penyelesaian persamaan gelombang elastis …
TRANSCRIPT
i
TESIS
PENYELESAIAN PERSAMAAN GELOMBANG ELASTIS MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA GRID SELANG-
SELING: ASPEK MATEMATIKA DAN ASPEK PENDIDIKANNYA
MARIA YULIANI DANGGO
161442014
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM MAGISTER
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2018
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
THESIS
SOLUTION TO THE ELASTIC WAVE EQUATION USING A STAGGERED GRID FINITE DIFFERENCE METHOD: MATHEMATICAL ASPECTS AND ITS EDUCATIONAL
ASPECTS
MARIA YULIANI DANGGO
161442014
MASTER OF MATHEMATICS EDUCATION PROGRAM
MATHEMATICS AND SCIENCE EDUCATION DEPARTMENT
FACULTY OF TEACHER TRAINING AND EDUCATION
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2018
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
TESIS
PENYELESAIAN PERSAMAAN GELOMBANG ELASTIS MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA GRID SELANG-
SELING: ASPEK MATEMATIKA DAN ASPEK PENDIDIKANNYA
Diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh derajat
Magister Pendidikan pada Program Magister Pendidikan Matematika
MARIA YULIANI DANGGO
161442014
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM MAGISTER
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2018
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
HALAMAN MOTTO
I see and I forget.
I hear and I remember.
I do and I understand.
- Confucius –
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
HALAMAN PERSEMBAHAN
Tesis ini saya persembahkan untuk
Bapa Iu, Mama In, kakak Nobing, Uchan, Yoan, Yayan dan Deden
yang selalu mendoakan dan mendukung saya.
Terima kasih, kalian adalah hidup saya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
PERNYATAAN
Dengan ini saya menyatakan bahwa Tesis ini tidak terdapat karya yang pernah
diajukan untuk memperoleh gelar akademik di suatu Perguruan Tinggi, dan
sepanjang pengetahuan saya juga tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah
ditulis atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis diacu dalam
naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.
Yogyakarta, 30 Juli 2018
Maria Yuliani Danggo
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
ABSTRAK
Maria Yuliani Danggo, 2018. Penyelesaian Persamaan Gelombang Elastis Menggunakan Metode Beda Hingga Grid Selang-Seling: Aspek Matematika dan Aspek Pendidikannya. Tesis. Program Studi Magister Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Beberapa masalah dalam kehidupan sehari-hari dapat dimodelkan secara matematis. Pemodelan masalah ini bertujuan untuk mempermudah menentukan solusi dari masalah tersebut menggunakan ilmu matematika. Salah satu model matematika dari masalah nyata adalah persamaan gelombang elastis. Dalam menentukan solusi dari persamaan gelombang elastis ini, diperlukan suatu metode yang sesuai dengan masalah gelombang elastis.
Pada penelitian ini, metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan gelombang elastis adalah metode beda hingga grid selang-seling. Metode ini berhasil menyelesaikan persamaan gelombang elastis dengan nilai awal yang halus (smooth). Solusi yang diperoleh berupa pendekatan analitis yang dihitung menggunakan aplikasi program MATLAB .
Pada penelitian ini juga dikaji tentang kemampuan komunikasi matematik yang dilaksanakan di Sekolah Dasar Negeri 2 Kragilan Gantiwarno. Materi matematika yang dipelajari dalam proses pembelajaran tersebut adalah operasi penjumlahan dan pengurangan. Konsep yang digunakan untuk menyajikan soal-soal dalam penelitian ini adalah konsep gelombang elastis. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa dari 18 siswa kelas VI SD Negeri 2 Kragilan Gantiwarno tahun 2017, terdapat: (1) 9 siswa sudah mampu memenuhi 2 indikator NCTM, yaitu indikator kemampuan dalam menggunakan istilah-istilah, notasi-notasi matematika untuk menyajikan ide dan indikator kemampuan mendemonstrasikan serta menggambarkan melalui lisan dan tulisan mengenai konsep operasi penjumlahan dan pengurangan; (2) 9 siswa sudah memenuhi ketiga indikator NCTM, yaitu indikator kemampuan dalam menggunakan istilah-istilah, notasi-notasi matematika untuk menyajikan ide, indikator kemampuan memahami menginterpretasikan secara lisan, tulisan maupun dalam bentuk visual lainnya, dan indikator kemampuan mendemonstrasikan serta menggambarkan melalui lisan dan tulisan mengenai materi operasi penjumlahan dan pengurangan, meskipun terdapat sedikit kekurangan dalam penulisan informasi dalam menyelesaikan soal.
Kata-kata kunci : metode beda hingga grid selang-seling, gelombang elastis, kemampuan komunikasi matematik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
ABSTRACT Maria Yuliani Danggo, 2018. Solution To The Elastic Wave Equation Using A Staggered Grid Finite Difference Method: Mathematical Aspects And Its Educational Aspects. Thesis. Master of Mathematics Education Study Program, Mathematics and Science Education Department, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta.
Some problems in everyday life can be mathematically modeled. Modeling
this problem aims to make it easier to determine the solution of the problem using mathematical science. One mathematical model of the real problem is the elastic wave equation. In determining the solution of this elastic wave equation, we need a method according to the problem of elastic wave.
In this study, the method used to solve the elastic wave equation is a staggered grid finite difference method. This method successfully solves the elastic wave equation with a smooth initial value. The solution obtained is an analytical approach calculated using the MATLAB program application.
In this study also studied about the ability of mathematical communication which is implemented in SD Negeri 2 Kragilan Gantiwarno. Mathematical material learned in the learning process is the addition and subtraction operations. The concept used to present the problems in this research is the concept of elastic wave. The results of this study indicate that from 18 students of the 6th grade of SD Negeri 2 Kragilan Gantiwarno in 2017, there are: (1) 9 students have been able to meet 2 indicators of NCTM, namely indicators of ability in using terms, mathematical notations to present ideas and indicators of the ability to demonstrate and describe through oral and written about the concept of addition and subtraction operations ; (2) 9 students have met all three indicators of NCTM, ie indicators of ability to use terms, mathematical notations for presenting ideas, indicators of the ability to understand orally, in writing or in other visual forms, and indicators of the ability to demonstrate and illustrate through oral and written material addition and subtraction operations, although there are little shortcomings in the writing of information in solving the problem.
Keywords : A Staggered Grid Finite Difference Method, elastic wave equation, mathematical communication skills.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
LEMBAR PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:
Nama : Maria Yuliani Danggo
Nomor Mahasiswa : 161442014
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan
Universitas Sanata Dharma suatu karya ilmiah yang berjudul :
PENYELESAIAN PERSAMAAN GELOMBANG ELASTIS
MENGGUNAKAN METODE BEDA HINGGA GRID SELANG-SELING:
ASPEK MATEMATIKA DAN ASPEK PENDIDIKANNYA
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan
kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma baik untuk menyimpan,
mengalihkan dalam bentuk media lain, mengolahnya dalam bentuk pangkalan
data, mendistribusikan secara terbatas dan mempublikasikan di Internet atau
media lain untuk keperluan akademis tanpa meminta ijin dari saya maupun
memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai
penulis.
Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal 30 Juli 2018
Yang menyatakan
Maria Yuliani Danggo
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS
Sebagian hasil dari tesis ini telah dipresentasikan dalam konferensi
internasional dan/atau dipublikasikan dalam jurnal internasional sebagai berikut:
Maria Yuliani Danggo dan Sudi Mungkasi, “A Staggered Grid Finite Difference
Method for Solving Elastic Wave Equations”, Journal of Physics:
Conference Series, Volume 909, Nomor 1, Artikel 012047, Tahun 2017
(terindeks Scopus), Link Artikel: http://doi.org/10.1088/1742-
6596/909/1/0120457
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
KATA PENGANTAR
Pujian syukur dan terima kasih kepada Tuhan yang Maha Kuasa atas
segala berkat dan bimbingan-Nya, sehingga tesis dengan judul “Metode Beda
Hingga Grid Selang-seling untuk Menyelesaikan Persamaan Gelombang Elastis:
Aspek Matematika dan Aspek Pendidikannya” ini dapat diselesaikan. Tesis ini
disusun untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Magister
Pendidikan pada Program Magister Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu
Pengetahuan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Proses penyusunan tesis ini tidak terlepas dari bantuan dan dukungan dari
berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan
terima kasih yang tak terhingga kepada semua pihak yang terlibat dalam
penyusunan tesis ini, terlebih khusus kepada:
1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dosen
pembimbing yang telah meluangkan waktu dan penuh kesabaran untuk
memberikan bimbingan dan arahan selama penyusunan tesis ini.
2. Bapak Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd., selaku Ketua Program Studi
Magister Pendidikan Matematika yang telah memberikan dukungan bagi
penulis.
3. Bapak Dr. Yohanes Harsoyo,S.Pd.,M.Si., selaku dekan FKIP Universitas
Sanata Dharma yang telah mengesahkan penulisan tesis ini.
