perbandingan penaksir metode kaplan-meier dan …/per... · metode modifikasi kaplan-meier pada...
TRANSCRIPT
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
i
PERBANDINGAN PENAKSIR METODE KAPLAN-MEIER DAN
METODE MODIFIKASI KAPLAN-MEIER PADA ANALISIS TAHAN
HIDUP PENDERITA LEUKEMIA DI RSUD Dr. MOEWARDI SURAKARTA
oleh
AHMAD ISNAINI HASAN
NIM. M0106024
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA
2011
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
iii
ABSTRAK
Ahmad Isnaini Hasan, 2011. PERBANDINGAN PENAKSIR METODE
KAPLAN-MEIER DAN METODE MODIFIKASI KAPLAN-MEIER PADA
ANALISIS TAHAN HIDUP PENDERITA LEUKEMIA DI RSUD Dr.
MOEWARDI SURAKARTA. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas Sebelas Maret.
Leukemia merupakan penyakit yang ditandai dengan adanya pertambahan
sel darah putih yang sangat cepat dan tidak terkendali. Probabilitas tahan hidup
penderita leukemia dapat dicari dengan penaksir metode Kaplan-Meier dan
metode modifikasi Kaplan-Meier. Penelitian ini membandingkan estimasi fungsi
tahan hidup pada penderita leukemia menggunakan penaksir metode Kaplan-
Meier dan dengan metode modifikasi Kaplan-Meier. Penaksir Kaplan-Meier
dimodifikasi dengan menggunakan pendekatan dari fungsi tahan hidup distribusi
Weibull.
Berdasarkan hasil penelitian diketahui bahwa nilai estimasi dengan
penaksir modifikasi Kaplan-Meier terlihat lebih baik dan lebih masuk akal
dibanding penaksir Kaplan-Meier. Selain itu dari studi simulasi diketahui bahwa
nilai mean square error (MSE) dari penaksir metode modifikasi Kaplan-Meier
lebih kecil daripada metode Kaplan-Meier. Hal ini menunjukkan bahwa penaksir
modifikasi Kaplan-Meier lebih baik dibanding penaksir Kaplan-Meier biasa.
Kata kunci : leukemia, probabilitas tahan hidup, penaksir Kaplan-Meier, MSE.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
iv
ABSTRACT
Ahmad Isnaini Hasan, 2011. COMPARISON OF ESTIMATOR WITH
KAPLAN–MEIER METHOD AND MODIFICATION OF KAPLAN–MEIER
METHOD ON SURVIVAL ANALYSIS FROM LEUKEMIA PATIENTS IN Dr.
MOEWARDI PUBLIC HOSPITAL, SURAKARTA. Faculty of Mathematics and
Natural Sciences, Sebelas Maret University.
Leukemia is a disease signed of very fast and uncontrolled leukocytes
addition. Survival probability of leukemia patients can be found by Kaplan –
Meier method and modification of Kaplan – Meier method. This research
compare survival functions estimation on the leukemia patients using Kaplan-
Meier method and modification of Kaplan-Meier method. Kaplan-Meier estimator
will be modified using approximation of survival function by Weibull
distribution.
Based on this research results, it is known that the estimation value using
modification of Kaplan-Meier estimator is better and more reasonable than
Kaplan-Meier estimator. Therefore, from simulation study it is known that the
MSE of estimator with modification of Kaplan-Meier method is smaller than
Kaplan-Meier method. It shows that modification of Kaplan-Meier estimator is
better than the original Kaplan-Meier estimator.
Keywords : leukemia, survival probability, Kaplan-Meier method, MSE.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
v
MOTO
Sesungguhnya Allah tidak akan mengubah keadaan sesuatu kaum sebelum
mereka mengubah keadaan yang ada pada diri mereka sendiri
(Q.S. Ar Ra’d : 11)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
vi
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk
Ayah ibuku tercinta yang telah membimbingku dari kecil hingga saat ini
Kakak dan adikku tersayang yang telah memberi semangat dan doa
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
vii
KATA PENGANTAR
Segala puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah
memberikan banyak kenikmatan kepada penulis sehingga penulis dapat
menyelesaikan skripsi ini. Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan
beberapa pihak, oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada
1. Drs. Sugiyanto, M.Si. sebagai dosen Pembimbing I dan Drs. Muslich,
M.Si. sebagai dosen Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan
dan arahan kepada penulis selama menyelesaikan skripsi ini,
2. Pihak RSUD Dr. Moewardi Surakarta,
3. Nurul ‘Azizah Rahmawati yang selalu memberi motivasi saat penulis
kehilangan semangat,
4. Drajat, Markus, Ahmad, Anam, Wawan Yudha, Anis serta semua teman-
teman angkatan 2006 atas kerjasama dan bantuan yang diberikan saat
penulis menghadapi kendala dalam penyusunan skripsi ini,
5. Semua pihak yang membantu dalam penulisan skripsi ini yang tidak
dapat penulis sebut satu per satu.
Semoga Allah SWT membalas semua kebaikan yang telah mereka berikan
selama ini dan semoga skripsi ini dapat memberi manfaat.
Surakarta, Desember 2011
Penulis
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
viii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ........................................................................................... i
PENGESAHAN .................................................................................................. ii
ABSTRAK .......................................................................................................... iii
ABSTRACT .......................................................................................................... iv
MOTO ................................................................................................................. v
PERSEMBAHAN ............................................................................................... vi
KATA PENGANTAR ........................................................................................ vii
DAFTAR ISI ....................................................................................................... viii
DAFTAR TABEL ............................................................................................... x
DAFTAR GAMBAR .......................................................................................... xi
BAB I PENDAHULUAN .................................................................................. 1
1.1 Latar Belakang ........................................................................................ 1
1.2 Perumusan Masalah ................................................................................ 2
1.3 Batasan Masalah...................................................................................... 2
1.4 Tujuan Penelitian .................................................................................... 3
1.5 Manfaat Penelitian .................................................................................. 3
BAB II LANDASAN TEORI ........................................................................... 4
2.1 Tinjauan Pustaka ..................................................................................... 4
2.2 Teori-Teori Penunjang ............................................................................ 5
2.2.1 Leukemia ....................................................................................... 6
2.2.2 Konsep Dasar Statistika ................................................................ 7
2.2.3 Konsep Dasar Analisis Tahan Hidup ............................................ 8
2.2.3.1 Model Kontinu .................................................................. 8
2.2.3.2 Model Diskrit .................................................................... 9
2.2.3.3 Jenis-Jenis Sensor ............................................................. 10
2.2.3.4 Fungsi Tahan Hidup Distribusi Weibull ........................... 11
2.2.3.5 Fungsi Tahan Hidup Distribusi Eksponensial ................... 12
2.2.4 Metode Maksimum Likelihood ..................................................... 12
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ix
2.2.5 Penaksir Kaplan-Meier .................................................................. 13
2.2.6 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier ............................................... 13
2.2.6.1 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑀 = 2 .......... 14
2.2.6.2 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑀 > 2 .......... 15
2.3 Kerangka Pemikiran ................................................................................ 16
BAB III METODE PENELITIAN ............................................................ 18
BAB IV PEMBAHASAN .................................................................................. 19
4.1 Deskripsi Data ......................................................................................... 19
4.2 Penaksir Kaplan-Meier ........................................................................... 19
4.3 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier ......................................................... 21
4.3.1 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑀 = 2 ........................ 22
4.3.2 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑀 = 3 ........................ 24
4.4 Estimasi Fungsi Tahan Hidup pada Penderita Leukemia ....................... 26
4.4.1 Estimasi Fungsi Tahan Hidup pada Penderita Leukemia dengan
Penaksir Kaplan-Meier ................................................................. 26
4.4.2 Estimasi Fungsi Tahan Hidup pada Penderita Leukemia dengan
Penaksir Modifikasi Kaplan-Meier .............................................. 28
4.5 Studi Simulasi ......................................................................................... 29
BAB V PENUTUP ............................................................................................. 32
5.1 Kesimpulan ............................................................................................. 32
5.2 Saran ........................................................................................................ 32
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 33
DAFTAR LAMPIRAN ..................................................................................... 35
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
x
DAFTAR TABEL
Tabel 4.1 Ringkasan data penderita Leukemia Limfositik Akut ........................ 19
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
xi
DAFTAR GAMBAR
Gambar 4.1 Grafik Estimasi Fungsi Tahan Hidup dengan 𝐾𝑀 ....................... 27
Gambar 4.2 Grafik Estimasi Fungsi Tahan Hidup dengan Modifikasi Penaksir
Kaplan-Meier untuk 𝑀 = 2 dan 𝑀 = 3 ....................................... 28
Gambar 4.3 Perbandingan Grafik Estimasi Fungsi Tahan Hidup dengan KM,
𝑆 2 𝑡 dan 𝑆 3 𝑡 ............................................................................. 29
Gambar 4.4 Perbandingan Grafik Estimasi Fungsi Tahan Hidup Data Simulasi
dengan 𝑆 𝑡 , 𝐾𝑀(𝑡) , 𝑆 2 𝑡 dan 𝑆 3 𝑡 ...................................... 30
Gambar 4.5 Grafik Perbandingan Nilai MSE 𝐾𝑀(𝑡), 𝑆 2 𝑡 dan 𝑆 3 𝑡 .......... 31
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Analisis statistik yang digunakan untuk menganalisis data waktu hidup
dinamakan analisis tahan hidup. Waktu hidup didefinisikan sebagai variabel
random nonnegatif sehingga analisis tahan hidup adalah suatu analisis statistik
pada variabel random nonnegatif yang berfungsi untuk mengetahui ketahanan
hidup suatu obyek yang diteliti. Salah satu metode analisis tahan hidup adalah
estimasi fungsi tahan hidup. Fungsi tahan hidup didefinisikan sebagai probabilitas
tahan hidup sampai waktu tertentu (Lawless, 1982).
Data tidak tersensor yang disebut data lengkap lebih baik digunakan dalam
analisis tahan hidup karena dapat memberikan informasi terhadap ketahanan
hidup semua unit dalam sampel. Akan tetapi, dalam melakukan suatu penelitian
yang berhubungan dengan waktu hidup, sering dijumpai kendala-kendala antara
lain keterbatasan dana, waktu, dan tenaga sehingga sulit mendapatkan data
lengkap. Oleh karena itu, data waktu hidup biasanya merupakan data tak lengkap
atau data tersensor (Nelson, 1982).
