Pengendalian Proses

Pengendalian ProsesFungsi Transfer dan Model Input-OutputFungsi Transfer dengan Output Tunggal

Fungsi Transfer dengan Output TunggalKelakuan dinamik proses digambarkan persamaan differensial orde ke-n:

... (9.1)Dengan:f (t) = input prosesy (t) = output proses

dalam bentuk variabel besaran deviasiFungsi Transfer dengan Output TunggalDiasumsikan sistem dalam keadaan steady state, maka:

... (9.2)Transformasi Laplace pers. (9.1) dan dengan kondisi awal pers. (9.2), diperoleh:

... (9.3)Fungsi Transfer dengan Output TunggalG (s) disebut Fungsi Transfer sistem, dalam bentuk persamaan aljabar sederhana yang menghubungkan variabel output proses dengan inputnya, seperti yang digambarkan pada gambar 9.1b.

Gambar 9.1b merupakan blok diagram sistem

Fungsi Transfer dengan Output TunggalUntuk sistem yang memiliki 2 (dua) input, model dinamiknya adalah:

... (9.4)Dengan kondisi awal seperti pada pers. (9.2), maka dari pers. (9.4), diperoleh:

Fungsi Transfer dengan Output Tunggal

... (9.5)dengan:

... (9.6)Fungsi Transfer dengan Output Tunggal

Fungsi Transfer dengan Output TunggalFungsi transfer antara input dan output :

... (9.7)Catatan :Fungsi transfer memungkinkan pengembangan model input-output yang lebih sederhana dibanding cara-cara yang disampaikan pada bagian 5.1Fungsi transfer dapat digunakan untuk menjelaskan secara lengkap kelakuan dinamik output dengan adanya perubahan input.Fungsi Transfer dengan Output TunggalMisalnya untuk suatu perubahan input f (t), dapat ditentukan bentuk transformasi f (s) dan respons sistem:

dengan inverse diperoleh respon y (t) sebagai fungsi waktu.Contoh 9.1 : Fungsi Transfer Tangki Pemanas Berpengaduk (Stirred Tank Heater).Model matematik tangki pemanas berpengaduk dalam bentuk variabel desviasi :

... (5.3)dengan:T, Ti, Tst variabel deviasi dari T, Ti, Tst.a = 1/ K; 1/ = Fi/V; dan K = UAt/VcpContoh 9.1 : Fungsi Transfer Tangki Pemanas Berpengaduk (Stirred Tank Heater, STH).Transformasi Laplace pers. (5.3), adalah:

atau:

... (9.8)Contoh 9.1 : Fungsi Transfer Tangki Pemanas Berpengaduk (Stirred Tank Heater, STH).Dengan defenisi 2 (dua) fungsi Transfer:

G1(s) menghubungkan suhu cairan dalam tangki dengan suhu aliran masuk; dan G2(s) menghubungkan suhu cairan dalam tangki dengan suhu steam.

... (9.8a)Contoh 9.1 : Fungsi Transfer Tangki Pemanas Berpengaduk (Stirred Tank Heater, STH).Blok diagran untuk contoh soal ini adalah:

Matrik Fungsi Transfer suatu Proses dengan Output Ganda

Sistem dengan 2 (dua) input f1(t) dan f2(t), dan 2 (dua) output y1(t) dan y2(t)Matrik Fungsi Transfer suatu Proses dengan Output GandaModel matematik system dinyatakan dalam 2 (dua) persamaan differensial linier, yaitu :

... (9.9a)

... (9.9b)Jika, kondisi awal, y1(0) = y2(0) = 0Matrik Fungsi Transfer suatu Proses dengan Output GandaMaka, Transformasi Laplace pers. (9.9a) dan (9.9b):

... (9.10a)

... (9.10b)Dengan P(s) s2 (a11 + a22)s (a12a21 a11a22), adalah karakteristik Polinomial.Matrik Fungsi Transfer suatu Proses dengan Output GandaPersamaan (9.10a) dan (9.10b) dapat ditulis seperti;

... (9.11a)

... (9.11b)dimana fungsi transfer G11(s), G12(s), G21 dan G22 didefinisikan sebagai:

Matrik Fungsi Transfer suatu Proses dengan Output GandaBlok Diagram untuk sistem ini adalah:

Matrik Fungsi Transfer suatu Proses dengan Output GandaPersamaan (9.11a) dan (9.11b) dapat ditulis dalam notasi matriks:

Bentuk matriks suatu fungsi transfer disebut matriks fungsi transfer.Matrik Fungsi Transfer suatu Proses dengan Output GandaUntuk sistem dengan dua input dan dua output, diperlukan 2 x 2 = 4 fungsi transfer untuk memungkinkan seluruh output dikaitkan dengan seluruh input.

Untuk proses dengan M input dan N output, akan diperoleh N x M fungsi transfer, atau suatu matriks fungsi transfer dengan, N baris (jumlah output) dan M kolom (jumlah input).Contoh 9.2 Matriks Fungsi Transfer CSTR.Pada contoh 6.4, telah dibuat linierisasi model untuk sistem reaktor tangki berpengaduk (CSTR) dalam bentuk variabel deviasi, seperti diberikan persamaan berikut:

... (9.13a)

... (9.13b)Contoh 9.2 Matriks Fungsi Transfer CSTR.dengan, dan,

Persamaan (9.13a) dan (9.13b), menjadi:Contoh 9.2 Matriks Fungsi Transfer CSTR.