4. Segenap dosen Program Studi Magister Pendidikan Matematika yang
telah membantu dan memberikan dukungan kepada penulis selama
menempuh kuliah, sehingga penulis dapat menyelesaikan studi dengan
baik.
5. Segenap staf JPMIPA yang telah membantu dalam hal administrasi
kampus selama penulis menjalankan studi di Universitas Sanata Dharma
ini.
6. Orang tua penulis (Bapa Iu dan Mama In), kakak Nobing, Uchan, Yoan,
Yayan dan Deden atas doa, dukungan dan hiburannya. Kalian adalah
anugerah yang paling indah dari Tuhan dalam hidupku.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
7. Yuan untuk semua dukungan, doa dan motivasinya; Melani dan Naomi
untuk semua dukungan dan doanya, semoga kita bisa bertemu lagi ya
Nam, Me; Cacek, Opy dan Deik untuk hiburannya ketika sedang jenuh;
Mirbung, Tasya, Mega dan Anlaw yang selalu merindu dan menunggu
untuk berkumpul bersama lagi, sebentar lagi kita bertemu, kawan!
8. Teman-teman seperjuanganku terkasih, Lintang, Apri dan Kak Ira, untuk
semua bantuan dan masukannya. Terima kasih untuk semuanya dan
semoga Tuhan selalu menyertai kalian.
9. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu, yang telah
membantu proses penyusunan tesis ini.
Semoga tesis ini bermanfaat bagi pembaca.
Penulis,
Maria Yuliani Danggo
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xv
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL............................................................................................... i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................... iii
HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. iv
HALAMAN MOTTO .............................................................................................v
HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................vi
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ...............................................................vii
ABSTRAK .......................................................................................................... viii
ABSTRACT ............................................................................................................ ix
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ................... x
DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS ........................................ xi
KATA PENGANTAR ......................................................................................... xii
DAFTAR ISI ........................................................................................................xiv
BAB I PENDAHULUAN ..................................................................................... 1
A. Latar Belakang MasalaH ....................................................................... 1
B. Rumusan Masalah ...…………………………………………………...3
C. Tujuan Penelitian ....................................................................................3
D. Manfaat Penelitian ..................................................................................4
E. Prasyarat Materi ..................................................................................... 5
F. Tinjauan Pustaka .....................................................................................6
G. Keterbaruan Penelitian ...........................................................................6
H. Batasan Masalah……………………………………………………......6
I. Metode Penelitian …............................................................................... 7
J. Sistematika Penulisan ............................................................................. 7
BAB II : LANDASAN TEORI ..............................................................................9
A. Persamaan Diferensial.............................................................................9
B. Penurunan Persamaan Gelombang....................................................... 10
C. Penurunan Numeris ............................................................................. 14
1. Turunan Beda Maju………………………………………..… 14
2. Turunan Beda Mundur …………………………………….… 15
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvi
3. Turunan Beda Pusat ……………………………………….… 16
D. Persamaan Gelombang Elastis............................................................. 17
E. Metode Beda Hingga Grid Selang-seling............................................. 19
BAB III HASIL PENELITIAN ………………....................................................22
A. Model Matematika Persamaan Gelombang Elastis...............................22
B. Metode Numerik Grid Selang-seling.....................................................23
C. Hasil Numerik ..................................................................................... 24
BAB IV ASPEK PENDIDIKAN…….………....................................................28
A. Teori Perkembangan Piaget ................................................................ 29
1. Tahap Sensoris Motorik ……………………………………... 29
2. Tahap Pra-operasional ………………………………………. 29
3. Tahap Operasional Konkret …………………………………. 30
4. Tahap Operasional Formal …………………………...……….30
B. Komunikasi Matematik ....................................................................... 30
C. Hasil Penelitian dan Analisis …………………………………............31
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ...............................................................47
A. Kesimpulan ...........................................................................................47
B. Saran .....................................................................................................48
DAFTAR PUSTAKA ...........................................................................................49
LAMPIRAN .........................................................................................................50
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 3.1 tekanan saat ............................................................................. 25
Gambar 3.2 Tekanan ........................................................ 26
Gambar 3.3 Tekanan .............................................................. 26
Gambar 4.1.1 Hasil pekerjaan siswa untuk soal 1 ................................................ 33
Gambar 4.1.2 Hasil pekerjaan siswa untuk soal 2 ................................................ 33
Gambar 4.1.3 Hasil pekerjaan siswa untuk soal 3 ................................................ 34
Gambar 4.1.4 Hasil pekerjaan siswa untuk soal 4 ................................................ 34
Gambar 4.1.5 Hasil pekerjaan siswa untuk soal 1 ................................................ 34
Gambar 4.1.6 hasil pekerjaan siswa untuk soal 2 ................................................. 35
Gambar 4.1.7 hasil pekerjaan siswa untuk soal 3 ................................................. 35
Gambar 4.1.8 hasil pekerjaan siswa untuk soal 4 ................................................. 35
Gambar 4.1.9 hasil pekerjaan siswa untuk soal 5 ................................................. 36
Gambar 4.1.10 hasil pekerjaan siswa untuk soal 5 ............................................... 36
Gambar 4.1.11 hasil pekerjaan siswa untuk soal 6 ............................................... 37
Gambar 4.1.12 hasil pekerjaan siswa untuk soal 7 ............................................... 37
Gambar 4.1.13 hasil pekerjaan siswa untuk soal 6 ............................................... 39
Gambar 4.1.14 hasil pekerjaan siswa untuk soal 7 ............................................... 39
Gambar 4.1.15 hasil pekerjaan siswa untuk soal 8 ............................................... 41
Gambar 4.1.16 hasil pekerjaan siswa untuk soal 9 ............................................... 41
Gambar 4.1.17 hasil pekerjaan siswa untuk soal 10 ............................................. 42
Gambar 4.1.18 hasil pekerjaan siswa untuk soal 8 ............................................... 43
Gambar 4.1.19 hasil pekerjaan siswa untuk soal 9 ............................................... 43
Gambar 4.1.20 hasil pekerjaan siswa untuk soal 10 ………….…………………44
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari terdapat berbagai masalah yang berkaitan
dengan matematika. Masalah-masalah tersebut dimodelkan secara matematika
agar lebih mudah diselesaikan. Model matematika dapat berupa suatu persamaan
matematika atau sistem persamaan matematika. Dalam memodelkan masalah, kita
harus menentukan faktor-faktor dominan yang mempengaruhi masalah tersebut.
Setelah itu, dari faktor-faktor yang dikoleksi, dipilih faktor-faktor yang paling
dominan dan kemudian dikaitkan dengan ilmu pengetahuan yang ada, seperti
fisika, biologi, kimia, dan sebagainya.
Model masalah tersebut kemudian ditentukan solusinya dan dianalisis.
Jika solusi yang diperoleh cukup sesuai dengan realita, maka solusi tersebut cukup
realistis dan dapat diterapkan untuk menyelesaikan masalah tersebut. Akan tetapi,
jika solusi yang diperoleh tidak sesuai dengan realita, maka solusi tersebut tidak
dapat diterapkan sebagai penyelesaian dari masalah. Dengan demikian kita perlu
memperbaiki model matematika yang digunakan dan dicari solusi yang sesuai.
Dalam penelitian ini, terdapat model matematika berupa persamaan
gelombang elastis, yaitu
(1.1) ( ) (1.2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Variabel merepresentasikan domain ruang satu dimensi dan merepresentasikan
waktu. Pada sistem persamaan gelombang elastis di atas, merupakan
regangan, merupakan kecepatan, merupakan kepadatan dan merupakan tekanan
Persaman gelombang elastis merupakan model matematika dari
permasalahan yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari, seperti perambatan
gelombang bunyi, getaran gempa bumi, dan sebagainya. Model matematika yang
akan diselesaikan dalam penelitian ini adalah masalah khusus dari masalah
gelombang elastis, yaitu gelombang akustik. Persamaan gelombang akustik
tersebut diturunkan dari (1.1) dan (1.2). Berdasarkan hasil penelitian Supriyadi
dan Mungkasi (IJMCE, 14(5), 2016), sistem persamaan (1.1) dan (1.2) dapat
diselesaikan dengan menggunakan metode Lax-Friedrichs dan metode LeVeque
pada grid kolokasi. Kedua metode tersebut adalah sebagai berikut.
Metode volume hingga Lax-Friedrichs adalah
( ) (1.3)
Metode volume hingga LeVeque adalah
( ) (1.4)
Di sini , , dan adalah fungsi-fungsi tertentu untuk
menghitung fluks material.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
Terdapat dua kajian dalam penelitian ini, yaitu kajian matematika dan
pendidikan matematika. Kajian matematika dalam penelitian ini adalah
menggunakan metode beda hingga grid selang-seling untuk menyelesaikan
persamaan gelombang. Kajian matematika ini merupakan pengembangan dari
penelitian yang dilakukan oleh Supriyadi dan Mungkasi (IJMCE, 14(5), 2016).
