qN8eiLhkBEY/TqSl3eGWuyI/AAAAAAAAAaI/rG7ONZ1iK8g/s1600/32.jpghttp://4.bp.blogspot.com/-yQMTE4XiWK0/TqSlir2LZ4I/AAAAAAAAAaA/UcJ6CtScGOc/s1600/31.jpghttp://1.bp.blogspot.com/-QqvFiLIYbYQ/TqSlQ3bLbJI/AAAAAAAAAZ4/R5e2kJy5Ni8/s1600/30.jpghttp://elfisicosupernumerario.blogspot.com/2011/10/penetracion-de-una-barrera-de-potencial.html

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