... (9.14a)... (9.14b)dengan kondisi awal : CA(0) = T(0) = 0Contoh 9.2 Matriks Fungsi Transfer CSTR.Transformasi Laplace persamaan (9.14a) dan (9.14b) adalah:

... (9.15a)... (9.15b)dimana : P(s) = s2 + (a11 + a12)s + (a11a22 - a12a21)Contoh 9.2 Matriks Fungsi Transfer CSTR.Dalam notasi matriks Persamaan (9.15a) dan (9.15b)

Contoh 9.2 Matriks Fungsi Transfer CSTR.

Poles dan Zeros dari Fungsi TransferDari defenisi fungsi transfer:

atauDimana Q(s) dan P(s) fungsi polinomial.Biasanya dalam sistem nyata, orde Q(s) lebih kecil dari orde P(s).Poles dan Zeros dari Fungsi TransferHarga akar-akar persamaan polinomial Q(s), disebut zeros of the transfer function atau zeros of the system. Jika harga s disubstitusi dengan harga zeros, fungsi transfer menjadi nol.Harga akar-akar persamaan polinomial P(s), disebut poles of the transfer function atau poles of the system. Jika pada harga poles sistem, fungsi transfer menjadi tak terhingga.Contoh 9.3 Poles dan Zeros pada Pemanas Tangki Berpengaduk Model input-output untuk sistem pemanas tangki berpengaduk adalah:

... (9.8a)

Pole : s = -a

Pole : s = -aFungsi transfer G1(s) dan G2(s) mempunyai pole yang sama s = -a.Contoh 9.4 Poles dan Zeros pada model CSTR.Model CSTR (lihat contoh 9.2)

dimana : P(s) = s2 + (a11 + a12)s + (a11a22 - a12a21)Contoh 9.4 Poles dan Zeros pada model CSTR.Semua fungsi transfer memiliki penyebut P(s) yang sama, sehingga juga memiliki poles yang sama :P1,2 =

Zeros dari fungsi transfer: G12(s), G13(s), G21(s) tidak memiliki zeros G22(s), G23(s) memiliki zeros yang sama : s = -a11 G11(s) memiliki zeros, s = -a22Analisis Kualitatif Respon SistemFungsi transfer suatu sistem:

Respons output y,

Untuk input f (t) yang diberikan dapat ditentukan Transformasi Laplace f (s); untuk sistem tertentu fungsi transfer G(s) diketahui. Respons y (t) sebagai fungsi waktu t, dapat ditentukan dari inversi G(s).f (s).Analisis Kualitatif Respon SistemFungsi transfer lebih umum dituliskan:

Dan Transformasi Laplace Input dapat ditampilkan sebagai:

... (9.9)untuk memungkinkan inversi

perlu diketahui akar-akar persamaan P(s) (yaitu harga poles sistem) dan akar-akar persamaan Q(s).Analisis Kualitatif Respon SistemBentuk persamaan fungsi t, yang dihasilkan dari inversi

ditentukan oleh poles sistem dan akar Q(s).Jika lokasi poles (dalam sumbu y x bilangan kompleks) diketahui, dapat ditentukan karakteristik respon kualitatif sistem terhadap input tertentu.Seandainya fungsi transfer sistem dinyatakan sebagai:

dimana : P1,P2,P3, P4, P4*, P5, merupakan akar P(s) (poles sistem)... (9.10)Analisis Kualitatif Respon Sistem

Sesuai dengan harga akar-akar P(s), dapat dibedakan 4 letak poles dalam sumbu y x.Analisis Kualitatif Respon Sistem

Analisis Kualitatif Respon SistemKasus 1. Poles: Real dan berbeda. (Contoh P1 dan P2)Inversi dari poles tersebut memberi bentuk C1eP1t dan C2eP2t

Karena P1 < 0, C1.eP1t berkurang secara eksponensial menuju 0 pada t .Karena P2 > 0, C2.eP2t bertambah secara eksponensial menuju (tak terhingga) dengan waktu.Analisis Kualitatif Respon Sistem

Analisis Kualitatif Respon SistemKasus 2.Poles : Real dan ganda (contoh P3 yang berulang m kali)Inverse dari akar tersebut:

... (9.11)Bentuk dalam [ ] akan bertambah dengan waktu. Sehingga kelakuan respons ditentukan oleh bentuk exponensial eP3t, dimana akan tergantung pada harga P3.Analisis Kualitatif Respon SistemJika p3 > 0, eP3t , untuk t Jika p3 < 0, eP3t 0, untuk t Jika p3 = 0, eP3t = 1, untuk seluruh tAnalisis Kualitatif Respon SistemKasus 3.Poles Complex dan berpasangan (contoh : P4 dan P4*)Misal :P4 = + jP4* = - jBentuk inversi :etsin(t + ).Bentuk sin (t + ) : merupakan fungsi periodik yang berosilasi; sedang et membentuk fungsi yang tergantung pada harga .Analisis Kualitatif Respon Sistem > 0, maka et untuk t , dan et sin(t + ) bertambah menuju tak terhingga dengan berosilasi. > 0, maka et 0 untuk t , dan et sin(t + ) menurun menuju 0 dengan berosilasi dan dengan amplitudo yang berkurang.

= 0, maka et = 1 untuk semua t dan et sin(t + ) = etsin(t + ) berosilasi secara kontinyu dengan amplitudo tetap.Analisis Kualitatif Respon Sistem

Analisis Kualitatif Respon SistemKasus 4.Poles : terletak pada 0 (Contoh P5).Setelah inversi memberi harga konstan.homework due to 19/05/2015