Salah satu permasalahan yang menyangkut tahan hidup dijumpai dalam
bidang kesehatan, sebagai contoh penyakit leukemia (kanker darah). Leukemia
merupakan suatu penyakit yang ditandai dengan adanya pertambahan sel darah
putih (leukosit) pada penderita. Pertambahan ini sangat cepat dan tidak terkendali
serta bentuk sel-sel darah putihnya tidak normal. Penyakit leukemia memberi
andil sebesar empat persen dari seluruh penyakit kanker penyebab kematian pada
manusia (Yatim, 2003). Agar angka tersebut tidak terus bertambah maka
ketepatan dalam pemberian obat atau perawatan terhadap pasien menjadi sangat
penting dan tidak lepas dari pengamatan tentang waktu hidup pasien
Fungsi tahan hidup penderita leukemia dapat diestimasi dengan
menggunakan penaksir metode Kaplan-Meier. Kelebihan dari penaksir Kaplan-
Meier adalah dapat digunakan untuk data yang tersensor (Lawless, 1982). Data
yang tersensor dapat diartikan sebagai data yang hilang dalam penelitian,
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
2
misalnya seorang pasien yang telah dikenai perlakuan dan sedang dalam masa
penelitian menghilang, mungkin karena pindah rumah sakit atau alasan lain.
Menurut Rossa dan Zielinski (2002), penaksir Kaplan-Meier juga mempunyai
kelemahan, yaitu pada sampel yang kecil dan menengah dimana jarak antara dua
waktu yang berurutan, misalnya 𝑡1 dan 𝑡2 (dengan 𝑡1 < 𝑡2) dan selang waktu 𝑡1
dan 𝑡2 cukup besar maka nilai penaksir Kaplan-Meier 𝐾𝑀(𝑡1) dan 𝐾𝑀(𝑡2) akan
mempunyai kemungkinan untuk bernilai sama 𝐾𝑀 𝑡1 = 𝐾𝑀(𝑡2). Untuk
mengatasi masalah ini Rossa dan Zielinski (2002) melakukan modifikasi terhadap
penaksir Kaplan-Meier dengan menggunakan pendekatan dari distribusi Weibull.
Modifikasi penaksir Kaplan-Meier dinotasikan dengan 𝑆 𝑀(𝑡). Nilai 𝑆 𝑀(𝑡)
merupakan penaksir untuk nilai 𝑃(𝑇 ≥ 𝑡) yang berbasis pada M persekitaran pada
𝑡, nilai M dapat dipilih dengan syarat 𝑀 = 2, 3, …. Rossa dan Zielinski (2002)
menggunakan metode modifikasi Kaplan-Meier untuk mengestimasi fungsi tahan
hidup pada data leukemia hasil penelitian Freireich (1963).
Oleh karena itu penulis tertarik untuk mengaplikasikan penelitian Rossa
dan Zielinski (2002) dengan membandingkan metode Kaplan-Meier dan metode
modifikasi Kaplan-Meier pada analisis tahan hidup penderitan leukemia di RSUD
Dr. Moewardi Surakarta. Selain menggunakan data penderita leukemia, pada
penelitian ini juga menggunakan data dari simulasi agar perbedaan hasil estimasi
antara kedua penaksir tersebut semakin terlihat jelas.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah, maka perumusan masalahnya adalah
bagaimana menentukan estimasi fungsi tahan hidup dengan penaksir metode
Kaplan-Meier dan dengan metode modifikasi Kaplan-Meier baik pada penderita
leukemia maupun pada data simulasi serta bagaimana perbandingan kedua
penaksir tersebut.
1.3 Batasan Masalah
Agar tidak memperluas pembahasan, maka penelitian ini dibatasi pada hal
berikut :
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
3
1. Data yang digunakan adalah data penderita Leukemia Limfositik Akut
(LLA) yang diambil dari RSUD Dr. Moewardi Surakarta dan data simulasi
berdistribusi eksponensial yang dibangkitkan secara random dengan
software R.
2. Estimasi fungsi tahan hidup dengan penaksir metode modifikasi Kaplan-
Meier hanya untuk 𝑀 = 2 dan 3.
1.4 Tujuan Penelitian
Berdasarkan perumusan masalah, maka tujuan dari penelitian ini adalah
menentukan estimasi fungsi tahan hidup pada data penderita leukemia dan data
simulasi dengan penaksir metode Kaplan-Meier dan metode modifikasi Kaplan-
Meier serta membandingkan hasil estimasi dari kedua penaksir tersebut.
1.5 Manfaat Penelitian
Penelitian diharapkan dapat menambah wawasan dalam bidang statistika
dan kesehatan. Dalam bidang statistika, dapat menerapkan atau mengaplikasikan
penaksir metode Kaplan-Meier dan metode modifikasi Kaplan-Meier pada suatu
penyakit. Dalam bidang kesehatan, setelah diketahui probabilitas tahan hidup
penderita leukemia diharapkan pihak rumah sakit dapat lebih waspada dan
meningkatkan pelayanan medis terhadap penderita leukemia.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
4
BAB II
LANDASAN TEORI
Pada bagian pertama dari bab ini diberikan tinjauan pustaka yang berisi
hasil-hasil penelitian sebelumnya yang menjadi dasar penelitian ini. Pada bagian
kedua dari bab ini diberikan teori-teori penunjang yang berisi definisi dan teori
yang mendukung dalam mencapai tujuan penulisan. Pada bagian ketiga dari bab
ini disusun kerangka pemikiran yang menjelaskan alur pemikiran dalam penulisan
skripsi ini.
2.1 Tinjauan Pustaka
dfd Menurut Belson (2007) berdasarkan karakteristik sosiodemografi
(variabel orang), leukemia pada umumnya terjadi pada usia dibawah 15 tahun dan
puncaknya terjadi pada umur 2-5 tahun, kasus lebih banyak terjadi pada laki-laki
daripada perempuan. Dari penelitian yang dilakukan di Amerika ditemukan
bahwa leukemia lebih banyak terjadi pada anak dengan ras kaukasoit (kulit putih)
dibandingkan dengan ras lain.
Mahoney (1955) menyebutkan bahwa tingkat resiko leukemia pada orang
yang tinggal 1.000 m dari daerah ledakan bom atom Hiroshima dan Nagasaki 20
kali lipat lebih tinggi dibandingkan populasi umum (di luar daerah tersebut).
Kejadian lain adalah bencana radioaktif Chernobyl yang menyebabkan tanah, air
dan tanaman terkontaminasi bahan radioaktif pada sebagian besar wilayah Eropa
Timur. Negara Belarusia, Rusia dan Ukraina adalah negara yang paling banyak
terkontaminasi. Negara-negara ini menjadi tempat dimana banyak ditemukan
kasus leukemia.
Kent et al. (2009) menyebutkan bahwa di California, leukemia
merepresentasikan masing-masing sebesar 35%, 5% dan 2% pada seluruh
penyakit kanker pada usia 0-14 tahun, 15-29 tahun dan 30-39 tahun. Kent et al.
(2009) melakukan penelitian pada 7.688 kasus leukemia yang terjadi pada
penderita berusia 0-39 tahun. Penelitian dilakukan menggunakan metode Kaplan-
Meier dan regresi Cox proporsional hazard untuk mengestimasi Hazard ratio.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
5
Bhatia et al. (2002) melakukan penelitian tentang perbedaan antara ras dan
etnik dalam ketahanan hidup pada anak penderita Leukemia Limfobastik Akut
dengan menggunakan metode Kaplan-Meier. Sebanyak 8762 anak dari berbagai
ras meliputi 6703 ras kulit putih, 1071 Hispanic, 506 kulit hitam, 167 Asia dan
315 dari campuran berbagai ras. Salah satu hasil dari penelitian tersebut adalah
terdapat perbedaan daya tahan hidup dari penderita Leukemia antara masing-
masing ras dan etnik.
Penelitian ini akan mengembangkan penelitian yang sudah dilakukan oleh
Kent et al. (2009) dan Bhatia et al. (2002). Dua penelitian tersebut masih
menggunakan penaksir metode Kaplan-Meier untuk mengestimasi fungsi tahan
hidup. Penelitian ini akan membandingkan penaksir metode Kaplan-Meier dan
metode modifikasi penaksir Kaplan-Meier untuk mengestimasi fungsi tahan hidup
pada penderita leukemia. Data pasien penderita leukemia diambil dari RSUD
Dr.Moewardi. Selain itu dalam penelitian ini juga akan dilakukan simulasi agar
perbedaan penaksir metode Kaplan-Meier dan metode modifikasi penaksir
Kaplan-Meier semakin terlihat jelas.
2.2 Teori-Teori Penunjang
Teori-teori yang relevan dengan pembahasan diperlukan untuk mencapai
tujuan penelitian. Teori-teori tersebut meliputi penyakit leukemia, konsep dasar
statistika, konsep dasar analisis tahan hidup, jenis-jenis sensor, metode maksimum
Likelihood, Estimasi Kaplan-Meier dan modifikasi dari Estimasi Kaplan-Meier.
2.2.1 Leukemia
Leukemia merupakan suatu penyakit yang ditandai dengan adanya
pertambahan sel darah putih (leukosit) pada penderita. Pertambahan ini sangat
cepat dan tidak terkendali serta bentuk sel-sel darah putihnya tidak normal.
Penyebab leukemia belum diketahui secara pasti tetapi diperkirakan bukan berasal
dari penyebab tunggal melainkan gabungan dari beberapa faktor antara lain
karena terinveksi virus, faktor keturunan ataupun karena zat kimia tertentu.
(Yatim, 2003)
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
6
Leukemia dapat diklasifikasikan atas dasar perjalanan alamiah penyakit
yaitu leukemia akut dan kronis. Leukemia akut ditandai dengan suatu perjalanan
penyakit yang sangat cepat, mematikan, dan memburuk. Apabila tidak segera
diobati, maka penderita dapat meninggal dalam hitungan minggu hingga hari.
Sedangkan leukemia kronis memiliki perjalanan penyakit yang tidak begitu cepat
sehingga memiliki harapan hidup yang lebih lama, hingga lebih dari 1 tahun
bahkan ada yang mencapai 5 tahun. Ketika leukemia mempengaruhi limfosit atau
sel limfoid, maka disebut leukemia limfositik dan ketika leukemia mempengaruhi
sel mieloid seperti neutrofil, basofil, dan eosinofil, maka disebut leukemia
meilositik (Berita Kesehatan). Berdasarkan dua klasifikasi tersebut maka
leukemia dapat dibagi menjadi empat yaitu :
1. Leukemia Limfositik Akut (LLA)
Leukemia Limfositik Akut (LLA) adalah suatu penyakit yang berakibat
fatal, dimana sel-sel yang dalam keadaan normal berkembang menjadi
limfosit berubah menjadi ganas dan dengan segera akan menggantikan sel-
sel normal di dalam sumsum tulang. Penyakit LLA merupakan leukemia
yang paling sering terjadi pada anak-anak, leukemia jenis ini merupakan
25% dari semua jenis kanker yang mengenai anak-anak dibawah umur 15
tahun. LLA paling sering terjadi pada anak usia antara 3-5 tahun, tetapi
kadang terjadi pada usia remaja dan dewasa.
