persamaan diferensial orde 1
TRANSCRIPT
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE-1Cara Penyelesaiannya dengan:#A#PENJUMLAHAN JAWABAN “HOMOGEN DAN PARSIAL/PARTIKULER”;#B#METODE PEMISAHAN;#C#METODE REDUKSI;#D#METODE FAKTOR INTEGRAL; atau#E#PERSAMAAN DIFERENSIAL BERNOULLI.
A#PENJUMLAHAN JAWABAN “HOMOGEN DAN PARSIAL/PARTIKULER”
Jawaban: y= yh+ y p
# yh = jawaban homogen ≫≫ yh=A ∙esx
Persamaan menggunakan yh dan dipersamakan dengan nol.
1
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
# y p = jawaban parsial/partikulerPermisalan y p mengikuti ketentuan-ketentuan berikut.
(1) Untuk f ( x )=eax ∙Pn ( x ), dengan Pn ( x ) = polynomial berderajat n.(a) Jika a bukan akar-akar persamaan karakteristik, maka y p=eax ∙Qn ( x ) dengan Qn ( x ) =
polynomial berderajat n dengan koefisien-koefisien tidak ditentukan.(b) Jika a akar-akar persamaan karakteristik, maka y p=xr ∙ eax ∙Q n ( x ) dengan r adalah
jumlah akar yang bernilai a (r=1 atau r=2).
(2) Untuk f ( x )=eax ∙ [Pn ( x ) ∙cosbx+Qn ( x ) ∙ sinbx ], (a) φ (a±bi )≠0
y p=eax ∙ [SN ( x ) ∙cosbx+T N ( x ) ∙sinbx ], dengan SN ( x ) dan T N ( x ) adalah polinomial-polinomial berderajat Nmaksimum {n ,m }.
(b) φ (a±bi )≠0
y p=xr ∙ eax ∙ [SN ( x ) ∙cos bx+T N ( x ) ∙ sinbx ], dengan r adalah jumlah akar yang sama dengan (a±bi ) #untuk persamaan-persamaan orde-2, r=1.
CONTOH#1#penjumlahan jawaban homogen dan parsialSelesaikan persamaan diferensial berikut!
2
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
ddx
y+ y=ex
PENYELESAIAN “CONTOH#1#penjumlahan jawaban homogen dan parsial”Jawaban HomogenBentuk persamaan homogenya, adalah: yh
' + yh=0
Dimisalkan: yh=A esx >>>>>> yh'=s ∙ A esx
Substitusikan yh dan yh' ke persamaan homogen-nya, diperoleh:
Aesx+s ∙ A esx=0≫≫≫ (1+s ) ∙ A esx=0
Dicari nilai s dari (1+s) ∙ A esx=0, maka:
1+s=0≫≫≫ s=−1
Catatan:1+s=0 ≫≫ persamaan karak teristik
3
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
s=−1 ≫≫ akar persamaan karakteristik
⋰⋯⋱Jawaban homogen:yh=A e−x
Jawaban ParsialBentuk persamaan untuk jawaban parsial, adalah:
y p' + y p=ex
f ( x )=ex=eax ∙Pn ( x ), maka: a=1 dan Pn ( x )=1. Berarti n=0 #tidak terdapat fungsi x.
y p=ex [B x0+0 ]≫≫≫ y p=Be x≫≫≫ y p'=B ex
Substitusikan y p dan y p' ke persamaan parsial-nya, diperoleh:
Bex+Bex=ex≫≫≫2Be x=ex
Dicari nilai B dari 2Be x=ex, maka:2B=1≫≫≫B=1
2
4
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
⋯⋱Jawaban parsial:y p=
12ex
⋰⋯⋱Jawaban keseluruhan (total):y= yh+ y p=Ae− x+ 1
2ex
CONTOH#2#penjumlahan jawaban homogen dan parsialSelesaikan persamaan diferensial berikut!
