persamaan kuadrat - jejakseribupena.files.wordpress.com · akar-akar dari persamaan kuadrat 20x x...
TRANSCRIPT
1 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI
PERSAMAAN KUADRAT
1. SIMAK UI Matematika Dasar 911, 2009
Akar-akar persamaan 22 2 0x ax adalah 1x dan 2x . Jika 2 21 2 212 2x ax x x , maka nilai
....a
A. 8 B. 4 C. 0 D. 4 E. 8
Solusi: [B] 2 21 2 212 2x ax x x
2
1 2 214 2x x ax x
2
4 1 22
aa
2
4 24
aa
2 8 16 0a a
2
4 0a
4a
2. SIMAK UI Matematika Dasar 921, 2009
Misalkan selisih kuadrat akar-akar persamaan 2 2 4 8 0x m x m sama dengan 20. Maka nilai
2 4 ....m
A. 9 B. 5 C. 0 D. 5 E. 9
Solusi: [D]
2 22 4 4 16 16 32 2 4 4 16 16
2 2
m m m m m m mx
2 4 2 4
2
m m 2 2m m
1 22 atau 4x m x
2 21 2 20xx
2 22 4 20m
24 16 20m 2 4 5m
3. SIMAK UI Matematika Dasar 931, 2009
Jika p dan q adalah akar-akar persamaan kuadrat 23 6 4 0x x , maka persamaan kuadrat yang
mempunyai akar-akar 2 1p q dan 2 1p q adalah ....
A. 2 4 3 0x x C. 23 12 13 0x x E. 23 24 49 0x x
B. 2 4 7 0x x D. 2 8 19 0x x
2 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI
Solusi: [C]
2p q dan 4
3pq
2 1 2 1 3 2 3 2 2 4JAA p q p q p q
2 1 2 1 2 1 2 1HKA p q p q p q 1 1 1p q pq p q
4 13
2 13 3
Persamaan kuadratnya:
2 0x JAA x HKA
2 134 0
3x x
23 12 13 0x x
4. SIMAK UI Matematika Dasar 951, 2009
Jika 1
5xx
, maka nilai dari 3
3
1....x
x
A. 140 B. 125 C. 110 D. 75 E. 15
Solusi: [C]
15x
x
2
2
12 25x
x
2
2
123x
x
2
2
1 15 23x x
x x
3
3
1 1115x x
xx
3
3
15 115x
x
3
3
1110x
x
5. SIMAK UI Matematika Dasar 951, 2009
Misalkan selisih akar-akar persamaan 2 2 0x x a dan selisih akar-akar
2 8 1 0x x a bernilai sama, maka perkalian seluruh akar-akar kerdua persamaan tersebut
adalah ....
A. 56 B. 6 C. 2 D. 56 E. 72
Solusi: [A]
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat 2 2 0x x a adalah m dan n dan akar-akar persamaan
2 8 1 0x x a adalah u dan v.
m n u v
2 2
m n u v
2 2
4 4m n mn u v uv
2 2
2 4 8 4 1a a
3 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI
4 4 64 4 4a a 8 56a
7a
1 7 7 1 56mn uv a a
6. SIMAK UI Matematika Dasar 961, 2009
Jika 1x dan 2x adalah penyelesaian dari persamaan 2 1 1 1x x , maka 21 xx sama dengan
....
A. 6 B. 1 C. 1 D. 5 E. 6
Solusi: [E]
2 1 1 1x x
2 1 1 1 2 1x x x
1 2 1x x 2 2 1 4 4x x x 2 6 5 0x x
21 6xx
7. SIMAK UI Matematika IPA 914, 2009
Diketahui persamaan kuadrat 2 22 7 6 0x px p p . Nilai p agar persamaan kuadrat tersebut
mempunyai dua akar berlawanan tanda adalah ....
A. 1
1 2atau 3atau 12
p p p C. 1
1 32
p E. 1
1 atau 22
p p
B. 1
1 12
p D. 1atau 6p p
Solusi: [D]
1. 0D
2 22 4 1 7 6 0p p p
22 7 6 0p p
2 3 2 0p p
11 atau 2
2p p
2. 1 20dan 0x x
1 2 0x x 2 7 6 0p p
2 7 6 0p p
1 6 0p p
1atau 6p p
Dari (1) (2) diperoleh: 1atau 6p p
8. SIMAK UI Matematika IPA 914, 2009
Akar-akar dari persamaan 2 2 1 2 0px p x adalah m dan n. Jika 1mn , maka persamaan
kuadrat yang akar-akarnya merupakan kuadrat dari kebalikan m dan n adalah ....
(1) 2 172 2 0
2x x (3) 24 17 4 0x x
1 11
2
6 2
4 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI
(2) 2 172 2 0
2x x (4) 24 17 4 0x x
Solusi: [C]
Akar-akar dari persamaan 2 2 1 2 0px p x adalah m dan n
1mn 2
1p
2p
Persamaan kuadrat 2 2 1 2 0px p x menjadi 22 5 2 0x x .
22 5 2 0x x
2 1 2 0x x
1atau 2
2x m x n
Akar-akar persamaan kuadrat baru adalah 2
14
m dan
2
1 1
4n
2 2
1 1 1 174
4 4JAA
m n
2 2
1 1 14 1
4HKA
m n
Persamaan kuadratnya
2 0x JAA x HKA
2 171 0
4x x
2 172 2 0
2x x
24 17 4 0x x
Pernyataan (2) dan (4) benar.
9. SIMAK UI Matematika IPA 924, 2009
Jika akar-akar persamaan 2 0x ax b memenuhi 22 3 3 2 0x a x b , maka
(1) 3a (2) 2b (3) 2 2 3 0a ab b (4) 5ab
Solusi: [B]
1
2 3 3 2
a b
a b
1
2 3
a
a
3 2a a
3a
1
2 3 2
b
b
3 2 2b b
2b
2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 0a ab b Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3)
5 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI
10. SIMAK UI Matematika IPA 934, 2009
Akar-akar dari persamaan kuadrat 2 2 3 0x x adalah m dan n, maka persamaan kuadrat baru
yang akar-akarnya 1
1mdan
1
1n adalah ....
