per2 logika umn

January 27, 2003 Applied Discrete MathematicsWeek 1: Logic and Sets

1

LogikaLogika• Hal yang penting dalam matematika reasoningHal yang penting dalam matematika reasoning• Digunakan untuk mendisain sikuit elektronikDigunakan untuk mendisain sikuit elektronik

• Logika berdasarkan pada Logika berdasarkan pada proposisiproposisi..• Sebuah proposisi adalah sebuah pernyataan (stSebuah proposisi adalah sebuah pernyataan (statatmen) men)

yang memiliki nilai benar atau salah, tetapi tidak yang memiliki nilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya.keduanya.

• Kita dapat mengatakan bahwa nilai kebenaran sebuah Kita dapat mengatakan bahwa nilai kebenaran sebuah proposisi adalah benar (proposisi adalah benar (BB) atau salah () atau salah (SS).).

• Pada sirkuit digital berkorespondensi dengan Pada sirkuit digital berkorespondensi dengan 11 dan dan 0.0.


2

Pernyataan / Permainan Proposisi Pernyataan / Permainan Proposisi

““Gajah lebih besar dari tikus.”Gajah lebih besar dari tikus.”

Apakah pernyataan ?Apakah pernyataan ? yaya

Apakah proposisi ?Apakah proposisi ? yaya

Apa nilai kebenaran Apa nilai kebenaran proporsisi ?proporsisi ? BenarBenar


3

Pernyataan / Permainan ProposisiPernyataan / Permainan Proposisi

““520 < 111”520 < 111”



Apa nilai kebenaran Apa nilai kebenaran proposisi?proposisi? salahsalah


4


““y > 5”y > 5”

Apakah pernyataan ? Apakah pernyataan ? yaya

Apakah proposisi ?Apakah proposisi ? tidaktidak

Nilai kebenarnnya bergantung pada nilai y, Nilai kebenarnnya bergantung pada nilai y, tetapi nilainya tidak spesifik.tetapi nilainya tidak spesifik.Kita dapat mengatakan tipe pernyataan ini Kita dapat mengatakan tipe pernyataan ini sebuahsebuah fungsi proposional fungsi proposional atau atau pernyataan pernyataan terbukaterbuka..


5


““Hari ini Hari ini 10 September10 September 200 20099 dan 99 < 5.” dan 99 < 5.”



Apa nilai kebenaran Apa nilai kebenaran proposisi proposisi ?? salahsalah


6


““Jangan membuang sampah sembarangan”Jangan membuang sampah sembarangan”

Apakah pernyataan ?Apakah pernyataan ? TidakTidak

Apakah proposisi ?Apakah proposisi ? TidakTidak

Hanya pernyataan yang dapat dijadikan Hanya pernyataan yang dapat dijadikan proposisi.proposisi.

Hanya sebuah himbauan atau permintaanHanya sebuah himbauan atau permintaan


7


““Jika gajah-gajah merah,Jika gajah-gajah merah,mereka dapat bersembunyi dipohon cherry.”mereka dapat bersembunyi dipohon cherry.”



Apa nilai kebenaran Apa nilai kebenaran proposisiproposisi??

Peluang yg salahPeluang yg salah


8


““x < y jika dan hanya jika y > x.”x < y jika dan hanya jika y > x.”

Apakah pernyataan ?Apakah pernyataan ? yayaApakah proposisi ?Apakah proposisi ? yaya

Apa nilai kebenaran Apa nilai kebenaran proposisiproposisi??

BenarBenar

… … sebab nilai kebenarannya sebab nilai kebenarannya tidak bergantung pada tidak bergantung pada spesifik nilai x dan y.spesifik nilai x dan y.


9

Proposisi MajemukProposisi Majemuk

Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasi Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasi menjadi sebuah bentuk tunggal proposisi menjadi sebuah bentuk tunggal proposisi majemuk.majemuk.

Secara formal proposisi dapat dinotasikan Secara formal proposisi dapat dinotasikan sebagai huruf kecil seperti sebagai huruf kecil seperti p, q, r, s,p, q, r, s, dan dan didahului beberapa didahului beberapa operator logika operator logika. .


