FUNGSI KONTINU

Oleh:Dr. RIYADI, M.Si.

PROGRAM PASCASARJANAUNIVERSITAS SEBELAS MARET

FUNGSI KONTINU Definisi

Diketahui E R tak kosong dan f : E R.

1). Fungsi f dikatakan kontinu di suatu titik p E jika untuk setiap bilangan > 0 terdapat bilangan > 0 sehingga jika

px dan x E berakibat pfxf .

2). Fungsi f dikatakan kontinu pada E jika f kontinu di setiap titik

p E.

FUNGSI KONTINU Contoh 1:Buktikan bahwa fungsi f : R R dengan aturan: 52 xxf kontinu pada R

Pembahasan:

Dipilih 2 , oleh karena itu, jika x R dan px , maka:

<

22 = .

= px 22 = px 2

Diambil sebarang bilangan real p R dan sebarang > 0.

52 pxf = 5252 px

Hal ini berarti bahwa fungsi f kontinu di p R.

Karena p sebarang, berakibat f kontinu pada R.

FUNGSI KONTINU Teorema Diketahui I R interval terbuka, p I dan f : I R.

Bukti:

Fungsi f kontinu di p I jika dan hanya jika xfpfpx

lim .

( ) Diambil sebarang > 0. Karena E interval terbuka, berakibat setiap titiknya merupakan titik limit. Dengan demikian p merupakan titik limit E. Karena f kontinu di p E, berakibat terdapat > 0 sehingga jika x E dan

px berlaku pfxf . Jika x E, dan x p, maka 0 < px . Hal ini berakibat pfxf .

Hal ini berarti xfpfpx

lim

FUNGSI KONTINU ( ) Diambil sebarang > 0. Menurut yang diketahui xfpf

pxlim .

Karena p E, berakibat pp = 0 < , dan f terdefinisi di p, sehingga diperoleh pfpf = 0 < .......................................................... (**)

Berdasarkan (*) dan (**) diperoleh: jika x E dan px berakibat pfxf .

Hal ini berarti f kontinu di p.

Oleh karena itu terdapat > 0 sehingga jika x E dan 0 < px , maka pfxf ........................................................................................... (*)

Hal ini berarti f mempunyai titik limit di p.

Teorema

Bukti:

Diketahui f : E R dan p E.

pfxfpx

lim untuk setiap barisan Epn dengan ppnn

lim , berakibat

barisan npf konvergen ke f(p) atau pfpf nn

lim

( )

Karena barisan Epn konvergen ke p, dengan adanya bilangan > 0 terdapat bilangan asli oN sehingga untuk oNn berlaku ppn .

Jadi terdapat bilangan asli oN sehingga untuk oNn berlaku Lpf n , yang berarti pfpf nn

lim

Diambil sebarang bilangan > 0. Karena f kontinu di p E, berakibat terdapat bilangan > 0 sehingga jika x E dengan px , maka pfxf .

Akibatnya, untuk oNn berlaku pfpf n .

( )

Berarti terdapat bilangan >0 sehingga untuk setiap bilangan > 0, terdapat x E dengan px dan pfxf .

Diambil nn1

, n = 1, 2, 3, ....

1 = 1 ada Ep 1 dengan 11 pp dan pfpf 1 .

2 = 21 ada Ep 2 dengan

21

2 pp dan pfpf 2 .

3 = 31 ada Ep 3 dengan

31

3 pp dan pfpf 3 .

n =

n1 ada Epn dengan

nppn

1 dan pfpf n .

Andaikan pfxfpx

lim

Berarti terdapat barisan Epn konvergen ke p, dengan ppn tetapi barisan npf tidak konvergen ke f(p).

Kontradiksi dengan yang diketahui. Jadi pengandaian salah, yang benar yaitu pfxf

px

lim .

Definisi

Diketahui E R tak kosong dan f : E R.

FUNGSI DISKONTINU

Jika fungsi f tidak kontinu di titik p E, maka dikatakan bahwa f diskontinu di titik p E.

Jenis-jenis Diskontinuitas

1). Jika f diskontinu di p, tetapi xfpx

lim dan xfpx

lim masing-masing ada,

maka f dikatakan mempunyai diskontinuitas jenis pertama.

2). Jika f diskontinu di p, tetapi xfpx

lim tidak ada atau xfpx

lim tidak ada,

maka f dikatakan mempunyai diskontinuitas jenis kedua.

FUNGSI DISKONTINU Contoh 1 Diketahui fungsi f : R R dengan aturan

1jika21jika1

xx

xf

Tentukan jenis diskontinuitas fungsi f tersebut di atas.

Pembahasan: Perhatikan bahwa xf

x 1lim = 1 dan xf

x 1lim = 2,

tetapi xfx 1lim xf

x 1lim .

Hal ini berarti f mempunyai diskontinutas jenis pertama.

