pensamento geomÉtrico dos alunos do ensino mÉdio de uma ... · resumo a pesquisa objetiva...
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
INSTITUTO DE EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO
KÁSSIA ANITA DE FREITAS RODRIGUES FERREIRA
PENSAMENTO GEOMÉTRICO DOS ALUNOS DO
ENSINO MÉDIO DE UMA ESCOLA PÚBLICA DE
CAMPO NOVO DO PARECIS - MT
CUIABÁ-MT
2018
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
INSTITUTO DE EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO
KÁSSIA ANITA DE FREITAS RODRIGUES FERREIRA
PENSAMENTO GEOMÉTRICO DOS ALUNOS DO
ENSINO MÉDIO DE UMA ESCOLA PÚBLICA DE
CAMPO NOVO DO PARECIS - MT
CUIABÁ-MT
2018
KÁSSIA ANITA DE FREITAS RODRIGUES FERREIRA
PENSAMENTO GEOMÉTRICO DOS ALUNOS DO
ENSINO MÉDIO DE UMA ESCOLA PÚBLICA DE
CAMPO NOVO DO PARECIS - MT
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Educação da Universidade
Federal de Mato Grosso como requisito para a
obtenção do título de Mestre em Educação. Área
de Concentração: Educação. Linha de Pesquisa:
Educação em ciências e Matemática
Orientador/a: Prof. Dr. Adelmo Carvalho da
Silva
Cuiabá-MT
2018
AGRADECIMENTOS
Agradeço a DEUS que é dono de todo conhecimento e que me permitiu concluir
mais uma etapa no projeto da minha vida. Obrigada pelo dom da vida e pelas alegrias
vividas nesses dois anos.
Aos meus pais Silene Queiroz de Freitas Rodrigues e Emanuel do Nascimento
Rodrigue pelo apoio e por se alegrarem com minhas conquistas e aos meus irmãos pela
presença constante.
Ao meu querido esposo Leandro Henrique Ferreira, pelo apoio, pela paciência,
pelo amor e todo carinho do mundo dedicados a mim durante esses nove anos juntos. “No
fim será só eu, você e Deus”.
Ao meu querido orientador Professor Doutor Adelmo Carvalho da Silva por
acreditar na minha pesquisa e pela orientação, a qual sem ela não teria conseguido.
À minha banca, Professor Doutor Almir César Cavalcante e Professora Doutora
Eliana Alves Pereira Leite, pela atenção e pelas ricas contribuições dadas a este trabalho.
Às irmãs que o mestrado me concedeu Marcela Bonnet Becher Shavaren e Lenir
Tomazell, pela amizade, companheirismo e parceria durante esses dois anos de convívio.
Amo vocês!
Às minhas parceiras de 65, Daniela Maria de Almeida LIMA, Valquíria
Perassolo, Vanessa Lacerda Tarouco, obrigada pela alegria de conviver com vocês!
À melhor turma de mestrado em Educação do PPGE; Clemilson, Cleber,
Lucenildo, Elisete, Sandro, Benedito Eduardo, Rosilda, Ricardo e Dóris, sem vocês não
seria tão divertido esses dois anos!
Ao (s) amigo (s) que a vida me concedeu que, mesmo longe, foram presenças
constantes, obrigada por serem “janelas” por onde vejo a vida de outras formas. Obrigada
pelas risadas, pelas músicas, pela presença!
À UFMT, ao Programa de Pós-Graduação em Educação (PPGE) pelo acolhimento
e atenção.
À CAPES por financiar a pesquisa.
RESUMO
A pesquisa objetiva analisar os conhecimentos de Geometria dos alunos do Ensino Médio
de uma escola pública de Campo Novo do Parecis -MT. A intenção da investigação é a
produção de dados, de cunho qualitativo, do tipo exploratória e tem por método
interpretativo que permitam responder à questão problema: Que conhecimentos
geométricos relacionados a polígonos e poliedros são apresentados por alunos do Ensino
Médio? Para isso, como objetivo principal propomos analisar o conhecimento geométrico
dos alunos do Ensino Médio. O problema direciona a organização dos dados e a escolha
do referencial teórico exposto no trabalho. Para a abordagem da história da Geometria
utilizamos Eves (1997), Rooney (2012), Piaget e Garcia (2011), Galvéz (1996), Silva;
Valente (2014), Lorenzato (1995), Pavanello (1993). No que se refere às políticas e
documentos oficiais que regem a Educação Básica nos baseamos na Lei de Diretrizes e
Bases para a Educação Básica (LDB), na atual Lei 13.415/2017, nas Diretrizes
Curriculares Nacionais para a Educação Básica (DCN) e nas Orientações Curriculares
para o estado de Mato Grosso, tomando como recorte as orientações para o ensino de
Geometria. Para a organização dos questionários investigativos dos alunos nos baseamos
na teoria de Van Hiele (1957) e nas concepções da didática da Matemática referenciados
em Pais (1996, 2010, 2011). Com intuito de responder à problemática da pesquisa foi
definido, como contexto da investigação, uma escola estadual urbana da cidade de Campo
Novo do Parecis-MT. Tomamos como sujeitos da pesquisa 27 alunos do terceiro ano do
Ensino Médio e o professor de Matemática da referida turma. Como instrumentos de
coleta de dados utilizamos questionários investigativos e de caracterização, entrevista
semiestruturada, diário de campo. Tendo em vista a importância da escolha dos eixos da
análise, organizados para melhor leitura e compreensão dos dados, optamos por defini-
los em Compreensões do professor e dos alunos sobre o pensamento geométrico e
Conhecimentos geométricos. A partir da fundamentação teórica e da análise dos dados
foi possível observar que os alunos apresentam dificuldades no domínio dos conceitos
geométricos de polígonos e, principalmente, dos poliedros, mesmo na última etapa da
Educação Básica. Notamos ainda que os conhecimentos de polígonos, conteúdo
específico do Ensino Fundamental, não foram totalmente assimilados pelos alunos,
influenciando assim, a construção de novos conhecimentos como os poliedros, haja vista
que no Ensino Médio, como apontam os documentos oficiais, os alunos fortalecem os
conhecimentos adquiridos no nível anterior. Portanto, de acordo com o apontamento dos
dados, verificou-se que ao finalizar os estudos básicos os alunos, não apresentaram
conhecimentos geométricos adequados e relacionados ao nível três de Van Hiele, ou seja,
nossos alunos concluem a educação básica com grandes lacunas no processo de
desenvolvimento do pensamento geométrico.
Palavras-chave: Pensamento Geométrico, Educação Matemática, Ensino e
aprendizagem da Geometria.
ABSTRACT
The research aims to analyze the knowledge of Geometry of high school students of a
public school of Campo Novo do Parecis -MT. The intention of the investigation is the
production data, of stamp qualitative, that allow to answer the problem question: What
geometric knowledge related to polygons and polyhedra do the students of the High
School have? For this, as main objective we propose analyze the geometric knowledge of
high school students. The problem directs the organization of the data and the choice of
the referential theoretical in the work. In order to approach the history of Geometry we
use Eves (1997), Rooney (2012), Piaget and Garcia (2011), Galvéz (1996), Silva; Valente
(2014), Lorenzato (1995), Pavanello (1993). Regarding to the official policies and
documents governing Basic Education, we based on the Basic Education Guidelines and
Guidelines Law (LDB), on the current Law 13,415 / 2017, on the National Curriculum
Guidelines for Basic Education (DCN) and on the Curricular Guidelines for the state of
Mato Grosso, taking as clipping the guidelines for the teaching of Geometry. For the
organization of the investigative questionnaires of the students, we are based on Van
Hiele's theory (1957) and on the conceptions of Mathematics didactics referenced in Pais
(1996, 2010, 2011). With the intent to respond to the research problem, was defined as
research context an urban state school in the city of Campo Novo, Parecis-MT. We took
as subjects of the research 27 students of the third year of High School and the teacher of
Mathematics of the said class. As data collection instruments, we used questionnaires
investigative and characterization, semi-structured interviews, field diaries. Considering
the importance of choosing the axes of the analysis, organized to better read and
understand the data, we opted for define them in understanding of Teacher and student
about geometric thinking and geometric knowledge. From the theoretical basis and the
analysis of the data it was possible to observe that the students present difficulties in the
domain of the geometric concepts of polygons, and especially of the polyhedra, even in
the last stage of Basic Education. We also note that the knowledge of polygons, specific
content of Fundamental teaching, were not fully assimilated by the students, thus
influencing the construction of new knowledge such as polyhedra, since in High School,
as the official documents show, students strengthen the knowledge acquired at the
previous level. Therefore, we consider that the students, when finishing the basic studies,
do not present the adequate geometric knowledge and related to level three of Van Hiele.
Keywords: Geometric Thinking, Mathematics Education, Teaching-learning from
Geometry
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - “Os elementos” de Euclides .................................................................. 19
Quadro 2 - Os tipos de Geometrias ......................................................................... 22
Quadro 3 - O ensino de Matemática: finalidades nos PCN 1998 ........................... 38
Quadro 4 - Habilidades e competências na Matemática .......................................... 41
Quadro 5 - Eixos de formação BNCC .................................................................... 46
Quadro 6 - Geometria na BNCC ............................................................................. 47
Quadro 7 - Características dos níveis de Van Hiele explorados na pesquisa
(polígonos) ...........................................................................................
79
Quadro 8 - Características do nível de Van Hiele explorados no conteúdo de
poliedros ...............................................................................................
89
LISTA DE FIGURAS
Figura 01 - Índice de Desenvolvimento da Educação Básica................................... 33
Figura 02 - Resultados do Ideb no Ensino Médio de Mato Grosso........................... 34
Figura 03 - Níveis do Pensamento Geométrico segundo Van Hiele......................... 52
Figura 04 - Questão 1 – nível 0................................................................................ 79
Figura 05 - Questão 2 – nível 0................................................................................. 80
Figura 06 - Questão 3 – nível 0................................................................................. 81
Figura 07 - Questão 4 – nível 0................................................................................. 81
Figura 08 - Questão 5 – nível 0................................................................................. 82
Figura 09 - Questão 1 – nível 1 (Q1/1)...................................................................... 83
Figura 10 - Questão 1 – nível 1 (Q2/1)...................................................................... 83
Figura 11 - Questão 3 – nível 1 (Q3/1)...................................................................... 84
Figura 12 - Questão 4 – nível 1 (Q4/1)...................................................................... 84
Figura 13 - Questão 5 – nível 1 (Q5/1)...................................................................... 85
Figura 14 - Questão 1 – nível 2 (Q1/2)...................................................................... 86
Figura 15 - Questão 2 – nível 2 (Q2/2)...................................................................... 87
Figura 16 - Questão 4 – nível 2 (Q4/2)...................................................................... 87
Figura 17 - Questão 5 – nível 2 (Q5/2)...................................................................... 88
Figura 18 - Volume do Paralelepípedo..................................................................... 94
Figura 19 - Resolução pela aluna da questão onze.................................................... 99
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO .......................................................................................... 11
1 O ENSINO DA GEOMETRIA NA EDUCAÇÃO BÁSICA ................... 16
1.1 Breve histórico da Geometria enquanto campo da Matemática ........... 16
1.2 Geometria como conteúdo escolar: um olhar histórico sobre o ensino
de Geometria no Brasil ..............................................................................
23
1.3 Cenário da Educação Básica na atualidade.............................................. 29
1.3.1 Considerações sobre a reforma do Ensino Médio......................................... 34
1.4 O ensino da Geometria na Educação Básica: um enfoque nos
documentos oficiais.....................................................................................
38
1.4.1 A Geometria nas Orientações Curriculares de Mato Grosso para o Ensino
Médio............................................................................................................
42
1.4.2 A Geometria na Base Nacional Comum Curricular..................................... 44
2 O DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO...... 50
2.1 Teoria de Van Hiele: concepções sobre habilidades geométricas.......... 50
2.1.1 Propriedades e os níveis de pensamento geométrico................................... 52
3 A METODOLOGIA................................................................................... 57
3.1 Opção metodológica................................................................................... 57
3.2 Contexto da pesquisa.................................................................................. 59
3.2.1 A escola Pitágoras......................................................................................... 59
3.3 Sujeitos da pesquisa.................................................................................... 60
3.4 Instrumentos de coleta de dados................................................................ 61
3.5 Eixos temáticos de interpretação e análise dos dados............................. 62
4 APRESENTAÇÃO, INTERPRETAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS.. 64
4.1 Eixo 1: Compreensões do professor e dos alunos sobre o pensamento
geométrico...................................................................................................
64
4.1.1 O pensamento geométrico na perspectiva do professor............................... 65
4.1.2 A compreensão dos alunos sobre a Matemática e a Geometria ensinada na
Educação Básica ..........................................................................................
70
4.2 Eixo 2: Os conhecimentos geométricos de alunos do Ensino Médio........ 77
4.2.1 Conhecimentos de polígonos........................................................................ 78
4.2.2 Conhecimento de poliedros.......................................................................... 89
CONSIDERAÇÕES FINAIS..................................................................... 102
REFERÊNCIAS.......................................................................................... 108
ANEXOS...................................................................................................... 112
APÊNDICES .............................................................................................. 115
11
INTRODUÇÃO
Uma de minhas primeiras recordações é da vida simples de quem viveu e cresceu
rodeada de matas, cercada pela imponência da diversidade da natureza, com mesa sempre
farta dos mais variados peixes e iguarias provenientes da pesca e da caça. Tal realidade
só é possível para aqueles que tiveram o privilégio de crescer na região Norte do país.
Para aqueles que não conhecem o Norte brasileiro pode até parecer estranho a maneira
como sua população se organiza, que, hoje relembrando, me pego agradecendo por ter
nascido no mais belo lugar, de pessoas amáveis, acolhedoras e unidas. Também pude
experienciar um conhecimento matemático caracterizado por uma tradição e necessidade,
daqueles que nunca pisaram em uma escola, a Matemática presente na construção de
barcos e canoas (pequenas embarcações que servem como meio de transportes para as
águas). Como explicar que meu avô e meus tios, construíam embarcações fluviais
perfeitas, sem nunca estudarem nada de Matemática e de Geometria? Isso não é
conhecimento matemático? Claro! Isso é Matemática, isso é Geometria! Talvez seja por
isso meu fascínio pela Matemática porque vivenciei e presenciei que a Matemática
escolar, organizada em currículos, é somente uma das vertentes de tal ciência que, de tão
grandiosa, ultrapassa os muros escolares e está presente nas várias manifestações da
atividade humana.
A curiosidade sempre esteve presente em minha vida enquanto estudante, a beleza
de criar histórias me fascinava, mas foram os números e a Matemática o caminho que
escolhi seguir enquanto profissão e estilo de vida, sim! Estilo de vida, porque a
Matemática propicia ao indivíduo um olhar mais amplo que vai além de estudos de
demonstrações e técnicas de resolução de algoritmo, pois desperta o raciocínio lógico
prático que acaba por transbordar os limites de conteúdo escolar e fazer parte da vida.
Estudei meu ensino básico na cidade de Humaitá – AM, na escola salesiana Patronato
Maria Auxiliadora, dirigida pela congregação das irmãs Salesianas, mas mantida pelo
estado.
Começo então a cursar a Licenciatura Plena em Matemática, na Universidade do
Estado do Amazonas (UEA), no polo de Humaitá – AM, onde concluí no ano de 2010.
Meu primeiro contato com a prática docente se deu em uma atividade realizada em
parceria com a prefeitura municipal, que consistia em auxiliar alunos de baixa renda com
as atividades escolares, principalmente as de Matemática e Língua Portuguesa. Tal
12
experiência favoreceu meu crescimento e desejo de estudar mais sobre como ensinar
Matemática. Os estágios supervisionados serviram de experiência para entender o
processo ensino-aprendizagem, não obstante no processo de estágio definiu-se meu
objeto de investigação para o Trabalho de Conclusão de Curso: “As dificuldades no
processo de ensino aprendizagem de Geometria”. Tal tema nasce da observação feita no
momento do estágio, em que pude verificar as dificuldades dos alunos e dos próprios
professores ao ensinar Geometria.
O efetivo ingresso na profissão deu-se no início de 2012, em uma escola estadual
da cidade de Campo Novo do Parecis, no estado do Mato Grosso. Fiz especialização em
Ensino de Matemática para a Educação Básica na Universidade Federal de Mato Grosso
(UFMT). Acredito que esse curso me abriu os horizontes para a pesquisa pois, ouvir e
discutir os mais variados temas que permeiam a Educação Matemática, me fez desejar
buscar, conhecer e compreender o que é fazer pesquisa, tanto que meu objeto para a
produção do artigo1 final da Especialização, encaminhou-se para uma área ainda não
explorada por mim, a História da Matemática! Foi um deleite escrever sobre duas paixões.
Diante da realidade efetiva em sala de aula com a qual me deparei, começaram
então os conflitos internos diante da excessiva dificuldade que os alunos expressavam na
aprendizagem de determinados conteúdos matemáticos e sobre a minha própria prática
educativa. As vivências em sala de aula, juntamente com os debates e estudos
experienciados na Especialização gerou em mim grande desejo de pesquisar.
Ao lecionar a disciplina de Matemática busquei trabalhar com metodologias como
a resolução de problemas, dentre outras, mas percebi que o ensino de Geometria,
principalmente no Ensino Médio, necessitava revisar os conceitos vistos no Ensino
Fundamental, uma vez que os alunos tinham muita dificuldade em compreender
determinados conceitos geométricos, não estavam familiarizados com os desenhos e com
a linguagem geométrica.
A partir destas reflexões surgem questionamentos ao redor da Geometria: Por que
ainda há dificuldade na compreensão da Geometria? Os alunos ao concluírem o Ensino
Básico compreendem a Geometria? Por que a Geometria parece tão difícil de ser
ensinada? Estas questões acabaram por nortear o problema apresentado na presente
pesquisa: Quais conhecimentos geométricos de polígonos e poliedros os alunos no
1 Artigo: A Biblioteca de Alexandria e a Casa da Sabedoria: Um breve panorama histórico. Disponível:
http://www.sbembrasil.org.br/enem2016/anais/pdf/5544_2732_ID.pdf
13
terceiro ano do Ensino Médio possuem? É importante lembrar que o domínio da questão
das figuras geométricas é cobrado com frequência em provas como ENEM, Prova Brasil,
entre outras.
Vários estudos realizados como os de Pavanello (1993), Lorenzato (1995),
Valente (2014), Pais (2010), Gouvêa (1998) mostram que o ensino de Geometria na
educação escolar fica reduzido a um plano secundário, e que a ênfase se concentra no
ensino da Aritmética e da Álgebra. Esses estudos revelam, ainda, o desempenho
desfavorável de alunos da Escola Básica em tarefas que envolvem conceitos e resolução
de problemas no campo da Geometria.
Mas essa realidade, começa a mudar lentamente. Andrade e Nacarato (2009)
apontam uma quantidade favorável de pesquisas relacionadas com o ensino e
aprendizagem de Geometria. Os autores identificam duas perspectivas emergentes nas
pesquisas: a Geometria experimental e os ambientes computacionais. A Geometria
começa a reaparecer nas salas de aulas, principalmente, trabalhada com recursos
experimentais e computacionais. O aporte teórico que fundamenta as novas pesquisas é
embasado na didática da Matemática e no modelo de Van Hiele do pensamento
geométrico.
Diante disto temos os dados do “Programa Internacional de Avaliação de
Estudantes” (PISA) divulgados em 2016 – cujo foco foi a área de Ciências – que avaliou
o que alunos de 15 anos, ao final da educação obrigatória, adquiriram em relação aos
conhecimentos e habilidades essenciais para a completa participação na sociedade
moderna (BRASIL, 2016).
O PISA trabalha com estudos de letramento matemático que é a capacidade de
formular, empregar e interpretar a Matemática em uma série de contextos, o que inclui
raciocinar matematicamente e utilizar conceitos, procedimentos, fatos, ferramentas
matemáticas para descrever, explicar e prever fenômenos. Isso ajuda os indivíduos a
reconhecer o papel que a Matemática desempenha no mundo e faz com que cidadãos
construtivos, engajados e reflexivos possam fazer julgamentos bem fundamentados e
tomar as decisões necessárias (BRASIL, 2016).
O PISA organiza os conteúdos matemáticos em quatro categorias, que abrangem
em variedade e profundidade o domínio de Matemática e os fenômenos subjacentes que
motivam sua evolução, bem como o reflexo das principais vertentes do currículo escolar,
a saber: mudanças e relações; espaço e forma; incertezas e dados; quantidade.
14
Embora o Brasil tenha apresentado um resultado inferior em relação às médias de
proficiência estabelecidas pelo PISA, vale notar que a categoria de conteúdo com os
maiores valores no índice de desempenho foi a de espaço e forma. Essa subárea da
avaliação da Matemática envolve uma diversidade de propriedades encontradas em vários
lugares no mundo físico e visual. Trabalha-se, por exemplo, com as propriedades das
figuras geométricas como o perímetro ou a área e as características das figuras espaciais,
entre outras. A interação dinâmica com formas reais, bem como com suas representações
se mostram um conteúdo mais difícil e trabalhoso para os estudantes de 15 anos
(BRASIL,2016).
No entanto, consideramos relevante a contribuição da nossa pesquisa para o
campo da Educação Matemática por trazer dados efetivos que mostram o desempenho
dos alunos que estão concluindo o Ensino Médio em relação aos conhecimentos das
figuras geométricas (polígonos) e das características das figuras espaciais (poliedros).
Propomos como objetivo geral da pesquisa, analisar os conhecimentos
geométricos sobre polígonos e poliedros apresentados por alunos do Ensino Médio. Para
darmos conta do nosso objetivo, definimos alguns objetivos específicos: a) investigar as
dificuldades apresentadas pelos alunos do Ensino Médio sobre a Geometria, na visão do
professor; b) identificar o que os alunos compreendem sobre a Matemática e a Geometria
ensinada na Educação Básica; c) analisar a compreensão dos alunos sobre os conteúdos
geométricos polígonos e poliedros.
Trata-se de uma pesquisa qualitativa do tipo exploratória, tendo como método
interpretativo para a análise e triangulação dos dados as ponderações de Fiorentini e
Lorenzato (2012).
A pesquisa tem como lócus de investigação uma escola pública estadual da cidade
de Campo Novo do Parecis, no estado de Mato Grosso. Tivemos como participantes da
pesquisa 27 alunos do terceiro ano do Ensino Médio e o respectivo professor da turma
investigada.
Para apresentar o estudo realizado, organizamos a dissertação em quatro capítulos.
O primeiro, intitulado “O ensino da Geometria na Educação Básica”, organiza
os aspectos históricos da Geometria e a Geometria como conteúdo escolar; trata, ainda,
do atual cenário da Educação Básica e tece algumas considerações sobre a reforma do
ensino; por fim, aborda a Geometria na Educação Básica e na “Base Nacional Comum
Curricular” (BNCC). Procuramos articular no texto elaborado as principais indicações
15
expostas nos documentos oficiais no que se refere ao ensino da Matemática e,
particularmente, da Geometria. Consideramos que a Geometria escolar se constituiu a
partir das várias modificações curriculares pelas quais transita, portanto, seu ensino
precisa ser planejado no sentido de possibilitar a aprendizagem.
No segundo, “O desenvolvimento do pensamento geométrico”, fazemos breve
apresentação da teoria do desenvolvimento do pensamento geométrico realizado pelo
casal Van Hiele, com os cinco níveis propostos, as fases de aprendizagem e as
propriedades do modelo. Ao considerar o pensamento geométrico como evolução do
conhecimento do aluno, que se inicia a partir do nível considerado de visualização e
evolui até o nível mais elevado, chamado de rigor, faz-se necessário que se conheça quais
conhecimentos geométricos os alunos possuem para, então, possibilitar a aprendizagem.
O terceiro capítulo, intitulado “A metodologia”, trata do caminho da construção
da pesquisa: o tipo de pesquisa, o contexto e os sujeitos participantes, os instrumento e
procedimentos de produção de dados, leitura e organização dos dados da pesquisa.
No quarto capítulo, “Apresentação, interpretação e análise dos dados”,
analisamos os dados organizados em dois eixos temáticos. No primeiro deles,
Compreensões do professor e dos alunos sobre o pensamento geométrico, buscamos
compreender como o professor e os alunos articulam suas compreensões sobre o
pensamento geométrico e qual sentido adotado por eles, considerando a importância do
pensamento geométrico para o desenvolvimento do raciocínio matemático. No segundo
eixo; Os conhecimentos geométricos de alunos do Ensino Médio, entendemos o que os
alunos expressam sobre os conhecimentos geométricos a respeito dos conteúdos de
polígonos e poliedros a partir das respostas apresentadas no questionário investigativo,
que nos permitiu a análise com base nos níveis de Van Hiele.
Para concluir, mas não pôr fim às reflexões sobre o tema, tecemos algumas
considerações sobre as questões desencadeadoras da pesquisa, procurando evidenciar as
respostas encontradas, considerando as possíveis contribuições do estudo realizado,
especialmente no que diz respeito ao pensamento geométrico dos alunos ao finalizarem a
Educação Básica.
16
1 O ENSINO DA GEOMETRIA NA EDUCAÇÃO BÁSICA
Nos debates sobre o ensino de Matemática ouvimos muitos questionamentos
sobre como deve ser ensinada de forma significativa para quem aprende, a fim de que
tenha sentido sua aprendizagem em determinado contexto, tendo em vista a grande
dificuldade que os alunos encontram para sua compreensão. Sob essa perspectiva surge a
pergunta: Como torná-la mais acessível e ligada ao cotidiano se, por excelência, ela é
considerada uma ciência abstrata e consequentemente auxilia o desenvolvimento do
raciocínio lógico?
A Matemática trata de determinados conceitos que, em suma, não podem ser
relacionados com a dimensão puramente sensitiva ou empírica, como é o caso dos
axiomas geométricos básicos: o ponto, a reta e o plano, os números negativos, dentre
outros.
Questões desse tipo surgem com frequência na área de investigação em Educação
Matemática, na busca de compreender seu ensino contextualizado, não somente no
âmbito da sensibilidade, mas provido de significados
No movimento teórico de conferir significado à Matemática no ensino escolar é
que o percurso histórico percorrido por ela provoca nosso interesse. Por conseguinte, pelo
fato de considerarmos importante trazer significado àquilo que é investigado, nossa
pesquisa inicia as primeiras páginas abordando o contexto histórico em que se encaixa o
seu objeto de investigação: o pensamento geométrico.
Estruturamos o primeiro capítulo de modo a facilitar para o leitor a compreensão
do objeto de estudo da pesquisa. Iniciamos com uma breve contextualização histórica da
Geometria, passando pela sua estruturação como disciplina escolar, sobrevoando por
algumas reformas e mudanças no currículo da Matemática, partindo de movimentos
importantes para a organização dessa área de conhecimento no âmbito escolar de hoje.
1.1 Breve histórico da Geometria enquanto campo da Matemática
A etimologia da palavra “geometria” provém do grego geo=terra e
metria=medida. Dessa forma, a Geometria pode ser considerada como a medida da terra.
Acredita-se que os primeiros cálculos envolvendo a Geometria surgiram com a
construção de monumentos, demarcações de terra e outros. Há quem afirme que os povos
17
mais evoluídos da Antiguidade tinham conhecimentos geométricos, mesmo que
primitivos, muito bem evoluídos.
Desde o início acredita-se que os primeiros contatos com a Geometria foram
anteriores aos sistemas numéricos. Sobre o assunto, Rooney (2012, p 73 -74) afirma que
“muitos povos antigos deixaram evidências de seus interesses por padrões repetidos,
simetrias e formas na forma de padrões geométricos decorando seus objetos, estruturas e
residências”. Ainda, segundo Rooney (2012), a Geometria tem essa característica
imediata, ou seja, você consegue percebê-la pelas suas formas e padrões e, ainda, “[...]
trabalha com distâncias, áreas e volumes do mundo real – foi uma das primeiras
aplicações matemáticas” (2012, p. 65).
A Geometria sempre criou fascínio por sua aplicabilidade prática nas grandes
construções históricas, como na utilização de cálculos simples para medir área, sendo que
sua função, desde a origem (se assim podemos dizer), exerce atração para as formas e
padrões que sempre buscam equilíbrio e beleza. Como aponta Eves (1997), a
aplicabilidade perceptível dos conhecimentos mais simples para a construção do
pensamento geométrico surge modestamente e, depois, continua a evoluir transformando-
se em um conhecimento mais elaborado, tomando dimensões mais gerais e abstratas.
Inúmeras circunstâncias da vida, até mesmo do homem mais primitivo,
levavam a um certo montante de descobertas geométricas subconscientes. A
noção de distância foi, sem dúvida, um dos primeiros conceitos geométricos a
serem desenvolvidos. A necessidade de delimitar a terra levou à noção de
figuras geométricas simples, tais como retângulo, quadrado e triângulo [...]
essa geometria deveria, por falta de melhor denominação, ser chamada
“geometria subconsciente. “[...]mais tarde (ainda antes de qualquer registro
histórico), a inteligência humana tornou-se capaz de, a partir de um certo
número de observações relativas as formas, tamanhos, relações espaciais de
objetos físicos específicos, extrair certas propriedades gerais e relações [...]
isso acarretou a vantagem de ordenar problemas geométricos práticos, em
conjuntos tais que os problemas de um conjunto podiam ser resolvidos pelo
mesmo procedimento geral. Chegou-se assim a noção de lei ou regra
geométrica (EVEZ, 1997, p. 2, 3).