A. 23 2 1 0x x C. 26 4 1 0x x E. 26 4 1 0x x
B. 26 2 1 0x x D. 23 2 1 0x x
Solusi: [E]
Akar-akar dari persamaan kuadrat 2 2 3 0x x adalah m dan n, maka 2dan 3m n mn
1 1 2 2 2 4
1 1 1 3 2 1 6
m nJAA
m n mn m n
1 1 1 1 1
1 1 1 3 2 1 6JAA
m n mn m n
Persamaan kuadratnya
2 0x JAA x HKA
2 4 10
6 6x x
26 4 1 0x x
11. SIMAK UI Matematika IPA 934, 2009
Akar-akar dari persamaan kuadrat 22 0x x n adalah p dan q dengan 2 2p q . Jika akar-
akar persamaan kuadrat yang baru adalah danpq p q , maka persamaan kuadrat tersebut adalah
....
A. 2 6 3 0x x C. 2 2 3 0x x E. 2 9 0x x
B. 24 4 3 0x x D. 2 3 2 1 0x x
Solusi: [D]
Karena akar-akar dari persamaan kuadrat 22 0x x n adalah p dan q , maka 1
2p q dan
pq n .
2 2p q
2p p q
12
2p
3
2p
3 1
2 2q
1q
3 3
1 1 12 2
JAA pq p q
3 3 3
1 12 2 4
JAA pq p q
Persamaan kuadratnya
2 0x JAA x HKA
6 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI
2 31 0
4x x
24 4 3 0x x
2 3 2 1 0x x
12. SIMAK UI Matematika IPA 944, 2009
Persamaan kuadrat 2 4 4 3 0x px p mempunyai akar real, tidak nol, dan bertanda sama. Nilai
p yang memenuhi adalah ....
A. 1
2p C.
1
2p atau
3
2p E.
3 1 3atau
4 2 2p p
B. 3
2p D.
1 3 3atau
2 4 2p p
Solusi: [B]
0D
2
4 4 1 4 3 0p p 24 4 3 0p p
2 3 2 1 0p p
1 3
atau2 2
p p .... (1)
Akar-akarnya positif, 1 20dan 0x x
1 2 0x x
4 0p
0p .... (2)
1 2 0x x
4 3 0p
3
4p .... (3)
Akar-akarnya negatif, 1 20dan 0x x
1 2 0x x
4 3 0p
3
4p .... (4)
Dari (1) (2) (3) (4) diperoleh 3
2p
13. SIMAK UI Matematika IPA 964, 2009
Jika jumlah kedua akar persamaan kuadrat 2 2 1 3 2 0x p x p sama dengan hasil kali
keduanya, maka harga mutlak dari selisih kedua akar persamaan kuadrat tersebut adalah ....
A. 0 B. 1 C. 3 D. 3 E. 21
Solusi: [E]
1 2 1 2x x x x
2 1 23p p
2 1 3 6p p
5 5p
1p
3
4
1
2
3
2
0
7 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI
21 2 1 3 2 0p x p x p
2 3 3 0x x 2 3 3 0x x
1 2
9 1221
1
D
ax x
14. SIMAK UI Matematika Dasar 203, 2010
Persamaan kuadrat 2 2 7 4 0x a x mempunyai akar-akar 1 2danx x . Jika nilai dari
1 2 2 1 8x x x x , maka hasil kali dari nilai-nilai a yang memenuhi adalah ....
A. 5 B. 5 C. 5 D. 4 E. 5
Solusi: [A]
1 2 2 1 8x x x x
2 21 2 1 2 1 22 1 2 64x x x xx x x x
1 1 1 2 1 22 2 2 64x x x x xx x x
24 7 2 4 4 64a
2 7 4 16a 2 5 0a
1 2 5a a
15. SIMAK UI Matematika Dasar 203, 2010
Ketinggian roket setelah t menit diluncurkan vertikal ke atas dari permukaan tanah memenuhi
hubungan 265 5h t t , h dalam km dan t dalam menit. Roket tersebut mencapai ketinggian
tidak kurang dari 150 km selama … menit.
A. 3 B. 5 C. 7 D. 10 E. 13
Solusi: [C] 2150 65 5t t
2 13 30 0t t
10 3 0t t
10 3t t Roket tersebut mencapai ketinggian tidak kurang dari 150 km selama (10 – 3) menit = 7 menit
16. SIMAK UI Matematika Dasar 205, 2010
Nilai x yang memenuhi persamaan 2 20 0x px dan 2 20 0x x p adalah ....
(1) 10 4 5 (2) 1 (3) 10 4 5 (4) 1
Solusi: [B]
201
20
p
p
20atau 20p p
Jika 20p , maka persamaan kuadrat menjadi: 2 20 20 0x x , sehingga
20 400 80 20 8 510 4 5
2 2x
Pernyataan yang benar (1) dan (3)
8 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI
17. SIMAK UI Matematika Dasar 206, 2010
Seorang siswa diminta untuk menyelesaikan persamaan 2 0x bx c , tetapi justru
menyelesaikan persamaan 2 0x cx b , b dan c bilangan bulat. Salah satu akar yang diperoleh
adalah sama dengan akar dari persamaan semula, namun akar yang lain m kurangnya dari akar
kedua persamaan semula. b dan c jika dinyatakan dalam m adalah ....
A. 1 1
,2 2
m mb c
C.
1 1,
2 2
m mb c
E.
1 1,
2 2
m mb c
B. 1 1
,2 2
m mb c
D.