2. Leukemia Meilositik Akut (LMA)
Leukemia Meilositik Akut (LMA) lebih sering terjadi pada orang dewasa
dari pada anak-anak, kejadian leukemia jenis LMA biasanya tidak lebih
dari 5%.
3. Leukemia Limfositik Kronis (LLK)
Pada Leukemia Limfositik Kronis (LLK) lebih dari 3 4 penderita berumur
lebih dari 60 tahun dan 2-3 kali lebih sering menyerang pria.
4. Leukemia Meilositik Kronis (LMK)
Penyakit ini dapat mengenai semua kelompok umur, baik pria maupun
wanita, tetapi jarang ditemukan pada anak-anak berumur kurang dari 10
tahun. LMK banyak ditemukan pada kelompok usia 55 tahun keatas.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
7
Dalam penelitian ini menggunakan data leukemia jenis Leukemia
Limfositik Akut (LLA). Data penderita leukemia diambil dari RSUD Dr.
Moewardi Surakarta.
2.2.2 Konsep Dasar Statistika
Definisi-definisi yang berhubungan dengan konsep dasar statistika berikut
ini dirujuk dari Bain dan Engelhardt (1992).
Definisi 2.1.1. Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan
disebut ruang sampel dan dinotasikan dengan S.
Definisi 2.1.2. Variabel random T adalah fungsi yang memetakan setiap hasil
yang mungkin e pada ruang sampel S dengan suatu bilangan real t, sedemikian
sehingga
𝑇 𝑒 = 𝑡 , 𝑒 ∈ 𝑆.
Definisi 2.1.3. Jika himpunan seluruh nilai yang mungkin dari variabel random
T, merupakan himpunan terhitung, t1, t2, ...., tn atau t1, t2, .... maka T disebut
variabel random diskrit. Fungsi
𝑓 𝑡 = 𝑃 𝑇 = 𝑡 , 𝑡 = 𝑡1, 𝑡2, ….
menyatakan probabilitas untuk tiap-tiap nilai t yang mungkin, selanjutnya disebut
fungsi densitas probabilitas diskrit.
Definisi 2.1.4. Fungsi distribusi kumulatif dari variabel random diskrit T
didefinisikan untuk sebarang bilangan real t dengan
𝐹 𝑡 = 𝑃 𝑇 ≤ 𝑡 .
Definisi 2.1.5. Fungsi 𝑓 𝑡 disebut fungsi densitas probabilitas dari variabel
random kontinu T jika dan hanya jika memenuhi sifat
1. 𝑓(𝑡) ≥ 0, untuk semua t dan
2. 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 1∞
−∞.
Definisi 2.1.6. Variabel random T disebut variabel random kontinu jika terdapat
fungsi f(t) yang merupakan fungsi densitas dari T, sehingga fungsi distribusi
kumulatif dinyatakan
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
8
𝐹 𝑡 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑡
−∞
.
Definisi 2.1.7. Probabilitas bersyarat dari kejadian A diberikan kejadian B
didefinisikan sebagai
𝑃 𝐴 𝐵 =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵), 𝑃(𝐵) ≠ 0.
Definisi 2.1.8. Statistik 𝑈 = 𝑙(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛) yang digunakan untuk mengestimasi
nilai 𝜏(𝜃) disebut penaksir dari 𝜏(𝜃) dan nilai statistik 𝑢 = 𝑙(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)
disebut estimasi dari 𝜏(𝜃).
Definisi 2.1.9. Jika T adalah penaksir dari 𝜏(𝜃), maka bias adalah 𝑏 𝑇 =
𝐸 𝑇 − 𝜏(𝜃) dan rata-rata kesalahan standar atau mean square error (MSE)
dari T didefinisikan sebagai 𝑀𝑆𝐸 𝑇 = 𝐸 𝑇 − 𝜏(𝜃) 2.
2.2.3 Konsep Dasar Analisis Tahan Hidup
2.2.3.1 Model Kontinu
Menurut Lawless (1982), variabel random kontinu nonnegatif T
menunjukkan waktu hidup dari suatu individu sehingga semua fungsi yang
berkaitan dengan T didefinisikan dalam interval [0, ∞). Secara matematika fungsi
densitas probabilitas menurut Cox dan Oakes (1984) adalah
𝑓 𝑡 = lim∆𝑡→0
𝑃[𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡]
∆𝑡 .
Menurut Lawless (1982), fungsi distribusi kumulatif ditulis
𝐹 𝑡 = 𝑃 𝑇 < 𝑡 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑡
0
.
Fungsi tahan hidup didefinisikan sebagai probabilitas bertahan hidup
sampai waktu t, sebagai berikut
𝑆 𝑡 = 𝑃 𝑇 ≥ 𝑡 = 1 − 𝑃 𝑇 < 𝑡 = 1 − 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑡
0
= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞
𝑡
.
Fungsi tahan hidup merupakan fungsi monoton turun dengan sifat
1. S(0) = 1,
2. S(t) = 0, untuk t → .
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
9
Hubungan fungsi densitas probabilitas 𝑓(𝑡) dan fungsi tahan hidup 𝑆(𝑡)
(Elandt dan Johnson, 1980), dapat ditunjukkan dengan
−𝑆′ 𝑡 = −𝑑𝑆(𝑡)
𝑑𝑡
= −𝑑 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
∞
𝑡
𝑑𝑡
= − 𝑓 𝑥 |𝑡∞
= − 0 − 𝑓 𝑡
−𝑆′ 𝑡 = 𝑓 𝑡 . (2.1)
Fungsi hazard adalah laju kematian / peluang individu mati pada saat t
dengan syarat individu tersebut mampu bertahan hidup sampai waktu t dan
didefinisikan sebagai
ℎ 𝑡 = lim∆𝑡→0
𝑃 𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡 𝑇 ≥ 𝑡]
∆𝑡
= lim∆𝑡→0
𝑃 𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡 ∩ 𝑇 ≥ 𝑡
𝑃 𝑇 ≥ 𝑡 ∆𝑡
= lim∆𝑡→0
𝑃 𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡
𝑃 𝑇 ≥ 𝑡 ∆𝑡
= lim∆𝑡→0
𝑃[𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡 ]
∆𝑡.
1
𝑃[𝑇 ≥ 𝑡]
ℎ 𝑡 =𝑓 𝑡
𝑆 𝑡 . (2.2)
Berdasarkan persamaan (2.1) dan (2.2) hubungan antara fungsi hazard
ℎ 𝑡 dan fungsi tahan hidup 𝑆 𝑡 adalah
ℎ 𝑡 = −𝑆′(𝑡)
𝑆(𝑡)= −
𝑑 ln 𝑆(𝑡)
𝑑𝑡.
2.2.3.2 Model Diskrit
Misal T adalah variabel random diskrit, dengan T mempunyai nilai
𝑡1, 𝑡2, … dengan 0 < 𝑡1 < 𝑡2 < ⋯. Menurut Lawless (1982), secara matematika
fungsi peluangnya dapat ditulis 𝑓 𝑡𝑗 = P(𝑇 = 𝑡𝑗 ) dan fungsi tahan hidupnya
menjadi
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
10
𝑆 𝑡 = P 𝑇 ≥ 𝑡 = 𝑓(𝑡𝑗 )
𝑗 :𝑡𝑗≥𝑡
.
Seperti pada penjelasan model kontinu, 𝑆 𝑡 adalah fungsi monoton turun
dengan sifat
1. S(0) = 1,
2. S(t) = 0, untuk t → .
Fungsi hazard diskrit didefinisikan sebagai
ℎ 𝑡𝑗 = P 𝑇 = 𝑡𝑗 𝑇 ≥ 𝑡𝑗
=𝑓(𝑡𝑗 )
𝑆(𝑡𝑗 ) .
Fungsi probabilitas, fungsi tahan hidup dan fungsi hazard memberikan
spesifikasi yang sama terhadap T. Jika diketahui 𝑓 𝑡𝑗 = 𝑆 𝑡𝑗 − 𝑆(𝑡𝑗 +1) maka
ℎ 𝑡𝑗 = 1 −𝑆(𝑡𝑗+1)
𝑆(𝑡𝑗 ) .
Menurut Lawless (1982) fungsi tahan hidup yang berhubungan dengan
fungsi hazard dapat dinyatakan sebagai
𝑆 𝑡 = [1 − ℎ(
𝑗 :𝑡𝑗≤𝑡
𝑡𝑗 )].
2.2.3.3 Jenis-Jenis Sensor
Data waktu hidup dikatakan tersensor jika terdapat individu yang
mempunyai nilai batas atas atau batas bawah pada waktu hidupnya (Lawless,
1982). Menurut Kleln dan Moeschberger (1997) dan Lawless (1982), tiga jenis
sensor yang dapat digunakan dalam penelitian tahan hidup yaitu sensor kanan,
sensor kiri, dan sensor umum.
1. Sensor kanan
Diasumsikan terdapat waktu hidup T dan ditentukan waktu sensor di Cr,
waktu hidup T dari suatu individu diketahui jika dan hanya jika T ≤ Cr. Jika
T >Cr maka individu dikatakan bertahan hidup dengan waktu tersensor di Cr.
Data tersensor kanan dapat dinyatakan dalam pasangan variabel random (X, δ)
dengan X sama dengan T untuk waktu hidup yang diobservasi dan δ
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
11
menyatakan apakah waktu hidup T tak tersensor (δ = 1) atau tersensor (δ = 0)
sehingga diperoleh X = min(T, Cr ).
2. Sensor kiri
Misalkan terdapat waktu hidup T dan ditentukan waktu sensor di Cl, waktu
hidup T dari suatu individu diketahui jika dan hanya jika T ≥ Cl. Jika T <Cl
maka individu dikatakan bertahan hidup dengan waktu tersensor di Cl. Data
tersensor kiri dapat dinyatakan dalam pasangan variabel random (X, ε) dengan
X sama dengan T untuk waktu hidup yang diobservasi dan ε menyatakan
apakah waktu hidup T tak tersensor (ε = 1) atau tersensor (ε = 0) sehingga
diperoleh X = maks(T, Cl ).
3. Sensor umum
Suatu sampel dikatakan tersensor secara umum jika terdapat data sejumlah
n objek yang diamati pada waktu 0 dan masing-masing objek diamati sampai
gagal (mati) atau tidak. Jika objek tersebut tidak gagal (tidak mati), maka data
tersebut merupakan data tersensor.