Kajian pendidikan matematika dalam penelitian ini adalah mengetahui
kemampuan komunikasi matematik siswa Sekolah Dasar dalam pembelajaran
Matematika dengan materi operasi penjumlahan dan pengurangan menggunakan
konsep dasar pada kajian matematika, yaitu gelombang elastis.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, rumusan masalah dalam penelitian ini
adalah sebagai berikut:
1. Bagaimana menggunakan metode grid selang-seling untuk
menyelesaikan persamaan gelombang elastis?
2. Bagaimana kemampuan komunikasi matematik siswa dalam
pembelajaran dengan materi operasi penjumlahan dan pengurangan
menggunakan konsep gelombang elastis di Sekolah Dasar Gantiwarno?
C. Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah, tujuan dari penelitian ini adalah sebagai
berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
1. Untuk menyelesaikan persamaan gelombang elastis menggunakan
metode beda hingga grid selang-seling.
2. Untuk mengetahui kemampuan komunikasi matematik siswa dalam
pembelajaran dengan materi operasi penjumlahan dan pengurangan
menggunakan konsep gelombang elastis di Sekolah Dasar Negeri 2
Kragilan Gantiwarno.
D. Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut.
1. Untuk Ilmu Pengetahuan
Penelitian ini dapat melengkapi penelitian sebelumnya, yaitu menyelesaikan
persamaan gelombang elastis menggunakan metode beda hingga grid selang-
seling. Selain itu, sebagai sumbangan baru terhadap penggunaan metode beda
hingga grid selang-seling pada persamaan elastis.
2. Untuk Mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika
Memperkenalkan penggunaan metode beda hingga grid selang-seling dalam
menyelesaikan persamaan gelombang elastis, serta penerapan konsep
gelombang elastis dalam proses pembelajaran matematika di tingkat sekolah
dasar.
3. Untuk Penerapan dalam Kehidupan Sehari-hari
Dapat memperlihatkan penyelesaian masalah yang berkaitan dengan
gelombang elastis, misalnya perambatan gelombang suara.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
E. Prasyarat Materi
Untuk memudahkan pembaca dalam memahami penelitian ini, diperlukan
beberapa materi prasyarat, yaitu sebagai berikut.
1. Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan diferensial parsial merupakan materi yang sering digunakan dalam
model-model masalah matematika. Pada penelitian ini, persamaan gelombang
elastis berupa persamaan diferensial parsial.
2. Pemodelan Matematika
Tesis ini memuat materi yang berkaitan dengan pemodelan matematika.
Masalah-masalah yang akan diselesaikan dalam tesis ini merupakan masalah
yang diangkat dari masalah nyata. Masalah nyata tersebut dimodelkan secara
matematis agar dapat menentukan solusi dari masalah tersebut.
3. Metode Beda hingga
Metode beda hingga yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode beda
hingga grid selang-seling.
4. Gelombang
Materi gelombang merupakan materi dasar dari tesis ini. Hal ini dikarenakan
masalah yang diangkat dalam tesis ini adalah gelombang elastis, maka
diperlukan pengetahuan tentang gelombang untuk memudahkan pembaca
dalam memahami tentang gelombang elastis.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
F. Tinjauan Pustaka
Penelitian ini merupakan pengembangan dari penelitian sebelumnya yang
diteliti oleh Supryadi dan Mungkasi (2016) untuk menyelesaikan persamaan
gelombang elastis nonlinear pada media heterogen. Hasil penelitian tersebut
menunjukkan bahwa metode LeVeque dapat menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan gelombang elastis, baik linear maupun nonlinear yang
melibatkan media heterogen dan homogen. Sedangkan metode Lax-Friedrichs
hanya dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan gelombang elastis
linear dan nonlinear yang melibatkan media homogen saja. Sedangkan pada
penelitian dalam tesis ini akan membahas tentang menyelesaikan persamaan
gelombang elastis menggunakan metode grid selang-seling.
G. Keterbaruan Penelitian
Pada penelitian sebelumnya, metode Lax-Friedrichs dapat menyelesaikan
persamaan elastis linear dan nonlinear yang melibatkan media homogen. Pada
penelitian kali ini, akan dicoba metode yang baru yaitu metode beda hingga grid
selang-seling untuk menyelesaikan gelombang elastis.
H. Batasan Masalah
Penelitian ini dibatasi pada masalah khusus dari persamaan gelombang
elastis, yaitu sistem persamaan akustik, dimana sistem persamaan tersebut
merupakan sistem persamaan hiperbolik dari persamaan diferensial parsial linear.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
I. Metode Penelitian
Metode penelitian yang digunakan oleh penulis adalah metode studi
pustaka, yaitu mempelajari dan memahami referensi-referensi yang berkaitan
dengan metode beda hingga grid selang-seling dan persamaan gelombang elastis,
mengumpulkan informasi dan menyusun hasil penelitian menjadi suatu bentuk
penulisan yang sistematis dan jelas agar mempermudah pembaca dalam
mempelajari masalah dalam penelitian ini. Langkah-langkah yang dilakukan
dalam penulisan ini adalah
1. Memahami literatur-literatur yang berkaitan dengan gelombang elastis
dan metode Lax-Friedrichs.
2. Mempelajari dan memahami metode beda hingga grid selang-seling.
3. Mempelajari dan memahami persamaan gelombang elastis.
4. Menggunakan metode grid selang-seling untuk menyelesaikan
persamaan gelombang elastis.
5. Mensimulasi solusi persamaan gelombang elastis pada komputer.
6. Melakukan penelitian di sekolah untuk perolehan data kemampuan
komunikasi matematik di Sekolah Dasar Negeri 2 Kragilan Gantiwarno.
7. Menyusun materi yang telah dipahami secara sistematis untuk
memudahkan pembaca dalam memahami penelitian ini.
8. Mendiskusikan isi tulisan dengan dosen pembimbing.
J. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan dalam tesis ini adalah sebagai berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
1. Bab I: membahas tentang pendahuluan yang meliputi latar belakang
masalah, rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian,
prasyarat materi, tinjauan pustaka, keterbaruan penelitian, batasan
masalah, metode penelitian dan sistematika penulisan.
2. Bab II: membahas tentang teori-teori yang digunakan dalam penelitian
ini, yaitu persamaan diferensial parsial, penurunan persamaan
gelombang, penurunan numeris, persamaan gelombang elastis dan
metode beda hingga grid selang-seling.
3. Bab III: membahas hasil penelitian yang berisi tentang model matematika
persamaan gelombang elastis, metode numeris grid selang-seling, dan
hasil numeris.
4. Bab IV: membahas tentang aspek pendidikan yang berisi tentang
kemampuan komunikasi matematik dalam pembelajaran untuk materi
operasi penjumlahan dan pengurangan menggunakan konsep gelombang
elastis.
5. Bab V: membahas tentang kesimpulan dan saran dari penelitian ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
BAB II
LANDASAN TEORI
Landasan teori tesis ditulis dalam bab ini. Landasan teori tersebut
meliputi: persamaan diferensial parsial, penurunan persamaan gelombang, metode
beda hingga grid selang-seling dan persamaan gelombang elastis.
A. Persamaan Diferensial Parsial
Fenomena kontinu, seperti perambatan gelombang atau aliran fluida,
umumnya dimodelkan dengan persamaan diferensial parsial (PDP) (Borthwick,
2016). Menurut Wazwaz (2009), persamaan diferensial parsial adalah suatu
persamaan yang memuat variabel terikat (fungsi yang belum diketahui), dan
turunan parsialnya. Diketahui bahwa pada persamaan diferensial biasa, variabel
terikat hanya bergantung pada satu variabel terikat . Akan tetapi,
persamaan diferensial parsial, variabel terikatnya, seperti atau harus bergantung pada lebih dari satu variabel terikat. Jika , maka fungsi bergantung pada variabel terikat dan pada variabel
waktu . Namun, jika , maka fungsi bergantung pada variabel
ruang dan pada variabel waktu . Salah satu contoh persamaan diferensial parsial adalah sistem persamaan
untuk masalah akustik, yaitu:
(2.1) (2.2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
dengan merepresentasikan kecepatan perambatan gelombang,
merepresentasikan tekanan, merepresentasikan domain ruang dan merepresentasikan domain waktu.
B. Penurunan Persamaan Gelombang
Persamaan gelombang diturunkan dari hukum kekekalan massa dan
hukum kekekalan momentum (hukum kedua Newton). Dipandang hukum
kekekalan massa adalah sebagai berikut.