Começa a surgir pela experiência e pela visualização a Geometria com suas
regularidades e padrões, e passa a ter papel fundamental na evolução do pensamento
matemático. Existe quem defenda que sem a Geometria não haveria números, álgebra,
trigonometria, funções, haja vista a importância do pensamento geométrico para a
evolução da própria Matemática.
A história ocidental disseminada na educação e na história da matemática
considera Tales, Pitágoras e Euclides como os primeiros filósofos e precursores da
18
Geometria. Embora não se tenha registros autênticos da existência de Tales e Pitágoras,
há escritos que fazem referências a esses dois personagens da história da Matemática que
contribuíram para o desenvolvimento da Geometria.
Com a mudança na organização da sociedade surge modificações, e com elas outra
mentalidade que conduz à substituição do pensamento mítico sobre a realidade. Assim,
no decorrer do século VII a.C., são criadas as escolas de pensamento como a Jônica de
Tales e a pitagórica de Pitágoras.
Proclus (410-485 a.C.) escreveu um dos primeiros registros, o chamado “Sumário
Eudemiano”, em que há a indicação que a Geometria grega iniciou com os trabalhos de
Tales de Mileto. “Foi Tales quem trouxe a matemática do Egito para a Grécia [...]. Tale
é considerado como um dos criadores da física, da Astronomia e da Geometria”
(GAZIRE, 2000. p. 60).
As contribuições de Tales para a Geometria são inúmeras, sendo atribuída ao
pensador grego a descoberta de várias propriedades do triângulo esférico, o círculo e seu
diâmetro, os ângulos opostos pelo vértice, os ângulos de um semicírculo, a propriedade
ALA (ângulo, lado, ângulo) de triângulos isométricos, os ângulos da base de triângulos
isósceles.
Após o trajeto de descobertas de Tales, surge Pitágoras, também citado por
Proclus no “Sumário Eudemiano” como continuador das ideias de Tales. Pitágoras é
envolto em grande mistério e lendas, visto que não existem relatos originais de sua vida
e obra.
O que parece certo é que ele nasceu na ilha de Egéia de Samos por volta de
520 a.C., viajou muito pelo mundo antigo – Egito, Babilônia e Índia – e,
voltando à Grécia, encontrou em sua cidade uma sociedade intolerante e
conservadora. Isso o levou a Crotona, na Itália [...]. Consta que, em Crotona,
organizou uma escola na qual mantinha ensinamentos secretos: A
IRMANDADE PITAGÓRICA. O que se sabe dela com certeza é apenas a
sua existência. As notícias sobre sua organização são muito posteriores, sendo
impossível o verdadeiro do lendário (GAZIRE, 2000. p. 62-63.)
Embora muito pouco se saiba sobre Pitágoras, é atribuída a ele descobertas
importantes para a Matemática e para a Geometria. Tal importância advém do fato que,
segundo alguns historiadores, antes dos pitagóricos os povos civilizados consideravam a
Matemática somente um tipo de ferramenta para resolver algum problema prático.
Pitágoras traz a noção de que o número não serve apenas para calcular ou contar “eles
foram sendo apreciados pelas próprias características, pelos relacionamentos
19
apresentados entre si e pelos padrões que permitiam formar” (GAZIRE, 2000. p. 63). É
conferido a Pitágoras descobertas matemáticas como a prova do teorema de Pitágoras, as
médias (aritmética, geométrica, harmônica e suas relações), os números perfeitos e
números amigos, os sólidos regulares (cubo, tetraedro, octaedro, icosaedro), a
irracionalidade de √2, os números figurados, dentre outros (GRAZIRE, 2000).
Outro personagem importante na história da Geometria é Euclides, que acredita-
se nascido por volta de 300 anos a.C., embora não se saiba o local preciso de nascimento.
Euclides foi considerado um dos grandes pioneiros de Alexandria e que possivelmente
frequentou a Biblioteca de Alexandria durante o reinado de Ptolomeu I. Segundo a
história, foi convidado por Demétrio de Faleros para criar uma escola Matemática e
formar discípulos. Euclides escreveu várias obras: “Os Dados”, “Os Fenómenos”,
“Porismos”, “Óptica”, “Os Elementos”, essa última organizada em treze volumes e
considerada sua principal obra, que o tornará o matemático mais conhecido da
Antiguidade.
Que representam os Elementos euclidianos na História da Matemática? Uma
das mais notáveis obras, que concilia a compilação dos conhecimentos
matemáticos mais relevantes de uma tradição herdada da Grécia Clássica e
registrada, na sequência da prática de compilação de Elementos, iniciada pelo
menos dois séculos antes, associada a novos estudos e às aquisições
decorrentes das investigações matemáticas de Euclides. Na verdade, desde a
Antiguidade só a Bíblia e, talvez, Homero, conheceu maior difusão que os
Elementos de Euclides, suporte de ensino de Matemática por mais de dois
milénios (GAMAS, 2013 p.48).
Após a destruição da Biblioteca de Alexandria, essa obra de Euclides, como
muitos dos escritos lá depositados, só chegaram ao nosso conhecimento graças a
transcrição dos copistas árabes que integravam a Casa da Sabedoria, em Bagdá.
Os treze livros dos Elementos de Euclides foram organizados conforme quadro
explicativo a seguir.
Quadro 1 – “Os Elementos” de Euclides ‘OS ELEMENTOS” de EUCLIDES
Livro Características
GE
OM
ET
RIA
PL
AN
A
Livro I O livro I contém uma lista de:
23 definições
5 postulados
5 noções comuns ou verdades lógicas
São demonstradas 48 proposições
Livro II O livro II contém 14 proposições, sendo que:
a) As 10 primeiras são álgebra geométrica grega da Escola Pitagórica
e que traduzem geometricamente as propriedades algébricas
elementares das somas e produtos;
20
b) As quatro operações proposições compreendem:
os problemas importantes de dividir uma reta em média e
extrema razão;
quadrar qualquer figura poligonal;
a generalização do teorema de Pitágoras para triângulos
acutângulos e obtusângulos.
Livro III O livro III contém 97 proposições nas quais figura a teoria
do círculo,
das linhas,
dos ângulos no círculo
terminando por um grupo de proposições que foram a base da teoria
da potência de um ponto em relação a um círculo.
Livro IV No livro IV figuram 16 proposições, nas quais estão as construções
pitagóricas, com régua e compasso, de polígonos regulares de 3, 4, 5, 6, e 10
lados.
Livro V No livro V figuram 26 proposições que tratam da teoria das proporções
(numa exposição magistral, de acordo com Eudóxio¸ cujos resultados se
aplicam a todas as grandezas, sendo, portanto, verdadeiros tantos para os
números como para as grandezas geométricas).
Livro VI
No livro VI figuram 35 proposições:
as propriedades gerais das proporções (demonstradas no livro V) aqui
são aplicados a figuras geométricas (fazendo surgir, assim, a teoria
dos triângulos e polígonos semelhantes);
as construções que dão a terceira, a quarta e a média proporcionais;
solução geométrica das equações do 2º grau.
AR
ITM
ÉT
ICA
Livro VII O livro VII inicia-se com algumas definições baseadas na notação pitagórica.
Livro VIII O livro VIII também trata da aritmética (ou mais exatamente da teoria dos
números).
Livro IX O livro IX também trata de aritmética.
Livro X O livro X, o mais extenso e o mais difícil de todos, contém: 115 proposições
em que:
expressões irracionais são estudadas em forma geométrica, como as
quadráticas da forma: √(7 + 2√6);
há teoremas equivalentes aos processos para racionalizar
denominadores de frações da forma: 𝑎
𝑏±√𝑐 e
𝑎
√𝑏±√𝑐
Livro Características
GE
OM
ET
RIA
SÓ
LID
A
Livro XI O livro XI trata da geometria sólida
Livro XII O livro XII são colocadas
as definições;
os teoremas relativos às retas no espaço
aos planos no espaço
ao paralelepípedo
ao método da exaustão para calcular o volume das pirâmides
Livro XIII O livro XIII é todo dedicado aos poliedros regulares. (Na última proposição,
de número 18, vem a demonstração de que há apenas cinco poliedros regulares
convexos).
Fonte: GAZIRE, E.S. O não resgate das Geometrias. Campinas, SP. 2000.
A Geometria euclidiana foi considerada pela Matemática como um verdadeiro
modelo, visto que Euclides organizou todo o conhecimento matemático da época de
forma sintetizada.
Entre o período da Antiguidade e a época Moderna, temos a Geometria chamada
de estudo das formas, que dá origem a uma importante evolução mais especificamente a
21
partir do século XVII. Para Piaget e Garcia (2011), após os gregos a primeira mudança
espetacular foi realizada pela Geometria analítica que teve influência de Fermat (1601-
1665) e René Descartes (1596-1650). Esse último, em seu “Discurso sobre o Método”,
no terceiro apêndice intitulado “A Geometria”, desenvolve aspectos interessantes que se
tornaram um marco para a Idade Moderna da Matemática. Tanto Descartes como Fermat
introduzem os pontos de um plano por pares ordenados de números e as curvas por
equações. Tais contribuições conduziram os estudos das propriedades algébricas com
menos ênfase nas figuras, como afirmam Piaget e Garcia (2011): a Geometria ficará
“reduzida” à álgebra. Temos aqui um novo olhar sobre a Geometria, não somente para as
formas geométricas utilizadas pelos gregos, mas um rumo ainda não explorado: a
linguagem algébrica.
Meio século depois do Discurso, Newton publica os seus Principia (1687). O
cálculo diferencial criado por Newton e, independentemente por Leibniz, dará
à geometria analítica um alcance que Descartes não tinha previsto. Mais tarde,
os Bernoulli, Euler e Lagrange, irão completar a ‘redução” da geometria à
análise” (PIAGET; GARCIA, 2011, p.131).
Após ter se constituído a Geometria analítica, o pensamento matemático passou
por um processo de profunda revolução. A álgebra, ao utilizar sinais abstratos para
sinalizar grandezas absolutas que não têm qualquer valor e sentido em si próprias, permite
trabalhar com a generalidade. Os sinais abstratos permitem o raciocínio de qualquer
grandeza, fazendo abstrações de seus valores numéricos e absolutos, utilizando o
raciocínio implícito.
Após a Geometria analítica do século XVII, uma nova leitura surge com os nomes
de Chasles (1793-1880) e Poncelet (1788-1867), que procuraram incorporar os sistemas
de transformações geométricas como método fundamental da Geometria, ou seja, eles
buscam dar a ela, independentemente da álgebra, a mesma generalidade, a mesma classe
dada à Geometria analítica. Portanto os dois geômetras irão introduzir algumas
concepções da Geometria a partir de métodos algébricos. Para Piaget e Garcia (2011),
eles darão sentido “puramente geométrico” a elementos “imaginários”.
Poncelet (1788-1867), no início do século XIX, após a análise dos escritos de
Girard Desargues (1595-1662), desenvolveu ideias que revolucionaram os trabalhos dos
matemáticos da época e é considerado o pai da Geometria projetista. Mas o que seria essa
Geometria? Pode-se fazer a seguinte análise: enquanto a Geometria de Euclides se
preocupa em observar e compreender o mundo em que se vive, a Geometria projetista
22
busca compreender o mundo que se vê, sendo foi muito empregada nas artes e nas
pinturas da época.
Em meados do século XX, dois matemáticos Sophus Lie (1842-1899) e Félix
Klein (1849-1925) propõem novas contribuições, ou seja, com base na noção de grupo de
transformações e invariantes correspondentes, a topologia, que ajudará a introduzir as
distinções entre as Geometrias. Félix Klein “irá formular de modo magistral o novo ponto
de vista. Uma nova etapa será assim inaugurada. A passagem da etapa das transformações
projetivas à etapa das estruturas de grupos” (PIAGET, GARCIA, 2011, p. 149).
Félix Klein é quem, segundo (NASSER, 2004) fornece as ferramentas necessárias
que diferenciou os diferentes tipos de Geometria. No século XX, a Geometria se apresenta
não somente como estudo do espaço físico, mas como o estudo de todo e qualquer espaço
abstrato.
Cabe ressaltar que a Geometria que será abordada na nossa pesquisa é a Geometria
euclidiana, ainda muito presente nos currículos escolares. No decorrer do processo de
reformulação dos currículos de Matemática em âmbito mundial houve vários movimentos
que buscaram reformular seu ensino e selecionar os conteúdos importantes para integrar
a Educação Básica. Em meio a esses movimentos, a Geometria também sofreu mudanças
nos currículos. “Nas últimas décadas, uma necessidade de modificações no ensino da
geometria cresceu ao redor do mundo, devido às dificuldades encontradas e ao fraco
desempenho mostrado por alunos secundários em geometria” (NASSER, 2000, p. 32).
A seguir, vamos abordar como se constituiu a Geometria ensinada na escola, mas
antes apresentamos, como resumo do texto até aqui desenvolvido, um quadro com os
diferentes tipos de Geometria, elaboradas no decorrer do processo de construção do
conhecimento da humanidade.
Quadro 2 – Os tipos de Geometrias GEOMETRIAS MATEMÁTICOS CARACTERÍSTICAS
Euclidiana Os gregos (Tales, Pitágoras)
Euclides - “Os Elementos”
Tem por base axiomas e
postulados euclidianos; é
considerada a geometria das
formas.
Analítica Fermat (1601 1665)
René Descartes (1596-1650)
Propriedades algébricas com
ênfase nas figuras; uma
linguagem algébrica;
algebriza conceitos
geométricos.
23
Projetiva Chasles (1793-1880)
Poncelet (1788-1867)
Estuda as propriedades
geométricas das figuras;
transformações geométricas;
formas e estruturas algébricas
Fonte: Organização da pesquisadora
1.2 Geometria como conteúdo escolar: um olhar histórico sobre o ensino de
Geometria no Brasil
O ensino de Geometria no Brasil, desde o início do movimento para organização
da escola brasileira, foi marcado por peculiaridades nas abordagens e principalmente no
enfoque pragmático com que foi inserido na cultura escolar. Nos primeiros anos de
estruturação de um sistema de ensino no Brasil, a Geometria se apresenta como
Geometria prática. Vejamos sua construção enquanto disciplina escolar.
De acordo com Silva e Valente (2014), o ensino de Geometria no curso primário
se remete às primeiras décadas do século XIX. Segundo as autoras citadas, a historiadora
Circe Bittencourt evidencia que os primeiros debates sobre a Educação Nacional são
basicamente tradução da obra de Condecert e, nos estudos do segundo ano do curso
primário é que devem ser ensinadas as primeiras noções de Geometria, que encaminhará
o aluno para os estudos de agrimensura. Em decorrência, o ensino de Geometria no curso
primário brasileiro é voltado para um ensino prático, ou seja, uma Geometria prática.
Desde Condorcet, em sua versão adaptada por Martim Francisco, a primeira
referência a constituir parâmetro para a organização da escola de primeiras
letras no Brasil indica que o ensino de geometria deveria ter caráter prático;
um ensino que pudesse dar condições para certo exercício profissional, para a
medida de terrenos, para a agrimensura. Assim, a geometria para os que
iniciam a escola constitui saber específico, técnico, instrumental [...] (SILVA;
VALENTE, 2014, p.23)
Percebemos nas reflexões das autoras que, desde o início do seu ensino no Brasil,
a noção utilitarista da Geometria se fez presente.
Após seguir as orientações dos escritos de Condorcet, é publicado o trabalho de
Francouer2 “Princípios do desenho linear compreendendo os de geometria prática pelo
método do ensino mútuo”, que revela certas singularidades a começar pelo título que
2 Louis-Benjamin Francoeur (1773-1849) francês, matemático, seguiu carreira militar e acadêmica. Foi
pioneiro a sintetizar os conteúdos de desenho para as escolas de ensino mútuo.
24
inclui o termo “prática”. O livro do autor explicita algumas atividades propostas em
quatro níveis:
[...] dividir um segmento em seis partes iguais; por um ponto fora de uma reta,
construir uma perpendicular à reta; construir um triângulo equilátero; dividir
um ângulo em dez partes iguais [...] construir trapézio, sendo dadas as bases e
altura; construir um paralelepípedo. [...] construir uma circunferência, sendo
dados o centro e o raio; circunscrever um quadrado num círculo dado;
inscrever um octógono regular num círculo[...] construir um transferidor,
construir uma elipse etc.” (SILVA, VALENTE 2014, p. 27-28).
Percebe-se, na proposta do autor, uma mudança na compreensão do ensino de
Geometria: em lugar daquela geometria prática voltada aos sistemas de agrimensura se
preconiza agora a construção geométrica. Silva e Valente (2014) corroboram que, em
lugar das atividades propostas com intuito de utilizar as ferramentas de desenho como
régua, compasso, esquadro, entre outros instrumentos, são recomendadas atividades que
devem ser realizadas pelo desenho em si, ou seja, os alunos são levados a desenharem à
mão livre e com precisão. Segundo o livro de Holanda Cavalcanti, a Geometria somente
se tornaria prática se os alunos desenvolvessem habilidades do desenho à mão livre, sendo
que as atividades de medidas e agrimensura começam a ser deixadas de lado, levando à
transformação do próprio significado de Geometria prática. Segundo Silva e Valente
(2014), se preconiza a proposta de uma geometria escolar, a partir da qual começam a
surgir os livros didáticos que a direcionam, ou seja, focam desenhos e formas
geométricas.
No período intitulado de Primeira República (1890 a 1930) a consolidação e a
organização do ensino primário são eminentes. São criados os grupos escolares em São
Paulo na fase em que o estado experimenta maior expansão econômica cultural. A escola,
por decorrência, também vivencia modificações e alcança novos progressos. Assim, na
Geometria, os livros produzidos progridem, mas ainda trazem desenhos e formas
geométricas, conceitos e definições dos objetos geométricos, como é o caso do livro
“Desenho linear ou Elementos de geometria prática popular”, de autoria de Abílio Cesar
Borges.
O livro de Abílio Borges insere-se na continuidade de etapa anterior de
inclusão dos conhecimentos geométricos nos anos iniciais escolares. [...]
Assim é considerado o desenho como antecedente da geometria, leva em conta
o que estava assento como desenho linear, desenho à mão livre, rumo à
organização do saber geométrico. Esse tipo de organização, ao que tudo indica,
iluminou novas propostas republicanas para o tratamento da geometria. Esse
25
saber deveria ser ensinado, precedido do desenho. (SILVA, VALENTE, 2014.
p. 51-52)
No ano de 1894, a Livraria Francisco Alves publica a primeira obra didática para
o ensino primário de Geometria em tempos republicanos intitulado “Primeiras noções de
geometria prática”, de autoria de Olavo Freire, que se tornou obra de referência para o
ensino de Geometria até aproximadamente a primeira metade do século XX.
Em síntese, a geometria proposta no livro de Freire pode ser interpretada como
uma geometria prática, na medida em que os conceitos estudados são
relacionados com objetos da cotidiana, porém a presença de construções
geométricas de maneira contínua e crescente representa um novo enfoque para
o caráter prático da geometria, ou seja, a praticidade na ação de construir
objetos geométricos com régua e compasso [...] (SILVA, VALENTE, 2014 p.
56)
De acordo com os estudos dos historiadores, acredita-se que a geometria prática,
no ensino dos anos iniciais, limitou-se à construção de desenhos geométricos utilizando
régua e compasso, corroborando assim com a consolidação da Geometria escolar, que se
caracteriza principalmente por essa tendência.
Nas primeiras décadas do século XX, a Geometria sofre alterações nas reformas
educativas que se sucedem; uma delas consistiu em destacar a forma de iniciar o conteúdo
desse conhecimento. Assim, a Geometria, que anteriormente se configurava do plano para
o espaço, na primeira reforma de 1905 passou por uma inversão iniciando, então, do
espaço para o plano. A mudança no ponto de partida do estudo do conteúdo faz surgir as
primeiras dificuldades encontradas pelos professores, que até iniciavam os estudos a
partir do espaço, mas não davam continuidade, visto que sentiam impedimentos e
acabavam voltando para as construções geométricas no plano.
Com abordagem do método analítico, as cartilhas começam a circular nos grupos
escolares partindo do todo para as partes, daí a problemática instaurada no ensino de
Geometria: como ir do “espaço” para o “plano” se as construções geométricas são feitas
no plano? Permanece, posteriormente, a proposta do livro de Freire, a construção
geométrica como geometria prática, a fim atender a necessidade de mostrar que seu
ensino deve ser prático ligado à utilização de instrumentos para a construção de figuras.
A percepção, acima descrita, começa a mudar a partir do Movimento da
Matemática Moderna (MMM), em que o início do ensino de Geometria não passará mais
pelas construções geométricas, mas tomará novos rumos.
26
No ensino da Matemática, o movimento derivado da corrente estruturalista, que
considera a análise das relações entre parte e todo, ficou conhecido como Movimento da
Matemática Moderna (MMM), que elegeu três estruturas matemáticas centrais: as
estruturas topológicas, algébricas e de ordem.
O MMM vigorou em meados da década de 60, sob influência da psicologia
segundo as ideias de Jean Piaget e, especificamente, na área da Matemática experienciou
a atuação de um grupo de matemáticos franceses sob o pseudônimo de Nicolas Bourbaki,
preocupados em estruturar o ensino da disciplina, alcançando o objetivo de revolucionar
seu currículo escolar
Sobre a corrente estruturalista Skovsmose (2001) explica que a influência da
teoria impactou três campos do conhecimento: “o ponto de vista estrutural é caracterizado
por uma ideia sobre matemática (associada ao nome de Nicolas Bourbaki), uma ideia
sobre comunicação e transformação educacional (Jerome S. Bruner) e uma ideia sobre
epistemologia (Jean Piaget)” (SKOVSMOSE, 2001. p. 20, grifo nosso)
O Movimento da Matemática Moderna é, portanto, uma vertente da corrente
estruturalista, que se caracteriza pela afirmação do fundamento de que a essência da
Matemática pode ser determinada fixando conceitos por meio da análise lógica das teorias
matemáticas existentes, ou seja, está relacionada com a ideia de estruturas matemáticas
do grupo Bourbaki
Pavanello (1993) ressalta que, com o MMM, as dificuldades do ensino de
Geometria se agravaram ainda mais, pois, se enraizado em uma abordagem tradicional os
professores já tinham dificuldades em ensiná-la, com a exigência da Geometria
aproximada da álgebra e no enfoque das transformações algébricas seu ensino acabaria
por se fragilizar.
Gouvêa (1998) aponta que o MMM propôs introduzir a linguagem da Teoria dos
Conjuntos numa tentativa de estabelecer relações com as várias áreas da Matemática, e
com intenção de apresentar uma Geometria axiomática e dedutiva com demonstrações
organizadas e estruturadas. Mas, afirma Pavanello (1993), com despreparo dos
professores, tal objetivo não se concretizou.
Lorenzato (1995) aponta que, na área da Matemática, o ensino da Geometria foi o
mais prejudicado pelo MMM, pois o grupo Bourbaki propunha um estudo puramente
topológico. Também considerava a Geometria euclidiana (muito presente nos currículos
escolares do período) um dos conteúdos da “matemática clássica”, definida por Jean
27
Dieudonné (membro do grupo Bourbaki) como portadora dos conceitos anteriores ao ano
de 1800. O grupo referido se preocupava em procurar uma forma de modernizar a
Matemática, inserindo conteúdos que até então não se faziam presente nos currículos
tanto de nível básico como superior.
Pouco a pouco, desenha-se uma ideia geral que será precisada no século XX,
a de estrutura na base de uma teoria matemática; é a consequência da
constatação de que aquilo que desempenha o papel primordial numa teoria são
as relações entre os objetos matemáticos que aí figuram, antes da natureza
desses objetos, e que, em duas teorias diferentes, pode acontecer que haja
relações que se exprimem da mesma maneira nas duas teorias; o sistema destas
relações e as suas é uma estrutura às duas teorias (Dieudonné,1990, p. 118.
Apud Pires,2006, p.114).
O grupo Bourbaki, numa redefinição de objetos e métodos, reduz a Geometria
euclidiana (ou a Geometria elementar) somente a um capítulo da álgebra linear. A posição
contrária à Geometria euclidiana, assumida pelo grupo se fundamenta na falta de
atualização da visão sobre a Geometria, como também é caracterizada pela oposição
bastante corrente de outros matemáticos.
O MMM iniciou com bastante força primeiramente na Europa, entre os anos de
1966 a 1967 é lançada a coleção intitulada “Curso moderno de matemática para escola
elementar”, das autoras Manhúcia Perelber Liberman, Anna Franchi e Lucília Bechara,
todas com formação em licenciatura de Matemática. Essa coleção didática demarca o
ensino de Geometria, logo nas primeiras séries, com abordagem sob a nova vertente, ou
seja, a coleção traz a estrutura de organização matemática proposta pelo MMM.
No primeiro volume as autoras não abordam a Geometria, iniciam os estudos com
classificação de objetos de acordo com suas propriedades, como forma, tamanho, cor e
outros. Segundo Silva e Valente (2014), as primeiras atividades decorrem do
estabelecimento, pelos alunos, de correspondência entre as propriedades dos objetos. As
relações entre as formas e as propriedades do objeto é prenúncio do método intuitivo, que
tem por premissa o ensino e a educação pela via dos sentidos. Vemos, então, neste manual
uma nova abordagem do ensino de Matemática que traz para as crianças o primeiro
contato com a Matemática Moderna.
Uma análise mais acurada mostra, no entanto, que o emprego da cor e da forma
não é feito simplesmente por serem propriedades de fácil observação para as
crianças. Note-se: a atividade pede que os alunos estabeleçam relações entre
as propriedades no sentido de construir a noção de correspondência um a um
entre os conjuntos e comparar o número de elementos entre dois conjuntos.
Esta é a proposta central: preparar o aluno para o conceito de número como um
28
invariante de dois conjuntos. Assim, as figuras geométricas não são
empregadas com o fim de iniciar o estudo de geometria[...] (SILVA;
VALENTE, 2014, p.75)
Notamos que a intenção das autoras se direciona para uma abordagem das figuras
geométricas que não visa o estudo propriamente das mesmas ou sua construção, mas as
utilizam como objeto, levando o aluno a fazer relações com propriedades que lhes são
visíveis e sensíveis.
A grande mudança no ensino de Geometria aparece com mais força no terceiro
volume que apresenta os conteúdos de noções geométricas. No volume citado verifica-se
a introdução de conceitos topológicos (dentro, fora, aberto e fechado); tratam, também,
de curvas abertas e fechadas, interior das curvas fechadas simples e, por fim, expõem os
lados retos, polígonos, triângulos e quadriláteros.
Para Silva e Valente (2014), uma das características marcantes do MMM é a
linguagem de conjuntos, que permeia todos os níveis de ensino, e trouxe uma forma
diferenciada de abordar as relações geométricas. As autoras contemplam, em seus livros,
comentários sobre essa linguagem mais apurada. Para exemplificar trouxemos aqui um
excerto do texto que explicita o uso da linguagem de conjunto de forma bastante evidente:
“Tradicionalmente dizíamos que AB é igual a RS , mas desde que segmento de reta é
um conjunto de pontos, não é mais possível usar-se a palavra igual, pois o conjunto AB
não tem os mesmos elementos que RS .” (Silva; Valente 2014, apud Liberman, Bechara
Sanchez e Franchi 1975, v.2, p.27).
Vale reafirmar que uma das contribuições do MMM para o ensino de Matemática
foi a linguagem de conjuntos.
[...] opta-se, num primeiro momento, por acentuar nesses livros as noções de
figura geométrica e de intersecção de figuras como conjuntos de pontos do
plano, adotando-se, para sua representação, a linguagem da teoria dos
conjuntos. Procura-se trabalhá-la segundo uma abordagem “intuitiva” que se
concretiza, nos livros didáticos, pela utilização dos teoremas como postulados,
mediante as quais pode-se resolver problemas. Não existe qualquer
preocupação com a construção de uma sistematização a partir das noções
primitivas e empiricamente elaboradas (PAVANELLO, 1993.p. 13).
O que se pôde perceber é que a mudança de abordagem por meio do estudo dos
novos conceitos de topologia, introduzidos pelo MMM, aparecem de forma introdutória,
mas não são retomados ou explorados em estudos posteriores. “A visão mais evidenciada
29
da geometria estudada se verifica na linguagem e não propriamente nos conceitos
topológicos em si” (SILVA; VALENTE, 2014, p. 78).
Mesmo em meio a esse contexto revolucionário, característico do MMM, que
trouxe ao cotidiano escolar novos conceitos, nota-se que a escola não se desprendeu da
Geometria escolarizada, pois, ainda que as páginas dos livros trouxessem algo de
topologia, logo surgia também a Geometria “antiga”, a Geometria euclidiana. De acordo
com Silva e Valente (2014), não há na obra didática uma linha contínua entre os
elementos topológicos, projetivos e euclidianos, ao contrário, apresentam-se alguns
elementos topológicos e seguem na direção da Geometria euclidiana.