2.2.3.4 Fungsi Tahan Hidup Distribusi Weibull
Distribusi Weibull merupakan distribusi yang paling luas penggunaannya
dalam model tahan hidup. Model fungsi tahan hidup distribusi Weibull banyak
diaplikasikan dalam bidang biomedis, contohnya dalam penelitian Whittemore
dan Altschuler tahun 1976 tentang waktu kejadian tumor dalam populasi manusia
(Lawless, 1982). Kelebihan dari fungsi tahan hidup distribusi Weibull adalah
distribusi ini mampu mendekati fungsi tahan hidup dari distribusi yang lain.
Fungsi densitas probabilitas dari distribusi Weibull didefinisikan sebagai
𝑓 𝑡 = 𝛼𝜆 𝜆𝑡 𝛼−1 exp(− 𝜆𝑡 𝛼) ; 𝛼 > 0 ; 𝜆 > 0 ; 𝑡 > 0. (2.3)
Berdasarkan persamaan (2.3) dapat dicari fungsi tahan hidup distribusi
Weibull sebagai berikut
𝑆 𝑡 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
∞
𝑡
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
12
= 𝛼𝜆 𝜆𝑥 𝛼−1 exp(− 𝜆𝑥 𝛼) 𝑑𝑥
∞
𝑡
= − exp − 𝜆𝑥 𝛼 |𝑡∞
𝑆 𝑡 = exp − 𝜆𝑡 𝛼 . (2.4)
2.2.3.5 Fungsi Tahan Hidup Distribusi Eksponensial
Distribusi eksponensial merupakan kasus khusus dari distribusi Weibull,
yaitu jika distribusi Weibull memiliki nilai 𝛼 = 1, maka akan menjadi distribusi
eksponensial. Fungsi densitas probabilitas dari distribusi Eksponensial
didefinisikan sebagai
𝑓 𝑡 = 𝜆 exp −𝜆𝑡 ; 𝑡 ≥ 0 ; 𝜆 > 0. (2.5)
Kemudian fungsi tahan hidup distribusi eksponensial dapat dituliskan
sebagai berikut
𝑆 𝑡 = exp −𝜆𝑡 (2.6)
2.2.4 Metode Maksimum Likelihood
Berikut ini diberikan definisi yang berhubungan fungsi likelihood dan
estimasi maksimum likelihood menurut Bain dan Engelhardt (1992)
Definisi 2.1.10. Jika fungsi densitas probabilitas bersama dari n-variabel random
𝑇1, 𝑇2, … , 𝑇𝑛 yang diobservasi di 𝑡1, 𝑡2 , … , 𝑡𝑛 dinotasikan dengan 𝑓 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 ,
maka fungsi likelihood dari himpunan pengamatan 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 dinyatakan
sebagai
𝐿 𝜃 = 𝑓 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 ; 𝜃
dengan 𝜃 adalah parameter yang belum diketahui.
Definisi 2.1.11. Jika 𝐿(𝜃) adalah fungsi likelihood suatu himpunan pengamatan
𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 dengan 𝜃 parameter yang tidak diketahui, maka suatu harga 𝜃 dalam
ruang parameter Ω yang memaksimumkan 𝐿(𝜃) disebut sebagai estimasi
maksimum likelihood dari 𝜃, dapat ditulis
𝑓 𝑡1, 𝑡2 , … , 𝑡𝑛 ; 𝜃 = max𝜃𝜖Ω
𝑓 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 ; 𝜃 .
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
13
Setiap 𝜃 yang memaksimumkan 𝐿(𝜃) akan memaksimumkan log-likelihood
ln 𝐿(𝜃) juga, sehingga alternatif bentuk persamaan likelihood maksimum yaitu
𝑑
𝑑𝜃ln 𝐿 𝜃 = 0.
2.2.5 Penaksir Kaplan-Meier
Estimasi fungsi tahan hidup dengan menggunakan penaksir Kaplan-Meier
disebut juga estimasi product limit. Kaplan dan Meier (1958) adalah orang
pertama yang membahas estimasi fungsi ini. Misal T variabel random kontinu
nonnegatif. Semua fungsi yang berkaitan dengan T didefinisikan dalam interval
[𝑡𝑗 , 𝑡𝑗 +1). Penaksir Kaplan-Meier merupakan modifikasi dari fungsi tahan hidup
empiris. Fungsi tahan hidup empiris didefinisikan sebagai
𝑆 𝑡 =𝐽
𝑛 , 𝑡 ≥ 0 (2.7)
dengan 𝐽 merupakan jumlah pengamatan yang lebih besar atau sama dengan 𝑡.
Jika terdapat data yang tersensor (tak lengkap), maka persamaan tersebut
diubah menjadi penaksir Kaplan-Meier. Misalkan terdapat n individu dengan
𝑘(𝑘 ≤ 𝑛) waktu terjadinya kematian yang berbeda 𝑡1 < 𝑡2 < ⋯ < 𝑡𝑘 dan 𝑑𝑗
adalah jumlah kematian pada saat 𝑡𝑗 (𝑗 = 1,2, … , 𝑘), 𝑚𝑗 adalah jumlah tersensor
dalam interval [𝑡𝑗 , 𝑡𝑗 +1) pada waktu 𝑡𝑗1 , 𝑡𝑗2 , … , 𝑡𝑗𝑚 𝑗 untuk 𝑗 = 0, 1, … , 𝑘 dimana
𝑡0 = 0 dan 𝑡𝑘+1 = ∞, 𝑛𝑗 = 𝑚𝑗 + 𝑑𝑗 + ⋯ + 𝑚𝑘 + 𝑑𝑘 adalah jumlah individu
beresiko pada saat 𝑡𝑗 , penaksir Kaplan-Meier didefinisikan sebagai
𝑆 𝐾𝑀 𝑡 = 𝑛𝑗 − 𝑑𝑗
𝑛𝑗 .
𝑗 :𝑡𝑗≤𝑡
(2.8)
2.2.6 Modifikasi Penaksir Kaplan Meier
Menurut Rossa dan Zielinski (2002) penaksir Kaplan-Meier mempunyai
kelemahan yaitu, pada sampel yang kecil dan menengah nilai penaksir Kaplan-
Meier untuk dua waktu yang berurutan akan mempunyai kemungkinan untuk
bernilai sama. Kelemahan pada penaksir Kaplan-Meier diatasi dengan
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
14
memodifikasi penaksir Kaplan-Meier dengan menggunakan pendekatan fungsi
tahan hidup dari distribusi Weibull seperti pada persamaan (2.4).
Modifikasi dari penaksir Kaplan-Meier dinotasikan dengan 𝑆 𝑀 𝑡 , dimana
M dapat dipilih dengan syarat 𝑀 = 2, 3 … . Nilai 𝑆 𝑀(𝑡) merupakan penaksir
untuk nilai 𝑃(𝑇 ≥ 𝑡) yang berbasis pada M persekitaran pada 𝑡. Nilai M dapat
dipilih dengan syarat 𝑀 = 2, 3, … Semakin besar nilai M maka akan
menghasilkan estimasi yang lebih baik akan tetapi perhitungannya akan lebih
rumit (Rossa dan Zielinski, 2002). Oleh karena itu dalam penelitian ini hanya
akan dibahas penaksir 𝑆 𝑀 𝑡 dengan 𝑀 = 2 dan 3.
Misalkan terdapat n sampel dan akan dicari penaksir fungsi tahan hidup
dari sampel terurut yang tidak lengkap dari 𝑇1, 𝛿1 , 𝑇2, 𝛿2 , … , 𝑇𝑛 , 𝛿𝑛 dengan
𝛿 = 1 untuk data yang tidak tersensor dan 𝛿 = 0 untuk data yang tersensor.
Kemudian dimisalkan 𝑁 − 1 adalah jumlah elemen yang berbeda pada sampel
yang tidak tersensor. Nilai 𝐾𝑀 𝑡 dengan 0 < 𝑡 < 𝑇𝑛 , memiliki titik-titik
loncatan (jump point) di 𝑇𝑓′ untuk 𝑓 = 1,2, … , 𝑁 − 1. Jika 𝛿𝑛 = 1, maka nilai
𝐾𝑀 𝑡 dengan 𝑡 = 𝑇𝑛 juga merupakan titik loncatan dari 𝐾𝑀. Kemudian
penaksir Kaplan-Meier dituliskan dalam bentuk pasangan baris (𝑇𝑓′ , 𝐾𝑀𝑓
′ ) dengan
𝑓 = 1,2, … , 𝑁, dimana
𝐾𝑀𝑓′ =
𝐾𝑀(𝑇𝑓−1′ ) + 𝐾𝑀(𝑇𝑓
′)
2 , untuk 𝑓 = 1,2, … , 𝑁 − 1
𝐾𝑀 𝑇𝑛
2, untuk 𝑓 = 𝑁 dan jika 𝛿𝑛 = 1
𝐾𝑀 𝑇𝑛 , untuk 𝑓 = 𝑁 dan jika 𝛿𝑛 = 0
dengan
𝑇0′ = 0 ; 𝑇𝑁
′ = 𝑇𝑛 ; 𝐾𝑀(𝑇0′) = 1.
2.2.6.1 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑴 = 𝟐
Untuk 𝑀 = 2 penaksir modifikasi Kaplan-Meier didefinisikan sebagai
𝑆 2 𝑡 = exp{−exp(𝑌)} (2.9)
dengan
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
15
𝑌 =
𝑌1 +
𝑌2 − 𝑌1
𝑋2 − 𝑋1
𝑋 − 𝑋1 , untuk 𝑇0′ < 𝑡 ≤ 𝑇1
′
𝑌𝑓−1 +𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1
𝑋𝑓 − 𝑋𝑓−1 𝑋 − 𝑋𝑓−1 , untuk 𝑇𝑓−1
′ < 𝑡 ≤ 𝑇𝑓′ ≤ 𝑇𝑁
′ dengan 𝑓 ≥ 2
𝑌𝑁−1 +𝑌𝑁 − 𝑌𝑁−1
𝑋𝑁 − 𝑋𝑁−1
𝑋 − 𝑋𝑁−1 , untuk 𝑡 > 𝑇𝑁′ dan 𝛿𝑁 = 1
tidak terdefinisi, untuk 𝑡 > 𝑇𝑁′ dan 𝛿𝑁 = 0
dengan
𝑋𝑓 = ln(𝑇𝑓′) ; 𝑌𝑓 = ln[− ln 𝐾𝑀𝑓
′ ] ; 𝑋 = ln 𝑡.