10

Operator Logika (Konektivitas)Operator Logika (Konektivitas)Logika operator :Logika operator :

• Negasi Negasi (NOT)(NOT)• Konjungsi Konjungsi (AND)(AND)• Disjungsi Disjungsi (OR)(OR)• EksEkskklusilusiff or or (XOR)(XOR)• Implikasi Implikasi (if – then)(if – then)• Biimplikasi Biimplikasi (if and only if)(if and only if)

Tabel kebenaran dapat digunakan untuk Tabel kebenaran dapat digunakan untuk menunjukkan bagaimana operator dapat menunjukkan bagaimana operator dapat dikombinasi dengan proposisi menjadi proposisi dikombinasi dengan proposisi menjadi proposisi majemuk.majemuk.


11

Negasi (NOT)Negasi (NOT)

Operator Unari, Simbol: Operator Unari, Simbol:

PP PP

BB SS

SS BB


12

Konjungsi (AND)Konjungsi (AND)

Operator Binari, Symbol: Operator Binari, Symbol:

PP QQ PQPQ

BB BB BB

BB SS SS

SS BB SS

SS SS SS


13

Disjunction (OR)Disjunction (OR)

Binary Operator, Symbol: Binary Operator, Symbol:

PP QQ PPQQ

BB BB BB

BB SS BB

SS BB BB

SS SS SS


14

EEksksklusif Or (XOR)klusif Or (XOR)

Operator Biner, Symbol: Operator Biner, Symbol:

PP QQ PPQQ

BB BB SS

BB SS BB

SS BB BB

SS SS SS


15

Implikasi (Jika - Maka)Implikasi (Jika - Maka)

Operator Biner, Symbol: Operator Biner, Symbol:

PP QQ PPQQ

BB BB BB

BB SS SS

SS BB BB

SS SS BB


16

Biimplikasi (Jika dan hanya jika)Biimplikasi (Jika dan hanya jika)

Operator Biner, Symbol : Operator Biner, Symbol :

PP QQ PPQQ

BB BB BB

BB SS SS

SS BB SS

SS SS BB


17

Pernyataan dan OperatorPernyataan dan OperatorPernyatan dan operator dapat dikombinasi dengan beberapa cara Pernyatan dan operator dapat dikombinasi dengan beberapa cara

menjadi suatu pernyataan yang baru.menjadi suatu pernyataan yang baru.

PP QQ PQPQ (PQ)(PQ)

(P)(Q(P)(Q))

BB BB BB SS SSBB SS SS BB BBSS BB SS BB BBSS SS SS BB BB


18

Pernyataan yang EkuivalenPernyataan yang Ekuivalen

PP QQ (PQ(PQ))

(P)(Q(P)(Q))

(PQ)(PQ)(P)(Q(P)(Q))

TT TT SS SS BBBB SS BB BB BBSS BB BB BB BBSS SS BB BB BB

Pernyataan Pernyataan (P(PQ) dan (Q) dan (P)P)((Q) adalah Q) adalah ekuivalen logikalekuivalen logikal, , sebab sebab (P(PQ)Q)((P)P)((Q) adalah selalu benar.Q) adalah selalu benar.


19

Tautologi dan KontradiksiTautologi dan Kontradiksi

Tautology adalah pernyataan yang selalu Tautology adalah pernyataan yang selalu benar.benar.

Contoh: Contoh: • RR((R)R)(P(PQ)Q)((P)P)((Q)Q)

Jika SJika ST adalah tautologi, ditulis ST adalah tautologi, ditulis ST.T.Jika SJika ST adalah tautologi, ditulis ST adalah tautologi, ditulis ST.T.


20

Tautologi dan KontradiksiTautologi dan Kontradiksi

Kontradiksi adalah pernyataan yang selalu Kontradiksi adalah pernyataan yang selalu bernilai salah. bernilai salah.

Contoh : Contoh : • RR((R)R)(((P(PQ)Q)((P)P)((Q))Q))

Negasi dari tautologi adalah kontradiksi danNegasi dari tautologi adalah kontradiksi dan negasi dari kontradiksi adalah tautologi. negasi dari kontradiksi adalah tautologi.


21

LatihanLatihanBuktikan bahwa pernyatan berikut tautologi: Buktikan bahwa pernyatan berikut tautologi:

1. 1. (P(PQ) Q) ((P)P)((Q)Q)

2. 2. (P(PQ) Q) ((P)P)((Q).Q).

per2 logika umn

Education