Gouvêa (1998) traz uma análise importante sobre o período do MMM ao frisar
que a maioria dos exercícios não destacam a capacidade do aluno de desenvolver seu
próprio raciocínio, tendo em vista que grande parte das atividades consistem em esquemas
simples. Corroborando as análises apresentadas, Lorenzato (1995), ao se referir aos
porquês de aprender Geometria, ressalta que sem ela as pessoas não desenvolvem o
pensamento geométrico nem o raciocínio visual e, “sem essas habilidades, elas
dificilmente conseguirão resolver as situações da vida que forem geometrizadas”
(LORENZATO, 1995.p 5).
Como expõe Lorenzato (1995, p.4), “A proposta da Matemática Moderna de
algebrizar a Geometria não vingou no Brasil, mas conseguiu eliminar o modelo anterior,
criando assim uma lacuna nas nossas práticas pedagógicas, que perdura até hoje.
Por essa razão, podemos afirmar que a prejudicada foi a cultura escolar que, após
as investidas das propostas modernas, retoma a Geometria euclidiana, ou seja, a
“Geometria escolar” adotada generalizadamente.
1.3 Cenário da Educação Básica na atualidade
A Educação atual no Brasil, com a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional
de 1996 (LDB 9.394/96) disciplina e estrutura o funcionamento da educação escolar e as
obrigações da federação, dos estados e municípios, das escolas, dos pais e educadores.
Também, classifica a Educação Básica em três níveis de ensino: Educação Infantil,
Ensino Fundamental e Ensino Médio.
A Educação Básica tem por objetivo, de acordo com artigo 22 da LDB 9.394/96
“desenvolver o educando, assegurar-lhe a formação indispensável para o exercício da
30
cidadania e fornecer-lhes meios para progredir no trabalho e em estudos posteriores”.
Essa última finalidade cabe justamente ao Ensino Médio, dada aquelas específicas
expostas no artigo 35:
I – a consolidação e o aprofundamento dos conhecimentos adquiridos no
ensino fundamental, possibilitando o prosseguimento de estudos; II – a
preparação básica para o trabalho e a cidadania do educando, para continuar
aprendendo, de modo a ser capaz de se adaptar com flexibilidade a novas
condições de ocupação ou aperfeiçoamento posteriores; III – o aprimoramento
do educando como pessoa humana, incluindo a formação ética e o
desenvolvimento da autonomia intelectual e do pensamento crítico; IV – a
compreensão dos fundamentos científico-tecnológicos dos processos
produtivos, relacionando a teoria com a prática, no ensino de cada disciplina.
(BRASIL 1996, p. 24)
Sobre a Educação Básica, as “Diretrizes Curriculares Nacionais” (DCN)
complementam as determinações dizendo que o acesso a ela é para todos os brasileiros,
bem como a garantia das condições necessárias para a formação integral do sujeito.
Em resumo, o conjunto da Educação Básica deve ser constituir em um
processo orgânico, sequencial e ao articulado, que assegure à criança, ao
adolescente, ao jovem e ao adulto de qualquer condição e região do País a
formação comum para o pleno exercício da cidadania, oferecendo as condições
necessárias para o seu desenvolvimento integral. Estas são as finalidades de
todas as etapas constitutivas da Educação Básica, acrescentando-se os meios
para que possa progredir no mundo do trabalho e acessar a Educação Superior
[...] (BRASIL, 2010, p.20)
As “Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio” (DCNEM),
promulgada em 1998, destacam ações administrativas e pedagógicas do sistema de ensino
e das escolas, que devem ser coerentes com princípios estéticos, políticos e éticos. As
DCNEM ainda apontam que os princípios pedagógicos devem ser norteados pela
identidade, diversidade e autonomia; pela interdisciplinaridade e contextualização, que
devem ser adotados como estruturadores dos currículos. Logo, as peculiaridades dos
sujeitos do Ensino Médio, que são os jovens com idade média de quinze anos, seus
anseios, projetos de vida, estão presentes nas DCNEM como um importante norteador
para a formação humana integral do jovem brasileiro.
As DCNEM, promulgadas em 30 de janeiro de 2012, buscam orientar no sentido
de uma formação humana integral do jovem, para se evitar organizar uma formação
limitada à preparação somente para o vestibular.
31
Pesquisas realizadas com estudantes mostram a necessidade de essa etapa
educacional adotar procedimentos que guardem maior relação com o projeto
de vida dos estudantes como forma de ampliação da permanência e do sucesso
dos mesmos na escola. [...] Esta orientação visa à construção de um Ensino
Médio que apresente uma unidade e que possa atender a diversidade mediante
oferecimento de diferentes formas de organização curricular (BRASIL, 2012,
p135).
Os estudantes do Ensino Médio são, em sua maioria, adolescentes e jovens
caracterizados pela DCNEM com condição-sócio-histórico-cultural de uma categoria que
necessita ser considerada em suas múltiplas dimensões. Para isso é necessário um sistema
de ensino capaz de atrair o jovem na busca de sua formação integral e atual. A concepção
presente na DCNEM busca romper com a visão que aponta Dayrell (apud. BRASIL,
2002) de que a juventude é entendida como uma fase de transição para a vida adulta. Com
isso se nega a importância do jovem no presente produzindo sua educação para o “futuro”,
reduzindo a possibilidade de fazer da escola um espaço de formação, um ambiente para
as experiências vividas atualmente.
Além de uma etapa marcada pela transitoriedade, outra forma recorrente de
representar a juventude é vê-la como um tempo de liberdade, de
experimentação e irresponsabilidade (Dayrell, 2003). Essas duas maneiras de
representar a juventude - com um ‘via a ser” e como um tempo de liberdade -
mostram-se distantes da realidade da maioria dos jovens brasileiros. Para esses,
o trabalho não se situa no futuro, já fazendo parte de suas preocupações
presentes. (BRASIL, 2012, p. 156)
Como aponta as DCNEM, pensar os alunos do Ensino Médio na duplicidade de
um “vir a ser” e de um sujeito vivenciando um tempo atual de liberdade nos priva de olhá-
los como seres integrados na sua própria formação, capazes de realizarem a construção
pessoal do conhecimento com um sentido relevante na sua “relação com o saber”. De
acordo com Charlot (2001), os jovens constroem a relação com o saber, com o aprender
na sua trajetória de vida.
A relação juventude, trabalho e escola vem, ao longo do tempo, sendo
reconfigurada conforme sinalizam os estudos sobre o emprego juvenil. É importante
reconhecermos a dimensão do mundo do trabalho e a relação estabelecida pelos jovens
estudantes com ele. Não se pode desconsiderar que a maioria dos jovens que frequentam
o Ensino Médio cursaram o Ensino Fundamental em escolas públicas e, muitas vezes, em
condições de pobreza, tendo como preocupação eminente a garantia da própria
sobrevivência. Por outro lado, podemos dizer que na realidade dos jovens estudantes
brasileiros, a escola e o trabalho andam juntos, mas nem sempre essa busca pelo trabalho
32
é decorrente das necessidades materiais, conforme explicita o Caderno II da primeira
etapa do “Pacto Nacional de Fortalecimento do Ensino Médio” (PNFEM).
Não se deve enxergar, contudo, o trabalho de jovens nesta concomitância com
o tempo de escola como uma pura decorrência de necessidades materiais. Eles
também buscam o trabalho como um processo de conquista da autonomia
frente às suas famílias e como elemento de auto afirmação positiva frente à
sociedade. Um grande problema é que, no contexto das sociedades
contemporâneas, o jovem convive com a incerteza e riscos com relação ao
mercado de trabalho. Em um quadro de grandes desigualdades sociais, o
desemprego e o trabalho precário ou sem proteção legal têm sido a marca da
inserção juvenil no mundo do trabalho. (BRASIL, 2014, p.35,36)
O desafio que a escola tem é indagar: que relação os jovens alunos estabelecem
com o ambiente escolar? Que significado eles geram sobre a escola?
Podemos pensar que a relação que o jovem estabelece com a escola toma
múltiplos significados pois, historicamente, a escola é organizada na verticalização de
hierarquias e certa linearidade no modo de socializar e informar o conhecimento. Logo,
a dificuldade de adaptação dos jovens estudantes torna-se mais complexa e as várias
relações com a escola, seja com os professores e entre os próprios alunos, podem tornar
o ambiente escolar propenso a conflitos pertinentes às transformações que tanto o
ambiente escolar como os sujeitos sofrem, dificultando a criação de significados pelos
alunos.
Para compreender os sentidos e significados que os jovens atribuem à escola,
é fundamental considerar que os jovens produzem uma maneira própria de ver
e valorizar a escola a partir de seus pertencimentos aos diferentes contextos
sociais. A adesão à escola ou mesmo a “motivação” para os estudos dependem
muito das experiências individuais, dos interesses e das identidades que se
constroem a partir da realidade vivida e das interações com outras pessoas e
instituições, entre elas a própria escola. (BRASIL, 2013, p.50)
Percebemos que os debates sobre o Ensino Médio e sobre os sujeitos que fazem
parte dele foram efetuados na formação continuada dos professores desse nível de ensino,
visando a melhoria na qualidade de ensino. O Ministério da Educação (MEC), por meio
da Portaria nº 1.140 de 22 de novembro de 2013, criou o “Pacto Nacional para o
Fortalecimento do Ensino Médio”, que buscou uma articulação e coordenação das ações
e estratégias entre a União e os governos estaduais. O pacto tem como finalidade elevar
o padrão de qualidade do Ensino Médio Brasileiro, em suas diferentes modalidades. Uma
das principais ações estratégicas para tal fortalecimento seria o redesenho curricular por
33
meio do “Programa de Ensino Médio Inovador – ProEMI” e a formação continuada de
professores, que visa justamente cumprir aquilo que é proposto pelas DCNEM no que
tange a formação humana integral.
A preocupação com o Ensino Médio no Brasil tem base nos indicadores
estatísticos que mostram um desempenho abaixo do esperado. Em setembro de 2016, o
Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP) publicou
o quadro com a média nacional do “Índice de Desenvolvimento da Educação Básica”
(IDEB), sendo que no Ensino Médio as notas são inferiores às metas impostas pelo
Governo nos anos de dois mil e treze e dois mil e quinze.
Figura 1 – Índices de Desenvolvimento da Educação Básica3
Os resultados marcados em verde referem-se ao Ideb que atingiu a meta.
Fonte: Saeb e Censo Escolar.
No estado de Mato Grosso, podemos observar que as metas propostas pelo MEC
estão sendo atingidas, pelo menos no que diz respeito aos dados numéricos, conforme a
tabela a seguir.
3INSTITUTO EDUCACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA.
Disponível em: http://ideb.inep.gov.br/resultado/resultado/resultadoBrasil.seam?cid=850945 Acesso em:
20 set. 2016.
34
Figura 2 – Resultados do Ideb no Ensino Médio de Mato Grosso4
Fonte: Saeb e Censo Escolar.
O “Índice de Desenvolvimento da Educação Básica” (Ideb), criado em 2007 pelo
(INEP), é um indicador geral da educação nas redes públicas e privadas de ensino. Para
se chegar ao índice calcula-se o rendimento escolar (taxas de aprovação, reprovação e
abandono) e o desempenho no “Saeb/Prova Brasil”, aplicada no 5º e 9º ano do Ensino
Fundamental e no 3º ano do Ensino Médio. Esse índice é divulgado a cada dois anos e
tem metas projetadas até 2021.
Com médias muito abaixo do esperado, as mudanças no Ensino Médio buscam
melhorar os índices de modo a contemplar a formação integral dos jovens estudantes,
conforme proposto nos documentos oficiais, anteriormente apresentados.
1.3.1 Considerações sobre a reforma do Ensino Médio
O Ensino Médio hoje no Brasil, por motivo da implantação de um novo modelo
de ensino, permeia um cenário crítico de mudanças. Tais mudanças foram previstas e
discutidas no “Plano Nacional de Educação” (PNE) e nas “Diretrizes Curriculares
Nacionais para o Ensino Médio de 2012” (DCNEM), problematizando questões relativas
à estrutura, aos conteúdos, bem como ressaltando que as condições atuais deveriam ser
revistas e avaliadas.
Sabemos que estamos longe de atender às necessidades dos estudantes tanto nos
aspectos da cidadania como no que diz respeito a sua inserção no mundo do trabalho.
Com o cenário político atual conturbado, o caminho ideal para a implementação das
reformas não seria por intermédio da Medida Provisória 746/2016, transformada na Lei
4INSTITUTO EDUCACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA.
Disponível em: http://ideb.inep.gov.br/resultado/resultado/resultado.seam?cid=852621. Acesso em: 20 set.
2016.
35
13.415/2017, homologada e publicada no Diário Oficial da União (DOU) em 17/02/2017,
pois sabemos que somente recorrer à legislação não resolve os problemas existentes no
Ensino Médio, tendo em vista que se carece de vontade política em várias instâncias para
efetivá-la.
De acordo com o exposto na lei, as mudanças nas políticas educacionais é
resultado de um conjunto de alterações de outras leis.
Altera as Leis nº 9.394, de 20 de dezembro de 1996, que estabelece as diretrizes
e bases da educação nacional, e 11.494, de 20 de junho 2007, que regulamenta
o Fundo de Manutenção e Desenvolvimento da Educação Básica e de
Valorização dos Profissionais da Educação, a Consolidação das Leis do
Trabalho - CLT, aprovada pelo Decreto-Lei no 5.452, de 1o de maio de 1943,
e o Decreto-Lei no 236, de 28 de fevereiro de 1967; revoga a Lei no 11.161,
de 5 de agosto de 2005; e institui a Política de Fomento à Implementação
de Escolas de Ensino Médio em Tempo Integral (BRASIL, 2017, p. 3, grifo
nosso).
As justificativas para as mudanças mencionadas foram elencadas pelo então
Ministro da Educação José Mendonça Bezerra Filho, em um documento (EM
nº00084/2016/MEC) enviado ao Presidente da República no dia 15 de setembro de 2016.
O documento discrimina diversas justificativas para a aprovação das alterações contidas
na Lei 13.415/2017. A primeira delas, exposta pelo ministro Bezerra Filho, refere-se ao
art. 35 da LDB/1996 que, mesmo passando por uma série de medidas e mudanças durante
vinte anos, não conseguiu atingir sua função social, ou seja não atingiu os resultados
previstos na consecução dos objetivos do Ensino Médio:
I - a consolidação e o aprofundamento dos conhecimentos adquiridos no ensino
fundamental, possibilitando o prosseguimento de estudos; II - a preparação
básica para o trabalho e a cidadania do educando, para continuar aprendendo,
de modo a ser capaz de se adaptar com flexibilidade a novas condições de
ocupação ou aperfeiçoamento posteriores; III - o aprimoramento do educando
como pessoa humana, incluindo a formação ética e o desenvolvimento da
autonomia intelectual e do pensamento crítico; IV - a compreensão dos
fundamentos científico-tecnológicos dos processos produtivos, relacionando a
teoria com a prática, no ensino de cada disciplina (BRASIL, 1996. p. 02).
As “Diretrizes Curriculares para o Ensino Médio” (DCNEM), criadas em 1998 e
reformuladas em 2012, embora permitissem 20% de diversidade dos currículos, os
sistemas estaduais educacionais não conseguiram propor alternativas viáveis diante do
caráter curricular facultativo, haja vista que os alunos na atual organização do Ensino
Médio são obrigados a cursar treze disciplinas. Por essa razão, as justificativas, que
precedem o texto das mudanças proposta pela Lei 13.415/2017, apontam que o Ensino
36
Médio apresenta um currículo extenso, superficial e fragmentado, que não dialoga com
os interesses da juventude, com o setor produtivo e, tampouco, com as demandas do
presente século (BRASIL, 2016).
O elevado número de jovens que se encontram fora da escola também faz parte
do rol de justificativas apontas pelo governo na promulgação da referida legislação., Além
do que, aponta o documento legal, aqueles que estão inseridos nos sistemas de ensino
apresentam um mau desempenho educacional. Os dados educacionais, publicados pelo
INEP, apresentam resultados abaixo do esperado para os alunos do Ensino Médio, tendo
em conta que cerca de 41% dos jovens de 15 a 19 anos regularmente matriculados
mostram péssimos resultados educacionais (BRAZIL, 2016)
Os resultados das avaliações em larga escala foram motivos para justificar as
mudanças propostas pela Lei 13.415/2017, principalmente os baixos índices alcançados
pelo Ensino Médio no SAEB. O “Índice de Desenvolvimento da Educação Básica”
(IDEB) para o Ensino Médio permanece praticamente estagnado no valor de (3,7) desde
2011.
Dentre as outras justificativas que o documento elenca para as mudanças previstas
na referida Lei, notamos que, para o governo, a nova organização do Ensino Médio é
capaz de promover opções de aprofundamento nas áreas de conhecimento, cursos de
qualificação e ensino técnico profissional, além de buscar
[...] ofertar um ensino médio atrativo para o jovem, além da liberdade de
escolher seus itinerários, de acordo com seus projetos de vida, a medida torna
obrigatória a oferta da língua inglesa, o ensino da língua portuguesa e da
matemática nos três anos desta etapa, e prevê a certificação dos conteúdos
cursados de maneira a possibilitar o aproveitamento contínuo de estudos e o
prosseguimentos dos estudos em nível superior e demais cursos ou formações
para os quais a conclusão do ensino médio seja obrigatória. (BRASIL, 2016.
p. 3)
Ainda, de acordo com o Art. 35 da Lei 13.415/2017, o currículo do Ensino Médio
passará por adequações e será norteado pela “Base Nacional Comum Curricular”
(BNCC). A referida Lei define, também, as áreas de conhecimento a serem implantadas
no Ensino Médio: I. linguagem e suas tecnologias; II. matemática e suas tecnologias; III.
ciências da natureza e suas tecnologias; IV. ciências humanas e sociais e suas tecnologias
(BRASIL, 2017).
37
Ainda, segundo a nova Lei, a parte diversificada do currículo será de competência
de cada sistema de ensino, que deverá estar harmonizada com a BNCC e articulada a
partir do contexto histórico, econômico, social, ambiental e cultural (BRASIL, 2017).
A carga horária mínima também é um ponto alterado pela nova Lei. Se antes eram
800 horas anuais que se distribuíam em 200 dias letivos, conforme art. 26 da LDB/1996,
agora foi disposta a ampliação de forma progressiva para 1.400 horas, devendo os
sistemas de ensino oferecer, no prazo de cinco anos a partir de março de 2017, pelo menos
1.000 horas anuais, não podendo exceder o máximo de 1.800 horas.
Ainda, o Art. 35, incisos 7 e 8, da Lei 13.415/2017, ressalta a importância da
formação integral do aluno, com trabalhos voltados para a construção de seu projeto de
vida e para sua formação nos aspectos físicos cognitivos e socioemocionais. Os
conteúdos, as metodologias e as formas de avaliação processual e formativa deverão ser
organizados pelas redes de ensino por meio de atividades teóricas e práticas, provas orais
e escritas, seminários, projetos e atividades on-line, para que, segundo a Lei, o aluno ao
concluir o Ensino Médio demonstre: I. domínio dos princípios científicos e tecnológicos
que presidem a produção moderna; II. conhecimento das formas contemporâneas de
linguagem (BRASIL, 2017).
As disciplinas de Língua Portuguesa e Matemática são obrigatórias nos três anos
do Ensino Médio, as demais disciplinas permeiam os três anos de acordo com a
organização da rede educacional.
O artigo 36 da LDB, alterado pelo artigo 4 da Lei 13.415/2017, propõe que o
currículo seja composto pela BNCC e por itinerários formativos que devem ser
organizados pelos sistemas de ensino, conforme interesse do contexto local e suas
possibilidades (BRASIL, 2017).
Ainda, o citado artigo 4, inciso 6, da nova Lei apresenta a oferta de formação com
ênfase técnica e profissional. O inciso 8 ressalta que a oferta de formação técnica e
profissional pode ser realizada na própria instituição de ensino ou em parceria com outras
instituições. A Lei enfatiza que esse tipo de ensino profissional permite que o jovem opte
por uma formação técnica profissional vinculada ao Ensino Médio, desde que ele continue
a estudar a Língua Portuguesa e a Matemática. (BRASIL, 2016)
Diante de tantas mudanças, no atual cenário da educação brasileira, resta-nos,
enquanto profissionais da educação e pesquisadores, estarmos atentos e buscarmos a
efetivação com qualidade do que foi imposto pela referida Lei. Embora haja diversos
38
debates contra e a favor, a nova legislação apresenta mudanças que podem ser
interessantes se forem aplicadas e realizadas com qualidade e eficiência, e com o objetivo
de melhorar o Ensino Médio no nosso país.
1.4 O ensino da Geometria na Educação Básica: um enfoque nos documentos
oficiais
Buscamos explanar as habilidades e finalidades que o Ensino Fundamental e
Médio expõe como objetivos ao final de cada nível. Como o objeto da nossa pesquisa é o
pensamento geométrico, buscamos enfatizar tais habilidades no que se refere aos
conceitos geométricos tanto no Ensino Fundamental como no Ensino Médio.
No Ensino Fundamental, de acordo com os “Parâmetros Curriculares Nacionais”
(PCN) de 1998, existe um consenso sobre a seleção de conteúdos para esse nível de
ensino, que devem contemplar o estudo dos números e das operações, o estudo do espaço
e formas, o estudo das grandezas e das medidas. O PCN aponta que esses conteúdos
devem se associar às necessidades cotidianas do aluno, capacitando-os para tratar as
informações que circulam diariamente como os dados estatísticos, tabelas e gráficos e
ideias envolvendo probabilidade e combinatória. As finalidades para o ensino de
Matemática no Ensino Fundamental são descritas no documento com uma abordagem
voltada para a construção da cidadania. No quadro abaixo organizamos algumas dessas
finalidades.
Quadro 3: O ensino de Matemática: finalidades nos PCN 1998
Finalidades para o Ensino da Matemática no Ensino Fundamental
Identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compreender e transformar o
mundo à sua volta e perceber o caráter de jogo intelectual, característico da Matemática, como
aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento
da capacidade para resolver problemas;
Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos da realidade,
estabelecendo inter-relações entre eles, utilizando o conhecimento matemático (aritmético,
geométrico, métrico, algébrico, estatístico, combinatório, probabilístico);
Resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e resultados, desenvolvendo formas
de raciocínio e processos, como intuição, indução, dedução, analogia, estimativa, e utilizando
conceitos e procedimentos matemáticos, bem como instrumentos tecnológicos disponíveis;
Comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar resultados com
precisão e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso da linguagem oral e estabelecendo
relações entre ela e diferentes representações matemáticas;
39
Sentir-se seguro da própria capacidade de construir conhecimentos matemáticos,
desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções;
Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente na busca de soluções
para problemas propostos, identificando aspectos consensuais ou não na discussão de um
assunto, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.
Fonte: BRASIL, 1998. (Organização da pesquisadora).
Como exposto acima, as finalidades do ensino da Matemática culminam com a
construção da autonomia de raciocínios matemáticos, de modo a conduzir o aluno a
incorporar base suficiente para a consolidação e o aprofundamento desses conceitos no
Ensino Médio. Ainda cabe ressaltar que, ao final do Ensino Fundamental, segundo a
teoria do pensamento geométrico de Van Hiele (1957), o aluno deve estar no nível 2,
caracterizado pela capacidade de dedução formal, quando já consegue fazer inter-relações
de propriedades e é capaz de deduzir as propriedades de uma figura e reconhecer suas
classes.
Os conteúdos matemáticos se organizam em blocos que são: números e operações;
espaço e forma; tratamento de informação. O bloco espaço e formas, que particularmente
nos interessa por englobar os conteúdos geométricos, de acordo com o documento oficial
constituem uma parte importante da Matemática no Ensino Fundamental, “pois por meio
desses conhecimentos, os alunos desenvolvem um tipo especial de pensamento que
permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que
vive” (BRASIL, 1998, p. 51).
Os estudos de Geometria também contribuem para a aprendizagem de números e
medidas, pois estimulam a observação, a percepção de semelhanças e diferenças,
identificação de regularidades, etc.
Sobre os estudos de espaço e forma, os PCN ressaltam que o professor de
Matemática deve explorar situações que envolvam construções geométricas de compasso
e régua, de forma a visualizar e aplicar as propriedades das figuras, além de possibilitar a
construção de outras relações. Além disso, torna-se fundamental que esses estudos sejam
apresentados e explorados a partir de objetos do mundo físico, “de obras de arte, pinturas,
desenhos, esculturas e artesanato, de modo que permita ao aluno estabelecer conexões
entre a Matemática e outras áreas do conhecimento” (BRASIL, 1998. p.32).
A Matemática, enquanto disciplina escolar, se organiza no Ensino Médio à luz do
objetivo traçado pelos PCN para esse nível de ensino que é desenvolver conhecimentos
práticos e combinados, de modo a atender as necessidades da vida e o desenvolvimento
40
de conhecimentos mais amplos que permitam aos alunos uma visão geral e sejam capazes
de inovar e aprender continuamente.
Os PCN destacam que o conteúdo de aprendizagem deve conter elementos do
domínio vivencial dos alunos, a fim de propiciar um espaço de significação dos conceitos
estudados no ambiente escolar, ou seja, desenvolver o pensamento matemático partindo
do meio no qual o aluno está inserido.
No tocante à Matemática, os PCN afirmam que a disciplina tem valor formativo e
também instrumental. Quanto ao valor formativo, o documento aponta que a Matemática
contribui para o desenvolvimento de processos de pensamento e a aquisição de atitudes,
cuja a utilidade transcende a própria Matemática enquanto disciplina escolar, ou seja,
formar o aluno apto a resolver problemas, criando situações novas e outras capacidades.
Sobre o caráter instrumental, o PCN aponta a visão que o aluno do Ensino Médio deve
ter em relação à Matemática, como um conjunto de técnicas e estratégias a serem
aplicadas, não somente na própria disciplina, mas em todas as áreas de conhecimento,
bem como nas atividades profissionais. “Não se trata de os alunos possuírem muitas e
sofisticadas estratégias, mas sim de desenvolverem a iniciativa e a segurança para adaptá-
las a diferentes contextos, usando-as adequadamente no momento oportuno” (BRASIL,
1998, p. 40).
No decorrer do texto, os PCN apresentam ainda que, para além dessas duas
características, a Matemática também deve ser vista como ciência, com estruturas
específicas.
É importante que o aluno perceba que as definições, demonstrações e
encadeamentos conceituais e lógicos têm a função de construir novos conceitos
e estruturas a partir de outros e que servem para validar intuições e dar sentido
às técnicas aplicadas. A essas concepções da Matemática no Ensino Médio se
junta a ideia de que, no Ensino Fundamental, os alunos devem ter se
aproximado de vários campos do conhecimento matemático e agora estão em
condições de utilizá-los e ampliá-los e desenvolver de modo mais amplo
capacidades tão importantes quanto as de abstração, raciocínio em todas as
suas vertentes, resolução de problemas de qualquer tipo, investigação, análise
e compreensão de fatos matemáticos e de interpretação da própria realidade.
(BRASIL, 1998, p.40-41)
Diante disto, cabe relacionarmos também a aprendizagem defendida pela didática
da Matemática que, como Pais (2011) afirma, o aluno deve ser estimulado a realizar um
trabalho voltado para a investigação científica. Assim, ele aprende a reconhecer o
raciocínio lógico argumentativo, despertando “o hábito de fazer uso de seu raciocínio e
de cultivar o gosto pela resolução de problemas” (PAIS, 2011.p. 35). Logo, pode-se
41
verificar a necessidade de conduzir o aluno a uma aprendizagem que valorize a construção
de conceitos e a utilização do pensamento lógico e argumentativo, capaz de levá-lo a uma
postura crítica, não somente frente a problemas matemáticos como em situações da vida
cotidiana.
Dando continuidade às reflexões dos PCN sobre a Matemática, podemos perceber
também que há informações sobre a Base Curricular Comum e seus conteúdos mínimos,
exemplificando como determinados conteúdos matemáticos podem ser trabalhados,
relacionando-os a outras áreas do conhecimento. No que tange a Geometria o documento
expõe algumas considerações.
Numa outra direção, as habilidades de visualização, desenho, argumentação
lógica e de aplicação na busca de soluções para problemas podem ser
desenvolvidas com um trabalho adequado de Geometria, para que o aluno
possa usar as formas e propriedades geométricas na representação e
visualização de partes do mundo que o cerca. (BRASIL, 1998, p.44)
De acordo com os PCN, as habilidades e competências a serem desenvolvidas na
Matemática estão classificadas em três eixos que, para melhor compreensão, organizamos
no quadro a seguir.
Quadro 4 - Habilidades e competências na Matemática
Representação e
comunicação
Investigação e compreensão Contextualização sócio-
cultural
• Ler e interpretar textos de
Matemática.
• Ler, interpretar e utilizar
representações matemáticas
(tabelas, gráficos,
expressões etc).
• Transcrever mensagens
matemáticas da linguagem
corrente para linguagem
simbólica (equações,
gráficos, diagramas,
fórmulas, tabelas etc.) e
vice-versa.
•Exprimir-se com correção e
clareza, tanto na língua
materna, como na linguagem
matemática, usando a
terminologia correta.
•Produzir textos matemáticos
adequados.
•Identificar o problema
(compreender enunciados,
formular questões etc).
• Procurar, selecionar e
interpretar informações
relativas ao problema.
• Formular hipóteses e prever
resultados.