2.2.6.2 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑴 > 2
Untuk menentukan penaksir 𝑆 𝑀 𝑡 dengan 𝑀 > 2 terlebih dahulu
didefinisikan pembobot 𝑤(𝑡) sebagai berikut (Rossa dan Zielinski, 2002) :
i. Jika M bernilai ganjil atau 𝑀 = 2𝐾 + 1 (dimana 𝐾 merupakan bilangan
bulat postif yang lebih besar atau sama dengan 1), maka ditentukan f
sedemikian sehingga 𝑇𝑓′ < 𝑡 ≤ 𝑇𝑓+1
′ (jika 𝑡 > 𝑇𝑁′ ambil nilai 𝑓 = 𝑁).
Kemudian,
jika 𝑓 ≤ 𝐾 maka 𝑤1 𝑡 = ⋯ = 𝑤𝑀 𝑡 = 1,
jika 𝑓 ≥ 𝑁 − 𝐾 maka 𝑤𝑁−𝑀+1 = ⋯ = 𝑤𝑁 𝑡 = 1,
untuk nilai-nilai f` yang lain didefinisikan
𝑤𝑓−𝐾+1 𝑡 = 𝑤𝑓−𝐾+2 𝑡 = ⋯ = 𝑤𝑓+𝐾 𝑡 = 1
𝑤𝑓−𝐾 𝑡 =𝑇𝑓+1
′ − 𝑡
𝑇𝑓+1′ − 𝑇𝑓
′
𝑤𝑓+𝐾+1 𝑡 =𝑡 − 𝑇𝑓
′
𝑇𝑓+1′ − 𝑇𝑓
′
ii. Jika M bernilai genap atau 𝑀 = 2𝐾, (dimana 𝐾 merupakan bilangan bulat
postif yang lebih besar atau sama dengan 2) maka ditentukan f sedemikian
sehingga (𝑇𝑓−1
′ +𝑇𝑓′ )
2< 𝑡 ≤
(𝑇𝑓′ +𝑇𝑓+1
′ )
2 (jika 𝑡 ≤ 𝑇1
′/2 ambil nilai 𝑓 = 0 atau
jika 𝑡 > (𝑇𝑁−1′ + 𝑇𝑁
′ )/2 ambil 𝑓 = 𝑁). Kemudian,
jika 𝑓 ≤ 𝐾 maka 𝑤1 𝑡 = ⋯ = 𝑤𝑀 𝑡 = 1
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
16
jika 𝑓 ≥ 𝑁 − 𝐾 + 1 maka didefinisikan 𝑤𝑁−𝑀+1 = ⋯ = 𝑤𝑁 𝑡 = 1
dan untuk nilai f yang lain didefinisikan
𝑤𝑓−𝐾+1 𝑡 = 𝑤𝑓−𝐾+2 𝑡 = ⋯ = 𝑤𝑓+𝐾−1 𝑡 = 1,
𝑤𝑓−𝐾 𝑡 =
12 (𝑇𝑓
′ + 𝑇𝑓+1′ ) − 𝑡
12 (𝑇𝑓+1
′ − 𝑇𝑓−1′ )
𝑤𝑓+𝐾 𝑡 =𝑡 −
12 (𝑇𝑓
′ + 𝑇𝑓−1′ )
12 (𝑇𝑓+1
′ − 𝑇𝑓−1′ )
.
Kemudian, ditentukan semua pembobot yang lain sama dengan nol.
Setelah semua pembobot ditentukan, dicari nilai Λ dan 𝛼 dengan meminimumkan
𝑤𝑓 𝑡 (𝑌𝑓 − Λ − 𝛼𝑋𝑓)2 (2.10)
𝑓
jika nilai Λ dan 𝛼 adalah solusi dari (2.10), maka modifikasi penaksir Kaplan-
Meier dengan 𝑀 > 2 dapat dituliskan sebagai
𝑆 𝑀 𝑡 = exp −𝜆 𝑡𝛼 (2.11)
dengan λ = exp Λ .
2.3 Kerangka Pemikiran
Leukemia adalah jenis penyakit kanker yang menyerang sel-sel darah
putih yang diproduksi oleh sumsum tulang. Leukemia umumnya muncul pada diri
seseorang sejak dimasa kecilnya. Sumsum tulang tanpa diketahui dengan jelas
penyebabnya telah memproduksi sel darah putih yang berkembang tidak normal.
Dalam keadaan normal, sel darah putih mereproduksi ulang bila tubuh
memerlukannya. Sel darah putih berfungsi sebagai pertahanan tubuh, akan terus
membelah dalam suatu kontrol yang teratur. Tubuh manusia akan memberikan
tanda/signal secara teratur kapankah sel darah diharapkan bereproduksi kembali.
Pada penderita leukemia, sumsum tulang memproduksi sel darah putih yang tidak
normal yang disebut sel leukemia. Tidak seperti sel darah normal, sel-sel
leukemia tidak mati ketika mereka seharusnya mati. Sel leukemia yang terdapat
dalam sumsum tulang akan terus membelah dan semakin mendesak sel normal,
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
17
sehingga produksi sel darah normal akan mengalami penurunan, sel darah putih
tidak merespon kepada tanda/signal yang diberikan. Akhirnya produksi yang
berlebihan / tidak terkontrol akan keluar dari sumsum tulang dan dapat ditemukan
di dalam darah perifer atau darah tepi. Jumlah sel darah putih yang abnormal ini
bila berlebihan dapat mengganggu fungsi normal sel darah lainnya dan pada
akhirnya dapat menyebabkan kematian (Cancerhelps).
Waktu tahan hidup pasien leukemia dapat diukur mulai dari seseorang
didiagnosa terkena leukemia / masuk rumah sakit sampai meninggal. Pertama
yang dilakukan adalah mengumpulkan data pasien penderita leukemia dari RSUD
Dr. Moewardi Surakarta. Data yang diambil adalah data pasien penderita
leukemia jenis Leukemia Limfositik Akut (LLA). Selain menggunakan data yang
diambil dari RSUD Dr. Moewardi Surakarta, dalam penelitian ini juga
menggunakan data simulasi yang dibangkitkan secara random. Kemudian data
dianalisis dengan mengestimasi fungsi tahan hidup pasien dengan penaksir
Kaplan-Meier. Kelemahan dari penaksir Kaplan-Meier yaitu, pada sampel yang
kecil dan menengah nilai penaksir Kaplan-Meier untuk dua waktu yang berurutan
akan mempunyai kemungkinan untuk bernilai sama. Oleh karena itu fungsi tahan
hidup juga akan diestimasi dengan penaksir Kaplan-Meier yang telah dimodifikasi
untuk 𝑀 = 2 dan 3 yang akan memberikan nilai estimasi yang lebih baik. Dengan
diperolehnya estimasi fungsi tahan hidup, maka dapat diketahui probabilitas
seorang pasien dapat bertahan hidup baik dengan penaksir metode Kaplan-Meier
biasa maupun metode modifikasi Kaplan-Meier. Berdasarkan hasil estimasi yang
diperoleh, akan dilakukan perbandingan antara hasil estimasi dengan
menggunakan penaksir metode Kaplan-Meier biasa dan metode modifikasi
Kaplan-Meier.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
18
BAB III
METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah studi kasus dengan
menggunakan data sekunder. Selain itu penulis juga menggunakan metode studi
literatur yang mengacu pada buku dan jurnal-jurnal yang berkaitan dengan
analisis tahan hidup. Secara garis besar penelitian ini terbagi dalam dua tahap
1. Tahap pengumpulan data.
Dalam tahap ini penulis mengumpulkan data penderita leukemia jenis
Leukemia Limfositik Akut (LLA). Data yang digunakan adalah data
sekunder yang diambil dari dari RSUD Dr. Moewardi Surakarta. Waktu
tahan hidup penderita leukemia dapat diukur mulai dari seseorang
didiagnosa terkena leukemia atau masuk rumah sakit sampai meninggal
dalam satuan bulan. Pasien yang meninggal dianggap sebagai data yang
tidak tersensor, sedangkan pasien yang sembuh atau masih dalam
perawatan dianggap sebagai data tersensor. Selain menggunakan data yang
diambil dari RSUD Dr. Moewardi Surakarta, dalam penelitian ini juga
menggunakan data simulasi yang dibangkitkan secara random.
2. Tahap analisis data.
Setelah data diperoleh, data diurutkan dari kecil ke besar baik untuk data
yang tidak tersensor maupun yang tersensor. Kemudian langkah
selanjutnya adalah mengestimasi fungsi tahan hidup data penderita
leukemia dan data simulasi menggunakan penaksir metode Kaplan-Meier
dan metode modifikasi Kaplan-Meier sehingga diperoleh nilai probabilitas
tahan hidup. Setelah diperoleh nilai probabilitas tahan hidup langkah
selanjutnya adalah membuat grafik estimasi fungsi tahan hidup kemudian
membandingkan hasil estimasi dan grafik fungsi tahan hidup dari kedua
penaksir tersebut.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
19
BAB IV
PEMBAHASAN
4.1 Deskripsi Data
Data penderita Leukemia diambil dari RSUD Dr.Moewardi Surakarta.
Waktu tahan hidup pasien diukur mulai dari seseorang didiagnosa terkena kanker
dan masuk rumah sakit sampai meninggal (dalam satuan bulan). Pasien yang
meninggal dianggap sebagai data yang tidak tersensor (𝛿 = 1), sedangkan pasien
yang sembuh atau masih dalam perawatan dianggap sebagai data tersensor
(𝛿 = 0). Ringkasan data dapat dilihat pada Tabel 4.1.
Tabel 4.1 Ringkasan data penderita Leukemia Limfositik Akut
Banyak Pasien Jumlah
Tidak Tersensor Tersensor
13 23 36
4.2 Penaksir Kaplan-Meier
Penaksir Kaplan-Meier dari 𝑆(𝑡) didefinisikan seperti pada persamaan
(2.8). Dari persamaan (2.8) diasumsikan terdapat k waktu hidup yang berbeda
𝑡1 < 𝑡2 < ⋯ < 𝑡𝑘 dengan 𝑑𝑗 adalah jumlah kematian pada waktu 𝑡𝑗 . Fungsi tahan
hidup dapat dinyatakan dengan
𝑆 𝑡 = 1 − ℎ 𝑡𝑗 .