1 1,
2 2
m mb c
Solusi: [A]
Misalnya danp q akar-akar persamaan 2 0x bx c dan danp q m adalah akar-akar persamaan
2 0x cx b , sehingga 2 0p bp c .... (1)
2 0p cp b .... (2)
Persamaan (1) – persamaan (2) menghasilkan
0b c p c b
1p
Dari persamaan persamaan 2 0x bx c , dengan akar-akarnya danp q
p q b
1 q b
1q b
pq c
1 q c
c q
Dari persamaan persamaan 2 0x cx b , dengan akar-akarnya danp q m
p q m c
1 c m c
2 1c m
1
2
mc
p q m b
1 1b m b
2 1b m
1
2
mb
18. SIMAK UI Matematika Dasar 208, 2010
Diketahui 1 2danx x adalah akar-akar persamaan 22 6 0x x a . Jika 1 2
2 1
1 12
x x
x x
, maka
nilai a yang memenuhi adalah ....
A. 0a B. 0a C. 3a D. 3a E. 12a
Solusi: [A]
1 2
2 1
1 12
x x
x x
9 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI
2 21 2 1 2
1 2
2x x x x
x x
2
1 2 1 2 1 2
1 2
22
x x x x x x
x x
2
3 2 32 2
2
a
a
9 31
a
a
61 0
a
a
60
a
0a
19. SIMAK UI Matematika IPA 503, 2010
Akar-akar persamaan 2 0x mx n adalah cos75dan cos15 . Persamaan kuadrat yang akar-
akarnya 2m dan 2n adalah ....
A. 22 2 6 6 0x x C. 22 6 6 0x x E. 22 1 6 2 6 0x x
B. 22 2 2 6 0x x D. 22 1 2 6 6 0x x
Solusi: [D]
Akar-akar dari persamaan kuadrat 2 0x mx n adalah cos75 dan cos15 , maka
cos75 cos15m 2cos45 cos30 1 1 1
2 2 3 62 2 2
16
2m
1
cos75 cos15 2cos75 cos152
n 1
cos90 cos602
1
4
Akar-akar persamaan kuadrat baru adalah 2m dan 2n.
12 2 6
2JAA m n
1 12 2 4 4 6 6
8 2JAA m n mn
Persamaan kuadratnya
2 0x JAA x HKA
2 1 16 6 0
2 2x x
22 1 2 6 6 0x x
20. SIMAK UI Matematika IPA 503, 2010
Jika 1
31
3
x
x
dan
13
13
13
y
y
, maka x y adalah ....
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
10 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI
Solusi: [B]
13
13
x
x
13
3 1x
x
x
33 1
xx
x
23 8 3x x x 23 9 3 0x x
2 3 1 0x x
3 13
2x
3 13 3 13
2 2 2 2x x
13
13
13
y
y
13
13
3 1
y
y
y
13
33 1
yy
y
13
10 3
3 1
yy
y
3 13
10 3
yy
y
210 27 9 3 1y y y 210 30 10 0y y
2 3 1 0y y
3 13
2y
3 13 3 13
2 2 2 2y y
Karena akar-akar persamaan 1
31
3
x
x
dan
13
13
13
y
y
adalah sama, maka 0x y
21. SIMAK UI Matematika IPA 504, 2010
Persamaan 21 4 4 7 0a x ax a dengan a bilangan bulat mempunyai akar-akar positif.
Selisih akar terbesar dengan akar terkecil adalah ....
11 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
Solusi: [B]
24 4 4 1 4 7
2 1
a a a ax
a
2 24 16 16 12 28
2 1
a a a a
a
4 12 28
2 1
a a
a
4 2 7 3
2 1
a a
a
2 7 3
1
a a
a
Nilai a yang memenuhi adalah 2, sehingga 2 2 7 3 2 4 1
2 1 1x
yang menghasilkan akar
terbesar 4 1
51
x
dan akar terkecil 4 1
31
x
.
Jadi, selisih akar terbesar dengan akar terkecil adalah 5 – 3 = 2.
22. SIMAK UI Matematika IPA 505, 2010
Jika akar-akar persamaan 23 2 2 0x kx k ialah kebalikan dari akar-akar persamaan
22 3 0ax k a x , 0a , maka jumlah a dan k adalah ....
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. 8
Solusi: [A]
Misalnya akar-akar persamaan 23 2 2 0x kx k adalah 1 2danx x sedangkan akar-akar
persamaan 22 3 0ax k a x adalah 1 2dany y .
1 21 2
1 1danx x
y y
1 2 1 2
2 2dan
3 3
k kx x x x
1 2 1 2
3dan
2 2
k ay y y y
a a
Selanjutnya,
1 21 2
1 1x x
y y
1 21 2
1 2
y yx x
y y
2 233
2
k a
k a
a
2k k a
k a .... (1)
1 21 2 1 2
1 1 1x x
y y y y
2 1
33
2
k
a
2 2k a .... (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
2 2k k
2k a
12 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI
Jadi, 2 2 4k a
23. SIMAK UI Matematika IPA 507, 2010
Untuk 0a , jumlah akar-akar persamaan 2 22 3 0x a x a a adalah ....
A. 2 3a C. 2 2 6a E. 0
B. 6 2a D. 2 6 2a
Solusi: [E]
1. 2 22 3 0x a x a a
2 2 22 2 3 0x ax a a 2 22 0x ax a
1 2 2x x a
2. 2 22 3 0x a x a a
2 2 22 2 3 0x ax a a 2 22 5 0x ax a
3 4 2x x a
Jadi, 1 2 3 4 2 2 0x x x x a a
24. SIMAK UI Matematika IPA 508, 2010
Jika 1 2danx x adalah akar-akar persamaan kuadrat 22 4 2 0x x , maka persamaan kuadrat yang
mempunyai akar-akar 3 31 2x x dan 5 5
1 2x x adalah ....
A. 2 96 1148 0x x C. 2 82 840 0x x E. 2 96 1148 0x x
B. 2 96 1148 0x x D. 2 82 840 0x x
Solusi: [E]
Karena 1 2danx x adalah akar-akar persamaan kuadrat 22 4 2 0x x , maka
1 2 1 22dan 1x x x x .