(2.3)
dengan adalah massa volume , dan merupakan waktu. Menggunakan
kepadatan , hukum kekekalan massa dapat ditulis dalam bentuk berikut, agar
memperoleh bentuk eksplisit, diasumsikan , sehingga (2.4) menjadi
(2.4) (2.5)
Dengan mengabaikan , maka (2.5) menjadi,
Sehingga diperoleh (2.6)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Akan diturunkan suatu persamaan dengan tekanan di dalamnya, sehingga
diasumsi terdapat relasi linear antara tekanan dan kepadatan , maka
menggunakan modulus bulk dengan mempertimbangkan massa satuan, yaitu:
(2.7)
dengan merupakan modulus bulk dan adalah tekanan. Berdasarkan (2.7),
diperoleh perubahan tekanan, yaitu:
(2.8)
Lalu (2.8) dapat ditulis menjadi,
(2.9)
yang merumuskan hukum Hooke. Sekarang, akan diasumsi perubahan volume
hanya pada satu dimensi.
(2.10)
Karena merupakan perbedaan antara perpindahan pada sisi-sisinya, maka
(2.11)
(2.12)
dimana merupakan kecepatan partikel pada arah . Berdasarkan (2.12)
diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
(2.13)
Kemudian, (2.13) disubstitusi ke persamaan hukum Hooke, sehingga diperoleh
(2.14)
atau
(2.15)
yang merupakan hubungan dasar untuk penurunan persamaan gelombang.
Relasi lainnya diperoleh melalui hukum Newton yang diterapkan pada
volume dengan arah , karena dipertimbangkan gerakan satu dimensi
(2.16)
dimana merupakan gaya yang bekerja pada . Dengan mempertimbangkan
gaya pada arah- :
(2.17)
( ) (2.18)
(2.19)
Mengabaikan syarat karena sangat kecil, dan merupakan permukaan pada
arah- . Substitusi (2.19) ke dalam hukum Newton, sehingga diperoleh:
(2.20)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Pada persamaan, dapat ditulis sebagai
, untuk itu digunakan lagi
pendekatan kecepatan rendah, yaitu: (2.21)
Sehingga, (2.20) menjadi,
(2.22)
atau
(2.23)
yang merupakan persamaan gerak.
Tahap selanjutnya adalah menggabungkan hukum kekekalan massa dan
persamaan gerak. Oleh karena itu, (2.23) diturunkan secara parsial terhadap ,
sehingga
( ) ( ) (2.24)
( ) ( ) (2.25)
dengan adalah konstanta. Substitusi (2.15) ke dalam (2.25), sehingga diperoleh
( ) (2.26)
(2.27)
(2.28)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
atau
(2.29)
yang merupakan persamaan gelombang satu dimensi dengan dapat dipandang
sebagai kecepatan, √ .
C. Penurunan Numeris
Tidak semua fungsi dapat dengan mudah dihitung nilai turunannya secara
analitik. Oleh karena itu, diperlukan metode numeris untuk menghitung nilai
turunan fungsi yang bentuknya cukup rumit, misalnya: √ (2.30)
Untuk fungsi yang rumit ini, turunannya dapat ditentukan secara numeris.
Turunan numeris ini diperoleh dengan pendekatan deret Taylor. Berikut ini tiga
hampiran turunan numeris.
1. Turunan beda maju
Dipandang deret Taylor di sekitar titik adalah
(2.31)
Kedua ruas dikurangi , menjadi
(2.32)
atau
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
(2.33)
Maka
(2.34)
Sehingga diperoleh turunan beda maju adalah
(2.35)
Dengan
(2.36)
2. Turunan beda mundur
Dipandang deret Taylor di sekitar titik adalah
(2.36)
(2.37)
(2.38)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
(2.39)
Sehingga diperoleh turunan beda mundur sebagai berikut
(2.40)
dengan
(2.41)
3. Turunan beda pusat
Turunan beda pusat diperoleh dari pengurangan deret Taylor yang
digunakan pada turunan beda maju dan turunan beda mundur, yaitu (2.31) dan
(2.36) sehingga diperoleh:
(2.42)
Kedua ruas pada (2.42) dibagi , maka diperoleh
(2.43)
Atau
(2.43)
Jadi
(2.44)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
dengan
(2.45)
D. Persamaan Gelombang Elastis
Gelombang elastis merupakan gelombang yang perambatannya tergantung
pada sifat media perambatan itu sendiri, misalnya, gelombang suara (akustik).
Contoh kasus gelombang akustik yang sering dijumpai dalam kehidupan sehari-
hari adalah kegiatan berbicara dengan teman atau orang lain. Ketika kita berbicara
dengan teman atau orang yang berada pada ruangan yang sama, suara kita akan
terdengar dengan jelas. Akan tetapi, jika berbicara dengan teman atau orang yang
berada pada ruangan yang berbeda, maka tingkat kejelasan suara yang sampai ke
telinga akan menurun. Hal ini disebabkan oleh media rambatan suara tersebut.
Pada saat berbicara dengan teman atau orang yang berada pada satu
ruangan, media rambatan yang dilibatkan hanya udara dan benda-benda yang
berada di ruangan tersebut. Sehingga suara yang sampai ke telinga akan terdengar
lebih jelas. Lain halnya ketika berbicara dengan teman atau orang yang berada
pada ruangan yang berbeda. Media rambatan yang dilibatkan akan lebih banyak,
misalnya udara, dinding pembatas ruangan dan atap ruangan. Keadaan ini
mengakibatkan tingkat kejelasan suara yang sampai ke telinga lebih rendah.
Berkaitan dengan gelombang elastis, kedua kasus ini memperlihatkan bahwa
jumlah media perambatan gelombang akustik mempengaruhi gelombang yang
dihantarkan. Semakin banyak media rambatnya maka kepadatan atau massa jenis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
semakin tinggi, sehingga mempengaruhi kecepatan dan besar kecilnya gelombang
tersebut.
Secara umum, bentuk hukum kekekalan yang digunakan adalah pada
penelitian ini adalah
(2.46)
dengan merupakan variabel waktu, merupakan variabel ruang, yang merupakan kuantitas kekekalan, dan ( ) merupakan fungsi fluks
(Supriyadi dan Mungkasi, 2016). Persamaan umum gelombang elastis yang
digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut (LeVeque, 2002b).
(2.47) (2.48)
dimana, (2.47) dan (2.48) merupakan bentuk konservatif untuk masalah non-
linear. Variabel merepresentasikan domain ruang satu dimensi dan merepresentasikan waktu. Pada sistem persamaan gelombang elastis di atas, merupakan regangan, merupakan kecepatan, merupakan
kepadatan dan merupakan tekanan.
Sistem persamaan (2.47) dan (2.48) merupakan bentuk persamaan diferensial
parsial, dengan mengasumsikan terdapat relasi antara dan . Persamaan diferensial parsial tersebut bisa menjadi bentuk persamaan akustik
linear pada satu dimensi ruang yang merupakan kasus khusus dari gelombang
elastis.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
E. Metode Beda Hingga Grid Selang-seling
Metode beda hingga merupakan salah satu metode numerik untuk
menentukan solusi persamaan diferensial. Dalam menentukan solusi dari
persamaan diferensial tersebut, metode ini menggunakan hampiran. Hampiran
tersebut digunakan untuk menentukan fungsi atau pendekatan diskrit yang
memenuhi persamaan diferensial yang diselesaikan. Terdapat beberapa hampiran
metode beda hingga, yaitu sebagai berikut.
Dipandang
(2.49)
dengan domain dan ,
dengan dengan
Maka, metode beda maju terhadap waktu adalah
| (2.50)
dan metode beda pusat terhadap waktu adalah
| (2.51)
dengan .
Misalkan akan diselesaikan masalah persamaan diferensial parsial
(2.52)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
untuk domain .
Menggunakan metode beda hingga, domain tersebut didiskritkan sebagai
berikut.
Secara notasi, dengan dan
Misalkan diambil diskritisasi dengan beda maju terhadap waktu, sehingga
skema menjadi:
(2.53)
dan diskritisasi dengan beda mundur terhadap dimensi, sehingga skema
menjadi
(2.54)
maka diskritisasi menjadi
(2.55)
dengan menjumlahkan kedua ruas dengan , maka (2.55) menjadi
(2.56)
Lalu kedua ruas dikali menjadi,
N
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
( ) (2.57)
Selanjutnya menjumlahkan kedua ruas dengan , diperoleh
( ) (2.58)
Skema (2.58) merupakan skema beda hingga dari .
Berkaitan dengan metode beda hingga selang-seling, metode ini
merupakan metode numerik yang mengatur diskretisasi ruang dengan variabel-
variabelnya pada sel atau grid yang berbeda. Manfaat utama metode ini adalah
metode ini tidak menghasilkan perhitungan tekanan dan kecepatan secara terpisah.
Pada penelitian ini, metode tersebut digunakan untuk menyelesaikan persamaan
gelombang elastis dengan domain dan .