𝑗 :𝑡𝑗≤𝑡
4.1
Penaksir dari fungsi tahan hidup pada persamaan (4.1) adalah
𝑆 𝑡 = 1 − ℎ 𝑡𝑗
𝑗 :𝑡𝑗 ≤𝑡
(4.2)
dengan ℎ (𝑡𝑗 ) adalah penaksir maksimum likelihood dari ℎ(𝑡𝑗 ). Langkah untuk
menentukan penaksir maksimum likelihood dari ℎ(𝑡𝑗 ) yaitu :
1. menentukan fungsi likelihood
𝐿 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑗 : ℎ 𝑡𝑗 = 𝑓 𝑡1, ℎ 𝑡1 , 𝑓 𝑡2, ℎ 𝑡2 …𝑓 𝑡𝑗 , ℎ 𝑡𝑗 ,
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
20
2. membentuk logaritma natural likelihood
𝐾 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑗 : ℎ 𝑡𝑗 = ln 𝐿 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑗 : ℎ 𝑡𝑗 ,
3. membentuk persamaan log likelihood dengan menyelesaikan
𝜕𝐾 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑗 : ℎ 𝑡𝑗
𝜕ℎ 𝑡𝑗 = 0, 𝑗 = 1,2, …𝑘,
4. didapatkan estimator maksimum likelihood.
Misal pada k percobaan binomial yang independen terjadi 𝑛𝑗 kejadian dan
𝑑𝑗 jumlah kematian serta peluang/laju kematian ℎ(𝑡𝑗 ), maka fungsi likelihoodnya
sebagai berikut
𝐿 𝑡𝑗 , ℎ 𝑡𝑗 = ℎ 𝑡𝑗 𝑑𝑗
1 − ℎ 𝑡𝑗 𝑛𝑗 −𝑑𝑗
𝑗
(4.3)
persamaan (4.3) dibentuk logaritma natural likelihood menjadi
ln 𝐿 𝑡𝑗 , ℎ 𝑡𝑗 = ln ℎ 𝑡𝑗 𝑑𝑗
1 − ℎ 𝑡𝑗 𝑛𝑗 −𝑑𝑗
𝑗
= 𝑑𝑗 ln ℎ 𝑡𝑗 + 𝑛𝑗 − 𝑑𝑗 ln 1 − ℎ 𝑡𝑗 .
𝑗
(4.4)
Persamaan (4.4) dibentuk persamaan log likelihood untuk mendapatkan penaksir
maksimum likelihood dari ℎ 𝑡𝑗
𝜕 ln 𝐿 𝑡𝑗 , ℎ 𝑡𝑗
𝜕ℎ 𝑡𝑗 = 0
𝜕
𝜕ℎ 𝑡𝑗 𝑑𝑗 ln ℎ 𝑡𝑗 + 𝑛𝑗 − 𝑑𝑗 ln 1 − ℎ 𝑡𝑗
𝑗
= 0
𝑑𝑗
1
ℎ 𝑡𝑗 + 𝑛𝑗 − 𝑑𝑗
1
1 − ℎ 𝑡𝑗 (−1)
𝑗
= 0
𝑑𝑗
ℎ 𝑡𝑗 −
𝑛𝑗 − 𝑑𝑗
1 − ℎ 𝑡𝑗
𝑗
= 0
𝑑𝑗 − 𝑛𝑗ℎ 𝑡𝑗
ℎ 𝑡𝑗 . 1 − ℎ 𝑡𝑗
𝑗
= 0.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
21
Agar 𝑑𝑗 −𝑛𝑗ℎ 𝑡𝑗
ℎ 𝑡𝑗 . 1−ℎ 𝑡𝑗 𝑗 = 0, maka untuk setiap 𝑗, 𝑑𝑗 − 𝑛𝑗ℎ 𝑡𝑗 = 0. Jadi
penaksir maksimum likelihood dari ℎ 𝑡𝑗 = ℎ 𝑡𝑗 =𝑑𝑗
𝑛𝑗 . Dengan demikian
persamaan (4.2) menjadi
𝐾𝑀 = 𝑆 𝐾𝑀 𝑡 = 1 −𝑑𝑗
𝑛𝑗
𝑗 :𝑡𝑗 ≤𝑡
𝐾𝑀 = 𝑆 𝐾𝑀 𝑡 = 𝑛𝑗 − 𝑑𝑗
𝑛𝑗
𝑗 :𝑡𝑗≤𝑡
(4.5)
dengan 𝑛𝑗 = 𝑚𝑗 + 𝑑𝑗 + ⋯ + 𝑚𝑘 + 𝑑𝑘 , 𝑛𝑗 adalah jumlah individu yang
beresiko pada waktu 𝑡𝑗 , 𝑑𝑗 adalah jumlah kematian pada waktu 𝑡𝑗 , 𝑚𝑗 adalah
jumlah individu yang tersensor pada waktu 𝑡𝑗 .
4.3 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier
Kelemahan pada estimasi fungsi tahan hidup dengan penaksir metode
Kaplan-Meier dapat diatasi dengan menggunakan metode modifikasi Kaplan-
Meier. Rossa dan Zielinski (2002) melakukan modifikasi pada penaksir Kaplan-
Meier dengan menggunakan pendekatan dari fungsi tahan hidup distribusi
Weibull seperti pada persamaan (2.4). Pemilihan distribusi Weibull dikarenakan
distribusi tersebut dapat memberikan algoritma perhitungan yang lebih sederhana
untuk melakukan transformasi logaritma, serta mengaplikasikan prosedur estimasi
standar untuk a dan b pada model regresi linier sederhana 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥.
Adapun transformasi logaritma yang dimaksud adalah sebagai berikut :
𝑊 = exp −𝜆𝑡𝛼
ln 𝑊 = ln exp −𝜆𝑡𝛼
ln 𝑊 = −𝜆𝑡𝛼 ln 𝑒
− ln 𝑊 = 𝜆𝑡𝛼
ln(− ln 𝑊) = ln 𝜆𝑡𝛼
ln(− ln 𝑊) = ln 𝜆 + 𝛼 ln 𝑡 (4.6)
jika dimisalkan
𝑦 = ln(− ln 𝑊) ; Λ = ln 𝜆 ; 𝑥 = ln 𝑡
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
22
maka persamaan (4.6) menjadi
𝑦 = Λ + 𝑎𝑥. (4.7)
4.3.1 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑴 = 𝟐
Modifikasi penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑀 = 2 dinotasikan dengan
𝑆 2(𝑡). Akan diestimasi fungsi tahan hidup di t dimana 𝑇𝑓−1′ < 𝑡 ≤ 𝑇𝑓
′ , kemudian
dibentuk pasangan baris (𝑇𝑓−1′ , 𝐾𝑀𝑓−1
′ ) dan (𝑇𝑓′ , 𝐾𝑀𝑓
′ ) sehingga diperoleh dua
persamaan
𝑊 𝑇𝑓−1′ ; 𝜆; 𝛼 = 𝐾𝑀𝑓−1
′ dan 𝑊 𝑇𝑓′ ; 𝜆; 𝛼 = 𝐾𝑀𝑓
′ . (4.8)
Kemudian akan diestimasi nilai probabilitas tahan hidup di t dengan nilai
𝑊(𝑡; 𝜆; 𝛼), dimana 𝜆 dan 𝛼 dapat dicari dengan menyelesaikan persamaan (4.8)
dengan terlebih dahulu diubah ke bentuk logaritma seperti pada persamaan (4.7),
sehingga diperoleh
𝑌𝑓−1 = Λ + 𝛼𝑋𝑓−1 dan 𝑌𝑓 = Λ + 𝛼𝑋𝑓 (4.9)
dengan menyelesaikan persamaan (4.9) maka diperoleh
𝛼 =𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1
𝑋𝑓 − 𝑋𝑓−1 (4.10)
Λ = 𝑌𝑓−1 − 𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1
𝑋𝑓 − 𝑋𝑓−1 𝑋𝑓−1
karena Λ = ln 𝜆 sehingga diperoleh
𝜆 = exp Λ
= exp 𝑌𝑓−1 − 𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1
𝑋𝑓 − 𝑋𝑓−1 𝑋𝑓−1 . (4.11)
Estimasi fungsi tahan hidup dapat dicari dengan menggunakan pendekatan
fungsi tahan hidup distribusi Weibull dengan nilai 𝛼 dan 𝜆 pada persamaan (4.10)
dan (4.11). Sehingga untuk 𝑇𝑓−1′ < 𝑡 ≤ 𝑇𝑓
′ diperoleh penaksir 𝑆 2 𝑡 sebagai
berikut
𝑆 2 𝑡 = exp −𝜆 𝑡𝛼
= exp − exp 𝑌𝑓−1 − 𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1
𝑋𝑓 − 𝑋𝑓−1 𝑋𝑓−1 𝑡
𝑌𝑓−𝑌𝑓−1
𝑋𝑓−𝑋𝑓−1
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
23
= exp − exp 𝑌𝑓−1 − 𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1
𝑋𝑓 − 𝑋𝑓−1 𝑋𝑓−1 exp 𝑋
𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1
𝑋𝑓 − 𝑋𝑓−1
= exp − exp 𝑌𝑓−1 − 𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1
𝑋𝑓 − 𝑋𝑓−1 𝑋𝑓−1 +
𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1
𝑋𝑓 − 𝑋𝑓−1 𝑋
= exp − exp 𝑌𝑓−1 + 𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1
𝑋𝑓 − 𝑋𝑓−1 𝑋−𝑋𝑓−1 . (4.12)
Jika 𝑇0′ < 𝑡 ≤ 𝑇1
′ maka dibentuk pasangan baris (𝑇1′ , 𝐾𝑀1
′ ) dan (𝑇2′ , 𝐾𝑀2
′ ),
kemudian diperoleh dua persamaan 𝑊 𝑇1′ ; 𝜆; 𝛼 = 𝐾𝑀1
′ dan 𝑊 𝑇2′ ; 𝜆; 𝛼 = 𝐾𝑀2
′ .