2 21 2 1 22 4x x x x
2 21 2 2 1 4x x 2 21 2 6x x
2 21 2 1 2 2 6x x x x
3 3 2 21 2 1 2 2 1 12x x x x x x
3 31 2 1 2 1 2 12x x x x x x
3 31 2 1 2 12x x 3 31 2 14x x
2 2 3 31 2 1 2 6 14x x x x
5 5 2 3 2 31 2 1 2 2 1 84x x x x x x
5 5 2 21 2 1 2 1 2 84x x x x x x
25 5
1 2 1 2 84x x 5 51 2 82x x
3 3 5 51 2 1 2 14 82 96JAA x x x x
13 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI
3 3 5 51 2 1 2 14 82 1.148HKA x x x x
Persamaan kuadratnya
2 0x JAA x HKA
2 96 1.148 0x x
2 96 1.148 0x x
25. SIMAK UI Matematika Dasar 211, 2011
Akar-akar persamaan kuadrat 2 6 2 1 0x x a mempunyai beda 10. Yang benar berikut ini
adalah ....
(1) Jumlah kedua akarnya 6 (3) Jumlah kuadrat akar-akarnya 20
(2) Hasil kali kedua akarnya 16 (4) Hasil kali kebalikan akar-akarnya 1
16
Solusi: [-]
1 2 10x x
2 2
1 2 10x x
2
1 2 1 24 100x x x x
2
6 4 2 1 100a
9 2 1 25a 2 15a
Persamaan kuadrat menjadi 2 6 16 0x x dengan 1 28atau 2x x
(1) Jumlah kedua akarnya 6
61
b
a
(2) Hasil kali kedua akarnya 16
161
c
a
(3) 22 2 2
1 2 1 2 1 22 6 2 16 36 32 68x x x x x x
Jumlah kuadrat akar-akarnya 68.
(4) 1 2 1 2
1 1 1 1
16 16x x x x
Hasil kali kebalikan akar-akarnya 1
16
Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (4).
26. SIMAK UI Matematika Dasar 211, 2011
Misalkan 1 2danx x adalah akar-akar dari persamaan kuadrat 2 0x px q yang merupakan
bilangan bulat. Jika diketahui bahwa 2010p q , maka akar-akar persamaan tersebut adalah ....
(1) 2012 (2) 2010 (3) 2 (4) 0
Solusi: [C]
Karena 1 2danx x adalah akar-akar dari persamaan kuadrat 2 0x px q yang merupakan
bilangan bulat, maka 1 2 1 2danx x p x x q
2010p q
1 2 1 2 2010x x x x
1 2 1 2 1 2011x x x x
1 21 1 2011x x
14 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI
1 21 1 1 2011 1 2011x x
1 11 1 2x x dan 2 21 2011 2012x x
1 11 1 0x x dan 2 21 2011 2010x x
Pernyataan yang benar adalah (2) dan (4).
27. SIMAK UI Matematika Dasar 212, 2011
Jika akar-akar persamaan 2 5 12 0ax x adalah 2 dan b, maka 2 24 4 ....a ab b
A. 144 B. 121 C. 121 D. 144 E. 169
Solusi: [E] 2
1 2 5 12 0x ax x
4 10 12 0a 1
2a
22
1dan 5 12 0
2x b a ax x
215 12 0
2b b
2 10 24 0b b
12 2 0b b
12atau 2b b
Jika 1
dan 122
a b , maka 2
22 2 1 14 4 4 4 12 12 169
2 2a ab b
Jika 1
dan 22
a b , maka 2
2 2 21 14 4 4 4 2 2 1
2 2a ab b
28. SIMAK UI Matematika Dasar 213, 2011
Jika 1 2danx x merupakan akar-akar persamaan kuadrat 24 4 0, 0x bx b ,
maka 1 1 3 31 2 1 216x x x x , berlaku untuk 2b b sama dengan ....
A. 0atau 12 C. 20atau 30 E. 42atau56
B. 10atau 12 D. 42atau 56
Solusi: [E]
1 1 3 31 2 1 216x x x x
31 2
1 2 1 2 1 21 2
16 3x x
x x x x x xx x
3
4 16 3 11 4 4
b
b b
3
124 4
b bb
3 48b b b 3 49 0b b
7 7 0b b b
0(ditolak) 7(diterima) 7(diterima)b b b
Jika 8b , maka 22 7 7 56b b
15 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI
Jika 8b , maka 2 27 7 42b b
29. SIMAK UI Matematika Dasar 218, 2011
Banyaknya solusi yang memenuhi persamaan berikut adalah ....
2 2x x x
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E. 0
Solusi: [E]
2 2x x x
2 22 2 2 4x x x x
2 22 4 4x x
2 22 4 4x x 2 4 216 4 8 16x x x
4 24 0x x
2 2 4 0x x
0(ditolak) 2(ditolak) 2(diterima)x x x
Karena akar-akarnya tidak real, maka banyaknya solusi 1.
30. SIMAK UI Matematika IPA 511, 2011
Misalkan salah satu akar dari persamaan 25 2 4 0k x kx k bernilai lebih dari 2 dan salah
satu akar yang lain bernilai kurang dari 1, maka himpunan semua bilangan k yang memenuhi
adalah ....