4ddx
y+12 y=10x e−5x
PENYELESAIAN “CONTOH#2#penjumlahan jawaban homogen dan parsial”Jawaban HomogenBentuk persamaan homogennya, adalah:
4 yh' +12 yh=0
Dimisalkan: yh=A esx >>>>>> yh'=s ∙ A esx
Substitusikan yh dan yh' ke persamaan homogen-nya, diperoleh:
5
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
4 sA esx+12 Aesx=0≫≫≫ (4 s+12 ) ∙ A esx=0
Dicari nilai s dari (4 s+12 ) ∙ A esx=0, maka:
4 s+12=0≫≫≫4 s=−12≫≫≫ s=−3
Catatan:4 s+12=0 ≫≫ persamaan karak teristik
s=−3 ≫≫ akar persamaan karakteristik
⋯⋱Jawaban homogen:yh=A e−3 x
Jawaban ParsialBentuk persamaan untuk jawaban parsial, adalah:
4 y p' +12 y p=10 xe
−5x
6
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
f ( x )=10 x e−5x=eax ∙ Pn ( x ), maka: a=−5≠ akar persamaan karakteristik dan Pn ( x )=10 x. Berarti n=1 #terdapat fungsi x.
y p=e−5x [ Bx+C ]≫≫≫ y p'=−5e−5 x [Bx+C ]+Be−5x
≫≫4 y p' +12 y p, maka:
4 ∙ [−5e−5 x (Bx+C )+B e−5 x ]+12 ∙ [e−5x (Bx+C ) ]=10 xe−5x
4 ∙ [ (−5e−5x ∙ Bx )+(−5 e−5 x ∙C )+Be−5x ]+12e−5xBx+12e−5xC=10 x e−5x
−20e−5x ∙Bx−20Ce−5x+4 Be−5x+12Bxe−5x+12Ce−5 x=10x e−5x
−20 Bxe−5 x+12 Bxe−5 x+4 Be−5x−20Ce−5x+12Ce−5x=10 x e−5x
−8 Bxe−5 x+4 Be−5x−8Ce−5x=10 x e−5x
[−8 Bx+(4 B−8C ) ] ∙ e−5x=10 x e−5x
−8 Bx+(4 B−8C )=10 x
−8 B=10≫≫≫ B=−54
7
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
4 B−8C=0≫≫ 4B=8C≫≫C=12B≫≫C=1
2 (−54 )
C=−58
⋯⋱Jawaban parsial:y p=e−5x [ Bx+C ]≫≫≫ y p=e−5x [−54 x−5
8 ]≫≫≫
y p=−( 54 x+58 )e−5x
⋰⋯⋱Jawaban keseluruhan (total):y= yh+ y p=Ae−3x−( 54 x+ 5
8 )e−5x
CONTOH#3#penjumlahan jawaban homogen dan parsialSelesaikan persamaan diferensial berikut!
5ddx
y−15 y=20 x3 e3 x
8
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
PENYELESAIAN “CONTOH#3#penjumlahan jawaban homogen dan parsial”Jawaban homogenBentuk persamaan homogennya, adalah:
5 yh' −15 yh=0
Dimisalkan: yh=A esx >>>>>> yh'=s ∙ A esx
Substitusikan yh dan yh' ke persamaan homogen-nya, diperoleh:
5 sA esx−15 A esx=0≫≫≫ (5 s−15 ) ∙ A esx=0
Dicari nilai s dari (5 s−15 ) ∙ A esx=0, maka:
5 s−15=0≫≫≫5 s=15≫≫≫ s=3
Catatan:5 s−15=0 ≫≫ persamaan karak teristik
s=3 ≫≫ akar persamaan karakteristik
9
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
⋯⋱Jawaban homogen:yh=A e3 x
⋯⋱Jawaban parsialBentuk persamaan untuk jawaban parsial, adalah:
5 y p' −15 y p=20x
3 e3x
f ( x )=20x3 e3x=xr ∙ eax ∙ Pn ( x ), maka: a=3=¿ akar persamaan karakteristik (r=1) dan Pn ( x )=20 x3. Berarti n=3 #terdapat fungsi x.
y p=xr ∙Bxn ∙eax
y p=x1 ∙Bx3 ∙ e3 x≫≫ y p=Bx4 ∙ e3 x
≫≫ y p'=Bx4 ∙3e3x+4 Bx3∙ e3x
Substitusikan y p dan y p' ke persamaan parsial-nya (5 y p
' −15 y p), maka diperoleh:
5 ∙ (Bx4 ∙3e3x+4Bx3 ∙ e3x )−15∙ Bx4 ∙ e3x=20 x3 e3 x
10
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
(15 Bx4−15Bx4 ) ∙ e3x+4 Bx3 ∙ e3 x=20 x3e3x
4 Bx3 ∙ e3x=20 x3 e3 x
4 Bx3=20 x3
4 B=20≫≫ B=5
Substitusikan B=5 ke y p=Bx4 ∙ e3 x=5x4 e3x, maka:
⋯⋱Jawaban parsial:y p=5 x
4 e3x
⋰⋯⋱Jawaban keseluruhan (total):
y= yh+ y p=Ae3x+5 x4 e3 x
B#METODE PEMISAHAN11
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
Untuk kondisi dimana terdapat bentuk:
g ( y ) ∙ ddx
y+ f ( x )=0 atau g ( y ) ∙ ddx
y=f ( x ), maka diubah menjadi:
g ( y ) ∙ dy=f ( x ) ∙ dx.