• Selecionar estratégias de
resolução de problemas.
• Interpretar e criticar resultados
numa situação concreta.
• Distinguir e utilizar raciocínios
dedutivos e indutivos.
• Fazer e validar conjecturas,
experimentando, recorrendo a
modelos, esboços, fatos
conhecidos, relações e
propriedades.
• Desenvolver a capacidade
de utilizar a Matemática na
interpretação e intervenção
no real.
• Aplicar conhecimentos e
métodos matemáticos em
situações reais, em
especial em outras áreas do
conhecimento.
• Relacionar etapas da
história da Matemática
com a evolução da
humanidade.
• Utilizar adequadamente
calculadoras e
computador,
reconhecendo suas
limitações e
potencialidades.
42
• Utilizar adequadamente os
recursos tecnológicos como
instrumentos de produção e
de comunicação.
• Utilizar corretamente
instrumentos de medição e
de desenho.
• Discutir ideias e produzir
argumentos convincentes.
Fonte: Brasil, 1998. (Organização da pesquisadora)
1.4.1 A Geometria nas Orientações Curriculares de Mato Grosso para o Ensino Médio.
Após o enfoque sobre as determinações dos PCN, cabe examinar as “Orientações
Curriculares de Mato Grosso” de 2010, que tratam da área de Ciências da Natureza e
Matemática na Educação Básica
No tocante à Matemática, o documento ressalta que, no Ensino Fundamental, os
alunos estabelecem relações que os aproximam dos conceitos científicos, que
desenvolvem procedimentos simples e atitudes críticas na realização de atividades
didáticas. O documento aborda uma característica peculiar da Matemática, enquanto
disciplina, qual seja, sua dualidade muitas vezes antagônica, tendo em vista que é “uma
disciplina utilitarista ou desenvolvedora de ideias: empírica ou estruturada; às vezes
utilizada como linguagem ora como ciência formal; intuitiva ou lógica; pura ou aplicada;
responsabilidade dos cientistas ou dos educadores ” (MATO GROSSO, 2010. p.119).
O documento aborda fatos históricos do desenvolvimento da Matemática, traz
reflexões sobre como ensiná-la, expõe algumas tendências que permearam o cenário
brasileiro no decorrer de vários movimentos, que surgiram ao longo do tempo.
O documento ainda traz à luz reflexões feitas nos PCN e propõe organizar três
eixos envolvendo conteúdos matemáticos a serem trabalhados nos dois níveis
da Educação Básica. Um conjunto de temas que possibilite o desenvolvimento
do pensamento matemático e, ao mesmo tempo, garanta uma relevância
científica e cultural com uma articulação lógica das ideias e conteúdos
matemáticos pode ser sistematizado nos três seguintes eixos ou temas
estruturadores e estes, consequentemente, desenvolvidos tanto paralelamente
nos três anos do Ensino Médio como integrantes aos eixos interdisciplinares.
1. Geometria e medidas 2. Álgebra: números e funções 3. Análise de dados e
tratamento da informação. (MATO GROSSO, 2010, p. 140)
O primeiro eixo aborda o tema referente à Geometria e medidas, sendo
subdividido em quatro unidades temáticas: geometria plana; geometria espacial; métrica
e geometria analítica.
43
A unidade sobre Geometria plana relaciona conceitos entre semelhança e
congruência e as diversas formas de representações de figuras, para que o estudante tenha
a capacidade de identificar dados e relações geométricas relevantes na resolução de
situações-problemas. Expõe, ainda, que as propriedades da Geometria são de dois tipos e
que podem ser pensadas de maneiras diferentes: uma delas seria a posição relativa das
formas que consiste na identificação de propriedades referentes a “paralelismo,
perpendicularismo, intersecção e composição de diferentes formas que podem ser
comprovadas e desenvolvidas apenas com régua e compasso” (MATO GROSSO, 2010,
p. 141). A outra forma segue a finalidade de quantificar comprimentos, áreas e volumes,
que estão associados a medidas usuais.
Na unidade temática de Geometria espacial o documento estabelece relações em
elementos dos poliedros, sua classificação e representação, bem como os sólidos
redondos, a inscrição e circunscrição de sólidos, propriedades relacionadas à posição,
conceitos de intersecção, paralelismo e perpendicularismo. Isso permite ao aluno “usar
formas geométricas espaciais para representar ou visualizar partes do mundo real, usando,
para isso, peças mecânicas, embalagens e construções” (MATO GROSSO, 2010, p. 141).
Pode-se perceber a importância dada pelo documento na relação da geometria com
o “mundo real”, além de reflexões sobre ações concretas propiciadas pela geometria que
possibilita a compreensão do significado de alguns postulados e axiomas, levando o aluno
a enxergar e reconhecer o valor de uma demonstração e perceber a Matemática como
ciência, com sua forma específica de validar seus resultados.
A terceira unidade envolve relações métrica, cujo objetivo é estruturar um
aprendizado que garanta ao aluno efetuar cálculos envolvendo medidas, aplicadas a
situações reais e estimando a margem de erro. Conhecimentos sobre perímetro, áreas e
volumes devem ser vistos em forma de soluções problemas, como indica o documento.
Na quarta unidade temática, que envolve a Geometria analítica, o documento
ressalta que o aluno é capaz de interpretar e resolver situações problemas geométricos por
meio do estudo de representações no plano cartesiano e equações, analisando intersecção
e posições relativas de figuras. O aluno ao estudar essa unidade deve ser capaz de associar
essas situações problemas com suas respectivas formas algébricas e representação
gráfica, para construir assim, uma visão mais sistemática das diferentes linguagens no
campo de estudo da matemática.
44
1.4.2 A Geometria na Base Nacional Comum Curricular
E como a Geometria se organizará daqui para frente com todas essas mudanças
no cenário do Ensino Médio?
A “Base Nacional Comum Curricular” (BNCC) expõe quadros com os conteúdos
didáticos dos três níveis de ensino e, obedecendo a LDB/96 na sua alteração pela Lei nº
12.796 de 04 de abril de 2013, determina que, além da Base Nacional Curricular Comum
para todos os níveis de ensino, obrigatoriamente deve oferecer uma Parte Diversificada
de acordo com as características regionais e locais da sociedade, da cultura, da economia
e dos educandos.
A BNCC ainda está em processo de aprovação, sendo que a segunda versão
atualizada e revisada foi publicada pelo MEC, em abril de 2016. As propostas e
indicações para o processo de ensino e aprendizagem da Matemática, presentes no
documento, não se afastam dos recentes documentos curriculares publicados pelas
secretarias estaduais e municipais de educação, mas, se tratando de complementação para
auxiliar o trabalho pedagógico, não deve ser tomada como receita a ser seguida fielmente.
Entretanto, embora não esteja aprovada e nem em sua versão final, achamos válidos
compreendermos como os conteúdos estão organizados e as competências que são
exigidas dos alunos e, consequentemente, estarão presentes nos planos de aulas, nos
planos de cursos e nos currículos escolares de todo país.
A estrutura do componente Matemática na BNCC procura dialogar com os
documentos curriculares recentes no cenário brasileiro, e encontra articulação na adoção
de cinco eixos que orientam a formulação de seus objetivos de aprendizagem e
desenvolvimento: Números e operações, Geometria, Grandezas e medidas, Álgebra e
Funções, Estatística. Vale ressaltar que cada um desses eixos recebe tratamento
diferenciado dependendo do ano de escolarização, procurando garantir um grau de
proficiência dos alunos, que se torne cada vez mais elaborado ao longo dos anos de
escolarização. Sobre a etapa do Ensino Médio, a BNCC aponta algumas considerações.
Essa nova etapa da escolarização deve oferecer ao/à estudante condições para
ampliar, consolidar e complementar sua formação, contribuindo,
especialmente, para o desenvolvimento de suas capacidades de abstração,
reflexão, interpretação, proposição e ação, essenciais à autonomia pessoal,
profissional, intelectual e política. (BRASIL, 2016, p.490)
45
A BNCC frisa que o jovem ao concluir o Ensino Médio deve ser capaz de
questionar, analisar e se posicionar criticamente, solucionar problemas de forma criativa
e inovadora, de agir responsavelmente diante das complexidades do mundo moderno e,
para que isso aconteça precisa compreender e interpretara leitura da realidade. Nesse
contexto, a Matemática, por consequência, é uma ferramenta valiosa para a compreensão
do mundo em constante mudança.
Na BNCC, o tópico intitulado “As Unidades Curriculares de Matemática”
apresentam os objetivos de aprendizagem da disciplina organizados em unidades
curriculares de I a V e, ainda, por unidade de conhecimento. Dentre as unidades, a
segunda refere-se à Geometria.
No Ensino Médio o estudo da geometria deve retomar, ampliar e sistematizar
os conhecimentos estudados anteriormente de modo a possibilitar aos
estudantes a compreensão da estrutura lógica da geometria euclidiana [...]
compreender e generalizar algumas propriedades e demonstrar alguns
teoremas. (BRASIL, 2016, p.562)
A BNCC aponta, também, ainda as finalidades, as dimensões e indica quatro eixos
norteadores da formação para o Ensino Médio. O primeiro eixo, intitulado “Pensamento
crítico e projeto de vida”, visa desenvolver no aluno uma atitude questionadora, de modo
a assumir protagonismo em relação aos desafios da vida acadêmica, profissional e
pessoal, a partir de uma análise crítica (BRASIL, 2016).
O eixo dois, “Intervenção no mundo natural e social visa desenvolver o
protagonismo dos estudantes frente a questões sociais e ambientais. Refere-se à
capacidade de dar respostas aos problemas de seu tempo com diferentes recursos e
tecnologias (BRASIL, 2016).
O terceiro eixo, “Letramento de capacidade de entender”, diz respeito à ampliação
da participação dos estudantes do Ensino Médio no mundo letrado por meio de sua
inserção nas esferas mais abrangentes. Tal ampliação deve se traduzir no
desenvolvimento da capacidade de continuar aprendendo ao longo da vida (BRASIL,
2016).
O quarto eixo, “Solidariedade e sociabilidade” refere-se aos compromissos que os
sujeitos assumem com relação à coletividade e aos processos de construção da identidade
que se dá no reconhecimento e acolhimento das diferenças (BRASIL, 2016).
46
Partindo dos quatro eixos fixados pela BNCC, foram elaborados cinco objetivos
gerais da formação na área da Matemática no Ensino Médio, conforme apresentados no
quadro a seguir.
Quadro 5 – Eixos de formação BNCC
OBJETIVOS
EIXOS DE FORMAÇÃO
Pensamento
crítico e
projeto de
vida
Intervenção
no mundo
natural e
social
Letramento
e
capacidades
de aprender
Solidarieda
de e
sociabilidad
e
(EMMT01)
Aplicar conhecimentos
matemáticos em situações
diversas, na compreensão das
demais ciências, de modo a
consolidar uma formação
científica geral.
X
X
(EMMT02)
Expressar argumentações
matemáticas de forma oral,
escrita e gráfica, valorizando
a precisão da linguagem.
X
X
(EMMT03)
Compreender a Matemática
como ciência, com
linguagem própria e estrutura
lógica.
X
X
(EMMT04)
Estabelecer relações entre
conceitos matemáticos de
Geometria, Grandezas e
Medidas, estatística e
probabilidade, Números e
operações, Álgebra e
funções, bem como entre a
Matemática e outras áreas do
conhecimento.
X
X
(EMMT05)
Analisar criticamente o uso
da Matemática em diferentes
práticas sociais e fenômenos
naturais, para atuar e intervir
na sociedade
X X X
Fonte: BRASIL, 2016.
Tais objetivos permeiam todas as três etapas do Ensino Médio nas cinco unidades
de conhecimento. O quadro a seguir mostra os objetivos do estudo da Geometria
47
apresentados pela BNCC organizados em Unidades Curriculares de I a V, em que
podemos verificar quais conhecimentos geométricos são exigidos nesta etapa de ensino.
Vale ressaltar que os códigos relacionados aos objetivos geométricos expostos no
quadro, estão vinculados com os cinco objetivos gerais expostos no quadro anterior.
Quadro 6 – Geometria na BNCC
GEOMETRIA UNIDADE
CURRICULAR I
UNIDADE
CURRICULAR II
(EM11MT01)
Compreender o conceito de
vetor, tanto do ponto de vista
geométrico (coleção de
segmentos orientados de
mesmo comprimento,
direção e sentido) quanto do
ponto de vista algébrico,
caracterizado por suas
coordenadas, aplicando-o em
situações da Física.
(EM12MT01)
Compreender o teorema de
Tales e aplicá-lo em
demonstrações e na
resolução de problemas,
incluindo a divisão de
segmentos em partes
proporcionais.
(EM12MT02)
Resolver e elaborar
problemas utilizando a
semelhança de triângulos e o
teorema de Pitágoras,
incluindo aqueles que
envolvem o cálculo das
medidas de diagonais de
prismas, de altura de
pirâmides, e aplicar esse
conhecimento em situações
relacionadas ao mundo do
trabalho.
(EM12MT03)
Utilizar a noção de
semelhança para
compreender as razões
trigonométricas no triângulo
retângulo, suas relações em
triângulos quaisquer e aplicá-
las em situações como o
cálculo de medidas
inacessíveis, entre outras.
48
UNIDADE
CURRICULAR III
UNIDADE
CURRICULAR IV
UNIDADE
CURRICULAR V
(EM13MT01)
Estabelecer relações entre
vistas ortogonais e
representações em
perspectiva de figuras
geométricas espaciais e de
objetos do mundo físico e
aplicar esse conhecimento
em situações relacionadas ao
mundo do trabalho.
(EM14MT01)
Resolver e elaborar
problemas que envolvam o
ponto médio de um
segmento de reta e a
distância entre dois pontos
quaisquer no plano
cartesiano, incluindo o
estudo de pontos e
segmentos notáveis do
triângulo, entre outros.
(EM15MT01)
Compreender a estrutura
lógica da geometria
euclidiana e demonstrar
alguns teoremas como
soma dos ângulos internos
de polígonos, teorema de
Pitágoras, casos de
semelhança e de congruência
de triângulos.
(EM13MT02)
Estabelecer relações entre as
transformações isométricas
(reflexão, translação e
rotação) e vetores no
contexto do plano cartesiano,
incluindo o uso de softwares
de geometria dinâmica.
(EM15MT02)
Estabelecer relação entre a
representação geométrica de
uma reta no plano cartesiano
e os coeficientes de sua
representação algébrica,
inclusive no contexto da
função afim.
(EM13MT03)
Compreender mediatriz,
bissetriz e circunferência
como lugares geométricos,
utilizando essa ideia para a
construção de outras figuras
geométricas planas, com o
uso de régua e compasso e
de softwares de geometria
dinâmica.
(EM15MT03)
Estabelecer relação entre a
representação geométrica de
circunferências e os
coeficientes de sua
representação algébrica
(EM15MT04)
Resolver problemas que
envolvem as equações da
reta e da circunferência por
meio de sua representação no
plano cartesiano.
Fonte: BRASIL, 2016 (grifo nosso).
Os conhecimentos que utilizamos na presente pesquisa, correspondem aos
objetivos (EM13MT01) e (EM15MT01) propõem o estabelecimento de relações entre
vistas ortogonais e representação em perspectiva de figuras geométricas espaciais e de
objetos do mundo físico. Outro objetivo importante é compreender a estrutura lógica da
Geometria euclidiana e demonstrar alguns teoremas.
49
Os dois objetivos acima citados estão relacionados com o primeiro objetivo geral
para a formação do Ensino Médio, que consiste em aplicar conhecimentos matemáticos
em situações diversas, na compreensão das demais ciências, de modo a consolidar uma
formação cientifica geral e correspondem aos eixos dois e três que trata da intervenção
no mundo natural e social e do letramento e capacidade de aprender.
Diante dos objetivos apresentados, segundo proposição da BNCC, cabe assinalar
que o documento ressalta a importância do conhecimento matemático para a formação
integral do jovem enquanto protagonista e capaz de realizar transformações por meio
domínio de saberes. No entanto, resta-nos questionar: o nosso sistema de ensino é capaz
de disponibilizar aos jovens um ensino de qualidade, capaz de contemplar todos esses
objetivos? A mudança no currículo é suficiente para suprir as necessidades do Ensino
Médio? E a formação dos professores? Aqueles que efetivamente, estão em nossas salas
de aula praticando e fazendo matemática, será que estes estão preparados para todas essas
mudanças? Questões desse tipo, com certeza impulsionará várias outras pesquisas na
área, principalmente diante desse novo desenrolar da educação básica brasileira.
50
2 O DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO
No texto, a seguir, buscamos apresentar de forma panorâmica a teoria do casal
Van Hiele sobre o desenvolvimento do pensamento geométrico dos alunos. Cabe ressaltar
que a presente teoria tem um aporte mais didático, voltado para o professor. Utilizamos
os cinco níveis (0 a 4) de desenvolvimento geométrico desenvolvidos pelos pesquisadores
que classificam, de forma hierárquica, os níveis do pensamento geométrico a serem
assimilados pelos alunos.
2.1 Teoria de Van Hiele: concepções sobre habilidades geométricas
Os conceitos geométricos têm por característica principal sua relação com o meio
externo. Isso se deve ao fato de comparar, representar tais conceitos e estabelecer relações
envolvendo formas geométricas com facilidade, pois as atividades não necessitam de uma
compreensão rigorosa e de um nível de abstração elevado. Porém, na medida que nos
afastamos do campo visual e prático encontramos um grande obstáculo para o
desenvolvimento do pensamento geométrico.
Várias são as investigações sobre o ensino de Geometria, sua importância,
métodos e técnicas de ensino. Uma das teorias da interpretação e sistematização do
conhecimento geométrico foi desenvolvido por Pierre M. Van Hiele e sua esposa, Dina
Van Hiele Geldof, ambos professores holandeses, que, por meio da própria experiência
em sala de aula, se interessaram por estudar e compreender determinados mecanismos no
processo de ensino-aprendizagem da Geometria. O casal desenvolveu a teoria do
desenvolvimento do pensamento geométrico na tese de doutorado em Matemática e
Ciências Naturais pela Universidade Real de Utrencht, na Holanda.
A teoria piagetiana influenciou Van Hiele, principalmente na composição do
conceito de estrutura, que é muito importante para o modelo proposto pelo autor. Para
compor os níveis do pensamento geométrico, Van Hiele baseou-se na teoria de Piaget,
mas com algumas diferenças, por exemplo: o modelo de Van Hiele é teórico
metodológico, enquanto Piaget procurou compreender o desenvolvimento da
inteligência.
Para Vargas e Araya (2013), o modelo de Van Hiele surge como uma resposta aos
problemas encontrados pelos professores que ensinam Geometria, de modo que o
51
principal objetivo da teoria é ajudar o aluno a evoluir de um nível para outro do
pensamento geométrico. Logo podemos reafirmar que essa teoria diz respeito ao ensino
e aprendizagem da Geometria.
A partir dos estudos sobre a evolução do pensamento de Piaget, em que seu objeto
de estudo refere-se a como o homem constrói o conhecimento, Van Hiele (1957) baseou-
se para explicar e estruturar a existência de diferentes níveis de pensamentos sobre os
conceitos geométricos, nos quais os alunos avançam por níveis de desenvolvimento do
pensamento geométrico, que permeiam desde as aparências físicas de figuras geométricas
até a abstração de conceitos geométricos (COSTA, 2016).
Todavia, reiteramos que as teorias de Piaget (1978) e de Van Hiele (1957)
divergem em muitos pontos. Há que se considerar que Piaget refere-se ao
desenvolvimento da inteligência da criança, desenvolvendo níveis relacionando à idade,
o que denominou de estágios cognitivos. Van Hiele considera que as crianças devem ser
motivadas a subir de um nível para outro e, para isso, o progresso nos níveis do
pensamento geométrico são impulsionados pela metodologia de ensino aprendizagem e
pelos incentivos norteados pela escola e não pela idade do indivíduo como defende Piaget.
Outra diferença entre as teorias se refere à linguagem pois, enquanto para Piaget a
linguagem não influencia diretamente a evolução da inteligência, para Van Hiele o aluno
desenvolve uma linguagem específica para cada nível de pensamento (VARGAS;
ARAYA, 2013). Logo, podemos concluir que Piaget estava mais preocupado em
compreender os mecanismos mentais empregados pelo sujeito no desenvolvimento da
inteligência, e Van Hiele enfatiza as estruturas do pensamento geométrico do sujeito.
Nesse sentido, as experiências de ensino, as metodologias, as intervenções
pedagógicas, os recursos didáticos empregados, os instrumentos avaliativos
adotados e as temáticas trabalhadas em sala de aula, constituem aspectos
fundamentais dos processos de ensino e de aprendizagem da Geometria.
(COSTA, p. 61, 2016)
Por meio da teoria de Van Hiele pode-se conhecer em que nível de
desenvolvimento se encontra o pensamento geométrico do aluno. Sua proposta prevê uma
aprendizagem dos conceitos geométricos que favoreçam a progressão dos alunos,
obedecendo a uma sequência de níveis de compreensão dos conceitos. Assim, a teoria de
Van Hiele consiste em organizar o ensino capaz de levar os estudantes a evoluírem na
aprendizagem geométrica, seguindo os níveis hierárquicos de pensamento. Portanto,
consiste em dizer que o estudante só poderá passar para um nível superior se alcançou as
52
estruturas do nível abaixo, não podendo assim saltar níveis. Para que isso aconteça a
prática do professor e suas escolhas metodológicas são fortes influenciadoras do processo
de evolução do pensamento geométrico.
2.1.1 Propriedades e os níveis de pensamento geométrico
De acordo com Jaime (1993), o modelo de Van Hiele aborda alguns aspectos
básicos: o descritivo que identifica as diferentes formas de raciocínio geométrico dos
indivíduos e por meio do qual se pode avaliar seu progresso; o instrutivo que direciona
métodos a serem seguidos pelos professores para favorecer o progresso de nível dos
alunos.
Como pode ser observada na figura 3, a seguir, a teoria do pensamento geométrico
de Van Hiele é composta de cinco níveis de compreensão que, segundo o autor, a
progressão nos níveis dependerá mais da aprendizagem adequada do que da maturação
ou idade, mas não excluindo a importância de obedecer a maturação.
Figura 3 – Níveis do Pensamento Geométrico segundo Van Hiele
Fonte: WALLE, 2009
É importante destacar que para maior clareza de nossa exposição optamos por
chamar de nível 0, nível 1, nível 2, nível 3 e nível 4, pois fica mais fácil relacionar com o
uso de diferentes termos nas bibliografias nacionais e internacionais.
Nível 0: Nesse nível os alunos reconhecem as figuras geométricas pela forma e
aparência e pelo aspecto global, mas não conseguem identificar, reconhecer ou explicar
as propriedades da figura; nesse nível também não há a linguagem geométrica para se
referir às figuras pelo nome (KALEFF, 1994; VARGAS; ARAYA, 2013; COSTA, 2016)
53
Nível 1: Corresponde à análise. Nesse nível o aluno raciocina sobre conceitos
geométricos por meio de uma análise informal, pela observação e experimentação. Porém
não é possível estabelecer relações entre as propriedades da figura, conhecendo as
propriedades somente de forma empírica pela manipulação e experimentação. Ou seja,
esse nível é caracterizado pelo reconhecimento dos alunos não apenas pela visualização,
mas por suas propriedades gerais (VARGAS; ARAYA, 2013; COSTA 2016, KALEFF,
1994).
Nível 2: Os alunos formam definições abstratas, podendo estabelecer inter-
relações das propriedades nas figuras; compreendem como uma propriedade é
consequência da outra. Por conseguinte, nesse nível o aluno consegue obter a relação
entre figuras e propriedades e estabelecer condições necessárias e suficientes, existentes
por trás das figuras geométricas, pois as definições adquirem significados. No entanto,
seu raciocínio lógico segue baseado na manipulação, ou seja, realiza demonstrações, mas
não é capaz de generalizá-las por não ser possível, ainda, a organização formal dos
raciocínios lógicos que justificam suas observações. (VARGAS; ARAYA, 2013; COSTA
2016, KALEFF, 1994)
Nível 3: Representa a dedução formal, pois os alunos desenvolvem sequências de
afirmação advinda de outra anterior. Os alunos raciocinam formalmente no contexto de
um sistema matemático formal. Nesse nível, o aluno tem a capacidade de fazer provas e
demonstrações de certos conceitos. “O aluno é capaz de compreender a dedução como
um meio de situar a teoria da Geometria no contexto de um sistema axiomático, além de
entender o significado intrínseco da demonstração” (COSTA, 2016. p. 69). Realizam
demonstrações e deduções lógicas e formais. Desse modo, o aluno consegue realizar
demonstrações por diversos meios e estabelecer a distinção entre uma proposição e sua
recíproca (VARGAS; ARAYA, 2013; COSTA 2016, KALEFF, 1994).
Nível 4: Se refere ao rigor, visto que os alunos avaliam sistemas dedutivos com
algum grau de rigor, ou seja, assimilam a teorização, são capazes de aprofundar a análise
das propriedades de um sistema dedutivo, capazes de produzir teoria. Esse nível é
definido por processos matemáticos e os indivíduos estão capacitados para analisar, em
grau de rigor elevado, os vários tipos de sistemas dedutivos e compará-los entre si.
Compreendem a Geometria em sua forma abstrata.
Para Van Hiele (1957), devemos reafirma, o avanço em cada um desses níveis,
muito mais do que na maturação dos alunos, está centrado nas atividades e práticas
54
educativas realizadas por professores que, após conhecer o nível de pensamento
geométrico dos alunos, elaboram meios e metodologias para seu desenvolvimento que se
refere à formação do pensamento geométrico.
A seguir vamos expor as propriedades da teoria de Van Hiele.
Para compreender melhor a teoria de Van Hiele, faz-se necessário compreender
algumas propriedades e suas caraterísticas. Crowley (1994); Vargas e Araya (2013)
expõem essas propriedades:
Sequencial – O êxito de um nível depende do grau de assimilação que o estudante
obteve nos níveis anteriores. O estudante só poderá passar para um nível acima se
compreendeu o exigido no nível anterior.
Avanço – O que determina o avanço para os níveis superiores depende de como
os conteúdos geométricos são abordados na prática do professor, e se as
abordagens são elaboradas de forma adequada para o avanço do aluno na
compreensão do pensamento geométrico, não necessariamente em relação à idade
do aluno.
Intrínseco e extrínseco – Aqui os objetos matemáticos podem tomar ou assumir
características diferentes em cada nível. Um exemplo: “no primeiro nível as
figuras geométricas são percebidas apenas pela sua aparência global ou forma,
enquanto no segundo, elas são analisadas e percebidas e detentoras de
propriedades” (COSTA, 2016. p. 72).
Linguística – As habilidades de raciocínio associadas aos níveis de Van Hiele não
são somente refletidas na resolução de problemas, mas também no uso de
símbolos linguísticos. “Como exemplo, podemos mencionar o caso do quadrado.
Uma figura geométrica pode apresentar diversos nomes, no caso do quadrado, ele
também é um paralelogramo, um retângulo e um losango.” (COSTA, 2016. p. 72)
Combinação inadequada – Ocorre quando o aluno está em um nível diferente
daquele que lhe é apresentado. Nesse sentido, a aprendizagem pode não ocorrer
devidamente e a evolução da aprendizagem pode não se realizar. Ou seja, se aquilo
que permeia a ponte entre o conhecimento geométrico em cada nível, como o
material didático, as metodologias e a linguagem, estiverem em um nível mais
elevado que o do aluno, ele não terá condições de estruturar o raciocínio exigido
em cada nível.
55
As fases de aprendizagem da teoria do pensamento geométrico, segundo Kaleff
(1994), Van Hiele, na sua teoria, verificou a existência das fases de desenvolvimento do
pensamento geométrico que especificam algumas generalizações e caracterizam o
modelo e, ainda, fornecem um roteiro e uma metodologia.
O modelo é parte de uma teoria de desenvolvimento e, portanto, presume que
um aluno para atuar com sucesso em determinado nível necessita ter adquirido
(através de experiências e aprendizagens apropriadas), as estratégias dos níveis
anteriores, não permitindo ao aluno saltar níveis. O processo, ou falta dele, de
um nível para o outro, depende mais dos conteúdos e métodos de ensinos
recebidos do que a idade. [...] No mecanismo entre os níveis, os objetos
inerentes a um nível se transformam em objetos de estudo para o nível superior.
Cada nível tem seus próprios símbolos linguísticos e seu próprio sistema de
relações conectando esses símbolos. Assim, uma relação que é aceita como
correta em um nível pode ser modificada em outro. (KALEFF,1994, p.27)
Van Hiele (1957) apresenta cinco fases para o desenvolvimento do pensamento
geométrico. Para o casal de pesquisadores, as fases favorecem a aquisição de um nível de
pensamento em um determinado tópico de Geometria de modo a facilitar sua aquisição.
Explicamos, na sequência, segundo autores citados, quais são essas propriedades com
suas respectivas características (Crowley, 1994; Vargas; Araya, 2013):
A primeira fase do desenvolvimento é a fase do questionamento ou informação,
na qual o professor mantém um diálogo sobre o conteúdo em questão. A observação nesse
nível é importante, pois permite ao professor reconhecer os conhecimentos que o aluno
já adquiriu, para assim direcionar os estudos posteriores. “São típicos dessa fase os
questionamentos: O que é um quadrado? O que é um losango? Quais suas diferenças? O
que tem em comum? É possível um quadrado ser um losango? O inverso poderá ocorrer?