A. 5 24k R k C. 15 24k R k E. 24k R k
B. 5 20k R k D. 5k R k
Solusi 1: [A]
1. 0D
2
2 4 5 4 0k k k 2 2 9 20 0k k k
20
9k
2. 1 22atau 1x x
1 22atau1x x
1 22 1x x
1 2 1 22 1x x x x
1 2 1 22 0 2 1 0 1x x x x
1 2 1 22 0 2 1 0 1x x x x
1 2 1 22 0atau 0 2 1 0atau 0 1x x x x
1 2 1 22 2 0 1 1 0x x x x
1 2 1 2 1 2 1 22 4 0 1 0x x x x x x x x
4 4 4 24 0 1 0
5 5 5 5
k k k k
k k k k
4 4 4 20 4 2 50 0
5 5
k k k k k k
k k
16 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI
24 90 0
5 5
k
k k
24 90 0
5 5
k
k k
5 24 0 5k k 5 24k
Dari (1) (2) menghasilkan 5 24k R k
Solusi 2: [A]
1. 0D
2
2 4 5 4 0k k k 2 2 9 20 0k k k
20
9k
2. 1 22atau 1x x
1 22 0atau 1 0x x
1 22 1 0x x
1 2 1 22 2 0x x x x
1 2 1 2 12 2 2 0x x x x x
1 2 1 2 12 2 0x x x x x
1 2 1 2 12 2 0x x x x x
1
4 22 2 0
5 5
k kx
k k
1
4 4 2 100
5
k k kx
k
1
140
5
kx
k
1
14
5
kx
k
dan 1 2x
Sehingga
142
5
k
k
142 0
5
k
k
240
5
k
k
5 24k .... (2)
1 2 1 22 2 0x x x x
1 2 1 2 1 2 0x x x x x
1 2 1 2 2 2 0x x x x x
2
4 22 0
5 5
k kx
k k
2
4 2 2 100
5
k k kx
k
5 24
+ +
17 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI
2
140
5
kx
k
2
14
5
kx
k
dan 2 1x
141
5
k
k
141 0
5
k
k
90
5k
5k .... (3)
Dari (1) (2) (3) menghasilkan 5 24k R k
31. SIMAK UI Matematika IPA 512, 2011
Jika m dan n adalah bilangan bulat, maka akar-akar dari persamaan 2 2 1 2 1 0x m x n
merupakan bilangan ....
A. Bulat B. Rasional C. Asli D. Irasional E. Riil
Solusi: [-]
Jika m dan n adalah bilangan bulat, maka akar-akar dari persamaan 2 2 1 2 1 0x m x n
dapat merupakan bilangan real atau bilangan tidak real.
Misalnya, jika m = 1 dan n = 0, maka akar-akarnya real dan jika m = 0 dan n = 1, maka akar-
akarnya tidak real.
32. SIMAK UI Matematika IPA 513, 2011
Misalkan dan adalah akar-akar dari persamaan 2 2 3 9 0x k x dengan , maka
himpunan semua bilangan k sehingga 6 1 dan 6 1 adalah ....
A. 6 6,75k R k C. 1 9k R k E. 6k R k
B. 1 6,75k R k D. 6,75 9k R k
Solusi: [A]
0D
2
4 3 36 0k
2
3 9 0k
3 3 3 3 0k k
6 0k k
0atau 6k k .... (1)
6 1 dan 6 1
12 2
12 2 3 2k
6 3 1k 9 2k .... (2)
6 6 0
6 36 0
9 6 2 3 36 0k
18 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI
9 12 36 36 0k 12 81k
6,75k .... (3)
1 1 0
1 0
9 2 3 1 0k
10 2 6 0k 2 4k
2k .... (4)
Dari (1) (2) (3) (4) menghasilkan 6 6,75k R k
33. SIMAK UI Matematika IPA 514, 2011
Misalkan m adalah bilangan bulat sehingga setiap persamaan 22 1 2 0x m x m dan
persamaan 2 22 1 3 66 0x m m x m mempunyai akar-akar riil yang berlainan tanda, maka
hasil kali semua m yang memenuhi adalah ....
A. 1 B. 0 C. 14364 D. 143640 E. Tak hingga
Solusi: [E]
Misalnya akar-akar persamaan 22 1 2 0x m x m adalah 1 2danx x , dengan
1 20atau 0x x sehingga
1 2 0x x
20
2
m
0m .... (1)
Misalnya akar-akar persamaan 2 22 1 3 66 0x m m x m adalah 1 2dany y , sehingga
1 20 0atauy y sehingga
1 2 0y y
3 66 0m 22m ....(2)
Dari (1) (2) menghasilkan 0m .
Jadi, hasil kali semua m yang memenuhi adalah tak hingga.
34. SIMAK UI Matematika IPA 521, 2012
Persamaan kuadrat 2 2 2 0x pqx p q akar-akarnya 1 2danx x dengan 1 2 1 22 5x x x x .
Pernyataan berikut yang BENAR untuk hubungan antara p dan q adalah ....
(1) p q (2) 2p q (3) 2p q (4) 2p q
Solusi: [C]
Karena persamaan kuadrat 2 2 2 0x pqx p q akar-akarnya 1 2danx x , maka 1 2x x pq dan
2 21 2x x p q .
1 2 1 22 5x x x x
2 22 5p q pq
Misalnya p nq , sehingga
2 2 2 22 5n q q nq
2 2 6 0 6,75 9
19 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI
2 2 22 1 5n q nq
22 2 5n n 22 5 2 0n n
2 1 2 0n n
12
2n n
Jika 1
2n , maka p nq
1
2q atau 2p q .
Jika 2n , maka p nq 2q .
Jadi, pernyataan yang benar adalah (2) dan (4).
35. SIMAK UI Matematika Dasar 522, 2012
Himpunan bilangan k sehingga persamaan 2 2 1 5 0x k x k memiliki setidaknya satu akar
riil positif adalah ....
A. 1k R k C. 0 1k R k E. 0k R k
B. k R k D. 1k R k
Solusi: [A]
Agar persamaan kuadrat mempunyai dua akar negatif adalah 0D ,
2
2 1 4 1 5 0k k
2 2 1 5 0k k k 2 3 4 0k k
4 1 0k k
4 1k k .... (1)
1 2 2 1 0x x k
1k .... (2)
1 2 5 0x x k
5k .... (3)
Dari (1) (2) (3) menghasilkan: 4k .... (4)
Dengan demikian, persamaan 2 2 1 5 0x k x k memiliki setidaknya satu akar riil positif
adalah jika x memenuhi irisan (1) dengan komplemen (4), hal ini dipenuhi oleh 1k .
