DIKTATKULIAHANALISIS

PENGANTARANALISISREALI(IntroductiontoRealAnalysisI)

M.ZakiRiyanto,S.Sie-mail:zaki@mail.ugm.ac.idhttp://zaki.math.web.id

COPYRIGHT2008-2009

PengantarAnalisisRealI

HALAMANPERSEMBAHAN

TulisaninisayapersembahkankepadapenggiatdanpemerhatiMatematikadiIndonesia

ii

PengantarAnalisisRealI

KATAPENGANTAR

Syukuralhamdulillah,akhirnyapenulisanbukuinidapatdiselesaikandengantepatwaktu.MateribukuinidiambildaricatatankuliahPengantarAnalisisRealIdiJurusanMatematikaUGMpadatahun2004dan2005.PengantarAnalisisRealImerupakanmatakuliahwajibbagimahasiswaS-1Matematika.Semogadenganbukuyangsederhanainidapatmembantuparamahasiswadalammempelajaridanmemahaminya.Diharapkanmahasiswatelahmempelajarikonseplogikapembuktian,himpunan,danKalkulusLanjut.PadakesempataninitaklupasayamengucapkanbanyakterimakasihkepadasemuatemankuliahdiMatematikaUGMangkatan2002dan2003,khususnyayangtelahmembantudanmeminjamkanbukucatatankuliahnya.Kamisangatmenyadarisepenuhnyabahwabukuinimasihjauhdarisempurna.Olehkarenaitu,kamisangatmengharapkankritikmaupunsaranyangmembangundemikelanjutandansempurnanyabukuini,terimakasih.

Yogyakarta,26Agustus2008

M.ZakiRiyanto,S.Si.E-mail:zaki@mail.ugm.ac.idhttp://zaki.math.web.id

iii

PengantarAnalisisRealI

DAFTARISI

HalamanJudul...............i

HalamanPersembahan..............................KataPengantar..........................................

iiiii

DaftarIsi................................iv

BabI.

BILANGANREAL

1.1.Sifat-sifatAljabardanUrutandalam......................................1.2.NilaiMutlakdanGarisBilanganReal........................................1.3.SifatLengkap.............

11317

1.4.PenggunaanSifatAksiomaSupremum.......................................21

1.5.Intervaldalam................

27

BabII.

BARISANDANDERET2.1.BarisandanLimitBarisan...........................................................382.2.Teorema-teoremaLimit...............................................................45

2.3.BarisanMonoton.........................................................................2.4.BarisanBagian............................................................................2.5.BarisanCauchy...........................................................................2.6.SifatBarisanDivergen................................................................2.7.DeretTakBerhingga...................................................................

5356626568

DaftarPustaka........74

iv

PengantarAnalisisRealI

BAB1

BILANGANREAL

Padababinidibahassifat-sifatpentingdarisistembilanganreal,sepertisifat-sifataljabar,urutan,danketaksamaan.Selanjutnya,akandiberikanbeberapapengertiansepertibilanganrasional,hargamutlak,himpunanterbuka,danpengertianlainnyayangberkaitandenganbilanganreal.

1.1.Sifat-sifatAljabardanUrutandalamSebelummenjelaskantentangsifat-sifat,diberikanterlebihdahulutentangstrukturaljabardarisistembilanganreal.Akandiberikanpenjelasansingkatmengenaisifat-sifatdasardaripenjumlahandanperkalian,sifat-sifataljabarlainyangdapatditurunkandalambeberapaaksiomadanteorema.Dalamterminologialjabarabstrak,sistembilanganrealmembentuklapangan(field)terhadapoperasibinerpenjumlahandanperkalianbiasa.

