per risolvere un quadrilatero devono essere · per risolvere un quadrilatero devono essere noti...
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PER RISOLVERE UN QUADRILATERO DEVONO ESSERE NOTI ALMENO 5 ELEMENTI DI CUI ALMENO DUE LATI. IN BASE AGLI ELEMENTI CHE SI CONOSCONO SI POSSONO VERIFICARE I SEGUENTI CASI:
1) 3 LATI + 2 ANGOLI COMPRESI 2) 3 LATI + 2 ANGOLI NON COMPRESI 3) 3 ANGOLI + 2 LATI OPPOSTI 4) 3 ANGOLI + 2 LATI CONSECUTIVI 5) 4 LATI + 1 ANGOLO 6) 3 LATI + 2 ANGOLI DI CUI 1 COMPRESO 7) 4 LATI + 1 DIAGONALE
CASO 1) 3 LATI + 2 ANGOLI COMPRESI
Dati: AB, BC, CD, b, g
Inc.: AD, a, d, Area
Disegno: si mette per base il lato di cui si conoscono gli angoli adiacenti (nel nostro caso BC)
B
A
D
C
Si tracciano gli angoli dati e si disegnano in scala i lati relativi (AB e CD) Infine si traccia il lato mancante AD
b g
CASO 1) 3 LATI + 2 ANGOLI COMPRESI
Per risolvere il quadrilatero si traccia a piacere una delle due diagonali (AC o BD)
Si risolve il triangolo di cui si conoscono due lati e un angolo compreso:
bcos222 BCABBCABAC
ACBC
ABACBC
2cos
2221
1g
11 200 gba c
12 ggg
B
A
D
C
b g g1
g2
a1
a2
d
2
22 cos2 g CDACCDACAD
ADCD
ACADCD
2cos
2221d
22 200 gda c
21 aaa
ACDABCABCD SSS
22
db senADCDsenBCABSABCD
CASO 2) 3 LATI + 2 NON ANGOLI COMPRESI
Dati: AB, BC, CD, a, d
Inc.: AD, b, g, Area
Disegno: si mette per base il lato che non conosciamo (nel nostro caso AD) ma avrà un estremo incognito (D1)
Si tracciano gli angoli dati e si disegnano in scala i lati relativi (AB e CD) Si traccia un cerchio di centro B e raggio il lato BC
B
A D1
C1
a d
B
A D1
C1
a d
D
C Dal punto C1 si traccia una retta orizzontale fino ad incontrare l’arco di cerchio, ottenendo il punto C. Si collega con B. Si sposta il lato C1D1 parallelamente a se stesso in modo che C1 coincide con C
CASO 2) 3 LATI + 2 NON ANGOLI COMPRESI
Per risolvere il quadrilatero si tracciano le altezze dai punti B e C e si risolvono i triangoli rettangoli ABH e CDK
B
A
a d
D
C
H K
ABH
aa senABBHAB
BHsen
aa coscos ABAHAB
AHb1
g1
ab cc 1002001
CDK
dd senCDCKCD
CKsen
dd coscos CDDKCD
DK
dg cc 1002001
CASO 2) 3 LATI + 2 NON ANGOLI COMPRESI
Dal punto B si traccia una retta orizzontale fino ad incontrare in E il segmento CK
B
A
a d
D
C
H K
BCE
BC
CEsen
BC
CEsen 1
22 bb
22 coscos bb BCBEBC
BE
b1
g1
22 100200 bg cc
E
BHCKCE
b2
g2
Infine
c
DKBEAHAD
10021
21
bbb
ggg
22
ga senCDBCsenADABSABCD
CASO 3) 3 ANGOLI+ 2 LATI OPPOSTI
Dati: AB, CD, a, b, d Inc.: BC, AD, g, S DISEGNO Si mette per base il lato più grande (ad es. AB) e si tracciano gli angoli alla base a e b.