36. SIMAK UI Matematika Dasar 523, 2012
Akar-akar positif dari persamaan kuadrat 2 0x mx n adalah dan . Jika 2 12 dan
2 4 , maka ....m n
A. 39 B. 16 C. 0 D. 16 E. 39
Solusi: [E]
Akar-akar positif dari persamaan kuadrat 2 0x mx n adalah dan , sehingga m
dan n .
2 12
2 12 2 24 48 144 .... (1)
2 4 .... (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
5 1 4 1
20 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI
24 4 48 144
2 13 36 0
4 9 0
4atau 9
2 12 2 4 12 4 (ditolak) atau 2 12 2 9 12 6
m
6 9 m
15m
n
6 9 n 54n
15 54 39m n
37. SIMAK UI Matematika Dasar 524, 2012
Kedua akar persamaan kuadrat 22 2 1 1 0m x m x m bertanda negatif. Batas nilai m
yang memenuhi adalah ....
A. 2atau 1m m C. 1
22
m E. 7
116
m
B. 2 1m D. 7
216
m
Solusi: [E]
a. Diskriminan 0D
2
2 1 4 2 1 0m m m 2 24 4 1 4 12 8 0m m m m
16 7 0m
7
16m .... (1)
b. akar-akarnya: 1 20dan 0x x
1 2 0x x
2 1
02
m
m
12
2x .... (2)
1 2 0x x
10
2
m
m
2 1x x .... (3)
Dari (1) (2) (3) menghasilkan: 7
116
m
38. SIMAK UI Matematika Dasar 331, 2013
Diketahui 2 63 adalah salah satu akar dari 2 0x px q , dengan q adalah bilangan real
negatif dan p adalah bilangan bulat. Nilai terbesar yang mungkin untuk p adalah ....
A. 5 B. 4 C. 4 D. 5 E. 6
Solusi: [D]
Misalnya 1 2 63x adalah salah satu akar dari 2 0x px q , maka
2 7
16
1
2
1
21 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI
Jumlah akar-akarnya adalah
1 2x x p
22 63 x p
Karena p adalah bilangan bulat maka haruslah 2 63x m , sehingga
2 63 63m p
2m p
Hasil kali akar-akarnya adalah
1 2x x q
Di sini diketahui q adalah bilangan real negatif , 0q dan 1 2 63 0x (bilangan negatif)
sehingga 2 63 0x m .
63 0m
2 63 0p
63 2 7,94 2 5,94p
Jadi, nilai terbesar yang mungkin untuk p adalah 5.
39. SIMAK UI Matematika IPA 332, 2013
Diketahui a, b, dan c bilangan real yang didefinisikan sebagai berikut.
6 6 6 ...a
20 20 20 ...b
Nilai ....a b
A. 26 B. 8 C. 2 26 D. 16 E. 26
Solusi: [B]
6 6 6 ...a
2 6 6 6 ...a 2 6a a 2 6 0a a
3 2 0a a
3(diterima)atau 2(ditolak)a a
20 20 20 ...b 2 20b b 2 20 0b b
5 4 0b a
5(diterima)atau 4(ditolak)b b
Jadi, nilai 3 5 8a b
40. SIMAK UI Matematika Dasar 333, 2013
Jika r dan s adalah akar-akar persamaan 2 0ax bx c dan D adalah diskriminan tersebut, nilai
dari 2 2
1 1
r s adalah ....
A. 2
2D a
cc B.
2
Dc
a C.
2
D
c D.
2
D
a E. D
22 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI
Solusi: [A]
2 2
2 2 2 2
1 1 r s
r s r s
2
2
2r s rs
rs
2
2
2b c
a a
c
a
2
2
2b ac
c
2
2
4 2b ac ac
c
2
2D ac
c
2
2D a
cc
41. SIMAK UI Matematika Dasar 334, 2013
Banyaknya bilangan bulat m yang membuat persamaan
1 1
1 1
x x m x
x m m
TIDAK
mempunyai akar real adalah ....
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. tak terhingga
Solusi: [A]
1 1
1 1
x x m x
x m m
2 21 1m x x n m x x m
2 1 1 0x x m m m m
2 2 0x x m m
D < 0
2 21 4 1 0m m
24 4 1m m 24 4 1 1 1m m
2
2 1 0m
Karena tidak ada nilai m yang memenuhi, maka banyaknya nilai m adalah 0.
42. SIMAK UI Matematika IPA 134, 2013
Misalkan dan merupakan akar-akar dari persamaan 2 6 0x bx .
Jika dan adalah akar-akar dari persamaan 2 4 0x x c , persamaan yang mempunyai
akar-akar b dan c adalah ....
A. 2 5 5 0x x C. 2 25 0x E. 2 5 5 0x x
B. 2
5 0x D. 2
5 0x
Solusi: [C]
Karena dan merupakan akar-akar dari persamaan 2 6 0x bx , maka dan 6b
Jika dan adalah akar-akar dari persamaan 2 4 0x x c , maka 4 dan
c .
Selanjutnya,
4
2 4 2
6
2 6
3
Karena b dan c , maka
23 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI
2 3 b 5b
c
2 3 2 3 c
5c Persamaan kuadratnya,
21 2 1 2 0x x x x x x
2 5 5 5 5 0x x 2 25 0x
43. SIMAK UI Matematika IPA 235, 2013
Misalkan 21 1 0x b x c mempunyai akar-akar dan , dengan
24 . Jika
22 2 0x b x c mempunyai akar-akar dan , maka rasio 2 1:c b yang mungkin adalah ....