Sehingga untuk 𝑇0′ < 𝑡 ≤ 𝑇1
′ diperoleh penaksir 𝑆 2 𝑡 sebagai berikut
𝑆 2 𝑡 = exp − exp 𝑌1 +𝑌2 − 𝑌1
𝑋2 − 𝑋1
𝑋 − 𝑋1 . (4.13)
Jika 𝑡 > 𝑇𝑁′ dan 𝛿𝑁 = 1, maka dibentuk pasangan baris (𝑇𝑁−1
′ , 𝐾𝑀𝑁−1′ )
dan (𝑇𝑁′ , 𝐾𝑀𝑁
′ ), kemudian diperoleh dua persamaan 𝑊 𝑇𝑁−1′ ; 𝜆; 𝛼 = 𝐾𝑀𝑁−1
′ dan
𝑊 𝑇𝑁′ ; 𝜆; 𝛼 = 𝐾𝑀𝑁
′ . Sehingga untuk 𝑡 > 𝑇𝑁′ dan 𝛿𝑁 = 1 diperoleh penaksir 𝑆 2 𝑡
sebagai berikut
𝑆 2 𝑡 = exp − exp 𝑌𝑁−1 +𝑌𝑁 − 𝑌𝑁−1
𝑋𝑁 − 𝑋𝑁−1
𝑋 − 𝑋𝑁−1 . (4.14)
Secara umum persamaan (4.12), (4.13) dan (4.14) dapat ditulis
𝑆 2 𝑡 = exp{−exp(𝑌)} (4.15)
dengan
𝑌 =
𝑌1 +
𝑌2 − 𝑌1
𝑋2 − 𝑋1
𝑋 − 𝑋1 , untuk 𝑇0′ < 𝑡 ≤ 𝑇1
′
𝑌𝑓−1 +𝑌𝑓 − 𝑌𝑓−1
𝑋𝑓 − 𝑋𝑓−1 𝑋 − 𝑋𝑓−1 , untuk 𝑇𝑓−1
′ < 𝑡 ≤ 𝑇𝑓′ ≤ 𝑇𝑁
′ dengan 𝑓 ≥ 2
𝑌𝑁−1 +𝑌𝑁 − 𝑌𝑁−1
𝑋𝑁 − 𝑋𝑁−1
𝑋 − 𝑋𝑁−1 , untuk 𝑡 > 𝑇𝑁′ dan 𝛿𝑁 = 1
tidak terdefinisi, untuk 𝑡 > 𝑇𝑁′ dan 𝛿𝑁 = 0
dengan
𝑋𝑓 = ln(𝑇𝑓′)
𝑌𝑓 = ln[− ln 𝐾𝑀𝑓′ ]
𝑋 = ln 𝑡.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
24
4.3.2 Modifikasi Penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑴 = 𝟑
Modifikasi penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑀 = 3 dinotasikan dengan
𝑆 3(𝑡). Dengan 𝑀 = 2𝐾 + 1 maka dapat dicari nilai 𝐾 = 1. Untuk menentukan
penaksir 𝑆 3 𝑡 terlebih dahulu didefinisikan pembobot 𝑤(𝑡). Ditentukan f
sedemikian sehingga 𝑇𝑓′ < 𝑡 ≤ 𝑇𝑓+1
′ dan
jika 𝑓 ≤ 𝐾 maka definisikan 𝑤1 𝑡 = 𝑤2 𝑡 = 𝑤3 𝑡 = 1;
jika 𝑓 ≥ 𝑁 − 𝐾 maka didefinisikan 𝑤𝑁−2 = 𝑤𝑁−1 = 𝑤𝑁 𝑡 = 1;
untuk nilai-nilai 𝑓 yang lain definisikan 𝑤𝑓 𝑡 = 𝑤𝑓+1 𝑡 = 1 dan
𝑤𝑓−1 𝑡 =𝑇𝑓+1
′ − 𝑡
𝑇𝑓+1′ − 𝑇𝑓
′
𝑤𝑓+2 𝑡 =𝑡 − 𝑇𝑓
′
𝑇𝑓+1′ − 𝑇𝑓
′
kemudian ditentukan semua pembobot yang lain sama dengan nol. Setelah semua
pembobot ditentukan, nilai Λ dan 𝛼 dapat dicari dengan meminimumkan
𝑄 Λ, 𝛼 = 𝑤𝑓 𝑡 (𝑌𝑓 − Λ − 𝛼𝑋𝑓)2
𝑓
.
Jika derivatif parsial 𝑄 terhadap Λ dan 𝛼 keduanya sama dengan nol maka
diperoleh Λ dan 𝛼 sedemikian sehingga 𝑄 minimum.
Q = 𝑤𝑓 𝑡 𝑌𝑓 − Λ − 𝛼𝑋𝑓 2
𝑓
= 𝑤𝑓 𝑡 𝑌𝑓2 − Λ𝑌𝑓 − 𝛼𝑋𝑓𝑌𝑓 − Λ𝑌𝑓 + Λ2 + Λ𝛼𝑋𝑓 − 𝛼𝑋𝑓𝑌𝑓 + Λ𝛼𝑋𝑓 + 𝛼2𝑋𝑓
2
𝑓
= 𝑤𝑓 𝑡 𝑌𝑓2 − 2Λ𝑌𝑓 − 2𝛼𝑋𝑓𝑌𝑓 + Λ2 + 2Λ𝛼𝑋𝑓 + 𝛼2𝑋𝑓
2
𝑓
= (𝑌𝑓2𝑤𝑓 𝑡 − 2Λ𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 − 2𝛼𝑋𝑓𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 + Λ2𝑤𝑓 𝑡 + 2Λ𝛼𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 +
𝑓
𝛼2𝑋𝑓2𝑤𝑓 𝑡 ).
Untuk menentukan nilai minimum dari 𝑄 Λ, 𝛼 terlebih dahulu dicari derivatif
parsial 𝑄 terhadap Λ dan 𝛼
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
25
𝜕𝑄
𝜕Λ= (−2𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 + 2Λ𝑤𝑓 𝑡 + 2𝛼𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 )
𝑓
= −2 (𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 − Λ𝑤𝑓 𝑡 − 𝛼𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 )
𝑓
dan
𝜕𝑦
𝜕𝑥= −2𝑋𝑓𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 + 2Λ𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 + 2𝛼𝑋𝑓
2𝑤𝑓 𝑡
𝑓
= −2 𝑋𝑓𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 − Λ𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 − 𝛼𝑋𝑓2𝑤𝑓 𝑡
𝑓
.
Kemudian derivatif parsial 𝑄 terhadap Λ dan 𝛼 disamadengankan nol sehingga
diperoleh
𝜕𝑦
𝜕𝑥= 0
−2 𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 − Λ 𝑤𝑓 𝑡 − 𝛼 𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡
𝑓
= 0
𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 − Λ 𝑤𝑓 𝑡
𝑓
− 𝛼 𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡
𝑓𝑓
= 0
dan
𝜕𝑦
𝜕𝑥= 0
−2 𝑋𝑓𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 − Λ 𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 − 𝛼 𝑋𝑓2𝑤𝑓 𝑡
𝑓
= 0
𝑋𝑓𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 − Λ 𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡
𝑓
− 𝛼 𝑋𝑓2𝑤𝑓 𝑡
𝑓𝑓
= 0.
Langkah selanjutnya adalah mencari nilai Λ dan 𝛼 dengan menyelesaikan
dua persamaan berikut
Λ 𝑤𝑓 𝑡
𝑓
+ 𝛼 𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡
𝑓
= 𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡
𝑓
Λ 𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡
𝑓
+ 𝛼 𝑋𝑓2𝑤𝑓 𝑡
𝑓
= 𝑋𝑓𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 .
𝑓
(4.16)
Solusi dari (4.16) adalah
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
26
Λ =
𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓
𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓
𝑋𝑓𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓
𝑋𝑓2𝑤𝑓 𝑡
𝑓
𝑤𝑓 𝑡 𝑓
𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓
𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓
𝑋𝑓2𝑤𝑓 𝑡
𝑓
Λ =
𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓
𝑋𝑓2𝑤𝑓 𝑡
𝑓 − 𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡
𝑓 𝑋𝑓𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡
𝑓
𝑤𝑓 𝑡 𝑓
𝑋𝑓2𝑤𝑓 𝑡
𝑓 − 𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡
𝑓
2
dan
𝛼 =
𝑤𝑓 𝑡 𝑓
𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓
𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓
𝑋𝑓𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓
𝑤𝑓 𝑡 𝑓
𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓
𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓
𝑋𝑓2𝑤𝑓 𝑡
𝑓
𝛼 =
𝑤𝑓 𝑡 𝑓
𝑋𝑓𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓
− 𝑌𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓
𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡 𝑓
𝑤𝑓 𝑡 𝑓
𝑋𝑓2𝑤𝑓 𝑡
𝑓 − 𝑋𝑓𝑤𝑓 𝑡
𝑓
2 .
Λ , 𝛼 merupakan solusi dari masalah (4.16) dan jika 𝜆 = exp Λ maka
modifikasi penaksir Kaplan-Meier dengan 𝑀 = 3 dapat dituliskan sebagai
𝑆 3 𝑡 = exp −𝜆 𝑡𝛼 . (4.17)
4.4 Estimasi Fungsi Tahan Hidup pada Penderita Leukemia
4.4.1 Estimasi Fungsi Tahan Hidup pada Penderita Leukemia dengan
Penaksir Kaplan-Meier
Berdasarkan estimasi fungsi tahan hidup dengan penaksir metode Kaplan-
Meier pada persamaan (4.5), dihitung nilai estimasinya untuk setiap t pada data
penderita leukemia. Nilai estimasi untuk setiap nilai t dengan penaksir KM
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
27
diberikan dalam Lampiran 1 kemudian diperoleh grafik estimasi fungsi tahan
hidup seperti pada Gambar 4.1.
Gambar 4.1 Grafik Estimasi Fungsi Tahan Hidup dengan 𝐾𝑀
Gambar 4.1 menunjukkan nilai-nilai dari penaksir Kaplan-Meier untuk
setiap nilai t, terlihat bahwa estimasi fungsi tahan hidup semakin mengecil untuk
waktu yang semakin lama. Ini berarti semakin lama pasien yang dinyatakan
menderita leukemia semakin kecil probabilitas pasien untuk dapat bertahan hidup.
Hal ini dapat disebabkan karena komplikasi yang timbul pada leukemia mulai dari
anemia, pendarahan atau gangguan fungsi organ vital seperti otak, jantung dan
paru. Berdasarkan nilai hasil estimasi fungsi tahan hidup pada Lampiran 1
didapatkan nilai 𝐾𝑀 4 = 𝐾𝑀 9 = 0,70263, hal ini berarti probabilitas
penderita leukemia dapat bertahan hidup sampai 4 bulan dan sampai 9 bulan
adalah sama yaitu 0,70263. Inilah yang menjadi kelemahan dari penaksir Kaplan-
Meier, yaitu pada waktu yang berurutan, dalam hal ini pada 𝑡1 = 4 dan 𝑡2 = 9,
nilai dari 𝐾𝑀 4 dan 𝐾𝑀 9 sama besar. Sulit dijelaskan secara logis mengapa
probabilitas penderita leukemia mampu bertahan hidup sampai 4 bulan sama
dengan probabilitas penderita leukemia mampu bertahan hidup sampai 9 bulan.