Selanjutnya diselesaikan dengan pengintegralan terhadap kedua ruas.CONTOH#1#metode pemisahanSelesaikan persamaan berikut!
x (2 y−3 )+(x2+1 ) ddx
y=0
PENYELESAIAN#CONTOH#1#metode pemisahan
Diubah dalam bentuk: g ( y ) ∙ dy=f ( x ) ∙ dx, sehingga diperoleh:
(x2+1 ) ddx
y=−x (2 y−3 )
1(2 y−3 )
dy= −x
(x2+1 )dx
12
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
∫ 1(2 y−3 )
dy=−∫ x ∙dx
(x2+1 )
12∫
1(2 y−3 )
dy=−∫ x
(x2+1 )dx
12ln (2 y−3 )=−1
2ln (x2+1 )
(2 y−3 )12=( x2+1 )
−12 ≫≫2 y−3= 1
x2+1
≫≫2 y= 1x2+1
+3≫≫2 y= 1x2+1
+3 ∙ x2+1
x2+1
≫≫2 y= 1x2+1
+ 3x2+3
x2+1≫≫2 y=1+3 x
2+3x2+1
≫≫2 y=3 x2+4
x2+1≫≫ y= 3 x2+4
2 (x2+1 )
∴ y=3 x2+4
2 x2+2
13
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
CONTOH#2#metode pemisahanSelesaikan persamaan berikut!
(1−ex ) sec2 y dy+3 ex tan y dx=0
PENYELESAIAN#CONTOH#2#metode pemisahan
Diubah dalam bentuk: g ( y ) ∙ dy=f ( x ) ∙ dx, sehingga diperoleh:
(1−ex ) sec2 y dy=−3ex tan y dx
sec2 ytan y
dy= −3ex
(1−ex )dx
sec2 ytan y
dy= −3ex
(1−ex )∙( 1−ex ) ∙ d (1−ex )
sec2 y ∙1tan y
dy=−3ex
−ex ∙d (1−ex )(1−e x)
∙
14
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
1cos2 y
∙cos ysin y
dy=3 ∙d (1−ex )(1−ex )
1cos y ∙sin y
dy=3 ∙d (1−ex )(1−ex )
dysin y ∙cos y
=3 ∙d (1−ex )(1−e x)
dy12
[sin ( y+ y )+sin ( y− y ) ]=3 ∙
d (1−ex)(1−ex )
dy12
[sin 2 y+sin 0 ]=3 ∙
d (1−ex)(1−ex )
dy12∙ sin 2 y
=3 ∙d (1−ex )(1−ex )
2dy
sin 2 y=3 ∙
d (1−ex)(1−ex )
2 ∙12∙d (2 y )sin 2 y
=3 ∙d (1−ex)(1−ex )
15
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
csc 2 y d (2 y )=3 ∙ d(1−ex )
(1−e x)
∫ csc2 y d2 y=3∙∫ d (1−ex )(1−ex )
ln|tan y|=3 ∙ ln (1−ex )≫≫ tan y=(1−ex )3
∴ y=tan−1 (1−ex )3
C#METODE REDUKSIUntuk kondisi dimana terdapat persamaan diferensial dalam bentuk yang mengandung y
x
(karena y ' dikalikan dengan x), maka digunakan metode reduksi dengan permisalan yx=u.
yx=u≫≫≫ y=u ∙ x≫≫≫ y'= d
dxy
≫≫≫ y '=u+x ∙ddx
u≫≫≫ y '=u+x ∙u'
16
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
kemudian, substitusikan bentuk y ' dan y yang baru ke persamaan. Selanjutnya, diselesaikan dengan metode pemisahan.
CONTOH#1#metode reduksiSelesaikan persamaan diferensial berikut!
x y'= y+ x2 sec ( yx )
PENYELESAIAN#CONTOH#1#metode reduksi
x y'= y+ x2 sec ( yx )≫≫ y '= yx+ x2
xsec( yx )
Diubah ke bentuk dasar: y '=u+x ∙u '.
y '= yx+x sec( yx )≫≫u+ x ∙u'=u+x ∙ secu
17
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
≫≫x ∙ddx
u=u−u+x ∙ sec u≫≫ x ∙ddx
u=x ∙ sec u
≫≫ ddx
u=sec u≫≫ dsec u
u=dx≫≫cosu ∙du=dx
≫≫∫cos u∙du=∫ dx≫≫ sinu=x
≫≫u=sin−1 x≫≫ yx=sin−1 x
∴ y=x ∙ sin−1 x
CONTOH#2#metode reduksiSelesaikan persamaan berikut!