Beda hingga selang-seling yang dimaksudkan dalam metode ini adalah
menyelesaikan sistem persamaan gelombang elastis pada grid yang berbeda. Pada
rumusan selang-seling, nilai tekanan ditentukan pada titik grid penuh sedangkan
kecepatan ditentukan pada titik grid setengah. Berikut ini adalah diskritisasi
domain metode beda hingga grid selang-seling.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
BAB III
HASIL PENELITIAN
A. Model Matematika Persamaan Gelombang Elastis
Bentuk umum persamaan gelombang elastis satu dimensi adalah (3.1) ( ) (3.2)
Variabel bebas merepresentasikan domain ruang dan merepresentasikan
waktu. Sebagai tambahan, merupakan regangan, merupakan kecepatan,
merupakan densitas, dan merupakan tegangan. Perhatikan bahwa . Notasi turunan lainnya diartikan secara senada.
Dalam persamaan (3.1) dan (3.2), tegangan dan regangan diasumsi memiliki
relasi (3.3)
dengan adalah modulus bulk kompresibilitas. Tekanan ,
sehingga persamaan (3.1) dan (3.2) dapat ditulis dalam bentuk persamaan
diferensial parsial linear (3.4) (3.5)
Diasumsi, dan , sehingga persamaan (3.4) dan (3.5) dapat ditulis sebagai berikut
Hasil penelitian ini telah dipresentasikan dalam International Conference on Science and Applied
Science (ICSAS 2017) di Surakarta pada tanggal 29 Juli 2017. Hasil ini telah terbit dalam Journal of Physics: Conference Series 909 (2017) 012047.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
(3.6) (3.7)
Sistem persamaan (3.6) dan (3.7) merupakan sistem hiperbolik dari persamaan
diferensial parsial. Pada bagian selanjutnya, akan fokus pada pemecahan sistem
persamaan (3.6) dan (3.7) yang merupakan model untuk masalah akustik.
B. Metode Numeris Grid Selang-seling
Diketahui bahwa
(3.8)
(3.9)
Diambil diskritisasi dari bentuk derivatifnya (3.10)
(3.11)
Menggunakan pendekatan (3.10) dan (3.11), persamaan (3.6) dapat ditulis dalam
bentuk diskrit sebagai berikut
( ) (3.12)
Selanjutnya, menggunakan diskritisasi dari turunan berikut (3.13)
(3.14)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Menggunakan pendekatan (3.13) dan (3.14), bentuk diskret dari persamaan (3.7)
adalah
( ) (3.15)
Sistem persamaan (3.12) dan (3.15) merupakan skema numeris, untuk
menyelesaikan masalah akustik.
C. Hasil Numeris
Pada bagian ini dikhususkan untuk menyajikan hasil numeris. Asumsi
awalnya adalah masalah akustik memiliki fungsi tekanan
{ (3.16)
Untuk . Tekanan awal ini ditunjukkan pada gambar 3.1. Kecepatan
awalnya adalah untuk setiap domain ruang.
Dengan menggunakan data yang diberikan, domain ruang adalah [ dengan . Akan dihitung tekanan dan kecepatan dalam sistem setiap saat.
Jumlah ruang yang digunakan adalah , dan .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Gambar 3.1. Tekanan saat
Seperti pada kondisi awal, tekanan berpusat di sekitar , tekanan ini
terpisah menjadi dua gelombang yang merambat kearah kiri dan kanan. Ini
diilustrasikan pada gambar 3.2 dan gambar 3.3. Gambar 3.2 menunjukkan tekanan
dan kecepatan pada waktu dan gambar 3.3 menunjukkan tekanan dan
kecepatan pada waktu .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Gambar 3.2. Tekanan saat
Gambar 3.3. Tekanan saat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Berdasarkan hasil simulasi, metode beda hingga pada grid selang-seling
telah diturunkan dan digunakan untuk memecahkan masalah persamaan
gelombang elastis yang berkaitan dengan masalah akustik. Dalam penelitian ini,
pengujian menggunakan nilai awal yang halus (smooth). Diperoleh perilaku fisik
yang benar dalam solusi numeris karena ada satu gelombang tekanan tunggal
dengan kecepatan nol, tekanannya terbagi menjadi dua dan bergerak berlawanan
arah seiring berjalannya waktu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
A. Teori Perkembangan Piaget
Pandangan Piaget tentang perkembangan kognitif sangat dipengaruhi oleh
pengalamannya di bidang biologi. Oleh karena itu, konsep dasar perkembangan
belajarnya adalah konsep biologis yakni adaptasi (Piaget, 1971 dalam Berk,
2012). Adapun tahap perkembangan kognitif menurut Piaget antara lain:
1. Tahap sensoris motorik (Lahir-2 tahun)
Pada tahap ini individu (bayi) “berpikir” dengan merespons dunia
melalui mata, telinga, mulut mereka. Mereka menemukan cara penanggulangan
persoalan sensoris motorik seperti menggunakan indra dan gerak untuk
mengeksplorasi dunia. Pada tahap ini penanggulangan persoalan mereka adalah
seperti mencari barang yang hilang dan menaruh mengeluarkan objek dari
tempatnya. Tahapan ini dimulai dari tindakan refleks naluriah sampai dengan
permulaan pemikiran simbolis (Berk, 2012).
2. Tahap pra-operasional (sekitar 2-7 tahun)
Pada tahap ini anak mampu melukiskan dunia dengan simbol, kata-kata
dan gambar untuk mewakili temuan sensoris-motoriknya. Namun, pada tahap
ini pemikiran mereka belum melibatkan logika (Berk, 2012).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
3. Tahap Operasional Konkret (sekitar 7-11 tahun).
Pada tahap ini, penalaran anak-anak mulai logis. Namun, pemikiran logis
dan teratur ini hanya sebatas pada informasi konkret yang mereka terima secara
langsung (Berk, 2012).
4. Tahap Operasional Formal (11 tahun ke atas)
Kemampuan berpikir abstrak dan sistematis membantu remaja mampu
membuat hipotesis, mengambil kesimpulan teruji, dan memisahkan serta
menggabungkan variabel-variabel untuk melihat kesimpulan mana yang benar
(Berk, 2012). Remaja juga mampu mengevaluasi logika di balik pernyataan
verbal tanpa mengacu pada keadaan di dunia nyata.
B. Komunikasi Matematik
Menurut Romberg dan Chair yang dikutip oleh Sumarmo (dalam
Rachmayani, 2014), komunikasi matematika yaitu menghubungkan benda nyata,
gambar dan diagram ke dalam ide matematika; menjelaskan ide, situasi dan relasi
matematik secara lisan atau tulisan dengan benda nyata, gambar, grafik dan
aljabar; menyatakan peristiwa sehari-hari dalam bahasa atau simbol matematika;
mendengarkan, berdiskusi dan menulis tentang matematika; membaca dengan
pemahaman suatu presentasi matematika tertulis, membuat konjektur, menyusun
argumen, merumuskan definisi dan generalisasi; menjelaskan dan membuat
pertanyaan tentang matematika yang telah dipelajari.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Indikator kemampuan komunikasi matematik yang digunakan dalam
penelitian ini adalah indikator-indikator menurut National Council of Teachers of
Mathematics (2000), sebagai berikut:
a. Kemampuan mengekspresikan ide-ide matematis melalui, tulisan dan
mendemonstrasikannya serta menggambarkannya secara visual
b. Kemampuan memahami, menginterpretasikan dan mengevaluasi ide-ide
matematis baik secara lisan, tulisan, maupun dalam bentuk visual lainnya
c. Kemampuan dalam menggunakan istilah-istilah, notasi-notasi matematika
dan struktur-strukturnya untuk menyajikan ide-ide, menggambarkan
hubungan-hubungan dengan model-model situasi
C. Hasil Penelitian dan Analisis
Penelitian ini dilaksanakan pada tanggal 25 Oktober 2017, di SD Negeri 2
Kragilan Gantiwarno, Klaten, kelas VI dengan jumlah siswa 18 orang. Sebelum
penelitian dilaksanakan, peneliti memulai kegiatan dengan memberikan
penjelasan singkat tentang tujuan kegiatan pembelajaran yang akan dilaksanakan.
Selain itu, peneliti memberikan beberapa pertanyaan yang berkaitan dengan
gelombang elastis, agar siswa memiliki gambaran tentang gelombang elastis
selama kurang lebih 15 menit.
Sebelum masuk pada kegiatan inti, peneliti membagi siswa dalam 2
kelompok dan setiap kelompok terdiri dari 9 siswa. Kedua kelompok tersebut
diberikan alat peraga yang akan digunakan selama penelitian. Selain alat peraga,
setiap anggota kelompok juga diberikan satu lembar LKS yang memuat langkah-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
langkah penggunaan alat peraga dan 10 soal yang berkaitan dengan materi operasi
penjumlahan dan pengurangan. Kemudian, kedua kelompok tersebut
menyelesaikan soal-soal yang diberikan dengan bantuan alat peraga. Waktu yang
digunakan untuk menyelesaikan soal-soal tersebut adalah 45 menit.