A. 2 :1 B. 1: 2 C. 1:1 D. 1:3 E. 3:1
Solusi: [A]
Karena 21 1 0x b x c mempunyai akar-akar dan , maka 1 1danb c
2
4
Karena 22 2 0x b x c mempunyai akar-akar dan , maka
2b atau 2
2
b
2c
1 2b c
2
1
c
b
2
2 2
1
c
b
2
2
1
4c
b
2
1
2c
b
2 1: 2 :1c b
44. SIMAK UI Matematika IPA 236, 2013
Misalkan 1x dan 2x merupakan akar-akar positif dari persamaan 2 0x mx n . Jika
2 21 2 3x x dan 1 2: 1: 2x x , maka : ....m n
A. 0,5 B. 1 C. 1,5 D. 2 E. 2,5
Solusi: [C]
1. 1 2: 1: 2x x
2 12x x
2. 2 21 2 3x x
1 2 1 2 3x x x x
1 2 3m x x
24 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI
1 2
3x x
m
1 1
32x x
m
1
3x
m
2
6x
m
1
3x
m
23 3
0m nm m
2
93 0n
m
2
93 n
m
2 9
3m
n
.... (1)
3. 1 2x x n
3 6n
m m
2 18m
n .... (2)
4. Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:
18 9
3n n
6 2n n
2n
2 189
2m
3m
Karena persamaan kuadrat mempunyai akar-akar positi, maka 3m .
Jadi, : 3 : 2 1,5m n
45. SIMAK UI Matematika IPA 237, 2013
Misalkan dan merupakan akar-akar dari persamaan 2 6 0x bx . Jika 1 1
dan
adalah akar-
akar dari persamaan 2 4 0x x c , maka akar-akar dari persamaan 2 0x bc x bc
merupakan ....
A. akar kembar dan positif D. dua akar berbeda dan positif
B. akar kembar dan negatif E. dua akar berbeda dan negatif
C. dua akar berbeda dan berlaianan tanda
Solusi: [A]
Karena dan merupakan akar-akar dari persamaan 2 6 0x bx , maka b dan 6 .
Karena 1 1
dan
adalah akar-akar dari persamaan 2 4 0x x c , maka 1 1
4 dan
1 1c
.
1 14
25 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI
4
46
b
24b 1 1
c
1c
1
6c
Karena 1
24dan6
b c , maka persamaan 2 0x bc x bc menjadi 2 4 4 0x x , dengan
2
4 4 1 4 0D , sehingga persamaan kuadrat ini mempunyai akar kembar dan positif.
46. SIMAK UI Matematika Dasar Kode 2, 2014
Jika diketahui 0x , maka banyaknya penyelesaian yang memenuhi system persamaan
2
2
2014 0
2014 0
x ax
x x a
adalah ....
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
Solusi: [B] 2 2014 0x ax .... (1) 2 2014 0x x a .... (2)
Persamaan (1) – persamaan (2) menghasilkan:
2014 2014 0a x a
20141
2014
ax
a
Jadi, banyaknya penyelesaian yang memenuhi sistem persamaan tersebut adalah 1 buah.
47. SIMAK UI Matematika Dasar Kode 2, 2014
Misalkan m dan n adalah akar-akar persamaan kuadrat 23 5 1 0x x . Persamaan kuadrat yang
mempunyai akar-akar 2
11
m dan
2
11
n adalah ....
A. 2 21 29 0x x C. 2 21 29 0x x E. 2 29 21 0x x
B. 2 21 29 0x x D. 2 29 21 0x x
Solusi: [B]
Karena m dan n adalah akar-akar persamaan kuadrat 23 5 1 0x x , maka 5 1
dan3 3
m n mn
5
3m n
2 2 252
9m n mn
2 2 1 252
3 9m n
26 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI
2 2 25 2 19
9 3 9m n
2 2
2 2 2 2 2
19
1 1 19 991 1 2 2 2 19 2 219 11
3
m nJAA
m n m n
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
19
1 1 1 1 1 1 1 91 1 1 1 11 1
3 3
m nHKA
m n m n m n mn mn
2 2
19
1 9 1 9 19 1 291 1
3 3
Persamaan kuadratnya:
2 0x JAA x HKA 2 21 29 0x x
48. SIMAK UI Matematika IPA Kode 1, 2014
Jika m dan n adalah akar-akar persamaan kuadrat 22 2 0x x , maka persamaan kuadrat yang
akar-akarnya adalah 3 2m n dan 3 2n m adalah ....
A. 232 101 124 0x x C. 232 101 124 0x x E. 232 101 124 0x x
B. 232 101 124 0x x D. 232 101 124 0x x
Solusi: [-]
Karena m dan n adalah akar-akar persamaan kuadrat 22 2 0x x , maka1
dan 12
m n mn
1. 1
2m n
2 2 12
4m n mn
2 2 12 1
4m n
2 2 9
4m n
2. 2 2 1 9
2 4m n m n
3 3 2 2 9
8m n mn nm
3 3 9
8m n mn n m
3 3 1 91
2 8m n
3 3 9 1 13
8 2 8m n
3. 2 2 3 3 9 13
4 8m n m n
5 5 2 3 2 3 117
32m n m n n m
27 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI
5 5 2 2 117
32m n m n n m
25 5 1 117
12 32
m n
5 5 117 1 101
32 2 32m n
3 2 3 2 3 3 2 2JAA m n n m m n m n 13 9 31
8 4 8
3 2 3 2 3 3 5 5 2 2HKA m n n m m n m n n m 3 25 5mn m n mn
3 2101
1 132
101 1011 1
32 32
Persamaan kuadratnya:
2 0x JAA x HKA
2 31 1010
8 32x x
232 124 101 0x x
49. SIMAK UI Matematika IPA Kode 2, 2014
Jika salah satu akar persamaan kuadrat 2 24 1 7 0x k x k k bernilai tiga kali dari akar
yang lain dan semua akar-akar bernilai lebih dari 2, maka himpunan semua bilangan k yang
memenuhi adalah ....
A. R C. 1k R k E. 1
2
B. 3 13 3 13
atau2 2
k R k k
D. 1
4,2
Solusi: [E]
Misalnya akar-akar persamaan 2 24 1 7 0x k x k k adalah 1x dan 2x .