Por qual Motivo?” (COSTA, 2016. p. 73) Tais perguntas levam o professor a verificar o
que o aluno compreende e como pode auxiliá-lo a desenvolver o raciocínio geométrico.
Na segunda fase, chamada de orientação direta, os alunos devem explorar o
assunto estudado por meio uso de materiais selecionados pelo professor, que os levam a
se familiarizar com as estruturas. Para Van Hiele, as atividades propostas aos alunos
devem conter tarefas em uma só etapa, possibilitando que o mesmo a responda de forma
específica e objetiva. Nessa fase, ainda, o professor guia os alunos mediante atividades e
problemas com a finalidade de levá-los a descobrirem as diversas relações existentes entre
os conceitos geométricos.
Na terceira fase, chamada fase da explicação, com base nas experiências
anteriores os alunos devem observar, compreender e questionar o conteúdo exposto,
56
procurando extrair os conceitos por si mesmo. Nessa fase, o professor deve interferir o
mínimo possível, levando o aluno a conjecturar suas próprias ideias sobre o que lhe é
apresentado. No decorrer dessa fase verificamos a relação entre os níveis, observando-se
a utilização de uma linguagem mais formal e definida. Deve-se estimular as discussões e
comentários sobre as várias formas de resolver problemas anteriores, relacionando
propriedades estudadas em níveis anteriores.
A fase quatro, chamada de orientação livre, é aquela em que o aluno é motivado
por meios de atividades organizadas em várias etapas, possibilitando lhe enxergar várias
formas de resolvê-las de modo a não ficar preso em modelos prontos. Esse procedimento
possibilita uma caminhada para a própria compreensão do conceito, sua estrutura e
organização, tornando o aluno capaz de articular ideias e generalizá-las.
Na quinta e última etapa do processo, chamada de integração, é a fase da revisão
e da síntese do que foi estudado. O aluno deve fazer relações com o que já foi
internalizado e uma unificação no domínio do conhecimento. Aqui se produz a
consolidação da aprendizagem realizada nas fases anteriores. Nessa fase, o professor
apenas ajuda o aluno a elaborar uma síntese, fornecendo experiências e observações
gerais. Ao final da quinta fase o aluno deve ter um novo nível de pensamento.
No Brasil um grupo de estudos, chamado “Projeto Fundão”, faz uma abordagem
e desenvolve algumas pesquisas sobre a teoria de Van Hiele. Nasser (2000) afirma que a
teoria dos autores holandeses se baseia muito mais na prática do professor do que na fase
do aluno.
Diante do exposto neste capítulo, podemos notar que a teoria de desenvolvimento
do pensamento geométrico por Van Hiele, conclui que para que o aluno possa adquirir
conhecimentos de cada nível específico, este deve compreender as propriedades e
objetivos de cada nível. Sendo assim, o aluno não pode saltar de um nível a outro sem
que tenha total domínio dos conhecimentos específicos do nível inferior. O professor e
sua prática são colaboradores primordiais no progresso e evolução do pensamento
geométrico dos alunos, por isso é de extrema importância que professores de matemática
conheçam e compreendam a teoria do desenvolvimento geométrico de Van Hiele.
57
3 A METODOLOGIA
O objetivo do que elaboramos a seguir consiste em situar o contexto em que se
realizou a pesquisa. Para isso, são indicados a opção metodológica da investigação, o
contexto no qual ela está inserida, a seleção dos sujeitos, a definição dos instrumentos de
coleta de dados, bem como a organização dos eixos temáticos para sua análise dos dados.
3.1 Opção metodológica
A questão suscitada para a realização da investigação foi formulada da seguinte
maneira: Que conhecimentos geométricos sobre polígonos e poliedros são apresentados
por alunos do Ensino Médio? É imprescindível que o leitor tenha clareza da nossa escolha
metodológica para compreender o percurso adotado a fim de responder à questão
norteadora da pesquisa.
A pesquisa apresenta uma abordagem qualitativa de caráter exploratório. A qual,
de acordo com Gil (2007), proporciona maior familiaridade com o problema, com vistas
a torná-lo mais explícito. Apesar de ser utilizado ao longo da análise dos resultados dados
quantitativos, o maior interesse se mostra em avaliar o nível de conhecimento geométrico
dos alunos e, nesse caso específico, os dados numéricos somente irão subsidiar essa
avaliação.
Para responder à pergunta central da investigação optamos pela pesquisa
qualitativa no campo das pesquisas da Educação Matemática. Pais (2011) apresenta
alguns aspectos e objetivos desse campo de pesquisa considerado novo, classificando-a
como uma grande área da pesquisa educacional;
[...] o objeto de estudo é a compreensão, interpretação e descrição de
fenômenos referentes ao ensino e à aprendizagem de matemática, nos diversos
níveis de escolaridade, quer seja na sua dimensão teórica ou prática. Além
dessa definição ampla, a expressão educação matemática pode ser ainda
entendida no plano da prática pedagógica, conduzida pelos desafios do
cotidiano escolar. (PAIS, 2011, p.10)
Desta maneira, a presente investigação tem por objeto de estudo os fenômenos
referentes ao ensino e aprendizagem da Matemática, em que se busca interpretar e
descrever os fenômenos na construção do conhecimento geométrico dos alunos do Ensino
58
Médio. Diante da natureza da pesquisa e das especificidades do ambiente educacional
optou-se pela pesquisa qualitativa norteada na abordagem descritiva interpretativa.
A pesquisa qualitativa tem ganhado espaço nos mais variados centros de estudos
da Linha da Educação Matemática pelo Brasil. Borba e Araújo (2013) apresentam breve
explicação da abordagem na Educação Matemática e, citando Bicudo (1993), mostram
que o ato de pesquisar, “configura-se como buscar explicações cada vez mais
convincentes e claras sobre a pergunta feita.” (BICUDO, 1993, p. 31. Apud BORBA;
ARAÚJO, 2013, p. 24). Ou seja, ao focalizar ou procurar compreensões o pesquisador na
área da Educação Matemática poderá ser remetido a questões que não envolvam
diretamente o estudo ou a análise de dados quantitativos. É o caso, principalmente, nas
questões voltadas à análise e interpretação das relações da prática docente com o ensino,
por exemplo, questões que envolvam a qualidade, “que primam pelo significado das
ações” (BORBA E ARAÚJO 2013. p.25) que são impossíveis de quantificar.
A pesquisa qualitativa assumida nessa pesquisa como abordagem metodológica
apresenta, de acordo com Bogdan e Biklen (1994, p. 50), cinco características
expressivas.
1) Na investigação qualitativa a fonte direta de dados é o ambiente natural,
constituindo o investigador o instrumento principal. 2) A investigação
qualitativa é descritiva. 3) Os investigadores qualitativos interessam-se
mais pelo processo do que simplesmente pelos resultados ou produtos. 4)
Os investigadores qualitativos tendem a analisar os seus dados de forma
indutiva. 5) O significado é de importância vital na abordagem qualitativa.
Para Cervo (1996, p.50) “a pesquisa descritiva observa, registra, analisa e
correlaciona fatos ou fenômenos (variáveis) sem manipulá-los”. Procuramos trazer na
nossa investigação todas as etapas da elaboração dos dados, de modo a levar o leitor a
uma compreensão total dos caminhos percorridos para chegarmos à resposta de nosso
problema de pesquisa e a compreensão de nosso objeto de estudo.
A investigação qualitativa realizada caracteriza um estudo de caso, “que consiste
na observação detalhada de um contexto, ou indivíduo, de uma única fonte de documentos
ou de um acontecimento específico” (MERRIAM, 1988. Apud BOGDAN; BIKLEN,
1994, p. 89).
Portanto, a presente pesquisa insere-se nesse contexto de investigação, que visa
identificar os conceitos geométricos dos alunos do Ensino Médio em uma escola
específica, do município Campo Novo do Parecis.
59
3.2 Contexto da pesquisa
O local de análise para a investigação consiste em uma escola pública do
município de Campo Novo do Parecis - MT, situada na área urbana, que oferta o Ensino
Médio, denominada aqui de Escola Pitágoras. A escolha dessa unidade escolar seguiu
alguns critérios de seleção para direcionar e delimitar o universo da pesquisa,
apresentados a seguir:
➢ Escola pública que ofertasse o Ensino Médio no período matutino ou vespertino;
➢ Escola localizada na área urbana do município
➢ Disponibilidade dos diretores em aceitarem a pesquisa na escola, bem como a
disposição do professor em aceitar a pesquisa em sua sala de aula;
3.2.1 A escola Pitágoras5
Situada a noroeste da cidade, no maior bairro de periferia, composto em sua
grande maioria por moradores de classe social baixa. A Escola está inserida em um
contexto de desigualdades sociais. Discentes oriundos de diversos estados do Brasil, de
diversas cidades mato-grossenses são atendidos e formam uma vasta teia cultural.
A unidade escolar contém 15 salas de aula, quadra de esportes coberta, uma
pequena biblioteca e sala de vídeo. Oferece o ciclo de formação humana, Ensino
Fundamental II (6º a 9ºano), Ensino Médio Regular, a modalidade de Educação de Jovens
e Adultos (EJA) no 2º segmento e Ensino Médio. A cada início de ano letivo matricula-
se um número considerável de alunos, aproximadamente 720, a maioria do próprio bairro.
Em relação à equipe pedagógica, a escola possui duas coordenadoras pedagógicas
e a diretora. Tal equipe realiza o acompanhamento das atividades pedagógicas junto aos
professores e são responsáveis pela formação continuada que acontece semanalmente na
escola.
Sobre a avaliação, segundo o “Projeto Político Pedagógico” (PPP) da escola, é
parte integrante do processo educativo, não excludente e nem superficial, da qual a
comunidade escolar pode participar. O PPP prevê mudanças na forma de avaliar,
5 Dados extraídos do Projeto Político Pedagógico (PPP) disponibilizado pela escola investigada.
60
considerando as diferentes formas de aferição da aprendizagem que o professor utiliza
com supervisão da coordenação pedagógica e do gestor.
Em relação à Matemática. estruturada no Ensino Médio, a mesma se encontra
organizada no PPP, subsidiada pelos documentos oficiais que orientam a organização
curricular. Sobre este componente curricular a escola aponta alguns objetivos específicos,
dentre eles, resolver situações matemáticas, empregando conceitos e procedimentos para
validar estratégias e resultados matemáticos.
3.3 Sujeitos da pesquisa
Os sujeitos da pesquisa consistem em um professor de Matemática que leciona no
Ensino Médio e vinte e sete alunos que estão cursando essa etapa de ensino totalizando
vinte e oito investigados.
A pesquisa foi desenvolvida no período de novembro de 2016 a fevereiro de 2017.
A coleta de dados na escola Pitágoras, desenvolveu-se no período matutino.
O critério para a escolha do professor participante da pesquisa foi a abertura ao
tema investigado e a permissão para a presença da pesquisadora nas aulas de Geometria,
resultando também na escolha dos alunos selecionados para a pesquisa.
A coleta de dados foi desenvolvida em dois momentos: no primeiro momento o
pesquisador buscou se integrar ao meio escolar, a realizar observação em sala de aula e
entrevista com o professor e com os alunos. No segundo momento transcorreu a coleta
dos registros com os alunos e a aplicação de questionário diagnóstico para verificação do
nível de aprendizagem em Geometria.
O professor selecionado para nossa pesquisa tem trinta e seis anos de idade,
formado em Licenciatura plena em Matemática, pertence ao quadro efetivo de servidores
do estado de Mato Grosso, leciona a aproximadamente sete anos na Educação Básica.
Definido o professor participante da pesquisa e após a assinatura do terno de
consentimento para sua participação, selecionamos, dentre as turmas, aquela que estava
trabalhando o conteúdo de Geometria, portanto, uma turma de segunda série do Ensino
Médio.
Vale ressaltar que iniciamos a pesquisa no mês de novembro de 2016, visto que,
os professores do estado de Mato Grosso entraram em greve e o período letivo do referido
ano de 2016 concluiu somente em janeiro de 2017. Durante o período acima mencionado
61
participamos de todas as aulas de Geometria ministradas e, como a maioria dos alunos
não frequentaram as aulas no período de janeiro, não pudemos aplicar o questionário
relacionado ao conhecimento de geometria espacial. Para aplicá-lo, aguardei o retorno da
turma, agora na terceira série do Ensino Médio. Ao total, trabalhamos com vinte e sete
alunos que responderam os questionários, com faixa etária entre 16 a 18 anos.
Para esta pesquisa não foi relevante a diferenciação de gênero, tendo em vista que
nosso objeto é o pensamento geométrico dos alunos do Ensino Médio e para tanto tal
diferenciação não foi necessária.
3.4 Instrumentos de coleta de dados
Após a seleção do local e dos sujeitos da pesquisa, buscamos selecionar os
instrumentos que viabilizassem a produção dos dados. Os instrumentos metodológicos
adotados para nortear, organizar e captar as informações necessárias para a análise e
compreensão da investigação baseou-se nas técnicas mais presentes na pesquisa
qualitativa em Educação Matemática, segundo Fiorentini e Lorenzato (2012).
Definimos a utilização de instrumentos como a entrevista semiestruturada com o
professor, que segundo Fiorentini e Lorenzato (2012), é muito utilizada nas pesquisas
educacionais. Esse tipo de entrevista conduz o pesquisador a organizar roteiros de pontos
a serem contemplados durante a entrevista, podendo alterar a ordem deles e, até mesmo,
formular questões não previstas inicialmente. Tal instrumento foi utilizado na abordagem
do professor investigado, com a finalidade de compreender como o ele enxerga a
Geometria.
Questionários com perguntas abertas se estrutura de maneira que não há
alternativas para a resposta, podendo o pesquisador captar algumas informações não
previstas. O questionário com perguntas fechadas direciona para a seleção de apenas uma
alternativa, delimitando a resposta dos pesquisados. Esse instrumento foi utilizado com
os alunos para identificarmos os conhecimentos geométricos assimilados por eles, bem
como para a caracterização dos participantes da pesquisa.
O diário de campo utilizado também como instrumento de coleta de dados nos
permitiu fazer anotações referentes ao ambiente da sala de aula. É nele que o pesquisador
registra as observações dos fenômenos, faz descrição de pessoas e cenários, descreve
episódios ou retrata diálogos. (FIORENTINE; LORENZATO, 2012) Utilizamos esse
62
instrumento em todo o processo de observação nas aulas de Geometria como também a
aplicação dos questionários investigativos.
3.5 Eixos temáticos de interpretação e análise dos dados
Antes de aplicarmos os instrumentos para levantamento de dados, buscamos
aprofundar a compreensão dos objetivos específicos da pesquisa que conduzem para a
compreensão do objetivo geral, que consiste em compreender quais conhecimentos
geométricos os alunos do Ensino Médio possuem.
Logo, pretendemos, na sequência, organizar as etapas da pesquisa, buscando
estabelecer relação com os objetivos, para deixar evidente e de forma clara como tais
instrumentos selecionados contribuíram para a elaboração dos dados. Para dar conta de
responder o objetivo geral a pesquisa foi dividida em dois eixos de análise, de modo a
permitir elucidarmos nosso objeto de estudo.
O primeiro eixo de análise Compreensões do professor e dos alunos sobre o
pensamento geométrico, foi subdividido em subeixos para a análise da importância do
pensamento geométrico na perspectiva do professor Nele abordamos temas como a
compreensão do pensamento geométrico pelo professor, a importância da Geometria para
a formação dos alunos e as principais dificuldades apresentadas pelos alunos no decorrer
das aulas de Geometria, comtemplando assim o primeiro objetivo específico que
propunha “investigar as dificuldades apresentadas pelos alunos do Ensino Médio sobre a
Geometria, na visão do professor.”
No segundo subeixo, intitulado a compreensão dos alunos sobre a matemática
e a geometria ensinada na educação básica, trouxemos as compreensões dos alunos
sobre a Matemática e a Geometria, contemplando o segundo objetivo específico que
propunha a “investigar o que os alunos do Ensino Médio compreendem sobre a
Matemática e Geometria ensinada na Educação Básica”.
O segundo eixo de análise intitulado Os conhecimentos geométricos também foi
dividido em dois subeixos. No primeiro, chamado de conhecimento de polígonos,
abordamos os questionários investigativos com questões do nível zero a dois da teoria de
Van Hiele que engloba os conhecimentos de polígonos por considerarmos que esses
conhecimentos são pré-requisitos para o estudo de poliedros. Após a realização dos testes,
os mesmos passaram por um processo de correção, segundo a nossa fundamentação
63
teórica, quanto aos conceitos geométricos e a teoria de Van Hiele. O segundo tópico,
denominado de conhecimento de poliedros, envolve, especificamente, os estudos de
poliedros com questões relacionadas do nível zero ao nível três do modelo de Van Hiele,
que também passaram pelo processo de correção segundo nossa fundamentação teórica.
O segundo eixo contemplou o terceiro objetivo específico da pesquisa que visa “analisar
a compreensão dos alunos sobre polígonos e poliedros”. Optamos por não categorizarmos
os resultados em nível atingidos ou não atingidos, pois nosso objetivo é apenas identificar
os conhecimentos dos alunos sobre os polígonos e poliedros que concluem o Ensino
Médio.
Logo, esperamos que tal organização seja favorável para a compreensão e leitura
dos dados da pesquisa, que apresentamos, a seguir, respondendo a questão central de
nossa investigação: “Que conhecimentos geométricos sobre polígonos e poliedros são
apresentados por alunos do Ensino Médio?
64
4 APRESENTAÇÃO, INTERPRETAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS
Foi pertinente utilizar, para a análise dos dados da pesquisa, a organização em dois
eixos para melhor compreensão do leitor sobre os resultados encontrados. Reafirmando
o que explicitamos anteriormente, no primeiro eixo, intitulado Compreensões do
professor e dos alunos sobre o pensamento geométrico, abordamos temas como a
compreensão do pensamento geométrico pelo professor, a importância da Geometria para
a formação dos alunos e as principais dificuldades apresentadas pelos alunos no decorrer
das aulas de Geometria. Ainda no primeiro eixo abordamos as compreensões dos alunos
sobre Matemática e a Geometria. No segundo eixo denominado Os conhecimentos
geométricos, apresentamos e discutimos os dados do questionário investigativo, que
versava sobre os conteúdos de polígonos e poliedros de acordo com os acertos dos alunos.
4.1 Eixo 1: Compreensões do professor e dos alunos sobre o pensamento geométrico
Com a finalidade de contemplarmos nosso objetivo geral que consiste em
“analisar os conhecimentos geométricos de alunos do Ensino Médio”, achamos pertinente
ouvir o professor, que ensina Matemática, destacar as principais dificuldades encontradas
pelos alunos ao estudarem Geometria e verificar a construção do pensamento geométrico
dos alunos na sua visão. Portanto, o referido eixo contempla dois objetivos específicos da
pesquisa: investigar as dificuldades apresentadas pelos alunos do Ensino Médio sobre
Geometria na visão do professor e identificar o que os alunos compreendem sobre a
Matemática e a Geometria ensinada na Educação Básica.
Por entendermos que as concepções e a prática do professor são influenciadoras
no processo de construção do conhecimento e também auxiliam no processo de
desenvolvimento do pensamento geométrico, justificamos a necessidade do presente
eixo. Retomamos à teoria de Van Hiele (1957), definida como teórico metodológica, que
tem como objetivo ajudar o aluno a evoluir nos níveis do pensamento geométrico,
obedecendo os aspectos descritivos que identificam as diferentes formas de raciocínio
geométrico dos alunos e o instrutivo que direciona métodos a serem seguidos pelos
professores de modo a favorecer o avanço dos níveis pelos alunos.
Nessa pesquisa o foco principal encontra-se ligado aos aspectos descritivos, ou
seja, o que o aluno compreende por Geometria e qual nível de pensamento geométrico se
65
encontra. No Entanto, não descartamos a importância de fazermos uma reflexão com o
olhar para o professor que, a partir de suas compreensões sobre Geometria, favorece o
avanço dos níveis pelos alunos.
As fases de aprendizagem da teoria do pensamento geométrico de Van Hiele têm
caráter instrutivo, que direcionam o professor a desenvolver métodos e estratégias
metodológicas que permitam o aluno evoluir no raciocínio geométrico. Portanto, mesmo
com a construção de níveis de pensamento geométrico, a teoria se baseia mais na prática
do professor do que na fase em que o aluno se encontra. Logo, consideramos importante
ouvir o professor de Matemática, suas compreensões sobre o pensamento geométrico a
fim de podermos triangular tais dados de modo a buscar respostas concisas para o
problema proposto na pesquisa.
O eixo está organizado em dois subeixos: o primeiro aborda a importância do
pensamento geométrico na perspectiva do professor, em que podemos identificar esse
professor, suas compreensões sobre o ensino e a aprendizagem de geometria, a
importância do pensamento geométrico para os alunos e as principais dificuldades que os
alunos apresentam ao estudarem Geometria. O segundo subeixo direciona-se aos alunos
e suas compreensões sobre a geometria ensinada na educação básica.
4.1.1 O pensamento geométrico na perspectiva do professor
Inicialmente, coube-nos conhecer quem é esse professor, sua formação inicial e
sua prática docente, para compreendermos em que sua fala se sustenta no que se refere
ao pensamento geométrico.
O professor participante da pesquisa tem formação em Licenciatura Plena em
Matemática, pela Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões (URI),
campus Santo Ângelo, no Rio Grande do Sul. Atualmente faz mestrado profissional em
Matemática em Rede Nacional (PROFMAT) pela Universidade Federal de Mato Grosso
(UFMT). Leciona na rede pública de ensino há sete anos, na cidade de Campo Novo do
Parecis, é professor do quadro efetivo da Secretaria de Estado de Educação e Cultura de
Mato Grosso (SEDUC – MT) e leciona em uma escola particular.
Iniciamos perguntando ao professor três itens importantes; (i) sua compreensão
do pensamento geométrico; (ii) a importância desse para a formação dos alunos, (iii) as
principais dificuldades, elencadas por ele, apresentadas pelos alunos.
66
Tais informações auxiliam no diálogo com a teoria de Van Hiele (1957), cuja
centralidade consiste nas práticas do professor para o sucesso na construção do
pensamento geométrico dos alunos. Portanto, coube-nos uma reflexão mais aprofundada
da fala do professor sobre esses três pontos, visto que, mesmo não havendo condições de
considerarmos que o aprendizado, ou não, de certos conceitos geométricos pelos alunos
participantes desta pesquisa estejam diretamente ligados a postura do referido professor,
podemos, pelo menos, identificar suas compreensões sobre o ensino de Geometria, bem
como sua fala sobre a importância para o aluno em compreender a Geometria.
Vimos que o pensamento geométrico envolve uma complexidade de pensamentos,
portanto é necessária uma compreensão sólida da Matemática, tendo em vista que, esta
pode ser desenvolvida por todos. Pensar geometricamente tanto desenvolve o raciocínio
visual, como a leitura interpretativa do mundo e na própria comunicação das ideias, visto
que, conhecimentos somente de aritmética e álgebra não são capazes de resolver
problemas geometrizados pois, a Matemática está interligada as suas grandes áreas
(LORENZATO 1995).
Perguntado sobre sua compreensão de pensamento geométrico, o professor nos
apresenta algumas características já vistas e comentadas anteriormente. A primeira delas
está relacionada a Geometria como aplicabilidade prática e, segundo sua fala, “a
geometria é fundamental, ela está ao nosso redor, a usamos desde coisas mínimas como
construir um portão, ou fazer um desenho com traçados perfeitos desde a sua
aplicabilidade nas grandes construções civis (Entrevista com o professor)”. Nesse
excerto, o professor expõe sua compreensão relacionando à aplicação prática da
Geometria, voltada para o raciocínio visual e a leitura interpretativa do mundo. Como
aponta Lorenzato (1995), a ideia da Geometria como leitura do mundo visível permeia o
pensamento de professores e alunos quando nos referimos a importância de aprendê-la e
compreendê-la.
A outra característica apontada pelo professor diz respeito à Geometria enquanto
meio para abstração de determinados conceitos,
entender geometria permite você deduzir fórmulas, construir determinados
conceitos, sem necessariamente decorá-los, como é o caso da trigonometria
no triângulo retângulo trabalhados no nono ano, a geometria dar suporte para
a construção de conceitos mais abstratos. (Entrevista com o professor)
67
Diante do exposto, assevera-se que a Geometria e, particularmente, a Geometria
ensinada na escola é uma fonte inesgotável de ideias, processos e atitudes que são
completamente adequados e importantes para o desenvolvimento de outros tipos de
raciocínio.
Na fala do professor percebemos que sua compreensão sobre o pensamento
geométrico também abrange essa dimensão do abstrato. Historicamente sabemos que a
Geometria foi importantíssima no processo de algebrizar a Matemática.
Sobre a importância do pensamento geométrico para os alunos, sabemos que tal
conhecimento é essencial por ser considerado uma ponte para diferentes conteúdos da
própria Matemática, bem como auxilia a aprendizagem da álgebra e da aritmética, ajuda
no processo de construção do conhecimento, de conceitos e, “valoriza o descobrir o
conjecturar e o experimentar” (LORENZATO, p. 6, 1995).
Perguntado sobre a importância do conhecimento geométricos para os alunos, o
professor enfatiza a importância de todo e qualquer conhecimento, pois “o conhecimento
lhe traz liberdade, é para a vida, de modo geral”. A importância do pensamento
geométrico, segundo o professor, consiste na capacidade que tem de deixar o aluno livre
nas suas escolhas,
independente se ele usará apenas a geometria, a matemática para colocar um
quadro em uma parede e este não ficar torto, ou se ele vai ser um engenheiro
que precisará de conceitos mais elaborados, enfim a geometria, a matemática
torna-se importante para ampliar a visão de mundo do aluno”. (Entrevista
com o professor)
Percebemos na fala do professor uma importância relacionada a uma Matemática
com escolhas e visão de mundo. Pais (2010) aponta que o desenvolvimento de habilidades
matemáticas possibilita ao aluno um desempenho que o capacita a melhor enfrentar os
desafios do mundo contemporâneo. Tal fala do professor vai ao encontro de algumas
relações que os próprios alunos apontaram sobre a importância de se compreender a
Matemática, como veremos mais a frente.
Outro aspecto apontado pelo professor sobre a importância do pensamento
geométrico é decorrente das avaliações externas as quais os alunos do Ensino Médio
realizam, dentre elas, mais importante é o “Exame Nacional o Ensino Médio” (ENEM)
que avalia o conhecimento dos alunos segundo algumas habilidades e competências para
esse nível de ensino, e a “Prova Brasil” que avalia a escola, os professores e os alunos.
68
Um outro fator importante sobre os alunos compreenderem a geometria, está
na cobrança desse conteúdo nas provas como o ENEM, e a Prova Brasil.
Então, não basta você querer ensinar seu aluno para a vida, ele necessita
desses conhecimentos para entrar em uma boa faculdade, e a própria escola
necessita desses resultados para ser boa avaliada. (Entrevista com o
professor)
Sobre as avaliações em larga escala, faz-se interessante observarmos que tais
provas influenciam diretamente a Geometria, a Matemática trabalhada em sala de aula.
Essa fala é recorrente pois, quando perguntamos aos alunos sobre a importância de se
compreender Geometria, alguns argumentam que estudar Geometria é importante porque
é exigido no ENEM.
O terceiro ponto que abordamos na investigação junto ao professor consiste na
identificação das principais dificuldades (ou causas) apresentadas pelos alunos no
decorrer das aulas. O professor é enfático ao dizer que a maior dificuldade que os alunos
encontram ao se depararem com conceitos de geometria espacial, em especial os
poliedros, consiste na falta do domínio de conceitos básicos de Geometria.
É conceito, eles não têm conceito formado! Você como professor percebe
quando o aluno somente decorou. Não construiu o conceito, por exemplo, eu
tenho um triângulo, mas que significa a palavra triângulo? O aluno não
consegue ver suas propriedades, ele não enxerga que aquilo ali tem muito mais
que simplesmente três lados. Porque aí depois você terá que classificar, é
equilátero, porque os lados são iguais, se esses lados são iguais o que acontece
com esses ângulos? Não é? É enxergar muito mais daquilo que você tem ali.
(Entrevista com o professor)
Na fala do professor percebemos alguns dados que vem ao encontro da teoria de
desenvolvimento do pensamento geométrico de Van Hiele (1957) pois, segundo ela, os
alunos só poderão dar sequência no processo de construção do conhecimento geométrico
se esse for conduzido de forma adequada pelo professor, cabendo lhe também identificar
o nível ao qual o aluno se encontra.
Quando o professor investigado aponta que os alunos ingressam no Ensino Médio
sem a compreensão dos conceitos geométricos básicos, podemos dizer que os alunos não
alcançaram o nível de dedução informal que consiste em estabelecer inter-relações das
propriedades de uma determinada figura geométrica.