Selama proses penyelesaian soal-soal, siswa dibimbing dan diarahkan oleh
peneliti, sehingga proses penyelesaian berjalan dengan baik. Setelah
menyelesaikan soal-soal, peneliti mengumpulkan hasil kerja siswa. Sebagai
kegiatan penutup, peneliti mengajukan pertanyaan dan membuat kesimpulan dari
kegiatan yang telah dilakukan siswa selama 10 menit. Selain itu, peneliti juga
memperkenalkan penelitian matematika yang dilakukan peneliti kepada siswa
dengan cara mengkaitkan kegiatan sebelumnya dengan konsep dasar penelitian
matematika tersebut.
Data penelitian yang diperoleh berupa Lembar Kerja Siswa (LKS) dan
video kegiatan pembelajaran. Soal-soal yang terdapat pada LKS akan dianalisis
berdasarkan indikator-indikator komunikasi matematik menurut NCTM. Video
pembelajaran merupakan data pendukung untuk memperkuat pendapat peneliti
tentang informasi yang terdapat pada LKS. Data berupa video tersebut disalin
menjadi percakapan. Berikut ini hasil dan analisis data-data tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Tabel 4.1 Hasil kerja dan Wawancara serta Analisis dan Pembahasan
Hasil Kerja dan Wawancara Siswa Analisis dan Pembahasan
Indikator Soal: Siswa mampu mengukur waktu menggunakan stopwatch (soal 1-4) K1 Soal 1: berapa lama kawat tersebut bergetar?
(Gambar 4.1.1. Hasil pekerjaan Siswa untuk soal 1)
Transkrip video
K1a : ci.. ro… lu… stop… sekk… sek… P : awas kena rambut, dicoba lagi.. K1a : ci… ro… lu…sek… sek….Stooop….
Piro? K1b : 22 detik
Soal 2: berapa lama benang tersebut bergetar?
(Gambar 4.1.2. Hasil pekerjaan siswa untuk soal 2)
1. Kemampuan dalam menggunakan istilah-istilah, notasi-
notasi matematika untuk menyajikan ide.
Berdasarkan hasil pekerjaan pada gambar 4.1.1. sampai
gambar 4.1.8., K1 dan K2 sudah mampu menggunakan
istilah dan notasi matematika untuk menyajikan ide, yaitu:
Kemampuan menggunakan istilah dapat dilihat dari
penggunaan kata satuan waktu, yaitu detik
Kemampuan menggunakan notasi matematika untuk
menyajikan ide dilihat dari penggunaan angka, misalnya
“22”, “3”, “9”, “36”, “19”, “4”, “10” dan “37”.
2. Kemampuan memahami, menginterpretasikan baik
secara lisan, tulisan maupun dalam bentuk visual
lainnya.
Berdasarkan gambar 4.1.1. sampai gambar 4.1.8, K1 dan K2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Soal 3: berapa lama senar tersebut bergetar?
(Gambar 4.1.3. Hasil pekerjaan siswa untuk soal 3)
(Gambar 4.1.4. Hasil pekerjaan siswa untuk soal 4)
dapat menginterpretasikan baik secara lisan, tulisan maupun
dalam bentuk visual lainnya.
Kemampuan memahami dapat dilihat dari proses
penyelesaian soal, dimana K1 dan K2 menggunakan
media pembelajaran yang ada untuk menemukan
penyelesaian masalah.
Kemampuan menginterpretasikan dapat dilihat dari
penulisan “22 detik”, “3 detik”, “9 detik, “36 detik”, “19
detik”, “4 detik”, “10 detik” dan “37 detik” yang
merupakan waktu kawat dimana jawaban tersebut
merupakan hasil dari pengukuran waktu getaran
menggunakan media pembelajaran yang telah disediakan.
3. Kemampuan mendemonstrasikan serta
menggambarkan melalui lisan dan tulisan
Berdasarkan proses penyelesaiannya, K1 dan K2 sudah
mampu mendemonstrasikan kegiatan praktikum dengan
baik dan sesuai instruksi pada soal.
K2 Soal 1: berapa lama kawat tersebut bergetar?
(Gambar 4.1.5. Hasil pekerjaan siswa untuk soal 1)
Transkrip Video
P : Satu, dua, tiga, yaps…. Lihat ya,…. K2 : kosekk…seeekk.. sekkk…. Yaaa.. P : ok, jadi itu berapa? (sambil menunjuk
pada stopwatch) K1 : Sembilan belas P : jadi disini jawabannya berapa?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
K1 : Sembilan belas P : Sembilan belas de….? K1 :19 detik. (sambil menulis jawaban di LKS)
Soal 2: berapa lama benang tersebut bergetar?
(Gambar 4.1.6. Hasil pekerjaan siswa untuk soal 2)
Soal 3: berapa lama senar tersebut bergetar?
(Gambar 4.1.7. Hasil pekerjaan siswa untuk soal 3)
Soal 4: berapa lama karet tersebut bergetar?
(Gambar 4.1.8. Hasil pekerjaan siswa untuk soal 4)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Indikator soal: siswa mampu menjelaskan sifat elastisitas gelombang (Soal 5)
K1 Soal 5: Benda manakah yang lebih lama bergetar? Menurutmu mengapa benda tersebut lama bergetar?
(Gambar 4.1.9. hasil pekerjaan siswa untuk soal 5)
Soal ini merupakan bentuk soal penalaran fisika, dimana
jawaban pada gambar 4.1.9 sampai gambar 4.1.10 berdasarkan
fenomena hasil percobaan yang diperoleh K1 dan K2. Pada
hasil pekerjanya, kedua kelompok menjawab pertanyaan
dengan benar.
Berdasarkan pengamatan peneliti, jawaban K1 dan K2 di
peroleh dari pengamatan dan percobaan terhadap fenomena
yang terjadi ketika diberi perlakuan pada setiap benda yang
digunakan selama kegiatan percobaan tersebut.
Dengan demikian, untuk soal 5 ini, tidak dapat digunakan
untuk menganalisis jawaban soal 5.
K2 Soal 5: Benda manakah yang lebih lama bergetar? Menurutmu mengapa benda tersebut lama bergetar?
(Gambar 4.1.10. Hasil pekerjaan siswa untuk soal 5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Indikator soal: siswa dapat menerapkan operasi pengurangan (soal 6-7)
K1
Soal 6: berapa perbedaan waktu bergetar antara kawat dan benang?
(Gambar 4.1.11. Hasil pekerjaan siswa soal 6)
Soal 7: berapa perbedaan waktu bergetar antara karet dan senar?
(Gambar 4.1.12. Hasil pekerjaan siswa soal 7)
1. Kemampuan dalam menggunakan istilah-istilah, notasi-
notas matematika untuk menyajikan ide.
Pada soal 6-7, K1 sudah mampu dalam menggunakan
istilah-istilah, notasi-notasi matematika untuk menyajikan
ide-ide.
• Kemampuan menggunakan istilah dapat dilihat dari
penggunaan kata “detik” pada hasil kerja K1.
• Kemampuan menggunakan notasi matematik dilihat dari
penggunaan notasi operasi pengurangan (-) seperti pada
gambar 4.1.11. sampai gambar 4.1.12.
2. Kemampuan memahami, menginterpretasikan baik
secara lisan, tulisan maupun dalam bentuk visual
lainnya.
Pada soal 6-7, K1 cukup mampu menggunakan kemampuan
memahami menginterpretasikan baik secara lisan, tulisan,
maupun dalam bentuk visual lainnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
• Kemampuan memahami masalah dilihat dari penggunaan
operasi hitung yang tepat untuk menyelesaikan masalah.
Akan tetapi, pada pekerjaan siswa, tidak tertulis
informasi yang diketahui dan tujuan masalah yang akan
dicapai.
• Kemampuan menginterpretasikan secara tulisan dilihat
dari pekerjaan siswa dimana siswa menggunakan operasi
pengurangan secara bersusun.
3. Kemampuan mendemonstrasikan serta
menggambarkan melalui lisan dan tulisan.
Berdasarkan kegiatan praktik dan proses penyelesaiannya,
K1 mampu mendemonstrasikan masalah yang diberikan,
dimana siswa mengukur waktu yang dibutuhkan setiap
benda untuk bergetar. Kemudian siswa menuliskannya
dalam bentuk angka dan dilengkapi dengan satuan waktu
berdasarkan hasil pengukuran tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
K2 Soal 6: berapa perbedaan waktu bergetar antara kawat dan benang?
(Gambar 4.1.13. Hasil pekerjaan siswa 6)
Soal 7: berapa perbedaan waktu bergetara antara karet dan senar?
(Gambar 4.1.14. Hasil pekerjaan siswa soal 7)
1. Kemampuan dalam menggunakan istilah-istilah,
notasinotasi matematika untuk menyajikan ide.