(x2+1 ) ∙ y ∙ ( x y '− y )=x3
PENYELESAIAN#CONTOH#2#metode reduksi
(x2+1 ) ∙ y ∙ ( x y '− y )=x3(dikalikandengan 1x)
18
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
(x2+1 ) ∙ y ∙( y '− yx )=x2
y ∙( y '− yx )= x2
(x2+1 )
Diketahui (dalam penjelasan teorema):
∴ yx=u∴ y=ux∴ y '=u+x u'
ux ∙ (u+x u'−u )= x2
( x2+1 )
u ∙ ( xu' )= x
(x2+1 )≫≫u ∙u'= 1
(x2+1 )
u ∙ddx
u= 1
(x2+1 )≫≫u ∙du= dx
(x2+1 )
u ∙du=12d (x2+1 )(x2+1 )
≫≫∫u ∙du=12∫ d (x2+1 )
(x2+1 )
19
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
12∙u2=1
2∙ ln ( x2+1 )≫≫u2=ln (x2+1 )
∴u=√ ln (x2+1 )
D#METODE FAKTOR INTEGRALUntuk kondisi dimana terdapat bentuk:
y '+f ( x ) y=r ( x )
maka penyelesaiannya:
y=e−h [∫ eh ∙ r ( x ) ∙ dx+C ]
h=¿ faktor integral ≫≫≫h=∫ f ( x )+C.
CONTOH#1#metode faktor integralSelesaikan persamaan berikut!
(x2+1 ) ∙ y '=xy−x
20
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
PENYELESAIAN#CONTOH#1#metode faktor integral
(x2+1 ) y '−xy=−x
y '− x
(x2+1 )y= −x
(x2+1 )
Sesuai teorema sebelumnya, bahwa bentuk dasar: y '+f ( x ) y=r ( x ), sehingga:
∴ f ( x )= −x
(x2+1 )∴ r ( x )= −x
(x2+1 )
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++Digunakan teorema dasar:y=e−h [∫ eh ∙ r ( x ) ∙ dx+C ]. h=¿ (faktor integral) h=∫ f ( x )+C.++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
h=∫ −x
(x2+1 )dx≫≫h=−1
2ln (x2+1 )
21
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
∴h=−ln (x2+1 )12
Digunakan persamaan dasar:
y=e−h [∫ eh ∙ r ( x ) ∙ dx+C ]
y=e ln(x2+1 )12 [∫ e−ln (x2+1)
12
∙( −x(x2+1 ) )∙ dx+C ]
y=( x2+1 )12 [−∫ 1
(x2+1 )12
∙x
(x2+1 )∙ dx+C ]
y=( x2+1 )12 [−∫ x
(x2+1 )32
dx+C]y=( x2+1 )
12 [−∫ x (x2+1 )
−32 dx+C ]
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++Gunakan teorema bentuk integral:
∫ x (ax2+c )ndx= 12a
∙(ax2+c )n+1
n+1;n≠−1
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
22
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
Diperoleh:
y=( x2+1 )12 ∙(−12 ) (x2+1 )
12
−12
+(x2+1 )12 C
≫≫ y=1+ (x2+1 )12 ∙C≫≫∴ y=1+C ∙√x2+1
CONTOH#2#metode faktor integralSelesaikan persamaan berikut!
x2 y2+2 xy=sinh 3 x
PENYELESAIAN#CONTOH#2#metode faktor integral
x2 y2+2 xy=sinh 3 x {dikalikan dengan 1x2 }y2+ 2
xy= 1
x2sinh 3 x
Digunakan bentuk dasar: y '+f ( x ) y=r ( x ), sehingga:
23
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
∴ f ( x )=2x∴ r (x )= 1
x2sinh 3 x
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++Digunakan teorema dasar:y=e−h [∫ eh ∙ r ( x ) ∙ dx+C ]. h=¿ (faktor integral) h=∫ f ( x )+C.++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
h=∫ 2xdx≫≫h=2 ln x=ln x2
∴h=ln x2
Digunakan teorema dasar: y=e−h [∫ eh ∙ r ( x ) ∙ dx+C ].