Conhecer o nível de pensamento geométrico dos alunos auxilia o professor no
processo de elaboração de situações didáticas que favoreçam o avanço dos níveis. Então,
a falta de compreensão da Geometria é considerada, pelo professor investigado, como
uma das dificuldades identificadas nos alunos. Tal indício aponta para o que Lorenzato
69
(1995) declarou: alunos que não viram geometria não a compreendem. Aquilo que não é
ensinado, não é aprendido. Ou seja, os alunos ao chegarem no Ensino Médio sem
conhecimentos básicos de Geometria, pode-se considerar que possivelmente não viram
esse conteúdo ou, não lhes foi ensinado de forma que favorecesse a evolução do
pensamento geométrico por parte dos alunos.
Se nossos alunos concluem a Educação Fundamental sem o ensino de Geometria,
ou em qualquer outra área da Matemática e das demais disciplinas, certamente não
apresentarão um nível mínimo satisfatório previstos nas diretrizes curriculares. Outro
ponto exposto pelo professor pesquisado diz respeito ao interesse dos alunos pelos
estudos. A falta de interesse em aprender gera dificuldades que o próprio aluno sentirá
em seu processo de ensino, “não é fácil convencê-los a estudar, que é preciso estudar”
(Entrevista com o professor)
O sistema escolar adotado no estado, também foi mencionado como influenciador
do desinteresse dos alunos, da falta de motivação para estudar. Segundo o professor, o
Sistema Escolar Ciclado implantado no estado de Mato Grosso, que veio substituir o
ensino seriado, ajudou no aumento do desinteresse. Como não é objetivo da presente
pesquisa fazer uma discussão sobre o sistema ciclado no estado, não aprofundaremos esse
aspecto. No entanto, é válido expor o pensamento do professor, visto que essa é uma ideia
radicada dentro das escolas do estado de Mato Grosso que culpabilizam o sistema ciclado
por todos os problemas da escola. Almeida (2016) defende que o Ciclo Básico de
Aprendizagem tem como objetivo assegurar o direito à uma educação de qualidade,
buscando a redução das taxas de abandono escolar ocasionada pelos altos índices de
reprovação; desse modo, o ciclo possibilitaria a permanência do educando na instituição
de ensino de modo a romper com o fracasso escolar.
De acordo com o professor investigado, as dificuldades que os alunos apresentam
ao chegarem no Ensino Médio está relacionado com a falta de contato com a Geometria,
ou seja, não houve construção dos conceitos geométricos pelos alunos.
Diante do exposto, podemos verificar que o professor investigado tem
conhecimento da importância do desenvolvimento do pensamento geométrico pelos
alunos. Sua compreensão sobre a Geometria corrobora na perspectiva da nossa pesquisa,
principalmente, quando aponta que a maior dificuldade que os alunos possuem diz
respeito a falta de conceitos básicos de Geometria, dificultando assim o avanço dos níveis
de Van Hiele (1957).
70
4.1.2 A compreensão dos alunos sobre a Matemática e a Geometria ensinada na
Educação Básica
Antes de nos determos especificamente na questão dos conteúdos geométricos,
achamos necessário compreendermos a visão dos alunos sobre a Matemática. Para isto
perguntas relacionadas à compreensão sobre essa disciplina e sobre a Geometria foram
realizadas, a fim de contemplarmos um de nossos objetivos específicos que consiste em
identificar o que os alunos compreendem sobre a Geometria ensinada na Educação
Básica.
A primeira pergunta provocou os alunos falarem sobre sua relação com a
Matemática, e as respostas revelaram como eles as enxergam. Vale lembrar que a
pergunta “você gosta de estudar matemática? Por quê?” direciona para respostas
subjetivas que valorizam a relação do aluno com a Matemática, não necessariamente no
ambiente escolar.
Dentre os vinte e sete alunos que responderam o questionário, treze responderam
que gostam de Matemática, quatorze responderam que não gostam. A discussão das
respostas foi sistematizada a partir dos dados apresentados pelos alunos em três
perspectivas: relação da Matemática com o trabalho e profissão, a Matemática como
ciência e a Matemática como conteúdo escolar. A seguir, discorremos sobre cada uma
delas.
A primeira categoria de respostas identificadas entre os alunos que responderam
afirmativamente à pergunta, justificou seu posicionamento relacionando a Matemática
com o trabalho e profissão. Oito alunos relacionaram seus interesses associando o gostar
de Matemática e a importância em aprendê-la com o sucesso na profissão futura.
Respostas obtidas: porque será usada na profissão que vou exercer;
algumas profissões exigem conceitos geométricos;
depende da carreira que você for exercer;
quem deseja seguir profissões que envolvem cálculos, como as
engenharias;
qualquer trabalho exige o mínimo de matemática. (Questionário dos
alunos).
A relação explicitada pelos alunos entre a Matemática, o trabalho e a ideia de um
“futuro melhor”, pode expressar um sentido para seu aprendizado. No entanto,
71
verificamos a ausência do sentido específico da Matemática como ciência, ou seja, que
tem certo rigor em sua natureza; que necessita de validação científica; que é desenvolvida
por matemáticos, como a criação de conceitos, as descobertas de teoremas e
demonstrações que são sistematizados pelo trabalho da comunidade científica (PAIS,
2011). Mas a Matemática não deixa de ter sentido para esses alunos, ou ainda, o aluno
relaciona seu ensino com a vida fora da escola, enxergando-a além do universo escolar.
As respostas dos alunos também vêm ao encontro com alguns posicionamentos
do professor entrevistado, quando esse relaciona a importância de estudar Geometria e
Matemática como sendo “algo para a vida!”. Também cabe também o vínculo que o
aluno faz com a escola, com o conhecimento e com o trabalho, visto que, a realidade de
nossos estudantes do Ensino Médio é de inserção no mercado de trabalho desde a
adolescência.
O trabalho pode ser um espaço de construção de valores de identidade e de
socialização. Portanto, a ponte que os alunos fazem entre a Matemática com o trabalho e
a profissão nos leva a compreender a realidade na qual estão inseridos e, como o
pensamento matemático se relaciona com s atividades práticas e com a força utilitarista
que ela tem, ou seja, é importante “porque vou usar para um determinado trabalho”
(Questionário dos alunos).
A segunda categoria encontrada nas respostas dos alunos refere-se a relação que
eles fizeram com a Matemática como ciência, ou seja, suas justificativas apontaram a
importância de estudar Matemática porque leva a pensar e traz conhecimento.
As justificativas que fortalecem essa compreensão de Matemática como ciência e
potencializadora no processo da construção do pensamento matemático encontram-se
expostas a seguir:
a matemática revoluciona, traz conhecimento e se desenvolve em todas as
coisas; a matemática está em tudo;
me faz pensar, me desafia! é importante para nosso conhecimento.
(Questionário dos alunos).
Nas falas podemos entender que para esses alunos a Matemática tem sentido ao
ser estudada não somente como disciplina escolar, mas como ciência que viabiliza meios
para pensar de forma clara e objetiva, que desperta e desafia.
Nossa análise vem ao encontro das noções da didática da Matemática que Pais
(2010) apresenta como um dos objetivos maiores da educação matemática que é despertar
72
no aluno o hábito de fazer uso do raciocínio e de cultivar o gosto por essa ciência.
Trabalhar com problemas que valorizem a criatividade e estratégias pessoais pressupõe:
“O desenvolvimento dessas habilidades possibilita ao aluno um desempenho que,
certamente, o capacita a melhor enfrentar os desafios do mundo contemporâneo” (PAIS,
2010, p.32).
O PCN de 2002 expõe que, na etapa do Ensino Médio, a Matemática deve ser
entendida como uma parcela do conhecimento humano que é essencial para a formação
dos jovens, “que contribui para a construção de uma visão de mundo, para ler e interpretar
a realidade e desenvolver capacidades que deles serão exigidas ao longo da vida social e
profissional” (BRASIL, 2002. p. 108).
A terceira categoria de respostas dos alunos indicam a relação da Matemática
como conteúdo escolar, são daqueles que indicaram não gostar de Matemática porque
apresentam dificuldades para compreender determinados conceitos e conteúdos
específicos. Para esses alunos gostar de Matemática tem relação direta com a
compreensão dos conteúdos da disciplina, tal justificativa nos aponta que eles a percebem
somente como uma prática escolar, direcionada a utilização de fórmulas, números e
alguns conceitos. Portanto, se não há compreensão não há sentido gostar de Matemática,
ou valorizá-la enquanto ciência, conforme revelam em depoimentos como:
é muito complicado, não entendo;
tenho dificuldade; não sou boa, não me identifico, é complicado; é muito
difícil;
não tenho vocação para a matemática;
se eu consigo gravar eu gosto, tem outras coisas que nem aprendo.
(Questionário alunos)
A relação que os alunos fazem com a Matemática como disciplina escolar limita-
os a pensá-la enquanto ciência e provida de significados, o que pode acarretar a
aprendizagem mecânica, sem a construção de conceitos e a compreensão das definições.
Diante disso podemos refletir como a escola, como os professores de Matemática
têm dificuldades para construir com os alunos o conceito de que ela é mais que uma
disciplina escolar, é uma construção humana uma ferramenta de raciocínio capaz de
capacitá-los a pensar de forma crítica, a e possibilitar exercer o raciocínio lógico-
matemático. O próprio PCN (1998) traz algumas falas sobre a Matemática compreendida
em suas estruturas específicas.
73
É importante que o aluno perceba que as definições, demonstrações e
encadeamentos conceituais e lógicos têm a função de construir novos conceitos
e estruturas a partir de outros e que servem para validar intuições e dar sentido
às técnicas aplicadas. A essas concepções da Matemática no Ensino Médio se
junta a ideia de que, no Ensino Fundamental, os alunos devem ter se
aproximado de vários campos do conhecimento matemático e agora estão em
condições de utilizá-los e ampliá-los e desenvolver de modo mais amplo
capacidades tão importantes quanto as de abstração, raciocínio em todas as
suas vertentes, resolução de problemas de qualquer tipo, investigação, análise
e compreensão de fatos matemáticos e de interpretação da própria realidade.
(BRASIL, 1998, p.40-41)
Diante disto, cabe relacionarmos também a aprendizagem Matemática defendida
pela didática da matemática específica para seu ensino que, segundo Pais, (2011) o aluno
deve ser estimulado a realizar um trabalho voltado para a investigação científica. Assim,
o aluno aprende a reconhecer o raciocínio lógico argumentativo, despertando “o hábito
de fazer uso de seu raciocínio e de cultivar o gosto pela resolução de problemas” (PAIS,
2011.p. 35). Logo, pode-se verificar a necessidade de conduzir o aluno a uma
aprendizagem que valorize a construção de conceitos e a utilização do pensamento lógico
e argumentativo, que o leve a uma postura crítica capaz de resolver os problemas
matemáticos em situações da vida cotidiana.
A teoria de evolução do pensamento geométrico vem corroborar essa concepção
quando compreendemos que as fases de aprendizagem desenvolvidas pelo casal Van
Hiele propõem meios que identifica o nível de maturidade geométrica dos alunos e
propicia indícios para avançar de um nível para outro. Ressaltando que o ensino mais do
que somente a maturação é o fator que contribui mais significativamente para esse
desenvolvimento. Ora, se o aluno progride em níveis de compreensão do pensamento
geométrico que lhe permite descobrir, conjecturar e experimentar, é certo que o
pensamento lógico e argumentativo presente em todo conhecimento matemático também
são aflorados e potencializados. Visto que, a Geometria é uma fonte inesgotável de ideias,
processos e atitudes inerentemente adequados a escolar elementar. (DANA, 1994)
Após identificarmos as compreensões dos alunos sobre a Matemática, buscamos
aferir que conceitos de Geometria recordavam no decorrer de sua trajetória escolar. Pois
achamos pertinente entendermos as compreensões dos alunos sobre o pensamento
geométrico, para podermos fazer ligação entre os dados que nos possibilite uma melhor
compreensão do objetivo geral proposto na presente pesquisa que visa analisar os
conhecimentos geométricos de alunos do Ensino Médio.
74
Vimos anteriormente que os conhecimentos geométricos são trabalhados em toda
Educação Básica. No Ensino Fundamental os conteúdos matemáticos se organizam em
blocos.
O bloco espaço e formas engloba os conteúdos geométricos e de acordo com os
PCN, os conceitos geométricos constituem uma parte importante da Matemática no
ensino fundamental, “pois por meio desses conhecimentos, os alunos desenvolvem um
tipo especial de pensamento que permite compreender, descrever e representar, de forma
organizada, o mundo em que vive” (BRASIL, 1998. p. 51). Os estudos de Geometria
também contribuem para a aprendizagem de números e medidas, pois estimulam a
observação, a percepção de semelhanças e diferenças, identificam regularidades, entre
outros.
Portanto, ao finalizar a Ensino Fundamental o aluno deveria estar no nível 2,
chamado de dedução informal, segundo a teoria de Van Hiele (1957), que tem por
características a percepção do espaço como algo existente ao seu entorno, as
características das figuras ordenadas de forma a desenvolver relações entre propriedades.
As observações feitas pelos estudantes, nessa fase de aprendizagem, vão além da
explicitação das propriedades das figuras, há, também, a apresentação de argumentos
lógicos sobre suas características, de forma intuitiva, sem haver preocupação com o rigor
(WALLE, 2009).
No Ensino Médio os conteúdos básicos estão organizados em quatro blocos.
Números e operações, funções, geometria, análise de dados e probabilidade. O bloco
Geometria deve capacitar o aluno a orientar-se no espaço, ler mapas, estimar e comparar
distâncias, reconhecer propriedades de formas geométricas básicas, representar as
diferentes figuras planas e espaciais (BRASIL, 2002).
As orientações curriculares para o Ensino Médio ainda enfatizam que nessa fase,
o aluno já apresenta “as condições necessárias para a compreensão de certas
demonstrações que resultam em algumas fórmulas, como por exemplo, a área do círculo”
(BRASIL, p. 76, 2002, grifo nosso). O documento ainda relata trabalhos com área e
superfícies de sólidos, sendo necessária a revisão de cálculos de área de polígonos.
Percebemos que os documentos que regem a organização do Ensino Médio elucidam que,
nessa fase, o aluno tem a capacidade de desenvolver raciocínios que condizem com o
nível três da teoria de desenvolvimento do pensamento geométrico, ao considerar que a
pessoa “é capaz de construir demonstrações, e não apenas de memorizá-las; enxerga a
75
possibilidade de desenvolver uma demonstração de mais de uma maneira” (CROWLEY,
p. 4, 1994).
Após essa breve revisão dos conteúdos geométricos, analisamos as respostas dos
alunos para a seguinte pergunta: Nas aulas de Matemática, durante sua formação no
ensino fundamental e no ensino médio, o que você recorda sobre o estudo de geometria?
Você considera importante estudar os conceitos geométricos?
Dos vinte e sete alunos presentes no dia da aplicação do questionário, apenas vinte
e dois responderam a pergunta. Sobre a pergunta relacionada aos conceitos geométricos
já estudados por eles, obtivemos respostas de seis alunos que indicaram a área, volume,
prismas; altura de figuras; quadrado, retângulo e triângulos; formas geométricas;
cálculo de área, como as recordações mais marcantes no processo de estudo da geometria
na educação básica.
Dos apontamentos expostos pelos alunos, dividimos em geometria plana e
espacial. Conceitos como área, figuras geométricas (quadrado, retângulo, triângulo),
estão ligadas a geometria plana estudadas no Ensino Fundamental, ou seja, calcular área
de figuras planas, principalmente de polígonos são explorados com mais ênfase na fase
anterior ao Ensino Médio.
Conceitos como volume, sólidos geométricos como o prisma, contemplam a
geometria espacial que, embora seja estuda com mais ênfase no Ensino Médio, alguns
conceitos como volume também se estudam no Ensino Fundamental, principalmente
volume do cubo e paralelepípedo.
Portanto, percebemos a presença tanto de conceitos implícitos dos polígonos
como de poliedros, cujos conteúdos são analisados nessa pesquisa por relacionar-se
diretamente com o aporte teórico escolhido como norteador da investigação.
Mas somente esses dados não nos permite fazer uma análise mais contundente
daquilo que realmente os alunos assimilaram, pois, recordar conceitos geométricos não
indica o que realmente compreendem.
Dentre os alunos que responderam tal questão, treze deles alegam não recordarem
de nada sobre o ensino de Geometria no decorrer da Educação Básica. Número
significativo em uma turma de vinte e sete alunos. Cabe tecer algumas reflexões sobre o
que tais dados nos mostram, uma delas refere-se ao ensino da Geometria que ainda é
omitida nas escolas de Educação Básica. Embora os livros didáticos e influências de
pesquisas, que abordam a importância de se ensinar Geometria venha auxiliando e
76
melhorando as práticas geométricas em sala de aula, estamos distantes, ainda, de um
ensino mais eficiente no desenvolvimento do pensamento geométrico.
De acordo com a teoria de Van Hiele, o ensino mais do que a maturidade dos
alunos contribui para uma construção do pensamento geométrico mais sólido. No entanto,
se os alunos não são expostos ao ensino de forma que os possibilite avanços na
aprendizagem de Geometria corre-se o risco de formar alunos com déficit na construção
do pensamento geométrico. Como bem apontou Lorenzato (1995), existe problemas que
só podemos resolver com Geometria, àquele que não aprendeu noções geométricas não
conseguirá desenvolver habilidades coerentes, como a própria percepção de mundo.
Quando perguntamos sobre a importância de estudar Geometria, as respostas
foram parecidas com as respostas anteriores. A maioria dos interrogados relacionou a
importância da Geometria com a utilização no dia-a-dia, com a profissão. Somente um
aluno afirmou a importância de aprender Geometria porque “cai” no ENEM. Ou seja, na
visão dos alunos a Geometria é importante porque de uma forma ou de outra poderá ser
utilizada algum dia. Essa concepção dos alunos está relacionada com a geometria como
disciplina escolar e não sua importância como ciência.
Percebemos então que os conteúdos e as compreensões expostas pelos alunos nas
respostas apontam para uma Geometria que é trabalhada no Ensino Fundamental, e
percebemos, ainda, a relação que os alunos fazer da Geometria com as figuras
geométricas em si.
Notamos a ausência de uma compreensão mais solidificada de um pensamento
geométrico mais elaborado, com deduções de fórmulas, relação entre propriedades, entre
outras noções. Pode-se inferir que os alunos pesquisados não tiveram um contato
expressivo com o pensamento geométrico em sala de aula durante o Ensino Fundamental
e exigido para o nível de estudo que estão inseridos, o Ensino Médio.
Ao fim desse eixo de análise consideramos importante discutir alguns aspectos
relacionados a compreensão do professor e dos alunos sobre o pensamento geométrico.
Primeiramente, percebemos que o professor investigado tem conhecimento da
importância do pensamento geométrico para o desenvolvimento dos alunos, mas ainda
não há um trabalho de investigação dos conhecimentos geométricos adquiridos por eles,
ou seja, não há como identificar o nível de desenvolvimento geométrico que possuem.
Notamos que as fases do aprendizado, apresentado por Van Hiele, que trabalha a
interrogação, a orientação dirigida, a explicação, a orientação e a integração, nas quais o
77
professor é instigado a levar o aluno a avançar nos níveis de pensamento, auxiliariam o
processo de construção do pensamento geométrico dos alunos investigados.
Sobre as falas e as compreensões dos alunos referente ao pensamento geométrico,
notamos pouco conhecimento, alguns alunos apenas se limitaram expor conhecimentos
de algumas figuras geométricas para definir a Geometria. Percebemos a Matemática
exposta por eles com várias compreensões e relações, a matemática e a relação com o
mundo do trabalho, a matemática como ciência e a matemática como conteúdo escolar.
Tal percepção nos permitiu compreender as dimensões que a Matemática pode ter para o
aluno.
4.2 Eixo 2: Os conhecimentos geométricos de alunos do Ensino Médio
O presente eixo de análise contempla o terceiro objetivo específico que proposto
na pesquisa: “analisar os conhecimentos dos alunos sobre polígonos e poliedros”.
Nesse tópico de análise, que compreende os conhecimentos geométricos
(polígonos e poliedros) assimilados pelos alunos participantes da investigação, utilizamos
o questionário om questões que contemplam alguns conceitos geométricos. Nos
baseamos na teoria de Van Hiele para analisarmos os níveis de compreensão do
pensamento geométrico dos alunos investigados e nos pautamos na didática da
Matemática para análise e algumas compreensões do desenvolvimento do pensamento
geométrico.
Aplicamos dois questionários investigativos para os alunos, O primeiro
questionário está relacionado com os conceitos de polígonos, que foi dividido em três
níveis: o nível 0 que está relacionado ao visual, ou seja, o aluno identifica figuras
geométricas que são reconhecidas por suas formas, aparência física, mas não por suas
partes e propriedades. O nível 1 corresponde à análise, no qual o aluno raciocina sobre
conceitos geométricos por meio da análise informal. No nível 2 os alunos formulam
definições abstratas e são capazes de fazer algumas deduções e relações entre figura e
propriedade.
Optamos no primeiro questionário por esses três primeiros níveis que, segundo a
teoria de Van Hiele, pode ser atingido por alunos de com idade entre 14 e 15 anos, ou
seja, os alunos investigados já deveriam obter êxito nesses níveis. Portanto, tal análise
nos permite identificar alguns conceitos que os alunos já possuem sobre polígonos, visto
78
que tal conteúdo se relaciona diretamente com o estudado posteriormente na geometria
espacial, os poliedros.
O segundo questionário está relacionado com conceitos de poliedros que, além
desses três primeiros níveis explicados anteriormente, elaboramos questões investigativas
que compreendem o nível 3, que está relacionado com a dedução formal, que, de acordo
com a teoria de Van Hiele, os alunos do Ensino Médio deveriam atingir. Tal nível envolve
e trabalha sequências de afirmações advindas de outras. Para o alcance desse nível, como
visto anteriormente, existem vários fatores que influenciam o processo de construção do
conhecimento, como a postura e metodologia do professor, entre outros.
Achamos pertinente explicarmos o porquê da escolha dos conteúdos polígonos e
poliedros para a pesquisa. Em primeiro lugar, consideramos que a teoria de Van Hiele
(1957) desenvolveu seus níveis de pensamento geométricos baseados em sua
representação por meio de formas geométricas. Partindo desse princípio, os níveis
propostos pela teoria se baseiam principalmente nos estudos de figuras geométricas,
podendo ser trabalhadas outros conteúdos de Geometria, mas inicialmente o foco são as
representações geométricas, suas propriedades e capacidade de elaboração de sequências
e afirmações compostas por outras.
Consideramos também a importância dos conteúdos aqui abordados, para a
construção de uma Matemática mais formal e um dos caminhos para a generalização de
conceitos matemáticos. Percebemos a presença dos conteúdos polígonos e poliedros nas
provas como as “Olimpíadas Brasileira de Matemática das Escolas Públicas e Privadas”
(OBEMEP) e o “Exame Nacional do Ensino Médio” (ENEM) do, nas quais tais conteúdos
são bastante cobrados.
Portanto achamos válido a escolhas dos conteúdos de polígonos (abordado no
Ensino Fundamental) e poliedros (abordado com mais ênfase no Ensino Médio) por
considerarmos que tais conteúdos possibilitam uma visão a luz da teoria de Van Hiele
que mais se aproxima do que nos propomos analisar nessa pesquisa.
4.2.1 Conhecimentos de polígonos
Para facilitar para o leitor a compreensão da organização dos dados,
desenvolvemos um quadro explicativo que relaciona os níveis do pensamento
79
geométrico, suas características e os principais aspectos abordados no primeiro
questionário, que está relacionado aos conhecimentos de polígonos.
Quadro VII: Características dos níveis de Van Hiele explorados na pesquisa (polígonos)
Nível Características Aspectos explorados na pesquisa
(conteúdo polígonos)
0. Visualização Reconhecem figuras por sua
forma, aparência; comparação
e nomenclatura de figuras
geométricas com base na sua
aparência global.
Reconhecimento de figuras
caracterizadas como polígonos;
reconhecimento de triângulos;
nomenclatura de alguns polígonos
relacionados a algumas características
como os lados.
1. Análise Reconhecem que as figuras
têm partes, e as figuras são
reconhecida por suas partes.
Reconhecimento de suas
propriedades e uso destas para
resolver problemas.
Reconhecimento da nomenclatura
correta relacionadas aos lados de um
triângulo; reconhecimentos de algumas
partes de um polígono (vértice, lados,
diagonais); identificar as propriedades de
um paralelogramo e retângulo;
Reconhecimento de perímetro e área de
polígonos.
2.Dedução
informal
Estabelecem inter-relações
entre propriedades das figuras;
deduzem propriedades de
figuras e reconhecer classes de
figuras; As definições tem
significado.
Identificação das características do
polígono e soma de ângulos; relacionar
as propriedades dos quadriláteros;
representação de polígonos apresentando
algumas condições; identificar
propriedades dos polígonos regulares e
irregulares; identificar as propriedades de
polígonos convexos e não convexos.
Fonte: Organização da pesquisadora
Após a apresentação das principais características exploradas no primeiro
momento, faremos a seguir uma análise mais detalhada do que foi exigido em cada item
dos níveis.
Na figura, a seguir, temos a primeira questão proposta aos alunos referente ao
nível zero. A questão solicitava a identificação dentre as figuras apresentadas, as que se
poderiam caracterizar como polígonos, vejamos:
Figura 4: Questão 1 – nível 0
Fonte: Questionário investigativo; organização da pesquisadora
80
Na questão 1, o principal objetivo caracteriza-se em identificar quais definições
de polígonos os alunos possuem dentre as várias figuras geométricas. Como resultados
obtivemos seis alunos que acertam a questão completa, ou seja, circularam as duas figuras
que correspondem à configuração de polígonos; treze alunos circularam apenas uma das
figuras, configurando-se um acerto parcial da questão e oito alunos que erraram a questão.
Um dado interessante ao analisarmos os resultados está ligado diretamente a uma
das propriedades do polígono que consiste em ser uma figura fechada. Podemos perceber
que os alunos compreendem que um polígono é uma figura fechada, no entanto, ao
olharmos para a apreensão de que os lados de um polígono consistem em segmentos de
retas o entendimento dos alunos se reduz, levando-nos à conclusão de que possuem
alguma dificuldade em visualizar a representação de um polígono, e isso pode refletir
posteriormente na aprendizagem de outros conceitos interligados.
A questão 2 buscou identificar o reconhecimento da figura do triângulo, dentre as
demais, e com isso se pode verificar o nível da visualização no reconhecimento das
figuras sem, portanto, analisar ou perceber suas propriedades.
Figura 5: Questão 2 – nível 0
Fonte: Questionário investigativo; organização da pesquisadora
Nessa questão percebemos pelo resultado que a maioria dos alunos identificam as
figuras que não representam o triângulo, ou seja, visualmente identificam o polígono em
questão. Obtivemos um total de dezenove acertos da questão, cinco alunos circularam
apenas um dos triângulos e obtivemos três erros, ou seja, esses alunos não conseguiram
identificar a representação de um triângulo. Os alunos que circularam somente um, dentre
os dois triângulos apresentados, assinalaram o triângulo equilátero.
Sobre isso, podemos identificar as chamadas configurações didáticas sempre
recorrentes nas apresentações de conceitos geométricos. Pais (2013) expressa que tais
configurações são consideradas figuras ou desenhos utilizados com frequência como
recurso para ilustrar um conceito ou uma propriedade geométrica. No caso dos triângulos
é comum vermos nos livros didáticos e na prática do professor utilizarem-se da
81
representação desse polígono no formato equilátero. Logo, os alunos, ao circularem
apenas o triângulo equilátero, não identificam o triângulo escaleno como uma
representação de triângulo, por falta de contato com outras representações de triângulo e,
ainda, não conseguem identificá-lo por meio de suas propriedades
A questão 3, tem o intuito de verificar se os alunos identificam os nomes dos
polígonos. Essa é uma das características presente no nível 0 – visualização –, e nesse
nível os alunos conseguem estabelecer um vocabulário geométrico. ´
Figura 6: Questão 3 – nível 0
Fonte: Questionário investigativo; organização da pesquisadora
Todos os vinte e sete alunos responderam corretamente a questão, portanto o
vocabulário geométrico está presente no conhecimento deles. Vale ressaltar que as figuras
estão na posição usual tanto dos livros didáticos como da apresentação pelos professores,
ou seja, podem ser caracterizadas como configurações geométricas.
A questão 4 visa a verificação do vocabulário geométrico, mas diferentemente da
questão anterior, são expostas para os alunos algumas figuras não tão usuais.
Figura 7: Questão 4 – nível 0
Fonte: Questionário investigativo; organização da pesquisadora
A informação dada pela questão somente indica que a nomenclatura hepta
corresponde a sete, a partir da qual os alunos devem identificar quais, dentre as figuras
82
representadas, podem ser considerados “heptágonos”. Obtivemos somente a resposta
correta de treze alunos.
Na questão proposta, ainda podemos analisar que os alunos foram levados a
responder a questão pela relação que fizeram entre hepta (sete) com a quantidade de lados.
Tal pensamento condiz com a familiaridade com o vocabulário geométrico, ou seja,
aqueles que responderam corretamente a alternativa realizaram a dedução de que um
heptágono tem sete lados.
A questão 5 aproxima-se da anterior, agora buscando levar os alunos a fazerem
relações entre números de lados dos polígonos e suas respectivas nomenclaturas.