Sifat-sifatAljabarPadahimpunansemuabilanganrealterdapatduaoperasibiner,dinotasikandengan+dan.yangdisebutdenganpenjumlahan(addition)danperkalian(multiplication).Operasibinertersebutmemenuhisifat-sifatberikut:

(A1)

abbauntuksemuaa,b(sifatkomutatifpenjumlahan)

(A2)(ab)ca(bc)untuksemuaa,b,c(sifatassosiatifpenjumlahan)(A3)terdapat0sedemikianhingga0aadana0auntuksemua(eksistensielemennol)(A4)untuksetiapaterdapatsedemikianhinggaa(a)0dan(a)a0(eksistensielemennegatifatauinverspenjumlahan)(M1)untuksemuaa,b(sifatkomutatifperkalian)(M2)untuksemuaa,b,c(sifatassosiatifperkalian)

1

PengantarAnalisisRealI

(M3)terdapat1sedemikianhinggadanuntuksemuaa(eksistensielemenunit1)

(M4)

(D)

untuksetiapa,terdapatsedemikianhinggadan (eksistensiinversperkalian)

danuntuksemuaa,b,c

(sifatdistributifperkalianataspenjumlahan)

Sifat-sifatdiatastelahumumdiketahui.Sifat(A1)-(A4)menjelaskansifatpenjumlahan,sifat(M1)-(M4)menjelaskansifatperkalian,dansifatterakhirmenggabungkankeduaoperasi.Selanjutnya,diberikanbeberapateorematentangelemen0dan1yangtelahdiberikanpadasifat(A3)dan(M3)diatas.Jugaakanditunjukkanbahwaperkaliandengan0akanselalumenghasilkan0.

Teorema1.1.1.(a)Jikaz,adenganzaa,makaz0.(b)Jikaudanelemendengan,makau1.(c)Jika,maka.

Bukti.(a)Menggunakanaksioma(A3),(A4),(A2),asumsizaa,dan(A4),diperolehzz0za(a)zaaaa0.(b)Menggunakanaksioma(M3),(M4),(M2),asumsi,dan(M4),diperoleh

2

PengantarAnalisisRealI

(c)Karena , maka .Dengandemikian,makateorematerbukti.

Teorema1.1.2.Jikaa,maka

(a)

(b)

(c)

.

Selanjutnya,diberikanduasifatpentingdarioperasiperkalian,yaitusifatketunggalanelemeninversnyadanbahwaperkalianduabilanganituhasilnyanolapabilasalahsatufaktornyaadalahnol.

Teorema1.1.3.(a)Jikaab0,makaba.

(b)Jika0danbsedemikianhinggaab1,maka

.

(c)Jika,makaa0ataub0.

Bukti.(a)Karenaab0,makaa b 0 aa ba0

3

PengantarAnalisisRealI

aaba

(A2danA3)

0ba

(A4)

ba.(A3)(b)Karenaab1,maka

ab1ab1

1a

b

1a

.

b0ab,makadiperoleha0.(c)Diketahuiab0,maka

ab0ab0ab

1a1b0b0.

Dengancarayangsama,keduaruasdikalikandengan1

Dengandemikianteorematerbukti.

Teorematersebutdiatasmenjelaskanbeberapasifataljabarsederhanadarisistembilanganreal.Beberapaakibatdariteorematersebutdiberikansebagaibahanlatihansoaldibagianakhirsubbabini.

4

PengantarAnalisisRealI

Operasipengurangan(substraction)didefinisikandenganab:a(b)untuka,b.Samahalnyadenganoperasipembagian(division),untuka,b

:a.denganb0didefinisikan

ab

1b

a,danjikaUntukselanjutnya,abcukupdituliskandenganab,danpenulisana2untukaa,a3untuka2a,dansecaraumumdidefinisikanan1:anauntukn.Lebih

lanjut,a1a,danjikaa0,makadapatditulisa01dana1untuk1

1n,dapatditulisa

n

nuntuk.a

adimanaa,bdana0disebutdenganbilangana.ElemenyangbukanelemendisebutBilanganRasionaldanIrrasionalTelahdiketahuibahwahimpunandanadalahsubsetdari.Elemenyang

dapatdituliskandalambentukb

rasional(rationalnumbers).Himpunansemuabilanganrasionaldidinotasikandengan.Dapatditunjukkanbahwapenjumlahandanperkalianduabilanganrasionaladalahbilanganrasional.Lebihlanjut,sifat-sifatlapanganjugaberlakuuntuk.