y=e−ln x2[∫ e ln x2
∙1
x2sinh 3 x ∙dx+C ]
y= 1
x2 [∫ x2 ∙1
x2sinh 3 x ∙dx+C ]
y= 1
x2[∫sinh 3 x ∙dx+C ]
24
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
y= 1x2 [∫ 12 [e3x−e−3 x ] ∙ dx+C ]
y= 1x2 [ 12∫e3x ∙ dx−1
2∫ e−3 x ∙ dx+C]
y= 1x2 [ 12 ∙ 13 e3 x−1
2 (−13 )e−3x
+C ]y= 1
x2 [ 16 e3 x+ 16e−3x+C]
y= 1x2 [ 16 (e3 x+e−3x )+C]
y= 1
x2 [ 16 ∙( 12 sinh3 x )+C]≫≫ y= 1x2 [ 13 sinh3 x+C ]
∴ y=sinh 3 x3 x2
+ C
x2
25
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
E#PERSAMAAN DIFERENSIAL BERNOULLIUntuk kondisi dimana terdapat bentuk:
y '+f ( x ) y=g ( x ) ∙ ya, maka untuk penyelesaiannya, semua suku dikalikan dengan (1−a ) ∙ y−a; sehingga:
(1−a ) ∙ y−a ∙ y '+ f ( x ) y ∙ (1−a ) ∙ y−a=g ( x ) ∙ ya ∙ (1−a ) ∙ y−a
(1−a ) ∙ ya ∙ y '+ f ( x ) ∙ (1−a ) ∙ y1−a=(1−a ) ∙ g ( x )
Selanjutnya dimisalkan:
u ( x )= y1−a≫≫≫u '=(1−a ) ∙ y−a ∙ y1
Sehingga:u'+(1−a ) ∙ f ( x ) ∙u=(1−a ) ∙ g ( x )
Bentuk tersebut dapat diselesaikan dengan faktor integral dengan:
h=∫ f ( x ) ∙ dx dan r ( x )=g ( x ).
CONTOH#1#persamaan diferensial Bernoulli
26
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
Selesaikan persamaan berikut!y '+x−1 y=x y2
Penyelesaian:y '+x−1 y=x y2
≫≫a=2 ; f ( x )=1x; g ( x )=x ;u= y1−2= y−1= 1
y.
Disubstitusikan ke persamaan dasar:
u'+(1−a ) ∙ f ( x ) ∙u=(1−a ) ∙ g ( x )
Diperoleh:u'+(1−2 ) ∙ 1
x∙u=(1−2 ) ∙ x
u'−1x∙u=−x
h=−∫ 1x∙dx=−ln x
u=e−ln x [∫ e−ln x ∙−x ∙dx ∙+C ]
27
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
u=x [∫ 1x ∙−x ∙dx ∙+C]
u=x [−x+C ]≫≫u=−x2+cx⋰⋰⋰u= 1y
1y=−x2+cx≫≫∴ y= 1
−x2+cx
CONTOH#2#persamaan diferensial BernoulliSelesaikan persamaan berikut!
3 y '+ y=(1−2 x ) y4
Penyelesaian:
3 y '+ y=(1−2 x ) y4 {ruaskiri dibagidengan3 }
Menjadi bentuk lain:y '+13y=(1−2x ) y4
≫≫a=4 ; f ( x )=13; g ( x )=(1−2x ) ;u= y1−4= y−3= 1
y3
Disubstitusikan ke persamaan dasar:
28
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
u'+(1−a ) ∙ f ( x ) ∙u=(1−a ) ∙ g ( x )
Diperoleh:u'+(1−4 ) ∙ 1
3∙u=(1−4 ) ∙ (1−2x )
u'−3 ∙ 13∙u=−3 ∙ (1−2x ) ≫≫u'−u=−3 ∙ (1−2x )
≫≫u'−u=6 x−3
h=∫ dx=x
u=ex [∫ ex ∙ (6 x−3 ) ∙ dx+C ]
u=ex [∫ ex ∙6 x ∙dx−∫3e x ∙ dx+C ]
u=ex [6∫ x ∙dex−3∫ ex ∙ dx+C ]
u=ex [6 x ∙ ex−6∫ex ∙ dx−3∫ ex ∙ dx+C ]
u=ex [6 x ∙ ex−9ex+C ]
u=ex [ (6 x−9 ) ex+C ]
29
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
u=(6 x−9 ) e2x+Cex
∴u= 1y3
≫≫ 1y3
= (6x−9 ) e2x+Cex
∴ y=3√ 1(6 x−9 ) e2x+C ex
30