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Aerodinâmica I

Perfis SustentadoresPerfis de Joukowski

Momento de Picada em torno do centro do perfily=η

CC é o centro do perfil

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial

x=ξ

CC é o centro do perfil

[ ]απρπ

ρ i

0 2i2

−∞Μ−ℜ+

Γ−= eU

QM

• Para um perfil de Joukowski Q=0

[ ]απρ i

0 2i −∞Μ−ℜ= eUM

Aerodinâmica I

• Μ é o coeficiente do termo z-2 da velocidade

complexa a grandes distâncias do perfil

Momento de Picada em torno do centro do perfil



donde

( )απρ 2sen22

2

∞−= VbM c

�

αα i2i2eVaeVb ∞

−∞ −=Μ

��

Aerodinâmica I

Momento de Picada em torno do centro do perfil

• Para pequenos valores de α tem-se ( ) αα 22sen ≅

απρ2

24−≅ VbM�



• Admitindo que um perfil de Joukowski tem

uma corda , o coeficiente de momento em torno do

centro do perfil é dado por

απρ2

24 ∞−≅ VbM c

�

απ

ρ 22

1 22

−≅=

∞ cV

MC c

M c �

bc 4≅

Aerodinâmica I

Perfis SustentadoresPerfis de Kármán-Treftz

• O expoente k está relacionado com o ângulo

( ) ( )( ) ( )

k

kk

kk

b

b

kbz

kbz

bb

bbkbz

+

−=

+

−⇔

−−+

−++=

ζ

ζ

ζζ

ζζ


• O expoente k está relacionado com o ângulodo bordo de fuga, τ, através de

• k=2 corresponde à transformação de Joukowski

( )π

τπτ −=⇔−= 22 kk

Aerodinâmica I


• k=2 corresponde a uma linha de corrente

( ) ( )( ) ( )

k

kk

kk

b

b

kbz

kbz

bb

bbkbz

+

−=

+

−⇔

−−+

−++=

ζ

ζ

ζζ

ζζ


• k=2 corresponde a uma linha de corrente divisória que sai com continuidade tangencial.

O bordo de fuga não é um ponto de estagnação

0=τ

Aerodinâmica I

• k=1,95 corresponde a uma linha de corrente

( ) ( )( ) ( )

k

kk

kk

b

b

kbz

kbz

bb

bbkbz

+

−=

+

−⇔

−−+

−++=

ζ

ζ

ζζ

ζζ



• k=1,95 corresponde a uma linha de corrente divisória que faz um ângulo inferior a π.

O bordo de fuga é um ponto de estagnação

o9=τ

Aerodinâmica I

y

1. Cilindro centrado na origem do referencial

η


( ) ( )( ) ( )kk

kk

bb

bbkbz

−−+

−++=

ζζ

ζζ


x

kb-kb

ξb

bck 9,3,95,1 ==

( ) ( )bb −−+ ζζ

Aerodinâmica I

y

2. Cilindro centrado no eixo imaginário

η


( ) ( )( ) ( )kk

kk

bb

bbkbz

−−+

−++=

ζζ

ζζ


x

kb-kb

ξb

bck 9,3,95,1 ==

( ) ( )bb −−+ ζζ

Aerodinâmica I

yη

3. Cilindro centrado no eixo real negativo


( ) ( )( ) ( )kk

kk

bb

bbkbz

−−+

−++=

ζζ

ζζ


x

kb-kb-∆

ξb

∆+== bck 9,3,95,1

( ) kk

k

kbεε

ε

−+=∆

1

2

( ) ( )bb −−+ ζζ

Aerodinâmica I

y

4. Cilindro centrado no 2º quadrante

η


( ) ( )( ) ( )kk

kk

bb

bbkbz

−−+

−++=

ζζ

ζζ


x

kb-kb-∆

ξb

∆+== bck 9,3,95,1

( ) kk

k

kbεε

ε

−+=∆

1

2

( ) ( )bb −−+ ζζ

Aerodinâmica I

1

Extradorso, α=3o

1. Cilindro centrado na origem do referencial



x/c

-Cp

0 0.25 0.5 0.75 1-1

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75Extradorso, α=3Intradorso, α=3

o

Extradorso, α=10o

Intradorso, α=10o

2

21

∞

∞−=

V

ppC p �

ρ

Aerodinâmica I

3

Extradorso, α=0o

2. Cilindro centrado no eixo imaginário



x/c

-Cp

0 0.25 0.5 0.75 1-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2


o

Extradorso, α=10o

Intradorso, α=10o

Extradorso, α=-10o

Intradorso, α=-10o

2

21

∞

∞−=

V

ppC p �

ρ

Aerodinâmica I

3.5

4

Extradorso, α=0o

3. Cilindro centrado no eixo real negativo



x/c

-Cp

0 0.25 0.5 0.75 1-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3


o

Extradorso, α=10o

Intradorso, α=10o

2

21

∞

∞−=

V

ppC p �

ρ

Aerodinâmica I

4

4.5

Extradorso, α=0o

4. Cilindro centrado no 2º quadrante



x/c

-Cp

0 0.25 0.5 0.75 1-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4 Extradorso, α=0Intradorso, α=0

o

Extradorso, α=10o

Intradorso, α=10o

Extradorso, α=-10o

Intradorso, α=-10o

2

21

∞

∞−=

V

ppC p �

ρ

Aerodinâmica I

• A transformação de Joukowski pode ser considerada

como um caso particular da transformação

∑+= naz ζ

Perfis SustentadoresGeneralização da transformação conforme


• Na transformação de Joukowski temos:

∑=

+=1n

n

naz

ζζ

2para02

1 ≥=∧= naba n

Aerodinâmica I

∑=

+=1n

n

naz

ζζ



• No caso geral os coeficientes an são complexos

• A transformação generalizada permite obter qualquer

perfil sustentador a partir de um cilindro circular

Aerodinâmica I

• O coeficiente de sustentação, Cl, de um perfilsustentador em escoamento irrotacional e

∑=

+=1n

n

naz

ζζ



sustentador em escoamento irrotacional e incompressível a pequenos ângulos de ataque é dado

por

• Para um perfil de Joukowski

( )βαπ +

+=

c

daC tl 12

77,0≅ta

Aerodinâmica I

Perfis SustentadoresMomento de Picada em torno do centro do perfil

[ ]απρπ

ρ i

0 2i2

−∞Μ−ℜ+

Γ−= eU

QM

• Para um perfil sustentador Q=0

[ ]απρ i2i −Μ−ℜ= eUM


[ ]απρ i

0 2i −∞Μ−ℜ= eUM

• Μ é o coeficiente do termo z-2 da velocidade

complexa a grandes distâncias do perfil

• Admitindo que o coeficiente a1 é dado por

αα i2i

1 eVaeVa ∞−

∞ −=Μ��

λ2i2

1

−= eba

Aerodinâmica I

Perfis SustentadoresMomento de Picada em torno do centro do perfil

• Para pequenos valores de α tem-se

( )λαπρ +−≅2

2�


• Admitindo uma corda

( )λαπ

ρ+−≅=

∞2

21 2

2

cV

MC c

M c �

bc 4≅

( )λαπρ +−≅ ∞

224 VbM c

�

Aerodinâmica I

• Os perfis NACA foram desenvolvidos a partir de 1933

pelo National Advisory Committee for Aeronautics (NACA),

hoje em dia denominado National Aeronautics and Space

Administration (NASA).

Perfis SustentadoresPerfis NACA


Administration (NASA).

• Os perfis NACA são construídos adicionando uma

distribuição de espessura na direcção normal ao esqueleto

e encontram-se divididos em várias séries.

Aerodinâmica I

• Série de 4 dígitos, NACA ABCD

A → Flecha relativa em percentagem, f/c



B → Coordenada da flecha máxima, xm,

dada por 10xm/c

CD → Espessura relativa em percentagem, d/c

Aerodinâmica I



- Distribuição de espessura

( )d


- Esqueleto

2 arcos de parábola concordantes no ponto

de flecha máxima, cuja abcissa é xm

( )432 1015.02843,03516,0126,02969,02,0

xxxxxd

y −+−−=

Aerodinâmica I




( )d


- Esqueleto

( )

( )( )( )

=>⇐−+−−

=≤⇐−

=

10211

1

1002

2

2

Bxxxxxx

x

f

Afxxxxx

x

f

y

mmmm

m

mm

m

m

( )432 1015.02843,03516,0126,02969,02,0

xxxxxd

y −+−−=

Aerodinâmica I


• Série de 4 dígitos

- NACA 0012


Perfil simétrico com 12% de espessura relativa

Aerodinâmica I


- NACA 4412

Perfil com uma flecha relativa de 4% localizada em



Perfil com uma flecha relativa de 4% localizada emxm=0.4c (40% do bordo de ataque) e com 12% de

espessura relativa

Aerodinâmica I


• Série de 5 dígitos, NACA ABCDE

A → Valor aproximado de ( )projlC10

3

2×


BC → Coordenada da flecha máxima, xm,

dada por 200xm/c

DE → Espessura relativa em percentagem, d/c

é o coeficiente de sustentação de projecto( )projlC

Aerodinâmica I



- Distribuição de espessura idêntica à série 4

( )d


- Esqueleto

2 polinómios que definem uma curvatura

decrescente desde o bordo de ataque, sendo

uma recta a partir dum ponto ligeiramente à

direita do ponto de flecha máxima, cuja abcissa é xm

( )432 1015.02843,03516,0126,02969,02,0

xxxxxd

y −+−−=

Aerodinâmica I




( )d


- Esqueleto

( )( )

( )

