pengolahan dasar matriks - stat.ipb.ac.id · sifat: c(a + b) = ca + cb. perkalian dengan skalar »...
TRANSCRIPT
Notasi Dasar Matriks
• Amxn , mAn , [aij]mxn : matriks berukuran mx n (m baris, n kolom)
• aij adalah elemen matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-j
Penjumlahan Matriks
Penjumlahan matriks mAn dan mBn
menghasilkan matriks baru mCn dengan
cij = aij + bij untuk semua (i, j)
Perhatikan bahwa ukuran matriks A dan Bharus sama
Penjumlahan Matriks
• Sifat Dasar Penjumlahan Matriks:
– Komutatif: A + B = B + A
– Asosiatif: (A + B) + C = A + (B + C)
BUKTIKAN SIFAT DI ATAS
Perkalian dengan Skalar
Jika c adalah sebuah skalar/konstanta real, dan mAn adalah sebuah matriks real maka
c A = mBn
dengan bij = c aij untuk semua (i, j)
Sifat: c (A + B) = cA + cB
Perkalian Matriks
Perkalian dua buah matriks mAn dan nBp
menghasilkan matriks baru mCp dengan
cij = untuk semua (i, j)
Perhatikan ukuran matriks yang terlibat dalam perkalian
n
k
kjikba1
Perkalian Matriks
Sifat-sifat
• Tidak komutatif. AB = BA, may be yes, may be no.
• A(B + C) = AB + AC
• c(AB) = (cA)B = A(cB)
BUKTIKAN SIFAT-SIFAT di ATAS
Transpose (Putaran)
Transpose dari matriks mAn dilambangkan AT
atau A’ adalah matriks nBm dengan
bij = aji untuk semua (i, j)
Transpose (Putaran)
Sifat-sifat
• (A’)’ = A
• (A + B)’ = A’ + B’
• (cA)’ = cA’
• (AB)’ = B’A’
BUKTIKAN SIFAT-SIFAT di ATAS
Matriks-Matriks Spesial
• Matriks Persegi
• Matriks Diagonal
• Matriks Identitas
• Matriks Nol
• Matriks Satuan
• Matriks Simetrik
• Matriks Miring Simetrik
• Matriks Segitiga Atas/Bawah
• Matriks Idempoten
• Matriks Ortogonal
Matriks Persegi
Sebuah matriks mAn dikatakan sebagai matriks persegi jika dan hanya jika m = n, atau banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom.
Matriks Diagonal
Sebuah matriks persegi nAn disebut sebagai matriks diagonal jika dan hanya jika
aij = 0 untuk semua i ≠ j
20
01A
8000
0200
0000
0003
H
Matriks Identitas
Matriks persegi nAn disebut sebagai matriks identitas dan dilambangkan In jika dan hanya jika
aij = 0 untuk semua i ≠ j
aii = 1 untuk semua i = 1, 2, …, n
Jika mBn adalah sembarang matriks real, maka BI = B
Jika nBm adalah sembarang matirks real maka IB = B
Matriks Nol
Sebuah matriks mAn disebut sebagai matriks nol dan dilambangkan mOn jika dan hanya jika
aij = 0 untuk semua (i, j)
Jika mBn adalah sembarang matriks real, maka BO = O
Jika nBm adalah sembarang matirks real maka OB = O
Matriks Satuan
Sebuah matriks mAn disebut sebagai matriks satuan dan dilambangkan mJn jika dan hanya jika
aij = 1 untuk semua (i, j)
Matriks Nol dan Matriks Satuan
0000
0000
0000
43xO
000
000
000
000
34xO
1111
1111
1111
43xJ
111
111
111
111
34xJ
Matriks Simetrik
Sebuah matriks persegi nAn disebut sebagai matriks simetrik jika dan hanya jika
aij = aji untuk semua i ≠ j
Dengan kata lain nAn disebut sebagai matriks simetrik jika dan hanya jika A’ = A
Matriks Miring Simetrik
Sebuah matriks persegi nAn disebut sebagai matriks miring simetrik jika dan hanya jika
aij = -aji untuk semua (i, j)
dan aii = 0 untuk semua i = 1, 2, …, n
Dengan kata lain nAn disebut sebagai miring matriks simetrik jika dan hanya jika A = -A’
Matriks Segitiga Atas
Sebuah matriks persegi nAn disebut sebagai matriks segitiga atas jika dan hanya jika
aij = 0 untuk semua i > j
6000
0100
3320
4521
Matriks Segitiga Bawah
Sebuah matriks persegi nAn disebut sebagai matriks segitiga bawah jika dan hanya jika
aij = 0 untuk semua i < j
6034
0135
0022
0001
Matriks Idempoten
Sebuah matriks persegi nAn disebut sebagai matriks idempoten jika dan hanya jika AA = A
Matriks Ortogonal
Sebuah matriks persegi nAn disebut sebagai matriks ortogonal jika dan hanya jika
AA’ = A’A = In
Bahan Diskusi
Andaikan data tingkat pengeluaran per hari (Rp) mahasiswa Dept Statistika Angkatan 48 dicatat dalam bentuk vektor kolom y berukuran 60 x 1, nyatakan statistik berikut dalam bentuk notasi matriks.
a. Jumlah pengeluaran per hari
b. Rata-rata pengeluaran per hari
c. Ragam pengeluaran per hari