Akantetapi,tidaksemuaelemenmerupakanelemen,seperti2yang

tidakdapatdinyatakankedalambentukb

bilanganirrasional(irrationalnumbers).Akanditunjukkanbahwatidakterdapatbilanganrasionalyangkuadratnyaadalah2.Untukmembuktikannyadigunakanistilahgenapdanganjil.Suatubilanganaslidisebutgenapapabilabilanganitumempunyaibentuk2nuntuksuatun,dandisebutganjilapabilabilanganitumempunyaibentuk2n1untuksuatun.

Teorema1.1.4.Tidakadaelemenrsedemikianhinggar22.

5

qdenganpdanqtidakmempunyaifaktorberserikatselain1,pp22m14m24m122m22m1yangberartibahwap2ganjil.Jadi,pPengantarAnalisisRealI

Bukti.Andaikanadarsedemikianhinggar22.Karenar,makardapat

dituliskansebagaip

2sehinggadiperoleh2ataup22q2.Karena2q2genap,makap2genap.qAkibatnyapjugagenap,sebabjikaganjil,makap2m1untuksuatum,atau2

haruslahgenap.Karenapgenap,maka

p2kuntuksuatuk,sehingga

p22k4k2.Dilainpihakdiketahuip22q2danpgenap,akibatnyaqganjil,2

sebabjikaqgenap,makafaktorberserikatpdanqbukan1.Jadi,qharuslahganjil.Sehinggadiperolehp22q24k22q22k2q2yangberartiqgenap.Timbulkontradiksibahwaqganjil.Jadi,pengandaiansalah,yangbenaradalahtidakadar

sedemikianhinggar22.

Sifat-sifatUrutanpadaSifaturutanmenjelaskantentangkepositifan(positivity)danketaksamaan(inequalities)diantarabilangan-bilanganreal.Adasubsettakkosong,yangdisebutdenganhimpunanbilangan-bilanganrealpositiftegas,yangmemenuhisifat-sifatberikut:(i)Jikaa,b,makaab.(ii)Jikaa,b,makaab.(iii)Jikaa,makamemenuhitepatsatukondisiberikut:

a,

a0,

a.

Sifatpertamadankeduapadateoremadiatasmenjelaskantentangsifattertutupterhadapoperasipenjumlahandanperkalian.Sifatyangketiga(iii)seringdisebutSifatTrikotomi(TrichotomyProperty),sebabakanmembagikedalamtigajeniselemenyangberbeda.Halinimenjelaskanbahwahimpunana:adaribilangan

6

PengantarAnalisisRealI

realnegatiftidakmempunyaielemenyangsamadenganhimpunanbilanganrealpositif.Lebihlanjut,merupakangabungantigahimpunansalingasingtersebut,yaitua:a0.

Definisi1.1.5.(i)Jikaa,ditulisa0,artinyaaadalahbilanganrealpositif.

(ii)

Jikaa0,ditulisa0,artinyaaadalahbilanganrealnonnegatif.

(iii)Jikaa,ditulisa0,artinyaaadalahbilanganrealnegatif.(iv)Jikaa0,ditulisa0,artinyaaadalahbilanganrealnonpositif.

Definisi1.1.6.Diberikana,b.(a)Jikaab,makaditulisabatauba.

(b)

Jikaab0,makaditulisabatauba.

a0.a0.SifatTrikotomidiatasberakibatbahwauntuka,bmemenuhitepatsatukondisiberikut:ab,ab,ab.Selanjutnya,jikaabdanba,makaab.Jikaabc,makaartinyabahwaabdanbc.

Teorema1.1.7.Diberikansebaranga,b,c.(a)Jikaabdanbc,makaac.(b)Jikaab,makaacbc.(c)Jikaabdanc0,makacacb.Jikaabdanc0,makacacb.(d)Jikaa0,maka1

Jikaa