Figura 8: Questão 5 – nível 0
Fonte: Questionário investigativo; organização da pesquisadora
Para essa questão obtivemos um total de vinte e cinco acertos, portanto, com
relação às questões anteriores, os alunos apresentaram um melhor desempenho. No
entanto percebemos que o conhecimento ainda está incompleto sobre os conceitos de
polígonos.
Podemos perceber que, no nível 0 – visualização –, os alunos embora
demonstrem, em geral, algumas dificuldades em reconhecer determinados polígonos, o
que é exigido para o nível foi contemplado, que consiste no reconhecimento por meio da
visualização e das partes físicas das figuras, bem como sua nomenclatura
Para o nível 1 – análise –, as questões foram organizadas com foco nas
propriedades e na análise dos conceitos geométricos. Buscamos identificar a
compreensão dos alunos sobre algumas propriedades e teoremas que envolvem
identificação de triângulos, análise e compreensão de polígonos, identificação de algumas
características do paralelogramo, compreensão de cálculos de área e perímetro, muito
presente nos cálculos de volume nos sólidos geométrico. Vejamos a questão:
83
Figura 9: Questão 1 - nível 1 (Q1/1)
Fonte: Questionário investigativo; organização da pesquisadora
Na Q1/1 solicitamos a nomenclatura, os conceitos do nível anterior e para além
disso, procuramos identificar se os alunos conseguem distinguir os tipos de triângulos por
suas características particulares e fazem a diferenciação.
Treze alunos responderam corretamente à questão identificando e nominando os
triângulos. Percebemos, também, que a maioria dos alunos reconheceram o triângulo
equilátero, os outros dois tiveram praticamente o mesmo percentual de identificação.
Podemos verificar que, embora os alunos identifiquem com maior facilidade o
triângulo equilátero, percebemos que na discriminação do triângulo isósceles e do
escaleno faltou o conhecimento das características específicas de cada um. Portanto o
conhecimento ligado às propriedades de cada triângulo não foram assimilados pelos
alunos.
Na questão 2 do nível 1 (Q2/1), que está relacionado à análise do polígono regular
pentágono, os alunos foram instigados a identificar os vértices, os segmentos, as
diagonais e outras propriedades do polígono. No nível 1, os alunos enxergam a figura não
mais como entidades totais, mas reconhecem que a figura tem partes e reconhecem essas
partes.
Figura 10: Questão 2 - nível 1 (Q2/1)
Fonte: Questionário investigativo; organização da pesquisadora
Obtivemos dezoito respostas corretas, ou seja, a maioria dos alunos conseguem
identificar os elementos do polígono. Um aspecto interessante nessa questão consiste em
84
perceber que, quando é apresentado polígonos regulares, os alunos tendem a reconhecer
mais facilmente o que lhes é pedido. Porém, fazendo um paralelo com os dados do nível
anterior, percebemos que alguns conceitos não foram devidamente compreendidos,
principalmente com relação aos lados de um polígono.
A questão 3 do nível 1 (Q3/1) evidencia uma subdivisão de quadriláteros, o
paralelogramo e suas propriedades, que estão presentes no quadrado, no losango e no
retângulo, que também são paralelogramos.
Figura 11: Questão 3 - nível 1 (Q3/1)
Fonte: Questionário investigativo; organização da pesquisadora.
Obtivemos quatro acertos da questão, ou seja, quatro alunos circularam a primeira,
a terceira e a quinta figura. Dentre os vinte e três restantes, dezoito circularam apenas a
primeira figura, que é a mais usual para representar esse quadrilátero. Portanto, os alunos
relacionam o paralelogramo com a sua representação usual e não com as suas
propriedades,
A questão 4 do nível 1 (Q4/1) contemplou conhecimentos relacionados a algumas
propriedades do polígono retângulo, a fim de identificar se os alunos conseguem
reconhecer as partes da figura como as diagonais, os lados, os ângulos.
Figura 12: Questão 4 - nível 1 (Q4/1)
Fonte: Questionário investigativo; organização da pesquisadora
85
Cinco alunos acertam a questão completa; onze alunos acertaram o mínimo de três
alternativas e onze alunos erraram totalmente a questão. Percebemos que os alunos têm
assimilado tais conceitos e propriedades sobre os retângulos.
A questão 5 do nível 1 (Q5/1) buscou identificar a compreensão sobre o conceito
de área e perímetro de polígonos, com suporte da malha quadriculada para facilitar a
observação sem a necessidade de um conhecimento mais estruturado, somente pela
observação e reconhecimento de algumas propriedades podem chegar ao resultado
assertivo.
Figura 13: Questão 5 - nível 1 (Q5/1)
Fonte: Questionário investigativo; organização da pesquisadora
Nessa questão tivemos apenas um aluno que acertou corretamente; dos vinte e seis
alunos que erraram, dezesseis acertaram o resultado referente ao perímetro, mas erraram
a área. Tal resultado mostra um dado preocupante com relação à compreensão de
conceitos básicos de Geometria, que são estudados desde o Ensino Fundamental.
Finalizamos nosso bloco de questões do nível 1 – análise –, o qual nos permitiu
verificar a compreensão dos alunos diante de algumas propriedades e conceitos de
polígonos. Diante do exposto, verificamos que os alunos, embora consigam identificar
algumas propriedades, ainda não apresentam de forma concludente as relações de entre
os polígonos e suas propriedades. Segundo a teoria de Van Hiele são noções exigidas no
Ensino Fundamental, pois os alunos, nessa fase, já são capazes de analisar alguns
conceitos geométricos tanto pela observação quanto pela experimentação. Portanto, do
domínio dessa noção, começam a surgir as propriedades que são utilizadas para
conceituar classes como, por exemplo, as classes dos quadriláteros que têm características
específicas e fazem parte da classe dos polígonos. Notamos, a partir dos dados, que muitos
alunos não concluíram o nível de análise, ou seja, falta-lhes alguns conhecimentos
86
referentes a geometria que os impossibilita avançar no processo de construção do
pensamento geométrico, segundo a teoria de Van Hiele.
Para o nível 2 – dedução informal – as questões foram elaboradas de forma a
identificar se os alunos conseguem deduzir e fazer ligações entre propriedades, visto que,
nesse nível, já deveriam ser capazes de fazer relações de diferentes formas geométricas,
reconhecem caraterísticas gerais e particulares do objeto, conseguem fazer inter-relações
de propriedades dentro de uma figura.
Na questão 1 do nível dois (Q1/2), que se refere à questão de soma de ângulos
internos de um polígono, foi solicitado aos alunos que indicassem dentre as alternativas
qual seria a soma do polígono dado.
Figura 14: Questão 1- nível 2 (Q1/2)
Fonte: Questionário investigativo; organização da pesquisadora
Para a questão obtivemos dezessete alunos que responderam corretamente. Tal
resultado é interessante para identificarmos que a maioria dos alunos compreendem,
primeiramente, que a soma dos ângulos internos de um triângulo deve ser igual a cento e
oitenta graus e, a partir desse conhecimento, responderam a questão corretamente.
Um dado interessante para a análise consiste nos rabiscos que os alunos fizeram
ao resolverem a questão: dos dezessete alunos que acertaram todos dividiram o polígono
em três triângulos. Ou seja, conseguiram perceber a relação que todo polígono é a
“junção” de triângulos.
Os dez erros que obtivemos como resposta à questão, a grande maioria marcou o
item que apresentava 180º. Uma possível análise das respostas consiste em concluir que
esses alunos compreendem que a soma dos ângulos internos de um triângulo é cento e
oitenta graus. No entanto, não conseguem interpretar a questão, mesmo com os dados
apresentados no enunciado.
A questão 2 no nível 2 (Q2/2) procurou identificar se os alunos têm familiaridade
com as propriedades dos quadriláteros.
87
Figura 15: Questão 2 - nível 2 (Q2/2)
Fonte: Questionário investigativo; organização da pesquisadora
Obtivemos apenas dois acertos totais como resultado, ou seja, somente dois alunos
responderam a questão de forma correta. Tivemos treze alunos que responderam à questão
parcialmente assertiva, ou seja, marcaram apenas algumas corretas; e tivemos doze erros.
O que podemos extrair de tais resultados consiste na identificação de que os alunos
apresentam muita dificuldade relacionadas às propriedades dos polígonos quadriláteros.
Ou seja, ainda não conseguem fazerem relações, pois os conceitos relacionados não estão
totalmente fixados.
Na questão 3 solicitamos ao aluno para desenhar uma figura dando-lhe apenas
uma descrição abstrata. Nessa questão, optamos por desconsiderá-la visto que, o
enunciado da questão não ficou claro e específico, a questão consta em Anexo.
Na questão 4 objetivou-se investigar algumas propriedades dos polígonos
regulares, e a noção de “todo” e “nenhum” relacionado às propriedades, abarcando
principalmente a noção de inclusão de classes que é uma característica do nível dois de
Van Hiele.
Figura 16: Questão 4 - nível 2 (Q4/2)
Fonte: Questionário investigativo; organização da pesquisadora
Na questão obtivemos um total de cinco acertos e vinte e dois erros. Diante do
resultado podemos perceber que os alunos, embora possam reconhecer em grande maioria
88
um polígono, não conseguem classificá-lo nem definir o que é polígono regular ou
irregular.
A questão 5 do nível dois (Q5/2) aborda os conceitos de polígonos convexos e não
convexos, a fim de identificarmos a compreensão dos alunos sobre essas definições.
Figura 17: Questão 5 - nível 2 (Q5/2)
Fonte: Questionário investigativo; organização da pesquisadora
Nas respostas, obtivemos o acerto foi de um aluno, ou seja, os demais não fazem
relação entre as características de um polígono convexo e o não convexo. Pode-se
concluir que os alunos apresentam conhecimentos pouco sólidos sobre o conceito de
polígonos.
O tópico sobre os conhecimentos de polígonos nos deu uma visão de quais
conhecimentos os alunos possuem sobre o assunto a fim de analisarmos de forma mais
eficiente os conhecimentos de poliedros, estudados no Ensino Médio.
Percebemos que, no nível 0, chamado de visualização, os alunos foram muitos
bons, praticamente todos responderam de forma eficiente as questões desse nível, que
correspondem à visualização, ao vocabulário geométrico e identificação de formas
específicas.
No nível 1, chamado de análise, os alunos apresentaram uma queda no
rendimento em relação ao nível anterior. Mas ainda assim, a maioria conseguiu responder
ao solicitado para o nível, que corresponde às características das figuras geométricas, às
propriedades referentes a determinadas classes, o reconhecimento das partes de uma
figura, estabelecendo relações entre algumas propriedades.
No nível 2, chamado de dedução informal, os alunos apresentaram um
rendimento inferior aos outros pouco esperado, visto que, segundo a teoria do
desenvolvimento geométrico no nível de dedução informal, os alunos do Ensino
Fundamental são totalmente aptos para desenvolver as características específicas desse
nível, que consiste em estabelecer inter-relações entre propriedades, de deduzir
propriedades de determinadas figuras e reconhecer as classes. Portanto, o esperado seria
89
que os alunos respondessem de forma mais assertiva as questões do nível dois, o que não
ocorreu, principalmente com relação ao reconhecimento de classes e o estabelecimento
de relações entre propriedades e figuras. Tal déficit pode gerar um problema na
construção de conceitos de polígonos, que exige um conhecimento dos poliedros com
suas propriedades, para assim construir o pensamento geométrico espacial com os sólidos
geométricos.
Finalizamos a discussão com uma fala do professor que retrata a necessidade dos
conhecimentos de geometria plana, para assim dar continuidade ao processo de
construção do pensamento geométrico. “(...) se o aluno não tem conhecimento de
geometria plana, fica complicado. Para ele calcular a área total de uma pirâmide, por
exemplo, deve saber como se calcula a área de um triângulo, o conhecimento é uma
construção de conceitos” (Entrevista com o professor).
4.2.2 Conhecimento de poliedros
Para facilitar a compreensão do leitor sobre a organização dos dados,
desenvolvemos um quadro explicativo que relaciona os níveis do pensamento
geométrico, suas características e os principais aspectos abordados no primeiro
questionário, que está relacionado aos conhecimentos de poliedros.
Quadro VIII: Características do nível de Van Hiele, explorados no conteúdo de poliedros
Nível Características Aspectos explorados na pesquisa
(conteúdo poliedros)
0. Visualização Reconhecem figuras por sua
forma, aparência; comparação e
nomenclatura de figuras
geométricas com base na sua
aparência global.
Reconhecimento de figuras
caracterizadas como poliedros;
reconhecimento de sólidos geométricos;
nomenclatura de alguns poliedros
relacionados a algumas características
como o número de lados.
1. Análise Reconhecem que as figuras têm
partes, e as figuras são
reconhecida por suas partes.
Reconhecimento de suas
propriedades e uso destas para
resolver problemas.
Reconhecimento das partes de um
poliedro como o vértice, as arestas, e a
nomenclatura correta. Reconhecimento
de algumas propriedades dos poliedros.
2. Dedução
informal
Estabelecem inter-relações
entre propriedades das figuras;
deduzem propriedades de
figuras e reconhecem classes de
figuras; as definições tem
significado.
Identificação de características dos
prismas e as suas propriedades
específicas; reconhecimento de noções
intuitivas da geometria.
90
3. Dedução Compreendem o sistema
axiomático; compreendem
termos não definidos como
axiomas, postulados,
definições, teoremas e
demonstrações; constrói
demonstrações de diferentes
maneiras; compreende a
interação de condições
necessárias e suficientes.
Compreensão das inter-relações entre
algumas propriedades fórmulas de
volume de poliedros; identificar os
postulados relacionados a conceitos
primitivos de geometria.
Fonte: Organização da pesquisadora
Nas questões do nível zero, buscamos contemplar, nessas questões, os
reconhecimentos dos sólidos geométricos, os poliedros e a nomenclatura em relação a
algumas características desse conceito. Isso nos permite analisar se os alunos conseguem,
por meio das figuras, identificar as que se caracterizam como sólidos geométricos.
Vejamos a primeira questão do nível zero.
1) Dentre as figuras abaixo circule os que podem ser considerados sólidos
geométricos.
Tal questão apresenta figuras planas e tridimensionais para que os alunos possam,
dentre estas, reconhecerem os sólidos geométricos por meio da visualização.
Obtivemos um total de seis acertos, ou seja, apenas seis alunos circularam a
primeira e a última figura. Vale ressaltar que nesse quesito apenas vinte e dois alunos
responderam o questionário, onze alunos circularam somente um sólido geométrico,
cinco alunos erraram a questão inteira.
Diante dos dados obtidos, podemos perceber que a maioria os alunos do terceiro
ano do Ensino Médio não conseguem identificar um sólido geométrico, dentre as figuras
planas. Segundo a teoria de Van Hiele (1957), os alunos já deveriam identificar com
maior facilidade, visto que estão na etapa final da Educação Básica e, nesse nível, segundo
Brasil (2012), o aluno deve estar capacitado a reconhecer e representar figuras planas e
espaciais.
A questão dois indica o reconhecimento dos poliedros. Para isso, os alunos devem
compreender que os poliedros são “sólidos geométricos cujas superfícies são formadas
91
apenas por polígonos (triângulos, quadriláteros, pentágonos etc.)” (IEZZI.G. et al., 2013,
p. 23).
2) Dentre as figuras abaixo, circule as que são poliedros.
Obtivemos cinco respostas assertivas, ou seja, apenas os cinco alunos circularam
a primeira e a segunda figura (o tetraedro e o cubo); oito circularam apenas o poliedro
que representa o cubo, não identificando que a pirâmide também é um poliedro.
Percebemos que a turma investigada apresentou pouco conhecimento no reconhecimento
de poliedros.
Vimos no tópico a respeito dos polígonos que os alunos não apresentam de forma
satisfatória conhecimento dos polígonos, ou seja, esse déficit no conhecimento de
polígonos acarreta dificuldade no processo de construção de conhecimento de poliedros.
Embora a questão dois esteja relacionada ao nível zero, que valoriza o reconhecimento
pela visualização das figuras em sua totalidade, percebemos que para o aluno responder
de forma correta a questão ele deveria ter um conhecimento da definição de poliedros.
Na questão três, solicitamos aos alunos que relacionassem os poliedros a seus
respectivos nomes de acordo com o número de faces, visto que, o nível zero de
visualização relaciona a nomenclatura a respectiva representação.
3) Relacione os nomes com as figuras da direita colocando a letra correspondente
ao poliedro:
(A) Octaedro ( ) ( ) ( ) ( )
(B) Dodecaedro
(C) Hexaedro
(D) Paralelepípedo
Obtivemos nove acertos, ou seja, nove alunos relacionaram os nomes aos
respectivos poliedros. Dentre os treze, que responderam à questão de forma incorreta,
tivemos acertos parciais, entre dois a três acertos.
Diante das questões de nível zero, podemos observar que os alunos apresentam
dificuldades no reconhecimento dos poliedros. Os documentos oficiais apontam que, para
92
esse nível de ensino, a visualização e o reconhecimento das figuras em sua totalidade é
uma ponte para a construção da dedução formal, que engloba a compreensão de
significados de postulados e axiomas, presentes no Ensino Médio, de modo a levar o
aluno a enxergar e reconhecer o valor de uma demonstração matemática. Devemos
relembrar o que diz a BNCC com relação aos objetivos da Geometria no Ensino Médio.
No Ensino Médio o estudo da geometria deve retomar, ampliar e sistematizar
os conhecimentos estudados anteriormente de modo a possibilitar aos
estudantes a compreensão da estrutura lógica da geometria euclidiana [...]
compreender e generalizar algumas propriedades e demonstrar alguns
teoremas (BRASIL, 2016. p. 562).
Percebemos que a finalidade da Geometria no Ensino Médio vai ao encontro do
nível três de Van Hiele, chamado de dedução. Portanto, consideramos que o rendimento
dos alunos no nível zero – visualização – está abaixo do esperado, visto que tal nível
exige apenas o reconhecimento das figuras em sua totalidade.
Retomando a fala do professor investigado, quando questionado sobre as
principais dificuldades expostas pelos alunos, apontou, justamente, a construção de
conceitos, ao enfatizar que os alunos não têm conceito formado, que não conseguem ver
as propriedades de determinadas figuras geométricas, e ainda segundo o professor, sem
conceitos matemáticos não há aprendizagem da matemática.
Partindo para as questões classificadas no nível um – análise –, a questão quatro
solicita aos alunos a compreensão de algumas propriedades em relação as figuras dos
poliedros expostos.
4) Sabendo que a nomenclatura dos poliedros se relaciona com o número de faces,
relacione:
(A) Tetraedro ( ) ( )
(B) icosaedro
Na questão quatro obtivemos um total de vinte acertos, ou seja, praticamente a
turma inteira acertou a nomenclatura com relação ao número de lados. Acreditamos que
os acertos se relacionam à percepção dos alunos com relação ao número de faces indicado
no enunciado.
93
Cabe ressaltar que estivemos em sala de aula, nos dias que o professor introduzia
os estudos de geometria espacial: os sólidos geométricos e poliedros. Durante a nossa
presença nas aulas, não foi apresentado aos alunos uma introdução do que seria poliedro,
ou seja, não houve um trabalho de apresentação das figuras. O professor trabalhou cálculo
de área de polígonos antes de entrar na geometria espacial; usou trigonometria para
encontrar a área e o apótema dos polígonos. Enfim, houve uma revisão geral da geometria
plana para assim dar início à geometria espacial.
Na questão cinco, ainda classificada no nível um, que consiste em analisar as
figuras e suas partes, solicitamos aos alunos que identificassem os vértices, as arestas e o
nome do poliedro em questão, a fim de percebermos se identificam essas partes da figura.
5) Observe a figura e complete as lacunas adequadamente:
a) Quantos vértices tem a figura? ____
b) Quantas arestas o sólido possui: ____
c) De cada vértice saem quantas arestas: ____
d) Essa figura é um poliedro denominado ___________.
Para a questão obtivemos um total de três acertos, ou seja, somente três alunos
responderam o item de a a d de forma correta. O restante dos alunos, ou sabiam identificar
os vértices, mas não identificaram as arestas; ou identificavam arestas e não identificavam
os vértices. Notamos pela quantidade de erros que os alunos não têm conhecimento das
partes de um poliedro, ou não estão familiarizados com seus nomes específicos. Cabe
ressaltar que, no dia da aplicação do questionário os alunos perguntavam se vértices eram
as pontinhas do cubo, ou seja, percebemos que os alunos ainda não estavam
familiarizados com a nomenclatura apropriada.
Partindo da análise realizada, cabe expormos uma das aulas observadas no
decorrer da coleta de dados, na qual o professor trabalhou a construção da fórmula de
volume. Coube-nos perceber como a prática do professor pode influenciar a construção
do pensamento geométrico dos alunos e como uma prática bem elaborada ajuda o
processo de assimilação do conhecimento, como a teoria de Van Hiele prevê, de acordo
com as fases de desenvolvimento propostas.
Na prática do professor identificamos algumas ferramentas utilizadas nesse
processo de construção do conhecimento geométrico com os alunos, sendo que uma delas
se refere a utilização do desenho como ferramenta pedagógica para a aprendizagem. Pais
94
(1996, p.68) afirma que “a representação dos conceitos geométricos pela utilização de
desenhos é um dos recursos didáticos mais fortemente consolidados no ensino e na
aprendizagem de geometria”.
O professor enfatizou, na aula, a importância que o desenho tem para a
compreensão de determinados conceitos geométrico, “gente, desenhar em geometria é
tão importante quanto se calcular. Sem o desenho as vezes fica difícil resolvermos ou
conseguirmos enxergar aquilo que o problema pede. A ideia de dedução de fórmulas em
geometria, passa pelo desenho” (Diário de campo, 12/12/2017). Portanto se o ensino da
Geometria trabalhar de forma correta os desenhos, as nomenclaturas, a construção dos
conceitos torna-a acessível para a construção do pensamento dos alunos.
No processo de iniciar o conteúdo, sem necessariamente mostrar de imediato a
fórmula para o aluno, mas construir e definir com eles alguns conceitos, facilita a
formulação de definições e a compreensão dos conceitos relacionados. Pais (2000) aponta
que o desenho, diferente dos modelos, constituem a representação acessível pela
sensibilidade, mas com um grau de complexidade maior, pois a exigência é maior e mais
complexa na interpretação de significados, principalmente quando se trata de figuras
espaciais.
O que podemos notar, tanto na observação em sala de aula como na fala do
professor nas entrevistas, é que sua postura vem ao encontro da concepção de ensinar
definida por Lorenzato (2010) que considera necessário dar condições para que o aluno
construa seu próprio conhecimento e com a teoria de Van Hiele na qual os alunos são
motivados a subir de um nível para o outro. Para que este progresso aconteça devem ser
impulsionados pelas metodologias e incentivos norteados pela escola e pelo professor,
principalmente.
Figura 18 – Volume do Paralelepípedo
Fonte: Arquivo da pesquisadora
95
Na questão seis, que corresponde ao nível um, foi solicitado aos alunos que
respondessem verdadeiro ou falso para algumas afirmações referentes aos poliedros
regulares.
6) Marque V (verdadeiro) e F (falso) para as afirmações referentes aos poliedros
regulares:
a) ( ) é um sólido com três dimensões.
b) ( ) um poliedro convexo é regular quando todas as suas faces são polígonos
regulares congruentes e de todos os vértices saem o mesmo número de
arestas.
c) ( ) arestas são todas as faces do poliedro.
d) ( ) as faces de um poliedro sempre são polígonos.
Obtivemos nas respostas dois acertos totais; quatorze acertos parciais, ou seja, os
alunos acertaram algumas afirmativas; seis erros.
Vale ressaltar uma das características exploradas do nível um, da teoria do
desenvolvimento do pensamento geométrico de Van Hiele, consiste em que as
propriedades são apresentadas para conceituar classes de configurações, ou seja, o aluno
identifica a propriedade de uma referida classe, mas ainda não tem clareza de demonstrá-
la. Como exemplo temos as propriedades do poliedro regular que tem características
próprias, que foram exploradas na questão seis.
Notamos com os dados numéricos, da questão, uma ausência de um conhecimento
mais expressivo no que se refere às propriedades dos poliedros. Tendo em vista que tanto
a teoria de Van Hiele como os documentos oficiais preconizam que essas habilidades
deveriam ser expressas por alunos do Ensino Médio, como exposto anteriormente, causa-
nos estranheza a falta de domínio dos alunos investigados
Diante das questões do nível um e com os resultados apontados na pesquisa,
podemos notar que os alunos apresentam dificuldades ao reconhecer as partes dos
poliedros e algumas propriedades, como foram propostas as atividades do nível um.
Portanto consideramos que para o nível um, os resultados dos alunos não foram
satisfatórios
A questão sete se caracteriza no nível dois - dedução informal. Os alunos no nível
um conhecem as propriedades dos poliedros, deduzem as propriedades e reconhecem as
classes e a inclusão é compreendida. Na referida questão é solicitado que, dentre as
figuras expostas, os alunos circulassem as que poderiam representar um prisma, sólido da
classe dos poliedros.
96
7) Dentre as figuras abaixo circule as que podem serem consideradas um prisma.
Como respostas obtivemos nove acertos, entre os vinte e dois que realizaram a
questão. Nossa análise revela que os alunos sentem dificuldades em compreender o que
seja um prisma, pois a maioria não conhece o conceito de poliedros.
Na questão oito, solicitamos aos alunos o reconhecimento de algumas
propriedades do prisma, visto que tais propriedades foram apresentadas no decorrer das
aulas do professor e estão presentes do livro didático. Foram explorados elementos como
superfície lateral, faces paralelas, o conceito de prismas regulares e oblíquos, vejamos a
questão:
8) Em relação aos prismas é correto afirmar que:
a) O prisma reto é aquele cujas arestas laterais são perpendiculares em relação a
base.
b) Prisma regular são prismas de arestas oblíquas as suas bases
c) A superfície lateral de um prisma é a soma da área de suas faces laterais e
suas bases.
d) A superfície total de um prisma refere-se a soma da área de todas as faces
laterais.
Como resultado obtivemos nove acertos, ou seja, menos da metade da turma
conseguiu identificar as propriedades e os elementos dos prismas. Percebemos que o
rendimento dos alunos é rebaixado quando solicitamos que reconheçam algumas
propriedades específicas do conteúdo explorado na pesquisa. Tal dado relaciona-se com
a fala dos alunos ao serem questionados sobre a importância de estudar Geometria e a
recordação dos estudos anteriores. A maioria dos alunos responderam não memorizaram
nada sobre os estudos de Geometria e àqueles que responderam, limitaram-se às figuras
como triângulos e círculos, ou área e volume.
Diante das repostas dos questionários percebemos que a construção de conceitos
pelos alunos foi de alguma forma prejudicada. Ainda que os documentos expressem que
o Ensino Médio é a etapa que deve oferecer ao aluno condições para ampliar, consolidar
e complementar sua formação escolar, percebemos que, no âmbito dos conhecimentos
97
geométricos, os alunos têm dificuldade muito grande de progredir no domínio de
conceitos e assim, elevar o nível de aprendizagem.
A questão nove, busca explorar os conhecimentos intuitivos de Geometria sobre
ponto, reta e plano.
9) Com relação aos conhecimentos intuitivos de geometria marque V (verdadeiro)
e F (falso) nas afirmativas abaixo:
a) ( ) espaço é o conjunto formado por todos os pontos.
b) ( ) retas concorrentes são duas retas que tem todos os pontos em comum.
c) ( ) por dois pontos distintos passa uma única reta.
d) ( ) três pontos colineares definem um plano.
e) ( ) três pontos não colineares definem um plano.
Obtivemos dois acertos totais para a questão, ou seja, apenas dois alunos
responderam corretamente os itens; sete acertos parciais, ou seja, sete alunos acertaram
entre dois e três itens; treze alunos erraram a questão. Percebemos que os alunos não têm
conhecimentos dos conceitos primários de Geometria que implica em um conhecimento
geométrico de percepção espacial e visão intuitiva poucos explorados no decorrer do
Ensino Básico. As posições relativas entre ponto, reta e plano trabalhada no Ensino
Fundamental quando se faz o estudo das posições relativas de pontos e retas de um mesmo
plano a fim de que nos estudos de Geometria no Ensino Médio surjam novas relações
estudadas no plano, entre reta e plano e dois planos.
A questão, dez classificada no nível três, chamada de dedução, foi trazida para
investigação dos conceitos de volume de um cubo e a inter-relação com entre o tamanho
da aresta e seu volume.
10) Sabendo que o volume de um cubo, cuja aresta mede 3 cm é 27cm2. O que
acontece com o volume se a aresta dobrar de tamanho?
a) O volume dobra.
b) O volume permanece o mesmo.
c) O volume é triplicado.
d) O volume fica oito vezes maior.
O total de acertos na questão foi somente por dois alunos, tendo em vista que a
grande maioria deles responderam que o volume dobra. Esses resultados nos permitem
fazer a análise de que os alunos não têm a compreensão da relação entre a medida da
aresta e o volume, ou seja, dada uma aresta a, o volume de um cubo consiste em a3 se a
aresta dobra de tamanho o volume necessariamente fica oito vezes maior pois, (2a)3 é
98
igual a 8a3. Para que o aluno acertasse a questão ele deveria ter a noção de como se calcula
o volume do cubo e fazer a relação com a aresta que dobra de tamanho.