Berdasarkan hasil kerja pada gambar 4.1.13 sampai gambar
4.1.14, K2 mampu menggunakan istilah-istilah, notasi-
notasi matematika untuk menyajikan ide.
• Kemampuan menggunakan istilah-istilah seperti “kawat
19 detik”, “benang 4 detik”, “karet 37 detik” dan “senar
10 detik”.
• Kemampuan menggunakan notasi matematik seperti
menggunakan notasi operasi pengurangan (-), dengan
proses pengurangan secara bersusun.
2. Kemampuan memahami, menginterpretasikan baik
secara lisan, tulisan maupun dalam bentuk visual
lainnya.
Berdasarkan hasil kerja pada gambar 4.1.13 sampai gambar
4.1.14., K2 cukup mampu memahami, menginterpretasikan
baik secara lisan, tulisan maupun dalam bentuk visual
lainnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
• Kemampuan memahami dilihat dari penyelesaian
masalah siswa dimana siswa menggunakan operasi
hitung pengurangan untuk menyelesaikan masalah.
• Kemampuan menginterpetasikan secara tulisan dilihat
dari proses penyelesaian siswa menggunakan operasi
hitung pengurangan secara bersusun. Akan tetapi,
terdapat beberapa informasi yang ditulis kurang jelas
dalam pekerjaannya.
3. Kemampuan mendemonstrasikan serta
menggambarkan melalui lisan dan tulisan.
Berdasarkan proses penyelesaian masalah, K2 sudah mampu
mendemonstrasikan serta menggambarkan melalui lisan dan
tulisan. Hal ini dilihat dari proses penyelesaian masalah,
dimana K2 melaksanakan setiap instruksi praktik untuk
memperoleh data. Lalu data yang diperoleh ditulis
menggunakan angka dan satuan waktu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Indikator soal: siswa dapat menerapkan operasi penjumlahan (soal: 8-10)
K1 Soal 8:berapa total waktu kawat dan benag untuk bergetar?
(Gambar 4.1.15. Hasil pekerjaan siswa soal 8)
Soal 9: berapa total waktu karet, benang dan kawat untuk bergetar?
(Gambar 4.1.16. Hasil pekerjaan siswa soal 9)
1. Kemampuan dalam menggunakan istilah-istilah, notasi-
notasi matematika untuk menyajikan ide.
Berdasarkan hasil kerja pada gambar 4.1.15 sampai gambar
4.1.17 disamping, K1 sudah mampu menggunakan istilah-
istilah, notasi-notasi matematika untuk menyajikan ide.
Kemampuan menggunakan istilah, terlihat dari
penggunaan satuan detik.
Kemampuan menggunakan notasi matematika dilihat
dari penggunaan notasi operasi penjumlahan (+).
2. Kemampuan memahami, menginterpretasikan baik
secara lisan, tulisan maupun dalam bentuk visual
lainnya.
Berdasarkan hasil pekerjaan pada gambar 4.1.15 sampai
gambar 4.1.17., K1 cukup mampu memahami,
menginterpretasikan baik secara lisan, tulisan maupun dalam
bentuk visual lainnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Soal 10: berapa total waktu karet, benang, senar dan kawat untuk bergetar?
(Gambar 4.1.17. Hasil pekerjaan siswa soal 10)
• Kemampuan memahami dapat dilihat dari pemilihan
metode penyelesaian masalah, dimana siswa
menggunakan operasi penjumlahan untuk menentukan
total waktu bergetar dari setiap benda yang ditanya.
• Kemampuan menginterpretasikan dilihat dari penulisan
siswa untuk menyelesaikan operasi penjumlahan, dimana
siswa menggunakan penjumlahan bersusun untuk
menyelesaikan masalah. Akan tetapi, pada proses
penyelesaiannya siswa tidak menuliskan keterangan yang
diketahui dan tujuan penyelesaian masalah.
3. Kemampuan mendemonstrasikan serta
menggambarkan melalui lisan dan tulisan.
Berdasarkan hasil pekerjaan pada gambar 4.1.15 sampai
gambar 4.1.17.,, K1 sudah mampu mendemonstrasikan serta
menggambarkan melalui tulisan mengenai penyelesaian
masalah.
K2 Soal 8: berapa total waktu kawat dan benag untuk bergetar?
1. Kemampuan dalam menggunakan istilah-istilah, notasi-
notasi matematika untuk menyajikan ide.
Berdasarkan hasil pekerjaan gambar 4.1.18 sampai gambar
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
(Gambar 4.1.18. Hasil pekerjaan siswa soal 8)
Soal 9: berapa total waktu karet, benang dan kawat untuk bergetar?
(Gambar 4.1.19. Hasil pekerjaan siswa soal 9)
4.1.20., K2 sudah mampu menggunakan istilah-istilah,
notasi-notasi matematika untuk menyajikan ide.
• Kemampuan menggunakan istilah-istilah dilihat dari
penyelesaian K2 menerangkan waktu yang dibutuhkan
setiap benda untuk bergetar. Selain itu siswa juga
menggunakan istilah detik sebagai satuan waktu.
• Kemampuan menggunakan notasi-notasi matematika
dilihat dari penggunaan notasi operasi penjumlahan (+)
pada pekerjaan siswa.
2. Kemampuan memahami, menginterpretasikan baik
secara lisan, tulisan maupun dalam bentuk visual
lainnya.
Berdasarkan hasil kerja pada gambar 4.1.18 sampai gambar
4.1.20., K2 sudah mampu memahami, menginterpretasikan
baik secara tulisan.
• Kemampuan memahami dilihat dari pemilihan metode
untuk menyelesaikan masalah, yaitu operasi
penjumlahan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Soal 10: berapa total waktu karet, benang, senar dan kawat untuk bergetar?
(Gambar 4.1.20. Hasil pekerjaan siswa soal 10)
• Kemampuan menginterpretasikan dilihat dari tulisan
siswa, dimana siswa dapat menginterpretasikan masalah
dalam bahasa matematika. Akan tetapi bahasa
matematika pada tulisan tersebut belum tepat.
3. Kemampuan mendemonstrasikan serta
menggambarkan melalui lisan dan tulisan.
Berdasarkan hasil kerja pada gambar 4.1.18 sampai gambar
4.1.20., K2 sudah mampu mendemonstrasikan serta
menggambarkan melalui tulisan.
Hal ini dilihat dari teknik yang digunakan siswa, yaitu
teknik penjumlahan bersusun untuk memudahkan siswa
dalam berhitung.
Keterangan:
K1: kelompok 1
K2: kelompok 2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
Berdasarkan analisis dan pembahasan pada tabel 4.1 di atas, K1 belum
sepenuhnya mampu memenuhi ketiga indikator NCTM tersebut secara tulisan
karena belum memenuhi indikator kedua untuk soal 6 sampai soal 10. K1
cenderung untuk langsung menggunakan metode penyelesaian yang cocok tanpa
menerangkan terlebih dahulu informasi dan tujuan dari soal tersebut. Selain itu,
K2 sudah memenuhi ketiga indikator kemampuan komunikasi matematik
meskipun terdapat sedikit kekurangan dalam penulisan informasi dalam
menyelesaikan soal-soal yang diberikan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
D. REFLEKSI
Selama kurang lebih 2 tahun berdinamika, belajar bersama teman-teman
dan para Dosen S2 Pendidikan Matematika Sanata Dharma, hal yang paling
menantang dan sangat berkesan adalah proses penyusunan tesis. Suka dan duka
pun mengiringi proses penuh tantangan ini. Salah satu tantangan terberat selama
proses penyelesaian tesis ini adalah mengalahkan diri sendiri. Terdapat beberapa
sikap yang muncul, seperti malas, jenuh dan putus asa. Dibutuhkan usaha yang
cukup untuk mengatasi keadaan itu untuk kembali melanjutkan pekerjaan yang
belum selesai.
Hal yang dapat saya jadikan pelajaran hidup selama proses menyelesaikan
tesis ini adalah “jangan menunda pekerjaan, selesaikan sampai tuntas”. Saya
seringkali mengalami kesusahan karena kebiasaan saya yang selalu menunda
untuk menyelesaikan suatu pekerjaan. Akibatnya, saya tidak dapat mencapai
target saya. Berbagai hal yang telah saya rencanakan pun tidak terlaksana dengan
baik.
Harapan saya untuk tahap selanjutnya, saya harus lebih rajin dan
meninggalkan kebiasaan lama saya, agar dapat mencapai target dan semua
rencana dapat terlaksana dengan baik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
BAB V
PENUTUP
Pada bagian ini akan membahas tentang kesimpulan dari penelitian yang
telah dilaksanakan, baik penelitian matematika maupun penelitian pendidikan
matematika. Selain itu, pada bab ini pula membahas tentang saran bagi
pengembangan penelitian selanjutnya.