FUNGSI DISKONTINU Contoh 2 Diketahui fungsi f : R R dengan aturan

Tentukan jenis diskontinuitas fungsi f tersebut di atas.

Pembahasan:

Hal ini berarti f mempunyai diskontinutas jenis kedua.

0jika10jika2

xx

xxxf

Perhatikan bahwa xfx 0lim = 0 tetapi xf

x 0lim tidak ada.

Teorema (Kriteria Diskontinu)Diketahui f : E R dan p E.

Fungsi f tidak kontinu di p Terdapat barisan Epn dengan ppnn

lim ,

tetapi barisan npf tidak konvergen ke f(p) atau pfpf nn

lim

Teorema Diketahui E R tak kosong, titik p E dan f, g : E R. Jika f dan g kontinu di titik p E, maka f + g, f.g dan kf kontinu di titik p E untuk suatu k R.

Lebih lanjut, jika g(x) 0 untuk setiap x E, maka gf kontinu

di titik p.

Teorema Diketahui A R , f : A R dan fungsi | f | didefinisikan dengan

xf = xf untuk setiap x A.

Jika f kontinu di c A, maka | f | kontinu di c A.

Teorema Diketahui A R, f : A R , 0xf untuk setiap x A dan fungsi f didefinisikan dengan aturan xf = xf untuk setiap c A. Jika f kontinu di c A, maka f kontinu di c A.

Teorema Diketahui E, F R tak kosong, p E, f: E R dan g : F R dengan FEf .

Didefinisikan fungsi h: E R dengan fgh , yaitu h(x) = g(f(x)) untuk setiap x E. Jika f kontinu di titik p E dan g kontinu di f(p), maka h kontinu di titik p E. Bukti: Ambil sebarang > 0. Karena g kontinu di f(p), berakibat terdapat > 0 sehingga jika y f(E) dengan pfy berlaku pfgyg .

Karena f kontinu di p, dengan adanya > 0, terdapat > 0 sehingga jika x E dengan px berlaku pfxf . Karena pfxf untuk x E dengan px , maka diperoleh:

pfgxfg = phxh < Hal ini berarti fgh kontinu di p.

FUNGSI KONTINU Definisi

Diketahui E R tak kosong. Fungsi f : E R dikatakan terbatas pada E jika terdapat bilangan M 0 sehingga berlaku Mxf untuk semua x E.

Teorema Diketahui baE , R interval tertutup dan terbatas, dan f : E R fungsi.

Jika f kontinu pada E, maka f terbatas pada E.

Lebih lanjut, jika xfMEx

sup dan xfmEx

inf , maka terdapat titik-

titik , E sehingga Mf dan mf .

FUNGSI KONTINU Bukti: Andaikan f tidak terbatas pada E, oleh karena itu untuk setiap bilangan asli n, terdapat Exn sehingga nxf n .

Hal ini berarti terdapat barisan Exn sehingga nxf n untuk setiap bilangan asli n.

Dengan kata lain terdapat barisan Exn sehingga barisan nxf tidak konvergen.

Selanjuntnya, karena baE , interval tertutup dan terbatas, maka barisan nx terbatas.

Oleh karena itu menurut Teorema Bolzano-Weirstrass, terdapat barisan bagian

knx yang konvergen ke suatu 0x , yaitu 0lim xxknk

dan karena E

tertutup, maka Ex 0 .

FUNGSI KONTINU

Selanjutnya, diperhatikan bahwa himpunan bxaxf | merupakan himpunan yang terbatas.

Berdasarkan sifat kelengkapan bilangan real, sup bxaxf | ada, dan namakan M = sup bxaxf | .

Karena M = sup bxaxf | , maka untuk setiap bilangan asli n, terdapat Eyn sehingga berlaku Myf

nM n

1 .

Fungsi f kontinu pada E, akibatnya f kontinu di Ex 0 dan karena

0lim xxknk

, maka 0lim xfxf

knk

.

Hal ini berakibat 0lim xfxfknk

untuk suatu Ex 0 . Kontradiksi.

Dengan demikian pengandaian salah, maka yang benar adalah f terbatas pada E.

FUNGSI KONTINU Oleh karena itu, berdasarkan Teorema Limit Apit diperoleh

Myf nn

lim . Barisan ny merupakan barisan titik-titik di dalam E yang tertutup dan terbatas, oleh karena itu menurut Teorema Bolzano-Weirstrass terdapat barisan bagian

kny ny yang konvergen ke suatu titik , yaitu

knkylim .

Karena E tertutup, berakibat E. Fungsi f kontinu pada E dan E, maka f kontinu di E. Berdasarkan hasil tersebut di atas

knkylim , dan karena f kontinu

di E berakibat fyfknk

lim .

Hal ini berarti Myfyffkk nnnk

limlim .

Dengan kata lain, terdapat titik E sehingga xfMEx

sup .