Salah satu akarnya tiga kali akar yang lainnya 2 13x x
21 4 1x kx
11 3 4 1x kx
1 4 14 kx
1 1kx
1 1kx 2 24 1 7 0x k x k k
2 21 4 1 1 7 0k k k k k
2 2 22 1 4 8 4 7 0k k k k k k
22 7 4 0k k
2 1 4 0k k
1
atau 42
k k
Semua akar-akar bernilai lebih dari 2, berarti 21 2dan 2xx .
1 2 4x x
4 1 4k
28 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI
1k
Sehingga nilai k yang memenuhi adalah 1
2k
Jadi, himpunan semua bilangan k yang memenuhi adalah 1
2
.
50. SIMAK UI Matematika Dasar Kode 1, 2015
Misalkan salah satu akar dari persamaan kuadrat 2 10 0x x a mempunyai tanda yang
berlawanan dengan salah satu akar dari persamaan kuadrat 2 10 0x x a di mana a dalah
sebuah bilangan real, maka jumlah kuadrat dari akar-akar persamaan 2 2 5 0x ax adalah ....
A. 36 B. 20 C. 18 D. 15 E. 10
Solusi: [E]
Misalkan akar-akar dari persamaan kuadrat 2 10 0x x a adalah m dan n. Sedangkan akar-akar
persamaan kuadrat 2 10 0x x a adalah m dan p .
2 10 0m m a .... (1)
2 10 0m m a .... (2)
Persamaan (1) – persamaan (2) menghasilkan:
20 2 0m a
10
am
10
am 2 10 0x x a
2
10 010 10
a aa
2
0100
aa a
0a
0a 2 2 5 0x ax
2 5 0x
1,2 5x
222 2
1 2 1 2 1 22 5 5 2 5 5 10x x x x x x
51. SIMAK UI Matematika Dasar 573, 2016
Diketahui bahwa a adalah salah satu akar persamaan 2 6 0x x . Nilai dari
3
5 4 3 2
1....
a
a a a a
A. 5
36 B.
6
36 C.
7
36 D.
8
36 E.
9
36
Solusi: [C]
Karena a adalah salah satu akar persamaan 2 6 0x x , maka 2 6 0a a 3 3 2 21 1a a a a
2 2 1a a a a
26 1a a
6 6 1a a
29 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI
7 7a
5 4 3 2 3 2 2a a a a a a a a a a
3 6 6a a
26 1a a
26 1a a a a
6 6 1a a
6 5a a
26 30a a 26 6 6 30a a a a
26 36a a a
6 6 36a
36 36a
3
5 4 3 2
7 11 7 7 7
36 36 36 1 36
aa a
a aa a a a
52. SIMAK UI Matematika Dasar 573, 2016
Diketahui bahwa c dan d solusi 2 0x ax b , a dan b solusi 2 0x cx d , dengan a, b, c, d
bilangan real bukan nol, nilai ....a b c d
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 E. 3
Solusi: [A]
Karena c dan d solusi 2 0x ax b , maka c d a dan cd b
Karena a dan b solusi 2 0x cx d , maka a b c dan ab d c d a
a c d .... (1)
a b c a c b .... (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh b d Karena b d dan cd b , maka 1c
Karena b d dan ab d , maka 1a Dengan demikian,
c d a b a c
1 1 2a b c d a c
53. SIMAK UI Matematika Dasar 566, 2016
Jika akar 2 0x ax b adalah 1
3 kali akar 2 0x cx a , dengan , , 0a b c , maka ....
a c
b
A. 10
27 B.
28
9 C. 30 D. 36 E. 40
Solusi: [D]
Misalnya akar-akar 2 0x cx a adalah m dan n, sehingga m n c dan mn a
Akar-akar persamaan 2 0x ax b adalah 1
3m dan
1
3n , sehingga
1 1
3 3m n a
30 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI
3m n a
3c a
3c a
1 1
3 3m n b
9mn b
9a b
9
ab
3
36
9
a c a a
ab
54. SIMAK UI Matematika Dasar Kode 2, 2016
Jika a dan b memenuhi 1 5
6 0x x , maka ....ab
A. 1
6 B.
1
12 C.
1
24 D.
1
36 E.
1
48
Solusi: [D]
1 56 0
x x
6 5 1 0x x
3 1 2 1 0x x
1 1
3 2x x
1 1
9 4a b
1 1 1
9 4 36ab
55. SIMAK UI Matematika Dasar Kode 2, 2016
Jika akar 2 0x ax b adalah 3 kali akar 2 0x cx a , dengan , , 0a b c , maka ....a b
c
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 E. 50
Solusi: [C]
Misalnya akar-akar 2 0x cx a adalah m dan n, sehingga m n c dan mn a
Akar-akar persamaan 2 0x ax b adalah 3m dan 3n , sehingga
3 3m n a
1
3m n a
1
3c a
1
3c a
3 3m n b
1
9mn b
31 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Persamaan Kuadrat SIMAK UI
1
9a b
9b a
9
301
3
a b a a
ca
56. SIMAK UI Matematika Dasar Kode 3, 2016
Jika 2 25 0x x c mempunyai akar-akar a dan b dan keduanya merupakan bilangan prima
dengan b a , maka 3 ....a b c
A. 17 B. 25 C. 29 D. 52 E. 63
Solusi: [C]
25a b Karena a dan b adalah bilangan prima dan b a , maka haruslah 2atau 23a b
2 23 46c ab
3 3 2 23 46 29a b c
57. SIMAK UI Matematika IPA 373, 2016
Jika 3u dan 10v adalah akar-akar dari 23 3 1 0x px Ap , maka ....A
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 E. 4
Solusi: [B]
3atau 10x u x v 3 0atau 10 0x x
3 10 0x x 2 13 30 0x x
23 39 90 0x x dan 23 3 1 0x px Ap
3 39p
13p
1 90Ap
13 91A
917
13A
Semoga bermanfaat bagi para pembaca....