Oleh karena itu akan diestimasi fungsi tahan hidup penderita leukemia dengan
penaksir metode modifikasi Kaplan-Meier yang akan memberikan nilai
probabilitas tahan hidup yang lebih masuk akal daripada penaksir Kaplan-Meier.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
28
4.4.2 Estimasi Fungsi Tahan Hidup pada Penderita Leukemia dengan
Penaksir Modifikasi Kaplan-Meier
Penaksir modifikasi Kaplan-Meier didefinisikan seperti pada persamaan
(4.15) dan (4.17). Nilai estimasi fungsi tahan hidup pada penderita leukemia
dengan 𝑆 2 𝑡 dan 𝑆 3 𝑡 masing-masing diberikan dalam Lampiran 2 dan
Lampiran 3, kemudian diperoleh grafik estimasi fungsi tahan hidup seperti pada
Gambar 4.2.
Gambar 4.2 Grafik Estimasi Fungsi Tahan Hidup dengan Modifikasi Penaksir
Kaplan-Meier untuk 𝑀 = 2 dan 𝑀 = 3
.
Berdasarkan Gambar 4.2 terlihat bahwa estimasi fungsi tahan hidup
semakin mengecil untuk waktu yang semakin lama. Ini berarti semakin lama
pasien yang dinyatakan menderita leukemia semakin kecil probabilitas pasien
untuk bertahan hidup. Selain itu grafik estimasi fungsi tahan hidup penderita
leukemia dengan metode modifikasi Kaplan-Meier juga tampak lebih halus
dibandingkan dengan metode Kaplan-Meier biasa.
Kemudian untuk melihat perbedaan hasil estimasi fungsi tahan hidup
penderita leukemia dengan ketiga penaksir, grafik fungsi tahan hidup dengan
penaksir metode Kaplan-Meier dibandingkan dengan grafik fungsi tahan hidup
dengan metode modifikasi Kaplan-Meier, seperti tampak pada Gambar 4.3.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
29
Gambar 4.3 Perbandingan Grafik Estimasi Fungsi Tahan Hidup dengan KM,
𝑆 2 𝑡 dan 𝑆 3 𝑡
Perbedaan estimasi fungsi tahan hidup penderita leukemia dengan penaksir
metode modifikasi Kaplan-Meier dan metode Kaplan-Meier biasa terlihat jelas
pada nilai hasil estimasi dan grafik fungsinya. Berdasarkan Gambar 4.3 terlihat
bahwa kelemahan dari penaksir Kaplan-Meier dapat diatasi dengan menggunakan
penaksir modifikasi Kaplan-Meier. Terlihat probabilitas pasien penderita
Leukemia dapat bertahan hidup sampai 4 bulan dan sampai 9 bulan dari Lampiran
1 adalah 𝐾𝑀 4 = 𝐾𝑀 9 = 0,70263, sementara itu dari Lampiran 2 diperoleh
nilai probabilitasnya 𝑆 2 4 = 0,7232958 dan 𝑆 2 9 = 0,6666679 dan dari
Lampiran 3 diperoleh nilai probabilitasnya 𝑆 3 4 = 0,7213576 dan 𝑆 3 9 =
0,634625. Dengan menggunakan penaksir 𝑆 2 𝑡 dan 𝑆 3 𝑡 tidak terlihat apa yang
menjadi kelemahan dari penaksir Kaplan-Meier biasa. Selain itu grafik fungsi
tahan hidup dengan penaksir 𝑆 3 𝑡 tampak lebih halus dibandingkan dengan
penaksir 𝑆 2 𝑡 .
4.5 Studi Simulasi
Simulasi dilakukan dengan cara membangkitkan data dari dua buah
distribusi, yaitu F untuk distribusi waktu hidup dan G untuk distribusi waktu
sensor. F dan G masing-masing berasal dari distribusi eksponensial dengan nilai
𝜆 = 0,2 dan 𝜆 = 0,1. Data yang digunakan adalah min(𝐹, 𝐺) dengan
𝛿 = 1, jika 𝐹 ≤ 𝐺
0, jika 𝐹 > 𝐺 ,
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
30
artinya jika 𝐹 ≤ 𝐺 maka 𝛿 = 1 (data tidak tersensor) dan jika 𝐹 > 𝐺 maka 𝛿 = 0
(data tersensor). Pemilihan distribusi eksponensial dalam simulasi ini dikarenakan
distribusi ini merupakan kasus khusus dari distribusi Weibull, yaitu jika distribusi
Weibull memiliki nilai 𝛼 = 1, maka akan menjadi distribusi eksponensial.
Berdasarkan hasil estimasi fungsi tahan hidup pada Lampiran 4 diberikan
grafik estimasi fungsi tahan hidup dan dibandingkan dengan fungsi tahan hidup
distribusi eksponensial 𝑆 𝑡 = exp −𝜆𝑡 dengan 𝜆 = 0,2.
Gambar 4.4 Grafik Perbandingan Estimasi Fungsi Tahan Hidup Data Simulasi
dengan 𝑆 𝑡 ,𝐾𝑀(𝑡), 𝑆 2 𝑡 dan 𝑆 3 𝑡
Gambar 4.4 menunjukkan baik penaksir 𝑆 2 𝑡 maupun 𝑆 3 𝑡 memberikan
hasil estimasi yang lebih baik daripada penaksir Kaplan-Meier, karena kedua
grafik tersebut cenderung mampu mengikuti grafik fungsi tahan hidup distribusi
eksponensial. Terlihat pula bahwa 𝑆 3 𝑡 memberikan estimasi yang terbaik karena
grafiknya paling mendekati grafik fungsi tahan hidup distribusi eksponensial
daripada kedua penaksir lainnya.
Kemudian simulasi tersebut diulang sebanyak 2000 kali dan dihitung nilai
mean square error (MSE) pada setiap 𝑆(𝑡). Nilai MSE dihitung dengan mencari
kuadrat selisih antara nilai masing-masing penaksir (Kaplan-Meier, 𝑆 2 𝑡 dan
𝑆 3 𝑡 ) dengan nilai 𝑆(𝑡) pada tiap-tiap t untuk setiap perulangan kemudian dicari
rata-ratanya. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut:
𝑀𝑆𝐸 𝐾𝑀 𝑡 =1
𝑅 𝐾𝑀 𝑡
𝑖− 𝑆 𝑡
2𝑅
𝑖=1
𝑀𝑆𝐸 𝑆 2 𝑡 =1
𝑅 𝑆 2 𝑡 )
𝑖− 𝑆 𝑡
2𝑅
𝑖=1
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
31
𝑀𝑆𝐸 𝑆 3 𝑡 =1
𝑅 𝑆 3 𝑡
𝑖− 𝑆 𝑡
2𝑅
𝑖=1
dimana 𝐾𝑀(𝑡) 𝑖 , 𝑆 2 𝑡 𝑖 dan 𝑆 3 𝑡
𝑖 masing-masing adalah nilai penaksir
𝐾𝑀(𝑡), 𝑆 2 𝑡 dan 𝑆 3 𝑡 pada perulangan ke-i dan R adalah jumlah perulangan.
Berikut adalah grafik perbandingan nilai MSE untuk masing-masing penaksir :
Gambar 4.5 Grafik Perbandingan Nilai MSE 𝐾𝑀(𝑡), 𝑆 2 𝑡 dan 𝑆 3 𝑡
Gambar 4.5 menunjukkan perbandingan nilai MSE untuk 𝐾𝑀(𝑡), 𝑆 2 𝑡
dan 𝑆 3 𝑡 . Terlihat garis hitam lebih banyak berada diatas garis berwarna merah,
hal ini menunjukkan bahwa nilai MSE pada estimasi fungsi tahan hidup dengan
menggunakan penaksir Kaplan-Meier lebih besar dari nilai MSE pada estimasi
fungsi tahan hidup dengan menggunakan modifikasi penaksir Kaplan-Meier. Nilai
MSE antara 𝑆 2 𝑡 dan 𝑆 3 𝑡 tidak terlalu berbeda, tetapi MSE 𝑆 3 𝑡 cenderung
lebih kecil daripada nilai MSE 𝑆 2 𝑡 , hal ini terlihat dari garis warna hijau lebih
sering berada dibawah garis warna merah.
Berdasarkan simulasi yang telah dilakukan dapat disimpulkan bahwa
untuk sampel yang kecil atau menengah, estimasi fungsi tahan hidup dengan
menggunakan modifikasi penaksir Kaplan-Meier lebih baik digunakan daripada
dengan menggunakan penaksir Kaplan-Meier biasa. Akan tetapi untuk data yang
besar penaksir metode modifikasi Kaplan-Meier akan memberikan nilai estimasi
yang tidak jauh berbeda dengan metode Kaplan-Meier biasa. Selain itu semakin
besar nilai M yang dipilih akan memberikan nilai estimasi yang lebih baik.
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
32
BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Berikut kesimpulan yang diperoleh berdasarkan pembahasan yang telah
dilakukan.
1. Estimasi fungsi tahan hidup pada penderita leukemia dengan
menggunakan modifikasi penaksir Kaplan-Meier tampak lebih masuk akal
dibandingkan dengan menggunakan penaksir Kaplan-Meier biasa. Apabila
menggunakan penaksir Kaplan-Meier diperoleh probabilitas penderita
leukemia mampu bertahan hidup sampai 4 bulan sama dengan probabilitas
penderita leukemia mampu bertahan hidup sampai 9 bulan, 𝐾𝑀 4 =
𝐾𝑀 9 = 0,70263. Tetapi dengan menggunakan modifikasi penaksir
Kaplan-Meier untuk 𝑀 = 2 diperoleh 𝑆 2 4 = 0,7232958 dan 𝑆 2 9 =
0,6666679 serta untuk 𝑀 = 3 diperoleh 𝑆 3 4 = 0,7213576 dan
𝑆 3 9 = 0,634625.
2. Berdasarkan simulasi yang telah dilakukan, diketahui bahwa nilai MSE
pada modifikasi penaksir Kaplan-Meier lebih kecil dari pada
menggunakan penaksir Kaplan-Meier biasa. Hal ini menunjukkan bahwa
modifikasi penaksir Kaplan-Meier lebih baik dibanding menggunakan
penaksir Kaplan-Meier biasa dan semakin besar nilai 𝑀 yang dipilih akan
menghasilkan nilai estimasi yang lebih baik.
5.2 Saran
Pada skripsi ini dibahas mengenai analisis tahan hidup pada penderita
Leukemia, bagi pembaca yang ingin mengembangkannya dapat diaplikasikan
pada penyakit lain atau diaplikasikan pada bidang yang lain seperti bidang
industri. Selain itu dalam menggunakan metode modifikasi penaksir Kaplan-
Meier 𝑆 𝑀 𝑡 dapat dipilih nilai 𝑀 yang lebih besar.