B A
a
d
D1
b
B A
a
C1 Si prende un punto (nel nostro caso D1) a piacere sul lato dove si conosce il terzo angolo e si traccia l’angolo (nel nostro caso d) e il lato (nel nostro caso CD)
d D
B A
a
C
Retta parallela a AD
D1
C1
Dal punto C1 si traccia la parallela al lato AD fino ad incontrare il lato opposto nel punto C. Infine si sposta il segmento C1D1 in C ottenendo il punto D
CASO 3) 3 ANGOLI+ 2 LATI OPPOSTI
SVOLGIMENTO
d
D
B A
a
C
g
b
E dbag c400
ABE e
e
a
e
b
bae
sen
senABBE
sen
senABAE
c
200
CDEg1
d1
dd
gg
200
200
1
1
c
CEBEBC
DEAEAD
sen
senCDCE
sen
senCDDE
e
d
e
g
1
1
22
ga senCDBCsenADABSABCD
oppure
CDEABEABCD SSS
CASO 4) 3 ANGOLI + 2 LATI CONSECUTIVI Dati: AB, BC, a, b, g
Inc.: CD, AD, d, Area
d
D
B A
a
C
g
b
DISEGNO Mettere per base un lato noto e disegnare l’angolo con l'altro lato (es. AB, BC e b) Da vertici esterni dei due lati si tracciano gli angoli (a e g) fino a farli incontrare in D
SVOLGIMENTO
ABCbcos222 BCABBCABAC
)2(
)(cos
2221
1ACAB
BCACAB
a
12
12
11 200
ggg
aaa
bag
c
gbad c400
d
g
d
a
sen
senACAD
sen
senACCD
2
2
22
db senCDADsenBCABSABCD
a1
a2
g1 g2
CASO 5) 4 LATI + 1 ANGOLO
Dati: AB, BC, CD, AD, b
Inc.: a, g, d, Area DISEGNO
Mettere per base un lato noto e disegnare l’angolo con l'altro lato (es. AB, BC e b) Da vertici esterni dei due lati si tracciano con il compasso due archi di raggio AD e CD che si incontrano nel punto D (è possibile che ci siano due soluzioni)
D
B
C
b
A
D1
CASO 5) 4 LATI + 1 ANGOLO
Dati: AB, BC, CD, AD, b
Inc.: a, g, d, Area
D
B
C
b
A
1 SOLUZIONE ABCD
ABCbcos222 BCABBCABAC
)2(
)(cos
2221
1ACAB
BCACAB
a
bag 11 200c
)2(
)(cos
2221
2ACAD
CDACAD
a
)2(
)(cos
2221
2ACCD
ADACCD
g
21
22200
aaa
gad
c
21 ggg
a1
a2
g1
g2 g
a
d
22
db senCDADsenBCABSABCD
CASO 5) 4 LATI + 1 ANGOLO
Dati: AB, BC, CD, AD, b
Inc.: a, g, d, Area
D
B
C
b
A
2 SOLUZIONE ABCD1
23
23
1
2
2
400
ggg
aaa
dd
c
a3 a2
g3
g2
g
a
d
11 ACDABCABCD SSS
D1 d
Si utilizzano alcuni risultati della 1 soluzione e si trovano gli elementi della 2 soluzione
22
111
db senCDADsenBCABSABCD
d1
RIMANGONO DA SVOLGERE I CASI: 6) 3 LATI + 2 ANGOLI DI CUI 1 COMPRESO 7) 4 LATI + 1 DIAGONALE
SI CHIEDE DI PREPARARE UNA PRESENTAZIONE CHE ILLUSTRI LA RISOLUZIONE DI QUESTI DUE CASI. SI PUO’ LAVORARE IN GRUPPI DI MASSIMO TRE PERSONE. LE MIGLIORI DUE PRESENTAZIONI SARANNO VALUTATE CON VOTO SUL REGISTRO
Salve … Co’ sti quadrilateri che.