>⇐−

≤⇐−+−

=

mxxmk

mxxmmmxxk

y

m

m

16

1

336

1

3

1

223

1

( )432 1015.02843,03516,0126,02969,02,0

xxxxxd

y −+−−=

Aerodinâmica I



- EsqueletoValores de ( ) 3,0parae,1 =

projlm Cxmk


Valores de

Designação

210 0,05 0,0580 361,4

220 0,10 0,1260 51,64

230 0,15 0,2025 15,957

240 0,20 0.2900 6,643

250 0,25 0,3910 3,230

m1kmx

( ) 3,0parae,1 =projlm Cxmk

Aerodinâmica I



- NACA 23015


Perfil com , uma flecha máxima

localizada em xm=0.15c (15% do bordo de ataque)

e com 15% de espessura relativa

( ) 3,0=projlC

Aerodinâmica I


• Série de 6 dígitos, NACA 6A,B-CDE, a=ao

A → Valor de . é a abcissa do pontocxp 10 px


A → Valor de . é a abcissa do pontode pressão mínima para o correspondente

perfil simétrico com ângulo de ataque

nulo. está realcionado com a

distribuição de espessura do perfil

cxp 10 px

px

Aerodinâmica I



B → Gama de valores de Cl (multiplicado

por 10) acima e abaixo do valor de Cl


por 10) acima e abaixo do valor de Cl

de projecto em que existem gradinetes de

pressão favoráveis ou quase nulos no

intradorso e extradorso do perfil

C → . é o coeficiente de

sustentação de projecto

( )projlC10 ( )

projlC

Aerodinâmica I



DE → Espessura relativa em percentagem


NACA 66-209 (a=1)

ao → Abcissa até à qual a carga (diferença de

pressão entre o extradorso e o intradorso)

é aproximadamente constante. Para x>ao

a carga decresce linearmente. ao está

relacionado com o esqueleto do perfil

Aerodinâmica I

-

∞V�

BAM

cM

L

α

α

x

y

Perfis SustentadoresMomento de Picada em Torno do

Bordo de Ataque


α

• Propagação de momentos

( )

( ) lMlMM

ccBA

CCCCC

Lc

Mc

LMM

ccBA 2

1

2

1cos

22cos

+≅+=

+≅+=

α

α

Aerodinâmica I

-

∞V�

BAM

cM

L

α

α

x

y

Perfis SustentadoresMomento de Picada em Torno do

Bordo de Ataque


• Para um perfil sustentador a pequenos α temos

donde

α

( ) ( )

λβγγπ

βαπ

λβπ

−=+≅

++−≅

com42

22

lM

M

CC

C

BA

BA

( ) ( )λαπ

βαπ +−≅+≅2

2cMl CC

Aerodinâmica I

Perfis SustentadoresCentro Aerodinâmico ou Foco

-

∞V�

L

α

α

x

y

cM

xM


α

• Centro aerodinâmico é o ponto relativamente

ao qual o momento de picada é independente

do ângulo de ataque, α

• Coeficiente de momento em torno do ponto x

lMM Cc

xCC

cx−≅

Aerodinâmica I


-

∞V�

L

α

α

x

y

cM

xM


α

• Centro aerodinâmico obtem-se da condição

donde

00 =⇔=l

MM

dC

dC

d

dCxx

α

αα

d

dCd

dC

dC

dC

c

x

c

x

dC

dC

l

M

l

Mcaca

l

M ccc1

0 ==⇔=−

Aerodinâmica I


-

∞V�

L

α

α

x

y

cM

xM


α

4

1

2

1

2−=−≅

π

π

c

xca


donde

πα

π

α2

2≅−≅

d

dC

d

dClM c

Aerodinâmica I


-

∞V�

L

α

α

x

y

cM

xM


α

( ) γπ

γα

βλα 2

≅−=−=d

dC

d

dCC cc

ca

MM

M

• O centro aerodinâmico encontra-se

aproximadamente a 25% da corda

• O coeficiente de momento em torno do

centro aerodinâmico é dado por

Aerodinâmica I

Perfis SustentadoresCentro de Pressão

-

∞V�

L

α

α

x

y

cM

xM


α

• Centro de pressão é o ponto da linha que contém

a corda relativamente ao qual o momento de

picada é nulo. Ou seja, o ponto de intersecção da

linha de acção da força de sustentação e da linha

que contém a corda

0=−≅ lMM Cc

xCC

cx

Aerodinâmica I

Perfis SustentadoresCentro de Pressão

-

∞V�

L

α

α

x

y

cM

xM

Cxx


α


donde

( ) ( )λαπ

βαπ +−≅+≅2

2cMl CC

l

M

l

cp

C

C

Cc

xca+−=+−=

++−=

4

1

24

1

4

1

4

1 πγ

βα

γ

l

Mcp

lMMC

C

c

xC

c

xCC c

cx=⇔=−≅ 0

perfis sustentadores - fenix.tecnico.ulisboa.pt · pelo national advisory committee for aeronautics...

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