No entanto, percebemos que os aluno não conseguiram fazer essa relação, pois
somente os dois que acertaram a questão lograram relacionar os conhecimentos exigidos
para a efetiva resolução correta da pergunta. Diante disso, pode-se concluir que os alunos
apresentam dificuldades em trabalhar com conceitos de volume e fórmulas, relacionando
propriedades e habilidades das relações entre conceitos e fórmulas.
Tais habilidades encontram-se contempladas no nível três da teoria de Van Hiele,
em que o aluno se encontra capaz de raciocinar no contexto de um sistema matemático
formal, ou seja, estabelecendo relações e desenvolvendo sequências e afirmações
advindas de outras, bem como utilizando as propriedades e fórmulas para realização de
demonstrações e deduções lógicas e formais (COSTA, 2016). Notamos que essas
habilidades não foram demonstradas pelos alunos ao responderem a questão, visto que a
grande maioria não conseguiu trabalhar e deduzir a fórmula do volume.
A questão onze também versa sobre o cálculo de volume do cubo, buscando trazer
esse conteúdo, pois o professor estava trabalhando justamente o volume dos sólidos
geométricos com os alunos.
11) Calcule a medida da aresta de um cubo cujo volume é 343cm2:
a) 4 cm
b) 5 cm
c) 6 cm
d) 7 cm
Na questão o total de acertos foi de apenas quatro, diferente da questão anterior
não apresentamos o comprimento da aresta, somente o volume. Para responder à questão
o aluno deveria conhecer a fórmula do volume do cubo para, a partir de então, identificar
a aresta. Na figura, a seguir, notamos como uma das alunas respondeu corretamente a
questão.
99
Figura 19: Resolução pela aluna da questão onze
Fonte: Arquivo da pesquisadora.
Podemos observar que a aluna conhece o caminho para chegar ao cálculo do
volume do cubo, reconhece a fórmula, aplica-a e, a partir disso, consegue fazer relações
para chegar ao resultado assertivo. Os demais alunos não conseguiram identificar a
fórmula para o cálculo do volume e não desenvolveram e nem fizeram as relações
devidas. No Ensino Médio, uma das noções fundamentais da Geometria é a compreensão
das propriedades e da inter-relação estabelecidas entre as classes.
Aprofundando as análises que trouxemos, o professor de Matemática, em
entrevista apontou que a principal dificuldade encontrada pelos alunos reside na formação
de conceitos. O aluno não compreende que “a geometria assim como as outras áreas
também deixa rastros e, há pouco tempo ensinávamos a matemática como algo isolado,
se você trabalha geometria espacial, mas o aluno não conhece nada de geometria plana,
acabou para ele! Como vai calcular o volume do cubo, por exemplo.” (Entrevista com o
professor).
Na questão doze do nível três, abordamos as posições de retas no espaço a fim de
verificamos o conhecimento abstrato dos alunos sobre os conceitos primitivos da
Geometria, que requerem abstração mais apurada, condizente com o nível em questão.
12) Sejam as retas a, b e c no espaço. Seja a perpendicular a b e c perpendicular a a.
Que se pode concluir em relação às posições relativas das retas b e c.
a) As restas b e c são paralelas.
b) As retas b e c são concorrentes.
c) A reta b é perpendicular à reta c.
d) A reta c é perpendicular à reta b.
Para a questão tivemos um total de cinco acertos, dos vinte e dois alunos que a
responderam. Verificou-se que a compreensão dos alunos, quando são tratados os
100
conceitos intuitivos de Geometria, é inferior ao que se espera tanto para o nível três de
Van Hiele, como para o Ensino Médio.
No Ensino Médio o estudo da geometria deve retomar, ampliar e sistematizar
os conhecimentos estudados anteriormente de modo a possibilitar aos
estudantes a compreensão da estrutura lógica e da geometria euclidiana [...]
compreender e generalizar algumas propriedades e demonstrar teoremas
(BRASIL, 2016, p. 562).
O que o documento da BNCC frisa é que o domínio de conteúdos de Geometria
no Ensino Médio deveria ir ao encontro do nível correspondente da teoria de Van Hiele,
que visa a relação que o aluno deve fazer entre as propriedades na realização de
demonstrações específicas.
Essa proficiência insuficiente implica que os alunos não desenvolveram as
habilidades geométricas de forma satisfatória. O Ensino Médio, como apontado,
anteriormente tem sido o gargalo da Educação Básica.
Segundo a pesquisa de Leseux (2017), que investigou os desafios da
aprendizagem Matemática no Ensino Médio, ela é reflexo da aprendizagem insuficiente
da Matemática do Ensino Fundamental. O autor explica, ainda, que a não aprendizagem
da Matemática no Ensino Fundamental demonstrar que os objetivos estabelecidos pelo
sistema de ensino para seu ensino não estão sendo atingidos de maneira significativa. Os
alunos apresentam, portanto, fragilidades e lacunas que precisam ser superadas para que
de fato as capacidades básicas sejam desenvolvidas em todas as etapas de ensino. Ou seja,
para garantir a continuidade da aprendizagem Matemática no Ensino Médio é necessário
repensar a organização do Ensino Fundamental pois, para efetivar os conhecimentos
nessa etapa de ensino só será possível quando, de fato, os conhecimentos forem
desenvolvidos na etapa anterior.
Diante dos dados expostos e analisados no presente eixo, podemos notar que os
alunos do Ensino Médio da escola investigada apresentam pouco conhecimento sobre
poliedros e polígonos.
Cabe reafirmar que a finalidade do Ensino Médio é consolidar uma formação
científica para que o aluno possa aplicar os conhecimentos matemáticos em situações
diversas, expressar argumentações matemáticas de formar oral, escrita e gráfica,
estabelecer relações entre os conceitos matemáticos com outras áreas do conhecimento.
Percebemos, no entanto, que a grande maioria dos alunos não estão familiarizados
com as figuras geométricas e suas propriedades, ou seja, chegam no final do Ensino
101
Médio sem os conhecimentos básicos de determinadas propriedades de figuras
geométricas, sejam elas, planas ou espaciais.
Desse modo, com os dados produzidos na presente pesquisa podemos concluir
que a evolução do pensamento geométrico dos alunos não se consolidou de forma
eficiente no Ensino Médio, tendo em vista que os alunos não conseguem definir,
estruturar e organizar informações geométricas de modo a dar sequência no
desenvolvimento do pensamento geométrico, de acordo com os níveis desenvolvidos por
Van Hiele, quais sejam: a visualização, a análise, a dedução informal e dedução.
102
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao final da exposição de nossa pesquisa retomamos, brevemente, o percurso que
nos possibilitou chegar às considerações finais e reafirmar as motivações que nos
mobilizaram para a investigação, que se construiu e consolidou ao longo da experiência
pessoal, acadêmica e profissional.
No que se refere a experiência acadêmica, a proximidade com o objeto de estudo
– o pensamento geométrico –, alicerça nossa busca pela compreensão das causas da não
aprendizagem de Geometria no Ensino Fundamental, que nos possibilitou o
aprofundamento sobre o objeto de estudo e abriu portas para continuar a pesquisa voltada
para a Geometria, agora no Ensino Médio, tomando por base os níveis de Van Hiele.
Durante a experiência profissional percebi a necessidade de se trabalhar de forma
significativa os conteúdos geométricos na Educação Básica, visto que, os alunos
continuavam apresentando dificuldades em compreender a Geometria. Diante desta
percepção temos como contexto da pesquisa o Ensino Médio, que nos possibilitou
pesquisar a temática e do qual emergiu a questão norteadora da investigação; Que
conhecimentos geométricos sobro polígonos e poliedros são apresentados por alunos do
Ensino Médio?
Definido o problema a ser pesquisado, iniciamos o levantamento dos dados que
teve como foco o conhecimento geométrico dos conteúdos de polígonos e poliedros pelos
alunos do terceiro ano do Ensino Médio. Nos deparamos com a necessidade de pesquisa
nessa temática que visa a consolidação de um processo de ensino de Geometria eficiente
para o desenvolvimento do pensamento geométrico dos alunos.
Para responder nosso problema de investigação consideramos importante
investigar as dificuldades apresentadas pelos alunos do Ensino Médio sobre Geometria
na visão do professor de Matemática; também consideramos importante identificar o que
os alunos compreendem sobre a Matemática e a Geometria ensinada Educação Básica;
por fim buscamos analisar a compreensão dos alunos sobre os conteúdos de polígonos e
poliedros, conteúdos ensinados no Ensino Médio.
Para produção de dados utilizamos os seguintes instrumentos: questionário de
caracterização do professor e dos alunos, entrevista semiestruturada, questionário, diário
de campo.
103
Nesse sentido, nossa investigação engloba a o pensamento geométrico dos
alunos., entendemos como a forma de raciocinar e elaborar estratégias para solucionar
qualquer tipo de problemas que engloba raciocínio geométrico.
A partir dos dados elegemos dois eixos temáticos para análise: Compreensões do
professor e dos alunos sobre o pensamento geométrico; Os conhecimentos geométricos.
O primeiro eixo de análise subdividimos em dois subeixos, o primeiro aborda a
importância do pensamento geométrico na perspectiva do professor. Sobre essa questão
achamos pertinente ouvir a voz do professor que ensina Geometria, suas compreensões
sobre a importância do pensamento geométrico bem como a necessidade de compreensão
por parte dos alunos.
As informações coletadas na pesquisa nos conduziram a compreender que ensino
de conceitos geométricos na escola de Educação Básica vai além de definições ou estudo
de determinadas propriedades geométricas. O pensamento geométrico torna-se
compreensível quando a prática em sala de aula ultrapassa as atividades pedagógicas que
visam somente a memorização de definições de fórmulas.
Em relação a compreensão do professor investigado sobre o pensamento
geométrico, os resultados demonstram uma relação com a Geometria e sua praticidade
concreta para atividades do dia-a-dia, e também a importância na dedução de fórmulas,
construção de conceitos. Ou seja, para o professor a Geometria tem importância porque
produz a possiblidade de utilizá-la nas atividades concretas e como potencializadora do
processo de construção da Matemática.
Sobre a finalidade da Geometria para a formação do aluno, o professor aponta a
necessidade de um conhecimento que lhe traga liberdade, um conhecimento para a vida,
pois o pensamento geométrico deve ampliar a visão de mundo do aluno.
Assumindo essa compreensão, tomamos por base o que dizem os documentos
oficiais ao relatarem a importância de um conhecimento matemático que dê liberdade ao
aluno, de pensar e agir na sociedade na qual está inserido, podendo mudar sua realidade,
pela via do conhecimento e pensamento matemático.
Sobre as dificuldades que os alunos apresentam o professor foi enfático ao
relacionar a não formação de conceitos, ou seja, os alunos chegam no Ensino Médio sem
o domínio de conceitos simples e básicos de Geometria, por isso há grande dificuldades
em desenvolver a continuidade dos conhecimentos geométricos e consolida-los nessa
etapa de ensino.
104
Sobre a compreensão dos alunos no que se refere a Matemática e a Geometria, os
dados apontaram para três relações sobre a Matemática: a matemática, o trabalho e
profissão; matemática com ciência e matemática como conteúdo escolar. Diante dessas
relações que os alunos indicaram, vale destacar que demonstram os significados que
associam ao aprender Matemática.
No que se refere aos conceitos próprios de Geometria, notamos pouco
conhecimento de determinados conceitos envolvendo os poliedros e polígonos. Verifica-
se ausência de uma compreensão mais solidificada, de um pensamento geométrico mais
elaborado com deduções de fórmulas, relação entre propriedades, entre outros. Diante dos
dados apontados podemos inferir que os alunos pesquisados não tiveram um contato
expressivo e significativo com a Geometria na Educação Básica.
No segundo eixo de análise, que se refere aos conhecimentos geométricos de
polígonos e poliedros, em relação aos polígonos, a pesquisa trabalhou com os níveis de
zero ao nível dois da teoria de Van Hiele, explorando aspectos como: o reconhecimento
de polígonos, a nomenclatura dos polígonos, reconhecimento das partes de um polígono,
reconhecimento de perímetro e área de um polígono, soma de ângulos internos, divisão
de polígonos em outros.
Os dados apontaram para um desempenho abaixo do esperado, na maioria dos
níveis analisados. No nível 0 - visualização –, que consiste na visualização e
reconhecimento de figuras, notamos que alunos, embora demonstrem algumas
dificuldades em reconhecer determinados polígonos, no geral, o que foi exigido para esse
nível foi contemplado.
Para o nível 1 – análise –, como apontaram os dados, verificamos que os alunos
embora consigam identificar algumas propriedades ainda não apresentam de forma
concludente as relações de entre os polígonos e suas propriedades. Segundo a teoria de
Van Hiele e o exigido para o Ensino Fundamental, os alunos nessa fase já são capazes de
analisar alguns conceitos geométricos tanto pela observação quanto pela experimentação,
portanto começam a surgir as propriedades que são utilizadas para conceituar classes
como, por exemplo, as classes dos quadriláteros que têm características específicas e
fazem parte da classe dos polígonos. A maioria dos alunos conseguiram passar pela fase
de análise, embora com algumas dificuldades.
Sobre o nível 2 – dedução informal –, os dados apontaram para um rendimento
ainda mais inferior aos outros níveis, visto que, segundo a teoria do desenvolvimento
105
geométrico no nível de dedução informal, os alunos do Ensino Fundamental são
totalmente aptos para desenvolver as características específicas desse nível, que
consistem em estabelecer inter-relações entre propriedades, são capazes de deduzir
propriedades de determinadas figuras e reconhecer as classes.
Portanto, o esperado seria que os alunos respondessem de forma mais assertiva as
questões do nível dois, o que não ocorreu, principalmente com relação ao reconhecimento
de classes e o estabelecimento de relações entre propriedades e figuras. Tal déficit pode
gerar um problema na construção de conceitos de polígonos, que exige um conhecimento
dos poliedros com suas propriedades, para assim construir o pensamento geométrico
espacial com os sólidos geométricos.
Sobre os conhecimentos de poliedros, exploramos os quatro níveis de Van Hiele,
a visualização, a análise, a dedução informal e a dedução (nível que os alunos deveriam
atingir ao concluírem o Ensino Médio). Os aspectos explorados na pesquisa, que
correspondem aos níveis acima expostos, são: reconhecimento de poliedros,
nomenclatura dos sólidos geométricos, identificação das partes de um poliedro como o
vértice, as arestas, os lados, identificação de prismas regulares e as noções intuitivas da
geometria.
Diante das questões de nível zero, os dados apontaram que os alunos apresentaram
dificuldades no reconhecimento dos poliedros. Os documentos oficiais apontam que,
nesse nível de ensino, a visualização e o reconhecimento das figuras em sua totalidade é
uma ponte para a construção da dedução formal, que engloba a compreensão de
significados de postulados e axiomas, presentes no Ensino Médio, de modo a levar o
aluno a enxergar e reconhecer o valor de uma demonstração matemática.
Podemos inferir, de acordo com os dados analisados que, nas questões do nível
um, se verifica a ausência de um conhecimento mais expressivo no que se refere às
propriedades dos poliedros, tendo em vista que a teoria de Van Hiele como também os
documentos oficiais preconizam que tais habilidades deveriam ser expressas pelos alunos
do Ensino Médio.
Sobre o nível dois, da teoria de Van Hiele, os dados apontaram que a construção
de conceitos dos alunos sobre poliedros não se confirmou. Os alunos mostram muita
dificuldade em identificar um prisma e fazer determinadas relações com as propriedades,
bem como com relação aos conhecimentos intuitivos de Geometria, apresentaram pouco
conhecimento.
106
No que se refere ao nível três, os dados apontam para que os alunos não
desenvolveram as habilidades geométricas de forma satisfatória. O Ensino Médio, como
apontado nos capítulos anteriores, foi apontado como o gargalo da Educação Básica,
dentre outras áreas de conhecimento, também na Geometria.
Diante dos dados expostos no eixo II, podemos notar que os alunos do Ensino
Médio da escola investigada apresentam pouco conhecimento em poliedros e polígonos.
Tendo em vista que a finalidade do Ensino Médio é consolidar uma formação científica
para que o aluno possa aplicar os conhecimentos matemáticos em situações diversas,
expressar argumentações matemáticas de formar oral, escrita e gráfica, que possa
estabelecer relações entre os conceitos matemáticos com outras áreas do conhecimento,
seu domínio da Geometria e da Matemática mostrou-se insuficiente.
Percebemos que a grande maioria dos alunos não estão familiarizados com as
figuras geométricas e suas propriedades, ou seja, chegam no final do Ensino Médio sem
os conhecimentos básicos de determinadas propriedades de figuras geométricas, sejam
elas, planas ou espaciais.
Desse modo, com os dados produzidos na presente pesquisa podemos notar que a
evolução do pensamento geométrico dos alunos não se consolida de forma eficiente no
Ensino Médio, tendo em vista que não conseguem definir, estruturar e organizar
informações geométricas de modo a dar sequência no desenvolvimento do pensamento
geométrico, de acordo com os níveis desenvolvidos por Van Hiele, ou seja, a visualização,
a análise, a dedução informal e dedução.
A formação inicial e continuada de professores de Matemática sobre a teoria de
Van Hiele, pode favorecer para a melhoria no ensino de Geometria em nossas escolas
pois, permitiria a compreensão dos níveis de desenvolvimento do pensamento
geométrico, por parte dos professores, permitindo o conhecimento e déficits que os alunos
apresentam sobre os conhecimentos geométricos, a fim de direcionar para um
planejamento e uma prática pedagógica significativa para o processo de construção e
consolidação do pensamento geométrico dos alunos. Cabe refletir também sobre as
mudanças nos currículos do Ensino Fundamental e Médio; seria somente o currículo o
único elemento a ser enfrentado quando se discuti sobre o ensino aprendizagem de
matemática? Seria a BNCC a salvadora do ensino de Matemática na Educação Básica?
Esses questionamentos nos levam a impulsionar e gerar novas pesquisas relacionadas ao
ensino de Geometria e as mudanças na Educação Básica.
107
Refletir sobre a história da Matemática, da Geometria e da própria Educação
Matemática também é de extrema importância nos processos de formação de conceitos
geométricos, pois conhecendo o processo de construção de determinados conhecimentos
permite ressignificar conceitos e procurar meios para um ensino que oferecido aos nossos
alunos de forma significativa.
Por fim, a contribuição da pesquisa dentro do cenário da educação escolar mato-
grossense indica a necessidade de melhorar o ensino de Geometria em toda Educação
Básica, para assim melhorar o pensamento geométrico/aprendizagem da geometria dos
alunos do Ensino Médio.
108
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112
ANEXO A – Questões do nível 0 (polígonos)
113
ANEXO B – Questões do nível 1 (polígonos)
114
ANEXO C – Questões do nível 2 (polígonos)
115
APÊNDICE A – Autorização do diretor
AUTORIZAÇÃO DO DIRETOR
Eu, ____________________________________________________diretor (a)
da Escola _______________________________________________________.
Autorizo a realização das atividades de pesquisa pela aluna do Programa de Pós-
Graduação em Educação (Mestrado) da Universidade Federal de Mato Grosso: KÁSSIA
ANITA DE FREITAS RODRIGUES FERREIRA. Para tanto, autorizo o acesso da
referida aluna na sala de aula do Ensino Médio para realização da observação participante,
análise de documentos da escola, do professor e dos alunos produzidos no ano letivo de
2016 e 2017, nesta instituição escolar, bem como a utilização das informações concedidas
em questionários e entrevista, como fonte de pesquisa para sua dissertação.
Campo Novo do Parecis – MT, ___de______________ de 2016.
__________________________________
Carimbo e assinatura do (a) Diretor (a)
116
APÊNDICE B – Autorização para a pesquisa (professor)
Senhor (a) Professor (a),
Solicitamos a autorização para que a aluna, Kássia Anita de Freitas Rodrigues
Ferreira, mestranda do Programa de Pós-Graduação em Educação, da Universidade
Federal de Mato Grosso, cuja orientação encontra-se sob a responsabilidade da Prof. Dr.
Adelmo Carvalho da Silva, realize a pesquisa, que tem como objeto “Conhecimento de
Geometria espacial dos alunos do Ensino Médio regular de escolas públicas de Campo
Novo do Parecis”.
Para o desenvolvimento da pesquisa solicitamos a autorização para realizar a
observação participante em sua sala de aula no período de ________________ a
________________. Além disso, solicitamos a colaboração da professora para conceder-
nos entrevista gravada, responder aos questionários, permitir o acesso planejamento anual
e possíveis atividades dos alunos produzidas durante o ano letivo de 2016, que se
constituem em fonte de dados para a nossa dissertação.
Os dados disponibilizados não serão repassados a terceiros. Caso estes dados
sejam utilizados na dissertação, os nomes da escola, da professora e alunos serão mantidos
em absoluto anonimato.
Certas de sua especial atenção, agradecemos antecipadamente.
______________________________________________
Orientador: Prof. Dr. Adelmo Carvalho da Silva
________________________________________________
Mestranda: Kássia Anita de Freitas Rodrigues Ferreira
117
APÊNDICE C – Questionário de caracterização do professor
CARACTERIZAÇÃO DO PROFESSOR
1. Dados Pessoais
a) Nome completo:________________________________________________
b) Data de nascimento: _________ c) Naturalidade:________ d) efetivo ( )
interino ( )
Telefone:_______________________celular:_____________________
E-mail:____________________________________________________
2. Formação Acadêmica
a) Curso de
Graduação:__________________Instituição:______________________
Ano de Ingresso:_____ Ano de conclusão:_______
Cidade/Estado:_____________
b) Pós-Graduação: ( ) Especialização ( ) Mestrado ( ) Doutorado
Curso:______________________Instituição_____________________
Ano de Ingresso:_______________Ano de conclusão:_____
Cidade/Estado:______
3. Experiência profissional
a) Qual o nome da(s) escolas em que você trabalha atualmente como professor?
Há quanto tempo trabalha como professor(a) de matemática? Já lecionou em
outras disciplinas?
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
b) Níveis de Ensino em que atua: ( ) Ensino Fundamental ( ) Ensino
Médio ( ) Educação de Jovens e Adultos.
118
c) Dos níveis acima citado qual deles você prefere e/ou tem afinidade em
lecionar? Por quê?
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
d) Qual a sua jornada de trabalho semanal?_____________________________
e) Você exerce outra função além de professor(a)?
Qual?____________________
Campo Novo Do Parecis – MT, ____de_________________de 20___
Assinatura do Professor: ______________________________________
119
APÊNDICE D – Caracterização dos alunos
CARACTERIZAÇÃO DO ALUNO
1 Dados Pessoais
a) Nome completo:_______________________________________________
b) Data de nascimento:_________ c) Naturalidade:________
c) Telefone:_______________________celular:________________________
d) Email:________________________________________________________
2 Dados familiares
a) Mora com pai e mãe? Sim ( ) Não ( ),
outro:____________________________
b) Quantas pessoas trabalham na sua
família?_____________________________
c) Você nasceu nesta cidade? Sim ( ) Não ( ). Se respondeu não, de qual
estado você
é?_________________________________________________________
d) Qual o motivo da mudança de sua família para esta
cidade?____________________________________________________
3 Vida escolar e perspectivas futuras
a) Gosta de estudar matemática? Por
quê?__________________________________________________________
_____________________________________________________________
b) Nas aulas de matemática durante sua formação no ensino fundamental e
médio, o que você recorda sobre o estudo de
120
GEOMETRIA?_________________________________________________
_____________________________________________________________
c) Diga-me se você considera importante estudar os conceitos geométricos e por
quê?__________________________________________________________
_____________________________________________________________
d) Qual profissão gostaria você de ter no
futuro?_____________________________
e) Você tem computador em casa?______________________,tem
celular?________
f) Você acredita que a matemática é importante para a sua formação e
construção profissional? Por quê?____________________________
Campo Novo Do Parecis – MT, ____de_________________de 20___
Assinatura do aluno:______________________________________
121
APÊNDICE E – Roteiro de entrevista com o professor
ROTEIRO PARA ENTREVISTA – PROFESSOR
O presente roteiro tem como objetivo subsidiar-nos em relação à
entrevista que se estrutura a partir de três blocos:
1-
2- Identificação do sujeito, formação escolar, formação continuada e
experiência profissional;
2- Ensino de Geometria nas propostas curriculares;
3- O pensamento geométrico dos alunos;
1- BLOCO 1 – Identificação do sujeito, formação escolar, formação
continuada e experiência profissional;
a) Identificação do participante;
b) Como foi sua vida escolar, onde estudou? Você gostava de
Matemática? Por quê?
c) Por que escolheu ser professor(a)?
d) Fale-me sobre o ensino de geometria vivenciado por você na educação
básica: Sentiu alguma dificuldade? Utilizou alguns instrumentos de desenho?
122
O que mais te marcou nessas aulas? Você acredita que a experiência vivida na
Educação Básica reflete na sua prática ao ensinar geometria?
d) Fale-me sobre o seu contato com a geometria, na sua formação
superior. O que aprendeu? Teve dificuldades? Como os professores ensinavam
geometria?
e) Você prefere ensinar geometria no Ensino Fundamental ou no Ensino
Médio? Por quê?
BLOCO 2 – Ensino de Geometria;
a) Qual a importância da compreensão do pensamento geométrico pelo
aluno?
b) A aprendizagem da geometria implica na compreensão de relações e
linguagem da geometria?
c) O que dificulta ou facilita a prática de ensinar geometria na sala de aula?
d) O livro didático utilizado pela escola contempla o que você acredita ser
necessário para ensinar geometria?
e) Quais as dificuldades apresentadas pelos seus alunos ao estudarem
geometria na escola?
f) Como você avalia o processo de ensino e aprendizagem da geometria na
sala de aula?
BLOCO 3 – Pensamento geométrico dos alunos
a) Quais dificuldades os alunos apresentam no processo de compreensão de
questões que envolvam conceitos geométricos?
b) Quais dificuldades os alunos apresentam ao estudar geometria espacial?
c) Você acredita que a utilização de instrumentos e ferramentas
pedagógicas como compasso, régua, transferidor e multimídia
123
(GeoGebra, e outros) podem ser um facilitador da aprendizagem
significativa da geometria?
d) A prática pedagógica do professor pode influenciar na aprendizagem de
geometria dos alunos? Por quê?
124
APÊNDICE F – Questionário dos níveis (poliedro)
Questões investigativas – Geometria espacial
Aluno(a):__________________________________________Idade:__________
1) Dentre as figuras abaixo circule os que podem ser considerados sólidos
geométricos.
2) Dentre as figuras abaixo, circule as que são poliedros.
3) Relacione os nomes com as figuras da direita colocando a letra correspondente
ao poliedro:
(E) Octaedro ( ) ( ) ( ) ( )
(F) Dodecaedro
(G) Hexaedro
(H) Paralelepípedo
4) Sabendo que a nomenclatura dos poliedros se relaciona com o número de faces,
relacione:
(A) Tetraedro ( ) ( )
(B) icosaedro
5) Observe a figura e complete as lacunas adequadamente:
e) Quantos vértices tem a figura?_____
f) Quantas arestas o sólido possui:____
g) De cada vértice saem quantas arestas:____
h) Essa figura é um poliedro denominado___________.
125
6) Marque V (verdadeiro) e F (falso) para as afirmações referentes aos poliedros
regulares:
e) ( ) ...é um sólido com três dimensões.
f) ( ) um poliedro convexo é regular quando todas as suas faces são polígonos
regulares congruentes e de todos os vértices saem o mesmo número de
arestas.
g) ( ) arestas são todas as faces do poliedro.
h) ( ) as faces de um poliedro sempre são polígonos.
7) Dentre as figuras abaixo circule as que podem serem consideradas um prisma.
8) Em relação aos prismas é correto afirmar que:
e) O prisma reto é aquele cujas arestas laterais são perpendiculares em relação a
base.
f) Prisma regular são prismas de arestas oblíquas as suas bases
g) A superfície lateral de um prisma é a soma da área de suas faces laterais e
suas bases.
h) A superfície total de um prisma refere-se a soma da área de todas as faces
laterais.
9) Com relação aos conhecimentos intuitivos de geometria marque V (verdadeiro)
e F (falso) nas afirmativas abaixo:
f) ( ) espaço é o conjunto formado por todos os pontos.
g) ( ) retas concorrentes são duas retas que tem todos os pontos em comum.
h) ( ) por dois pontos distintos passa uma única reta.
i) ( ) três pontos colineares definem um plano.
j) ( ) três pontos não colineares definem um plano.
10) Sabendo que o volume de um cubo, cuja aresta mede 3 cm é 27cm2. O que
acontece com o volume se a aresta dobrar de tamanho?
e) O volume dobra.
f) O volume permanece o mesmo.
g) O volume é triplicado.
h) O volume fica oito vezes maior.
11) Calcule a medida da aresta de um cubo cujo volume é 343cm2:
e) 4 cm
126
f) 5 cm
g) 6 cm
h) 7 cm
12) Sejam as retas a,b e c no espaço. Seja a perpendicular a b e c perpendicular a a.
Que se pode concluir das posições relativas das retas b e c.
e) As restas b e c são paralelas.
f) As retas b e c são concorrentes.
g) A reta b é perpendicular à reta c.
h) A reta c é perpendicular à reta b.