A. Kesimpulan
Berdasarkan penelitian dan hasil pembahasan, maka dapat disimpulkan bahwa:
1. Metode grid selang-seling dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan
gelombang elastis yang berkaitan dengan masalah akustik. Pada penelitian ini,
peneliti menggunakan masalah nilai awal yang halus (smooth).
2. Pada solusi numeris, diperoleh perilaku fisik yang tepat karena terdapat 1
gelombang tekanan dengan kecepatan nol, tekanan terbagi menjadi 2 bagian
dan bergerak menuju arah yang berlawanan seiring berjalannya waktu.
3. Berdasarkan pembelajaran matematika yang dilakukan untuk materi operasi
penjumlahan dan pengurangan menggunakan konsep gelombang elastis di
kelas VI SD Negeri 2 Kragilan Gantiwarno tahun 2017, kemampuan
komunikasi matematik dari 18 siswa di kelas dalam menyelesaikan soal yang
diberikan adalah sebagai berikut:
a. Terdapat 9 siswa sudah mampu memenuhi 2 indikator NCTM, yaitu
indikator kemampuan dalam menggunakan istilah-istilah, notasi-notasi
matematika untuk menyajikan ide dan indikator kemampuan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
a. mendemonstrasikan serta menggambarkan melalui lisan dan tulisan
mengenai konsep operasi penjumlahan dan pengurangan.
b. Terdapat 9 siswa sudah memenuhi ketiga indikator NCTM, yaitu indikator
kemampuan dalam menggunakan istilah-istilah, notasi-notasi matematika
untuk menyajikan ide, indikator kemampuan memahami
menginterpretasikan secara lisan, tulisan maupun dalam bentuk visual
lainnya, dan indikator kemampuan mendemonstrasikan serta
menggambarkan melalui lisan dan tulisan mengenai materi operasi
penjumlahan dan pengurangan, meskipun terdapat sedikit kekurangan
dalam penulisan informasi dalam menyelesaikan soal.
B. Saran
Sebagai bentuk dukungan perkembangan bagi penelitian selanjutnya,
peneliti menyarankan untuk meneliti kinerja metode beda hingga grid selang-
selang terhadap masalah-masalah kasar (nonsmooth). Selain itu, untuk
pengembangan penelitian dalam bidang pendidikan matematika, disarankan untuk
menggunakan soal-soal yang lebih konstekstual, sehingga selain mengukur
kemampuan komunikasi matematik siswa, juga dapat mengukur kemampuan
penalaran siswa. Selain itu, diharapkan pada penelitian selanjutnya untuk
menggunakan metode wawancara untuk memperkuat analisis data.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
DAFTAR PUSTAKA
Ansari, dkk, 2016, Komunikasi Matematik, Strategi Berpikir dan Manajemen Belajar: Konsep dan Aplikasi, PeNA, Banda Aceh.
Bartolo, L.D., Dors, C. dan Mansur, W.J., 2015, Theory Of Equivalent Staggered-Grid Schemes: Application To Rotated And Standard Grids In Anisotropic Media, Geophysical Prospecting, 63, 1097.
Berk, L.E., 2012, Development Trought The Lifespam, Pustaka Pelajar, Yogyakarta.
Borthwick, D., 2016, Introduction To Partial Differential Equations, Springer, USA.
Breuss, M., 2004, The Correct Use of The Lax-Friedrichs Method, http://www.esaim-m2an.org/articles/m2an/pdf/2004/03/m2an0383.pdf/ Diakses 7 Januari 2018.
Dettmer, W.G. dan Peric, B., 2013, A New Staggered Scheme For Fluid-Structure Interaction, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 93, 1.
Hall, F. dan Wang, Y., 2009, Elastic Wave Modelling By An Integrated Finite Difference Method, Geophysical Journal International, 177, 104.
Huang, C. dan Dong, L-G., 2009, Staggered-Grid High-Order Finite-Difference Method In Elastic Wave Simulation With Variable Grids And Local Time-Steps, Chinese Journal of Geophysics, 52, 1324.
Lee, J.J. dan Kim, H.H., 2016, Analysis Of A Staggered Discontinuous Galerkin Method For Linear Elasticity, Journal of Scientific Computing, 66, 625.
LeVeque, R.J., 2002a, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press, Cambridge.
LeVeque, R.J., 2002b, Finite-Volume Methods For Non-Linear Elasticity In Heterogeneous Media, International Journal for Numerical Methods in Fluids, 40, 93.
Mungkasi, S. dan Ningrum, G.I.J., 2016, Numerical Solution To The Linear Acoustics Equations, AIP Conference Proceedings, 1746, 020056.
Mungkasi, S. dan Supriyadi, B., 2016, Finite Volume Numerical Solvers For Non-Linear Elasticity In Heterogeneous Media, International Journal for Multiscale Computational Engineering, 14, 479.
NCTM, 2000, Principles and Standards for School Mathematics, NCTM, USA.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
Nilsson, S., Petersson, N.A., Sjögreen, B. dan Kreiss, H.O., 2007, Stable Difference Approximations For The Elastic Wave Equation In Second Order Formulation, SIAM Journal on Numerical Analysis, 45, 1902.
Rachmayani, Dwi, 2014, Penerapan Pembelajaran Reciprocal Teaching untuk Meningkatkan Kemampuan Komunikasi Matematis dan Kemandirian Belajar Matematika Siswa, Jurnal Pendidikan UNSIKA, 2, 1.
Schneider, M., Ospald, F. dan Kabel, M., 2016, Computational Homogenization Of Elasticity On A Staggered Grid, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 105, 693.
Sjögreen, B. dan Petersson, N.A., 2012, A Fourth Order Accurate Finite Difference Scheme For The Elastic Wave Equation In Second Order Formulation, Journal of Scientific Computing, 52, 17.
Wazwaz, A.M., 2009, Partial differential Equations and Solitary Waves Theory, Springer, Berlin.
Yang, L., Yan, H. dan Liu, H., 2016, Optimal Implicit Staggered-Grid Finite-Difference Schemes Based On The Sampling Approximation Method For Seismic Modeling, Geophysical Prospecting, 64, 595.
Yang, L., Yan, H. dan Liu, H., 2017, An Optimal Implicit Staggered-Grid Finite-Difference Scheme Based On The Modified Taylor-Series Expansion With Minimax Approximation Method For Elastic Modeling, Journal of Applied Geophysics, 138, 161.
Yan, H-Y. dan Liu, Y., 2012, High-Order Finite-Difference Numerical Modeling Of Wave Propagation In Viscoelastic TTI Media Using Rotated Staggered Grid, Chinese Journal of Geophysics, 55, 252.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
LAMPIRAN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
A. Program Matlab
clear all clc N = 1000;%Number of cells L = 10; %the length of the domain dx=2*L/(N-1); %delta x dt=0.05*dx; %delta t tFinal = 5; % time of simulation Nt = tFinal/dt; % banyaknya titik waktu x = -10:dx:10; %interval x xodd = zeros(1, N/2); uodd = xodd; xeven = zeros(1, N/2); peven = xeven; p0=zeros(1,N); p=zeros(1,N); u0=zeros(1,N); u=zeros(1,N); % storage of quantity % nilai awal % for j=1:N; %iterasi j sebanyak 1 sampai N, dmna N merupakan banyaknya x % if x(j)<0 % p(j)=10; % else % p(j)=5; % end % end %initial condition for i=1:N if x(i)<pi && x(i)>-pi p(i) = 1 - cos(x(i)+pi); % u(x,0) end end for i = 1:N if mod(i,2) == 0 xeven(i/2) = x(i); peven(i/2) = p(i); else xodd((i+1)/2) = x(i); uodd((i+1)/2) = u(i); end end
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
%perintah dibawah ini(47-55)dipakai untuk menggambar tekanan dan kecepatan saat %t=0 %plot(x,p) %xlabel('x') %ylabel('p') %plot(x,u) %xlabel('x') %ylabel('u') %stop for n=1:Nt p0 = p; u0 = u; for i = 2:N-1 if mod(i,2) == 0 %h grids p(i) = p0(i) - dt/(2*dx)*(u0(i+1) - u0(i-1)); end end p(1) = 0; p(end) = 0; for i = 2:N-1 if mod(i,2)~= 0 %u-grids; u(i) = u0(i) - dt/(2*dx)*(p0(i+1) - p0(i-1)); end end u(1) = 0; u(end) = 0; % pemilahan hasil for i = 1:N if mod(i,2) == 0 peven(i/2) = p(i); else uodd((i+1)/2) = u(i); end end %plot the results figure(1) subplot(2,1,1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
plot(xeven,peven) xlabel('x') ylabel('p(x,t)') subplot(2,1,2) plot(xodd,uodd) xlabel('x') ylabel('u(x,t)') pause(10^-10) t=n*dt; end
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
B. Surat Undangan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
C. Surat Keterangan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
D. Daftar Hadir
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
E. RPP dan Langkah-langkah Percobaan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
F. Hasil Kerja Siswa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
G. Dokumentasi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI